第二章 格林定理 镜像法
2.8 镜像法
第二章 2.8
2.8
Z
0
q
P( x y z)
导体
h
z 0 平面为导体平面，其参考电位为零。
点电荷 q 与导体平面之间的电位满足：
电位 给定
z ＞0
2 0
q所在点除外
4
z0
2014-6-14
0
第二章 2.8
镜像电荷 q 的设置： 将无限大导体平面去 h 掉，整个空间充满介 电常数为 0 的介质， 在 q的镜像位置上置 一电荷 q ，则
2
q
2
第二章 2.8
三、球面导体与点电荷：
1、接地导体球与点电荷如图所示：求球外 ?
a
o
q
P 1
r2
a
P
d1
镜像电荷 ：
0 d 2 q
P2
r 1
q
P1
d1
1
q P2 点
2014-6-14
P点在导体球面上
23
第二章 2.8
26
r2
边界条件： 方法一：
球面： r 如图 1
边界
像电荷
2014-6-14 2
第二章 2.8
镜像法最后将求解有限区域 的边值问题转换为无边界的无限 大均匀媒质中的求解问题。
原电荷
像电荷
镜
如何求镜 像电荷
3
数学物理方法 12 格林函数法
（14.2.4）
(r r0 ) 代表三维空间变量的 函数，在直角坐标系中其形式为
(r r0 ) ( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 )
（14.2.4）式中 函数前取负号是为了以后构建格林函数方便 格林函数的物理意义【2】：在物体内部（T 内） r0 处放置一个单位点电荷，而该物体的界面保持电位为零, 那么 该点电荷在物体内产生的电势分布，就是定解问题(14.2.4)的 解――格林函数．由此可以进一步理解通常人们为什么称格林 函数为点源函数．
（14.3.8）
上式正是我们所熟知的静电场的电位表达式
二、二维轴对称情形
用单位长的圆柱体来代替球．积分在单位长的圆柱体内进行，即
G(r ,0)dV (r )dV
T T
因为
(r )dV 1
T
G(r ,0)dV G(r,0)dV
令积分常数为0，得到
G(r ,0)
1 1 G(r ,0) ln c 2π r
1 1 ln 2π r
因此二维轴对称情形的格林函数为
G(r , r0 ) 1 1 ln 2π | r r0 |
（14.3.9）
将（14.3.9）代入式（14.3.1）得到二维无界区域的解为
u (r ) 1 1 f (r0 )ln dS0 S0 2π | r r0 |
点场的影响的总和．两项积分中的格林函数相同．这说明 泊松方程的格林函数是点源在一定的边界条件下所产生的 场． 对于拉普拉斯方程 第一边值问题的解为 第三边值问题的解为
f (r0 ) 0
u (r ) (r0 )
G (r , r0 ) ]dS0 n 0
电动力学 第2章 2-4
3、线电荷对无限大导体平面的镜像
位于无限大接地导体平面附近的无限长直线电荷问题也可由镜像 法求解。设线电荷距导体平面为h，单位长度带电荷ρl ，则其像 电荷仍是无限长线电荷，其中像电荷的线密度为 ρl ’=- ρl ，像 电荷的位置为z’=-h 在z>0的上电Q，则还需要在球心放置一个点电荷Q。
3、球内点电荷的镜像
在半径为a的接地导体球壳内，有一点电荷q，它与球心相距为d (d<a),如图所示。求球内的电位分布和球面上总感应电荷。 解：与点电荷位于导体球外的情况做类似的 处理。这里像电荷q’应位于导体球壳 外 且在球心与点电荷q的连线的延长线上， 如图所示。设像电荷距球心为d，同样 有 球壳内任一点的电位则为
§2.4
镜像法(电象法)
