怎样判定三角形全等(4)
三角形全等的判定+性质+辅助线技巧
三角形全等的判定+性质+辅助线技巧都在这里了，请收好！在初中三角形问题集中体现在“全等”和“相似”2大问题上，非常考验大家的解题能力、思维能力、耐性与定力。
有时证不出来，急不可耐、恨它恨的牙痒痒。
王老师这次整理了全等三角形判定、性质，最重要的是后面附上了所有证明全等三角形，包括添加各种辅助线的方法，认真看完这篇文章，保证关于三角形全等所有的题型你都会做！一、三角形全等的判定1.三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)。
2.有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)。
3.有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)。
4.有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)。
5.直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)。
二、全等三角形的性质①全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。
②全等三角形的周长、面积相等。
③全等三角形的对应边上的高对应相等。
④全等三角形的对应角的角平分线相等。
⑤全等三角形的对应边上的中线相等。
三、找全等三角形的方法(1)可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；(2)可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；(3)从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；(4)若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。
三角形全等的证明中包含两个要素：边和角。
缺个角的条件：在初中三角形问题集中体现在“全等”和“相似”2大问题上，非常考验大家的解题能力、思维能力、耐性与定力。
有时证不出来，急不可耐、恨它恨的牙痒痒。
王老师这次整理了全等三角形判定、性质，最重要的是后面附上了所有证明全等三角形，包括添加各种辅助线的方法，认真看完这篇文章，保证关于三角形全等所有的题型你都会做！一、三角形全等的判定1.三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)。
2.有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)。
11 三角形全等的判定(四)HL
11 三角形全等的判定（四)HL基础题训练1．判定两直角三角形全等的方法有__________（填简写)SSS ，SAS ，ASA ，AAS ，HL2．如图，若PB ⊥AB 于B ，PC ⊥AC 于C ，且PB ＝PC ，则AB ＝ __________，理由是__________（填全等三角形及三角形全等的理由)AC △ABP ≌△ACP (HL )A3．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，若AD ⊥BC ，则BD ＝CD ，其判定三角形全等的方法是( )DA ．SASB ．ASAC ．SSSD ．HLB C4．如图，∠A ＝∠D ＝90°，AC ＝DB ，欲证OB ＝OC ，可以先利用“HL ”说明__________得到AB ＝DC ，再利用__________证明△AOB ≌__________得到OB ＝O C ．△ABC ≌△DCB “AAS ” △DOCC5．已知：如图∠B ＝∠E ＝90°，AC ＝DF ，FB ＝E C ．求证：AB ＝DE ．FEC B证：△ABC ≌△DEF (HL )6．如图，四边形ABDC 中，∠ABD ＝∠ACD ＝90°，BD ＝CD ，求证：AD ⊥B C ．C AB证：△ABD ≌△ACD (HL ) △BDE ≌△CDE (SAS )7．如图，已知∠A ＝90°，AB ＝BD ，ED ⊥BC 于D ，求证：DE ＋CE ＝A C ．D证：连BE ． △ABE ≌△DBE (HL )，DE ＝AE ．8．如图，∠ACB ＝∠BDA ＝90°，，若要使△ACB ≌△BDA ，还需添加一个什么条件？把它们写出来(不再添加字母)⑴__________ ，理由__________；AC ＝BD HL⑵__________ ，理由__________；BC ＝AD HL⑶__________ ，理由__________；∠ABC ＝∠BAD AAS⑷__________ ，理由__________；∠BAC ＝∠ABD AAS中组题训练9．如图，AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，AC 、BD 相交于O ，如果AC ＝BD ，那么下列结论中： ①AD ＝BC ；②∠DAC ＝∠CBD ；③OC ＝OD ，其中正确的有( )AA ．