2013届高考数学压轴题练习30

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2013年湖北高考文科数学压轴题

2013 年湖北高考文科数学压轴题18．（本小题满分12 分）在△ ABC 中，角 A ， B ，C对应的边分别是 a ， b ， c . 已知 cos2 A 3cos( B C) 1 .（Ⅰ）求角 A 的大小；（Ⅱ）若△ABC 的面积 S 5 3 ， b 5 ，求 sin B sin C 的值 .19．（本小题满分13 分）已知 S n是等比数列 { a n } 的前 n 项和， S4， S2， S3成等差数列，且 a2a3a418 .（Ⅰ）求数列{ a n } 的通项公式；（Ⅱ）能否存在正整数n ，使得 S n2013 ？若存在，求出切合条件的全部n 的会合；若不存在，说明原因．20．（本小题满分13 分）如图，某地质队自水平川面A，B，C 三处垂直向地下钻探，自 A 点向下钻到 A1处发现矿藏，再持续下钻到 A2处后下边已无矿，进而获得在 A 处正下方的矿层厚度为A1 A2 d1．相同可得在 B，C 处正下方的矿层厚度分别为 B1B2 d 2， C1C2d3，且 d1 d 2d3 . 过AB，AC 的中点 M ， N 且与直线AA2平行的平面截多面体A1B1C1A2 B2C2所得的截面DEFG为该多面体的一此中截面，其面积记为S中．（Ⅰ）证明：中截面DEFG 是梯形；（Ⅱ）在△ ABC 中，记BC a ，BC边上的高为h ，面积为S . 在估测三角形ABC 地区内正下方的矿藏储量（即多面体A1 B1C1 A2 B2 C2的体积 V ）时，可用近似公式V估 S中 h 来估量 . 已知 V 1与 V 的大小关系，并加( d1 d 2 d3 ) S，试判断 V估3以证明 .第 20题图21．（本小题满分13 分）设 a0 ， b0 ，已知函数 f ( x)ax b .x 1（Ⅰ）当a b 时，议论函数 f ( x) 的单一性；（Ⅱ）当 x0 时，称 f (x) 为 a 、b对于x 的加权均匀数.（i ）判断 f (1) , f (b ) ,a f (b ) 能否成等比数列，并证明af ( b )af (b )a；（ ii ） a 、 b 的几何均匀数记为G. 称2ab为 a 、 b 的调解均匀数，记为H .若a bH f ( x)G ，求x 的取值范围.22．（本小题满分 14 分）如图，已知椭圆C1与 C2的中心在座标原点 O ，长轴均为MN且在 x 轴上，短轴长分别为 2m ，2n ( m n) ，过原点且不与x 轴重合的直线 l 与 C1， C2的四个交点按纵坐标从大到小挨次为A，B，C，D．记m，△ BDM 和△ ABN 的面积分别为S1和S2. n（Ⅰ）当直线 l 与y轴重合时，若 S1S2，求的值；（Ⅱ）当变化时，能否存在与坐标轴不重合的直线l，使得 S1S2？并说明原因．yABM O N xCD第22题图答案及分析18．（Ⅰ）由 cos2 A 3cos( B23cos A20 , C ) 1 ，得 2cos A即 (2cos A1)(cos A2)0 ，解得 cos A1或 cosA 2 （舍去）.2由于 0Aπ，所以πA. 3（Ⅱ）由 S 1bc sin A1bc33bc53,得 bc20. 又b 5 ，知 c 4 . 2224由余弦定理得 a2b2c22bc cos A25162021,故 a21 .又由正弦定理得sin Bsin C bsin Acsin Abc2A2035a a a2 sin214.719．（Ⅰ）设数列 { a n } 的公比为q，则 a10 ， q0 . 由题意得S2S4S3S2 ,即a1q 2a1q3a1q 2 ,a2a3a418,a1q (1q q2 )18,解得a13, q 2.故数列 { a n } 的通项公式为 a n3(2) n 1 .（Ⅱ）由（Ⅰ）有S n3[1 (2) n ]1(2)n .1(2)若存在 n ，使得 S n2013 ，则1(2) n2013，即 ( 2)n2012.当 n 为偶数时， (2) n0 ，上式不建立；当 n 为奇数时，(2)n2n2012，即n2012 ，则n 11.2综上，存在切合条件的正整数n ，且全部这样的n 的会合为 { n n 2k1, k N , k 5} .20．（Ⅰ）依题意 A1 A2平面 ABC ，B1B2平面 ABC ，C1C2平面 ABC ，所以 A1A2∥ B1B2∥C1C2. 又 A1 A2d1， B1B2d2， C1C2d3，且 d1 d 2 d3 .所以四边形 A1 A2 B2 B1、 A1 A2C2C1均是梯形 .由 AA2∥平面MEFN， AA2平面 AA2 B2 B ，且平面 AA2 B2 B平面 MEFN ME ，可得 AA 2∥ ME，即 A1A2∥DE. 同理可证 A1A2∥FG ，所以 DE∥FG .又 M 、 N分别为 AB、 AC 的中点，则 D 、 E 、 F 、G分别为A1B1、A2B2、A2C2、A1C1的中点，即 DE 、 FG 分别为梯形A1A2B2B1、A1A2C2C1的中位线.所以 DE 1111( A1 A2 B1B2 )(d1 d2 ) ， FG( A1 A2 C1 C2 )(d1 d3 ) ，2222而 d1 d2d3，故DE FG ，所以中截面DEFG 是梯形.（Ⅱ）V 估 V. 证明以下：由 A 1A 2 平面 ABC ， MN 平面 ABC ，可得 A 1 A 2MN .而 EM ∥ A 1A 2，所以 EM MN ，同理可得 FN MN .由 MN 是 △ ABC 的中位线，可得 MN 1 1a 即为梯形 DEFG 的高， BC22 所以 S 中 S 梯形 DEFG 1 ( d 1 d 2 d 1 d3 ) aa(2 d 1 d 2d 3 ) ，2 22 2 8 即 V 估 S 中 h ah (2d 1 d 2 d3 ) .8又 S1ah ，所以 V1(d 1d 2 d 3 ) Sah(d 1 d 2 d 3 ) .2 36于是 V V估ah (d 1d 2d 3 ) ah(2 d 1d 2d 3 ) ahd 1) ( d 3 d 1 )] .68[( d 224 由 d 1 d 2d 3 ，得 d 2 d 1 0 ， d 3 d 1 0，故 V 估 V .21．（Ⅰ） f ( x) 的定义域为 (, 1) ( 1,) ，f ( x)a( x 1) ( ax b) a b(x2( x2.1) 1)当 ab 时， f ( x) 0 ，函数 f (x) 在 (, 1)， ( 1, ) 上单一递加；当 a b 时， f ( x) 0 ，函数 f (x) 在 (, 1)， ( 1,) 上单一递减 .（Ⅱ）（ i ）计算得 f (1)a b0 ， f ( b 2ab 0 ， f (b ab0 .2) ab)aa故 f (1) f ( b) a b 2ab ab [ f ( b )] 2 , 即a 2 ab af (1) f (b)[ f (b)]2 .①aa所以 f (1), f (b), f ( b) 成等比数列 .aa因a b ab ，即 f (1)f ( b由①得f ( bf (b .2) . ))a aa（ ii ）由（ i ）知 f ( b)H ， f (b ) G.故由 Hf ( x) G ，得aaf ( b) f ( x)f ( b) .②aa当ab 时， f ( b) f ( ) f ( b )a .a xa这时， x 的取值范围为 (0,) ；当 ab 时， 0b 1 ，进而b b ，由 f (x) 在 (0,) 上单一递加与②式，a aa得bxb，即x 的取值范围为b , b ；aaa a当 ab 时，b1 ，进而bb，由 f ( x) 在 (0,) 上单一递减与②式，aaa得b xb，即 x 的取值范围为b , b .a aa a22．依题意可设椭圆 C 1 和 C 2 的方程分别为x 2y 2x 2 y 21 . 此中 a m n 0m1.C 1 ：22 1，C 2：2 2，a m ann（Ⅰ）解法 1：如图 1，若直线 l 与 y 轴重合，即直线l 的方程为 x 0 ，则S 11 |BD | |OM |1， S 21|ON | 1S 1 |BD| 2a | BD ||AB|a | AB | ，所以.222S 2|AB|在 C 1 和 C 2 的方程中分别令 x 0 ，可得 y Am ， y Bn ， y Dm ，于是 | BD | | y By D | m n 1 .| AB | | y Ay B | m n1若S 1，则1 ，化简得221 0 . 由1，可解得2 1 .S 21故当直线 l 与 y 轴重合时，若S 1S 2 ，则2 1 .解法 2：如图 1，若直线 l 与 y 轴重合，则| BD | | OB | | OD | m n ， | AB | | OA | | OB | mn ； S 11 |BD | |OM |1 ， S 211a | AB |.2a | BD ||AB| |ON|222所以 S 1|BD | m n 1 .S 2 |AB| m n 1若S 1，则1 ，化简得2 21 0 . 由1，可解得2 1 .S 21故当直线 l 与 y 轴重合时，若S 1S 2 ，则21 .yyAA BBMON xMO NxCCDD第 22 题解答图 1第 22 题解答图 2（Ⅱ）解法 1：如图 2，若存在与坐标轴不重合的直线 l ，使得 S 1S 2 . 依据对称性，不如设直线 l ： y kx (k 0) ，点 M ( a, 0) ， N (a, 0) 到直线 l 的距离分别为 d 1 ， d 2 ，则由于 d 1| ak 0|ak ， d 2| ak 0 | ak，所以 d 1 d 2 .1 k1 k 21 k 221 k 2又S 11| BD | d 11| AB | d 2 ，所以S 1 |BD|，即|BD||AB|.2 ， S 2S 2|AB|2由对称性可知 | AB | |CD |，所以 |BC | |BD||AB | (1)| AB |，|AD | |BD| |AB| (1)| AB |，于是|AD|1①|BC |.1将 l 的方程分别与 C 1， C 2 的方程联立，可求得x Aam ， x Ban.a 2k 2 m 2a 2k 2n 2依据对称性可知 x Cx B ， x D x A ，于是|AD|2x D | 2x A2221 k | x Am a kn2 .②|BC |2x C |2x B2k 2m1 k | x B n a进而由①和②式可得a 2 k 2 n 21. ③a 2 k 2m 2( 1)令t( 1，则由 mn ，可得t 1，于是由③可解得2n 2 ( 2t 2 1)1)ka 2 (1 t 2 ) .由于 k 0 ，所以 k 20 . 于是③式对于 k 有解，当且仅当n 2 ( 2t 2 1) 0 ，a 2 (1 t 2 )等价于 2210 . 由1，可解得1t 1 ，(t1)(t2 )即1( 1 1，由1，解得12 ，所以1)当 112 时，不存在与坐标轴不重合的直线 l ，使得 S 1S 2 ；当12 时，存在与坐标轴不重合的直线l 使得 S 1S 2 .解法 2：如图 2，若存在与坐标轴不重合的直线 l ，使得 S 1 S 2 . 依据对称性，不如设直线 l ： ykx (k0) ，点 M ( a, 0) ， N (a, 0) 到直线 l 的距离分别为 d 1 ， d 2 ，则由于 d 1| ak0|ak ， d 2| ak 0 |ak ，所以 d 1d 2 .1 k21 k21 k21 k2又S 1 1| BD | d 1 ， S 21| AB | d 2 ，所以 S 1|BD| .2 2 S 2|AB|由于 |BD|2，所以x A1 1 k | x B x D | x A x B.|AB|1 k2 | x A x B | x A x Bx B1由点 A(x A , kx A ) ， B( x B , kx B ) 分别在 C 1， C 2 上，可得x A 2 k 2 x A 2 x B 2 k 2 x B 21 ，两式相减可得 x A2 x B 2k 2 ( x A 22x B2 )，a 2m 21 ，n 2a 2m 2a 2依题意 x Ax B 0 ，所以 x A2x B 2 . 所以由上式解得 k 2m 2 (x A 2 x B 2 ) .a 2 (2 x 2x2 )B A由于 k 20，所以由m2 (x A2x B2 )0 ，可解得 1x A.a2 ( 2 x B2x A2 )xB进而11，解得1 2 ，所以1当 11 2 时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得 S1S2；当1 2 时，存在与坐标轴不重合的直线l 使得 S1S2 .。

