随机信号分析答案
随机信号分析课后习题答案
1第一次作业：练习一之1、2、3题1.1 离散随机变量X 由0，1，2，3四个样本组成，相当于四元通信中的四个电平，四个样本的取值概率顺序为1/2，1/4，1/8，和1/8。
求随机变量的数学期望和方差。
解：875.087813812411210)(][41==⨯+⨯+⨯+⨯===∑=i i i x X P x X E81)873(81)872(41)871(21)870(])[(][2224122⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=-=∑=i i i P X E x X D109.16471==1.2 设连续随机变量X 的概率分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-+<=21201)](2πΑsin[0.500)(x x x x x F求（1）系数A ；（2）X 取值在（0.5，1）内的概率)15.0(<<x P 。
解：⎪⎩⎪⎨⎧<≤-π==其他0201)](2π[cos 2)()(x x A dx x dF x f 由1)(=⎰∞∞-dx x f得 2A 021)](2πAsin[1)]d (2π[cos 2=-=-π⎰∞∞-x x x A21A =35.042)]15.0(2[sin 21)]11(2[sin 21)5.0(F )1(F )15.0(==-π--π=-=<<x P1.3 试确定下列各式是否为连续随机变量的概率分布函数，如果是概率分布函数，求其概率密度。
（1）⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-000e 1)(2x x x F x （2）⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1110Α00)(2x x x x x F （3）0)]()([)(>--=a a x u x u a xx F （4）0)()()(>---=a a x u axa x u a x x F2解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-000e 1)(2x x x F x 当0≥x 时，对于12x x ≥，有)()(12x F x F ≥，)(x F 是单调非减函数； 1)(0≤≤x F 成立；)()(x F x F =+也成立。
随机信号分析教程答案,李兵兵、马文平
第一章随机过程1.1二值过程定义为()X t A =或A -，(1)(0,1,2,)n T t nTn -≤≤=±±其中A 与A -等概出现，T 为一正常数。
（1）画出典型的样本函数图形； （2）将此过程归类；（3）该过程是确定性过程吗？ 解：（1）略；（2）此过程为离散型随机过程； （3）此过程是确定性过程。
1.2 随机过程()X t A Bt =+，其中A 和B 是相互独立的正态分布(0,1)N 的随机变量，试求()X t 的2维概率密度函数。
解：因为A 和B 都是服从标准正态分布，且相互独立，因此它们的线性组合也服从正态分布，故二维随机变量()12(),()X t X t 服从二维正态分布。
对于正态分布，只需求出数学期望和协方差即可确定概率密度函数。
数学期望：[()][][]0X m E X t E A E B t ==+=121222122112(,)[()()][]1X R t t E A Bt A Bt E A B t t ABt ABt t t =++=+++=+ 协方差：2121212(,)(,)1X X X K t t R t t m t t =-=+因此211221221111t t t t t t ⎡⎤++=⎢⎥++⎣⎦K 。
则()X t 的2维概率密度函数为：1212121/21(,;,)2T X f x x t t eπ--=X K XK其中：211221221111t t t t t t ⎡⎤++=⎢⎥++⎣⎦K ，()12,x x =X 。
1.3 考虑随机过程()cos ,X t X t t T ω=∈，此处ω为常数，X 服从标准正态分布。
试求()X t 的一维概率密度函数。
解：对于某一1t 时刻，1()X t 为X 的线性组合，因此1()X t 服从正态分布。
