网孔法
电路分析基础 4网孔法
5
4
6
• 独立KVL回路选择： • 方法1. 每选一个回路，让该回路包含新的支路，
选满b-n+1个为止。（如上例中1、3、7回路。） • 方法2. 对平面电路， b-n+1个网孔是一组独立
回路。（如上例中1、2、4回路。）
一、电路分析方法
1、 2b法: （2b个联立方程）
例9 求图示电路的输入电阻（不含受控源）
Ri
Ri 1
例10 求图示单口网络的输入电阻 R。i
i A+
u
RL
B-
解： i u 2i
RL
i u
2i
RL
Ri
u i
RL
结论：对于不含独立源但含有受控源的单口网络可 以等效为一个电阻，而且等效电阻还可能为负值。
X
第二章 电阻电路的基本分析法
本章重点： 1、了解支路分析法 2、熟练掌握网孔分析法 3、熟练掌握节点分析法 4、掌握含运放电路的分析
KCL方程的独立性
对于节点1、 2、 3、 4可列出KCL方程(电流流出
节点取“+”号， 流入取“-”号)为
2
（1） i1 i4 i6 0
1
2
（2） i1 i2 i3 0
1
3
3
（3） i2 i5 i6 0
（4） i3 i4 i5 0
4
5
4
6
有线性代数知识：上述4个方程线性不独立，其 中任意3个方程可组成独立方程组。独立的KCL方程 数为n-1个。
§2. 1 支路分析法
问题：已知b条支路，n个节点的电路 如何求解？有无规范化的方法?
待求变量：b个支路电压、 b个支路电流
2b变量需2b个方程
网孔法与结点法
I1V R 11 U R S 1 114 0 1 16 12A
I2
V1 R2
101A 10
I5
V2 R5
2814A 20
I3V1R 3V212 0 208 09A I6V2 RU 6S621 84 00 12A
I4V1R 4V212 0 208 09A
第5讲 网孔法和结点法
重点： 1、网孔电流和结点电压的定义； 2、网孔电流方程和结点电压方程的列写方法； 3、网孔法和结点法的应用。
2.4 网孔电流分析法
一、网孔电流 定义：
假想的沿网孔环绕流动的电流。
Ia、Ib为两网孔的 网孔电流。
网孔电流与各支路电流的关系：
I1 = Ia I2 = Ia - Ib I3 = Ib
得
G11R1 1R1R 12R 13R 14
1 1112S 41 1020205
G 2 2R 1 3 R 1 4 R 1 5 R 1 6 2 1 0 2 1 0 2 1 0 1 1 0 1 4 S 1 1 11 1
G 12 G 21 (R 3R 4) (2 0 2) 0 1S 0
IS11 R 1 U S1 R 1 IS34 1 16 212A
IS22IS3U RS6621 40 06A
列出结点电压方程为
2 5V1
110V2
12
11
1
0V1
4V2
6
联立解之得 V1 = 10 V， V2 = 28 V
根据I1～I6的参考方向可求得各支路电流为：
4 Ia = 16 -2Ia + 8 Ib = 0
解得网孔电流为：
Ia = 4 A， Ib = 1 A， αIc = 3 A
电路3.4网孔电流法
别用有关结点电压表示：
i1
u1 R1
is1
un1 R1
is1
①
i3
R3
i2
u2 R2
un2 R2
+
us3
i3
u3
us3 R3
un3 us3 R3
-
i4
u4 R4
un1 un2 R4
i5
u5 R5
un2 un3 R5
i6
u6 R6
is6
un1 un3 R6
is6
把支路电流用结点电压表示：
网孔电流法
网孔方程的一般形式(全部顺时)
R I11 m1 R I12 m2 R1m I mm U s11
RI 21 m1
RI 22 m2
RI 2m mm
U s 22
Rm1I m1 R I m2 m2 R I mm mm U smm
其中
Rjj为网孔j的自电阻(取正) Rij为网孔i,j的互电阻(取负)
例 列出图示电路的网孔分析法方程
1Ω
+ 1V -
Im1
0.1Ω 0.5Ω +
3A
1Ω
2V
Im2
Im3
-
(a)网孔2包括一个电流源，且等于网孔电流Im2， 相当于Im2已知，可不列该网孔的KVL方程。 如非要列，必须注意如何在该网孔方程中 考虑该电流源上的电压。
