第十三讲 二次型的标准化
二次型的规范形与标准形
二次型的规范形与标准形在线性代数中，二次型是由一组变量的二次多项式构成的一类函数。
它在数学和应用领域都有广泛的应用。
对于任意二次型，可以通过适当的线性变换将其化为规范形或标准形。
本文将介绍二次型的规范形和标准形，并探讨它们的性质和应用。
1. 二次型的定义和性质二次型是由变量x1，x2，...，xn 的二次多项式构成的函数。
通常表示为Q(x) = x^T A x，其中x = (x1, x2, ..., xn)^T 是变量向量，A 是实对称矩阵。
二次型具有以下性质：- 对称性：Q(x) = Q(x^T)- 齐次性：Q(kx) = k^2 Q(x)，对任意实数k- 加性：Q(x + y) = Q(x) + Q(y)，对任意向量x，y2. 二次型的规范形对于任意二次型Q(x)，可以通过合适的变量变换将其化为规范形。
规范形是一种特殊的形式，使得无法再通过线性变换进一步简化。
规范形的形式如下：Q(x) = λ1 y1^2 + λ2 y2^2 + ... + λn yn^2其中，λ1，λ2，...，λn 是实数，y1，y2，...，yn 是规范变量。
通过矩阵的特征值分解，可以得到二次型的规范形。
具体步骤如下：- 求出二次型Q(x)对应的对称矩阵A的特征值λ1，λ2，...，λn- 对应每个特征值λi，求出对应的特征向量yi- 将特征向量yi按列排列得到矩阵P = (y1, y2, ..., yn)- 规范形为Q(x) = P^T Δ P，其中，Δ = diag(λ1, λ2, ..., λn) 是特征值对角矩阵3. 二次型的标准形二次型的标准形是规范形的一种特殊情况，对应于所有特征值都是1或-1的情况。
标准形的形式如下：Q(x) = y1^2 + y2^2 + ... + yn^2对于特征值λi = 1，取对应的特征向量yi作为标准变量；对于特征值λi = -1，取对应的特征向量yi的相反数作为标准变量。
相比规范形，标准形更加简洁，且易于分析和计算。
二次型的标准形与规范形
二次型的标准形与规范形引言在线性代数中，二次型是一个重要的概念。
它在解决优化问题、矩阵分析以及其他数学领域中有广泛的应用。
二次型可以通过变换来改变其表达形式，其中标准形和规范形是常用的两种变换形式。
本文将重点介绍二次型的标准形和规范形，并探讨它们的性质和应用。
二次型的定义在矩阵和向量的帮助下，我们可以定义二次型。
给定一个实对称矩阵A和一个实列向量$\\mathbf{x}$，一个二次型可以表示为$\\mathbf{x}^TA\\mathbf{x}$。
其中，A是一个$n\\times n$的实对称矩阵，$\\mathbf{x}$是一个n维实列向量。
二次型可以看作是向量$\\mathbf{x}$和矩阵A的乘积的形式。
二次型的标准形二次型的标准形是一个最简化的表达形式，可以通过合适的变换将任意的二次型转化为标准形。
标准形的特点是只有对角线上有非零元素，其余位置上都是零。
为了找到这样的标准形，我们需要进行特征值分解。
特征值分解根据实对称矩阵特征值的性质，矩阵A可以通过特征值分解表示为A=PDP T，其中P是由A的特征向量组成的正交矩阵，D是由特征值组成的对角矩阵。
将特征值代入二次型$\\mathbf{x}^TA\\mathbf{x}$中，可以得到$\\mathbf{x}^T(PDP^T)\\mathbf{x}$。
根据矩阵乘法的结合律，上式可以变为$(P^T\\mathbf{x})^TD(P^T\\mathbf{x})$。
标准形的规定为了将矩阵A转化为标准形，需要定义一个新的变量$\\mathbf{y} =P^T\\mathbf{x}$，其中$\\mathbf{y}$和$\\mathbf{x}$的关系可以写为$\\mathbf{x} = P\\mathbf{y}$。
带入二次型的表达式中，可以得到$\\mathbf{x}^TA\\mathbf{x} = \\mathbf{y}^TD\\mathbf{y}$。
根据特征值分解的性质，可以进一步将$\\mathbf{y}^TD\\mathbf{y}$化简为$y_1^2 + y_2^2 +\\ldots + y_n^2$。
线性代数—二次型的标准形和规范形
x1 z1 z2 3z3
对应的线性变换为
x2
z1
z2
z3
.