在许多静电场问题中，电荷位于导体表面附近、或位于电介质 分界面附近。对这类问题，直接求解泊松方程（或拉普拉斯方 程）会遇到很大困难，这时可采用镜像法间接求解。 镜像法是一种间接求解方法，它是在所求解的场区域以外的空 间中某些适当的位置上设置适当的等效电荷（称为像电荷）， 在保持场域边界面上所给定的边界条件下，用像电荷替代导体 面上或介质面上的复杂电荷分布，把求解边值问题转换为求解 无界空间的问题。 根据唯一性定理，只要由源电荷与像电荷共同产生的位函数既 满足场域内的泊松方程（或拉普拉斯方程），又满足边界上所 给定的边界条件，则这个位函数就是唯一正确的解。
在介质分界面z＝0处，电位满足边界条件
总
结：
（１）点电荷对导体平面的镜象 一个点电荷Q，若距无限大的电位为零的导体平面为d， 则其镜象电荷为在平面另一侧，距平面为d处的点电荷-Q。 （２）点电荷对导体球的镜象 一个点电荷Q，若离半径为a的接地导体球球心为d，则其 镜象电荷Q’位于球心及Q所在点的联线上，距球心为b， a 并且 a2 Q Q ' = − b= d d （３）点电荷对电介质平面的镜像 其中：q’位于点电荷的异侧， q’’位于点电荷的同侧。
高等电磁场理论-格林函数
3. 除此之外，标量格林函数的一个重要的性质是对源 点和场点的偶对称性，即
G r',r Gr,r'
设有标量格林函数 G r',r1 和 G r',r2 ，它们是不同源点 r1 和 r2 在场点 r' 所产生的标量场，在同一体积 V
内，它们必满足以下方程
（5-2）
在直角坐标系中
r r' x x' y y' z z'
(5-3a)
在圆柱坐标系中
r
r'
1
'
'
'
z
z'
在圆球坐标系中
r
r'
r'2
1
sin
'
r
r'
'
'
(5-3b) (5-3c)
三维 函数 r r' 可以展开为傅里叶积分
r r'
1
2 3
e jk•
合边界 S 上所满足的边界条件，
p r 为已知函数，当 0, 0 时边界上的标量场已知，为第一类边界条件，
对应的问题称为第一类边值问题；
当 0, 0 时边界上的标量场法向导数已知，为第二类边界条件，对应的问题
称为第二类边值问题；
当 0, 0 时通常是在一部分边界上标量场已知而在其余的边界上标量场的法
本征函数归一化，即使本征函数满足
n
r
* m
r dV
mn
V
式中 mn 是克罗内克尔 函数。
mn
1, 0
mn mn
（5-31）
求出本征值与本征函数后，可将标量格林函数用本征函数 n (r) 展开， 即
多元格林定理
多元格林定理也称为格林公式或格林第二定理，是微积分中的重要定理之一。
它是格林第一定理在二维空间的推广，用于计算二维平面上曲线围成的有向闭合区域的面积或曲线积分。
多元格林定理的陈述如下：
设D是一个有界的平面区域，其边界曲线C是由一组光滑的曲线段组成，并且C是逆时针方向围成D的。
如果函数P(x, y)和Q(x, y)在D和C上具有一阶连续偏导数，那么有：
∬_D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dA = ∮_C (P dx + Q dy)
其中，∬_D表示对D内部的面积进行二重积分，∮_C表示沿C的曲线积分，dA表示微小面积元素，P和Q是定义在D上的实值函数，(∂Q/∂x - ∂P/∂y)表示P和Q的偏导数之差。
这个定理表明，曲线C围成的区域D的面积可以通过对P和Q的偏导数之差在D上进行二重积分来计算，也可以通过沿曲线C的曲线积分来计算P dx + Q dy。
多元格林定理在物理学、工程学和应用数学等领域中有广泛的应用，特别是在流体力学、电磁学和热力学等领域中的问题求解中常常用到。
它为计算和分析二维平面上的物理量提供了一种有力的工具。
镜像法
九镜像法用镜像法某些看来棘手的问题很容易地得到解决。
它们是唯一性定理的典型应用之例。
镜像法法的实质是把实际上分片均匀媒质看成是均匀的，并在所研究的场域边界外的适当地点用虚设的较简单的电荷分布来代替实际边界上复杂的电荷分布(即导体表面的感应电荷或介质分界面的极化电荷)。
