2018届高考数学二轮复习专题八课时作业二十一坐标系与参数方程理
2018年高考数学总复习 选考部分 坐标系与参数方程
l 的距离为 d=|3cos������+√41s7in������-������-4|. 当 a≥-4 时,d 的最大值为���√���+179.由题设得���√���+179 = √17,所以 a=8;
当 a<-4 时,d 的最大值为-√������1+71.由题设得-√������1+71 = √17,所以 a=-16. 综上,a=8 或 a=-16.
(1)在伸缩变换下,直线仍然变成直线,圆仍然变成圆. ( × )
(2)点 P 在曲线 C 上,则点 P 的极坐标一定满足曲线 C 的极坐标
方程.
(× )
(3)如果点 P 的直角坐标为(-√2, √2),那么它的极坐标可表示为
2,
3π 4
.
(4)参数方程
������ ������
= =
-21+-������,������(t
选修4—4 坐标系与参数方程
-2-
考纲要求
五年考题统计
1.了解坐标系的作用,了
解在平面直角坐标系伸
缩变换作用下平面图形 的变化情况. 2.了解极坐标的基本概 念,会在极坐标系中用极 坐标刻画点的位置,能进 行极坐标和直角坐标的 互化. 3.能在极坐标系中给出简 单图形表示的极坐标方
程. 4.了解参数方程,了解参 数的意义. 5.能选择适当的参数写出
①直线过极点:θ=θ0和 θ=π +θ0 ;
②直线过点M(a,0),且垂直于极轴: ρcos θ=a ;
③直线过 M
������,
π 2
,且平行于极轴:
ρsin θ=b
.
5.圆的极坐标方程
(1)若圆心为M(ρ0,θ0),半径为r,则圆的方程为 ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+������0.2-r2=0
2018年高考数学(理)二轮练习：第2部分 必考补充专题 第23讲 选修4-4 选修4-5
第23讲 选修4－4 选修4－5(对应学生用书第118页)一、选择题1.(2017·全国Ⅰ卷)选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t(t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a .【导学号：07804137】[解] (1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2125，y ＝2425.从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2125，2425.(2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17.当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917.由题设得a ＋917＝17，所以a ＝8;当a ＜－4时，d 的最大值为－a ＋117.由题设得－a ＋117＝17，所以a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16. 选修45：不等式选讲已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围． [解] (1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0.①当x <－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解； 当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0， 从而－1≤x ≤1；当x >1时，①式化为x 2＋x －4≤0， 从而1＜x ≤－1＋172.所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤－1＋172. (2)当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2，所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]等价于当x ∈[－1,1]时，f (x )≥2. 又f (x )在[－1,1]的最小值必为f (－1)与f (1)之一， 所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1. 所以a 的取值范围为[－1,1]．2．(2017·山西五月模拟)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t cos φ，y ＝3＋t sin φ(t 为参数，φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3)，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的圆心C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，半径为2，直线l 与圆C交于M ，N 两点．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)当φ变化时，求弦长|MN |的取值范围．[解] 由已知，得圆心C 的直角坐标为(1，3)，半径为2， ∴圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4， 即x 2＋y 2－2x －23y ＝0， ∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， ∴ρ2－2ρcos θ－23ρsin θ＝0，故圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ.(2)由(1)知，圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －23y ＝0， 将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程中得，(2＋t cos φ)2＋(3＋t sin φ)2－2(2＋t cos φ)－23(3＋t sin φ)＝0， 整理得，t 2＋2t cos φ－3＝0， 设M ，N 两点对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－2cos φ，t 1·t 2＝－3， ∴|MN |＝|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1·t 2＝4cos 2φ＋12，∵φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，∴cos φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∴|MN |∈[13，4]．(2017·郑州第一次质量预测)选修4－5：不等式选讲 已知a >0，b >0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |的最小值为4. (1)求a ＋b 的值； (2)求14a 2＋19b 2的最小值．