误差理论与数据处理总结
误差理论及实验数据处理
可以设法减小或排除掉的，如对试验机和应变仪等定期校准和检验。又如单向拉伸时由于夹
具装置等原因而引起的偏心问题，可以用试样安装双表或者两对面贴电阻应变片来减少这种
误差。系统误差越小，表明测量的准确度越高，也就是接近真值的程度越好。
偶然误差是由一些偶然因素所引起的，它的出现常常包含很多未知因素在内。无论怎样
差出现的可能性小。
3）随着测量次数的增加，偶然误差的平均值趋向于零。
4）偶然误差的平均值不超过某一限度。
根据以上特性，可以假定偶然误差Δ 遵循母体平均值为零
的高斯正态分布，如图Ⅰ-1 所示。
f (Δ) =
1
− Δ2
e 2σ 2
σ 2π
图Ⅰ-1 偶然误差的正态频率曲线
·97·
材料力学实验指导与实验基本训练
Δ ≤ Δ1 + Δ2 [注]：上述法则对于两个相差甚大的数在相减时是正确的。但是对两个相互十分接近的 数，在相减时有效位数大大减少，上述结论就不适用。在建立运算步骤时要尽量避免两个接 近相等的数进行相减。 2）如果经过多次连乘除后要达到 n 个有效位数，则参加运算的数字的有效位数至少要 有 (n + 1) 个或 (n + 2) 个。例如，两个 4 位有效数的数字经过两次相乘或相除后，一般只能 保证 3 位有效数。 3）如果被测的量 N 是许多独立的可以直接测量的量 x1, x2,", xn 的函数，则一个普遍的 误差公式可表示为下列形式，即
控制实验条件的一致，也不可避免偶然误差的产生，如对同一试样的尺寸多次量测其结果的
分散性即起源于偶然误差。偶然误差小，表明测量的精度高，也就是数据再现性好。
实验表明，在反复多次的观测中，偶然误差具有以下特性：
误差理论与数据处理
③ 差动法 被测量对传感器起差动作用 干扰因素起相同作用 --- 被测量的作用相加 --- 干扰的作用相减 作用：抑制干扰 提高灵敏度和线性度 ④ 比值补偿法 利用比值补偿原理 --- 影响因素在输出计算式的分子、分母上同时出现 --- 约消 例：比色高温计 --- 消除辐射率变化的影响 ⑤ 半周期偶数观测法 --- 系统误差随某因素成周期性变化 测量 --- ½变化周期 两次测量所得的周期系统误差 --- 数值相等、正负相反 --- 取平均值 自动检测 --- 检测的时间间隔为½周期（克服随时间周期变化因素的影响） 综合：传感器信号转换 --- 选频放大器、滤波器、滤色片 --- 截断/删除无用 频带（只让有用信号频带通过） --- 减轻校正、补偿难度 有影响的因素 --- 定值/较窄范围 --- 系差稳定 --- 修正值 措施 --- 恒温、稳压或稳频
如：米 --- 公制长度基准
光在真空中1s时间内传播距离的1/299792485 1m = 1650763.73
--- 氪-86的2p10-5d5能级间跃迁在真空中的辐射波长
② 理论真值：设计时给定或用数学、物理公式计算出的给定值 ③ 相对真值：标准仪器的测得值或用来作为测量标准用的标准器的值
⑧ 检测方法误差 检测方法、采样方法、测量重复次数、取样时间
⑨ 检测人员造成的误差 人员视觉、读数误差、经验、熟练程度、精神方面原因（疲劳）
4 、误差分类
按误差来源：装置误差、环境误差、方法误差、人员误差
按掌握程度：已知误差、未知误差 按变化速度：静态误差、动态误差 按特性规律：系统误差、随机误差、粗大误差
h
1 2
-K K
总体期望：无限次测量（不可能实现） --- 有限次测量代替 估计（Estimation ) --- 有限次样本推测总体参数 --- 估计值（^） 同一被测量 n 次测量 算术平均（Mean value） x 估计 真值x0
误差理论与数据处理
nx
×100%
◆ （4）方差（Variance） 方差（ 度量随机变量和其数学期望之间的偏离程度。 度量随机变量和其数学期望之间的偏离程度。
σ2 =
就是和中心偏离的程度。 就是和中心偏离的程度。在样本容 量相同的情况下，方差越大， 量相同的情况下，方差越大，说明 数据的波动越大， 数据的波动越大，越不稳定
2 数据处理