期望：[()][]cos 0X m E X t E X t ω===121221212(,)[cos cos ][]cos cos cos cos X R t t E X t X t E X t t t t ωωωωωω=== 方差：()222(,)cosX X X t R t t m t σω=-=则()X t 的一维概率密度函数为：222cos (,)x tX f x t ω-=1.4 离散随机过程的样本函数皆为常数，即()X t C ==可变常数，式中C 为一随机变量，其可能值为11C =，22C =及33C =，且它们分别以概率0.6、0.3及0.1出现。
随机信号分析(常建平李海林)习题答案解析
完美 WORD 格式1-9 已知随机变量X的分布函数为0 , x 02F (x) kx , 0 x 1X1 , x 1求：①系数 k；②X落在区间(0.3,0.7) 内的概率；③随机变量X的概率密度。
解：第①问利用F X (x) 右连续的性质k ＝1P 0.3 X 0.7 P 0.3 X 0.7 P X 0.7 第②问F 0.7 F 0.3第③问f (x)Xd F(x)Xdx2x 0 x 10 else专业知识分享完美 WORD 格式x1-10 已知随机变量X 的概率密度为( ) ( )f x ke xX（拉普拉斯分布），求：①系数k ②X落在区间 (0,1)内的概率③随机变量 X的分布函数解：第①问f x dx 1 k12第②问x2P x X x F x F x f x dx1 2 2 1x1随机变量 X落在区间( x1 , x2 ] 的概率 P{ x1 X x2} 就是曲线y f x 下的曲边梯形的面积。
1P 0 X 1 P 0 X 1 f x dx1 2 1 e1第③问12 f x12xe xxe xxF x f ( x)dx1 1x x xe dx x 0 e x 02 20 1 1 1xx x xe dx e dx x 0 1 e x 02 0 2 2专业知识分享完美 WORD 格式1-11 某繁忙的汽车站，每天有大量的汽车进出。
设每辆汽车在一天内出事故的概率为0.0001，若每天有1000 辆汽车进出汽车站，问汽车站出事故的次数不小于 2 的概率是多少？n=1- 分布 (0 1)n ,p 0,np=二项分布泊松分布n 成立，0不成立, p q高斯分布实际计算中，只需满足，二项分布就趋近于泊松分布n 10 p 0.1P X kk e＝＝np k!汽车站出事故的次数不小于 2 的概率P(k 2) 1 P k 0 P k 10.1P(k 2) 1 1.1e 答案专业知识分享完美 WORD 格式1-12 已知随机变量 (X,Y)的概率密度为f (x, y) XY(3 x 4 y),ke x 0, y 0, 其它0求：①系数k？②( X ,Y)的分布函数？③P{0 X 1,0 X 2} ？第③问方法一：联合分布函数F XY (x, y) 性质：若任意四个实数 a ab b ，满足1, 2, 1, 2a a bb ，满足a1 a2,b1 b2 ，则P{a X a ,b Y b}F XY(a ,b ) F XY(a ,b) F XY(a ,b ) F XY(a ,b)1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 2 1P{0X 1,0 Y 2} F XY(1,2) F XY(0,0) F XY(1,0) F XY(0,2)方法二：利用P{( x, y) D } f XY u,v dudvD2 1P{0X 1,0 Y 2} f XY x,y dxdy0 0专业知识分享完美 WORD 格式1-13 已知随机变量(X,Y) 的概率密度为f (x, y)1, 0 x 1, y x0 , 其它①求条件概率密度 f X (x| y)和f Y ( y | x) ？②判断X 和Y 是否独立？给出理由。
随机信号分析答案(赵淑清版)3
第三次作业：练习一之9、10、11题1.9随机变量X 和Y 分别在[0,a ]和[0,2π]上均匀分布，且互相独立。
对于a b <，证明：a bY b x P π2)cos (=<证：rv . X 和Y 分别在[0,a ]和[0,2π]上均匀分布 有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤=其它001)(ax a X f 和⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤=其它0202)(ππy Y f⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤⇒⎭⎬⎫<≤<20cos 0cos cos πy y b x a b y