x3
z3
9
2、用正交变换法化二次型为标准形 由上节定理可知，对实对称阵 A，总可找到正交
阵 P，使 P 1 AP 为对角阵，而由正交阵性质可知，
P 1 P T ，故 P 1 AP P T AP 。因此这样的正交
化为标准形，并求所作的正交变换。
解 二次型的矩阵
17 2 2
A 2 14 4
2 4 14
17 2
2
E A 2 14 4 ( 18)2( 9) ,
2
4 14
12
17 2
2
E A 2 14 4 ( 18)2( 9) ,
2
4 14
8 2 2 2 5 4
( x1 x2 x3 )2 ( x2 2x3 )2 ,
5
f ( x1 x2 x3 )2 ( x2 2x3 )2 ,
令
y1 y2
x1 x2 x2 2x3
x3
x1 x2
y1 y2 y2 2 y3
y3
y3
x3
x3 y3
x1 1 1 1 y1
含有平方项
含有x1的项配方
解 f x12 2 x22 5 x32 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
x12
2x1 x2
2x1 x3
2
x
2 2
5
x
2 3
6x2 x3
( x1 x2 x3 )2 x22 x32 2x2 x3 2x22 5x32 6x2 x3
( x1 x2 x3 )2 x22 4x32 4去x2掉x3 配方后多出来的项
将二次型化为标准型
将二次型化为标准型首先，我们来看一下什么是二次型。
二次型是关于变量的二次多项式，一般形式可以表示为：\[ Q(x_1, x_2, \cdots, x_n) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j \]其中，\( x_1, x_2, \cdots, x_n \) 是变量，\( a_{ij} \) 是系数。
二次型在实际问题中有很多应用，比如描述物体的形状、分析物理问题中的能量分布等。
接下来，我们来讨论如何将二次型化为标准型。
要将二次型化为标准型，首先需要通过合同变换将二次型的二次项消去，使得二次型的矩阵变为对角矩阵。
具体的步骤如下：1. 针对二次型的二次项进行配方法，使得二次型的矩阵变为对称矩阵。
这一步是为了方便后续的对角化处理。
2. 通过正交变换（合同变换）将对称矩阵对角化。
正交变换可以保持矩阵的对称性，将二次型的二次项化为对角型，从而得到二次型的标准型。
通过以上步骤，我们就可以将任意的二次型化为标准型。
这一过程在实际问题中有着重要的应用，比如在物理学中描述粒子的能量分布、在工程学中描述结构的稳定性等。
除了将二次型化为标准型，我们还可以通过配方法和正交变换，将二次型化为规范型。
规范型是介于二次型和标准型之间的一种形式，它可以更好地反映二次型的特性，对于一些特殊的问题有着重要的应用价值。
总之，将二次型化为标准型是对二次型进行化简和分类的重要过程，通过这一过程可以更好地理解和分析二次型的性质。
在实际问题中，我们经常需要对二次型进行化简和分类，以便更好地解决问题和应用二次型的性质。
希望本文对读者有所帮助，谢谢阅读！。
二次型化为标准型.
y1 1 0 1 z1 即 y 2 0 1 2 z 2 y 0 0 1 z 3 3
得
2 2 2 f 2 z1 2z2 6z3 .
Page 15
2 2 2 f 1 y1 2 y2 n yn ,
其中1 , 2 ,, n是 f 的矩阵A aij 的特征值 .
Page 3
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤
1. 将二次型表成矩阵形式 f xT Ax, 求出A;
2. 求出A的所有特征值 1 , 2 ,, n ; 3. 求出对应于特征值的特 征向量1 , 2 ,, n ;
Page 12
2 2 2 f x1 2 x2 5 x3 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
2 2 y1 y2 .
