方法技巧练——最大值与最小值问题
函数的最大值与最小值
函数的最大值与最小值在数学中，函数的最大值和最小值是非常重要的概念。
最大值指的是函数在某个区间上取得的最大数值，而最小值则是函数在该区间上取得的最小数值。
求解函数的最大值和最小值在实际问题中具有重要的应用，如寻找最佳解、优化问题等。
本文将介绍如何求解函数的最大值和最小值，并探讨其中的相关概念和方法。
一、局部最值和全局最值函数的最大值和最小值可以分为局部最值和全局最值两种情况。
局部最值指的是函数在某个小区间内取得的最大或最小值，而全局最值则是函数在整个定义域上取得的最大或最小值。
为了更好地理解这两个概念，我们考虑一个简单的例子。
假设有一个函数f(x) = x^2，在闭区间[-1, 1]上进行观察。
当x为-1时，f(-1) = 1；当x为0时，f(0) = 0；当x为1时，f(1) = 1。
可以看出，函数f(x)在这个区间内的最大值和最小值分别为1和0。
因此，在这个例子中，最大值和最小值都是局部最值。
然而，如果我们考虑函数f(x)在整个定义域上的取值情况，就会发现函数f(x)在x等于0时取得了全局最小值0。
因此，全局最值并不一定出现在局部最值处。
二、求解最值的方法在求解函数的最大值和最小值时，有一些常用的方法和技巧。
1. 导数法导数法是一种常见且经典的求解最值的方法。
它基于一个重要的数学定理：在函数的极值点处，导数等于0。
假设有一个定义在区间[a, b]上的函数f(x)，我们想要求解在该区间上的最大值和最小值。
首先，我们可以计算出函数f(x)的导数f'(x)。
然后，我们找到f'(x) = 0的所有解，这些解即为函数f(x)的极值点。
接下来，我们需要判断这些极值点是函数的最大值还是最小值。
可以通过一些判定条件进行判断，如利用二阶导数的符号、导数的变化规律等。
2. 区间法区间法在求解最值时，将区间等分成多个小区间，然后计算函数在每个小区间的取值，并找出最大值和最小值。
具体做法是将区间[a, b]等分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx = (b - a) / n。
按条件求取最大值与最小值，95%的人都问过这个问题了
按条件求取最⼤值与最⼩值，95%的⼈都问过这个问题了前⼏天呢，有好⼏个群⾥的⼩伙伴在问，如果按条件求取最⼤值与最⼩值的问题，这是⼀个实际⼯作中的经常会遇到的⼀个问题。
今天⼩必⽼师教⼤家两个⽅法可以快速地得到最⼤值最⼩值。
如下图所⽰，是⼀份某个单位的季度奖⾦，现在按要求，计算出每个部门的各个季度的最⾼奖⾦与最低奖⾦：对于以上问题，下⾯⼩必⽼师给⼤家介绍两种⽅法，⼀种是透视表法，⼀种是公式函数法、具体的解决⽅法如下：01透视表法透视表是⽇常处理分析数据最常⽤的⼀个⼯具，具体的操作⽅法如下：Step-01：选中数据区域，单击【插⼊】-【数据透视表】-【现有位置】-【确定】，如下图所⽰：Step-02：在弹出的对话框中，将“部门”与“季度”字段拖放⾄【⾏标签】，将“奖⾦”字段分两次拖放⾄【数值】，如下图所⽰：Step-03：设置字段的计算⽅式，将【数值】⾥的第⼀个“奖⾦”的计算⽅式设置为“最⼤值”，“奖⾦2”的计算⽅式设置为“最⼩值”，并修改标题名称，如下图所⽰：Step-04：设置【分类汇总】⽅式为“不分类汇总”，设置【总计】为“对⾏列禁⽤”，选择【报表布局】为“以表格形式”与“重复所有项⽬标签”，如下图所⽰：02公式法在Excel中提供的最值函数常⽤的有MAX与MIN函数，但是不能直接⽤于计算条件最值，必须与其他的函数配合使⽤，⼀般以数组⽅式出现。
⽽在Office 365的Excel版本中则提供了MAXIF与MINIF的函数，可以直接⽤于计算条件最值。
在H2单元格中输⼊公式：{=MAX(IF((F2=A:A)*(G2=B:B),D:D))}，按组合键<Ctrl+Shift+Enter>完成后向下填充。
如下图所⽰：在I2单元格中输⼊公式：{=MIN(IF((F2=A:A)*(G2=B:B),D:D))}，按组合键<Ctrl+Shift+Enter>完成后向下填充。