①②③B ． ①②C ． ①D ．③10．如图，已知AE ⊥BC 于E ，DF ⊥BC 于F ，AE ＝DF ，AB ＝DC ，AC 与BD 有怎样的关系？你能进行证明吗？E F证：△ABE≌△DCF(HL)，∠ABE＝∠DCF，△ABC≌△DCB(SAS)11．在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，且DE＝DF，求证：AB＝A C．DB证：连AD，△BDE≌△CDF(HL)．BE＝CF．证：△ADE≌△ADF(HL),AE＝AF，AE＋BE＝AF＋CF，故AB＝A C．12．如图，AB＝AE，BC＝DE，AF⊥CD于，∠B＝∠E，求证：AF平分∠BAE．F EBA证：连AC、AD，△ABC≌△AED(SAS) △ACF≌△ADF(HL)13．如图，在平面直角坐标系中，将直角三角形的直角顶点放在点（4，4)处，两直角边与坐标轴交于点A和点B．⑴求OA＋OB的值；P⑵将直角三角形绕点逆时针旋转，两直角边与坐标轴交于点A和点B，求OA－OB的值．解：⑴作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，证∠P AM＝∠PBN，△P AM≌△PBN AB＝BN，OM＝ON，∴OA＋OB＝OM＋ON＝8．⑵作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，证∠P AM＝∠PBO，△P AM≌△PBNAM＝BN，OM＝ON，∴OA－OB＝OM＋ON＝8．。
全等三角形判定经典
11.2三角形全等的判定ABC DEF（1）三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS ”。
表示方法：如图所示，在△ABC 和△DEF 中，AB DEAC DF BC EF=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEF （SSS ）。
例1. 如图所示，AB ＝CD ，AC ＝DB 。
求证：△ABC ≌△DCB 。
A BCD分析：由已知可得AB ＝CD ，AC ＝DB ，又因为BC 是两个三角形的公共边，所以根据SSS 可得出△ABC ≌△DCB 。
证明：在△ABC 和△DCB 中，∵⎩⎨⎧AB ＝CD AC ＝DB BC ＝CB，∴△ABC ≌△DCB （SSS ）评析：证明格式：①点明要证明的两个三角形；②列举两个三角形全等的条件（注意写在前面的三角形，条件也放在前面），用大括号括起来；③条件按照“SSS ”顺序排序；④得出结论，并把判断的依据注在后面。
“ASA ”。
表示方法：如图所示，在△ABC 和△DEF 中，B E BC EF C F∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABC ≌△DEF （ASA ）。
例2. 如图所示，AB ∥CD ，AF ∥DE ，BE ＝CF ，求证：AB ＝CD 。
ABEFCD分析：要证明AB ＝CD ，由于AB 、CD 分别是△ABF 和△DCE 的边，可尝试证明△ABF ≌△DCE ，由已知易证：∠B ＝∠C ，∠AFB ＝∠DEC ，下面只需证明有一边对应相等即可。
事实上，由BE ＝CF 可证得BF ＝CE ，由ASA 即可证明两三角形全等。
证明：∵AB ∥CD ，∴∠B ＝∠C （两直线平行，内错角相等） 又∵AF ∥DE ，∴∠AFC ＝∠DEB （同上） ∴∠AFB ＝∠CED （等角的补角相等）又∵BE ＝CF ，∴BE －EF ＝CF －EF ，即BF ＝CE 在△ABF 和△DCE 中，()()()B C BF CE AFB CED ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩已证已证已证∴△ABF ≌△DCE （ASA ）∴AB ＝CD （全等三角形对应边相等）角边”或“AAS ”。
1三角形全等的判定(第4课时)PPT课件(华师大版)
当堂检测
1．为班级中每名同学准备了长分别为a、b、c三根木条，所有同学都
用三根木条，首尾顺次拼接组成三角形，这时小陈同学说：“我们所
有人的三角形，形状和大小是完全一样的”小陈同学的说法根据
_______．
SSS
根据：三个木条长度a，b，c，无论怎么摆放，长度不变，利用三
角形全等的判定理由：SSS
当堂检测
（简写为“边边边”或“S.S.S.”）
A
几何语言：
在△ABC和△ DEF中，
AB=DE，
B
C
D
BC=EF，
CA=FD，
∴ △ABC ≌△ DEF（S.S.S.）.
E
F
讲授新课
典例精析
【例1】如图，在四边形 ABCD 中，AD = CB，AB = CD.
求证: ∠B = ∠D.
证明：在△ABC 和△CDA 中，
＝，
＝ ,
＝.
∴△ABC≌△DFC(SSS).
讲授新课
变式1 若将上题中右边的三角形向左平移(如图)，若AB＝DF，
AC＝DE，BE＝CF.问：△ABC和△DFE全等吗？
解:全等.