(b)应尽可能使电流源为网孔电流。
例 要点：独立源的处理
-G4Un2+(G4+G5)Un3 =－I
G5
看 成 电
①
增补方程Un1-Un3 = US ①
流 源
（2） 选择合适的参考点
网孔法
经过整理后, 得 其中:
( R1 + R2 ) I m1 − R2 I m 2 = U s1 − U s 2 − R2 I m1+( R2 + R3 ) I m 2 = U s 2 − U s 3
R1+R2、R2+R3分别是网孔 1 与网孔 2 的电阻之和, 称为各
网孔的自电阻。因为选取自电阻的电压与电流为关联参考方向, 所以自电阻都取正号。 －R2是网孔 1 与网孔 2 公共支路的电阻, 称为相邻网孔的互 电阻。互电阻可以是正号, 也可以是负号。当流过互电阻的两个 相邻网孔电流的参考方向一致时, 互电阻取正号, 反之取负号。 Us1-Us2、Us2-Us3分别是各网孔中电压源电压的代数和, 称 为网孔电源电压。凡参考方向与网孔绕行方向一致的电源电压 取负号, 反之取正号。
代入两个节点电流方程中, 经移项整理后得
(1 R1 + 1 R 2 )U1 − 1 R 2 • U 2 = I s1
即
− 1 R 2 • U1 + (1 R 2 + 1 R 3 )U 2 = I s 2
(G1 + G2 )U1 − G2U 2 = I s1
− G2U1 + (G2 + G3 )U 2 = I s 2
I1 = I m1 I 2 = − I m1 + I m 2 I3 = − I m2
选取网孔的绕行方向与网孔电流的参考方向一致。
R1 I m1 + R2 I m1 − R2 I m 2 = U s1 − U s 2 R 2 I m 2 − R2 I m1 + R3 I m 2 = U s 2 − U s 3
设想在每个网孔中都有一个电流沿网孔边界都有一个电流沿网孔边界环流环流其参考方向如图所示其参考方向如图所示这样一个在网孔内环行的假这样一个在网孔内环行的假想电流想电流叫做网孔电流
网孔分析法
例2：用回路分析法求 i 。 6
4
i
4A
2 3V
6 5
3
2
1
2A
3
说明：用回路法时尽可把电流源支路选为连支，
使之未知独立变量数减少。
总结：几种分析方法的比较 （一）分析求解电路时要考虑 1）尽可能用最少的联立方程 2）便于用观察法列写方程 （二）列写方程时需考虑的几个因素
1）平面或非平面网络
4
i1
2S
9V 1S
5
1S
b)含有两个(含两个)以上理想电压源支路时
例3：用节点法求图示电路中的u 。
①
i
5A
②
4V
2S
3S u
③
4S
④
6V
（2）电路含有受控源时
含受控源的电路列节点方程时，先暂时把受控源 当作独立源看待，按独立源列节点方程的方法列出相 应的方程后把控制量用节点电压表示即可。 a)含受控电流源时 例4：列出图示电路的 ①
一)割集方程式的建立过程
第一步：任选一种树并做 基本割集 树支电压 u t1 、ut2、ut5 第二步：对每一基本割集列写 KCL方程式（1）
i1
G1
G5
i5 i3
G3
i2
G2
is1
G4
i4
5
1 2 3
is2
C3
第三步：各支路电压用树支 电压表示（2）
第四步：各支路电流用树支电压 和电导乘积表示式（3） 第五步：将(3)式代入(1)式 并整理
is1
R2 R4
当电路含有电压源串联电阻支路时，可先将该支路 等效变换成电流源并电阻支路后再按规则列写节点方程。
三）含理想电压Leabharlann 、受控源电路的节点分析法(1)
回路法、网孔法、节点法
7
网孔1： R1i1 R2i2 us1 us2
i1
R1
i3 i2 R3
网孔2： R2i2 R3i3 us2 us3
+
R2
+
将i1=im1，i2=im1-im2，i3=im2代入上式
us1_
2021/4/7
5
例2 用回路法求含有受控电压源电路的各支路电流。
1
2
① 将看VCVS作独立源建立方程；
I1+ 2V
_
I2 I3
Ia 3
U2 +
Ib
将②代入①，得
I4 1
+ –3U2
Ic
I5
4Ia-3Ib=2 -3Ia+6Ib-Ic=-3U2
