兰交课件系统辨识 第2章(输入信号的设计与选择)
合集下载
《系统辨识》课件
用时域法建模：输入信号为非周期的。 主要采用阶跃和方波（近似脉冲）函数。 用频域法建模：输入信号用周期的。 主要用正弦波，二进制周期函数。它们又分为单频 和多频（组合正弦波及周期方波）
23
第二章
过渡响应法和频率响应法
§21 过渡响应法（时域法） 采用非周期试验信号，通过系统的动态响应研究系 统的模型。 一、非参数模型的辨识 在时域中建立线性系统非参数模型时，用很简便的 方法就可得到脉冲响应曲线，阶跃响应曲线、方波响应 曲线或它们的离散采样数据表。 脉冲响应：可以采用幅值相当大，宽度很窄的方波 来近似δ 函数 。 对于线性系统，脉冲响应，阶跃响应和方波响应之 24 间是可以相互转换的。
过程的非线性与时变性（有助于模型类的选择）
噪声水平（以便用多大的输入，使得观测量有多
大的信噪比）
变量之间的延迟（滞后环节参数） 2）输入信号的选择（阶跃、方波、脉冲、PRBS）。
16
第一章
概
述
3）采样速度的选择（要采集数据就有采样速度选择 问题）。实际上先采用较短的采样间隔，在数据分析时， 可根据需要隔几个取一个数据。 4）试验长度的确定（试验时间问题）。辨识精度与 试验时间的长短有关。 2、模型结构确定 根据辨识的目的及对被辨识系统的先验知识，确定
系统辨识
电气工程与自动化学院 陈 冲
1
课程主要内容
第一章
第二章 第三章 第四章 第五章
概
述
过渡响应法和频率响应法 辨识线性系统脉冲响应函数的相关分析法 线性系统参数估计的最小二乘法 线性系统的状态估计法
结束
2
第一章
一、建模的必要性 二、模型 三、建模方法
概
述
四、系统辨识的内容（或步骤）
23
第二章
过渡响应法和频率响应法
§21 过渡响应法（时域法） 采用非周期试验信号，通过系统的动态响应研究系 统的模型。 一、非参数模型的辨识 在时域中建立线性系统非参数模型时，用很简便的 方法就可得到脉冲响应曲线，阶跃响应曲线、方波响应 曲线或它们的离散采样数据表。 脉冲响应：可以采用幅值相当大，宽度很窄的方波 来近似δ 函数 。 对于线性系统，脉冲响应，阶跃响应和方波响应之 24 间是可以相互转换的。
过程的非线性与时变性（有助于模型类的选择）
噪声水平（以便用多大的输入，使得观测量有多
大的信噪比）
变量之间的延迟（滞后环节参数） 2）输入信号的选择（阶跃、方波、脉冲、PRBS）。
16
第一章
概
述
3）采样速度的选择（要采集数据就有采样速度选择 问题）。实际上先采用较短的采样间隔，在数据分析时， 可根据需要隔几个取一个数据。 4）试验长度的确定（试验时间问题）。辨识精度与 试验时间的长短有关。 2、模型结构确定 根据辨识的目的及对被辨识系统的先验知识，确定
系统辨识
电气工程与自动化学院 陈 冲
1
课程主要内容
第一章
第二章 第三章 第四章 第五章
概
述
过渡响应法和频率响应法 辨识线性系统脉冲响应函数的相关分析法 线性系统参数估计的最小二乘法 线性系统的状态估计法
结束
2
第一章
一、建模的必要性 二、模型 三、建模方法
概
述
四、系统辨识的内容（或步骤）
第1-2章系统辨识的基本概念和随机过程
瑞典Linkoping大学 Lennart Ljung 教授 （英文版）
国内 方崇智、肖德云，《过程辨识》，清华大学出版社 （TP13/88） 韩光文， 系统辩识，华中理工大学出版社 夏天长，《 最小二乘法》， 清华/国防出版社 （TP11/16,TP11/46） MATLAB-ID TOOL BOX
以图形式或表格的形式来表现过程的特性
也称非参数模型
25
26
（4）数学模型 用数学结构的形式来反映实际 过程的行为特点
代数方程 微分方程 差分方程 状态方程 ……
27
代数方程：经济学上的Cobb-Douglas 生产关系模型
Y ALa1 K a2 , a1 0, a2 1
4
系统辩识的先导性工作可以追溯到16世纪德国天文学家开普勒和德国数 学家高斯的工作，他们分别根据观测数据，建立了行星运动的数学模型。
1960在莫斯科召开的国际自动控制联合会学术会议（IFAC， International Federation of Automation Control ）上，系统辨识问 题受到人们的普遍重视，但提交的论文不多。此后，有关论文和学术交 流迅速增加，成为后二十年来最活跃的一个自动控制领域。1967年起， IFAC决定每三年举办一次国际“辨识和系统参数估计”专题讨论会，第 八界学术讨论是1988在北京举办的，一次提交论文就在600之多，录用 480篇。