A
B
E
D
C
F
∵ BE＝CF ，
∴BE+EC=CF+EC.
即BC＝FE .
在△ABC和△DFE中，
在△ABD和△CDB中,
＝(已知)，
= (已知),
＝(公共边).
∴△ABD≌△CDB（SSS）,
∴∠A=∠C.（全等三角形的对应角相等）.
②证明:∵ △ABD≌△CDB（已证） ,
∴∠ABD=∠CDB， ∠ADB=∠CBD .
（全等三角形的对应角相等）
全等三角形证明判定方法分类总结【范本模板】
全等三角形（一）SSS【知识要点】1．全等图形定义：两个能够重合的图形称为全等图形． 2．全等图形的性质:（1）全等图形的形状和大小都相同,对应边相等，对应角相等 （2)全等图形的面积相等3．全等三角形：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形(1）表示方法:两个三角形全等用符号“≌”来表示,读作“全等于” 如DEF ABC ∆∆与全等，记作ABC ∆≌DEF ∆（2)符号“≌”的含义：“∽”表示形状相同,“="表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等．（3）两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角．(4）证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．4．全等三角形的判定（一）：三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边”或“SSS ”． 【典型例题】例1．如图,ABC ∆≌ADC ∆，点B 与点D 是对应点，=∠BAC 且︒=∠20B ，1=∆ABC S ，求ACD D CAD ∠∠∠,,的度数ACD ∆的面积．例2．如图，ABC ∆≌DEF ∆，cm CE cm BC A 5,9,50==︒=∠,求EDF∠的度数及CF 的长．例3．如图，已知：AB=AD ，AC=AE ，BC=DE ，求证：CAD BAE ∠=∠例4．如图AB=DE,BC=EF ，AD=CF ，求证：（1）ABC ∆≌DEF ∆（2)AB//DE ，BC//EF例5．如图，在,90︒=∠∆C ABC 中D 、E 分别为AC 、AB 上的点，且BE=BC ，DE=DC ，求证:（1)AB DE ⊥；(2）BD 平分ABC ∠【巩固练习】1．下面给出四个结论:①若两个图形是全等图形，则它们形状一定相同;②若两个图形的形状相同,则它们一定是全等图形;③若两个图形的面积相等，则它们一定是全等图形;④若两个图形是全等图形，则它们的大小一定相同,其中正确的是（ )A 、①④B 、①②C 、②③D 、③④2．如图，ABD ∆≌CDB ∆，且AB 和CD 是对应边，下面四个结论中 不正确的是（ ）A 、CDB ABD ∆∆和的面积相等 B 、CDB ABD ∆∆和的周长相等C 、CBD C ABD A ∠+∠=∠+∠ D 、AD//BC 且AD=BC3．如图，ABC ∆≌BAD ∆，A 和 B 以及C 和D 分别是对应点,如果︒=∠︒=∠35,60ABD C ，则BAD ∠的度数为( ）A 、︒85B 、︒35C 、︒60D 、︒804．如图，ABC ∆≌DEF ∆,AD=8，BE=2,则AE 等于（ ) A 、6 B 、5 C 、4 D 、35．如图，要使ACD ∆≌BCE ∆，则下列条件能满足的是( ） A 、AC=BC ，AD=CE,BD=BE B 、AD=BD,AC=CE ，BE=BD C 、DC=EC ，AC=BC ，BE=AD D 、AD=BE,AC=DC,BC=EC6．如图，ABE ∆≌DCF ∆，点A 和点D、点E 和点F 分别是对应点,则AB=，=∠A,AE= ,CE= ,AB//，若BC AE ⊥，则DF 与BC 的关系是 ．7．如图，ABC ∆≌AED ∆,若=∠︒=∠︒=∠︒=∠BAC C EAB B 则,45,30,40 ，=∠D ，=∠DAC ．8．如图，若AB=AC,BE=CD ，AE=AD ，则ABE ∆ ACD ∆，所以=∠AEB ，=∠BAE ，=∠BAD ．9．如图，ABC ∆≌DEF ∆,︒=∠90C ，则下列说法错误的是( ）D第3题图第4题图第5题图B第6题图第7题图第8题图第9题题图A 、互余与F C ∠∠B 、互补与FC ∠∠C 、互余与E A ∠∠D 互余与D B ∠∠ 10．如图，ACF ∆≌DBE ∆，cm CD cm AD ACF E 5.2,9,110,30==︒=∠︒=∠，求D ∠的度数及BC 的长．11．如图，在ABD ABC ∆∆与中，AC=BD ，AD=BC,求证：ABC ∆≌ABD ∆全等三角形（一)作业1．如图，ABC ∆≌CDA ∆,AC=7cm ，AB=5cm 。