[解] (1)因为|x ＋a |＋|x －b |≥|a ＋b |，所以f (x )≥|a ＋b |，当且仅当(x ＋a )(x －b )<0时，等号成立， 又a >0，b >0，所以|a ＋b |＝a ＋b ，所以f (x )的最小值为a ＋b ， 所以a ＋b ＝4.(2)由(1)知a ＋b ＝4，b ＝4－a ， 14a 2＋19b 2＝14a 2＋19(4－a )2＝1336a 2－89a ＋169 ＝1336⎝⎛⎭⎪⎫a －16132＋1613，当且仅当a ＝1613，b ＝3613时，14a 2＋19b 2取到最小值为1613.3.(2016·全国Ⅰ卷)选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t ，(t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .【导学号：07804138】[解] (1)消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝a 2，则C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsinθ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0， 由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1. 当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上． 所以a ＝1.(2016·全国Ⅰ卷)选修45：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|. (1)画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|>1的解集．图231[解] (1)由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1＜x≤32，－x ＋4，x ＞32，故y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由f (x )的函数表达式及图象可知， 当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3； 当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5.故f (x )＞1的解集为{x |1＜x ＜3}，f (x )＜－1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或x ＞5. 所以|f (x )|＞1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或1＜x ＜3或x ＞5. 4．(2017·石家庄一模)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，将曲线C 1上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的12，得到曲线C 2.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2. (1)求曲线C 2的参数方程；(2)过坐标原点O 且关于y 轴对称的两条直线l 1与l 2分别交曲线C 2于A ，C 和B ，D ，且点A 在第一象限，当四边形ABCD 的周长最大时，求直线l 1的普通方程．[解](1)由ρ＝2，得ρ2＝4，因为ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4.由题可得曲线C 2的方程为x 24＋y 2＝1.所以曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝sin θ(θ为参数)．(2)设四边形ABCD 的周长为l ，点A (2cos θ，sin θ)，则l ＝8cos θ＋4sin θ＝45⎝ ⎛⎭⎪⎫25cos θ＋15sin θ＝45sin (θ＋φ)， 其中cos φ＝15，sin φ＝25.所以当θ＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，l 取得最大值，最大值为4 5.此时θ＝2k π＋π2－φ(k ∈Z )，所以2cos θ＝2sin φ＝45，sin θ＝cos φ＝15，此时A ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，15.所以直线l 1的普通方程为y ＝14x .(2017·全国Ⅱ卷)选修45：不等式选讲 已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2.证明： (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4， (2)a ＋b ≤2.[证明] (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4)＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4. (2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3＝2＋3ab (a ＋b ) ≤2＋3a ＋b24(a ＋b )＝2＋3a ＋b34，所以(a ＋b )3≤8， 因此a ＋b ≤2.。
2018大二轮高考总复习文数文档：解答题5 选修4-4(坐标系与参数方程)
4 由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝cos θ. 由|OM|·|OP|＝16 得 C2 的极坐标方程为 ρ＝4cos θ(ρ>0)． 因此 C2 的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)． (2)设点 B 的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)． 由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB 的面积
Error!(t 为参数)． (1)若 a＝－1，求 C 与 l 的交点坐标； (2)若 C 上的点到 l 距离的最大值为 17，求 a. x2 解：(1)曲线 C 的普通方程为 9 ＋y2＝1. 当 a＝－1 时，直线 l 的普通方程为 x＋4y－3＝0.
由Error!
解得Error!或Error!
| | 1
π
sinα－
S＝2|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos α·
3
| | π 3
sin2α－ －
＝2
3 2 ≤2＋ 3.
π 当 α＝－12时，S 取得最大值 2＋ 3.
所以△OAB 面积的最大值为 2＋ 3.