2.1 有效数字定义、运算规则
2.1.2 运算规则 （2）运算 ） ）：结果的末位数字所在的位置应按各量中存 ◆加（减）：结果的末位数字所在的位置应按各量中存 疑数字所在数位最少的一个为准来决定。 疑数字所在数位最少的一个为准来决定。
a. 30.4 + 4.325 = 34.725 → 34.7 b. 26.65 -3.905 = 22.745 → 22.74
106.25=1778279.41→1.8×106； pH=10.28→[H+]=5.2×10-11
2 数据处理
2.1 有效数字定义、运算规则
2.1.2 运算规则 （2）运算 ） 对数： ◆对数： lgx的有效数字位数由 的位数决定。 的有效数字位数由x的位数决定 的有效数字位数由 的位数决定。
1 误差理论
1.2 分类
1.2.2 系统误差、随机误差、过失误差
◆（3）过失误差 又称粗大误差和疏忽误差。 又称粗大误差和疏忽误差。是由过程中 的非随机事件如工艺泄漏、测量仪表失灵、 的非随机事件如工艺泄漏、测量仪表失灵、设备故障等引发的 测量数据严重失真现象， 测量数据严重失真现象，致使测量数据的真实值与测量值之间 出现显著差异的误差。 出现显著差异的误差。
2.1 有效数字定义、运算规则
2.1.1 定义
在一个近似数中，从左边第一个不是 的数字起 的数字起， 在一个近似数中，从左边第一个不是0的数字起，到精确到 的位数止，这中间所有的数字都叫这个近似数字的有效数字。 的位数止，这中间所有的数字都叫这个近似数字的有效数字。
误差理论及数据处理
第二章 误差理论及数据处理
除了偏差之外，还可以用极差R来表示样本平行测定值 的精密度。极差又称全距，是测定数据中的最大值与最小值 之差，R=xmax-xmin 其值愈大表明测定值愈分散。由于没有充分利用所有的数据， 故其精确性较差。偏差和极差的数值都在一定程度上反映了 测定中随机误差影响的大小。 此外还有公差，它是指生产部门对分析结果允许误差的 一种表示方法，如果分析结果的误差超出允许的公差范围， 称为超差，该项分析工作应重做。有关公差，由有关主管部 门根据分析对象作出相关规定。
第二章 误差理论及数据处理
第二章 误差理论及数据处理
上述情况说明，精密度高表明测定条件稳定， 这是保证准确度高的先决条件。精密度低的测定结 果是不可靠的，因而是不准确的。但是高精密度的 测定值中也可能包含有系统误差的影响，只有在消 除了系统误差的前提下，精密度高其准确度必然也 高。 对于含量未知的试样，由于仅凭测定的精密度 难以正确评价测定结果，因此常同时测定一个或数 个标准试样，检查标样测定值的精密度，并对照真 实值以确定它的准确度，从而对试样测定结果的可 靠性做出评价。
第二章 误差理论及数据处理
平均偏差：个别测定偏差的绝对值加和除以测量次数，
相对平均偏差：
平均偏差和相对平均偏差由于取了绝对值因而都是正值。
第二章 误差理论及数据处理
（二）标准偏差和相对标准偏差 由于在一系列测定值中，偏差小的值总是占多数，这样 按总测定次数来计算平均偏差时会使所得的结果偏小，大偏 差值得不到充分的反映。因此在数理统计中，一般不采用平 均偏差，而广泛采用标准偏差来衡量数据的精密度，它反映 了各测定值对平均值的偏离程度。标准偏差用s表示：
样本的相对标准偏差(也称为变异系数)，用Sr或RSD表示：
误差理论和测量数据处理
误差理论和测量数据处理误差理论和测量数据处理是在科学研究、工程设计和实验室测试中非常重要的一部分。
它们涉及到对测量数据的准确性和可靠性进行评估，以及对误差来源和处理方法的分析。
在本文中，我们将详细介绍误差理论和测量数据处理的基本概念、方法和应用。
一、误差理论的基本概念误差是指测量结果与真实值之间的差异。
在测量过程中，由于各种因素的影响，测量结果往往会存在一定的误差。
误差理论的目标是通过对误差进行分析和处理，提高测量结果的准确性和可靠性。
1. 系统误差和随机误差系统误差是由于测量仪器的固有缺陷、环境条件的变化等因素引起的，它们对测量结果产生恒定的偏差。