全等三角形的性质及判定
全等三角形的性质及判定知识要点1、全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形．2、全等三角形性质：（1）两全等三角形的对应边相等，对应角相等．（2）全等三角形的对应边上的高相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等．（3）全等三角形的周长、面积相等．3、全等三角形判定方法：（1）全等判定一：三条边对应相等的两个三角形全等（SSS）（2）全等判定二：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）（3）全等判定三：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)（4）全等判定四：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）专题一、全等图形的性质——全等图形的对应边（对应中线、角平分线、高线）、对应角、对应周长、对应面积相等例题1：下列说法，正确的是（）A.全等图形的面积相等B.面积相等的两个图形是全等形C.形状相同的两个图形是全等形D.周长相等的两个图形是全等形例题2：如图1，折叠长方形，使顶点与边上的点重合，如果AD=7，DM=5，∠DAM=39°，则=____，=____，= .【仿练1】如图2，已知，，，那么与相等的角是.【仿练2】如图3，，则AB=，∠E=_．若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC=.、图4EDCBA图2 图3MDN BC图1三角形全等的判定一（SSS ）相关几何语言考点∵AE=CF∵CM 是△的中线∴_____________()∴____________________ ∴__________（） 或 ∵AC=EF∴____________________ ∴__________（） AB=AB （）FECACMBA在△ABC和△DEFxx∵∴△ABC≌△DEF（）例1．如图，AB＝AD，CB＝CD．△ABC与△ADC全等吗？为什么？例２．如图，C是AB的中点，AD＝CE，CD＝BE．求证△ACD≌△CBE．例３．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证∠A=∠D．练习1..如图，AB=CD，AD=CB，那么下列结论中错误的是（）A．∠A=∠CB．AB=ADC．AD∥BCD．AB∥CD2、如图所示，在△ABCxx，AB=AC，BE=CE，则由“SSS”可以判定（）A．△ABD≌△ACDB．△BDE≌△CDEC．△ABE≌△ACED．以上都不对3.如图，AB=AC，BD=CD，则△ABD≌△ACD的依据是（）A．SSSB．SASC．AASD．HL4.如图,AB=AC,D为BC的中点，则△ABD≌_________.5.如图，已知AB=DE，BC=EF，若要使△ABC≌△DEF，那么还要需要一个条件，这个条件可以是：．6.如图，AB=AC，BD=DC，∠BAC=36°，则∠BAD的度数是°．7、.如图，AB=AE，AC=AD，BD=CE，求证：△ABC≌ADE。
全等三角形五大判定方法(两篇)
引言概述：三角形是几何学中最基本的形状之一。
在三角形中，全等三角形是指具有相等的三个角度和相等的三条边的三角形。
全等三角形的判定是几何学中的重要内容之一，它具有广泛的应用。
本文将介绍全等三角形的五大判定方法——边边边（SSS）、角边角（ASA）、边角边（SAS）、角角边（AAS）和直角边（HL）。
正文内容：一、边边边（SSS）判定方法：1.说明边边边（SSS）判定方法是三边相等的三角形判定方法。
2.介绍边边边（SSS）判定方法的步骤和要点。
3.详细解释如何利用边边边（SSS）判定方法来判断两个三角形是否全等。
4.举例说明边边边（SSS）判定方法的应用场景。
5.总结边边边（SSS）判定方法的特点和注意事项。
二、角边角（ASA）判定方法：1.介绍角边角（ASA）判定方法是角度和边相等的三角形判定方法。
2.说明角边角（ASA）判定方法的步骤和要点。
3.详细解释如何利用角边角（ASA）判定方法来判断两个三角形是否全等。
4.举例说明角边角（ASA）判定方法的实际应用。
5.总结角边角（ASA）判定方法的特点和适用条件。