2013年湖南省高考压轴卷数学(文)试题

2013年湖南省高考压轴卷数学文本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页。

时间120分钟，满分150分。

注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试题卷、草稿纸上无效。

3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试题卷、草稿纸上无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将所选答案填在答题卡中对应位置)1.复数()231i i +-的共轭复数是A ．－3－4iB ．－3+4iC ． 3－4iD ． 3+4i2．已知全集R U =，集合{}21x A x =>，{}2340B x x x =-->，则A B ⋂=（） A ．{}0x x > B ．{}10x x x <->或 C ．{}4x x > D ．{}14x x -≤≤ 3.已知数列}{n a 满足: )(12,1*11N n a a a n n ∈+==+，则=12a （） A.210-1 B.211-1 C.212-1 D.213-14.对x ∈R ，“关于x 的不等式f(x)>0有解”等价于 ( )(A) R x ∈∃0，使得f(x 0)>0成立（B) R x ∈∃0，使得f(x 0）≤0成立(C) R x ∈∀，f(x)>0 成立（D) R x ∈∀，f(x)≤0 成立5．过抛物线y 2 =2px （p>0）的焦点F 且倾斜角为60o 的直l 与抛物线在第一、四象限分别交于A 、B 两点，则AF BF= （）A ．5B ．4C ．3D ．26．给出30个数：1，2，3，5，8，13,……要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如图所示，那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入（）A ．i ≤30？和p ＝p ＋i －1B ．i ≤31？和p ＝p ＋i ＋1C ．i ≤31？和p ＝p ＋iD ．i ≤30？和p ＝p ＋i7．已知,A B 是单位圆上的动点，且AB 单位圆的圆心为O ，则O A A B ∙= （）A ．BC ．32-D ．328．在空间中，a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题正确的是 ( )A ．若a ∥α，b ∥a ，则b ∥αB ．若a ∥α，b ∥α，a ⊂β，b ⊂β，则β∥αC ．若α∥β，b ∥α，则b ∥βD ．若α∥β，aα，则a ∥β9．函数y ＝x ·e x 在点(1，e)处的切线方程为 ( )A ．y ＝e xB ．y ＝x －1＋eC ．y ＝－2e x ＋3eD ．y ＝2e x －e二．填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分）10．已知实数X,满足约束条件，则目标函数Z=X-y 的最小值等于______.11.已知,x y R +∈，且满足22x y xy +=，那么+4x y 的最小值是 12.在极坐标系中，点A 的坐标为曲线c 的方程为，则0A (O 为极点）所在直线被曲线C 所截弦的长度为____.13．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为．14.已知双曲线C:)0,0(12222>>=-b a by a x 与抛物线y 2=8x 有公共的焦点F ，它们在第一象限内的交点为M.若双曲线C 的离心率为2，则|MF|=_____. 15. 给出下列四个命题： ①命题，则,②当时,不等式的解集为非空；③当X>1时，有④设有五个函数.，其中既是偶函数又在上是增函数的有2个.其中真命题的序号是_____.三、解答题：（前三题各12分，后三道题各13分，满分75分。

2013年高考压轴题跟踪演练(全6套)

备战2013高考数学――压轴题跟踪演练系列一1．（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点()1,2M ，它们在x 轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点.（Ⅰ）求这三条曲线的方程；（Ⅱ）已知动直线l 过点()3,0P ，交抛物线于,A B 两点，是否存在垂直于x 轴的直线l '被以AP 为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l '的方程；若不存在，说明理由.解：（Ⅰ）设抛物线方程为()220y px p =>，将()1,2M 代入方程得2p =24y x ∴= 抛物线方程为: ………………………………………………（1分）由题意知椭圆、双曲线的焦点为()()211,0,1,0,F F -∴ c=1…………………（2分）对于椭圆，1222a MF MF =++(222222211321a ab ac ∴=+∴=+=+∴=-=+∴= 椭圆方程为：………………………………（4分）对于双曲线，1222a MF MF '=-=2222221321a abc a '∴'∴=-'''∴=-=∴= 双曲线方程为：………………………………（6分）（Ⅱ）设AP 的中点为C ，l '的方程为：x a =，以AP 为直径的圆交l '于,D E 两点，DE 中点为H令()11113,,,22x y A x y +⎛⎫∴ ⎪⎝⎭ C ………………………………………………（7分）()1112312322DC AP x CH a x a ∴=+=-=-+()()()2222221112121132344-23246222DH DC CH x y x a a x a aa DH DE DH l x ⎡⎤⎡⎤∴=-=-+--+⎣⎦⎣⎦=-+==-+=∴=='= 当时,为定值; 此时的方程为： …………（12分）2．（14分）已知正项数列{}n a 中，16a =，点(n n A a 在抛物线21y x =+上；数列{}n b 中，点(),n n B n b 在过点()0,1，以方向向量为()1,2的直线上.（Ⅰ）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（Ⅱ）若()()()n n a f n b ⎧⎪=⎨⎪⎩, n 为奇数, n 为偶数，问是否存在k N ∈，使()()274f k f k +=成立，若存在，求出k值；若不存在，说明理由；（Ⅲ）对任意正整数n，不等式1120111111n n n a b b b +-≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 成立，求正数a 的取值范围.解：（Ⅰ）将点(n n A a 代入21y x =+中得()11111115:21,21n n n n n n a a a a d a a n n l y x b n ++=+∴-==∴=+-⋅=+=+∴=+ 直线 …………………………………………（4分）（Ⅱ）()()()521n f n n ⎧+⎪=⎨+⎪⎩, n 为奇数, n 为偶数………………………………（5分）()()()()()()27274275421,42735227145,24k k f k f k k k k k k k k k k ++=∴++=+∴=+∴++=+∴==Q 当为偶数时，为奇数，当为奇数时，为偶数，舍去综上，存在唯一的符合条件。