而随机误差是由于测量过程中不可避免的各种随机因素引起的，它们对测量结果产生不确定的影响。
2. 绝对误差和相对误差绝对误差是指测量结果与真实值之间的差异的绝对值，它可以用来评估测量结果的准确性。
相对误差是指绝对误差与测量结果的比值，它可以用来评估测量结果的相对准确性。
3. 精度和精确度精度是指测量结果的接近程度，它可以通过对多次测量结果的统计分析来评估。
精确度是指测量结果的稳定性和一致性，它可以通过对同一样本进行多次测量来评估。
二、测量数据处理的基本方法测量数据处理是指对测量数据进行分析、处理和解释的过程。
它包括数据的整理、数据的可视化、数据的统计分析等步骤。
1. 数据的整理数据的整理是指将原始数据进行清洗、筛选和整理，以便后续的分析和处理。
这包括去除异常值、填补缺失值、标准化数据等操作。
2. 数据的可视化数据的可视化是指将数据以图表或图像的形式展示出来，以便更直观地理解数据的分布、趋势和关系。
常用的可视化方法包括直方图、散点图、折线图等。
3. 数据的统计分析数据的统计分析是指对数据进行统计特征、相关性、回归分析等统计方法的应用。
通过统计分析，可以得到数据的均值、标准差、相关系数等指标，从而对数据进行更深入的理解。
4. 数据的模型建立数据的模型建立是指根据测量数据的特征和目标需求，建立数学模型来描述数据的变化规律。
对实验数值误差理论和数据处理
9 平均值的有效数字位数，通常和测量值相同。 当样本容量较大，在运算过程中，为减少舍 入误差，平均值可比单次测量值多保留一位 数。
3.3实验数据的初步整理
3.3.1实验数据的列表整理
1.数据的归类整理 2.数据的分组整理
3.3.2 分布规律判断的基本方法— —统计直方图
1．统计直方图 为了对某个随机变量的分布规律作出判断，
如0.0121×25.64×1.05782,其0.0121为三 位有效数字，故计算结果宜记0.328
5 在所有计算式中，常数π ，e的数值，以及，1/2等 系数的有效数字位数，可以认为无限制，需要几位 就可以取几位。
6 在对数计算中，所取对数位数，应与真数的有效数 字位数相等。例如，pH12.25 和 [H+]=5.6×10-13M;
3.误差与数据处理
3．1 误差及其表示方法
误差来源
设备误差 环境误差 人员误差 方法误差
误差分类
系统误差、 随机误差、 过失误差
(1)系统误差
系统误差是由某种确定的因素造成的，使测定 结果系统偏高或偏低；当造成误差的因素不存 在时，系统误差自然会消失。
当进行重复测量时，它会重复出现。系统误差 的大小，正负是可以测定的，至少在理论上说 是可以测定的，系统误差的最重要特性是它具 有‘‘单向性” 。
对于舍去的数据，在试验报告中应注明舍去的原因或所 选用的统计方法。
1)．4d 法检验
根据测量值的正态分布可知，偏差大于3σ的测量 值出现的概率约为0.3％，此为小概率事件，而 小概率事件在有限次实验中是不可能发生的，如 果发生了则是不正常的。
即偏差大于3σ的测量值在有限次检验中是不可能 的，如果出现则为异常值，为过失所致应舍弃。 (概率不超过5%的事件称为小概率事件)。
误差理论与数据处理知识总结
1.1.1 研究误差的意义为：1)正确认识误差的性质，分析误差产生的愿意，以消除或者减小误差2)正确处理测量和试验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据3)正确组织实验过程，合理设计仪器或者选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。
1.2.1 误差的定义：误差是测得值与被测量的真值之间的差。
1.2.2 绝对误差：某量值的测得值之差。
1.2.3 相对误差：绝对误差与被测量的真值之比值。
1.2.4 引用误差：以仪器仪表某一刻度点的示值误差为份子，以测量范围上限值或者全量程为分母，所得比值为引用误差。
1.2.5 误差来源： 1)测量装置误差 2)环境误差 3)方法误差 4)人员误差1.2.6 误差分类：按照误差的特点，误差可分为系统误差、随机误差和粗大误差三类。