三、边角边（SAS）判定方法：1.说明边角边（SAS）判定方法是一边、一角和另一边相等的三角形判定方法。
2.介绍边角边（SAS）判定方法的具体步骤和要点。
3.详细解释如何利用边角边（SAS）判定方法来判断两个三角形是否全等。
4.引用实际问题，说明边角边（SAS）判定方法的应用场景。
5.总结边角边（SAS）判定方法的特点和限制条件。
四、角角边（AAS）判定方法：1.介绍角角边（AAS）判定方法是两个角和一边相等的三角形判定方法。
2.说明角角边（AAS）判定方法的步骤和要点。
3.详细解释如何利用角角边（AAS）判定方法来判断两个三角形是否全等。
4.举例说明角角边（AAS）判定方法在实际问题中的应用。
5.总结角角边（AAS）判定方法的特点和使用条件。
五、直角边（HL）判定方法：1.介绍直角边（HL）判定方法是直角边和斜边相等的三角形判定方法。
12.2 三角形全等的判定(解析版)
12.2 三角形全等的判定1.理解和掌握边边边、边角边的方法判断三角形全等；2.理解和掌握角边角和角角边的方法判断三角形全等；3.理解和掌握直角三角形的判定方法。
一、判定方法一：边边边（SSS ）1.边边边：三边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边“或“SSS “)。
2.书写格式①先写出所要判定的两个三角形。
②列出条件：用大括号将两个三角形中相等的边分别写出。
③得出结论：两个三角形全等。
如下图，在△ABC 和 △A ′B ′C ′中，∵AB =A ′B ′,BC =B ′C ′,AC =A ′C ′,∴△ABC≅△A ′B ′C ′(SSS ).书写判定两个三角形全等的条件：在书写全等的过程中，等号左边表示同一个三角形的量，等号右边表示另一个三角形的量。
如上图，等号左边表示△ABC 的量，等号右边表示 △A ′B ′C ′的量。
3.作一个角等于已知角已知：∠AOB 。
求作： ∠A ′O ′B ′,使 ∠A ′O ′B ′=∠AOB .作法：如上图所示，①以点O 为圆心、任意长为半径画弧，分别交 OA ，OB 于点 C ，D 。
②画一条射线( O ′A ′,以点 O ′为圆心、OC 长为半径画弧，交( O ′A ′于点 C ′.③以点C ′为圆心、CD 长为半径画弧，与上一步中所画的弧交于点 D ′.④过点。
D ′画射线 O ′B ′,则 ∠A ′O ′B ′=∠AOB .题型一 利用SSS 直接证明三角形全等如图，已知AC DB =，要用“SSS ”判定ABC DCB @V V ，则只需添加一个适当的条件是_____．【答案】AB DC=【分析】根据全等三角形的判定：三边对应相等的两个三角形全等，即可．【详解】∵全等三角形的判定“SSS ”：三边对应相等的两个三角形全等，∴当ABC V 和DCB △中，AC DB BC BC AB DC =ìï=íï=î，∴()SSS ABC DCB @V V ，故答案为：AB DC =．【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定()SSS ：三边对应相等的两个三角形全等．1．如图，已知AC DB =，要使得ABC DCB @V V ，根据“SSS ”的判定方法，需要再添加的一个条件是_______．【答案】AB DC=【分析】要使ABC DCB @V V ，由于BC 是公共边，若补充一组边相等，则可用SSS 判定其全等．【详解】解：添加AB DC =．在ABC V 和DCB △中AB DC BC CB AC BD =ìï=íï=î，∴()ABC DCB SSS @△△，故答案为：AB DC =．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．添加时注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择添加的条件是正确解答本题的关键．2．如图，AB DC =，若要用“SSS ”证明ABC DCB △△≌，需要补充一个条件，这个条件是__________．【答案】AC BD=【分析】由图形可知BC 为公共边，则可再加一组边相等，可求得答案．【详解】解：∵AB DC =，BC CB =，∴可补充AC DB =，在ABC V 和DCB V 中，AB DC BC CB AC DB =ìï=íï=î，∴ABC V ≌()SSS DCB V ；故答案为：AC DB =．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．