（3）计算机技术快速发展。
计算机运算速度越来越快，建模分析软件功能越来越强大，使 得系统辨识的各种复杂算法能付诸于实践和实际系统建模应用。
12
系统辨识当前发展的新热点
* 非线性系统辨识（机器人）；
* 快时变与有缺陷样本的辨识； * 生命、生态系统的辨识； * 辨识的专家系统与智能化软件包的开发； * 基于模糊理论、神经网络、小波变换的辨识方 法； * 系统辨识与人工智能、人工生命、图象处理、 网络技术和多媒体技术的结合。
系统辨识原理及其应用(第二章)
系统辨识原理及其应用
韩 华 中南大学信息院
第2章 传递函数的辨识
经典的传递函数辨识方法可以分为时域法和频率域法 两种。
2.1传递函数辨识的时域法
2.1.1一阶惯性滞后环节的辨识 2.1.2二阶自衡对象的辨识 2.1.3二阶欠阻尼自衡对象的辨识 2.1.4高阶自衡对象的辨识 2.1.5自衡等容对象的辨识 2.1.6无自衡对象的辨识 2.1.7面积法
2.1传递函数辨识的时域法
传递函数辨识的时域法包括阶跃响应法、脉冲响 应法和矩形脉冲响应法等，其中以阶跃响应法最 为常用。阶跃响应法利用阶跃响应曲线对系统传 递函数进行辨识，阶跃响应曲线即输入量作阶跃 变化时，系统输出的变化曲线。在工业工程控制 系统的辨识中，阶跃响应曲线又常被称为飞升曲 线或系统的飞升特性。如果系统不含有积分环节 ，那么阶跃输入下，系统的输出将渐进于一新的 稳定状态，称系统具有自平衡特性，或称为自衡 对象。否则，系统 称为无自衡对象，输出无限地 扩大或减小，说明系统至少有一个纯积分环节。
用阶跃响应辨识的传递函数有以下几种形式：
Ke −τ s G(s) = Ts + 1 Ke −τ s G(s) = (T1s + 1)(T2 s + 1) Ke −τ s G(s) = (T1s + 1)(T2 s + 1)(T3s + 1) Ke −τ s G(s) = (Ts + 1) n Ke −τ s G(s) = s(T1s + 1) n (1) (2) (3) (4)
ln y (t ) − 1 − Ae
− t T1
= ln B − t T2
− t T1
(26)
采用同样的方法可得到 B 和 T2 。y (t ) − 1 − Ae 同理可得 C 和 T3 。 最后:
韩 华 中南大学信息院
第2章 传递函数的辨识
经典的传递函数辨识方法可以分为时域法和频率域法 两种。
2.1传递函数辨识的时域法
2.1.1一阶惯性滞后环节的辨识 2.1.2二阶自衡对象的辨识 2.1.3二阶欠阻尼自衡对象的辨识 2.1.4高阶自衡对象的辨识 2.1.5自衡等容对象的辨识 2.1.6无自衡对象的辨识 2.1.7面积法
2.1传递函数辨识的时域法
传递函数辨识的时域法包括阶跃响应法、脉冲响 应法和矩形脉冲响应法等，其中以阶跃响应法最 为常用。阶跃响应法利用阶跃响应曲线对系统传 递函数进行辨识，阶跃响应曲线即输入量作阶跃 变化时，系统输出的变化曲线。在工业工程控制 系统的辨识中，阶跃响应曲线又常被称为飞升曲 线或系统的飞升特性。如果系统不含有积分环节 ，那么阶跃输入下，系统的输出将渐进于一新的 稳定状态，称系统具有自平衡特性，或称为自衡 对象。否则，系统 称为无自衡对象，输出无限地 扩大或减小，说明系统至少有一个纯积分环节。
用阶跃响应辨识的传递函数有以下几种形式：
Ke −τ s G(s) = Ts + 1 Ke −τ s G(s) = (T1s + 1)(T2 s + 1) Ke −τ s G(s) = (T1s + 1)(T2 s + 1)(T3s + 1) Ke −τ s G(s) = (Ts + 1) n Ke −τ s G(s) = s(T1s + 1) n (1) (2) (3) (4)
ln y (t ) − 1 − Ae
− t T1
= ln B − t T2
− t T1
(26)
采用同样的方法可得到 B 和 T2 。y (t ) − 1 − Ae 同理可得 C 和 T3 。 最后:
信号与系统PPT课件(共9章)第2章连续时间信号的时域分析
f (t) Kf1(t)
36
2.4 信号的运算
3. 信号的反褶、时移、尺度变换
（1）反褶运算
f (t) f (t) 以 t = 0为轴反褶
f(t) 1
f(-t) 1
-1
1
（2）时移运算
f (t) f (t t0 )
t -1