2013年高考数学压轴题训练详细及解析

2013年高考数学压轴题训练注:试题均为历年高考试题，特别精选了其中有代表性的题目。

非常适合2013年参加高考的学生和老师复习及冲刺使用。

1．（本小题满分14分）已知f(x)=222+-x a x (x ∈R)在区间[－1，1]上是增函数. （Ⅰ）求实数a 的值组成的集合A ；（Ⅱ）设关于x 的方程f(x)=x 1的两个非零实根为x 1、x 2.试问：是否存在实数m ，使得不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由. 本小题主要考查函数的单调性，导数的应用和不等式等有关知识，考查数形结合及分类讨论思想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分.解：（Ⅰ）f ＇(x)=222)2(224+-+x x ax = 222)2()2(2+---x ax x ， ∵f(x)在[－1，1]上是增函数，∴f ＇(x)≥0对x ∈[－1，1]恒成立，即x 2－ax －2≤0对x ∈[－1，1]恒成立. ①设ϕ(x)=x 2－ax －2，方法一：ϕ(1)=1－a －2≤0，① ⇔ ⇔－1≤a ≤1，ϕ(－1)=1+a －2≤0.∵对x ∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f ＇(-1)=0以及当a=－1时，f ＇(1)=0 ∴A={a|－1≤a ≤1}. 方法二：2a ≥0， 2a <0， ①⇔ 或ϕ(－1)=1+a －2≤0 ϕ(1)=1－a －2≤0⇔ 0≤a ≤1 或－1≤a ≤0⇔ －1≤a ≤1.∵对x ∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f ＇(－1)=0以及当a=-1时，f ＇(1)=0 ∴A={a|－1≤a ≤1}.（Ⅱ）由222+-x a x =x1，得x 2－ax －2=0， ∵△=a 2+8>0 ∴x 1，x 2是方程x 2－ax －2=0的两非零实根，x 1+x 2=a ，∴ 从而|x 1－x 2|=212214)(x x x x -+=82+a .x 1x 2=－2，∵－1≤a ≤1，∴|x 1-x 2|=82+a ≤3.要使不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立，当且仅当m 2+tm+1≥3对任意t ∈[－1，1]恒成立，即m 2+tm －2≥0对任意t ∈[－1，1]恒成立. ②设g(t)=m 2+tm －2=mt+(m 2－2)，方法一：g(－1)=m 2－m －2≥0，② ⇔g(1)=m 2+m －2≥0， ⇔m ≥2或m ≤－2.所以，存在实数m ，使不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立，其取值范围是{m|m ≥2，或m ≤－2}.方法二：当m=0时，②显然不成立；当m ≠0时，m>0， m<0，②⇔ 或g(－1)=m 2－m －2≥0 g(1)=m 2+m －2≥0⇔ m ≥2或m ≤－2.所以，存在实数m ，使不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{m|m ≥2，或m ≤－2}.2．（本小题满分12分）如图，P 是抛物线C ：y=21x 2上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q.（Ⅰ）若直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹方程；（Ⅱ）若直线l 不过原点且与x 轴交于点S ，与y 轴交于点T ，试求||||||||SQ ST SP ST +的取值范围. 本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分.解：（Ⅰ）设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，M(x 0，y 0)，依题意x 1≠0，y 1>0，y 2>0.由y=21x 2， ① 得y ＇=x.∴过点P 的切线的斜率k 切= x 1，∴直线l 的斜率k l =－切k 1=-11x ， ∴直线l 的方程为y －21x 12=－11x (x －x 1)，方法一：联立①②消去y ，得x 2+12x x －x 12－2=0. ∵M 是PQ 的中点x 0=221x x +=-11x ， ∴y 0=21x 12－11x (x 0－x 1). 消去x 1，得y 0=x 02+2021x +1(x 0≠0)，∴PQ 中点M 的轨迹方程为y=x 2+2021x +1(x ≠0). 方法二：由y 1=21x 12，y 2=21x 22，x 0=221x x +，得y 1－y 2=21x 12－21x 22=21(x 1+x 2)(x 1－x 2)=x 0(x 1－x 2)，则x 0=2121x x y y --=k l =-11x ，∴x 1=－01x ，将上式代入②并整理，得y 0=x 02+2021x +1(x 0≠0)，∴PQ 中点M 的轨迹方程为y=x 2+2021x +1(x ≠0).（Ⅱ）设直线l:y=kx+b ，依题意k ≠0，b ≠0，则T(0，b).分别过P 、Q 作PP ＇⊥x 轴，QQ ＇⊥y 轴，垂足分别为P ＇、Q ＇，则=+||||||||SQ ST SP ST ||||||||||||||||21y b y b Q Q OT P P OT +='+'. y=21x 2 由消去x ，得y 2－2(k 2+b)y+b 2=0. ③y=kx+by 1+y 2=2(k 2+b)，则y 1y 2=b 2.方法一：∴=+||||||||SQ ST SP ST |b|(2111y y +)≥2|b|211y y =2|b|21b =2. ∵y 1、y 2可取一切不相等的正数，∴||||||||SQ ST SP ST +的取值范围是（2，+∞）. 方法二：∴||||||||SQ ST SP ST +=|b|2121y y y y +=|b|22)(2b b k +. 当b>0时，||||||||SQ ST SP ST +=b 22)(2b b k +=b b k )(22+=b k 22+2>2；当b<0时，||||||||SQ ST SP ST +=－b 22)(2bb k +=b b k -+)(22. 又由方程③有两个相异实根，得△=4(k 2+b)2-4b 2=4k 2(k 2+2b)>0，于是k 2+2b>0，即k 2>－2b.所以||||||||SQ ST SP ST +>bb b -+-)2(2=2. ∵当b>0时，bk 22可取一切正数， ∴||||||||SQ ST SP ST +的取值范围是（2，+∞）. 方法三：由P 、Q 、T 三点共线得k TQ =K TP ，即22x b y -=11x b y -. 则x 1y 2－bx 1=x 2y 1－bx 2，即b(x 2－x 1)=(x 2y 1－x 1y 2).于是b=122212122121x x x x x x -⋅-⋅=－21x 1x 2. ∴||||||||SQ ST SP ST +=||||||||21y b y b +=1|21|21x x -+1|21|21x x -=||12x x +||21x x ≥2. ∵||12x x 可取一切不等于1的正数， ∴||||||||SQ ST SP ST +的取值范围是（2，+∞）. 3．（本小题满分12分）某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损失.现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用. 单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率为0.9和0.85. 若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少.（总费用．．．=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值.）本小题考查概率的基本知识和数学期望概念及应用概率知识解决实际问题的能力，满分12分.解：①不采取预防措施时，总费用即损失期望为400×0.3=120（万元）；②若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为1－0.9=0.1，损失期望值为400×0.1=40（万元），所以总费用为45+40=85（万元）③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1－0.85=0.15，损失期望值为400×0.15=60（万元），所以总费用为30+60=90（万元）；2 2④若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为45+30=75（万元），发生突发事件的概率为（1－0.9）（1－0.85）=0.015，损失期望值为400×0.015=6（万元），所以总费用为75+6=81（万元）. 综合①、②、③、④，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少.4．（本小题满分14分）已知.,2,1,1,}{,011 =+==>+n a a a a a a a nn n 满足数列（I ）已知数列}{n a 极限存在且大于零，求n n a A ∞→=lim （将A 用a 表示）；（II ）设;)(:,,2,1,1A b A b b n A a b n n n n n +-==-=+证明（III ）若 ,2,121||=≤n b n n 对都成立，求a 的取值范围. 本小题主要考查数列、数列极限的概念和数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分14分.解：（I ）由两边取极限得对且存在nn n n n n a a a A a A a 1),0(lim ,lim 1+=>=+∞→∞→ .24,0.24,122++=∴>+±=+=a a A A a a A A a A 又解得（II ）.11,11Ab a A b a a a A b a n n n n n n ++=++=+=++得由都成立对即 ,2,1)(.)(11111=+-=+-=++-=++-=∴++n A b A b b A b A b A b A A b A a b n n n n n n n n （III ）.21|)4(21|,21||21≤++-≤a a a b 得令 .,2,121||,23.23,14.21|)4(21|22都成立对时现证明当解得 =≤≥≥≤-+∴≤-+∴n b a a a a a a n n （i ）当n=1时结论成立（已验证）.（ii ）假设当那么即时结论成立,21||,)1(kk b k k n ≤≥=k k k k k A b A A b A b b 21||1|)(|||||1⨯+≤+=+ 故只须证明.232||,21||1成立对即证≥≥+≤+a A b A A b A k k .212121||,23.2||,1212||||.2,14,23,422411222++=⨯≤≥≥+≥-≥-≥+∴≥∴≤-+≥-+=++=k k k k k k k b a A b A b A A b A a a a a a a a A 时故当即时而当由于即n=k+1时结论成立.根据（i ）和（ii ）可知结论对一切正整数都成立.故).,23[,2,121||+∞=≤的取值范围为都成立的对a n b nn 5．（本小题满分14分，第一小问满分4分，第二小问满分10分）已知a R ∈，函数2()||f x x x a =-.(Ⅰ)当2a =时，求使()f x x =成立的x 的集合；(Ⅱ)求函数()y f x =在区间[12]，上的最小值.本小题主要考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论的数学思想和分析推理能力. 满分14分. 解：（Ⅰ）由题意，2()2f x x x =-.当2x <时，2()(2)f x x x x =-=，解得0x =或1x =；当2x ≥时，2()(2)f x x x x =-=，解得12x =+. 综上，所求解集为{}0112+，，. （Ⅱ）设此最小值为m .①当1a ≤时，在区间[12]，上，32()f x x ax =-.因为22()323()03f x x ax x x a '=-=->，(12)x ∈，，则()f x 在区间[12]，上是增函数，所以(1)1m f a ==-.②当12a <≤时，在区间[12]，上，2()()0f x x x a =-≥，由()0f a =知()0m f a ==.③当2a >时，在区间[12]，上，23()f x ax x =-.22()233()3f x ax x x a x '=-=-. 若3a ≥，在区间(12)，内()0f x '>，从而()f x 为区间[12]，上的增函数，由此得 (1)1m f a ==-.若23a <<，则2123a <<. 当213x a <<时，()0f x '>，从而()f x 为区间2[1]3a ，上的增函数；当223a x <<时，()0f x '<，从而()f x 为区间2[2]3a ，上的减函数. 因此，当23a <<时，(1)1m f a ==-或(2)4(2)m f a ==-. 当723a <≤时，4(2)1a a -≤-，故(2)4(2)m f a ==-；当733a <<时，14(2)a a -<-，故(1)1m f a ==-. 综上所述，所求函数的最小值111274(2)23713a a a m a a a a -≤⎧⎪<≤⎪⎪=⎨-<≤⎪⎪->⎪⎩，当时；0，当时；，当时；，当时． 6．（本小题满分14分，第一小问满分2分，第二、第三小问满分各6分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1231611a a a ===，，，且1(58)(52)123n n n S n S An B n +--+=+= ，，，，，其中A B ，为常数.(Ⅰ)求A 与B 的值；(Ⅱ)证明：数列{}n a 为等差数列；(Ⅲ)证明：不等式51mn m n a a a ->对任何正整数m n ，都成立.本小题主要考查等差数列的有关知识、不等式的证明方法，考查思维能力、运算能力. 解：（Ⅰ）由已知，得111S a ==，2127S a a =+=，312318S a a a =++=.由1(58)(52)n n n S n S An B +--+=+，知2132372122S S A B S S A B --=+⎧⎨-=+⎩，，即 28248A B A B +=-⎧⎨+=-⎩，，解得 20A =-，8B =-.（Ⅱ）方法1由（Ⅰ），得 1(58)(52)208n n n S n S n +--+=--， ① 所以 21(53)(57)2028n n n S n S n ++--+=--. ② ②-①，得 21(53)(101)(52)20n n n n S n S n S ++---++=-， ③ 所以 321(52)(109)(57)20n n n n S n S n S ++++-+++=-. ④ ④-③，得 321(52)(156)(156)(52)0n n n n n S n S n S n S ++++-+++-+=. 因为 11n n n a S S ++=-，所以 321(52)(104)(52)0n n n n a n a n a ++++-+++=. 又因为 520n +≠，所以 32120n n n a a a +++-+=，即 3221n n n n a a a a ++++-=-，1n ≥. 所以数列{}n a 为等差数列.方法2由已知，得111S a ==，又1(58)(52)208n n n S n S n +--+=--，且580n -≠，所以数列{}n S 是唯一确定的，因而数列{}n a 是唯一确定的. 设54n b n =-，则数列{}n b 为等差数列，前n 项和(53)2n n n T -=.于是 1(1)(52)(53)(58)(52)(58)(52)20822n n n n n n n T n T n n n +++---+=--+=--，由唯一性得 n n b a =，即数列{}n a 为等差数列. （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，15(1)54n a n n =+-=-. 要证 51mn m n a a a ->，只要证 512mn m n m n a a a a a >++. 因为 54mn a mn =-，(54)(54)2520()16m n a a m n mn m n =--=-++，故只要证 5(54)12520()162m n mn mn m n a a ->+-+++，即只要证 2020372m n m n a a +->. 因为 2558m n m n a a a a m n ≤+=+- 558(151529)m n m n <+-++-202037m n =+-，所以命题得证.。