题型二 全等三角形的性质与SSS 综合如图，点E 、点F 在BD 上，且AB CD =，BF DE =，AE CF =，求证：AB CD ∥．【分析】根据全等三角形的判定得出ABE CDF △≌△，推出B D Ð=Ð，利用平行线的判定解答即可．【详解】证明：∵BF DE =，∴BE DF =，在ABE V 和CDF V 中，AB DC AE CF BE DF =ìï=íï=î，∴()SSS ABE CDF V V ≌，∴B D Ð=Ð，∴AB CD ∥．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用全等三角形解决问题，属于中考常考题型．1．已知：如图，RPQ D 中，RP RQ =，M 为PQ 的中点．求证：RM 平分PRQ Ð．【分析】先根据M 为PQ 的中点得出PM QM =，再由SSS 定理得出PRM QRM V V ≌，由全等三角形的性质即可得出结论．【详解】证明：M Q 为PQ 的中点（已知），PM QM \=，在RPM △和RQM V 中，RP RQ PM QM RM RM =ìï=íï=î，(SSS)RPM RQM \V V ≌，PRM QRM \Ð=Ð（两三角形全等，对应角相等）即RM 平分PRQ Ð．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答此题的关键．2．已知如图，四边形ABCD 中，AB BC =，AD CD =，求证：A C Ð=Ð．【分析】连接BD ，已知两边对应相等，加之一个公共边BD ，则可利用SSS 判定ABD CBD ≌△△，根据全等三角形的对应角相等即可证得．【详解】证明：连接BD ，AB CB =Q ，BD BD =，AD CD =，SSS ABD CBD \≌（）V V ．A C \Ð=Ð．【点睛】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的理解及运用，常用的判定方法有SSS ，SAS ，ASA ，HL 等．题型三 作一个角等于已知角如图：(1)在A Ð的内部利用尺规作CED A Ð=Ð（不写作法，保留作图痕迹）(2)判断直线DE AB 与的位置关系【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法在；A Ð的内部作CED A Ð=Ð，即可求解．（2）根据图形及平行线的判定定理可直接得到答案．【详解】（1）解：如图所示，在A Ð的内部作CED A Ð=Ð， 则CED Ð即为所求；（2）∵CED A ÐÐ＝，∴DE AB ∥．故答案为：DE AB ∥．【点睛】本题主要考查角的尺规作图及平行线的判定，熟练掌握基本作图以及平行线的判定定理是解题的关键．1．如图，已知Ðb 和线段a ，求作ABC V ，使B b Ð=Ð，2,AB a BC a==【分析】先画射线BP ，以B 为圆心，a 为半径画弧，与射线BP 交于点D ，再画DA a =，再以b 的顶点为圆心，a 为半径画弧，交b 的两边分别为E ，F ，再以D 为圆心，EF 为半径画弧，交前弧于C ，再连接AC ，从而可得答案．【详解】解：如图，ABC V 即为所求；【点睛】本题考查的是作三角形，作一个角等于已知角，作一条线段等于已知线段，熟练掌握基本作图是解本题的关键．2．已知a Ð．求作CAB a Ð=Ð．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）【分析】按照作与已知角相等的角的尺规作图方法作图即可．【详解】解：如图，CAB Ð为所作．【点睛】本题主要考查了作与已知角相等的角的尺规作图，熟知相关作图方法是解题的关键．二、判定方法二：边角边（SAS ）1.边角边：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边“或“SAS “)。
1.5三角形全等的判定(4)
1.5三角形全等的判断（4）义务教育教科书（浙教版）八年级下册衢州市兴华中学周永霞【授课目的】1.掌握三角形全等的判判定理及证明过程.2.掌握角均分线的性质定理及证明过程.3.会运用全等三角形的性质及角均分线的性质判断两条线段相等.4.领悟转变、数形结合等数学思想 .【授课重点和难点】1.两个三角形全等的判判定理（两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等）是本节授课重点 .2. 当图形中没有现成的全等三角形时，需要经过增加辅助线构造全等是本节授课难点.【授课过程】一．学习准备思虑：（ 1）我们已经学过哪几种判断三角形全等的方法？（2）要推出两个三角形全等需要几个条件?