2．(2016·全国乙卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为Error!(t 为参数，a>0)，
．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 ρ＝2sinθ. (1)判断直线 l 与圆 C 的交点个数； (2)若圆 C 与直线 l 交于 A，B 两点，求线段 AB 的长度．
解：(1)∵直线 l 的参数方程为Error!(t 为参数)． ∴消去参数 t 得直线 l 的普通方程为 3x＋y－1＝0， ∵圆 C 的极坐标方程为 ρ＝2sin θ，即 ρ2＝2ρsin θ， ∴由 ρ2＝x2＋y2，ρsin θ＝y，得圆 C 的直角坐标方程为 x2＋y2－2y＝0. ∵圆心(0,1)在直线 l 上， ∴直线 l 与圆 C 的交点个数为 2. (2)由(1)知圆心(0,1)在直线 l 上，
2018年高考试题分类汇编(坐标系与参数方程选讲)
2018年高考试题分类汇编（坐标系与参数方程）1.（2018·北京卷理科）在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆2cos ρθ=相切，则a =__ _．解析：直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>化为普通方程为：0x y a +-=.圆2cos ρθ= 化为标准方程为：22(1)1x y -+=.因为直线圆相切，所以，圆心C (1,0)到直线0x y a +-=的距离等于圆的半径11=,又0a >,解得1a =2.（2018·天津卷理科）已知圆2220x y x +-=的圆心为C，直线132x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ (t 为参数)与该圆相交于,A B 两点，则ABC ∆的面积为 .解析：直线123x ty ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩化为普通方程为：20x y +-=.圆2220x y x +-=化为标准方程为：22(1)1x y -+=.圆心(1,0)C到直线的距离为d =,圆的半径为1,利用勾股定理得弦AB =于是三角形ABC ∆的面积为：1122=. 3.（2018·全国卷Ⅰ）在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的方程为2y k x =+，以坐 标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=．（Ⅰ）求2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若1C 与2C 有且仅有三个的公共点时，求1C 的方程.解析：（Ⅰ）由22cos 30ρρθ+-=可得22230x y x ++-=即22(1)4x y ++=，曲线2C 是以(1,0)A -为圆心，2为半径的圆.（Ⅱ）由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 为2，所以2=，故故43k =-．经检验，当43k =-时，1l 与2C 2l 与2C 有两个公共点．4. （2018·全国卷Ⅱ）在直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为2cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）.（Ⅰ）求C 和l 的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C 截直线l 所得的线段的中点坐标为(1,2)，求直线l 的斜率.解析：（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为221416x y +=．当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=⋅+-， 当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =．（Ⅱ）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=．①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为1t ，2t ，则120t t +=． 又由①得1224(2cos sin )013cos t t ααα++=-=+，故2cos sin 0αα+=，于是直线l 的斜率tan 2k α==-．A5. （2018·全国卷Ⅲ）在平面直角坐标系xoy 中，O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），过点(0,且倾斜角为α的直线l 与O 交于,A B 两点. （Ⅰ）求α的取值范围；（Ⅱ）求AB 中点P 的轨迹的参数方程. 解析：（Ⅰ）O 的直角坐标方程为221x y +=． 当2απ=时，l 与O 交于两点．当2απ≠时，记tan k α=，则l的方程为y kx =l 与O交于两点当且仅当1<，解得1k <-或1k >，即(,)42αππ∈或(,)24απ3π∈．综上，α的取值范围是(,)44π3π． （Ⅱ）l的参数方程为cos ,(sin x t t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数，44απ3π<<)． 设A ，B ，P 对应的参数分别为A t ，B t ，P t ，则2A BP t t t +=，且A t ，B t满足2sin 10t α-+=．于是A B t t α+=，P t α．又点P 的坐标(,)x y满足cos ,sin .P Px t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以，点P的轨迹的参数方程是2,x y αα⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(α为参数，44απ3π<<)．。
【配套K12】2018版高考数学二轮复习第1部分重点强化专题限时集训20坐标系与参数方程不等式选讲文
专题限时集训(二十)坐标系与参数方程 不等式选讲[建议用时：45分钟] [A 组 高考题体验练]1．(2017·全国卷Ⅰ)选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a . [解] (1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1．1分 当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0．2分由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2125，y ＝2425.从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2125，2425．4分(2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17.5分当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917.由题设得a ＋917＝17，所以a ＝8;7分当a ＜－4时，d 的最大值为－a ＋117.由题设得－a ＋117＝17，所以a ＝－16.9分 综上，a ＝8或a ＝－16．10分(2017·全国卷Ⅰ)选修45：不等式选讲已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围．[解] (1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0. ①1分当x <－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解；2分 当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，从而－1≤x ≤1； 3分当x >1时，①式化为x 2＋x －4≤0， 从而1＜x ≤－1＋172．4分所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤－1＋172. 5分 (2)当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2，6分所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，等价于当x ∈[－1,1]时，f (x )≥2.7分 又f (x )在[－1,1]的最小值必为f (－1)与f (1)之一， 所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1. 