2013年高考数学压轴题训练及详细的解析

2013年高考数学压轴题训练注:试题均为历年高考试题，精选其中有代表性的题目。

非常适合2013年参加高考的学生和老师复习及冲刺使用。

1．（本小题满分14分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by ax 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆外的动点，满足.2||1a Q F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足.0||,022≠=⋅TF TF PT （Ⅰ）设x 为点P 的横坐标，证明x ac a P F +=||1；（Ⅱ）求点T 的轨迹C 的方程；（Ⅲ）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ，使△F 1MF 2的面积S=.2b 若存在，求∠F 1MF 2的正切值；若不存在，请说明理由.本小题主要考查平面向量的概率，椭圆的定义、标准方程和有关性质，轨迹的求法和应用，以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分14分. （Ⅰ）证法一：设点P 的坐标为).,(y x由P ),(y x 在椭圆上，得.)()()(||222222221x ac a xab bc x y c x P F +=-++=++=由0,>+-≥+≥a c x ac a a x 知，所以 .||1x ac a P F +=………………………3分证法二：设点P 的坐标为).,(y x 记,||,||2211r P F r P F ==则.)(,)(222221y c x r y c x r ++=++=由.||,4,211222121x a c a r P F cx r r a r r +===-=+得证法三：设点P 的坐标为).,(y x 椭圆的左准线方程为.0=+x a c a由椭圆第二定义得ac cax P F =+||||21，即.||||||21x ac a c a x a c P F +=+=由0,>+-≥+-≥a c x ac a a x 知，所以.||1x ac a P F +=…………………………3分（Ⅱ）解法一：设点T 的坐标为).,(y x当0||=PT 时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上.当|0||0|2≠≠TF PT 且时，由0||||2=⋅TF PT ，得2TF PT ⊥. 又||||2PF PQ =，所以T 为线段F 2Q 的中点. 在△QF 1F 2中，a Q F OT ==||21||1，所以有.222a yx =+综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+…………………………7分解法二：设点T 的坐标为).,(y x 当0||=PT 时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上. 当|0||0|2≠≠TF PT 且时，由02=⋅TF PT ，得2TF PT ⊥.又||||2PF PQ =，所以T 为线段F 2Q 的中点.设点Q 的坐标为（y x '',），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'=+'=.2,2y y c x x因此⎩⎨⎧='-='.2,2y y c x x ①由a Q F 2||1=得.4)(222a y c x ='++' ② 将①代入②，可得.222a y x =+综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+……………………7分（Ⅲ）解法一：C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x 由③得a y ≤||0，由④得.||20cby ≤ 所以，当cb a 2≥时，存在点M ，使S=2b ；当cba2<时，不存在满足条件的点M.………………………11分当cba 2≥时，),(),,(002001y x c MF y x c MF --=---=，由2222022021b c a y c x MF MF =-=+-=⋅，212121cos ||||MF F MF MF MF MF ∠⋅=⋅，③ ④22121sin ||||21b MF F MF MF S =∠⋅=，得.2tan 21=∠MF F解法二：C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x 由④得.||20cby ≤ 上式代入③得.0))((2224220≥+-=-=cba cba cb a x于是，当cba 2≥时，存在点M ，使S=2b ；当cba2<时，不存在满足条件的点M.………………………11分当cb a 2≥时，记cx y k k cx y k k M F M F -==+==00200121,，由,2||21a F F <知︒<∠9021MF F ，所以.2|1|tan212121=+-=∠k k k k MF F (14)分2．（本小题满分12分）函数)(x f y =在区间（0，+∞）内可导，导函数)(x f '是减函数，且.0)(>'x f 设m kx y x +=+∞∈),,0(0是曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）得的切线方程，并设函数.)(m kx x g +=（Ⅰ）用0x 、)(0x f 、)(0x f '表示m ；（Ⅱ）证明：当)()(,),0(0x f x g x ≥+∞∈时；（Ⅲ）若关于x 的不等式),0[231322+∞≥+≥+在x b ax x 上恒成立，其中a 、b 为实数，求b 的取值范围及a 与b 所满足的关系.本小题考查导数概念的几何意义，函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判断函数之间的大小关系.考查学生的学习能力、抽象思维能力及综合运用数学基本关系解决问题的能力.满分12分（Ⅰ）解：).()(000x f x x f m '-=…………………………………………2分（Ⅱ）证明：令.0)(),()()(),()()(00=''-'='-=x h x f x f x h x f x g x h 则因为)(x f '递减，所以)(x h '递增，因此，当0)(,0>'>x h x x 时；当0)(,0<'<x h x x 时.所以0x 是)(x h 唯一的极值点，且是极小值点，可知)(x h 的最小值为0，因此,0)(≥x h 即).()(x f x g ≥…………………………6分（Ⅲ）解法一：10≤≤b ，0>a 是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.③ ④0)1(,122≥-+-+≥+b ax x b ax x 即对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是.)1(221b a -≤另一方面，由于3223)(x x f =满足前述题设中关于函数)(x f y =的条件，利用（II ）的结果可知，3223x b ax =+的充要条件是：过点（0，b ）与曲线3223x y=相切的直线的斜率大于a ，该切线的方程为.)2(21b x b y +=-于是3223x b ax≥+的充要条件是.)2(21b a ≥…………………………10分综上，不等式322231x b ax x ≥+≥+对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是.)1(2)2(2121b a b -≤≤- ①显然，存在a 、b 使①式成立的充要条件是：不等式.)1(2)2(2121b b -≤- ②有解、解不等式②得.422422+≤≤-b ③因此，③式即为b 的取值范围，①式即为实数在a 与b 所满足的关系.…………12分（Ⅲ）解法二：0,10>≤≤a b 是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. 0)1(,122≥-+-+≥+b ax x b ax x 即对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是.)1(221b a -≤………………………………………………………………8分令3223)(x b ax x -+=φ，于是3223x b ax ≥+对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是.0)(≥x φ 由.0)(331--==-='ax x a x 得φ当30-<<ax 时;0)(<'x φ当3->ax 时，0)(>'x φ，所以，当3-=ax 时，)(x φ取最小值.因此0)(≥x φ成立的充要条件是0)(3≥-a φ，即.)2(21-≥b a ………………10分综上，不等式322231x b ax x≥+≥+对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是.)1(2)2(2121b a b -≤≤- ①显然，存在a 、b 使①式成立的充要条件是：不等式2121)1(2)2(b b -≤- ②有解、解不等式②得.422422+≤≤-b因此，③式即为b 的取值范围，①式即为实数在a 与b 所满足的关系.…………12分3．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的首项15,a =前n 项和为n S ，且*15()n n S S n n N +=++∈ （I ）证明数列{}1n a +是等比数列；（II ）令212()n n f x a x a x a x =+++ ，求函数()f x 在点1x =处的导数(1)f '并比较2(1)f '与22313n n -的大小.解：由已知*15()n n S S n n N +=++∈可得12,24n n n S S n -≥=++两式相减得()1121n n n n S S S S +--=-+即121n n a a +=+从而()1121n n a a ++=+当1n =时21215S S =++所以21126a a a +=+又15a =所以211a =从而()21121a a +=+ 故总有112(1)n n a a ++=+，*n N ∈又115,10a a =+≠从而1121n n a a ++=+即数列{}1n a +是等比数列；（II ）由（I ）知321n n a =⨯-因为212()n n f x a x a x a x =+++ 所以112()2n n f x a a x na x -'=+++ 从而12(1)2n f a a na '=+++ =()()23212321(321)n n ⨯-+⨯-++⨯- =()232222n n +⨯++⨯ -()12n +++ =()1(1)31262n n n n ++-⋅-+由上()()22(1)23131212n f n n n '--=-⋅-()21221n n --=()()1212121(21)nn n n -⋅--+=12(1)2(21)nn n ⎡⎤--+⎣⎦① 当1n =时，①式=0所以22(1)2313f n n '=-；当2n =时，①式=-120<所以22(1)2313f n n '<-当3n ≥时，10n ->又()011211nnn nn n nn C C C C -=+=++++ ≥2221n n +>+所以()()12210nn n ⎡⎤--+>⎣⎦即①0>从而2(1)f '>22313n n -4．(本小题满分14分) 已知动圆过定点,02p⎛⎫⎪⎝⎭，且与直线2p x =-相切，其中0p >.（I ）求动圆圆心C 的轨迹的方程；（II ）设A 、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点，直线O A 和O B 的倾斜角分别为α和β，当,αβ变化且αβ+为定值(0)θθπ<<时，证明直线A B 恒过定点，并求出该定点的坐标.yA xoB,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭MN2p x =-解：（I ）如图，设M 为动圆圆心，,02p⎛⎫⎪⎝⎭为记为F ，过点M 作直线2p x =-的垂线，垂足为N ，由题意知：M F M N =即动点M 到定点F 与定直线2p x =-的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中,02pF ⎛⎫⎪⎝⎭为焦点，2p x =-为准线，所以轨迹方程为22(0)y px P =>；（II ）如图，设()()1122,,,A x y B x y ，由题意得12x x ≠（否则αβπ+=）且12,0x x ≠所以直线A B 的斜率存在，设其方程为y kx b =+，显然221212,22y y x x pp==，将y kx b =+与22(0)y px P =>联立消去x ，得2220ky py pb -+=由韦达定理知121222,p pb y y y y kk+=⋅=①（1）当2πθ=时，即2παβ+=时，tan tan 1αβ⋅=所以121212121,0y y x x y y x x ⋅=-=，221212204y y y y p-=所以2124y y p =由①知：224pb p k=所以2.b pk =因此直线A B 的方程可表示为2y k x P k =+，即(2)0k x P y +-=所以直线A B 恒过定点()2,0p - （2）当2πθ≠时，由αβθ+=，得tan tan()θαβ=+=tan tan 1tan tan αβαβ+-=122122()4p y y y y p+-将①式代入上式整理化简可得：2tan 2p b pkθ=-，所以22tan p b pk θ=+，此时，直线A B 的方程可表示为y kx =+22tan ppk θ+即2(2)0tan p k x p y θ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭ 所以直线A B 恒过定点22,tan p p θ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以由（1）（2）知，当2πθ=时，直线A B 恒过定点()2,0p -，当2πθ≠时直线A B 恒过定点22,tan p p θ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 5．（本小题满分12分）已知椭圆C 1的方程为1422=+yx，双曲线C 2的左、右焦点分别为C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点. （Ⅰ）求双曲线C 2的方程；（Ⅱ）若直线2:+=kx y l 与椭圆C 1及双曲线C 2都恒有两个不同的交点，且l 与C 2的两个交点A和B 满足6<⋅OB OA （其中O 为原点），求k 的取值范围.解：（Ⅰ）设双曲线C 2的方程为12222=-by a x ，则.1,31422222==+=-=b c b a a 得再由故C 2的方程为.1322=-yx（II ）将.0428)41(1422222=+++=++=kx x k yxkx y 得代入由直线l 与椭圆C 1恒有两个不同的交点得,0)14(16)41(16)28(22221>-=+-=∆kk k即 .412>k ①0926)31(1322222=---=-+=kx x k yxkx y 得代入将.由直线l 与双曲线C 2恒有两个不同的交点A ，B 得.131.0)1(36)31(36)26(,0312222222<≠⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+-=∆≠-k k k k k k 且即)2)(2(,66319,3126),,(),,(22+++=+<+<⋅--=⋅-=+B A B A B A B A B A B A B A B A B B A A kx kx x x y y x x y y x x OB OA kx x kk x x y x B y x A 而得由则设.1373231262319)1(2)(2)1(222222-+=+-⋅+--⋅+=++++=kk kk k kk x x k x x kB A B A.0131315,613732222>--<-+kk kk 即于是解此不等式得.31151322<>k k或 ③由①、②、③得.11513314122<<<<kk或故k 的取值范围为)1,1513()33,21()21,33()1513,1( ----6．（本小题满分12分）数列{a n }满足)1(21)11(1211≥+++==+n a nn a a nn n 且.（Ⅰ）用数学归纳法证明：)2(2≥≥n a n ；（Ⅱ）已知不等式)1(:,0)1ln(2≥<><+n e a x x x n 证明成立对，其中无理数e=2.71828…. （Ⅰ）证明：（1）当n=2时，222≥=a ，不等式成立. （2）假设当)2(≥=k k n 时不等式成立，即),2(2≥≥k a k那么221))1(11(1≥+++=+kk k a k k a . 这就是说，当1+=k n 时不等式成立.根据（1）、（2）可知：22≥≥n a k 对所有成立. （Ⅱ）证法一：由递推公式及（Ⅰ）的结论有 )1.()2111(21)11(221≥+++≤+++=+n a nn a nn a n nnn n两边取对数并利用已知不等式得 n nn a nn a ln )2111ln(ln 21++++≤+.211ln 2nn nn a +++≤ 故nn n n n a a 21)1(1ln ln 1++≤-+ ).1(≥n上式从1到1-n 求和可得 121212121)1(1321211ln ln -++++-++⨯+⨯≤-n n nn a a.22111121121121111)3121(211<-+-=--⋅+--++-+-=nnn nn即).1(,2ln 2≥<<n ea a n n 故（Ⅱ）证法二：由数学归纳法易证2)1(2≥->n n n n对成立，故).2()1(1)1(11(21)11(21≥-+-+<+++=+n n n a n n a nn a n nn n令).2())1(11(),2(11≥-+≤≥+=+n b n n b n a b nn n n 则取对数并利用已知不等式得 n n b n n b ln ))1(11ln(ln 1+-+≤+).2()1(1ln ≥-+≤n n n b n上式从2到n 求和得 )1(1321211ln ln 21-++⨯+⨯≤-+n n b b n.11113121211<--++-+-=nn因).2(3,3ln 1ln .313ln 11122≥=<+<=+=+++n ee b b a b n n 故故1,,,2,132222121≥<<<≥<-<+n e a e a e a n e e a n n 对一切故又显然成立. 7．（本小题满分12分）已知数列:,}{且满足的各项都是正数n a .),4(,21,110N n a a a a n n n ∈-==+（1）证明;,21N n a a n n ∈<<+ （2）求数列}{n a 的通项公式a n . 解：（1）方法一用数学归纳法证明：1°当n=1时，,23)4(21,10010=-==a a a a∴210<<a a ，命题正确. 2°假设n=k 时有.21<<-k k a a 则)4(21)4(21,1111k k k k k k a a a a a a k n ---=-+=--+时).4)((21))((21)(211111k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a ---=+---=-----而.0,04.0111<-∴>--<----k k k k k k a a a a a a又.2])2(4[21)4(2121<--=-=+k k k k a a a a∴1+=k n 时命题正确.由1°、2°知，对一切n ∈N 时有.21<<+n n a a 方法二：用数学归纳法证明：1°当n=1时，,23)4(21,10010=-==a a a a ∴2010<<<a a ；2°假设n=k 时有21<<-k k a a 成立，令)4(21)(x x x f -=，)(x f 在[0，2]上单调递增，所以由假设有：),2()()(1f a f a f k k <<-即),24(221)4(21)4(2111-⨯⨯<-<---k k k k a a a a也即当n=k+1时 21<<+k k a a 成立，所以对一切2,1<<∈+k k a a N n 有（2）下面来求数列的通项：],4)2([21)4(2121+--=-=+n n n n a a a a 所以21)2()2(2--=-+n n a an n n n n n n n n b b b b b a b 22212122222112)21()21(21)21(2121,2-+++----==⋅-=--=-=-= 则令, 又b n =－1，所以1212)21(22,)21(---=+=-=n nn n n b a b 即。