1
t
t0>0时，f(t)在 t 轴上整体右移
t0<0时，f(t)在 t 轴上整体左移 37
15
2.2 常用连续时间信号
5. 单位斜变信号
斜变信号指的是从某一时刻开始随时间正比例增长的 信号。其表达式为
R(t
)
t 0
t0 t0
(2.2 9)
R(t
t0
)
t 0
t0
t t0 t t0
(2.2 10)
R(t)
R(t–t0)
1
1
0
1
t
0
t0
t0+1 t
16
2.3 奇异信号
1. 单位斜变信号 2. 单位阶跃信号 3. 单位冲激信号 4. 冲激偶信号 重点：阶跃信号和冲激信号 难点：冲激信号
A
Aet ( 0)
Aet ( 0)
0
t
8
2.2 常用连续时间信号
常见的指数信号是单边指数衰减信号，其表达式为
f
(t)
Ae t
t0
(2.2 2)
0
t0
式中， >0。其波形如下图所示：
1
通常将τ称为指数信 号的时间常数 ，表示
指数信号的衰减速度， 具有时间量纲。
重要特性：指数信号的微分或积分，仍然是指数信号。
28
36
2.4 信号的运算
3. 信号的反褶、时移、尺度变换
（1）反褶运算
f (t) f (t) 以 t = 0为轴反褶
f(t) 1
f(-t) 1
-1
1
（2）时移运算
f (t) f (t t0 )
t -1
1
t
t0>0时，f(t)在 t 轴上整体右移
t0<0时，f(t)在 t 轴上整体左移 37
15
2.2 常用连续时间信号
5. 单位斜变信号
斜变信号指的是从某一时刻开始随时间正比例增长的 信号。其表达式为
R(t
)
t 0
t0 t0
(2.2 9)
R(t
t0
)
t 0
t0
t t0 t t0
(2.2 10)
R(t)
R(t–t0)
1
1
0
1
t
0
t0
t0+1 t
16
2.3 奇异信号
1. 单位斜变信号 2. 单位阶跃信号 3. 单位冲激信号 4. 冲激偶信号 重点：阶跃信号和冲激信号 难点：冲激信号
A
Aet ( 0)
Aet ( 0)
0
t
8
2.2 常用连续时间信号
常见的指数信号是单边指数衰减信号，其表达式为
f
(t)
Ae t
t0
(2.2 2)
0
t0
式中， >0。其波形如下图所示：
1
通常将τ称为指数信 号的时间常数 ，表示
指数信号的衰减速度， 具有时间量纲。
重要特性：指数信号的微分或积分，仍然是指数信号。
28
第二章 (4)教材配套课件
3． 时移特性
若 f (t) F单(j击) ，此则处编辑f (t母 t版0 ) 文本F(样j)式e jt0
(2-11)
第物二理级意义： 时域中的时移，在频域中反映为在原频谱函
数F(jω第)三基级础上附加一个相移函数 e jt0 。
4． 频第移四特级性
若 f (t) F(j) ，则 第五级 f (t) e j0t F[j( 0 )]
由欧拉公式，第得五e级jct e jct 2 cosct ，因此
f
(tt [e jct ejct ]
2 A0
Sa 0t cos ct
第1章 西绪安电子科论技大学出版社
XIDIAN UNIVERSITY PRESS
5． 调制定理
第1章 西绪安电子科论技大学出版社
XIDIAN UNIVERSITY PRESS
第2章 确知信号与随机信号分析
单击此处编辑母版文本样式 第二级2.1 确知信号分析
第三2.级2 随机信号分析 2第.3四级 确定性信号与随机信号通过线性系统 2.4 第五窄级带随机过程概述
2.5 余弦波加窄带高斯随机过程
随机信第号四：级当给定一个时间值时，取值不确定，只知其取某
一数值的概率的信号。
第五级
2． 周期信号与非周期信号
若满足x(t)=x(t+T0)，则称为周期信号，T0为周期；若不满足
上述关系，则称为非周期信号。
第1章 西绪安电子科论技大学出版社
XIDIAN UNIVERSITY PRESS
3． 能量信号与功率信号
第五E 级
f
2 (t) d
t
S
lim
1
《系统辨识》第二章
6
(1) 乘同余法
首先，用递推同余式产生正整数序列{xi}，即
x i A x i 1 (m o d M ) , i 1, 2 , 3
M为2的方幂，即M=2k，k为大于2的整数； A≡3或A≡5（mod8），且A不能太小； 初值x0取正奇数。 再令
i
xi M
, i 1, 2 , 3,
18
19
2
1 0
( i ) p ( i ) d i
2
如 果 ~ N ( , )是 要 产 生 的 正 态 分 布 随 机 变 量 ， 经标准化处理，则