b Y b x Y b x cos <)20,cos 0()cos (π≤≤<≤=<y y b x p y b x p⎰⎰=2/0cos 0),(πyb dxdy y x f dy⎰⎰=2/0cos 0)()(πyb dxdy y f x f dy 因为rv . X 和Y 相互独立⎰⎰⋅=2/0cos 021ππyb dxdy a dy⎰⋅=2/0cos 2ππydy a bab π2=命题得证1.10 已知二维随机变量（21,X X ）的联合概率密度为),(2121x x f X X ，随机变量（21,X X ）与随机变量（21,Y Y ）的关系由下式唯一确定⎩⎨⎧+=+=2111221111Y d Y c X Y b Y a X ⎩⎨⎧+=+=212211dX cX Y bX aX Y 证明：（21,Y Y ）的联合概率密度为),(1),(21112111212121y d y c y b y a f bcad y y f X X Y Y ++-=证：做由),(2121y y f Y Y 到),(2121x x f X X 的二维变换),(2121x x f X X =J ),(2121y y f Y Y ),(2121y y f Y Y =J1),(2121x x f X X bc ad d c b a x y x y x y x y J -==∂∂∂∂∂∂∂∂=22122111 ),(1),(21112111212121y d y c y b y a f bc ad y y f X X Y Y ++-=1.11 随机变量X,Y 的联合概率密度为2,0)sin(),(π≤≤+=y x y x A y x f XY求：（1）系数A ；（2）X,Y 的数学期望；（3）X,Y 的方差；（4）X,Y 的相关矩及相关系数。
随机信号分析(常建平+李海林)习题答案.
1-9 已知随机变量X 的分布函数为20,0(),011,1X x F x kx x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩求：①系数k ； ②X 落在区间(0.3,0.7)内的概率； ③随机变量X 的概率密度。
解：第①问 利用()X F x 右连续的性质 k ＝1第②问{}{}{}()()0.30.70.30.70.70.30.7P X P X F P X F =<<=<≤-=-第③问 201()()0X X xx d F x f x elsedx ≤<⎧==⎨⎩1-10已知随机变量X 的概率密度为()()xX f x kex -=-∞<<+∞（拉普拉斯分布），求：①系数k ②X 落在区间(0,1)内的概率 ③随机变量X 的分布函数 解： 第①问 ()112f x dx k ∞-∞==⎰ 第②问{}()()()211221x x P x X x F x F x f x dx <≤=-=⎰随机变量X 落在区间12(,]x x 的概率12{}P x X x <≤就是曲线()y f x =下的曲边梯形的面积。
{}{}()()1010101112P X P X f x dxe -<<=<≤==-⎰第③问()102102xx e x f x e x -⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩()00()110022111010222xx xxx x x x F x f x dxe dx x ex e dx e dxx e x -∞-∞---∞=⎧⎧≤≤⎪⎪⎪⎪==⎨⎨⎪⎪+>->⎪⎪⎩⎩⎰⎰⎰⎰1-11 某繁忙的汽车站，每天有大量的汽车进出。
设每辆汽车在一天内出事故的概率为0.0001，若每天有1000辆汽车进出汽车站，问汽车站出事故的次数不小于2的概率是多少？,(01)p q λ→∞→→∞→−−−−−−−−→−−−−−−−−→−−−−−−−−→n=1n ,p 0,np=n 成立，0不成立-分布二项分布泊松分布高斯分布汽车站出事故的次数不小于2的概率()()P(2)101k P k P k ≥=-=-= 答案0.1P(2)1 1.1k e -≥=-100.1n p ≥≤实际计算中，只需满足，二项分布就趋近于泊松分布()np!k e P X k k λλλ-=＝＝1-12 已知随机变量(,)X Y 的概率密度为(34)0,0(,)0x y XY kex y f x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩,,其它求：①系数k ？②(,)X Y 的分布函数？③{01,02}P X X <≤<≤？