静定与超静定问题
静定与超静定问题物体系统的平衡问题
（一次课教案）
教案编写者：许庆春
说明：本教案是以课时为单位编制的教学具体方案，即文字教案，由教师采用多媒体课件与黑板、粉笔同时施教。
教案中的红色数字为多媒体课件中的页面号，为我校研制的、由高等教育出版社出版的《理论力学课堂教学系统（上）》中的内容；教案中的*. ppt（红色字体）是教师根据课堂教学需要、利用Powerpoint制作的增加内容。
平面问题
平面问题
图（b ）
图（c ）
图（d ）
3-4 静定与超静定问题 物体系统的平衡问题
一、有关概念
1．自由度
完全确定物体在空间位置所需的独立变量的个数称为它的自由度，用k 表示。
2．结构与机构
自由度： k=3 k=1 k=0 k=0
从约束来看：自由体(无约束) 非自由体(有约束) 非自由体 非自由体 从自由度来看：机构（k >0） 机构 结构（k=0） 结构 未知力的个数 Nr = 3 Nr = 4
独立平衡方程的个数 Ne = 3 Ne = 3 Nr = Ne Nr > Ne
静定问题 超静定问题
二、静定与超静定问题
在研究的平衡问题中，如果未知量的个数等于独立的平衡方程的个数，这时所有的未知量可用平衡方程求出，这类问题——静定问题，如图（c ）所示；如果未知量的个
xu4-5.ppt
开始
图（a ）
xu4-5.ppt 结束
30开始
30结束 31开始
31结束 数多于独立的平衡方程的个数，这时未知量不能或不能全部用平衡方程求出唯一解，这类问题——超静定问题，如图（d ）所示。
屏幕上，第一排三个例子是静定问题，第二排三个例子是超静定问题。
超静定问题工程上非常多，如这是超静定
拱、超静定梁、超静定桁架。
这里我们只研究静定问题，这是因为：①求解静定问题是求解超静定问题的基础；②解超静定问题要考虑物体的变形，而我们的研究对象是刚体，不考虑变形，因此目前我们无法解超静定问题，在后续课程材料力学、结构力学中，我们将研究超静定问题。
在前面的讨论的平衡问题中，研究对象大多是一个物体，但在实际工程中，我们研究的对象往往比较复杂，由若干个物体组成，这若干个物体组成的系统，我们就称为物体系统，下面我们研究物体系统的平衡问题。
三、物体系统的平衡问题
屏幕上的物体系统由AB 、BC 两部分组成，对整个系统而言，铰B 是系统内物体之间的联系——内约束，对应的约束力——内约束力；支座A 、D 、E 是系统外部其它物体与系统的联系——外约束，相应的约束力——外约束力。
注意：内约束与外约束、内力与外力是相对的，是相对一定的研究对象而言的。
如铰B 处的约束力对整个系统而言是内力，但对AB 或BC 而言就是外力了。
如果物体系统平衡，则组成物体系统的每一个物体也平衡。
如ABC 平衡，则AB 、BC 也平衡。
对物体系统中的每个物体列平衡方程即可求解。
若物体系统由n 个物体组成，每个物体都受到平面力系作用，则独立的平衡方程总共可列出3n 个，可解3n 个未知量。
xu4-6.ppt 开始 xu4-6.ppt 结束
33开始
33结束 易！
繁！
34
如果这n 个物体中，有的只受到平面汇交力系或平面力偶系或平面平行力系作用，则独立的平衡方程还可以列出3n 个吗？——（第一层提问）
例1：组合梁，已知F=5 kN ，q=2.5 kN/m ，M=5 kN ·m ，试求A 、B 、D 处的约束力。
分析（利用黑板）：
解物体系统的平衡问题，关键是研究对象的选取。
一般先考虑整体，不行再拆开。
研究对象选取后，列平衡方程时，要尽可能一个方程解一个未知量，不要列出一组方程，再联立求解。
本题研究对象选 整体（有4个未知力，独立的平衡方程有3个） AC （有5个未知力，独立的平衡方程有3个）
CB （有3个未知力，独立的平衡方程有3个，可以解）
① CB B Ci F M ⇒=∑0
② 整体 （此时B F 作为已知量） D Ai F M ⇒=∑0
Ax ix
F F ⇒=∑0 Ay iy
F F
⇒=∑0
或者：① CB B Ci F M ⇒=∑0 ② AC D Ai F M ⇒=∑0
Cx ix
F F ⇒=∑0 Ax ix F F ⇒=∑0 Cy iy
F F
⇒=∑0 Ay iy F F ⇒=∑0
注意：