所以a 的取值范围为[－1,1]．10分2．(2017·全国卷Ⅱ)选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值．[解] (1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，点M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)． 由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ．1分 由|OM |·|OP |＝16得C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ＞0). 3分 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0). 5分(2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)． 由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，6分于是△OAB 的面积S ＝12|OA |·ρB ·sin∠AOB ＝4cos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3 ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3－32≤2＋ 3. 9分当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3.所以△OAB 面积的最大值为2＋3．10分(2017·全国卷Ⅱ)选修4－5：不等式选讲已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2.证明：(1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4， (2)a ＋b ≤2.[证明] (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 62分 ＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4)＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4. 5分(2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3＝2＋3ab (a ＋b )7分≤2＋a ＋b24(a ＋b )＝2＋a ＋b34， 所以(a ＋b )3≤8，所以a ＋b ≤2．10分3．(2017·全国卷Ⅲ)选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt ，(t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝mk(m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．[解] (1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)； 1分 消去参数m 得l 2的普通方程l 2：y ＝1k(x ＋2)．2分设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，y ＝1kx ＋消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)．4分所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0). 5分(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)．6分联立⎩⎨⎧ρ22θ－sin 2θ＝4，ρθ＋sin θ－2＝0得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)． 8分故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110.代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4得ρ2＝5， 所以交点M 的极径为5．10分(2017·全国卷Ⅲ)选修45：不等式选讲已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围． [解] (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ＜－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x ＞2. 1分当x ＜－1时，f (x )≥1无解；2分当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1，得2x －1≥1， 解得1≤x ≤2；3分当x ＞2时，由f (x )≥1，解得x ＞2． 4分所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}.5分(2)由f (x )≥x 2－x ＋m 得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ．6分而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x | ＝－⎝⎛⎭⎪⎫|x |－322＋54≤54，9分且当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54.故m 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，54．10分[B 组 模拟题提速练]1．(2017·南昌一模)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1过点P (a,1)，其参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋2t ，y ＝1＋2t(t 为参数，a ∈R )．以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，且|PA |＝2|PB |，求实数a 的值. [解] (1)曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋2t ，y ＝1＋2t ，∴其普通方程为x －y －a ＋1＝0，2分由曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0， ∴ρ2cos 2θ＋4ρcos θ－ρ2＝0， ∴x 2＋4x －x 2－y 2＝0，即曲线C 2的直角坐标方程为y 2＝4x .5分(2)设A ，B 两点所对应参数分别为t 1，t 2，联立⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝a ＋2t ，y ＝1＋2t得2t 2－22t ＋1－4a ＝0，∵两曲线有两个不同的交点，则Δ＝(22)2－4×2(1－4a )＞0，即a ＞0，由根与系数的关系可知⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝2，t 1·t 2＝1－4a2，根据参数方程的几何意义可知|PA |＝2|t 1|，|PB |＝2|t 2|， 又由|PA |＝2|PB |可得2|t 1|＝2×2|t 2|， 即t 1＝2t 2或t 1＝－2t 2，7分∴当t 1＝2t 2时，有⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝3t 2＝2，t 1·t 2＝2t 22＝1－4a 2，解得a ＝136＞0，符合题意；8分当t 1＝－2t 2时，有⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝－t 2＝2，t 1·t 2＝－2t 22＝1－4a 2，解得a ＝94＞0，符合题意.9分 综上所述，实数a 的值为136或94．10分(2017·南昌一模)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|2x －a |＋|x －1|，a ∈R .