根据唯一性定理，只要虚设的电荷分布与边界内的实际电荷一起所产生的电场能满足给定的边界条件，这个结果就是正确的。
镜像法最简单的例子是：接地无限大导体平面上方一个点电荷的电场，见图1—28(a)。
显然，只要在导体平面的下方与点电荷q对称的点(—d，0，0)处放置一点电荷(－q)，并把无限大导体平板撤去，整个空间充满介电常数为ε的电介质，在平板上半空间内。
故任意点（x，y，z）的电位为（1－77）这里的(—q)相当于(十q)对导体板的“镜像”，故称为镜像法，它代替了分布在导体平板表面上的感应电荷的作用。
用镜像法解题时要注意适用区域。
这里，解(1—77)式适用区域为导体平面上半空间内。
下半空间内实际上不存在电场。
还有几种其它类型的镜像问题。
这里先来研究一个导体球面的镜像问题。
如图1—29所示，在半径为R的接地导体球外，距球心为d处有一点电荷q。
根据问题的对称性，可设镜像电荷(—q`)放在球心O与点电荷q的联线上，且距球心为b。
虽然有（1－78）于是，球外任意点P的电位为（1－79）由此可知，点电荷附近接地导体球的影响，可用位于距球心b处的镜像电荷(—q`)来表示。
也即(—q`)代替金属球面上感应电荷的作用。
镜像法对点电荷在双层介质引起的电场的应用。
如图1—30所示，平面分界面S的左、右半空间分别充满介电常数为与的均匀介质，在左半空间距S为d处有一点电荷q，求空间的电场。
设左半空间电位为，右半空间电位为这里使用这样的镜像系统：即认为左半空间的场由原来电荷q和在像点的像电荷q`所产生(这时介电常数的介质布满整个空间)；又认为右半空间的场由位于原来点电荷q处的像电荷q``单独产生(这时介电常数为的介质布满整个空间)。
镜像电源求格林函数
静电源像法求解格林函数摘要利用静电源象法求出不同区域的格林函数,是求解这些区域上的拉普拉斯方程与泊松方程边界间题的关键。
同时,静电源象法也是物理专业学生在电动力学等专业课的学习中应熟练掌握的一个有用工具。
针对这个间题文章归纳出利用静电源像法求格林函数的一般基本思路。
关键词格林函数；静电源像法；狄利克雷边值静电源像法理论依据静电源像法求区域的格林函数归结为求函数g（,),也就是求感应电荷产生的点位。
当区域的边界具有特殊的对称性时，就可以用类似于反射波的方法求的格林函数。
在区域外也有一个点电荷，他对自由空间的电场产生一个电位，这两个点电荷所产生的电位在边界上恰好抵消，这个点电荷在内的电位就等于感应电荷产生的电位。
现在利用静电源法求秋的格林函数，K是以O为圆心，R为半径的球面。
在点放置一单位电荷，在半射线上截线段使=，（1.1）其中,,称点为关于球面K的反演点。
设P是球面K 上的任意给定一点，考察三角形,他们在点O有公共角，而夹此角的二相应边按（1.1）式是成比例的，因此这两三角形是相似的。
有相似性得到，对球面K上任意点P必有。
在点处有一个点电荷，根据上式，它所产生的电位恰好与处单位电荷所产生的电位抵消，必须是在处的点电的电量为-,因此,这样一来，以K为球面的球上的格林函数就是：, (1.2) 现在用（1.2）求方程满足边界条件（1.3）的狄利克雷问题的解。
应用，其中=,是和OM的夹角，利用（1.1）式，根据（1.2）式就得到格林函数：, 易知在球面K上，-=因此，得到在球上的狄利克雷问题的接的表达式为，（1.4）球坐标形式如下其中（）是点的坐标，是球面K上P的坐标，。
静电源像法求解半空间的狄利克雷问题要求一个半空间z>0上的调和函数，它在平面z=0上取函数f(x,y):.点的对称点是。
由此，有如下的格林函数：对于半空间z>0来讲，平面z=0的法线方向是与z轴相反的方向，即。
