第6章 简单的超静定问题(修改12).
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材料力学 简单的超静定问题
l1 F N 1l1 E 1 A1
FN 3 l 3 E 3 A3
FN1
FN3
a a A
A1 FN2
l3
FN 3l3 E 3 A3
(3)
(4)补充方程：由几何方程和物理方程得：
F N 1l1 E1 A1
2
cos a
(5)联解（1）、（2）、（3）式，得:
FN 1 FN 2 E1 A1 F cos a 2 E1 A1 cos a E 3 A3
第六章
简单的超静定问题
1
第六章
§6-1
§6-2
简单的超静定问题
超静定问题及其解法
拉压超静定问题
§6-3 §6-4
扭转超静定问题 简单超静定梁
2
§6-1
超静定问题及其解法
1.单纯依靠静力平衡方程能够确定全部未知力（支反 力、内力）的问题，称为静定问题。 相应的结构称为静定结构。
2.单纯依靠静力平衡方程不能确定全部未知力（支反 力、内力）的问题，称为超静定问题。 相应的结构称为超静定结构。
3
F N3 A3 9F 14 A [ ]
F
[F ]
14 9
14 9
[ ] A
[ ] A
11
[例6-2-4]木制短柱的四角用四个40404的等边角钢 加固，角钢和木材的许用应力分别为[]1=160MPa和 []2=12MPa，弹性模量分别为E1=200GPa 和 E2 =10GPa；求许可载荷P。 解：（1）以压头为研究对象, 设每 个角钢受力为FN1，木柱受力为FN2.
14
B
1
D
C
3 2
(2) 几何方程
l1 ( l 3 ) cos a
FN 3 l 3 E 3 A3
FN1
FN3
a a A
A1 FN2
l3
FN 3l3 E 3 A3
(3)
(4)补充方程：由几何方程和物理方程得：
F N 1l1 E1 A1
2
cos a
(5)联解（1）、（2）、（3）式，得:
FN 1 FN 2 E1 A1 F cos a 2 E1 A1 cos a E 3 A3
第六章
简单的超静定问题
1
第六章
§6-1
§6-2
简单的超静定问题
超静定问题及其解法
拉压超静定问题
§6-3 §6-4
扭转超静定问题 简单超静定梁
2
§6-1
超静定问题及其解法
1.单纯依靠静力平衡方程能够确定全部未知力（支反 力、内力）的问题，称为静定问题。 相应的结构称为静定结构。
2.单纯依靠静力平衡方程不能确定全部未知力（支反 力、内力）的问题，称为超静定问题。 相应的结构称为超静定结构。
3
F N3 A3 9F 14 A [ ]
F
[F ]
14 9
14 9
[ ] A
[ ] A
11
[例6-2-4]木制短柱的四角用四个40404的等边角钢 加固，角钢和木材的许用应力分别为[]1=160MPa和 []2=12MPa，弹性模量分别为E1=200GPa 和 E2 =10GPa；求许可载荷P。 解：（1）以压头为研究对象, 设每 个角钢受力为FN1，木柱受力为FN2.
14
B
1
D
C
3 2
(2) 几何方程
l1 ( l 3 ) cos a
第6章超静定问题
T =7 kN.m d1=0.1 m
2m
A
1m
B
1m
C 2m d2
材料力学电子教案
例 7 答案 解：联立三式求出 FN ,即可得结果：
∆l = FN ⋅2 8FN = π d 22 Eπd 2 E 4 ∆l 2 ⋅∆l = = d1 d1 2 T ⋅1 FN d1 ⋅2 = − GI P GI P
材料力学电子教案
对(c)图: (1) 平衡方程
A
1
a
2 C
a
3 B
l
∑F
y
= 0, F1 + F2 + F3 − F = 0
A
F
∑M
= 0, aF2 + 2aF3 = 0
F1
F2
F3
(2) 变形协调方程
∆l1 − ∆l2 = ∆l2 − ∆l3
即∆l1 − 2∆l2 + ∆l3 = 0 (3) 物理方程 F1l ∆l1 = E1 A1
(4)补充方程变为 (4)
FN1 = FN 3
EA cos 2 α E3 A3
材料力学电子教案
联立平衡方程、补充方程，求解得
FN1 = FN 2 =
F E3 A3 2 cos α + EA cos 2 α
FN 3
F = EA 3 1+ 2 cos α E3 A3
在超静定杆系中，各杆轴力的大小和该杆的刚度与其它杆 的刚度的比值有关，杆系中任一杆刚度的改变都将引起杆系各 轴力的重新分配。这些特点在静定杆系中是不存在的。