(1)若不等式f (x )≤2－|x －1|有解，求实数a 的取值范围； (2)当a ＜2时，函数f (x )的最小值为3，求实数a 的值． [解] (1)由题f (x )≤2－|x －1|，即为⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋|x －1|≤1.而由绝对值的几何意义知⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a2＋|x －1|≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a2－1， 2分∵不等式f (x )≤2－|x －1|有解，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a2－1≤1，即0≤a ≤4.∴实数a 的取值范围是[0,4].5分(2)函数f (x )＝|2x －a |＋|x －1|的零点为a 2和1，当a ＜2时，a2＜1，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋a ＋1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＜a 2，x －a ＋1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2≤x ≤1，3x －a － 1 x ＞，7分由图可知f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 2上单调递减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫a2，＋∞上单调递增，∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝－a2＋1＝3， 解得a ＝－4＜2(符合题意)，即a ＝－4．10分2．选修4－4：坐标系与参数方程平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：(x －1)2＋y 2＝1.直线l 经过点P (m,0)，且倾斜角为π6.以O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系． (1)写出曲线C 的极坐标方程与直线l 的参数方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|PA |·|PB |＝1，求实数m 的值. [解] (1)曲线C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2＝2x ，即ρ2＝2ρcos θ，即曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ． 2分 直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋32t ，y ＝12t (t 为参数). 5分(2)设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，将直线l 的参数方程代入x 2＋y 2＝2x 中，得t 2＋(3m －3)t ＋m 2－2m ＝0，所以t 1t 2＝m 2－2m ． 8分 由题意得|m 2－2m |＝1，得m ＝1,1＋2或1－2． 10分选修4－5：不等式选讲已知函数f (x )＝|x ＋6|－|m －x |(m ∈R )． (1)当m ＝3时，求不等式f (x )≥5的解集；(2)若不等式f (x )≤7对任意实数x 恒成立，求m 的取值范围.【导学号：04024171】[解] (1)当m ＝3时，f (x )≥5，即|x ＋6|－|x －3|≥5， ①当x ＜－6时，得－9≥5，所以x ∈∅；②当－6≤x ≤3时，得x ＋6＋x －3≥5，即x ≥1，所以1≤x ≤3； ③当x ＞3时，得9≥5，成立，所以x ＞3． 4分 故不等式f (x )≥5的解集为{x |x ≥1}. 5分(2)因为|x ＋6|－|m －x |≤|x ＋6＋m －x |＝|m ＋6|. 由题意得|m ＋6|≤7，则－7≤m ＋6≤7， 8分 解得－13≤m ≤1，故m 的取值范围是[－13,1]． 10分3．选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t (t 为参数)，P 点的极坐标为(2，π)，曲线C的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ.(1)试将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并求曲线C 的焦点坐标； (2)设直线l 与曲线C 相交于两点A ，B ，点M 为AB 的中点，求|PM |的值．[解] (1)把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入ρcos 2θ＝sin θ，可得曲线C 的直角坐标方程为x 2＝y ，它是开口向上的抛物线，焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14.5分(2)点P 的直角坐标为(－2,0)，它在直线l 上，在直线l 的参数方程中， 设点A ，B ，M 对应的参数为t 1，t 2，t 0. 由题意可知t 0＝t 1＋t 22.7分把直线l 的参数方程代入抛物线的直角坐标方程，得t 2－52t ＋8＝0．8分因为Δ＝(52)2－4×8＝18＞0， 所以t 1＋t 2＝52，则|PM |＝|t 0|＝522．10分选修4－5：不等式选讲 设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|. (1)解不等式f (x )＞0；(2)若f (x )＋3|x －4|≥m 对一切实数x 均成立，求m 的取值范围．[解] (1)当x ≥4时，f (x )＝2x ＋1－(x －4)＝x ＋5＞0，得x ＞－5，所以x ≥4成立．2分当－12≤x ＜4时，f (x )＝2x ＋1＋x －4＝3x －3＞0，得x ＞1，所以1＜x ＜4成立．4分当x ＜－12时，f (x )＝－x －5＞0，得x ＜－5，所以x ＜－5成立．综上，原不等式的解集为{x |x ＞1或x ＜－5}．6分 (2)f (x )＋3|x －4|＝|2x ＋1|＋2|x －4|≥|2x ＋1－(2x －8)|＝9． 8分 当－12≤x ≤4时等号成立，所以m ≤9．10分4．选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2t ，y ＝－2＋t(t 为参数)，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的方程为ρ＝21＋3sin 2θ.(1)求曲线C 1，C 2的直角坐标方程；(2)若A ，B 分别为曲线C 1，C 2上的任意点，求|AB |的最小值． [解] (1)C 1：x －2y －32＝0，C 2：x 24＋y 2＝1．4分(2)设B (2cos θ，sin θ)，则|AB |＝|2cos θ－2sin θ－32|5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－325． 8分当且仅当θ＝2k π－π4(k ∈Z )时，|AB |min ＝25＝105．10分选修4－5：不等式选讲 设函数f (x )＝|x －1|＋|2x －1|. (1)求不等式f (x )≥2的解集；(2)若∀x ∈R ，不等式f (x )≥a |x |恒成立，求实数a 的取值范围． [解] (1)不等式f (x )≥2等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＜12，1－x ＋1－2x ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧12≤x ＜1，1－x ＋2x －1≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，x －1＋2x －1≥2，3分解得x ≤0或x ≥43，因此不等式f (x )≥2的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤0或x ≥43. 5分 (2)当x ＝0时，f (x )＝2，a |x |＝0，原式恒成立；6分当x ≠0时，原式等价转换为⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－1x ≥a 恒成立，即a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－1x min ．8分∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－1x ≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x －⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1x ＝1，当且仅当⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1x ≤0，即12≤x ≤1时取等号， ∴a ≤1．10分。