2013届全国各地高考押题数学(理科)精选试题分类汇编6不等式Word版含答案

2013届全国各地高考押题数学（理科）精选试题分类汇编6：不等式一、选择题1 ．（2013届海南省高考压轴卷理科数学）设变量x,y 满足约束条件,则目标函数z=2x+3y+1的最大值为（）A ．11B ．10C ．9D ．8.5【答案】答案:B考点:二元一次不等式(组)与平面区域. 分析:首先做出可行域,将目标函数转化为,求z 的最大值,只需求直线l:在y 轴上截距最大即可.解答:解:做出可行域如图所示: 将目标函数转化为,求z 的最大值,只需求直线l:在y 轴上截距最大即可.作出直线l 0:,将直线l 0平行移动,当直线l:经过点A 时在y 轴上的截距最大,故z 最大. 由可求得A(3,1),所以z 的最大值为2×3+3×1+1=102 ．（2013届湖北省高考压轴卷数学（理）试题）设实数12,,,x a a y 成等差数列,实数12,,,x b b y 成等比数列,则21212()a a b b +的取值范围是（）A ．[4,)+∞B ．(,0][4,)-∞+∞C ．[0,4]D ．(,4)(4,)-∞-+∞【答案】B 【解析】:由于实数12,,,x a a y 成等差数列,则12x y a a +=+;由于实数12,,,x b b y成等比数列,则12xy b b =,所以21212()a a b b +2()x y xy +=2222222x y xy x y x y xy xy y x +++==+=++,利用基本不等式易得,当,x y 同号时,21212()a a b b +2224x yy x=++≥+=;当,x y 异号时,21212()a a b b +2220x y y x=++≤-+=.故选B ．3 ．（2013届重庆省高考压轴卷数学理试题）若a 是12b +与12b -的等比中项,则22aba b+的最大值为（）ABCD【答案】解析:由2122x y x x ==-++可得122,2,12(1),21(2)x y k y y x y x x =-''===+=+=++ 应选（）A ．4 ．（2013届辽宁省高考压轴卷数学理试题）已知正数x 、y 满足20350{x y x y -≤-+≥,则y x z -∙=4)21(的最小值为)(A 1 )(B 14 )(C 116)(D 132 【答案】D5 ．（2013届江西省高考压轴卷数学理试题）设变量,x y 满足约束条件20510080x y x y x y -+⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≥≤≤,则目标函数34z x y =-的最大值和最小值分别为（）A ．3,11-B ．3,11--C ．11,3-D ．11,3【答案】A【解析】作出满足约束条件的可行域,如右图所示,可知当直线z=3x-4y 平移到点 (5,3)时,目标函数z=3x-4y 取得最大值3;当直线z=3x-4y 平移到点(3,5)时,目标函数z=3x-4y 取得最小值-11,故选（）6 ,x y 满足线性约束条件1020410x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪++≥⎩,（）5D ．7【答案】C7 ．（2013届浙江省高考压轴卷数学理试题）设变量x 、y 满足1,0,220,x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪--≥⎩则目标函数z=2x+y 的最小值为（）A ．6B ．4C ．2D ．32【答案】C【解析】由题意可得,在点B 处取得最小值,所以z=2,故选C8 ．（2013届安徽省高考压轴卷数学理试题）实数满足不等式组2303270210x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩,则x y -的最小值是（） A ．-1 B ．-2 C ．1 D ．2【答案】B 【解析】本题考查简单的线性规划问题中的求最值问题.根据题目可得如下的可行域,其中 ,令Z x y =- ,将这条直线平移可以得到在A 点使得x y - 取得最小值,所以min ()112x y -=--=-,故选B9 ．（2013届陕西省高考压轴卷数学（理）试题）若y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥+-,001532,0653y y x y x ,当且仅当3==y x 时,y ax z -=取最小值,则实数a 的取值范围是（）A ．32,43⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．23,34⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．23,35⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．33,45⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】画出可行域,得到最优解()3,3,把y ax z -=变为z ax y -=,即研究z -的最大值.当⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈53,32a 时,z ax y -=均过()3,3且截距z -最大 . 10．（2013届重庆省高考压轴卷数学理试题）设偶函数()f x 满足3()8(0)f x x x =-≥,则{|(2)0}x f x ->= ks5u（）A ． {|24}x x x <->或B ．{|04}x x x <>或C ．{|0x x x <>或【答案】解析:当0x <时,则0x ->,由偶函数满()f x 足3()8(0)f x x x =-≥可得,3()()8f x f x x =-=--,则338(0)()8(0)x x f x x x ⎧-≥=⎨--<⎩,33(2)8(2)(2)(2)8(2)x x f x x x ⎧--≥-=⎨---<⎩ 令(2)0f x ->,可解得4,0x x ><或.应选B ．另解:由偶函数满()f x 足3()8(0)f x x x =-≥可得3()()8f x f x x ==-, 则3(2)(2)28f x f x x -=-=--,要使(2)0f x ->,只需3280,22x x -->->解得4,0x x ><或.应选B ．二、填空题11．（2013届福建省高考压轴卷数学理试题）若正数,x y 满足230x y +-=,则2x yxy+的最小值为________.【答案】3【解析】由题意:2230133x yx y +-=⇒+=, 221212252523333333x y x y y x xy x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+⎛⎫=+=+⋅+=++≥⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 12．（2013届湖南省高考压轴卷数学（理）试题）已知实数,x y 满足不等式组20302x y x y x y m -≤⎧⎪+-≥⎨⎪+≤⎩,且z x y =-的最小值为3-,则实数m 的值__.【答案】613．（2013届重庆省高考压轴卷数学理试题）若变量,x y 满足约束条件329,69,x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩则2z x y =+的最小值为 ___.【答案】解析:画出区域图知,过239x y x y +=⎧⎨-=⎩的交点(4,-5)时,min 6z =- 14．（2013届上海市高考压轴卷数学（理）试题）设,x y 满足约束条件112210x y x x y ≥⎧⎪⎪≥⎨⎪+≤⎪⎩,向量(2,),(1,1)a y x m b =-=-,且//a b ,则m 的最小值为_________________.【答案】6-【解析】不等式对应的可行域是顶点为)2,4(),21,1(),8,1(C B A 的三角形及其内部,由b a //,得2m x y =-,可知在)8,1(A 处2m x y =-有最小值6-15．（2013届江西省高考压轴卷数学理试题）若不等式211ax bx c -<++<的解集为(1,3)-,则实数a 的取值范围是______.【答案】1122a -<<16．（2013届福建省高考压轴卷数学理试题）若整数．．,x y 满足不等式组0700y x x y x -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩,则2x y +的最大值为________【答案】10【解析】由题意,绘出可行性区域如下:设2z x y =+,即求2y x z =-+的截距的最大值.因为,x y Z ∈,不妨找出77,22⎛⎫ ⎪⎝⎭附近的“整点”.有(3, 3)、(3, 4)满足. 显然过(3, 4)时,10z =最大.17当对数函数()10log ≠>=a a x y a 且的图,0x y R ⎫≥⎪∈⎬⎪≥⎭内的一个点时,实数a 的取值范围为,log a y x =的图像分别过点(3,3),(4,4),(5,3)时,a的值分别为, 因为<<,所以a的取值范围是.18．（2013届广东省高考压轴卷数学理试题）设,x y 满足约束条件02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩,则z x y =-的最大值是_________.【答案】0 线性规划,三角形区域,最优解(1,1)19．（2013届上海市高考压轴卷数学（理）试题）已知定义域为R 上的偶函数()f x 在(,0]-∞上是减函数,且1()22f =,则不等式(2)2xf >的解集为_____________.【答案】()+∞-,1【解析】因为函数为偶函数,所以11()()222f f -==,且函数在(0,)+∞上递增.所以由(2)2x f >得122x >,即1x >-,所以不等式()22>xf 的解集为()+∞-,1. 20．（2013届湖南省高考压轴卷数学（理）试题）已知,x y R +∈,且满足22x y xy +=,那么+4x y的最小值是____________【答案】3+21．（2013届四川省高考压轴卷数学理试题）若实数,x y 满足222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩,则目标函数1y z x =+的最大值是__________. 【答案】222．（2013新课标高考压轴卷（一）理科数学）已知实数y x ,满足1218y y x x y ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩,则目标函数y x z -=的最小值为_____________【答案】2-【解析】由z x y =-得y x z =-.作出不等式对应的平面区域BCD,平移直线y x z =-,由平移可知,当直线y x z =-经过点C 时,直线的截距最大,此时z 最小.由218y x x y =-⎧⎨+=⎩,解得35x y =⎧⎨=⎩,即(3,5)C ,代入z x y =-得最小值为352z =-=-.ks5u。

浙江省2013届高考压轴卷数学理试题

2013浙江省高考压轴卷数学理试题本试题卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么棱柱的体积公式 ()()()P A B P A P B +=+ V Sh =如果事件A ，B 相互独立，那么其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 棱锥的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高()()()1,0,1,2,,n kk kn n P k C p k k n -=-= 棱台的体积公式球的表面积公式 24S R π=球的体积公式其中12,S S 分别表示棱台的上底、下底面积，其中R 表示球的半径 h 表示棱台的高选择题部分一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的。

1A ．-3 -4iB ．-3+4iC ．3-4iD ．3+4i23{,22P -P 的个数是A ． 1B ．3C ．4D ．83．已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A ．8 BC D4.等比数列{a n }中，“公比q >1”是“数列{a n }单调递增”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5( ) A ．关于原点对称 B ．关于直线y ＝x 对称 C ．关于x 轴对称 D ．关于y 轴对称6．设变量x 、y 满足1,0,220,x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪--≥⎩则目标函数z=2x+y 的最小值为A ．6B ．4C ．2D7. 若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有（）A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种 8. 已知直线l m 、,平面βα、,且βα⊂⊥l m ,,给出下列命题: ①若α∥β，则m ⊥l ； ②若α⊥β，则m ∥l ; ③若m ⊥l ，则α∥β； ④若m ∥l ，则α⊥β 其中正确命题的个数是（） A ．1 B ．2C ．3D ．49．已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足：m n m n S S S +=+，且11=a ，那么=10a ( ) A ． 1 B ． 9 C ．10 D ．5510. 已知直线1sin cos :=+θθy x l ，且l OP ⊥于P ，O 为坐标原点，则点P 的轨迹方程为( )A ．122=+y xB ．122=-y xC ．1=+y xD ．1=-y x非选择题部分（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

2013年高考数学押题卷(最后一卷)试题及答案(理科数学)

2013高考数学押题卷(最后一卷)（理科数学）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．若ii m -+1是纯m 的值为（）A ．1-B ．0C ．1 D2．已知集合}13|{},1|12||{>=<-=xx N x x M ，则N M ⋂=( )A ．φB ．}0|{<x xC ．}1|{<x xD ．}10|{<<x x3．若)10(02log ≠><a a a 且，则函数)1(log )(+=x x f a 的图像大致是( )4．已知等比数列}{n a 的公比为正数，且1,422475==⋅a a a a ，则1a =( )A ．21 B ．22 C ．2 D ．2 5．已知变量x 、y 满足的约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤11y y x xy ，则y x z 23+=的最大值为( )A ．-3B ．25 C ．-5 D ．46．过点（0，1）且与曲线11-+=x x y 在点（3，2）处的切线垂直的直线的方程为( )A ．012=+-y xB ．012=-+y xC ．022=-+y xD ．022=+-y x 7．函数)sin (cos 32sin )(22x x x x f --=的图象为C ，如下结论中正确的是( ) ①图象C 关于直线11π12x =对称； ②图象C 关于点2π03⎛⎫⎪⎝⎭，对称； ③函数()f x 在区间π5π1212⎛⎫- ⎪⎝⎭，内是增函数；④由x y 2sin 2=的图角向右平移π3个单位长度可以得到图象C （A ）①②③ （B ）②③④ （C ）①③④ （D ）①②③④8．已知620126(12)xa ax axa x-=+++⋅⋅⋅+，则0126a a a a +++⋅⋅⋅+=（）A ．1B ．1-C ．63 D ．629．若函数)(x f 的导函数34)('2+-=x x x f ，则使得函数)1(-x f 单调递减的一个充分不必要条件是x ∈( )A ．[0，1]B ．[3，5]C ．[2，3]D ．[2，4]10．设若2lg ,0,()3,0,ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰((1))1f f =，则a 的值是( ) A. -1 B. 2 C. 1 D.-211．△ABC 中，∠A=60°,∠A 的平分线AD 交边BC 于D ，已知AB=3，且)(31R ∈+=λλ，则AD 的长为( )A ．1B ．3C ．32D ．312．在三棱锥S —ABC 中，AB ⊥BC,AB=BC=2,SA=SC=2,，二面角S —AC —B 的余弦值是33-，若S 、A 、B 、C 都在同一球面上，则该球的表面积是( ) A ．68B ．π6C ．24πD ．6π二、填空题：（本大题4小题，每小题5分，共20分） 13．在△ABC 中，B=3π中，且34=⋅BC BA ,则△ABC 的面积是14．若函数1)(2++=mx mx x f 的定义域为R ，则m 的取值范围是15．已知向量,满足：2||,1||==，且6)2()(-=-⋅+b a b a ，则向量a 与b 的夹角是16．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是正视图侧视图俯视图三、解答题（本大题共6小题，共70分。