2
~ N ( 0 ,1)
9
则有
+
i 1
N
i
N 12
N 2
其 中 i 为 （ 0， 均 与 分 布 随 机 数 ； 1）
15
二电平M序列的产生
由于M序列对时间是离散的，而输入需要对时间连续， 所以在实际应用中，总是把状态为“0”和 “1”的M序列变换 成幅度为+a和-a的二电平序列，其中“0”对应高电平+a， “1”对应低电平-a。这种对时间连续的序列称为二电平M序 列 111100010011010
+a
0 2△ -a
（2）输入信号对系统的“净扰动”要小，即应使正负向 扰动机会几乎均等； （3）工程上要便于实现，成本低。
2
2.1白噪声序列及其产生方法
白噪声过程是一种最简单的随机过程。它是一种均值为0、谱密度 为非0常数的平稳的随机过程。 白噪声过程没有“记忆性”。
定义：如果随机过程ω(t)的均值为0，自相关函数为： Rω(t)=σ2δ(t)
(1) 乘同余法
首先，用递推同余式产生正整数序列{xi}，即
x i A x i 1 (m o d M ) , i 1, 2 , 3
M为2的方幂，即M=2k，k为大于2的整数； A≡3或A≡5（mod8），且A不能太小； 初值x0取正奇数。 再令
i
xi M
, i 1, 2 , 3,
18
19
2
1 0
( i ) p ( i ) d i
2
如 果 ~ N ( , )是 要 产 生 的 正 态 分 布 随 机 变 量 ， 经标准化处理，则
2
~ N ( 0 ,1)
9
则有
+
i 1
N
i
N 12
N 2
其 中 i 为 （ 0， 均 与 分 布 随 机 数 ； 1）
15
二电平M序列的产生
由于M序列对时间是离散的，而输入需要对时间连续， 所以在实际应用中，总是把状态为“0”和 “1”的M序列变换 成幅度为+a和-a的二电平序列，其中“0”对应高电平+a， “1”对应低电平-a。这种对时间连续的序列称为二电平M序 列 111100010011010
+a
0 2△ -a
（2）输入信号对系统的“净扰动”要小，即应使正负向 扰动机会几乎均等； （3）工程上要便于实现，成本低。
2
2.1白噪声序列及其产生方法
白噪声过程是一种最简单的随机过程。它是一种均值为0、谱密度 为非0常数的平稳的随机过程。 白噪声过程没有“记忆性”。
定义：如果随机过程ω(t)的均值为0，自相关函数为： Rω(t)=σ2δ(t)
信号与系统第2章ppt课件
(B) u(t)Limetu(t) 0
假设u(t)的傅立叶变换为：
F ()A ()jB ()
e t u (t ) 的傅立叶变换为 ：
依据傅立叶变换具有唯一性：
F e()A e()jB e()
F()li m0Fe()
所以
A()li m0Ae()精选pBpt()li m0Be()
第二章 傅立叶变换
F ()A ()jB () A()li m0Ae() B()li m0Be()
，这种频谱搬移技术在通信系统中
得到广泛的应用。调幅，调频都是
在该基础上进行的。
精选ppt
由此可见，将时间信号f(t)乘以Cs(ω0t) 或Sin(ω0t)
，等效于将f(t)的频谱一分
为二，即幅度减小一半，沿
频率轴向左和向右各平移ω0.
第二章 傅立叶变换
例2 求如下矩形调幅信号的频谱函数
f(t) G (t)c o s 0 t
例7 如图a所示系统，已知乘法器的输入为
f (t) sin(2t) s(t)co3st)(
t
系统的频率响应为：
求输出y(t).
精选ppt
第二章 傅立叶变换
f (t) sin(2t) s(t)co3st)(
t
乘法器的输出信号为： x(t)f(t)s(t)
依频域卷积定理可知：X(j)21F(j)*S(j) 这里 f(t)F(j) s(t)S(j)
精选ppt
第二章 傅立叶变换
11周期信号的傅里叶变换
周期信号的频谱------用傅里叶级数表示。 非周期信号的频谱——用傅里叶变换表示。 周期信号的频谱可以用傅里叶变换表示吗？ （1）正弦、余弦信号的傅里叶变换 直流信号的博立叶变换为
系统辨识原理及其应用(第二章)
ϕ (ω ) : 相频特性
若输入信号为： (t ) = a u sin(ωt + θ 1 ) u 对于线性系统，其输出为： y (t ) = a y sin(ωt + θ 2 )
1.周期测试信号 采用周期测试信号测定被识对象的频率特性时,所有的测量都应 在过程已经处于稳定状态下进行,即由于初始条件等所产生的过 渡过程均已消失.