2018年高考数学二轮复习 专题8 选修系列 第1讲 坐标系与参数方程课后强化训练
专题八 第一讲 坐标系与参数方程A 组1．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－32t ，y ＝12t .(t 为参数)，以O为极点，x 轴的正半轴为极轴(长度单位与直角坐标系xOy 中相同)的极坐标系中，曲线C 的方程为ρ＝2a cos θ(a >0)，l 与C 相切于点P .(1)求C 的直角坐标方程； (2)求切点P 的极坐标．[解析] (1)l 表示过点(3,0)倾斜角为120°的直线，曲线C 表示以C ′(a,0)为圆心，a 为半径的圆．∵l 与C 相切，∴a ＝12(3－a )，⇒a ＝1．于是曲线C 的方程为ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ， 于是x 2＋y 2＝2x ，22－2x ＝0． OP ＝3． 22ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4－4＝0，求圆C 的半径.O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0． 则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6，所以圆C 的半径为6．3．(2017·玉溪一中月考)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ，(φ为参数).(1)求过椭圆的右焦点，且与直线m ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t ，(t 为参数)平行的直线l 的普通方程．(2)求椭圆C 的内接矩形ABCD 面积的最大值．[分析] (1)由直线l 与直线m 平行可得l 的斜率，将椭圆C 的方程消参可得普通方程求出焦点坐标(也可直接由参数方程求)可得l 方程．(2)用参数方程表示面积转化为三角函数最值求解．[解析] (1)由C 的参数方程可知，a ＝5，b ＝3，∴c ＝4，∴右焦点F 2(4,0)，将直线m 的参数方程化为普通方程：x －2y ＋2＝0，所以k ＝12，于是所求直线方程为x －2y －4＝0．(2)由椭圆的对称性，取椭圆在第一象限部分(令0≤φ≤π2)，则S ＝4|xy |＝60sin φcos φ＝30sin2φ，∴当2φ＝π2时，S max ＝30，即矩形面积的最大值为30．4．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)．以原C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.C 的距离最小时，求P 的直角坐标． ρ2＝23ρsin θ， －3)2＝3． ，则|PC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t －32＝t 2＋12，点的直角坐标为(3,0)．B 组1．(2017·德州模拟)在直线坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ＋π4)＝2 2.(Ⅰ)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(Ⅱ)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标．[解析] (Ⅰ)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0．(Ⅱ)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值，d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2|sin(α＋π3)－2|．当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为(32，12)．2．(2017·广州模拟)在平面直角坐示系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1y ＝1－2t(t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θy ＝3sin θ(θ为参数，a >0).(1)若曲线C 1与曲线C 2有一个公共点在x 轴上，求a 的值；(2)当a ＝3时，曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，求A ，B 两点的距离．[解析] (1)曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1y ＝1－2t 的普通方程为y ＝3－2x ．曲线C 1与x 轴的交点为(32，0)．曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θy ＝3sin θ的普通方程为x 2a 2＋y 29＝1．曲线C 2与x 轴的交点为(－a,0)，(a,0)．由a >0，曲线C 1与曲线C 2有一个公共点在x 轴上，知a ＝32．(2)当a ＝3时，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝3sin θ为圆x 2＋y 2＝9．圆心到直线y ＝3－2x 的距离d ＝|3|22＋12＝355．所以A ，B 两点的距离|AB |＝2r 2－d 2＝ 29－3552＝1255．3．(文)(2016·江苏，21C)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝2sin θ(θ为参数)，设直线l与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.[解析] 椭圆C 的普通方程为x 2＋y 24＝1．将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t代入x 2＋y 24＝1，得(1＋1232t 21，即7t 2＋16t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝－167．所以AB ＝|t 1－t 2|＝167．(理)已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，直线l 经过定点P (3,5)，倾斜角为π3.C 的标准方程；两点，求|PA |·|PB |的值．的普通方程：(x －1)2＋(y －2)2＝16，直线l 的参数即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝5＋32t .t 为参数．(2)将直线的参数方程代入圆的方程可得t 2＋(2＋33)t －3＝0，设t 1、t 2是方程的两个根，则t 1t 2＝3，所以|PA ||PB |＝|t 1||t 2|＝|t 1t 2|＝3． 4．(2016·全国卷Ⅰ，23)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t y ＝1＋a sin t(t 为参数，a ＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(Ⅰ)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(Ⅱ)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a ．[解析] (Ⅰ)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2.C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0．(Ⅱ)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1．a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上．所以a ＝1．。
2018届高考数学(全国通用)二轮复习中档大题精品课件 第7讲 坐标系与参数方程
1.已知圆 C 的极坐标方程为 ρ2＋2
解
π 2ρ· sinθ－4－4＝0，求圆 C 的半径.