所用变换矩阵为
1 1 1 C 0 1 2 , 0 0 1
C
1 0.
Page 13
例3 化二次型
4. 将特征向量 1 , 2 ,, n正交化, 单位化, 得
1 , 2 ,, n , 记C 1 , 2 ,, n ;
2 2 f 1 y1 n yn .
5. 作正交变换x Cy , 则得f的标准形
Page 4
例1 将二次型
2 2 2 f 17 x1 14 x2 14 x3 4 x1 x2 4 x1 x3 8 x2 x3
且有
2 2 2 f 9 y1 18 y2 18 y3 .
Page 8
二、拉格朗日配方法的具体步骤
用正交变换化二次型为标准形，其特点是保 持几何形状不变．
化二次型为标准型
2 2 0
000
得同解方程组：
x1
2x3 0 x2 2x3 0
x1 x2
2x3 2 x3
取 x3 1 ,得属于2 4的线性无关的特征向量 ：
P2 2,2,1
将3 2代入方程 A EX O 得A 2E X O,即
A
2 2 0
2 1 2
002
4 2 0
2 3 2
0 2 2
1 3
122
2 5
2
2 15
1 3
取正交阵 T P1*
P2*
P3*
1 5
0
4
2 15
2 3
2 3
2 3
2
5
2
2 15
1 3
正交阵
3 2 3
取对角阵 diag 1, 2 , 3
1 0 0
0 1 0
0 0 10
做正交变换 X=TY，即
P1*
1 P1
P1
1 3
122
, P2*
1 P2
P2
1 3
122
, P3*
1 P3
P3
1 3
122
取正交阵
2
3
T P1*
P2*
P3*
1 3
2 3
2 3
2 3
1
3
1 3
2
2
3 3
2 3
2 3
1 3
正交阵
T
1 3
2 3
2 3
1
3
2
2
3 3
取对角阵 diag 1, 2 , 3
2 4 5 0 1 1 0 0 1
1 9 2 8 1 2 10 =0
二次型的标准型和规范型
2. 正交变换法 正交变换：x Qy,其中Q为正交矩阵.
Th5.3(1)实对称矩阵A, 正交矩阵Q,使QT AQ为对角矩阵. (2)任一二次型都可经正交变换化为标准形,即 二次型f (x) xT Ax, 正交变换x Qy(Q为正交矩阵),
将其化为标准形g( y1, y2 ,, yn ) 1 y12 2 y22 n yn2 , 其中 1, 2 ,, n为A的n个特征值.
小结 : 设A为实对称矩阵, (1)求一可逆矩阵P, 使P1AP为对角矩阵. (2)求一正交矩阵Q, 使Q1AQ为对角矩阵. (3)求一可逆矩阵P,使PT AP为对角矩阵. (4)求一正交矩阵Q,使QT AQ为对角矩阵.
2. 初等变换法
准备知识： (1)化二次型f (x) xT Ax为标准形 化实对称矩阵A为对角矩阵. (2)任一方阵均可利用对等的初等行、列变换化为对角矩阵. 这里, " 对等"指的是作一次初等行变换后, 立即再作一次同种的初等列变换.
特征值的个数分别相同.
5.2 over
5.2 二次型的标准形与规范形
二次型的标准形:
二次型f (x) xT Ax 可逆 的线性变换xCy 标准形 : g( y) yT (CT AC) y d1 y12 d2 y22 dn yn2.