（3）若是给出三个条件推出全等，你能说出哪几种可能的情况？（4）请猜想还能够用来判断两个三角形全等的方法可能是什么？（设计妄图：经过复习三角形全等的判断方法，让学生猜想还有哪几种可能的方法，为新的方法埋下伏笔，从中浸透分类谈论的数学思想.）二．课本导学（一）阅读与思虑一『课前预习』三角形全等的判判定理：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.试一试写出证明过程.（设计妄图：本节课内容很多，45 分钟显得时间紧张，而判判定理的证明其实不难，学生经过预习基本能够掌握，课堂上只需交流证明方法，能够提升课堂效率.）『思虑一』1.根据已学的三角形全等的判定方法，证明这个命题的关键是求证____________=__________2.证明过程中用到了怎样的数学思想？3.三角形全等判判定理的几何语言怎样描述？『练习一』书本 35 页课内练习 1 改编1. 已知：如图，AD均分∠ BAC， _________.求证：BD=CD.（请在横线上增加一个条件，使得结论成立）（先独立完成，尔后小组交流）『概括』1.判断两个三角形全等有哪几种思路？2.判断两条线段相等的方法是什么？3.全等三角形还有怎样的应用？（设计妄图：组织学生分小组进行谈论交流，突出学生的主体地位，培养主动参加的意识，学生在交流的过程中能够扬长避短，一方面使自己的方法更加完满，另一方面能够及时复习三角形全等判断的各种不同样方法.）（二）阅读与思虑二『课前预习』先试一试自己完成课本34 页例 6，再看课本解答 .『思虑二』1.什么叫点到直线的距离？2.点 P 到角两边的距离指的是哪两条线段的长？3. 若是在角均分线上任意取一点，结论可否同样成立？若是点P 与点 A 重合呢？4.你能用一句话概括题中的结论吗？5.角均分线性质定理的几何语言怎样描述？（设计妄图：本例题有着双重作用，第一是对 AAS 判断全等方法的牢固，其次是为了得出角均分线的性质定理 .例题的证明其实不难，所以让学生课前预习；难点是角均分线性质定理的概括，所以设计了一系列的思虑题，让学生在问题的引领下概括结论，提升了学生的思维.）（三）阅读与思虑三『课内阅读』试一试独立完成书本35 页例 7『思虑三』1.从已知条件解析：（1）由AB∥CD，能够推出什么？（2）由AD⊥AB，能够推出什么？（3）点P是∠ABC的均分线上的点，那么 PA应等于什么？我们能够怎样添辅助线？（4）点P是∠DCB的均分线上的点，那么 PD应等于什么？3.当图形中没有现成的全等三角形时，怎么办？（设计妄图：本例题是本节课的难点，宜用综合法来进行解析，即从已知条件出发，利用已经学过的定义、定理以及基本事实，渐渐向前推进，直到问题解决.本例题采用师生共同交流的形式，一步步引领学生打破难点.同时让学生掌握当图形中没有现成的全等三角形时，要经过增加辅助线构造全等. ）『练习二』书本 35 页课内练习22.已知：如图， AD垂直均分 BC， D为垂足. DM⊥AC， DN⊥AB， M， N分别为垂足 . 求证：DM=DN.（先独立完成，尔后小组交流）『概括』1.证明两条线段相等有哪些方法？当题中出现全等三角形的时候，能够利用___________________________________;当题中出现角均分线的时候，能够利用____________________________________;当题中拥有面积相等的三角形时，能够_____________________________________.2.碰到几何题，我们能够怎样进行解析？从_________和 __________ 两个角度进行解析 .（设计妄图：两条线段相等是几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系，很多其他问题最后都化归为两条线段相等来证明，经过练习.让学生概括出证明两条线段相等最常用的方法就是搜寻全等，其他角均分线的性质，线段中垂线的性质等经常用到. ）三．盘点收获经过这节课的学习，谈谈收获和迷惑.（设计妄图：学生先谈收获，教师再有条理地进行总结，再次把本节课的重点内容清楚地体现在学生眼前 .）四．部署作业必做题：作业实情应作业选做题：书本35 页第 5 题很多其他问题最后都化归为两条线段相等是几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系，两条线段相等来证明，。
13.2.4三角形全等的判定(角边角或角角边)
B E ∵BC EF C F
在△ABC和△DEF中，
A
D
B
\
C
E
\
F
练习
∴ △ABC≌△DEF (A.S.A.)