以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴
的正半轴，建立直角坐标系xOy.
圆 C 的极坐标方程为 ρ ＋2
2
2ρ
2 2 sin θ － cos θ －4＝0， 2 2
1 2 3 4
解答
4.在以 O 为极点的极坐标系中，直线 l 与曲线 C 的极坐标方程分别是
π ρcosθ＋4＝3
2和 ρsin2θ＝8cos θ，直线 l 与曲线 C 交于点 A，B，求线段
AB 的长.
1
2
3
4
解答
考点二 参数方程与普通方程的互化
要点重组 常见曲线的参数方程
2 x ＝ 2 pt ， 2 (4)抛物线 y ＝2px(p＞0)的参数方程为 (t 为参数). y＝2pt
方法技巧
参数方程化为普通方程：由参数方程化为普通方程
就是要消去参数，消参数时常常采用代入消元法、加减消元法、
乘除消元法、三角代换法，且消参数时要注意参数的取值范围 对x，y的限制.
5 6 7
(t 为参数)，
8
解答
(2)设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|· |PB|的值.
x＝1＋ 3t， 2 解 把直线 l 的参数方程 1 y＝2＋2t
得1＋
代入 x2＋y2＝16，
3 2 1 2 ＋ 2＋ t ＝16， 2 t 2
由|AP|＝d，得3sin θ－4cos θ＝5，
3 4 又 sin θ＋cos θ＝1，得 sin θ＝5，cos θ＝－5.
2018届高考数学二轮温习专题八课时作业二十一坐标系与参数方程理
因为点P在曲线C上，设P(2s2,2 s)，
从而点P到直线l的距离d＝
＝ .
当s＝ 时，dmin＝ .
因此当点P的坐标为(4,4)时，曲线C上的点P到直线l的距离取到最小值 .
3．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴成立坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ，直线l的参数方程为 (t为参数)，两曲线相交于M，N两点．
(1)写出C的一般方程；
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴成立极坐标系，设l3：ρ(cosθ＋sinθ)－ ＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．
解析：(1)消去参数t得l1的一般方程l1：y＝k(x－2)；
消去参数m得l2的一般方程l2：y＝ (x＋2)．
设P(x，y)，由题设得
消去k得x2－y2＝4(y≠0)，
解析：(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcosθ＋11＝0.
(2)在(1)中成立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．
设A，B所对应的极径别离为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcosα＋11＝0，
于是ρ1＋ρ2＝－12cosα，ρ1ρ2＝11.
因此C的一般方程为x2－y2＝4(y≠0)．
(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)，
联立 得
cosθ－sinθ＝2(cosθ＋sinθ)．
故tanθ＝－ ，从而cos2θ＝ ，sin2θ＝ .
代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5，
因此交点M的极径为 .
(1)求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；
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课时作业(二十一) 坐标系与参数方程
1．(2017·郑州市第二次质量预测)在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直
线l ：ρsin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22(ρ≥0,0≤θ<2π)． (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；
(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 的公共点的极坐标． 解析：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ， 即ρ2
＝ρcos θ＋ρsin θ，
故圆O 的直角坐标方程为：x 2
＋y 2
＝x ＋y ，即x 2
＋y 2
－x －y ＝0，
直线l ：ρsin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，
即ρsin θ－ρcos θ＝1，
则直线l 的直角坐标方程为：y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.