1.2.7 系统误差：在同一条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，按一定规律变化的误差为系统误差。
1.2.8 随机误差：在同一测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化的误差称为随机误差。
1.2.9 粗大误差：超出在规定条件下预期的误差称为粗大误差。
1.3.1 精度：反映测量结果与真值接近程度的量，成为精度。
1.3.2 精度可分为：1)准确度：反映测量结果中系统误差的影响程度2)精密度：反映测量结果中随机误差的影响程度3) 精确度：反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度，其定量特征可用测量的不确定度来表示。
1.4.1 有效数字：含有误差的任何近似数，如果其绝对误差界是最末位数的半个单位，那末从这个近似数左方起的第一个非零的数字，称为第一位有效数字。
从第一位有效数字起到最末一位数字止的所有数字，不管是零或者非零的数字，都叫有效数字。
1.4.2 测量结果应保留的位数原则是：其最末一位数字是不可靠的，而倒数第二位数字应是可靠的。
1.4.3 数字舍入规则：保留的有效数字最末一位数字应按下面的舍入规则进行凑整：1)若舍去部份的数值，大于保留部份的末位的半个单位，则末位加一2)若舍去部份的数值，小于保留部份的末位的半个单位，则末位不变3)若舍去部份的数值，等于保留部份的末位的半个单位，则末位凑成偶数。
误差理论与数据处理实验报告.
误差理论与数据处理实验报告姓名：黄大洲学号：3111002350班级：11级计测1班指导老师：陈益民实验一 误差的基本性质与处理一、实验目的了解误差的基本性质以及处理方法二、实验原理（1）算术平均值对某一量进行一系列等精度测量，由于存在随机误差，其测得值皆不相同，应以全部测得值的算术平均值作为最后的测量结果。
1、算术平均值的意义：在系列测量中，被测量所得的值的代数和除以n 而得的值成为算术平均值。
设 1l ，2l ，…,n l 为n 次测量所得的值，则算术平均值121...nin i l l l l x n n=++==∑算术平均值与真值最为接近，由概率论大数定律可知，若测量次数无限增加，则算术平均值x 必然趋近于真值0L 。
i v = i l -xi l ——第i 个测量值，i =1,2,...,;n i v ——i l 的残余误差（简称残差）2、算术平均值的计算校核算术平均值及其残余误差的计算是否正确，可用求得的残余误差代数和性质来校核。
残余误差代数和为：11n niii i v l nx ===-∑∑当x 为未经凑整的准确数时，则有：1nii v==∑01）残余误差代数和应符合：当1n ii l =∑=nx ，求得的x 为非凑整的准确数时，1nii v =∑为零；当1nii l =∑>nx ，求得的x 为凑整的非准确数时，1nii v =∑为正；其大小为求x 时的余数。
当1n ii l =∑<nx ，求得的x 为凑整的非准确数时，1nii v =∑为负；其大小为求x 时的亏数。
2）残余误差代数和绝对值应符合： 当n 为偶数时，1ni i v =∑≤2n A; 当n 为奇数时，1ni i v =∑≤0.52n A ⎛⎫- ⎪⎝⎭式中A 为实际求得的算术平均值x 末位数的一个单位。
（2）测量的标准差测量的标准偏差称为标准差，也可以称之为均方根误差。
1、测量列中单次测量的标准差2222121...nini nnδδδδσ=+++==∑式中 n —测量次数（应充分大）i δ —测得值与被测量值的真值之差211nii vn σ==-∑2、测量列算术平均值的标准差：x nσσ=三、实验内容：1．对某一轴径等精度测量8次，得到下表数据，求测量结果。
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2 3
n
Vi 2
i 1
n 1
4 5
n
Vi 2
i 1
n 1