τ0
2.1.1一阶惯性滞后环节
根据拉氏变换可知，其阶跃响应曲线是一条负指数规律上升的曲
Ke G(s) = Ts + 1
−τ s
0, 0 < t <τ ⎧ ⎪ y (t ) = ⎨ t −τ − ⎪ K ⋅ ΔU (1 − e T ), t ≥ τ ⎩
将阶跃响应曲线化为无因次 s (t ) = y (t ) y (∞) 即新的终值为 y (∞) = 1 。 下文的阶跃曲线都为无因次阶跃曲
(7)
对于无自衡对象（传递函数
Y ( s) = G ( s) ⋅U ( s)
G(s)
dy (∞) y (∞)不存在,但是 =y′(∞)存在 dt y′(∞) = lim s 2 ⋅ Y ( s ) = lim s 2 ⋅ G ( s ) ⋅ U ( s ) = K ⋅ ΔU ( s )
s →0 s →0
∗
T T t 。令T1 ∗ = 1 ，T2 ∗ = 2 ，于是 2T 2T 2T
∗
t t − − T1∗ T2∗ ∗ y (t ∗ ) = 1 + e T1 + e T2∗ T2∗ − T1∗ T2∗ − T1∗
(14)
令Δ = T1∗ − T2∗，于是T1∗ = 1 + Δ −t ∗ 2 y (t ) = 1 + e 1+Δ 2Δ
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
0
(2.3.9)
系统辨识模拟方块图如图2.5所示。由于x(t)和 不相关，故 和 不相关，积分器输出 为 。（相关法）
相关法的优缺点：
优点： 不要求系统严格地处于稳定状态 输入的白噪声对系统的正常工作影响不大 对系统模型不要求验前知识 缺点： 噪声的非平稳会影响辨识精度 用白噪声作为输 入 信号时要求较长的观测时 间
( i 6)
i 1 12
（2.2.21）
（2）变换抽样法：设 均匀分布随机变量，则
是2个互相独立的（0，1）
1 2 1 ( 2 ln 1 ) cos 22 1 2 (2 ln 1 ) 2 sin 22
是相互独立、服从N(0,1)分布的随机变量。
交换律
分配律
0
1 1
1
0 1
1
1 0
2.3.2 M序列的产生
设有一无限长的二元序列x1 x2 … xp xp+1 …
x i a1 x i 1 a 2 x i 2 a p x i p
i=p+1,p+2,…
a1，a2，…ap-1取值为0或1；系数ap为1
)
采用极大似然法辨识时，如果辨识方法使得 模型参数的估计值是渐近有效的，最优输入信号 就是使Fisher信息矩阵的逆达到最小的一个标量函 数。这个标量函数可以作为评价模型精度的度量 函数，记作
J (M
1
)
（2.1.1）
T
Mθ是Fisher信息矩阵，且
ln L ln L M E y| (2.1.2)
2.2.2 白噪声序列
白噪声过程的一种离散形式。如果随机序列 均值为0，并且是两两不相关的，对应的自相关函数 为
R (l ) l , l 0,1,2, （2.2.7）
2
式中
为克罗内克（kronecker） 符号，即
1, l 0 l 0, l 0
（2.2.8）
2.3 伪随机二位式序列—M序列的产生及性质
白噪声作为辨识输入信号可以保证获得较 好的辨识效果，但工程上难以实现。M序列是 一种很好的辨识输入信号，它具有近似白噪声 的性质，不仅可以保证有较好的辨识效果，而 且工程上又易于实现。 M序列是伪随机二位式序列的一种形式,自 相关函数接近脉冲函数，输入净扰动小；幅值、 周期时钟节拍易控制。
2.3.2 M序列的产生
（2.2.2）
且
(t )dt 1
数
白噪声过程w(t) 的平均功率谱密度为常 ，即
S w ( ) ,
2
可见，白噪声过程的功率在 的全频 段内均匀分布。 白噪声只是一种理论上的抽象，在物理 上是不可实现的。在实际应用中，如果Rw(t) 接近δ函数，可近似认为该过程是白噪声。
1 N
u (k i) 1, i 1,2,, n
2 k 1
N
（2.1.3）
式中：n是模型阶次；N为数据长度。
使D-最优准则达到最小值，即
J D ln det( M ) min
（2.1.4）
的输入信号称为D-最优输入信号。 如果系统的输出数据序列是独立同分布的高斯随 机序列，则D-最优输入信号是具有脉冲式自相关函数 的信号，即
用
乘以式（2.3.2）等号两边得
应函数g(τ) y(t 。 E[ x(t )
Rxy (x( E[ ) t
1
)] ( ) E[ ) t1 K ( 2 ) 2 Rx ( 1 K ( ),0Rg( x( ) xt( )]d ) x