2013届高考数学押题精选试题分类汇编9 圆锥曲线理

2013届全国各地高考押题数学（理科）精选试题分类汇编9：圆锥曲线一、选择题1 ．（2013届全国大纲版高考压轴卷数学理试题）已知直线l 交椭圆805422=+y x 于N M ,两点,椭圆与y 轴的正半轴交于B 点,若BMN ∆的重心恰好落在椭圆的右焦点上,则直线l 的方程是（）A ．02856=--y xB ．02856=-+y xC ．02865=-+y xD ．02865=--y x【答案】（） A ．设1122(,),(,)M x y N x y ,又(0,4),(2,0)B F ,由重心坐标得1212042,033x x y y ++++== 121264x x y y +=⎧⇒⎨+=-⎩（1）（2）,所以弦MN 的中点为(3,2)-. 因为点1122(,),(,)M x y N x y 在椭圆上,所以,2211222245804580x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩,作差得 121212124()()4()()0x x x x y y y y +-++-=,将(1)和(2)代入得121265l y y k x x -==-,所以,直线L 为:62(3)5y x +=-2 ．（2013届山东省高考压轴卷理科数学）已知抛物线y 2=4x 的准线过双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左顶点,且此双曲线的一条渐近线方程为y =2x ,则双曲线的焦距等于（）A ． 5B ．2 5C ． 3D ．2 3【答案】B 【解析】∵抛物线y 2=4x 的准线x =-1过双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左顶点,∴a =1,∴双曲线的渐近线方程为y =±b ax =±bx .∵双曲线的一条渐近线方程为y =2x ,∴b =2,∴c =a 2＋b 2=5,∴双曲线的焦距为2 5.3 ．（2013新课标高考压轴卷（一）理科数学）已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的一条渐近线的斜率为2,且右焦点与抛物线x y 342=的焦点重合,则该双曲线的离心率等于（）A ．2B ．3C ．2D ．23【答案】B 【解析】抛物线的焦点为,即c =双曲线的渐近线方程为by x a=,由ba=,即b =,所以22222b a c a ==-,所以223c a =,即23,e e ==,即离心率为3,选B ．4 ．（2013届安徽省高考压轴卷数学理试题）双曲线228x y -=的左右焦点分别是12F F ，,点n P ()()123n n x y n =，，，在其右支上,且满足121||||n n P F P F +=,1212PF F F ⊥,则2012x 的值是（）A ．B ．C ．8048D ．8040【答案】C 【解析】(方法一)22884a b c ==∴=，，，即14x =,又121||||n n P F P F +=， 2222222211111(4)(4)816816n n n n n n n n n n x y x y x x y x x y +++++∴-+=++-++=-++，即22111114()()()4()n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x +++++-=+⇔+-=+，由题意知,0n x >, 14n n x x +∴-=，故20121(20121)48048x x =+-⨯=. (方法二)焦半径公式法:11211||(2)||(2)4n n n n n n P F e x P F e x x x +++=+=-∴=+，，14x ∴=,故20121(20121)48048x x =+-⨯=.选C ．点评:本题考查双曲线的简单几何性质和等差数列前n 项和的求法. 通过121||||n n P F P F +=得出1n n x x +，的关系式解题的关键.5 ．（2013届四川省高考压轴卷数学理试题）已知双曲线的方程为2221(0)4x y m m m -=>+,则离心率的范围是（）A．)+∞ B．)+∞ C ．[1,)+∞ D ．[3,)+∞【答案】B6 ．（2013届福建省高考压轴卷数学理试题）设双曲线22143x y -=的左,右焦点分别为12,F F ,过1F 的直线l 交双曲线左支于,A B 两点,则22BF AF +的最小值为（）A ．192B ．11C ．12D ．16 【答案】B【解析】由题意,得:21221121248824AF AF a BF AF AF BF AB BF BF a ⎧-==⎪⇒+=++=+⎨-==⎪⎩ 显然,AB 最短即通径,2min23b AB a=⋅=,故()22min11BF AF +=7 ．（2013届新课标高考压轴卷（二）理科数学）已知双曲线的方程为)0,0(12222>>=-b a b y a x ,过左焦点1F 作斜率为33的直线交双曲线的右支于点P,且y 轴平分线段P F 1,则双曲线的离心率为（）AB1+CD．2+【答案】A8 ．（2013届湖北省高考压轴卷数学（理）试题）若双曲线222(0)x y a a -=>的左、右顶点分别为,A B ,点P 是第一象限内双曲线上的点.若直线,PA PB 的倾斜角分别为,αβ,且(1)k k βα=>,那么α的值是（）A ．21k π-B ．2k πC ．21k π+D ．22k π+【答案】D 【解析】:∵双曲线的方程为222x y a -=,22221x y a a-=,∴双曲线的左顶点为(,0)A a -,右顶点为(,0)B a .设(,)P m n ,得直线PA 的斜率PA nk m a=+,直线PB 的斜率PBn k m a=-,∴222PA PB n k k m a ⋅=-①.∵(,)P m n 是双曲线222x y a -=上的点,∴222m n a -=,得222n m a =-,代人①式得1PA PB k k ⋅=.∵直线,PA PB 的倾斜角分别为,αβ,所以tan ,tan PA PB k k αβ==,∴tan tan 1αβ⋅=.∵P 是第一象限内双曲线上的点,易知,αβ均为锐角,∴(1)2k παβα+=+=,解得22k πα=+.故选 D ．9 ．（2013新课标高考压轴卷（一）理科数学）抛物线24y x =上的一点M 到焦点的距离为1,则点M 的纵坐标是（）A ．78 B ．1516C ．34 D ．0 【答案】B 【解析】抛物线的标准方程为214x y =,抛物线的焦点坐标为1(0,)16,准线方程为116y =-,因为M 到焦点的距离为1,则M 到准线的距离为1,即1()116M y --=,所以11511616M y =-=,选B ． 10．（2013届辽宁省高考压轴卷数学理试题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是,它的一个焦点在抛物线224y x =的准线上,则双曲线的方程为（）A ．22136108x y -=B ．221927x y -=C ．22110836x y -=D ．221279x y -=【答案】B依题意知2222269,27ba c abc a b +⎧=⎪⎪=⇒==⎨⎪=⎪⎩,所以双曲线的方程为221927x y -=11．（2013届海南省高考压轴卷理科数学）设M(x 0,y 0)为抛物线C:x 2=8y 上一点,F 为抛物线C 的焦点,以F 为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C 的准线相交,则y 0的取值范围是（） A ．(0,2) B ．[0,2] C ．(2,+∞)D ．[2,+∞) 【答案】答案:C考点:抛物线的简单性质.分析:由条件|FM|>4,由抛物线的定义|FM|可由y 0表达,由此可求y 0的取值范围解答:解:由条件|FM|>4,由抛物线的定义|FM|=y 0+2>4,所以y 0>2(13)=1 (14)16 (15)m<-1 (16)910π 12．（2013届湖北省高考压轴卷数学（理）试题）过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ,斜率为43的直线交抛物线于,A B 两点,若(1)AF FB λλ=>,则λ的值为（）A ．4B ．5C ．43D ．52【答案】A 【解析】:据题意设1122(,),(,)A x y B x y . 由AF FB λ=1122(,)(,)22p px y x y λ⇒--=-,则1122y y y y λλ-=⇒=-. 联立24(),322,p y x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩消去x 得22302y py p --=,则212123,2y y p y y p +==-. ∴212121221()924y y y y y y y y +=++=-,即1924λλ--+=-,即241740λλ-+=,解得4λ=或14λ=(舍去).故选（）A ．二、填空题 13．（2013届浙江省高考压轴卷数学理试题）在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的中心为原点,焦点F 1,F 2在x 轴上,离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ,B 两点,且△ABF 2的周长为16,那么C 的方程为________________.【答案】x 216+y 28=1 【解析】设椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),因为离心率为22,所以22=1－b 2a 2,解得b 2a 2=12,即a 2=2b 2.又△ABF 2的周长为|AB |+|AF 2|+|BF 2|=|AF 1|+|BF 1|+|BF 2|+|AF 2|=(|AF 1|+|AF 2|)+(|BF 1|+|BF 2|)=2a +2a =4a ,,所以4a =16,a =4,所以b =22,所以椭圆方程为x 216+y 28=1.14．（2013届北京市高考压轴卷理科数学）抛物线212y x =-的准线与双曲线22193x y -=的两渐近线围成的三角形的面积为【答案】【解析】抛物线212y x =-的准线为3x =,双曲线22193x y -=的两渐近线为y x =和y x =,令3x =,分别解得12y y ==,所以三角形的低为(-=,高为3,所以三角形的面积为132⨯=.15．（2013届新课标高考压轴卷（二）理科数学）过点M(—2,0)的直线m 与椭圆2122,12P P y x 交于=+两点,线段21,P P 的中点为P,设直线m 的斜率为)0(11≠k k ,直线OP 的斜率为k 2,则k 1k 2的值为_______ 【答案】 -1/216．（2013届四川省高考压轴卷数学理试题）M 是抛物线24y x =上一点,F 是抛物线24y x =的焦点.以Fx 为始边,FM 为终边的角60xFM ∠=︒,则MOF ∆(O 是坐标原点)的面积为____________________. 【答案】317．（2013届全国大纲版高考压轴卷数学理试题）抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ,A B 、在抛物线上,且2AFB π∠=,弦AB 的中点M 在其准线上的射影为N ,则MNAB的最大值为【答案】. 如图,1111()()22MN AA BB AF BF =+=+, 2222()2AF BF AB AF BF +=+≥,当且仅当AF BF=时取“=”号222222()112222MN AF BF AB AB AF BF AB AB AB⎛⎫⎛⎫+∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=⋅≤= 12MNAB ∴≤18．（2013届重庆省高考压轴卷数学理试题）在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的中心为原点,焦点12,F F 在x 轴上,离心率为22.过1F 的直线L 交C 于,A B 两点,且2ABF 的周长为16,那么C 的方程为______.【答案】解析:由22416c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩得a=4.c=22,从而b=8,221168x y ∴+=为所求.19．（2013届湖南省高考压轴卷数学（理）试题）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2,且12||F F =2c,若点P 在椭圆上,且满足2212120,PF F F PF PF c ⋅=⋅=,则该椭圆的离心率e 等于________【答案】512-20．（2013届海南省高考压轴卷理科数学）已知双曲线和椭圆有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为_______ 【答案】考点:圆锥曲线的综合;椭圆的简单性质.分析:先利用双曲线和椭圆有相同的焦点求出c=,再利用双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,求出a=2,即可求双曲线的方程.解答:解:由题得,双曲线的焦点坐标为(,0),(﹣,0),c=:且双曲线的离心率为2×==⇒a=2.⇒b 2=c 2﹣a 2=3,双曲线的方程为=1.故答案为:=1.三、解答题21．（2013届新课标高考压轴卷（二）理科数学）已知椭圆C:)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为21,以原点O 为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线06=+-y x 相切(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程(Ⅱ)若直线L:m kx y +=与椭圆C 相交于A 、B 两点,且22ab k k OB OA -=⋅①求证:AOB ∆的面积为定值②在椭圆上是否存在一点P,使OAPB 为平行四边形,若存在,求出OP 的取值范围,若不存在说明理由.