① 示力图请同学画在黑板上，并指出错误所在。
② 提问（第一层次）：画BC 的示力图时，能否先对分布力进行简化，得一合力F 1=4q ,作用在C 处，然后再取脱离体，画BC 的示力图？
0=∑Ci
M
中未涉及到分布力，没反映分布力的作用，与实际不符。
结论：
一个分布力作用在二个物体上，画部分示力图时，分布力不能在取脱离体之前进行简化。
解（利用课件演示）：
35结束 35开始
36
42 略！
例2：三铰拱。
已知F 1、F 2、a ，试求A 、B 处的约束力。
拱是在竖向荷载作用下产生水平推力的曲杆结构。
按连接方式分，可分为三铰拱、（静定问题）、二铰拱和无铰拱（超静定问题）。
拱结构在水利工程，土木工程中有着广泛的应用。
这是一座罕见的石砌“三铰拱”桥，如果大家
有机会去浙江的新安江，可去白沙桥的北引桥看一看。
上面这是拱顶，下面这两外是拱脚，拱顶和拱脚都是由二块带弧形的石块组成，它们只能相对转动，不能相对移动，拱顶可简化为“铰”，拱脚可简化为“固定铰支座”。
分析（利用黑板）
如何选研究对象？ 整体（有4个未知力，独立的平衡方程有3个）
AC （有4个未知力，独立的平衡方程有3个） BC （有4个未知力，独立的平衡方程有3个）
难道不能解吗？是静定问题，能解！
看整体的示力图，虽有4个未知力，但由于A 、B 在同一条水平线上（即等高程），所以出现了有3个未知力相交于一点的情况，以此汇交点为矩心，列力矩方程就可求出第4个未知力。
整体 Ay Bi F M ⇒=∑0，By iy F F ⇒=∑0 BC Bx Ci F M ⇒=∑0，或 AC Ax Ci F M ⇒=∑0 整体 Ax ix F F ⇒=∑0或Bx F
还有其他方法，请同学们回去考虑，并与我们讲的这种方法作一比较。
解（利用课件演示）：
略！
问题（（第二层次）：若A 、B 不在同一条水平线上（即A 、B 不等高程），如何求A 、B 处约束力？上面的那套解法还适用吗？请大家回去考虑，下次课请你们回答。
下面请你们做二个题目：
讨论题1：已知q 、M 、a ，试求固定端A 、铰支座E 的约束力。
43开始 46
47开始
43结束
讨论（利用黑板）
① 首先让同学充分发言，介绍自己的解法，并让其他同学评价对错，对解法进行修正。
② 注意固定端约束力的表示，有力F Ax 、F Ay 及力偶M A （别丢了！） ③ 重点：二力杆的判断，力偶性质的应用。
④ 对各种解法进行比较，找出解题的最简便方法（所画的示力图少，所列的平衡方程少，且不解联立方程，即一个方程解一个未知量）。
解（利用课件演示）： 杆ED ⇒=∑0i m a
M
F E 932= 杆AB
⇒=∑0ix
F
a M F Ax 93=
⇒=∑0iy
F
a M qa F Ay 32-=
⇒=∑0A
M
3222M qa M A -=
讨论题2：组合结构，已知q 、a ，求杆1、2、3的内力。
讨论（利用黑板）
① 首先请同学介绍自己的解法——有难度，可引导学生采用逆推法。
② 要求杆1、2、3的内力，可选D 点为对象；D 点受到平面汇交力系作用，可写出二个独立的平衡方程，但未知力却有三个；如果知道其中一根杆的内力，那另二根杆的内力就可求了。
如何求其中一杆的内力呢？抛开D 点，与杆1、2、3有关的是杆AC 或BC ，可取其中一个为研究对象。
③ 取AC 或BC 作为对象时，一定要处理好“复铰”的问题，本题中有A 、B 、C 三个复铰，画示力图时，带铰与不带铰是有很大区别的，可引导学生针对“带铰与不带铰，施力体是谁”进行讨论——本题的重点。
解（利用课件演示）：
47结束 整体 qa F M B Ai 30=⇒=∑
CB （带铰B ）
qa F M
Ci
68.103=⇒=∑
铰O
⇒=∑0ix
F
qa F 68.11=
⇒=∑0iy
F
qa F 5.12-=
问题（第二层次）：
回去消化今天讲的内容，总结求解物体系统平衡问题的解题步骤，要特别注意研究对象的选取。
下次课讲桁架内容。
作业：课内题 3-40、44、49
课外题 3-38、48、51（用最简捷方法解）。
第6章超静定问题
T =7 kN.m d1=0.1 m
2m
A
1m
B
1m
C 2m d2
材料力学电子教案