d1
标准形的矩阵:
B
CT
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱAC
d2
为正交矩阵其中qqy化为标准形将二次型其中将其化为标准形为正交矩阵正交变换二次型变换化为标准形任一二次型都可经正交为对角矩阵正交矩阵实对称矩阵标准形化为将二次型为可逆矩阵求一可逆的线性变换即可化为标准形将二次型为正交矩阵求一正交变换即可求一正交矩阵方法为对角矩阵求一可逆矩阵为实对称矩阵求一正交矩阵为对角矩阵求一可逆矩阵为对角矩阵求一正交矩阵为对角矩阵求一可逆矩阵为实对称矩阵小结aq等列变换立即再作一次同种的初指的是作一次初等行变对等这里对角矩阵的初等行列变换化为任一方阵均可利用对等为对角矩阵化实对称矩阵为标准形化二次型准备知识
二次型的标准型
二次型的标准型二次型是数学中重要的概念，它在代数、线性代数和微积分等领域都有着广泛的应用。
在研究二次型的过程中，我们经常会遇到将二次型化为标准型的问题。
本文将介绍二次型的标准型及其相关知识，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一内容。
首先，我们来回顾一下二次型的定义。
二次型是关于n个变量的二次齐次多项式，一般形式为：\[f(x_1, x_2, \cdots, x_n) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_ix_j\]其中，\(a_{ij}\)为常数，\(x_1, x_2, \cdots, x_n\)为变量。
接下来，我们将介绍如何将二次型化为标准型。
对于一个二次型，通过合适的线性变换，我们可以将其化为标准型。
设二次型为：\[f(x_1, x_2, \cdots, x_n) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_ix_j\]我们可以通过矩阵的方法来进行线性变换，将二次型化为标准型。
具体步骤如下：1. 首先，我们构造一个对称矩阵A，其元素为\(a_{ij}\)。
2. 然后，我们对矩阵A进行合同变换，将其对角化。
即存在可逆矩阵P，使得\(P^TAP\)为对角矩阵。
经过上述步骤，我们就可以将二次型化为标准型。
标准型的形式为：\[f(y_1, y_2, \cdots, y_n) = \lambda_1y_1^2 + \lambda_2y_2^2 + \cdots +\lambda_ny_n^2\]其中，\(\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n\)为二次型的特征值。
通过这样的线性变换，我们可以将原来的二次型化为一个更加简洁和易于研究的形式。
这对于研究二次型的性质和应用具有重要意义。
除了将二次型化为标准型，我们还可以通过配方法将其化为标准型。
对于二次型：\[f(x_1, x_2, \cdots, x_n) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_ix_j\]我们可以通过配方法，将其化为标准型。
二次型的标准型
xx年xx月xx日
目 录
• 引言 • 二次型的表示 • 二次型的变换 • 二次型的标准型 • 结论
01
引言
什么是二次型
二次型定义
二次型是一种由实数变量和二次形式构成 的数学对象，一般形式为 $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$，其中$x_i$是实 数变量。
VS
二次型的变量
二次型的向量表示
二次型的向量表示法中，向量是单位向量。
二次型的向量表示法可以用来计算向量的长度，以及求解向 量的加法和数量积。
二次型的几何意义
二次型的几何意义可以表示为平面上一个点的轨迹。 二次型的几何意义可以用来求解最短路径问题，以及计算点到直线的距离。
03
二次型的变换
合同变换
1 2
定义
合同变换是在线性代数中，通过非奇异线性变 换将一个二次型化为标准型。
弹性力学
在弹性力学中，物体的应变能密度通常表示为应变向量的二次型。通过将应 变能密度表示为标准型，可以简化弹性力学问题的求解过程，并得到一些有 用的物理性质。
二次型的表示
二次型的矩阵表示
二次型的矩阵表示法中，矩阵是实对称矩阵 。
二次型的矩阵表示法可以用来求解线性方程 组，以及判断线性变换是否可逆。
二次型标准型的计算和模拟需要大量的计算资源和时间 ，对于大规模高复杂度的系统可能存在计算效率低下的 问题。
THANKS
谢谢您的观看
应用
相似变换在矩阵的分解和化简、 特征值求解等领域有着广泛的应 用。
位似变换
定义
位似变换是在复数域上的一种线性变换，通过位似变换可以将一个复二次型化为具有相同主轴长度的复二次型。
过程
二次型的标准形及其在几何中的应用
二次型的标准形及其在几何中的应用