)0y (t( ) KR t 2 ) ) Kg ( ) g 2 )] ( xy ( d t1
乘同余法得到的{Xi}服从均匀分布。除以M则为[0，1] 均匀分布。 是伪随机数序列，循环周期可达 。 周期为2k-2
（2）混合同余法。混合同余法产生伪随机数的递推同 余式为
混合同余
式中： A=2n+1，，k为大于2的整数； 2≤n≤34， 即 M=2k ,，其中n为满足关系式 k>2 c正整数，X0非负整数 c为正整数。初值 为非负整数。令
2
~ N (0,1)
（2.2.18）
比较式（2.2.17）和（2.2.18），则有
2
i
i 1
N
N 2
（2.2.19）
N 12
i 1
N
i
N
N 2
12
（2.2.20）
式中： 为（0，1）均匀分布随机数； 为 正态分布随机数。当N=12时， 的统计特性即可比 较理想，这时式（2.2.20）可简化为
（2.3.8）
τ表示2个数值间的采样周期个数， τ =0，1，2，…，
如果在系统正常运行时进行测试，则系统的输入 由正常输入 和白噪声x(t)两部分组成，输出由 和y(t)组成，其中 为由 引起的输出，y(t) 为由x(t)引起的输出，并且
y (t ) g ( ) x (t )d
注：如果采用周期为T的伪随机噪声作为输入，则可使 自相关函数和互相 关函数的计算变得简单。
2.3.2 M序列的产生
M序列的产生
模2和运算 结合律
Z X Y
X 0
Y 0
Z 0
X 1 ( X 2 X 3 ) ( X 1 X 2 ) X 3
X Y Y X
a( X Y ) a X a Y ( X Y )a
2
1 2
1 12
Var i
(
i
) p ( i )d i
根据中心极限定理，当
i N *
x
i 1 N
时
i
N
N 2 ~ N (0,1)
N
2
i 1
（2.2.17）
N 12
如果 是所要产生的正态分布随机变量，经 标准化处理，则
2.3.1 伪随机噪声
用伪随机噪声作为输入信号，自相关函数和互相 关函数的计算都比采用白噪声时简单。 对一个SISO系统：
y (t ) g ( ) x(t )d
0
设 是均值为0的平稳随机过程，则 也是均 值为0的平稳随机过程。对于时刻 ，系统的输出可 记为 y (t2 ) g ( ) x(t 2 )d (2.3.2)
上式中，y表示系统输出观测数据的集合，L为所选取 的似然函数。
常选用的标量函数形式有
J tr ( M )
1
( A最优准则 )
J det( M )
J tr (WM )
1
1
(D-最优准则)
W为非负矩阵。根据所选用的标量函数形式可求出 不同的最优输入信号。
对D-最优准则有如下结论（Goodwin and Payne,1977）:如果模型结构是正确的，且参 数估计值 是无偏最小方差估计，则参数估计 值 的精度通过Fisher信息矩阵 依赖于输 入信号。 当输入信号的功率约束条件为
（2.2.10）
由于计算机的字长有限，不可能产生真正的连续 （0，1）均匀分布随机数。通常用数学方法产生的 （0，1）均匀分布随机数叫做伪随机数。具有速度 快、占用内存小等优点。 伪随机数的产生方法有：乘同余法和混合同余法。
(1)乘同余法。这种方法先用递推同余式产生正整数 序列 ，即
（2.2.11） 乘同余法： 式中：M为2的方幂，即 ，k为大于2的整数； Xi=(A Xi-1)(mod M) M=2k ，k>2的整数 或 ，且A不能太小；初值 取 A乘以Xi-1，再除以M，余数即为Xi 正奇数，例如取 =1。 A=3(mod 8) 或 A=5(mod 8) 再令 即A为除8余3或余5的数，不能太小，可取179。 （2.2.12） X0取正奇数 则
适当选取a1，a2，…ap-1,使序列以（2P-1）的最 长周期循环－>M序列。
2.3.2 M序列的产生
+ + + + +
xi c1 移位脉冲CP 置初始状态
a1
a2
ap-2
ap-1
xi-p c2 ... xi-2 xi-p+2 cp-1 xi-p+1 cp
xi-1
CP C1
C2 0
C3 1
C4 0
ξi=Xi/M 周期为2k的伪随机数
Xi=A Xi-1+c (mod M)
（2.2.13）
的整数；
则
是循环周期为
(2.2.14) 的伪随机数序列。
（二）正态分布随机数的产生 （1）统计近似抽样法:设 布的随机数序列，则有
E i
2
是（0，1）均匀分
0
1 0
1
i
p ( i )d i
(2.3.7)
0
如果对x(t) 和y(t) 进行间隔采样，可得序列
xi x(t i ), yi y(t i ), i 1,2,..., N 1
设采样周期为Δ，则