如下图所⽰：解释：以上公式属于数组公式，对于初学者来说有⼀定的困难，但是⼩必⽼师给⼤家总结了⼀个万能的套⽤公式，⼤家套⽤这个公式就⾏。
导数与极值最大值与最小值问题练习题
导数与极值最大值与最小值问题练习题在微积分中，导数与极值问题是一类经典且重要的题型。
通过求取导数，我们可以确定函数的极值点，即最大值和最小值。
本文将给出一些导数与极值问题的练习题，帮助读者加深对该类型问题的理解与应用。
练习题一：求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2的极值点。
解析：首先，我们需要求出函数的导数f'(x)。
对于f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2，导数为f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。
接下来，我们将导数f'(x)置为零，求得极值点。
即，3x^2 - 12x + 9= 0。
通过求解这个方程，我们得到x = 1和x = 3两个解。
然后，我们需要分别计算这两个x值对应的函数值f(x)。
当x = 1时，f(x) = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) + 2 = 6；当x = 3时，f(x) = 3^3 - 6(3)^2 + 9(3)+ 2 = -2。
综上所述，在函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2中，极小值为-2，极大值为6，对应的x值分别为1和3。
练习题二：求函数g(x) = e^x - 4x的极值点。
解析：与前一题类似，我们首先求取函数g(x) = e^x - 4x的导数g'(x)。
根据指数函数的导数性质以及常数倍规则，我们有g'(x) = e^x - 4。
将导数g'(x)置为零，求得极值点。
即，e^x - 4 = 0。
通过求解这个方程，我们得到x = ln(4)。
接下来，计算x = ln(4)对应的函数值g(x)。
g(x) = e^x - 4x = e^(ln(4)) - 4(ln(4)) = 4 - 4ln(4)。
因此，在函数g(x) = e^x - 4x中，存在唯一的极值点x = ln(4)，对应的极值为4 - 4ln(4)。
练习题三：求函数h(x) = x^4 - 8x^2 + 16的极值点。
例说求函数的最大值和最小值的方法
例说求函数的最大值和最小值的方法例1.设x 是正实数，求函数xx x y 32++=的最小值。
解：先估计y 的下界。
55)1(3)1(5)21(3)12(222≥+-+-=+-+++-=xx x x x x x y 又当x =1时，y =5，所以y 的最小值为5。
说明 本题是利用“配方法”先求出y 的下界，然后再“举例”说明这个下界是可以限到的。
“举例”是必不可少的，否则就不一定对了。
例如，本题我们也可以这样估计：77)1(3)1(7)21(3)12(222-≥-++-=-++++-=xx x x x x x y 但y 是取不到-7的。
即-7不能作为y 的最小值。
例2. 求函数1223222++--=x x x x y 的最大值和最小值。
解 去分母、整理得：(2y -1)x 2+2(y +1)x +(y +3)=0. 当21≠y 时，这是一个关于x 的二次方程，因为x 、y 均为实数，所以 ∆=[2(y +1)]2-4(2y -1)(y +3)≥0, y 2+3y --4≤0,所以 -4≤y ≤1 又当31-=x 时，y =-4;x =-2时，y =1.所以y min =-4，y max =1. 说明 本题求是最值的方法叫做判别式法。