第③问 方法一：联合分布函数(,)XY F x y 性质：若任意四个实数1212,,,a a b b ，满足1212,a a b b ≤≤，则121222111221{,}(,)(,)(,)(,)XY XY XY XY P a X a b Y b F a b F a b F a b F a b <≤<≤=+--{01,02}(1,2)(0,0)(1,0)(0,2)XY XY XY XY P X Y F F F F ⇒<≤<≤=+--方法二：利用(){(,)},XY DP x y D f u v dudv∈∈⎰⎰)(210{01,02},XY P X Y f x y dxdy <≤<≤=⎰⎰1-13 已知随机变量(,)X Y 的概率密度为101,(,)0x y xf x y ⎧<<<=⎨⎩,,其它 ①求条件概率密度(|)X f x y 和(|)Y f y x ？②判断X 和Y 是否独立？给出理由。
随机信号分析答案(赵淑清版)5
第五次作业：练习二之1、2、3、4、5题2.1 随机过程t B t A t X ωωsin cos )(+=，其中ω为常数，A 、B 是两个相互独立的高斯变量，并且0][][==B E A E ，222][][σ==B E A E 。
求X (t )的数学期望和自相关函数。
解： ]sin []cos []sin cos [)]([t B E t A E t B t A E t X E ωωωω+=+=t B E t A E ωωsin ][cos ][+=0= （0][][==B E A E ）)]sin cos )(sin cos [()]()([),(22112121t B t A t B t A E t X t X E t t R X ωωωω++==]sin sin cos sin sin cos cos cos [2122121212t t B t t AB t t AB t t A E ωωωωωωωω+++=2122121212sin sin ][cos sin ][][sin cos ][][cos cos ][t t B E t t B E A E t t B E A E t t A E ωωωωωωωω+++=212212sin sin ][cos cos ][t t B E t t A E ωωωω+= （22])[(][][X E X D X E +=）)(cos 122t t -=ωσ)(cos 2τωσ= （12t t -=τ）2.2 若随机过程X (t )在均方意义下连续，证明它的数学期望也必然连续。
证： 由均方连续的定义0])()([lim 20=-∆+→∆t X t t X E t ， 展开左式为：)]()()()()()([lim 220t X t X t t X t X t t X t t X E t +∆+-∆+-∆+→∆ =0))]()()((([))]()()((([{lim 0=-∆+--∆+∆+→∆t X t t X t X E t X t t X t t X E t 固有0)]([)]([lim 0=-∆+→∆t X E t t X E t ，证得数学期望连续。
随机信号分析(常建平 李海林版)课后习题答案知识讲解
由于百度文库格式转换的原因，不能整理在一个word 文档里面，下面是三四章的答案。
给大家造成的不便，敬请谅解随机信号分析 第三章习题答案、随机过程 X(t)=A+cos(t+B)，其中A 是均值为2，方差为1的高斯变量，B 是（0，2π）上均匀分布的随机变量，且A 和B 独立。
求（1）证明X(t)是平稳过程。
（2）X(t)是各态历经过程吗？给出理由。
（3）画出该随机过程的一个样本函数。
（1）（2）3-1 已知平稳过程()X t 的功率谱密度为232()(16)X G ωω=+，求：①该过程的平均功率？②ω取值在(4,4)-范围内的平均功率？解[][]()[]2()cos 211,cos 5cos 22X E X t E A E t B A B R t t EA τττ=++=⎡⎤⎣⎦+=+=+与相互独立()()()21521()lim2TT T E X t X t X t X t dt AT-→∞⎡⎤=<∞⇒⎣⎦==⎰是平稳过程()()[]()()4112211222222242'4(1)24()()444(0)41132(1)224414414(2)121tan 13224X X XE X t G d RFG F e R G d d d arc x x ττωωωωωππωωπωωπωπωω∞----∞∞-∞-∞∞--∞∞⎡⎤⨯⎡⎤==⋅=⋅⎢⎥+⎣⎦====+==⎛⎫+ ⎪==⎣⎦=++⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰P P P P 方法一()方：时域法取值范围为法二-4,4内(频域的平均率法功)2d ω=3-7如图3.10所示，系统的输入()X t 为平稳过程，系统的输出为()()()Y t X t X t T =--。