①
2
-Ib+3Ic=3U2
② 找出控制量和回路电流关系。
i u u 4 G4( n1 )n2
i u u 5 G5( n2 )n3
i u u i 6 G6(
n1
) n3
s6
R5
③
i5 i3 R3
+
-- uS3
代入KCL方程，并整理得：
u u u i i (G1 G4 G6)
G n1
4
G n2
6
n3
s1
s6
u u u G4
n1 (G2 G4 G5)
例1 列回路电流方程。
1
15A
1Ω
3Ω
+
+
Uψ/4
_ 10V Uψ_ 2Ω
32
I1=15 I2=Uψ/4 -I1-I2+3I3=10 加： Uψ=2I3 用回路电流表示控制量。
2-3网孔法
网孔电流方程列写规则：
i1
R1
R2 i22 R6
i2 us2 i6
i5 自电阻： 网孔的总电阻。 R5 i11 R11=R1+R5+R4 us1 11 R4 i4 22 R22=R2+R5+R6 us4 33 R33=R4+R6+R3 i33
互电阻：两个网孔公共支路 上的电阻。 网孔电流方程：
解得 i1 =1A， i2 =4A， i3=2A ， u2 =8V u3= i2x 1Ω= 4V
例2.3 – 3 如图2.3 - 4(a)的电路， 求电流ia和电压ub。
解得i1 =1.5A，i2 =2A
最后得：ia= i2 － i1 =0.5 A ub= i2 =2 V
习题2-4
本节重点:
3i1 i2 2i3 7 i1 6i2 3i3 0 i1 3i2 7i3 16
i
+ i1 7V 2Ω i3 3Ω 2Ω + 16V 1Ω i2 2Ω
例2.3 - 1之有伴电流源。
仿真验证 例2.3 - 1 之有伴电流源
“无伴”独立流源的情况 例: 求下图中电流i1、i2.
对每个网孔，列写KVL方程。
us4 i3
R5 i11 R4 i4 i33 R3
us2
us3
整理后得网孔电流方程：
网孔1： i11(R1+R4+R5) + i22R5 +i33R4= us1-us4 网孔2： i22(R2+R5+R6) + i11R5 -i33R6=us2 网孔3： i33(R3+R4+R6) + i11R4 –i22R6= -us3-us4
网孔法和结点法
US6 R6
28 40 10
1 2 A
I4
V1 V2 R4
10 28 20
0 9 A
【例5-5】
下图电路中，已知R1 = 12Ω，R1/= 8Ω，R2 = 10Ω，R3 = 10Ω，Us1 = 100 V，Us2 = 100 V，IS3 = 5 A，各支路电流参考方向如图所示，求各支路电 流。
一、结点电压
定义：
首先选电路中 某一结点作为参考 点（其电位为零）， 其它各结点到参考 点的电压称为该结 点的结点电压（实 际上就是该结点的 电位），一般用V表 示。
图中共有4个结点，选结点4为参 考结点，则V4 = 0，其它各结点到 参考结点的电压（即结点电压）分 别是V1、V2、V3。
结点电压与各支路电流的关系：
解： 以o点为参考结点，则结点1的电位为V1，根
据结点电压方程的一般形式，列出结点电压方 程为
( R1
1
R1'
1 R2
1 R3 )V1
US1 R1 R1'
US2 R2
IS3
V1
U S1 R1 R1'
1
US2 R2
IS3
11
100 100 5 12 8 10
4 A
【例5-6】
电路如下图所示。 已知g = 2 S，求结点电压和 受控电流源发出的功率。
解： 当电路中存在受控电压源时，应增加电压
源电流变量I来建立结点方程。
2V1 – V2 = 6 – I -V1 + 3V2 – V3 = 0 -V2 + 2V3 = gV2 + I
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电路分析基础
150706/07/08班使用办公室：伍舜德楼503
串并联电路的分析梯形网络2016/10/122
受控源负载效应惠斯通电路复习
分析方法网孔分析法12016/10/123含有电流源的网孔分析法2
含有电压源的节点分析法4
节点分析法3
星形-三角形转换5
2016/10/124
2016/10/125