此外，对于半空间的情形，只要对调和函数()加上在无穷远处的条件：（），再由公式，可得到半空间上的调和方程的狄利克雷问题的解的表达式为：=静电源像法应用举例无限大导体平面前的点电荷用镜像法解题，设在无限大接地导体平面（z=0）附近有一点电荷Q与平面距离为z=h导体平面是等位面。
镜像法
一、电象法的概念和适用条件1.求解泊松方程的难度一般静电问题可以通过求解泊松方程或拉普拉斯方程得到电场。
但是，在许多情况下非常困难。
例如，对于介质中、导体外存在点电荷的情况虽然可以采用叠加法求解，但是求解比较困难。
求解的困难主要是介质分界面或导体表面上的电荷一般非均匀分布的，造成电场缺乏对称性。
2. 以唯一性定理为依据在唯一性定理保证下，采用试探解，只要保证解满足泊松方程及边界条件即是正确解。
特别是对于只有几个自由点电荷时，可以将导体面上感应电荷分布等效地看作一个或几个点电荷来给出尝试解。
3.电象法概念、适用情况电象法：用假想点电荷来等效地代替导体边界面上的面电荷分布，然后用空间点电荷和等效点电荷迭加给出空间电势分布适用情况：a)所求区域有少许几个点电荷，它产生的感应电荷一般可以用假想点电荷代替。
b)导体边界面形状比较规则，具有一定对称性。
c) 给定边界条件注意：a）做替代时，所研究空间的泊松方程不能被改变（即自由点电荷位置、Q 大小不能变）。
所以假想电荷必须放在所求区域之外。
b）不能改变原有边界条件（实际是通过边界条件来确定假想电荷的大小和位置）。
c）一旦用了假想（等效）电荷，不再考虑原来的电荷分布。
d）坐标系选择仍然根据边界形状来定。
4.格林等效层定理（1）等势面包围的体积V内的电荷在V外产生的电势与在此等势面上置一导体面，并将V内电荷都搬到导体上所产生的电势完全一样。
（2）相反，带电导体所产生的电势也可以用导体面内一定等效电荷分布来代替，只要它产生与导体表面完全重合的等势面。
四、应用举例1.接地无限大平面导体板附近有一点电荷，求空间电势。
从物理问题的对称性和边界条件考虑，假想电荷应在左半空间 z 轴上。
φ=解：根据唯一性定理左半空间右半空间，Q 在（0，0，a ）点， 电势满足泊松方程。
边界上00z φ==Q '设电量为 a '，位置为（0，0，）14Q Q φπε'=+zφ='==由边界条件确定Q'a'φ和、唯一解是因为象电荷在左半空间，所以舍去正号解,Q Q a a''=-=±4Qφπε=讨论：（a）导体面上感应电荷分布02223/22()zQaz x y aφσεπ=∂=-=-∂++223/222()Qa rdrQ dS Q Qr aπσπ∞'''==-=-=+⎰⎰（b）电荷Q 产生的电场的电力线全部终止在导体面上它与无导体时，两个等量异号电荷产生的电场在右半空间完全相同。
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r [x2 y2 (z h)2 ]1/ 2, r [x2 y2 (z h)2 ]1/ 2
Ex
qx
4 0
1 r3
1 r3
Ey
qy
4 0
1 r3
1 r3
Ez
qz
4 0
zh r3
zh r3
2.10.1 唯一性定理
8
设在区域V内， 1 和 2 满足泊松方程，即:
21
(r)
22
(r)
在V的边界S上 1 和 2 满足同样的边界条件， 即:
1 |S f (r)
2 |S f (r)
9
令φ =φ1-φ2，则在V内，▽2φ=0，在边界面S上，φ|S=0。在格 林第一恒等式中，令Ψ=φ，则:
现测得各带电导体的电位为
体电荷元处的电位为
i
当各导体的电荷变为 ，
q
/ i
体电荷密度变为 /
相应的电位变为
/ i
和
/
，有
3
n
n
qi
/ i
V
/ d
qi/ i
V
/ d
i 1
i 1
这是格林互易定理的普遍形式
证明：
V