测量列算术平均值的标准差
x
n
（2）别捷尔斯法
1.253
n
Vi
i 1
n n 1
（3）极差法（简便）
极差 n xmax xmin （两者从服从正态分布的 x1 xn 中选出。）
n
（5）三角函数。角度误差 10'' 1'' 0.1'' 0.01''
函数值位数 5 6 7 8
第二章 误差的基本性质与处理
第一节 随机误差
定义：在相同条件下多次重复测量同一量时，以不可预定的 方式变化的（但具有统计规律的）测量误差—随机误 差。（在等精度测量条件下）
一、随机误差产生的原因
1、测量装置方面：零部件配合的不稳定性，零部件的变形， 零件表面油膜不均匀，摩擦等。
Vi
i 1
li
i 1
n
i 1
n
n
0
（2）残余误差代数和绝对值 n Vi 应符合： i 1
当 n 为偶数时，则
n
Vi
i 1
n A；
2
当 n 为奇数时，则
n
Vi
i 1
n 2
0.5
A；
A
为x
末位数
的一个单位。
dn
其中 dn 极差系数（查表）
（4）最大误差法（可应用于单次测量）
真值未知，选取残余误差
Vi
，当服从正态分布。
max
Vi m a x
K
' n
（ ） Vi max xi x
1 Kn
1 （查表）
K n'
当测量列的测量次数较少时，应按“学生氏”分布或称 t 分 布计算。即
lim x ta x
系统误差又可按下列分类： 1、按对误差掌握的程度分 （1）已定系统误差：指误差的绝对值和符号已确定 （2）未定系统误差：指误差的绝对值和符号未确定，但可的出 误差范围。 2、按误差出现规律分 （1）不变系统误差：（指绝对值和符号一定）相当于以定系统误 差。 （2）变化系统误差：（指绝对值和符号为变化）相当于未定系统 误差，但变化规律可知，如线性、周期性等。 （二）随机误差（random error） 在相同测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可 预定方式变化的误差—随机误差。 （三）粗大误差
（式中 ta —置信系数，由给定的置信概率 P 1 a 和自由度 V n 1来确定，具体数值将附表 3（t 分布表）， a 为超出误
差的概率（称显著度或显著水平）常取
a 0.01, 0.02, 0.05 。n 为测量次数。）
对同一测量列，按正态分布和 t 分布分别计算，即使置信概率的
取值相同，但由于置信系数不同，求出的
度、正确度都高，从而准确度亦高。
第四节 有效数字与数据运算
一、有效数字
含有误差的任何近似数，如果其绝对误差界是最末位数的半个 单位，那么从这个近似数左方起的第一个非 0 的数字，称为第一 位有效数字。从第一位有效数字起到列最末一位数字止的所有数 字，无论 0 或非 0，都是有效数字。
二、数字舍入规则（凑整） “四舍六入逢五取偶”
则。令 u ViVi1 v1v2 v2v3 i 1
vn1vn
若 u n 1 2 ，则认为该测量列中含有周期性系统误差。
二、系统误差的特征
系统误差特征是在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的 绝对值和符号保持不变，或在条件改变时，误差按一定的规律变 化。
(a) 无补偿性：影响算术平均值的估计 (b) 可变系统误差影响测量结果分散性的估计 （1）不变系统误差（2）线性变化的系统误差：（3）周期性变化 的系统误差（4）复杂规律变化的系统误差
时，仍有可能存在系统误差，如含定值系统误差，其均值为
0，则 =0。
2、用于发现周期性系统误差。（阿卑—赫梅特准则） 若有一等精度测量列，按测量先后顺序将排列为
v1, v2 , vn 。如存在周期性系统误差，则相邻两残差的差值
vi vi1 ，符号也将出现周期性的正负号变化。用统计准
n1
i 1
n
根据正态分布随机误差的对称性，当 n ， i 0 n
n
所以
x
li
i 1
n
L0
即无限多次测量的算术平均值即为真值
2、残余误差=测量值—平均 即 Vi li x
3、算术平均值的校核方法：
（1）
n
li