F N3
α
FN2
A F
x
ΣFy = 0, FN3 + FN1 cos α + FN2 cos α − F = 0
材料力学(I)第六章(配孙训方版)
4. 将补充方程与平衡方程联立求解得：
FN1 FN2
eEA l
1
1 2
EA
，
E3 A3
FN3
eE3 A3 l
1
1 E3 A3
2EA
所得结果为正，说明原先假定杆1,2的装配内力为拉
力和杆3的装配内力为压力是正确的。
载Me和“多余”未知力偶矩MB，如图b；它应满足的位移 相容条件为
BMe
BM B
注：这里指的是两个扭转角的绝对值相等。
33
材料力学Ⅰ电子教案
第六章 简单的超静定问题
3. 根据位移相容条件利用物理关系得补充方程：
Mea M Bl GI p GI p
由此求得“多余”未知力，亦即约束力偶矩MB为
材料力学Ⅰ电子教案
第六章 简单的超静定问题
在基本静定系上加
B
C
D
上原有荷载及“多
1
2
余”未知力
FN3
并使“多余”约束
A
A
处满足变形(位移)
ΔA'
相容条件
A'
ΔA
A
F
FN3
相当系统 (equivalent system)
6
材料力学Ⅰ电子教案
第六章 简单的超静定问题
B 1
C 2
FN3
第六章 简单的超静定问题
求算FN3需利用位移(变形)相容条件 (图a)
AA AA e
列出补充方程
FN3l3 E3 A3
FN3l1
2 E1 A1cos2
6-简单超静定问题
4、补充方程
FN 1l FN 3l cos EA cos EA FN 1 FN 3 cos 2
5、求解方程组得
FN 1 FN 2
F cos 2 1 2 cos 3
FN 3
F 1 2 cos 3
目 录
二、装配应力
构件的加工误差是难以避免的。对静定结构，加工误 差只是引起结构几何形状的微小变化，而不会在构件内引 起应力。但对静不定结构，加工误差就要在构件内引起应 力。这种由于装配而引起的应力称为装配应力。 装配应力是结构构件在载荷作用之前已具有的应力， 因而是一种初应力。
超静定结构中才有温度应力。
目 录
解题思路： 平衡方程:RA = RB 变形几何关系: 物理关系:
(t 时)
lT lF
lT l t
RB L
RB l lF EA
EA Lt
补充方程:
联立求解: RA RB EAt
EAt t Et A
目 录
一静定问题及超静定问题三基本静定系或相当系统是一个静定结构该结构上作用有荷载和多余约束力61超静定问题及其解法61超静定问题及其解法二多余约束及多余约束力在静定结构的基础上增加的约束
第六章
简单的超静定问题
§6–1 概述
§6–2 §6–3 §6–4 拉压超静定问题 扭转超静定问题 简单超静定梁
目的与要求：
M
max
WZ
32 M
d
max 3
76.4MPa
目 录
例题
结构如图示,设梁AB和CD的弯曲刚度EIz相同. 拉杆BC的拉压刚度EA为已知,求拉杆BC的轴力.
a
C
将杆CB移除，则AB,CD均为静定结构， 杆CB的未知轴力FN作用在AB,CD梁上。为1 D 次超静定。
FN 1l FN 3l cos EA cos EA FN 1 FN 3 cos 2
5、求解方程组得
FN 1 FN 2
F cos 2 1 2 cos 3
FN 3
F 1 2 cos 3
目 录
二、装配应力
构件的加工误差是难以避免的。对静定结构，加工误 差只是引起结构几何形状的微小变化，而不会在构件内引 起应力。但对静不定结构，加工误差就要在构件内引起应 力。这种由于装配而引起的应力称为装配应力。 装配应力是结构构件在载荷作用之前已具有的应力， 因而是一种初应力。
超静定结构中才有温度应力。
目 录
解题思路： 平衡方程:RA = RB 变形几何关系: 物理关系:
(t 时)
lT lF
lT l t
RB L
RB l lF EA
EA Lt
补充方程:
联立求解: RA RB EAt
EAt t Et A
目 录
一静定问题及超静定问题三基本静定系或相当系统是一个静定结构该结构上作用有荷载和多余约束力61超静定问题及其解法61超静定问题及其解法二多余约束及多余约束力在静定结构的基础上增加的约束
第六章
简单的超静定问题
§6–1 概述
§6–2 §6–3 §6–4 拉压超静定问题 扭转超静定问题 简单超静定梁
目的与要求：
M
max
WZ
32 M
d
max 3
76.4MPa
目 录
例题
结构如图示,设梁AB和CD的弯曲刚度EIz相同. 拉杆BC的拉压刚度EA为已知,求拉杆BC的轴力.