例3.求函数152++-=x x y ，x ∈[0,1]的最大值解：设]2,1[1∈=+t t x ，则x =t 2-1y = -2(t 2-1)+5t = -2t 2+5t +1原函数当t =169,45=x 即时取最大值833 例4求函数223,5212≤≤+--=x x x x y 的最小值和最大值 解：令x -1=t (121≤≤t ) 则t t t t y 4142+=+=y min =51,172max =y 例5.已知实数x ,y 满足1≤x 2+y 2≤4,求f (x )=x 2+xy +y 2的最小值和最大值 解：∵)(2122y x xy +≤ ∴6)(23),(2222≤+≤++=y x xy y x y x f 又当2==y x 时f (x ,y )=6，故f (x ,y )max =6 又因为)(2122y x xy +-≥ ∴21)(21),(2222≥+≥++=y x xy y x y x f 又当22,22-==y x 时f (x ,y )=21，故f (x ,y )min =21例6.求函数2224)1(5+++=x x x y 的最大值和最小值 解：原函数即111)1(5222++-+=x x y 令112+=x t (0<t ≤1) 则y =5t 2-t +1 ∴当x =±3时，函数有最小值2019，当x =0时，函数取最大值5 例7.求函数|]211[1|)(+-=x x x f 的最大值 解：设α=+=+}211{,]211[x n x ，则 f (x )=|21|1|-=-αn x 由于 0≤α<1,故f (x )≤21，又当x =122-k (k 为整数)时f (x )= 21, 故f (x )max =21 例8.求函数113632424+-++--=x x x x x y 的最大值 解：原函数即222222)1()0()2()3()(-+---+-=x x x x x f 在直角坐标系中，设点P(x ,x 2),A(3,2),B(0,1)，则f (x )=|PA|-|PB|≤|AB|=10 又当6137+-=x 时，f (x )= 10 故f max (x ) = 10例9.设a 是实数,求二次函数y =x 2-4ax +5a 2-3a 的最小值m ，当0≤a 2-4a -2≤10中变动时，求m 的最大值解：y =x 2-4ax +5a 2-3a =(x -2a )2+a 2-3a由0≤a 2-4a -2≤10解得：622-≤≤-a 或62+≤a ≤6 故当a =6时，m 取最大值18例10.已知函数f (x )=log 2(x +1)，并且当点(x ,y )在y =f (x )的图象上运动时，点)2,3(y x 在y =g (x )的图象上运动，求函数p (x )=g (x )-f (x )的最大值。
对数函数最值问题及解题技巧
对数函数最值问题及解题技巧介绍本文将讨论对数函数的最大值和最小值问题，并提供解题技巧。
对数函数是数学中常见的函数之一，它在各种应用领域中起着重要的作用。
对数函数的定义对数函数是以某个正实数为底的指数函数的反函数。
一般地，对数函数可以表示为：$$y = \log_{a}x$$其中，$a$ 是底数，$x$ 是实数。
对数函数的定义域为正实数，值域为实数。
最值问题最值问题是数学中常见的问题之一。
对数函数的最大值和最小值问题是在特定条件下确定对数函数的取值范围。
最大值问题对于对数函数 $y = \log_{a}x$，我们需要找到使函数取得最大值的特定条件。
根据对数函数的特性，我们可以得出以下结论：- 当 $0 < a < 1$：当 $x$ 趋近于正无穷时，$y$ 趋近于负无穷，即函数无最大值。
- 当 $a = 1$：函数恒为 $0$，即函数无最大值。
- 当 $a > 1$：当 $x$ 趋近于正无穷时，$y$ 趋近于正无穷，即函数无最大值。
根据以上结论，对数函数在不同条件下可能没有最大值。
最小值问题对于对数函数 $y = \log_{a}x$，我们需要找到使函数取得最小值的特定条件。
根据对数函数的特性，我们可以得出以下结论：- 当 $0 < a < 1$：当 $x$ 趋近于正无穷时，$y$ 趋近于正无穷，即函数无最小值。
