数学建模-房室模型

对应齐次 方程通解
+ B1e c 1 ( t ) = A1 e −α t − βt + B 2e c 2 (t ) = A2 e
−αt − βt
α + β = k 12 + k 21 + k 13 αβ = k 21 k 13
几种常见的给药方式
1.快速静脉注射 .
给药速率 f0(t) 和初始条件 t=0 瞬时注射剂量 0 瞬时注射剂量 注射剂量D 的药物进入中心室, 的药物进入中心室,血 药浓度立即为D0/V1 药浓度立即为
D0 −α t − βt c1 ( t ) = [( k 21 − α ) e + ( β − k 21 ) e ] V1 ( β − α ) α + β = k12 + k21 + k13 D 0 k 12 −α t − βt c 2 (t ) = (e − e ) V2 ( β − α ) αβ = k21k13
3.口服或肌肉注射 . 相当于药物( 剂量D 先进入吸收室 先进入吸收室， 相当于药物 剂量 0)先进入吸收室，吸收后进入中心室
吸收室
x 0 (t )
中心室
吸收室药量x 吸收室药量 0(t)
f 0 (t ) V2 & c1 ( t ) = − ( k 12 + k 13 ) c1 + V k 21 c 2 + V 1 1 c ( t ) = V1 k c − k c &2 12 1 21 2 V2
f 0 ~ 给药速率
x i (t ) = Vi ci (t ), i = 1, 2 模型建立 f 0 (t ) V2 & c 1 ( t ) = − ( k 12 + k 13 ) c 1 + V k 21 c 2 + V 1 1 线性常系数 c (t ) = V1 k c − k c &2 12 1 21 2 非齐次方程 V2
f (t ) V & c1 ( t ) = − ( k 12 + k 13 ) c1 + 2 k 21 c 2 + 0 V1 V1 c ( t ) = V1 k c − k c &2 12 1 21 2 V2
D0 f 0 ( t ) = 0 , c1 ( 0 ) = , c 2 (0 ) = 0 V1
f 0 (t )
给药
中心室
c 1 ( t ), x 1 ( t ) V1
k 12
k 21
周边室 c 2 ( t ), x 2 ( t ) V2
& x1 ( t ) = − k 12 x1 − k 13 x1 + k 21 x 2 + f 0 ( t )
k13
排除
& x 2 ( t ) = k 12 x1 − k 21 x 2
D0 c1 (0) = = A+ B V1
∞
进入中心室的药物全部排除
A B D 0 = k 13 V 1 + α β
k 13
k
αβ ( A + B ) = αB + βA
=
α + β = k12 + k 21 + k13 αβ = k 21k13
αβ
k
13
21
k12 = α + β − k13 − k 21
药物在体内的分布与排除(房室模型) 药物在体内的分布与排除(房室模型) • 药物进入机体形成血药浓度(单位体积血液的药物量) 药物进入机体形成血药浓度(单位体积血液的药物量) 血药浓度 • 血药浓度需保持在一定范围内 血药浓度需保持在一定范围内——给药方案设计 给药方案设计 • 药物在体内吸收、分布和排除过程 ——药物动力学 药物在体内吸收、 药物动力学 • 建立房室模型 建立房室模型——药物动力学的基本步骤 房室模型 药物动力学的基本步骤 • 房室 房室——机体的一部分，药物在一个房室内均匀 机体的一部分， 机体的一部分 分布(血药浓度为常数) 分布(血药浓度为常数)，在房室间按一定规律转移 • 本节讨论二室模型 本节讨论二室模型 二室模型——中心室(心、肺、肾等)和 中心室( 肾等) 中心室 周边室(四肢、肌肉等) 周边室(四肢、肌肉等)
c1 (0) = 0, c2 (0) = 0 ⇒ A, B, E
参数估计
各种给药方式下的 c1(t), c2(t) 取决于参数k 取决于参数 12, k21, k13, V1,V2
t=0快速静脉注射 0 ,在ti(i=1,2,…n)测得 1(ti) 快速静脉注射D 测得c 快速静脉注射 … 测得
D0 c1 ( t ) = [( k 21 − α ) e −α t + ( β − k 21 ) e − βt ] V1 ( β − α ) D 0 ( k 21 − α ) − α t c1 (t ) = e = Ae 设α < β , t充分大 V1 ( β − α )
模型假设
• 中心室 和周边室(2),容积不变 中心室(1)和周边室 , 和周边室 • 药物从体外进入中心室，在二室间 药物从体外进入中心室， 相互转移, 相互转移,从中心室排出体外
• 药物在房室间转移速率及向体外排除速率， 药物在房室间转移速率及向体外排除速率， 与该室血药浓度成正比
模型建立
xi (t) ~ 药量 ci (t) ~ 浓度 Vi ~ 容积 i = 1,2
由较大的 t i , c1 ( t i ) 用最小二乘法定A,α
−α t
~ (t ) = c (t ) − Ae − αt = Be − βt c1 1
由较小的
~ (t ) 用最小二乘法t → ∞, c1 , c2 → 0
D 0 = k 13 V 1 ∫0 c 1 ( t ) dt
c1 ( 0 ) = 0 , c 2 ( 0 ) = 0
k0 −α t − βt 0≤t≤T c 1 ( t ) = A1 e + B 1 e + k V , 13 1 k 12 k 0 −α t − βt , 0≤t≤T c 2 (t ) = A2 e + B 2 e + k 21 k 13 V 2 V 1 ( k 12 + k 13 − α ) V 1 ( k 12 + k 13 − β ) A1 , B 2 = B1 A2 = k 21 V 2 k 21V 2 t >T, c1(t)和 c2(t)按指数规律趋于零 和 按指数规律趋于零
f 0 = k 01 x0
& x 0 ( t ) = − k 01 x 0 x0 (0 ) = D 0
x0 (t ) = D0 e
− k 01t
f 0 (t ) = k 01 x0 (t ) = D0 k 01e
− αt
− k 01t
c1 ( t ) = Ae
+ Be
− βt
+ Ee
− k 01 t
2.恒速静脉滴注 .
0 ≤ t ≤ T 药物以速率k0进入中心室
f 0 (t ) V2 & c1 ( t ) = − ( k 12 + k 13 ) c1 + V k 21 c 2 + V 1 1 c ( t ) = V1 k c − k c f 0 (t ) = k 0 , &2 12 1 21 2 V2