a
C
将杆CB移除，则AB,CD均为静定结构， 杆CB的未知轴力FN作用在AB,CD梁上。为1 D 次超静定。
材料力学——6简单的超静定问题
M
(x)
X
1
x
X1x, P(x
x l ), 2
l 2
x
l 2
B
l 0
M
(x)M EI
( x)dx
0
如果B处支撑为弹簧 （弹簧系数K） ？
例 P
A
l
l
2
2
BA
P
B
l
l
2
2
X1
解
M
(x)
X1
x
X1x, P(x
x l ), 2
l 2
x
静定基
l 2
x
B
l 0
M (x)M EI
(x)dx
X1 K
求解 线性方程
未知力
以一例说明解法
q
12 3
X1 X2 X3
• 静定基（含未知数）
1 0, 2 0, 3 0
• 位移协调条件
建立方程的过程
以1为例说明
X1 X2 X3
1
M (x)M1(x) dx EI
(M X1 M X2 M X3 M q )M1(x) dx EI
M X1M1 dx M X2 M1(x) dx M X3 M1(x) dx M qM1(x) dx
A
P0 =1 B
M (x) x
解： 协调条件——D截面转
角为零
A
静定基
D
/2
0
M
( )M
EI
()Rd
0
DX
P 2
二、装配应力
1、静定问题无装配应力
B
C
2、静不定问题存在装配应力
1
2
A
下图，3号杆的尺寸误差为，
《材料力学》第6章 简单超静定问题 习题解
第六章 简单超静定问题 习题解[习题6-1] 试作图示等直杆的轴力图解：把B 支座去掉，代之以约束反力B R （↓）。
设2F 作用点为C ， F 作用点为D ，则：B BD R N = F R N B CD += F R N B AC 3+=变形谐调条件为：0=∆l02=⋅+⋅+⋅EA aN EA a N EA a N BD CD AC 02=++BD CD AC N N N03)(2=++++F R F R R B B B45FR B -=（实际方向与假设方向相反，即：↑） 故：45FN BD-= 445F F F N CD -=+-=47345FF F N AC=+-= 轴力图如图所示。
[习题6-2] 图示支架承受荷载kN F 10=，1，2，3各杆由同一种材料制成，其横截面面积分别为21100mm A =，22150mm A =，23200mm A =。
试求各杆的轴力。
解：以节点A 为研究对象，其受力图如图所示。
∑=0X030cos 30cos 01032=-+-N N N0332132=-+-N N N 0332132=+-N N N (1)∑=0Y030sin 30sin 0103=-+F N N2013=+N N (2)变形谐调条件：设A 节点的水平位移为x δ，竖向位移为y δ，则由变形协调图（b ）可知：00130cos 30sin x y l δδ+=∆x l δ=∆200330cos 30sin x y l δδ-=∆03130cos 2x l l δ=∆-∆2313l l l ∆=∆-∆设l l l ==31，则l l 232=223311233EA l N EA lN EA l N ⋅⋅=- 22331123A N A N A N =- 15023200100231⨯=-N N N23122N N N =-21322N N N -= (3)(1)、(2)、(3)联立解得：kN N 45.81=；kN N 68.22=；kN N 54.111=（方向如图所示，为压力，故应写作：kN N 54.111-=）。
简单超静定问题
05
案例分析
案例一：简支梁的超静定问题
总结词
简支梁的超静定问题通常涉及到梁的弯曲变形和剪切变形，需要利用材料力学和弹性力学的基本原理进行分析。
详细描述
简支梁的超静定问题是指具有简支边界条件的梁在受到外力作用时发生的弯曲变形和剪切变形。这类问题需要考 虑梁的弯曲刚度和剪切刚度，通过建立力和位移的关系来求解。在分析过程中，需要利用材料力学和弹性力学的 基本原理，如弯曲理论、剪切理论等，来推导梁的位移和内力分布。
机械系统的超静定问题
机械系统的超静定问题主要涉及到复杂机械装置和设备，如多自由度机构、柔性 机构和机器人等。这些机构的运动学和动力学特性需要采用超静定分析方法来准 确描述。