x i1 ，
而
n
n
n
n
li
三、系统误差的发现
（一）实验对比法（适用于不变的系统误差）：
（二）残差观察法（适用于发现有规律变化的系统误差）：P36
Vi li x 结论；任一测量值的残差为系统误差与测量
列系统系统误差平均值之差
(无法发现不变系统误差)
（三）残差校核法：
1、用于发现线性系统误差。（马利科夫准则）
将测量列中前 K 个残差相加，后 n-K 个残差相加（当 n 为
—曲线右半部面积重心
B 的横坐标
—右半部面积的平分线的横坐标。
三、算术平均值
1、公理：一系列等精度测量，则 i li L0 。 L0 —真值
n
n
n
随机误差的代数和 i li L0 li nL0
i 1
i 1
i 1
n
n
li i
L0 i1
值误差=示值—真值
r 引用误差=示值误差/测量范围上限
m=ΔXm / Xm
仪器标称范围或量程内的最大绝对误差 / 该标称范围（或量程）上限
有大小，有方向，无单位，相对量程而言。
r 等级 S 级： m≤S%
所产生的最大绝对误差：ΔXm=±Xm×S%
r x 最大相对误差为： x=ΔXm / X=±Xm/ ×S%
精度在数量上可用相对误差表示，如相对误差为 0.01%，可
以说精度为104 。
a：弹着点全部在靶上，但分散。相当于系统误差小而随机误差 大，即精密度低，正确度高。 b：弹着点集中，但偏向一方，命中率不高。相当于系统误差大
而随机误差小，即精密度高，正确度低。 c：弹着点集中靶心。相当于系统误差与随机误差均小，即精密
测量结果 ： X=
+ lim x
lim
x
也不同。
六、不等精度测量（测量次数不同引起的不等精度）
n 精度
可信赖程度 P
n=P
五、测量的极限误差
P—置信概率， 1 P =a—显著度，显著水平
（一）单次测量的极限误差 lim x
P 2
t et2 2dt 2 t
2 0
不同 t 的 t 概率积分值可由附录表 1 查出。
（二）算术平均值的极限误差 lim x
正态分布： lim x t x
t 由 P 决定
t=2.6，P=99%
2
第二节系统误差
一、系统误差产生的原因
（1）测量装置的因素：仪器设计原理的缺陷，如齿轮杠杆 测微仪直线位移和转角不成比例的误差；仪器制造和安装的 不正确，如标尺的刻度误差、刻度盘和指针的安装偏心、仪 器导轨的误差；计量校准后发现的偏差，如标准环规的直径 偏差。 （2）测量环境的因素：测量时的实际温度对标准温度的偏 差，对测量结果可以按确定规律修正的误差等等 （3）测量方法的因素：采用近似的测量方法或近似的计算 公式等所引起的误差； （4）测量人员的因素：由于测量者固有的测量习性，如读 出刻度上读数时，习惯于偏于某一个方向，记录动态测量数据时 总有一个滞后的倾向等。
d
0
方差
2
2
f
d
平均误差
f d 0.7979 4
5
此外由
2 f d 1
2
可解得或然误差为
0.6745 2 3
正态分布曲线以及各精度参数在图中的坐标。
—曲线上拐点 A 的横坐标
2、环境方面：温度、气压、，光照强度、灰尘及电磁场变化。 3、人员方面：瞄准方向的不稳定，读数的不稳定。
二、随机误差的统计特性—正态分布
多数随机误差服从正态分布（不含系统误差和粗大误差），
有以下四个特征；
1、对称性： 2、单峰性： 3、有界性： 4、抵偿性：
随机误差的正态分布规律：
设被测量的真值为 L0 机误差 i 为 i li
偶 数 ， 取 ； K n 2 。 n 为 奇 数 ， K n 1 2 ）
两者相减得差值
。
K
n
K
n
Vi Vj li x lj x
i1
jK 1
i1
jK 1
若 显著不为 0，则认为测量列存在线性系统误差。 =0
修正值=真值—测量值=—绝对误差 c x x0 x
2、
相对误差
绝对误差 真值
绝对误差 测量值
相对误差：（1）有大小、方向（+ —）、无单位。常用%表示。
（2）对于相同的被测量，可用绝对误差评定精度。对于不同的
被测量或不同的物理量，可用相对误差评定精度。
3、引用误差：指的是仪器仪表表示值的相对误差。仪器仪表示