- 当 $a = 1$：函数恒为 $0$，即函数无最小值。
- 当 $a > 1$：当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$y$ 趋近于负无穷，即函数无最小值。
根据以上结论，对数函数在不同条件下可能没有最小值。
解题技巧当解决对数函数最值问题时，我们需要考虑底数 $a$ 的取值范围，以及函数定义域的限制条件。
下面是解题时的一些建议：1. 了解底数的取值范围：不同的底数会有不同的取值范围，这对确定最值问题至关重要。
2. 确定函数定义域的限制条件：对于对数函数，定义域为正实数，因此可能存在一些限制条件，需要在解题过程中注意。
最大值与最小值写法
最大值与最小值写法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：最大值和最小值是数据分析中非常重要的概念，通过最大值和最小值的计算，我们可以更好地了解数据的分布和趋势，从而为决策和预测提供参考。
在统计学和数学领域，最大值和最小值是最基础的数据描述统计量，通常用来描述数据的离散性和集中趋势。
在实际应用中，我们经常需要计算最大值和最小值，以便对数据进行分析和处理。
最大值和最小值的计算方法有很多种，常用的方法包括遍历法、排序法和递归法等。
在实际应用中，我们可以根据数据的特点和需求选择合适的方法来计算最大值和最小值。
下面我们将介绍一些常见的计算最大值和最小值的方法。
1. 遍历法遍历法是最直接的计算最大值和最小值的方法。
遍历法的步骤是遍历数据集中的每一个观测值，通过比较每一个观测值来找到最大值和最小值。
遍历法的优点是简单易懂，适用于数据量较小的情况。
最大值和最小值是数据分析中极为重要的概念和指标，通过计算最大值和最小值，我们可以更深入地了解数据的特征和规律，为数据的进一步分析和处理提供重要参考。
希望通过本文的介绍，读者能够对最大值和最小值有更深入的了解，进一步提升数据分析和处理的能力和水平。
【字数达到要求，还有什么需要帮助的吗？】第二篇示例：最大值与最小值是数学中非常基础和常见的概念，它们在各个领域都有着重要的应用。
最大值指的是一组数据中的最大数值，而最小值则是指一组数据中的最小数值。
在数据处理、统计学、金融和工程等领域中，常常需要对一组数据中的最大值和最小值进行分析和计算。
在日常生活中，我们经常会遇到最大值和最小值的情况。
在购物时我们希望找到最便宜的商品，这时就需要找出价格最低的那个商品，即找到最小值。
再在比赛中，我们往往追求最高的成绩，这时就需要找到最高的成绩，即找到最大值。
最大值和最小值在我们的生活中无处不在。
对于一组数据来说，最大值和最小值是其中最基本的统计量之一。
通过计算最大值和最小值，我们可以了解该组数据的分布情况，进而为进一步的数据分析和研究提供基础。
高中数学最大小值解题大招
高中数学最大小值解题大招
在高中数学中，求最大值和最小值是一种经常出现的问题，无论是在函数或几何中都会遇到。
为了更好地解决这些问题，我们需要掌握以下几个重要的解题技巧。
1. 寻找极值点
在求解最大值或最小值的过程中，首先需要找到函数的极值点。
对于一元函数而言，极值点可以通过求导数的方式来得到。
当导数等于0时，该点可能为极值点。
此时，需要再通过二阶导数的符号来判断该点是否为真正的极值点。
2. 应用拉格朗日乘数法
对于多元函数，如果要求解其最大值或最小值，可以使用拉格朗日乘数法。
这种方法可以将约束条件和目标函数结合起来，通过构建拉格朗日函数来求解最优解。
3. 利用特殊性质进行简化
对于一些特殊的函数，我们可以利用其性质进行简化，从而快速求解最大值或最小值。
比如，周期函数的最大值和最小值只需要在一个周期内求解即可。
同时，对于对称函数来说，最大值和最小值往往在对称轴上取得。
4. 利用几何意义进行分析
对于一些几何问题，我们可以通过建立几何模型来求解最大值或最小值。
比如，在求解矩形的最大面积时，可以将其看作是一个长方形，然后通过长方形的性质来求解。