超静定问题在机械设计中具有重要意义，通过对机械系统的超静定分析，可以更 好地了解机构的运动性能、动态响应和稳定性等，有助于优化设计并提高机械设 备的性能和可靠性。
超静定问题在桥梁设计中具有重要意义，因为它们能够提供 更精确的结构内力和变形分析，有助于优化设计并提高结构 的安全性和稳定性。
建筑物的超静定问题
建筑物的超静定问题主要涉及到高层建筑、大跨度结构和 复杂结构体系等。这些结构的几何非线性和材料非线性使 得传统的静力分析方法无法得到准确的结果。
超静定问题在建筑设计中同样重要，通过对建筑物的超静 定分析，可以更好地了解结构的动力响应、地震作用和风 荷载等，从而优化设计方案，提高建筑物的安全性和稳定 性。
02
03
解析法
通过建立系统的平衡方程 和多余约束力的方程，求 解未知数的方法。
试算法
通过尝试不同的解法，逐 步逼近最优解的方法。
迭代法
通过不断迭代修正解的方 法，直到满足精度要求为 止。
03
材料力学-第六章 简单的超静定问题
变形协调条件：
l1 l 3 cos
F N1
F N3
F N2
l3
l1
A
A
l2
例2.图示AB为刚性梁，1、2两杆的抗拉（压）
刚度均为EA，制造时1杆比原长l短，将1杆装
到横梁后，求两杆内力。
解: 装配后各杆变形 1杆伸长 l1 2杆缩短 l 2 变形协调条件
A
1
l1
4、联解方程
FN 1 F E3 A3 2 cos 2 E1 A 1 cos
FN 3
F E1 A 3 1 1 2 cos E3 A3
●装配应力的计算
装配应力：超静定结构中由于加工误差， 装 配产生的应力。 平衡方程：
FN 1 FN 2
1
3 2
A
l
FN 3 ( FN1 FN 2 ) cos
2、AC和BC材料相同，面积不同，外力作用在 连接界面处，在外力不变的情况下，要使AC上 轴力增加，错误的方法有（ ）。 A、 增加AC的横截面积 B、 减小BC的横截面积 C、 增加AC的长度 D、 增加BC的长度
A l1 C F B l2
3、AB为等截面杆，横截面面积为A，外力F作 用在中间，则AC和BC上应力分别（ ）。
2
l 2
B
2( l1 ) l 2
解: 分析AB
A
aF 1 2aF 2 0
F1l 物理方程 l1 EA 变形协调条件
FA
F1
F2
B
F2 l l 2 (缩短) EA
2( l1 ) l 2
4EA 2EA F1 (拉力) F2 (压力) 5l 5l
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E3
A3
17
例题 图示悬吊结构AB梁刚性，各杆EA相同，杆3短
求各杆装配应力。
F1
F2
F3
la
a
l1
l3
l2
解： 平衡方程 F1 F2 F3 0
M中点 0，F1 F3
:变形几何方程: l1 (l3 ) 2l2
物理方程: l i FNil i E i Ai
F2 EA 3l F1 EA 6l
独立平衡方程数： 空间任意力系：6个平衡方程 平面任意力系：3个平衡方程 平面共点力系：2个平衡方程 平面平行力系：2个平衡方程
3
目录
§6.1 超静定问题及其解法
多余约束：从维持平衡角度而言,多余的约束。 基本静定系（相当系统）：用多余约束力代替多 余约束的静定系统。
2.求解方法： 解除多余约束，建立相当系统——比较变形;
F
根据角钢许用应力，确定F
st
0.283F Ast
st
F 698kN
根据木柱许用应力，确定F
W
0.717F AW
W
F 1046kN
许可载荷 F 698kN
250 250 12
该题说明：
该题的设计有点问题。
用角钢包角本希望能提高木柱的承载能 力（提高结构的许可载荷），但由于角钢选 择不当，木柱的承载能力并没有提高，还略 有降低。但作为超静定问题的练习，其解题 方法是值得借鉴的。
第六章 简单的超静定问题
1
目录
第六章 简单的超静定问题
§6.1 超静定问题及其解法 §6.2 拉压超静定问题 §6.3 扭转超静定问题 §6.4 简单超静定梁
目
录
2
目录
§6.1 超静定问题及其解法
1.基本概念回顾：
静定结构：约束反力可由静力平衡方程求得。
超静定结构：约束反力不能由平衡方程求得。
超静定次数：约束反力多于独立平衡方程的数。
若增大杆2或杆3的拉（压）刚度 ， FN1必然减小， FN2 、 FN3 将增大。
9
目录