(2 2)d S
2.10.1 平面镜像法
例4-1 求置于无限大接地平面导体上方，距导体面为h处的点 电荷q的电位。
图4-1 无限大导体平面上点电荷的镜像
14
解： 当 z>0 时，▽2φS=0 当 z=0时，φ=0 当 z→∞、|x|→∞、|y|→∞时，φ→0。
15
'
1
4 0
q r
q r
16
由Dn=ρS可得导体表面的面电荷密度：
S
0Ez
2 (x2
qh y2
h2 )3/2
导体表面总的感应电荷：
qin
2.9 格林定理 互易定理
2.9.1 格林定理
V FdV SF dS
在上式中，令 F 则:
F () 2
FdV (2 )dV
V
V
S () dS
S
n
dS
1
即:
V
(2
)dV
S
n
dS
这就是格林第一恒等式。n是面元的正法向，即闭合面
的外法向。
V
(2
)dV
S
n
dS
(2 2 )dV dS
V
S n n
格林定理可用于解的唯一性证明和求解泊松方程的积分
V
(2
)dV
S
n
dS
由于▽ 2φ =0，所以有:
2
dV
dS
V
S n
在S上φ =0，因而上式右边为零，因而有:
2
V dV 0
10
或者这样来证明
设满足麦克斯韦方程、初始条件和边界条件的电磁场解不唯一， 至少有两组解
E E1 E2
i
1
( i qi/
i/ qi
)
n
n
qi
/ i
V
/ d
qi/i V
/ d
i 1
i 1
证毕
（1）当整个空间除导体外，没有其它体电荷密度分布
n
n
qi
/ i
qi/ i
i 1
i 1
6
（2）若整个空间除体电荷密度分布外，没有其它诸导体
( )dS
n n
现令：
/
(2/ /2)d ( / / )dS
V
S n
n 4
Ò right i
Si
(i
i / n
i/
i n
)dS
乙 [i i
(
1 2
E
2
1 2
H
2
)]d
t 0
(
E 2d )dt t ( (E H ) d)dt
V
0
V
(
1 2
E
2
1 2
H 2 )]d
t 0
(
(E H ) nd)dt
12
(E H) n E (H n) H (n E)
Si
(
i / n
)dS
i/
( i )dS
Si
n
i
1
( i qi/
i/ qi
)
21
(r)
2 (r)
1
left V
( / / )d
5
left 1
(/ / )d
V
Right
H H1 H2
E H
t
D 0
H E E
t
B 0
11
(E H) H E E H
(E H ) d
V
[J
E
t
(
1 2
E 2
1 2
H
2 )]d
V
解，在电磁场理论中是很重要的定理之一
2
2.9.2 格林互易定理
互易定理是描述不同场及其场源成对称关系的公式，格林定理是不同 函数间成对称关系的互易定理的数学表述。两个定理的区别在于：格林定 理不含具体的物理意义，而互易定理可以看为格林定理的一个直接推论和 应用
它是描述在带电体系中，空间各处的电荷分布与在其它各电荷分布 处所产生的电位间存在互易关系。
r ur
r uur
n E |边界 0 n H |边界 0
V
(
1 2
E
2
1 2
H 2 )]d
0
式中的被积函数总为正值，要使上式成立，必有
E0
H 0和
E1 E2
H1 H2
在有界区域内满足给定源的场方程、初始条件 13
及不同边界条件的场解是唯一的
2.10 镜像法
V / d V /d
7
2.10 唯一性定理 镜像法
在电磁场问题中，往往需要求解有限区域中给定边界条件下 的电磁场问题。
如果只考察空间某—有限区域的电磁场，而区域内、外常存在不同 场源，显然仅仅知道区域内的场源并不足以能完全确定有限区域内的电 磁场，还必须知道区域外场源的影响，而外域场源的影响可以通过用边 界面上的等效场来取代，故内域场由其内部场源和边界场值唯一确定。