请考生在第22,23,24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分, 做答时请写清题号.【答案】(Ⅰ)解:由题意得3,426002122222==⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫+-=-==b a b b a c a c ∴椭圆的方程为13422=+y x .(Ⅱ)设)(1,1y x A ,)(2,2y x B 则A,B 的坐标满足⎪⎩⎪⎨⎧+==+mkx y y x 13422消去y 化简得()0124843222=-+++m kmx xk∴221438kkm x x +-=+,222143124k m x x +-= ,0>∆得03422>+-m k 2212122121)())((m x x km x x k m kx m kx y y +++=++= =2222222243123)438(43124kk m m k km km k m k +-=++-++-. 43-=•OB OA K K432121-=x x y y ,即212143x x y y -= ∴22222431244343123k m kk m +-⋅-=+-即34222=-k m []22222212212)43()34(48)1(4)()1(k m k k x x x x k AB ++-⋅+=-++= =243)43()1(482222k k k +⋅++2243)1(24kk ++=. O 到直线m kx y +=的距离21km d +=∴2121==∆AB d S AOB21k m +2243)1(24k k ++=222243)1(24121k k k m ++⋅+=22432424321k k +⋅+=3 为定值..(Ⅲ)若存在平行四边形OAPB 使P 在椭圆上,则OB OA OP +=设),(00y x P ,则2210438k kmx x x +-=+=2210436kmy y y +=+= 由于P 在椭圆上,所以1342020=+yx从而化简得 1)43(12)43(162222222=+++k m k m k 化简得 22434k m += (1) 由43-=•OB OA K K 知 34222=-k m (2) 解(1)(2)知无解不存在P 在椭圆上的平行四边形. 22．（2013届全国大纲版高考压轴卷数学理试题）(注意:在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 已知AOB ∆的顶点A在射线()1:0l y x =>上,A 、B 两点关于x 轴对称,0为坐标原点,且线段AB 上有一点M 满足 3.AM MB •=当点A 在1l 上移动时,记点M 的轨迹为W. (Ⅰ)求轨迹W 的方程;(Ⅱ)设()2,0,N 是否存在过N 的直线l 与W 相交于P,Q 两点,使得1?OP OQ •=若存在,求出直线l ;若不存在,说明理由.【答案】解:(Ⅰ)因为A,B 两点关于x 轴对称, 所以AB 边所在直线与y 轴平行.设(),,M xy 由题意,得()(),,,3,A x B xAM MB ⋅=)223,1,3y yy x ∴-+=-=所以点M 的轨迹W 的方程为()2210.3y x x -=> (Ⅱ)假设存在,设()()()1122:22,,,,l y k x x P x y Q x y =-=或，当直线():2l y k x =-时,由题意,知点P,Q 的坐标是方程组()22132y x y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩的解, 消去y 得 ()222234430,k x k x k -+--=所以()()()()22222244343361030k k k k k ∆=----=+>-≠且22121222443,,33k k x x x x k k ++==--直线l与双曲线的右支(即W)相交两点P,Q,221212224430,0,33k k x x x x k k +∴+=>=>--即2 3.k >①()()()2121212122224y y k x k x k x x x x ⎡⎤=-⋅-=-++⎣⎦()()22212121212124OP OQ x x y y k x x k x x k ∴⋅=+=+-++ ()22222222243435124333k k k k k k k k k +-=+⋅-⋅+=--- 要使1,OP OQ ⋅=则必须有22351,3k k -=-解得21,k =代入①不符合.所以不存在直线l ,使得1,OP OQ ⋅=当直线:2l x =时,()()2,3,2,3,5,P Q OP OQ -⋅=-不符合题意, 综上:不存在直线l ,使得1,OP OQ ⋅=23．（2013届海南省高考压轴卷理科数学）已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点,焦点在s 轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)若P 为椭圆C 上的动点,M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点,OPOM=λ,求点M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.2013海南省高考压轴卷数学【答案】(Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a c ，,由已知得1,4,37a c a c a c -=⎧==⎨+=⎩解得, 所以椭圆C 的标准方程为221167x y +=(Ⅱ)设(,)M x y ,其中[]4,4x ∈-.由已知222OP OMλ=及点P 在椭圆C 上可得2222911216()x x y λ+=+. 整理得2222(169)16112x y λλ-+=,其中[]4,4x ∈-.(i)34λ=时.化简得29112y = 所以点M的轨迹方程为44)y x =±-≤≤,轨迹是两条平行于x 轴的线段. (ii)34λ≠时,方程变形为2222111211216916x y λλ+=-,其中[]4,4x ∈-当304λ<<时,点M 的轨迹为中心在原点、实轴在y 轴上的双曲线满足44x -≤≤的部分. 当314λ<<时,点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆满足44x -≤≤的部分;当1λ≥时,点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆24．（2013届辽宁省高考压轴卷数学理试题）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左顶点)0,2(-A ,过右焦点F 且垂直于长轴的弦长为3.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)若过点A 的直线l 与椭圆交于点Q ,与y 轴交于点R ,过原点与l 平行的直线与椭圆交于点P ,求证:2OPAR AQ ⋅为定值.【答案】解:(1)2=a ,设过右焦点F 且垂直于长轴的弦为MN ,将),(M y c M 代入椭圆方程12222=+by a c M ,解得a b y m 2±=,故322=ab ,可得32=b所以,椭圆方程为13422=+y x(2)由题意知,直线OP AQ ,斜率存在,故设为k ,则直线AQ 的方程为)2(+=x k y ,直线OP 的方程为kx y =.可得)2,0(k R ,则212k AR +=设),(11y x A ,),(22y x Q ,联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=134)2(22y x x k y , 消去y 得:0121616)34(2222=-+++k x k x k ,34162221+-=+k k x x ,3412162221+-=k k x x , 则341124)(1122212212212++=-++=-+=k k x x x x kx x k AQ 设kx y =与椭圆交另一点为),(33y x M ,),(44y x P ,联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=13422y x kx y , 消去y 得012)34(22=-+x k ,341224+=k x ,所以3412112242++=+=k kx k OP 故2)34121(34112122222222=+++++=⋅k k k k k OP AR AQ . 所以2OPAR AQ ⋅等于定值225．（2013届海南省高考压轴卷理科数学）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ,过点F作直线l 与抛物线交于A 、B 两点,抛物线的准线与x 轴交于点C .(1)证明:ACF BCF ∠=∠;(2)求ACB ∠的最大值,并求ACB ∠取得最大值时线段AB 的长.【答案】解:(Ⅰ)由题设知,F ( p 2,0),C (- p2,0),设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线l 方程为x =my + p2,代入抛物线方程y 2=2px ,得y 2-2pmy -p 2=0. y 1+y 2=2pm ,y 1y 2=-p 2.不妨设y 1>0,y 2<0,则 tan ∠ACF =y 1x 1＋ p 2=y 1y 212p ＋p 2=2py 1y 21＋p 2=2py 1y 21－y 1y 2=2p y 1－y 2, tan ∠BCF =-y 2x 2＋p 2=-2p y 2－y 1,∴ta n ∠ACF =tan ∠BCF ,所以∠ACF =∠BCF .(Ⅱ)如(Ⅰ)所设y 1>0,tan ∠ACF =2py 1y 21＋p2≤2py 12py 1=1,当且仅当y 1=p 时取等号, 此时∠ACF 取最大值 π 4,∠ACB =2∠ACF 取最大值 π2,并且A ( p 2,p ),B ( p2,-p ),|AB |=2p .26．（2013届上海市高考压轴卷数学（理）试题）本题共3小题,第(Ⅰ)小题4分,第(Ⅱ)小题6分,第(Ⅲ)小题6分.已知点)2,1(A 是离心率为22的椭圆C :)0(12222>>=+b a a y b x 上的一点.斜率为2的直线BD 交椭圆C 于B 、D 两点,且A 、B 、D 三点不重合. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)ABD ∆的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由? (Ⅲ)求证:直线AB 、AD 的斜率之和为定值.【答案】本题共3小题,第(Ⅰ)小题4分,第(Ⅱ)小题6分,第(Ⅲ)小题6分.解:(Ⅰ) a c e ==22, 12122=+ab ,222c b a +=∴2=a ,2=b ,2=c∴14222=+y x(Ⅱ)设直线BD 的方程为b x y +=2∴⎩⎨⎧=++=42222y x b x y 0422422=-++⇒b bx x ∴06482>+-=∆b 2222<<-⇒b,2221b x x -=+ ----① 44221-=b x x -----② 222128264864343)2(1b b x x BD -=-=∆=-+= ,设d 为点A 到直线BD :b x y +=2的距离, ∴3b d =∴2)8(422122≤-==∆b b d BD S ABD ,当且仅当2±=b 时取等号. 因为2±)22,22(-∈,所以当2±=b 时,ABD ∆的面积最大,最大值为2. (Ⅲ)设),(11y x D ,),(22y x B ,直线AB 、AD 的斜率分别为:AB k 、AD k ,则=+AB AD k k 122122121222112211--++--+=--+--x b x x b x x y x y =]1)(2[22212121++--++x x x x x x b ------* 将(Ⅱ)中①、②式代入*式整理得]1)(2[22212121++--++x x x x x x b =0,即=+AB AD k k 027．（2013届重庆省高考压轴卷数学理试题）已知点11(,)A x y ,22(,)B x y 是抛物线24y x=上相异两点,且满足122x x +=.(Ⅰ)若AB 的中垂线经过点(0,2)P ,求直线AB 的方程;(Ⅱ)若AB 的中垂线交x 轴于点M ,求AMB ∆的面积的最大值及此时直线AB 的方程.【答案】解:(I)当AB 垂直于x 轴时,显然不符合题意, 所以可设直线AB 的方程为y kx b =+,代入方程24y x =得:222(24)0k x kb x b +-+=∴122422kbx x k -+== 得:2b k k =- ∴直线AB 的方程为2(1)y k x k=-+ ∵AB 中点的横坐标为1,∴AB 中点的坐标为2(1,)k∴AB 的中垂线方程为1213(1)y x x k k k k=--+=-+∵AB 的中垂线经过点(0,2)P ,故32k =,得32k =∴直线AB 的方程为3126y x =-(Ⅱ)由(I)可知AB 的中垂线方程为13y x k k=-+,∴M 点的坐标为(3,0)因为直线AB 的方程为2220k x ky k -+-= ∴M 到直线AB 的距离22242|32|21||k k k d k k k +-+==+由222204k x ky k y x ⎧-+-=⎨=⎩ 得,222204k y ky k -+-=, 212122482,k y y y y k k -+=⋅=12||||AB y y=-=∴214(1AMBSk∆=+t=,则01t<<,234(2)48S t t t t=-=-+,2'128S t=-+,由'0S=,得t=348S t t=-+在上递增,在上递减,当t=,S有最大值得:k=时,maxS=AB方程310x-=28．