证明：输出()Y t 的功率谱密度为()2()(1cos )Y X G G T ωωω=-[][]:()[()()]{()()}{()(}2()()()()()()()()2(()[)()(()()]()())Y X X X Y X X Y Y Y X X X Y Y j T j T R E Y t Y t E X t X t T X t X t T R R R R E Y t Y t G F R T T e e G R G R G G G G ωωτττττωτωττωττττωωωω-⇒⇒=+=--+-+-=--=+=-⇔⇔∴=-+-=已知平稳过程的表达式利用定义求利用傅解系统输入输出立叶平变稳换的延时特性2()2()22()(1cos )j T j T X X X e e G G G T ωωωωωω-⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦=-此文档来源于网络，如有侵权请联系网站删除3-9 已知平稳过程()X t 和()Y t 相互独立，它们的均值至少有一个为零，功率谱密度分别为216()16X G ωω=+22()16Y G ωωω=+令新的随机过程()()()()()()Z t X t Y t V t X t Y t =+⎧⎨=-⎩ ①证明()X t 和()Y t 联合平稳； ②求()Z t 的功率谱密度()Z G ω？ ③求()X t 和()Y t 的互谱密度()XY G ω？ ④求()X t 和()Z t 的互相关函数()XZ R τ？ ⑤求()V t 和()Z t 的互相关函数()VZ R τ 解:()()4124(1)()()()2[()]()0[()]0()2[()]0()()(,)[()][()]0()()(2)()()()()[()()][()()][()X X X Y XY Z X t Y t R F G e E X t R E X t R eE Y t X t Y t R t t E X t E Y t X t Y t Z t X t Y t R E Z t Z t E X t Y t X t τττωτδττττττ---==∞=⇒=⎡⎤⎣⎦=-⇒=∴+=⋅+=⇒=+=+=++Q 、都平稳＝与与联合独平立稳[][]{}2214||()]()()()()()0()()()16()()()116(3)()0()0(4)()[()()]()()()()()()[()]2(5)(X YX XY Y XY Z X Y Z X Y XY XY XZ X XY X X VZ Y t R R R R R R R R G G G R G R E X t Z t E X t X t Y t R R R F G e R ττττττττττωωωωωτωτττττττωτ--++=+++=∴=++∴=+==+=→==+=+++=+===Q {}4||)[()()][()()][()()]()()()4X Y E V t Z t E X t Y t X t Y t R R e ττττττδτ-=+=-+++=-=+-3-11 已知可微平稳过程()X t 的自相关函数为2()2exp[]X R ττ=-，其导数为()()Y t X t '=。
随机信号分析(常建平李海林)习题答案解析
y
y
0
1
1
e
e
y
3
2
1
0
else
1-17 已知随机变量 X,Y 的联合分布律为
P X m,Y n
m ne 5
32
, m,n 0,1,2,
m! n!
***
求： ① 边缘分布律
***
P X m (m 0,1,2, ) 和
②条 件分布律 P X m |Y
和 n
PY
n|X
m？
专业 知识分享
P Y n (n 0,1,2,
0.0001 ，若每天有 1000 辆汽车进
出汽车站，问汽车站出事故的次数不小于
2 的概率是多少？
二项分布
n=1
- 分布 (0 1)
n
,p 0,np=
泊松分布
n
成立 ， 0 不成立
,p q
高斯分布
实际计算中，只需满足
，二项分布就趋近于泊松分布 n 10 p 0.1
ke PX k ＝
k!