例 7 答案 解：联立三式求出 FN ,即可得结果：
∆l = FN ⋅2 8FN = π d 22 Eπd 2 E 4 ∆l 2 ⋅∆l = = d1 d1 2 T ⋅1 FN d1 ⋅2 = − GI P GI P
材料力学电子教案
对(c)图: (1) 平衡方程
A
1
a
2 C
a
3 B
l
∑F
y
= 0, F1 + F2 + F3 − F = 0
A
F
∑M
= 0, aF2 + 2aF3 = 0
F1
F2
F3
(2) 变形协调方程
∆l1 − ∆l2 = ∆l2 − ∆l3
即∆l1 − 2∆l2 + ∆l3 = 0 (3) 物理方程 F1l ∆l1 = E1 A1
(4)补充方程变为 (4)
FN1 = FN 3
EA cos 2 α E3 A3
材料力学电子教案
联立平衡方程、补充方程，求解得
FN1 = FN 2 =
F E3 A3 2 cos α + EA cos 2 α
FN 3
F = EA 3 1+ 2 cos α E3 A3
在超静定杆系中，各杆轴力的大小和该杆的刚度与其它杆 的刚度的比值有关，杆系中任一杆刚度的改变都将引起杆系各 轴力的重新分配。这些特点在静定杆系中是不存在的。
F N3
α
FN2
A F
x
ΣFy = 0, FN3 + FN1 cos α + FN2 cos α − F = 0
材料力学第六章静不定
FHale Waihona Puke 5、列补充方程将物理方程代入几何方程得补充方程
材料力学
.
6
FN2l2FN3l3FN1l1cos
E2A2 E3A3 E1A1
解得
FN1
1
F 2E2A2l1
cos2
E1 A1l2
FN2 FN3 2cosE F2A E21l1 Ac1lo2s
材料力学
.
7
OAB为刚性梁，写几何方程。
450
①
②
O
A
B
l
l1 l l2
l
OAB为刚性梁， ①、②两杆材料相同， 抗弯刚度相等，求两杆轴力之比。
F
①
F
O
B l1 C
bA
l2 sin 45o
2l1
②
l
l
l
EAsF in N 1 2 clos2EAsiF nN b2closb
FN1 sin 2 FN2 sin 2b
l1 2 l2
sin sin b
l1F E N A 1(co 2 sl)， l2F E N A 2(colsb)
材料力学
.
8
OAB为刚性梁，①、②两杆材料相同，
EA2=2EA1。求②杆与①杆的应力之比。
解：变形协调关系
O
l2 sin 450
2l1
即 l2 2l1
450
①
②
a
A l1
a
l2
B
F
由物理关系建立补充方程，考虑对O取矩得平衡方程，联 立求出两杆轴力，再求应力后得结果。
小技巧
2
l2 l2
2l1 2l1
变形协调方程 。
6-简单超静定问题
FN 1l FN 3l cos EA cos EA FN 1 FN 3 cos 2
5、求解方程组得
FN 1 FN 2
F cos 2 1 2 cos 3
FN 3
F 1 2 cos 3
目 录
二、装配应力
构件的加工误差是难以避免的。对静定结构，加工误 差只是引起结构几何形状的微小变化，而不会在构件内引 起应力。但对静不定结构，加工误差就要在构件内引起应 力。这种由于装配而引起的应力称为装配应力。 装配应力是结构构件在载荷作用之前已具有的应力， 因而是一种初应力。
超静定结构中才有温度应力。
目 录
解题思路： 平衡方程:RA = RB 变形几何关系: 物理关系:
(t 时)
lT lF
lT l t
RB L
RB l lF EA
EA Lt
补充方程:
联立求解: RA RB EAt
EAt t Et A
目 录
一静定问题及超静定问题三基本静定系或相当系统是一个静定结构该结构上作用有荷载和多余约束力61超静定问题及其解法61超静定问题及其解法二多余约束及多余约束力在静定结构的基础上增加的约束
第六章
简单的超静定问题
§6–1 概述
§6–2 §6–3 §6–4 拉压超静定问题 扭转超静定问题 简单超静定梁
目的与要求：
M
max
WZ
32 M
d
max 3
76.4MPa
目 录
例题
结构如图示,设梁AB和CD的弯曲刚度EIz相同. 拉杆BC的拉压刚度EA为已知,求拉杆BC的轴力.