xi x(ti ) yi y (ti ) 1 N 1 Rx ( ) xi xi N i 0 1 N 1 Rxy ( ) xi yi N i 0
0
意义： 如果知道了Rx (τ) 和Rxy (τ) ，就可以确定脉冲响应 说明:对于白噪声输入，g (τ)与Rxy(τ)只差一个 x(t1 ) (τ)。 函数gy(t2 ) g ( ) x(t1 ) x(t2 x(t) 与 y(t).3.3) 常数倍。这样，只要记录 )d (2 的值，并计 0 难点：积分方程，难于求解。 对式（2.3.3）等号两边取数学期望得 算它们的互相关函数Rxy(τ) ，即可求得脉冲响 特例：如果输入为白噪声。即
(2.3.9)
系统辨识模拟方块图如图2.5所示。由于x(t)和 不相关，故 和 不相关，积分器输出 为 。（相关法）
相关法的优缺点：
优点： 不要求系统严格地处于稳定状态 输入的白噪声对系统的正常工作影响不大 对系统模型不要求验前知识 缺点： 噪声的非平稳会影响辨识精度 用白噪声作为输 入 信号时要求较长的观测时 间
( i 6)
i 1 12
（2.2.21）
（2）变换抽样法：设 均匀分布随机变量，则
是2个互相独立的（0，1）
1 2 1 ( 2 ln 1 ) cos 22 1 2 (2 ln 1 ) 2 sin 22
是相互独立、服从N(0,1)分布的随机变量。
交换律
分配律
0
1 1
1
0 1
1
1 0
2.3.2 M序列的产生
设有一无限长的二元序列x1 x2 … xp xp+1 …
x i a1 x i 1 a 2 x i 2 a p x i p
i=p+1,p+2,…
a1，a2，…ap-1取值为0或1；系数ap为1
)
采用极大似然法辨识时，如果辨识方法使得 模型参数的估计值是渐近有效的，最优输入信号 就是使Fisher信息矩阵的逆达到最小的一个标量函 数。这个标量函数可以作为评价模型精度的度量 函数，记作
J (M
1
)
（2.1.1）
T
Mθ是Fisher信息矩阵，且
ln L ln L M E y| (2.1.2)
2.2.2 白噪声序列
白噪声过程的一种离散形式。如果随机序列 均值为0，并且是两两不相关的，对应的自相关函数 为
R (l ) l , l 0,1,2, （2.2.7）
2
式中
为克罗内克（kronecker） 符号，即
1, l 0 l 0, l 0
（2.2.8）
2.3 伪随机二位式序列—M序列的产生及性质
白噪声作为辨识输入信号可以保证获得较 好的辨识效果，但工程上难以实现。M序列是 一种很好的辨识输入信号，它具有近似白噪声 的性质，不仅可以保证有较好的辨识效果，而 且工程上又易于实现。 M序列是伪随机二位式序列的一种形式,自 相关函数接近脉冲函数，输入净扰动小；幅值、 周期时钟节拍易控制。
2.3.2 M序列的产生
（2.2.2）
且
(t )dt 1
数
白噪声过程w(t) 的平均功率谱密度为常 ，即
S w ( ) ,
2
可见，白噪声过程的功率在 的全频 段内均匀分布。 白噪声只是一种理论上的抽象，在物理 上是不可实现的。在实际应用中，如果Rw(t) 接近δ函数，可近似认为该过程是白噪声。
1 N
u (k i) 1, i 1,2,, n
2 k 1
N
（2.1.3）
式中：n是模型阶次；N为数据长度。
使D-最优准则达到最小值，即
J D ln det( M ) min
（2.1.4）
的输入信号称为D-最优输入信号。 如果系统的输出数据序列是独立同分布的高斯随 机序列，则D-最优输入信号是具有脉冲式自相关函数 的信号，即
用
乘以式（2.3.2）等号两边得
应函数g(τ) y(t 。 E[ x(t )
Rxy (x( E[ ) t
1
)] ( ) E[ ) t1 K ( 2 ) 2 Rx ( 1 K ( ),0Rg( x( ) xt( )]d ) x
)0y (t( ) KR t 2 ) ) Kg ( ) g 2 )] ( xy ( d t1
乘同余法得到的{Xi}服从均匀分布。除以M则为[0，1] 均匀分布。 是伪随机数序列，循环周期可达 。 周期为2k-2
（2）混合同余法。混合同余法产生伪随机数的递推同 余式为
混合同余
式中： A=2n+1，，k为大于2的整数； 2≤n≤34， 即 M=2k ,，其中n为满足关系式 k>2 c正整数，X0非负整数 c为正整数。初值 为非负整数。令
2
~ N (0,1)
（2.2.18）
比较式（2.2.17）和（2.2.18），则有
2
i
i 1
N
N 2
（2.2.19）
N 12
i 1
N
i
N
N 2
12