总之，在解决最大小值问题时，需要灵活运用各种解题技巧和方法，不断深化自己的数学思维和能力。
最大值与最小值的定义及求解方法
最大值与最小值的定义及求解方法在数学中，最大值和最小值是两个重要的概念。
了解它们的定义和求解方法，有助于我们更好地理解和应用数学知识。
一、最大值和最小值的定义最大值指的是一组数中的最大值，也就是这些数中最大的那个数。
例如，1、2、3、4中的最大值为4。
最小值则是这组数中最小的那个数，例如，1、2、3、4的最小值为1。
在函数中，最大值和最小值的定义稍有不同。
对于一个函数f(x)而言，最大值指的是函数在定义域中最大的函数值，也就是在这个函数中，y的取值最大的那个点。
同样的，最小值则是函数在定义域中最小的函数值，也就是在这个函数中，y的取值最小的那个点。
二、求解方法求解最大值和最小值的方法有很多种，以下是几种比较常见的方法。
1.导数法通过求函数的导数，可以判断函数在哪些点处达到最大值或最小值。
具体来说，如果函数在某个点处的导数为0，那么这个点就是函数的极值点。
如果导数为正，那么这个点就是函数的最小值点；如果导数为负，那么这个点就是函数的最大值点。
2.描点法描点法，也称为“列表法”，是一种通过列出函数在特定点处的函数值来确定函数最大值或最小值的方法。
具体来说，我们可以先选取一些数作为自变量，计算函数在这些点处的函数值，然后通过比较这些函数值来确定函数的最大值或最小值。
3.函数图像法函数图像法，就是通过观察函数的图像来判断函数的最大值或最小值。
具体来说，我们可以画出函数的图像，然后找到其中的极值点，并判断这些点是最大值点还是最小值点。
三、总结最大值和最小值的概念在数学中非常重要，而求解最大值和最小值的方法也有很多种。
通过学习这些方法，我们可以更好地理解和应用数学知识，同时也可以更好地解决和处理实际问题。
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方法技巧练——最大值与最小值问题
1.数字排列中的最大值与最小值。
解决数字排列中的最大值与最小值问题,要清楚:一个自然数,数位越多,这个数越大;数位越少,这个数
越小。
(1)一个六位的自然数,各个数位上的数字之和是13,这个自然数最大是( 940000),最小是( 100039)。
(2)一个八位的自然数,各个数位上的数字之和是21,这个自然数最大是( 99300000),最小是( 10000299)。
2.根据近似数推断精确数的最大值与最小值。
根据近似数推断精确数的最大值与最小值,要把两种情况考虑完整:这个精确数可能比近似数大,是经过“四舍”得到的;这个精确数也可能比近似数小,是经过“五入”得到的。
再结合数值最大与最小的原则确定每一位上的数字。
(1)一个自然数,省略万位后面的尾数得到的近似数是93万,最大是多少?最小是多少?
最大:934999 最小:925000
【提示】“四舍五入”后是93万,“四舍”→万位上的数是3→千位上最大是4,其余各位最大是9→最大数。
“五入”→万位上的数是2→千位上最小是5,其余各位最小是0→最小数。
(2)一个整数的近似数是200万,这个数最大是多少?最小是多少?
最大:2004999 最小:1995000
3.两个数的和一定,积的最大值与最小值。
(1)两个数的和是26,这两个数分别是多少时,积最大?
13+13=26
13×13=169
答:积最大是169。
(2)两个数的和是43,这两个数相乘,积最大是多少?
21+22=43 并且两个加数最接近
21×22=462
答:积最大是462。
(3)两个数的和是52,这两个数相乘,积最大是多少?
26+26=52 26×26=676
答:积最大是676。
(4)用1,4,5,8这四个数字组成两个无重复数字的两位数,再把这两个数相乘,积最大是多少?最小是多少?
积最大:先确定两个因数的十位8,5,再根据两个因数的相近原理确定个位81×54=4374
积最小:先确定两个因数的十位1,4,再根据两个因数的相近原理确定个位15×48=720
答:积最大是4374,最小是720。