(2)由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2
＋y 2
－x －y ＝0
x －y ＋1＝0得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝0
y ＝1，
故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为⎝
⎛
⎭⎪⎫
1，π2.
2．(2017·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝－8＋t ，y ＝t 2
(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨
⎧
x ＝2s 2
，
y ＝22s
(s 为参数)．设P 为曲线
C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．
解析：直线l 的普通方程为x －2y ＋8＝0. 因为点P 在曲线C 上，设P(2s 2,
22s)， 从而点P 到直线l 的距离d ＝|2s 2－42s ＋8|
12＋－22
＝2
s －2
2
＋45
.
当s ＝2时，d min ＝45
5
.
因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上的点P 到直线l 的距离取到最小值45
5.
3．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立坐标系，已知曲
线C 的极坐标方程为ρsin 2
θ＝4cos θ，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝－2＋2
2
t ，y ＝－4＋2
2
t (t
为参数)，两曲线相交于M ，N 两点．
(1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)若P(－2，－4)，求|PM|＋|PN|的值．
解析：(1)曲线C 的直角坐标方程为y 2
＝4x ，直线l 的普通方程为x －y －2＝0. (2)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝－2＋2
2
t ，y ＝－4＋2
2
t (t 为参数)，
代入y 2
＝4x ，得到t 2
－122t ＋48＝0，设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝122，t 1t 2＝48>0， 所以|PM|＋|PN|＝|t 1＋t 2|＝12 2.
4．(2016·全国卷甲)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2
＋y 2
＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；
(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝t cos α，
y ＝t sin α
(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB|＝10，
求l 的斜率．
解析：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2
＋12ρcos θ＋11＝0.
(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．
设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2
＋12ρcos α＋11＝0，
于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB |＝|ρ1－ρ2|＝ρ1＋ρ2
2
－4ρ1ρ2
＝144cos 2
α－44.
由|AB |＝10得cos 2
α＝38，tan α＝±153.
所以l 的斜率为
153或－153
. 5．(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐
标系，直线l 的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝t ，
y ＝at (t 为参数)，曲线C 1的方程为ρ(ρ－4sin θ)＝12，
定点A (6,0)，点P 是曲线C 1上的动点，Q 为AP 的中点．
(1)求点Q 的轨迹C 2的直角坐标方程；
(2)直线l 与直线C 2交于A ，B 两点，若|AB |≥23，求实数a 的取值范围． 解析：(1)根据题意，得
曲线C 1的直角坐标方程为x 2
＋y 2
－4y ＝12， 设点P (x ′，y ′)，Q (x ，y )， 根据中点坐标公式，得
⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝2x －6，
y ′＝2y ，
代入x 2＋y 2
－4y ＝12，
得点Q 的轨迹C 2的直角坐标方程为(x －3)2
＋(y －1)2
＝4，
(2)直线l 的直角坐标方程为y ＝ax ，根据题意，得圆心(3,1)到直线的距离
d ≤22－
3
2
＝1，即|3a －1|a 2＋1
≤1，解得0≤a ≤3
4.
∴实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，34.
6．(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝2＋t ，y ＝kt ，
(t 为
参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝－2＋m ，y ＝m
k
，(m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变
化时，P 的轨迹为曲线C .
(1)写出C 的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．
解析：(1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)； 消去参数m 得l 2的普通方程l 2：y ＝1
k
(x ＋2)．
设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪
⎧
y ＝k x －2，y ＝1
k
x ＋2，
消去k 得x 2
－y 2
＝4(y ≠0)，
所以C 的普通方程为x 2－y 2
＝4(y ≠0)．
(2)C 的极坐标方程为ρ2
(cos 2
θ－sin 2
θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)，
联立⎩⎨
⎧
ρ2cos 2θ－sin 2
θ＝4，ρcos θ＋sin θ－2＝0
得
cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)． 故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2
θ＝110.
代入ρ2
(cos 2
θ－sin 2
θ)＝4得ρ2
＝5， 所以交点M 的极径为 5.。