二次型的标准形是数学领域中的重要概念，其在几何中也有广泛的应用。
一、二次型的标准形
二次型的标准形指的是可以用下面的式子表示的函数：
f(x)＝ax2 ＋ bx ＋ c
其中a、b、c是常数，常常取a ≠ 0。
当a、b、c全都为0时，这就是最简单的函数f(x)＝0，叫做二次型的常数形式。
此外，一般地，二次型标准形也包括以下式子形式：
f(x)＝ax2＋ bx＋ c
f(x)＝x2＋ bx＋ c
f(x)＝ ax2＋ bx
f(x)＝ax2＋ c
f(x)＝ax2
二次型的标准形的概念已经出现在17世纪，得到了开普勒、斯特林等科学家的研究，并且在数学方面有着非常广泛的应用，其本质就是一个函数，可以用来求解一些数学问题。
二、二次型的标准形在几何中的应用
二次型标准形在几何中也有着广泛的应用。
如在绘图学中，可以使用二次型的标准形来描述曲线；另外在几何学中，二次曲线可以通过一些几何性质，如对称和对称轴等来刻画，从而使几何图像的描述更加清楚。
此外，在计算机图形学中，二次曲线还可以用来描述图形图像，用来识别和操作图像等，它可以帮助我们更加精细地描述图形以及形成平滑的曲线。
三、结论
从上述内容可以看出，二次型的标准形是数学领域中的重要概念，它有着广泛的应用，并且在几何学和计算机图形学中也有重要的地位。
它不仅可以帮助我们更准确地描述图形，而且可以求解一些典型的数学问题。
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第十二讲 合同变换与二次型的标准化
教学目的：
1. 介绍合同变换：另一种对角化途径，只用于对称阵；
2. 对“可逆的矩阵变换”做个小结。
3. 介绍二次型及其矩阵形式；
4. 介绍二次型标准化的概念：与合同变换的关系。
教学内容：
第六章：§ 6.4 合同变换； 第七章：§ 7.1 二次型及其标准形；
§ 7.2 二次型的标准化；
教案提纲：
§ 6.4 合 同 变 换
一、合同变换：
1. 概念：定义6.5
2.
二、合同变换的实施例6.8，p.140
小结：四个矩阵变换的比较：
第七章 二 次 型
§ 7.1 二次型及其标准形
一、 二次型：
1. 二次型的概念：定义7.1：两种写法：（7.1）式、（7.2
2. 二次型的矩阵形式：与实对称阵的一一对应，
二、 二次型的标准形：
1. 标准形（法式）的概念：
由二次曲面的标准方程引入，定义7.2
与对角阵的对应；
2. 标准化：与合同变换的对应。
AX X X f T =)( PY X =，使APY P Y AX X ==T T T T
A 找可逆阵P ,使Λ=T AP P 为对角阵
§ 7.2 二次型的标准化
一、正交变换法：
理论上没有新内容，用示例讲清实施步骤：
二次型AX X X f T =)(→ A → 求特征值 → 求正交的特征向量组（Schmidt
Λ==-T AP P AP P 1 → 例：()AX X x x x x x x x x x x f T
=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=++=2121212
2212112
214),(， ()()3132122
12-+=--=--=
-λλλλλ
λλE A ，特征值1213λλ=-=，
，进而得特征向量⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=111121p p 、，它们已经互相正交，单位化后即得到正交
阵⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=
111121P 。
可对它作两方面验证：一方面， ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=
=T -300160022111112112211111211AP P AP P ；另一方面，将相应的变换PY X =，即⎪⎩⎪⎨
⎧+
=+
=
-22
112
122
21121
1y y x y y x 代入原二次型，得(
)(
)
(
)(
)
=+
+++
+
+
=
--22
112
12
2
112
12
22
112
12
22
112
14
y y y y y y y y f
()()()
=-+++++-=212
22221212
122212121222y y y y y y y y y y ()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=-++=21212221212222213001322y y y y y y y y y y ；
易见两者的一致性。
作业：p.147：20（1、4）； p.151：56；
p.168：1（3、4）、2（3、4）、
● 备例。