（2.2.20）
式中： 为（0，1）均匀分布随机数； 为 正态分布随机数。当N=12时， 的统计特性即可比 较理想，这时式（2.2.20）可简化为
（2.3.8）
τ表示2个数值间的采样周期个数， τ =0，1，2，…，
如果在系统正常运行时进行测试，则系统的输入 由正常输入 和白噪声x(t)两部分组成，输出由 和y(t)组成，其中 为由 引起的输出，y(t) 为由x(t)引起的输出，并且
y (t ) g ( ) x (t )d
注：如果采用周期为T的伪随机噪声作为输入，则可使 自相关函数和互相 关函数的计算变得简单。
2.3.2 M序列的产生
M序列的产生
模2和运算 结合律
Z X Y
X 0
Y 0
Z 0
X 1 ( X 2 X 3 ) ( X 1 X 2 ) X 3
X Y Y X
a( X Y ) a X a Y ( X Y )a
2
1 2
1 12
Var i
(
i
) p ( i )d i
根据中心极限定理，当
i N *
x
i 1 N
时
i
N
N 2 ~ N (0,1)
N
2
i 1
（2.2.17）
N 12
如果 是所要产生的正态分布随机变量，经 标准化处理，则
2.3.1 伪随机噪声
用伪随机噪声作为输入信号，自相关函数和互相 关函数的计算都比采用白噪声时简单。 对一个SISO系统：
y (t ) g ( ) x(t )d
0
设 是均值为0的平稳随机过程，则 也是均 值为0的平稳随机过程。对于时刻 ，系统的输出可 记为 y (t2 ) g ( ) x(t 2 )d (2.3.2)
上式中，y表示系统输出观测数据的集合，L为所选取 的似然函数。
常选用的标量函数形式有
J tr ( M )
1
( A最优准则 )
J det( M )
J tr (WM )
1
1
(D-最优准则)
W为非负矩阵。根据所选用的标量函数形式可求出 不同的最优输入信号。
对D-最优准则有如下结论（Goodwin and Payne,1977）:如果模型结构是正确的，且参 数估计值 是无偏最小方差估计，则参数估计 值 的精度通过Fisher信息矩阵 依赖于输 入信号。 当输入信号的功率约束条件为
（2.2.10）
由于计算机的字长有限，不可能产生真正的连续 （0，1）均匀分布随机数。通常用数学方法产生的 （0，1）均匀分布随机数叫做伪随机数。具有速度 快、占用内存小等优点。 伪随机数的产生方法有：乘同余法和混合同余法。
(1)乘同余法。这种方法先用递推同余式产生正整数 序列 ，即
（2.2.11） 乘同余法： 式中：M为2的方幂，即 ，k为大于2的整数； Xi=(A Xi-1)(mod M) M=2k ，k>2的整数 或 ，且A不能太小；初值 取 A乘以Xi-1，再除以M，余数即为Xi 正奇数，例如取 =1。 A=3(mod 8) 或 A=5(mod 8) 再令 即A为除8余3或余5的数，不能太小，可取179。 （2.2.12） X0取正奇数 则
适当选取a1，a2，…ap-1,使序列以（2P-1）的最 长周期循环－>M序列。
2.3.2 M序列的产生
+ + + + +
xi c1 移位脉冲CP 置初始状态
a1
a2
ap-2
ap-1
xi-p c2 ... xi-2 xi-p+2 cp-1 xi-p+1 cp
xi-1
CP C1
C2 0
C3 1
C4 0
ξi=Xi/M 周期为2k的伪随机数
Xi=A Xi-1+c (mod M)
（2.2.13）
的整数；
则
是循环周期为
(2.2.14) 的伪随机数序列。
（二）正态分布随机数的产生 （1）统计近似抽样法:设 布的随机数序列，则有
E i
2
是（0，1）均匀分
0
1 0
1
i
p ( i )d i
(2.3.7)
0
如果对x(t) 和y(t) 进行间隔采样，可得序列
xi x(t i ), yi y(t i ), i 1,2,..., N 1
设采样周期为Δ，则
xi x(ti ) yi y (ti ) 1 N 1 Rx ( ) xi xi N i 0 1 N 1 Rxy ( ) xi yi N i 0
0
意义： 如果知道了Rx (τ) 和Rxy (τ) ，就可以确定脉冲响应 说明:对于白噪声输入，g (τ)与Rxy(τ)只差一个 x(t1 ) (τ)。 函数gy(t2 ) g ( ) x(t1 ) x(t2 x(t) 与 y(t).3.3) 常数倍。这样，只要记录 )d (2 的值，并计 0 难点：积分方程，难于求解。 对式（2.3.3）等号两边取数学期望得 算它们的互相关函数Rxy(τ) ，即可求得脉冲响 特例：如果输入为白噪声。即