a
C
将杆CB移除，则AB,CD均为静定结构， 杆CB的未知轴力FN作用在AB,CD梁上。为1 D 次超静定。
材料力学--简单的超静定问题
简单的超静定问题
1
第六章 简单的超静定问题
§6-1 §6-2 §6-3 §6-4
超静定问题及其解法 拉压超静定问题 扭转超静定问题 简单超静定梁
2
§6-1 超静定问题及其解法
1.单纯依靠静力平衡方程能够确定全部未知力（支反 力、内力）的问题，称为静定问题。 相应的结构称为静定结构。
2.单纯依靠静力平衡方程不能确定全部未知力（支反 力、内力）的问题，称为超静定问题。 相应的结构称为超静定结构。
8
[例6-2-3] 刚性梁AD由1、2、3杆悬挂，已知三杆材 料相同，许用应力为[σ]，材料的弹性模量为 E， 杆长均为l，横截面面积均为A，试求结构的许可载荷 [F]。
1
2
A
3 D
a
a
a
F
9
解：取刚性梁为研究对象，列 FN1 FN2
静力平衡方程：
MA 0:
受力图 A
a
a
FN1 a FN2 2a FN3 3a F 3a 0
(2)几何方程——变形协调方程：
(2)
A
l2 F l1
l1 l2 l3 cosa
(3)物理方程——胡克定律：
l3
F
FN1l1 E1 A1
l3
FN3l3 E3 A3
(4)补充方程：由几何方程和物理方程得：
aa
FN1l1 FN3l3 cosa
(3)
(1)
变形协调条件：
A
位移图
l2 2l1, l3 3l1
l1
l2
即： FN2l 2 FN1l , EA EA
FN3l 3 FN1l EA EA
静定超静定判断及计算
目的和意义
目的
理解静定与超静定的概念，掌握判断方法，能够进行相应的计算。
意义
在实际工程中，正确判断结构和系统的静定或超静定状态对于确保结构安全、节约材料和降低成本具有重要意义。
02
静定与超静定的基本概念
静定结构的定义
静定结构
在任何外界影响下，其平衡位置都是稳定的 ，且在受到微小扰动后能自动恢复到原来的 平衡状态。
内力计算的方法
静定结构的内力计算通常采用截面法或节点法进行。截面法是通过 截取结构的一部分进行分析，节点法则是对结构的节点进行受力分 析。
内力的表示方法
内力可以用实线和虚线表示，实线表示实际受力方向，虚线表示实际 受力反方向。
静定结构的位移计算
1
位移计算的意义
在结构分析中，位移是一个重要的参数 。通过计算位移，可以了解结构的变形 情况，从而评估结构的稳定性和安全性 。
本文的研究成果已被广泛应用于建筑、机械、航空航天等工程领 域，解决了众多实际工程问题，取得了显著的经济和社会效益。
对未来研究的展望
深入研究复杂结构体系
随着科技的发展，复杂结构体系在工程中越来越常见，未 来研究可进一步探讨复杂结构体系的静定与超静定问题， 提高工程结构的稳定性和安全性。
引入先进计算技术
计算公式
自由度数 = 刚片数 - 约束数。
判断标准
若自由度数等于0，则结构为静定；若自由度数不等于0，则结 构为超静定。
几何法判断
定义
几何法判断是指通过分析结构的几何形状来判断结构是否为静定或超静定的一种方法。
判断标准
若结构的几何形状满足静定结构的条件（即所有刚片都是相互平行的），则结构为静定；否则为超静 定。
01
材料力学第六章静不定
FN2
FN3
（c） F
材料力学
中南大学土木工程学院
13
静不定结构的特点（1）
内力按刚度比分配。 思考：静定结构是否也是这样？
B
C
D
B
刚度较大 内力较大
A
F
材料力学
中南大学土木工程学院
C
刚度增加 内力不变
A
F
14
静不定结构的特点（2） 配应力
——装
B
C
B
D
C
A
静定结构 ——无装配应力
A
中南大学土木工程学院
8
OAB为刚性梁，①、②两杆材料相同，