2016/10/126
2016/10/127
2016/10/128
2016/10/129
2016/10/1210
2016/10/1211
2016/10/1212
电路理论的基本定律：欧姆定律基尔霍夫定律网孔分析法（mesh analysis）:----基尔霍夫电压定律（KVL ）----求解未知电流
引言
2016/10/1213
节点分析法（nodal analysis）:----基尔霍夫电流定律（KCL ）----求解未知电压任何线性电路都可以用以上两种方法解决。
网孔分析法：仅适用于平面电路（planar）。
所谓平面电路是指没有交叉支路相互连接的电路，可以画在一
个平面上
网孔分析法
2016/10/1214
重画电路
非平面电路（nonplanar）。
2016/10/1215
网孔电流（mesh current）
流经网孔的电流。
网孔电流并不一定对应于任何实际流经
电路的课测量的物理电流。
网孔分析法采用KVL 求出给定电路的网孔电流的方法，又称为回路分析法网孔：内部不包含任何其他回路的一条回路。
2016/10/1216
网孔分析法的三个步骤
1.定义n个网孔电流i 1, i 2,… i n
2.对n个网孔分别应用KVL ，并根据欧姆定律用网孔电流表示
各个电压；3.求解n 个联立方程，得到网孔电流
3.求解n 个联立方程得到网孔电流
2016/10/1217 2
2321312322212313121311100V i R R i R i i R V i R V i R i R R i i R i R V 1.定义2个网孔电流i 1, i 2方向为顺时针2.对2个网孔分别应用KVL ，并根据欧姆定律用网孔电流表示
各个电压；
2016/10/1218
2
23213123131V i R R i R V i R i R R 写成矩阵形式 2121323331V V i i R R R R R R
N N NN N N N N v v v i i i R R R R R R R R R 2121212222111211V RI 2016/10/1219
•R kk 为网孔K中各电阻之和•R jk =R kj 为网孔K 和网孔J 公共电阻之和的相反数，且j k •i k 为网孔K中顺时针方向的未知网孔电流•V k 为网孔K中沿顺时针方向的所有独立电压源的代•数和，以电压升为正；
3
21I I I
电路如图所示，求电流2016/10/1220课堂练习
答案：1A 1A 0A
3
21I I I
电路如图所示，求电流2016/10/1221
课后练习
答案：0.667A 0A
Figure 7.133
21I I I
电路如图所示，求电流
2016/10/1222
课后练习
答案：1.2564A 0.3333A 0.0256A i0=0.9231A
Figure 7.140
I
电路如图所示，求电流
2016/10/1223
课后练习
答案：1.667A
Figure 7.152
1I I
电路如图所示，求电流2016/10/12
24
答案：0.8A -0.9A
Figure 7.160
V
电路如图所示，求电流2016/10/1225
课后练习
答案：2.4v
含有电流源的网孔分析法
情况一电流源仅存在一个网孔中
2016/10/1226
情况二
电流源存在于两个网孔之间
2016/10/1227超网孔：将电流源和与之串联的元件去除后，得到一个超网孔。
当两个网孔之间存在一个电流源（受控源或者独立源）时，会产生一个超网孔
2016/10/1228
2016/10/1229
节点分析法
节点分析法采用KCL 求出给定电路的节点电压的方法节点分析法的三个步骤2016/10/12301.选取一个节点作为参考节点，为其余N-1个节点分配电压。
这些电压均为相对于参考节点的电位2. 对n-1各非参考节点分别应用KCL列出方程，用欧姆定律将
各支路电流用节点电压来表示（不要对参考节点用KCL ）3.求解得到的线性方程组从而求得未知的节点电压。
1-n 20.......V V V
2121I I I I s s 322I I I s
2016/10/12
31。