超静定结构的第一个特点： 超静定结构中,各杆内力按杆刚度比分配，刚
度越大的杆,内力越大；
注意； 在拉压静定结构的求解中，
构件的变形一定要与内力一致，拉—伸长，压—缩短
10
例题
木制短柱的4个角用4个40mm×40mm×4mm的等边角
l3 l1
FP
各杆变形的几何关系 l2 l3 l1cos l1cos
7
平衡方程:
Fx 0 : FN2sin FN3sin 0 Fy 0 : FN1 FN2cos FN3cos FP 0
几何相容方程：
l2 l3 l1 cos
物理关系
l1
FN1l1 E1 A1
，l2
l3
Fx 0 : FN2sin FN3sin 0
y
FN1
FN2 FN3 x
A
Fy 0 : FN1 FN2cos FN3cos FP 0
FP
多1个未知力，1次数超静定问题
6
BC
D
设节点A的新位置 A
E2A2 l2
E1A1l1
E3A3l3=E2A2l2 几何相容方程：
A
l2
A'
钢加固，已知角钢的许用应力[σst]=160MPa，Est=200
GPa；木材的许用应力[σW ]=12MPa，EW=10GPa，求
许可载荷F。
F
F
解： 平衡方程:F FW Fst
几何相容方程: lst lw
FW
物理关系:
Fst
lW
FW l EW AW
lst
Fst l Est Ast
补充方程:
列变形几何相容方程——由物理关系建立补充方程; 利用静力平衡条件求其他约束反力。
4
目录
§6.2 拉压超静定问题
I、拉压超静定问题解法
B E2A2 l2
C E1A1 l1
D E3A3 l3=E2A2 l2
A FP
节点A的受力：
y
FN1
FN2 FN3
x
A
FP
5
目录
§6.2 拉压超静定问题
汇交力系平衡方程
15
例题
图示3号杆的尺寸误差为，求
各杆的装配内力。 解：（1）平衡方程
FN3
B
3D C
1 2
A1
A
FN1 FN2
Fx FN1 sin FN 2 sin 0
A1
Fy FN1 cos FN2 cos FN3 0
16
例题
FN3
FN1 FN2
A1
B 1
D 3
C
2
ΔL3
A1
ΔL1
ΔL2
A
（2）变形方程
( L3 )cos L1
（3） 物理方程
( FN 3 L3 ) cos FN1L1
E3 A3
E1 A1
（4）联立求解
FN 1
FN 2
L3
1
E1 A1 cos2 2 cos3 E1 A1 /
E3 A3
FN 3
L3
1
2
2 E1 cos 3
A1
cos3
E1 A1 /
13
超静定结构的第二个特点： 超静定结构在温度变化和制造误差等变形
因素的影响下会引起应力。 温度变化引起的应力称为温度应力；制造
误差引起的应力称为装配应力。
14
II、装配应力，温度应力
一、装配应力
右图，静定问题无装配应力 B
C
B
3D C
1 2
A1
A
12 A
左图，3号杆的尺寸误差为，
静不定问题存在装配应力
FN 2 l 2 E2 A2
8
目录
§6.2 拉压超静定问题
结果：由平衡方程、几何相容方程、物理
关系联立解出。
E2 A2l
，FN2
FN3
E1 A1l2 1 2E2 A2l1
FP
E1 A1l2
E1 A1l2
若增大杆1的拉（压）刚度 ，FN1必然增大， FN2 、 FN3 将减小；
Fst FW Est Ast EW AW
250
250 11
目录
Fst FW Est Ast EW AW
查表知40mm×40mm×4mm等边角钢 Ast 3.086cm2 故 Ast 4 Ast 12.34cm2 , AW 25 25 625cm2
代入数据，得 FW 0.717F Fst 0.283F
E=200GPa，/l=1/1000 1=33.3MPa， 2= - 66.6MPa，
二、温度应力
B
C
右图，静定问题无温度应力
12 A
B 1
DC
3
2
左图，静不定问题，当结构温度
由T1变到T2时，存在温度应力。
A
19
例题
a
阶梯钢杆的上下两端在T1=5℃时被固定,上下
两段的面积为 =cm2，=cm2，当温度
升至T2=25℃时,求各杆的温度应力。（弹性模
量E=200GPa，线膨胀系数 =12.5× 106 1 C ）
解：（1）平衡方程
F1
a
a
Fy F1 F2 0 F1 F2
（2）变形方程
a
L LT LF 0
F2
20