EA2=2EA1。求②杆与①杆的应力之比。
解：变形协调关系
O
l2 sin 450
2l1
即 l2 2l1
450
①
②
a
A l1
a
l2
B
F
由物理关系建立补充方程，考虑对O取矩得平衡方程，联
立求出两杆轴力，再求应力后得结果。
小技巧
l1
FN1
2 3
EA
l ，l2
1F.5NE2lA，l3
FN3
2 3
2EA
l
代入变形协调方程得补充方程
2FN2 2FN1 FN3
联立平衡方程求得
14 2 3 FN1 23 F 0.76F
FN2 3
3 2 F 0.14F 23
求拉压静 不定结构 注意事项
32 2 3 FN3 23 F 1.24F ()
材料力学
未知力：4个 平衡方程：2个 静不定次数 = 4－2 = 2 需要补充2个方程 此结构可称为2次静不定结构
静定和超静定
FDy 2F
对ADB杆受力图
MA 0
FBx 2a FDx a 0
得
FBx F
解：先整后零
F 0 F 0
y x
M
A
0
再研究DC杆 可将 FDy 求解出来 最后研究BC杆 可将 F 求解出来
Dx
§3-4
平面简单桁架的内力计算
桁架：一种由杆件彼此在两端用铰链连接而成的结构， 它在受力后几何形状不变。 节点：桁架中杆件的铰链接头。
解: 取大轮，塔轮及重物C,画受力图.
M
由
B
0
Pr F R 0
Pr F 10 P t 1 R
Fr tan 200 Ft
Fr Ft tan 200 3.64 P 1
F
x
yLeabharlann 0 FBx Fr 0
0 FBy P P2 F 0
FBx 3.64P 1
M
C
0
FDB cos 45 2l FK l FEx 2l 0
0
FDB
3 2 P 8
(拉)
习题
已知: P2=2P1， P=20P1 ，r, R=2r, 20 ;
求:物C 匀速上升时，作用于小轮上的力偶矩M； 轴承A，B处的约束力.
齿轮传动机构，大轮上固定一塔轮，大轮和塔轮共重P2,压力 角又叫啮合角，啮合力与节圆切线的夹角
静定物系的平衡问题解题步骤：
1.分析系统由几个物体组成； 2.按照便于求解的原则，适当选取整个或者 个体为研究对象进行受力分析并画出受力 图，一般先取整体，整体行不通再拆； 3.列出平衡方程并解出未知量。
选取研究对象和列平衡方程时，尽量使方 程中只含一个未知量，避免求解联立方程。
第六章简单的超静定问题
全部未知力，这类问题为超静定问题或静不定
问题。相应结构称超静定结构或静不定结构。
超静定次数：未知力个数与独立平衡方程数之 差，也等于多余约束数。
多余约束：在结构上加上的一个或几个约束，
对于维持平衡来说是不必要的约束称多余约束。
对应的约束力称多余约束反力。
由于超静定结构能有效降低结构的内力及变 形，在工程上应用非常广泛。
FN 3 ( FN 1 FN 2 ) cos
1
3 2
A
l
变形协调条件：
l3 l1
cos
F N1
F N3
F N2
l3
l1
l2
A
A
例2.图示AB为刚性梁，1、2两杆的抗拉（压）
刚度均为EA，制造时1杆比原长l短，将1杆装
到横梁后，求两杆内力。
基本静定系：解除多余约束代之于未知力后的 结构。 超静定次数：未知力个数与独立平衡方程数之
差，也等于多余约束数。
●超静定问题的解法：综合考虑变形的几何相
容条件、物理关系和静力学平衡条件。 解超静定问题必须找出求解所有未知约束反 力所缺少的补充方程。 关键：变形协调条件（几何相容条件）
二、拉压超静定问题
拉压变形时的胡克定律
l
FN l EA
综合考虑变形的协调条件、胡克定律和静力 学平衡条件求解拉压超静定问题。
例1.已知:1、2杆抗拉刚度为E1A1, 3杆抗拉刚