＝ np
汽车站出事故的次数不小于
X
3
6
7
求： ①X 的分布函数
P 0.2 0.1 0.7 ② 随机变量 Y 3X 1 的分布律
1-15 已知随机变量 X 服从标准高斯分布。 求：①随机变量 Z X 的概率密度？ 的概率密度？ ② 随机变量
分析 : ① f Y (y)
h '(y)
f X h( y)
② f Y ( y) | h' 1 (y) | f X [h 1 ( y)]
第③问
fx Fx
1x 2e
0 x
1x
e 2
0 x
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渤海大学继续教育学院考试卷
年级 专业 学习形式 科目 随机信号分析
学 号 姓名
…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………
题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 得分
一、填空题（每2分，共20分）
1. 数学期望是描述随机变量的（ 集中特性 ），方差是用来度量随机变量偏离其（ 数学期望 ）的程度
2. 随机变量的X 特征函数是（
][)(jwx
e E =ωφ ）第二特征函数是（ )(ωψ ）它们之间的关系是（ )(ln )(ωφωψ= ） 3. 两个随机变量统计独立，它们必然是（不 ）相关的
4. 设有实信号，)(t x 它的希尔伯特换定义是（ τττπd t x ⎰∞∞--)(1
），反变换定义为（
ττπd t t x
⎰∞
∞---)(ˆ1 ）
5. 各态历经过程必须是（ 平稳的 ），但平稳过程 （ 不一定 ）都具有各态历经性。
6. 按照随机过程的时间和状态，可以将随机过程分为（ 连续随机过程 ）、（ 离散过程）、（连续随机序列 ）和（离散随机序列 ）
7. 对于高斯过程，不相关和（ 互相独立 ）是等价的，狭义平稳和（ 广义平稳 ）是等价。
8. 具有高斯分布的噪声称为（高斯噪声）。
具有均匀分布的噪声叫（均匀噪声），而如果一个随机过程的功率谱密度是常数，则称它为（白噪声）。
9. 如果一个随机过程的功率谱密度是常数，则称它为（ 白噪声 ） 二、单选题（每小题2分，共20分）_ 1. 随机过程的样本函数是（ A ）
A 确定的时间函数
B 随机函数
C 随机变量的函数
D 常量 2 .若)()()]()([2121t m t m t Y t X
E Y X = 则随机过程 )(1t X 与)(2t Y ( A ) A 不相关 B 正交 C 独立 D 平稳过程
3 若联合宽平稳过程)(t X 与)(t Y 的互功率密度0)(=ωXY S ,则)(t X 与)(t Y （ B ） A 不相关 B 正交 C 独立 D 平稳过程
4 各态历经随机过程（ A ）
A 必定宽平稳
B 非定稳
C 不一定平稳 5 平稳随机过程)(t X 的均方值为 （ B ） A 负的 B 非负的常量 C 时间t 的函数 6 白噪声是根据其( A )定义的
A. 概率密度的特点 B 噪声的大小 C 噪声出现的时间 D 白噪声的自相关函数 7 设dt e x x
t ⎰∞
-
=
Φ2
2
21
)(π
为标准正态分布随机变量的概率积分函数，则=-Φ)(x ( B )
A
)(x Φ B 1 － )(x Φ C －)(x Φ D 2
1
－)(x Φ
8 若随机变量X 的概率密度为4
42
21)(-+-=
x x
e x
f π 则E[X]=（ C ）
A 0
B 1
C 2
D 3
9. 平稳随机过程X(t)希尔伯特变换 )(ˆt X 的统计自相关函数 )(ˆτX
R ，和时间自相关函数)(ˆτT X R ，分别等于：( B ) A )()(),
()(ˆˆττττ-=-=XT T X X X R R R R B )()(),()(ˆˆττττXT T X X X R R R R ==
C )()(),(ˆ)(ˆˆττττ-==XT T X X X R R R R
D )(ˆ)(),(ˆ)(ˆˆττττXT T X X X R R R R ==
10 以下（ B ）不是平稳随机过程自相关函数的性质
A )()(ττ-=X X R R
B )()0(τX X R R ≤
C )()(ττ-=+X X R T R
D 2
)()(X X X m R R im l =∞=∞
→ττ
三 简答 （共10分）。