例1、已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和 CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C。 求证： △ABE≌△ACD
A
证明：在△ABE和△ACD中 ∠A=∠A（公共角） ∵ AB=AC（已知）
C
A
O
B
D
探究2
在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E ， BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？能利用角边 角条件证明你的结论吗？
A D
C E B
F
探究反映的规律是：
有两角和其中一个角的对边分别对应相等的 两个三角形全等(简写成“角角边”或 “A.A.S.”）
用数学符号表示
在△ABC和△A`B`C`中 ∠A=∠A` A
例2.如图，已知AB=AC，∠ADB= ∠AEC，求证：△ABD≌△ACE
证明：∵ AB=AC， ∴ ∠B= ∠C（等边对等角） ∵ ∠ADB= ∠AEC， AB=AC，
A
∴ △ABD≌△ACE（A.A.S.）
B
D
E
C
练习：
1.如图,AB⊥BC, AD⊥DC, ∠1=∠2.求证AB=AD
2：如图，已知∠ABC＝∠D， ∠ACB＝∠CBD判断图中的 两个三角形是否全等， 并说明理由．
不全等。因为虽然有两组内角相等， 且BC＝BC，但BC不都是两个三角形两 组内角的夹边，所以不全等。
作业：
1.如图已知∠ABC＝∠DCB， ∠ACB＝ ∠DBC， 求证：△ABC≌△DCB， AB=DC
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D
）
(2) AB∥CD ；
Dபைடு நூலகம்
C
A
B
提示：作辅助线，构 成三角形，利用本节课 所学的SSS去证明两个三 角形全等。
1. 如图，AC、BD相交于点O，且 AB=DC，AC=BD 求证： （1） ∠A=∠D
（2） OB=OC
A O D
提示：做辅助线
C
B
归纳
两边一角 两角一边 对应相 等的元 素 两边及 两边及 两角及 两角及 其夹角 其中一 其夹边 其中一 边的对 角的对 角 边 三角形 一定 是否全 (SAS) 等
教学目标
1.经历探索用边边边说明三角形全等的过程
2.知道三角形的稳定性和四边形的不稳定性 3、会运用“SSS”说明三角形全等。
知识回顾
判断两个三角形全等的条件： SAS、ASA、AAS
1.如图，已知AD平分∠BAC， 要使△ABD≌△ACD， AB=AC ； • 根据“SAS”需要添加条件 ∠BDA=∠CDA • 根据“ASA”需要添加条件 ； • 根据“AAS”需要添加条件∠B=∠C ；
验证
a
b
c
判定方法4 三边分别相等的两个三角形全 等，简写为“边边边”或“SSS”。
A
A'
B
C
' B
C'
用符号语言表达
ABC ≌ A' B' C' (SSS)
在ABC和A' B' C'中 AB A ' B' ' ' BC B C ' ' CA C A
不一定 一定 (ASA) 一定 (AAS)
三角
三边
不一定
一定
(SSS)
1.如图，AB=DC，AC=DB，△ABC与 △DCB全等吗？为什么？
A O
D
△ABO与△DCO全等吗？
B
C
达标练习
1.已知AB=AC，BD=CD，则图中对应相等的角有（
A、 1对 B、 2对 C、 3对 D、 4对
A D B E C
例5
点拨：欲证角相等，转化为证三角形全等。
练一练：
1.如图所示, 在四边形ABCD中, AD=BC, AB=CD,试说明△ABC ≌ △CDA.
D C
A
B
例6
2. 如图，AB=AD，CB=CD，E是 AC上一点，BE与DE相等吗？
A
E
B
C
D
如图，在四边形ABCD中，AD=BC， AB=CD，求证： (1) ∠B =∠D ；
B A D
C
自主学习（一）
• 看课本13---14页，完成下列问题： • 1、图1—16和1---17，分别拉动这两个架子 的边框，你有什么发现？ • 2、三角形的这种特性叫-------,四边形的这 种特性叫----------。 • 3、若用三根长度相等的木条制做两个三角 形的架子，若叠放在一起，它们能重合吗 • 4、你得到什么结论？