度为E3A3,F，求各杆内力。 解: 1、分析A结点 一次超静定问题。
FN1 FN3 FN2
1 3
A
2
l
F x 0,
FN 1 FN 2
简单的超静定问题
第六章简单的超静定问题知识要点1．超静定问题的概念（1）静定问题结构或结构的约束反力或内力均能通过静力学平衡方程求解的问题。
（2）超静定问题结构或构件的约束反力或内力不能仅凭静力学平衡方程全部求解的问题。
（3）超静定次数未知力(约束反力或内力)数超过独立的静力平衡方程书的数目。
（4）多余约束力超静定问题中，多余维持静力平衡所必需的约束（支座或杆件）。
（5）多余未知力与多余（支座或杆件）相应的支座反力或内力。
（6）基本静定系在求解静定结构时，解除多余约束，并代之以多余未知力，从而得到一个作用有荷载和多余未知力的静定结构，称之为原超静定结构的基本体静定系。
2．静不定问题的解题步骤（1） 静力平衡条件——利用静力学平衡条件，列出平衡方程。
（2） 变形相容条件——根据结构或杆间变形后应保持连续的变形相容条件，作出位移图，由位移图的几何关系列出变形间的关系方程。
（3） 物理关系——应用胡克定律列出力与变形间的关系方程。
（4） 将物理关系代入变形相容条件，得补充方程 。
补充方程和静力平衡方程，二者方程数之和正好等于未知数的个数，联立平衡方程和补充方程，求解全部未知数。
习题详解6-1 试作题6-1图（a ）所示等直杆的轴力图。
解 解除题6-1图（a ）所示等直杆的约束，代之以约束反力，作受力图，如题6-1图（b ）所示。
由静力学平衡条件,03,0=-+=∑F F F FB A Y和变形协调条件0=∆+∆+∆DB CD AC 并将()EAa F EA a F F EA a F B DB A CD A AC -=∆-=∆=∆,22,代入式②，可得 联立式①，③，解得45,47F F F F B A == 轴力如图6-1图（c ）所示6-2 题6-2图（a ）所示支架承受荷载F=10 kN,1,2,3各杆由同一材料制成，其横截面面积分别为232221200,150,100mm A mm A mm A ===。
试求各杆的轴力。
材料力学超静定全版
按几何特征分类
连续性
Hale Waihona Puke 结构在各个方向上都是连 续的。非连续性
结构在某些方向上存在间 断，如梁的弯曲变形。
平面性
结构在某个平面内发生变 形，如薄板弯曲。
按求解方法分类
解析法
01
近似法
02
03
实验法
通过数学解析的方法求解超静定 问题，需要建立复杂的数学模型。
THANKS FOR WATCHING
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解决超静定问题的技术和方法在工程 实践中具有广泛的应用价值，为复杂 结构的分析和设计提供重要的理论支 持和技术指导。
02 超静定问题的分类
按支承情况分类
01
02
03
固定支承
结构与支承物的连接处不 能发生任何方向的位移， 只能发生转动。
弹性支承
结构与支承物的连接处既 有刚性位移，又有弹性位 移。
铰支承
机械装置超静定问题分析
总结词
保障机械运转稳定性
详细描述
机械装置在运转过程中会受到各种外力和内 力的作用，导致其发生变形和位移。超静定 问题分析能够评估机械装置在不同工况下的 稳定性，预防因变形和位移引起的故障，提 高机械运转的可靠性和效率。
05 超静定问题的未来研究方 向
新型材料的超静定问题研究
详细描述
复杂结构如高层建筑、大跨度桥梁、空间结构等，其 超静定问题涉及到多个自由度和多种非线性因素，需 要深入研究其静力、动力和稳定性等问题。
多场耦合的超静定问题研究
要点一
总结词
要点二
详细描述
多场耦合的超静定问题研究将成为一个重要方向。