（2013届广东省高考压轴卷数学理试题）动圆P在x轴上方与圆F:()2211x y+-=外切,又与x轴相切.(1)求圆心P的轨迹C的方程;(2)已知A.B是轨迹C上两点,过A.B两点分别作轨迹C的切线,两条切线的交点为M, 设线段AB的中点为N,是否存在Rλ∈使得MN OFλ=(F为圆F的圆心);(3)在(2)的条件下,若轨迹C的切线BM与y轴交于点R,A.B两点的连线过点F,试求△ABR面积的最小值.【答案】解:(1)设P(x,y)由题意知()22211(1)y x y y=+⇒+-=+21y4x∴=)0(≠x.即圆心P的轨迹C的方程为21y4x=)0(≠x(2)设11(,)A x y,22(,)B x y由1'2y x=得直线AM的斜率112AMk x=直线BM 的斜率212BM k x =∴直线AM 的方程为1111()2y y x x x -=---------------①直线BM 的方程为2221()2y y x x x -=--------------②由①②消去y 得21112211()()22y y x x x x x x -=---2212211111()2222x x x x x =-+-∵11(,)A x y ,22(,)B x y 在抛物线21y 4x =)0(≠x 上∴2222211221111111()442222x x x x x x x -=-+- ∴121()2x x x =+即点M 的横坐标121()2x x x =+,又∵点N 的横坐标为也为122x x +∴MN//y 轴,即MN 与OF 共线 ∴存在R λ∈使得MN OF λ=(3)设点B 的坐标为2(,)(0)4t t t ≠,则轨迹C 的切线BM 的方程为2()42t ty x t -=-可得R 的坐标为2(0,)4t -,直线BA 的方程为2414t y x t -=+,由224414y xt y x t ⎧=⎪⎨-=+⎪⎩可得点A 的坐标为244(,)t t - ∴1||||2ABR B A S FR x x ∆=⋅-=214|1|||24t t t +⋅+3114|2|24t t t=++∵3114|2|24t t t++是关于t 的偶函数,∴只须考虑0t >的情况, 令3114()(2)24f t t t t =++(0t >)则22134'()(2)24f t t t=+-,令'()0f t =解得t =∵当t ∈时,'()0f t <,当)t ∈+∞时,'()0f t >∴当且仅当233t =时,()f t 取得最小值min 23163()()39f t f == 29．（2013届江苏省高考压轴卷数学试题）在直角坐标系xoy 上取两个定点12(2,0),(2,0)A A -,再取两个动点1(0,),N m 2(0,)N n ,且3mn =.(Ⅰ)求直线11A N 与22A N 交点的轨迹M 的方程;(Ⅱ)已知点(1,)A t (0t >)是轨迹M 上的定点,E,F 是轨迹M 上的两个动点,如果直线AE 的斜率AE k 与直线AF 的斜率AF k 满足0AE AF k k +=,试探究直线EF 的斜率是否是定值?若是定值,求出这个定值,若不是,说明理由.【答案】30．（2013届山东省高考压轴卷理科数学）如图,设椭圆的中心为原点O ,长轴在x 轴上,上顶点为A ,左、右焦点分别为F 1,F 2,线段OF 1,OF 2的中点分别为B 1,B 2,且△AB 1B 2 是面积为4的直角三角形.(1)求该椭圆的离心率和标准方程;(2)过B 1作直线l 交椭圆于P ,Q 两点,使PB 2⊥QB 2,求直线l 的方程.【答案】【解析】 (1)设所求椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),右焦点为F 2(c,0).因为△AB 1B 2是直角三角形,又|AB 1|=|AB 2|,故∠B 1AB 2为直角,因此|OA |=|OB 2|,得b =c2.结合c 2=a 2-b 2,得4b 2=a 2-b 2,故a 2=5b 2,c 2=4b 2,∴离心率e =c a =255.在Rt △AB 1B 2中,OA ⊥B 1B 2,故S △AB 1B 2=12|B 1B 2|·|OA |=|OB 2|·|OA |=c 2·b =b 2.由题设条件S △AB 1B 2=4,得b 2=4,从而a 2=5b 2=20. 因此所求椭圆的标准方程为x 220+y 24=1.(2)由(1),知B 1(-2,0),B 2(2,0).由题意,知直线l 的倾斜角不为0,故可设直线l 的方程为x =my -2,代入椭圆方程,得(m 2+5)y 2-4my -16=0.设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则y 1,y 2是上面方程的两根,因此y 1+y 2=4m m 2＋5,y 1·y 2=-16m 2＋5. 又B 2P →=(x 1-2,y 1),B 2Q →=(x 2-2,y 2), ∴B 2P→·B 2Q→=(x 1-2)(x 2-2)+y 1y 2=(my 1-4)(my 2-4)+y 1y 2=(m 2+1)y 1y 2-4m (y 1+y 2)+16=-16m 2＋1m 2＋5-16m2m 2＋5+16=-16m 2－64m 2＋5.由PB 2⊥QB 1,得B 2P →·B 2Q →=0,即16m 2-64=0,解得m =±2.∴满足条件的直线有两条,其方程分别为x +2y +2=0和x -2y +2=0.31．（2013届江苏省高考压轴卷数学试题）抛物线y x 22-=上有两点),().,(2211y x B y x A 且)2,0(,0-==⋅OM OB OA (O 为坐标原点)(1)求证:AM ∥AB (2)若MB MA 2-=,求AB 所在直线方程.【答案】抛物线y x 22-=上有两点),().,(2211y x B y x A 且)2,0(,0-==⋅OM OB OA (O 为坐标原点)(1)求证:AM ∥AB (2)若MB MA 2-=,求AB 所在直线方程.32．（2013届四川省高考压轴卷数学理试题）如图,(1,1)S 是抛物线为22(0)y px p =>上的一点,以S 为圆心,r 为半径(12r <<)做圆,分别交x 轴于A ,B 两点,连结并延长SA 、SB ,分别交抛物线于C 、D 两点.(1)求证:直线CD 的斜率为定值;(2)延长DC 交x 轴负半轴于点E,若EC : ED = 1 : 3,求sin 2cos CSD CSD ∠+∠的值.【答案】(1)将点(1,1)代入px y 22=,得 12=p∴ 抛物线方程为x y =2设)1(1-=-x k y SA 的方程为直线,),(11y x C 与抛物线方程x y =2联立得:012=-+-k y kyk y 111=+∴111-=∴ky )11,)1((22--∴kk k C由题意有SB SA =,k SB -∴的斜率为直线)11,)1((22--+∴kk k D21)1()1(11112222-=+--++-=∴k k k k k k K CD(2)设)0,(t EEC = )11,)1((31)11,)1((2222---+=---∴k t k k k t k k )11(3111--=-k k 2=∴k12-=∴x y SA 的方程为直线)0,21(A ∴同理)0,23(B532cos cos 222=⋅-+=∠=∠∴SA SB AB SB SA ASB CSD∴4sin 5CSD ∠=,24sin 225CSD ∠=,因此:39sin 2cos 25CSD CSD ∠+∠=33．（2013届浙江省高考压轴卷数学理试题）在周长为定值的∆DEC 中,已知|DE |=8,动点C的运动轨迹为曲线G ,且当动点C 运动时,cos C 有最小值725-. (1) “以DE 所在直线为x 轴,线段DE 的中垂线为y 轴建立直角坐标系,求曲线G 的方程”.2)直线l 分别切椭圆G 与圆M :x 2+y 2=R 2(其中3<R <5)于A 、B 两点,求|AB |的最大值.【答案】【解析】(1)设 |CD |+|CE |=2a (a >8)为定值,所以C 点的轨迹是以D 、E 为焦点的椭圆,所以焦距2c =|DE |=8. 因为2222222||||8(||||)2||||828cos 12||||2||||||||CD CE CD CE CD CE a C CD CE CD CE CD CE +-+---===-又 222||||()2a CD CE a ⋅≤=,所以 228cos 12C a ≥-,由题意得222871,25225a a -=-=.所以C 点轨迹G 的方程为 22 1.259x y +=(2)设1122(,),(,)A x y B x y 分别为直线l 与椭圆和圆的切点, 直线AB 的方程为:y kx m =+因为A 既在椭圆上,又在直线AB 上, 从而有221259x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩, 消去y 得:222(259)5025(9)0k x kmx m +++-=由于直线与椭圆相切,故222(50)4(259)25(9)0km k m ∆=-+⨯-= 从而可得:22925m k =+ ① 125kx m=-② 由222x y R y kx m ⎧+=⎨=+⎩ 消去y 得:2222(1)20k x kmx m R +++-= 由于直线与圆相切,得222(1)m R k =+ ③ 22kR x m=- ④由②④得:221(25)k R x x m --= 由①③得:222925R k R -=-22222212121||()()(1)()AB x x y y k x x ∴=-+-=+-222222222222(25)9(25)22525925m k R R R R R m R R R ---=⋅=⋅=+---3434304≤-=-= 即||2AB ≤,当且仅当R =,所以|AB|的最大值为2.34．（2013届北京市高考压轴卷理科数学）已知椭圆C 的中心在原点,焦点在x 轴上,离心率为12,短轴长为43. (I)求椭圆C 的标准方程;(II)直线x =2与椭圆C 交于P 、Q 两点,A 、B 是椭圆O 上位于直线PQ 两侧的动点,且直线AB 的斜率为12. ①求四边形APBQ 面积的最大值;②设直线PA 的斜率为1k ,直线PB 的斜率为2k ,判断1k +2k 的值是否为常数,并说明理由.【答案】解:(Ⅰ)设椭圆C 的方程为)0(12222>>=+b a by a x由已知b=32 离心率222,21c b a a c e +===,得4=a 所以,椭圆C 的方程为1121622=+y x(Ⅱ)①由(Ⅰ)可求得点P 、Q 的坐标为)3,2(P ,)3,2(-Q ,则6||=PQ ,设A (),,11y x B(22,y x ),直线AB 的方程为t x y +=21,代人1121622=+y x得:01222=-++t tx x .由△>0,解得44<<-t ,由根与系数的关系得⎩⎨⎧-=-=+1222121t x x t x x 四边形APBQ 的面积2212212134834)(3621t x x x x x x s -=-+⨯=-⨯⨯= 故当312,0max ==S t②由题意知,直线PA 的斜率23111--=x y k ,直线PB 的斜率23222--=x y k则2321232123232211221121--++--+=--+--=+x t x x t x x y x y k k =2222122)2(2122)2(21212211--+--+=--+-+--+-x t x t x t x x t x =4)(2)4)(2(1212121++--+-+x x x x x x t ,由①知⎩⎨⎧-=-=+1222121t x x t x x 可得011828214212)4)(2(122221=-=-++--+=++----+=+t t t t t t t t k k所以21k k +的值为常数035．（2013届湖北省高考压轴卷数学（理）试题）如图,已知2(,)M m m 、2(,)N n n 是抛物线C :2y x =上的两个不同的点,且221m n +=,0m n +≠,直线l 是线段MN 的垂直平分线.设椭圆E 的方程为221022(,)x y a a a +=>≠.(1)当M 、N 在C 上移动时,求直线l 的斜率k 的取值范围;(2)已知直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点,与椭圆E 交于P 、Q 两点,设线段AB 的中点为R ,线段QP 的中点为S ,若0OR OS ⋅=,求椭圆E 的离心率的取值范围.【答案】(1)由题意知,直线MN 的斜率为22MNm n k m n m n-==+-, 又l MN ⊥,0m n +≠,∴直线l 的斜率为1k m n=-+. ∵221m n +=,由222m n mn +≥,得2222()()m n m n +≥+,即22()m n ≥+(当m n =时,等号成立),∴2m n +≤∵M 、N 是不同的两点,即m n ≠,∴0m n <+<,∴k >,即k <或k >.∴直线l 的斜率k 的取值范围为22(,(,)-∞+∞. (2)由题意易得,线段MN 的中点坐标为2222(,)m n m n ++.∵直线l 是线段MN 的垂直平分线,∴直线l 的方程为2222()m n m ny k x ++-=-,又∵221m n +=,1k m n =-+,即1m n k+=-, ∴直线l 的方程为1y kx =+.将直线l 的方程分别代入抛物线方程和椭圆方程并整理得,210x kx --=, ①2224220()a k x kx a +++-=.②易知方程①的判别式2140k ∆=+>, 方程②的判别式22821()a k a ∆=+-, 由(1)易知212k >,又0a >,∴2210k a a +->>,∴20∆>恒成立. 设(,),(,),(,),(,)A A B B P P Q Q A x y B x y P x y Q x y ,则21122,()A B A B A B A B x x k y y kx kx k x x k +=+=+++=++=+,∴线段AB 的中点R 的坐标为2122(,)k k +, 又∵224211222,()P Q P Q P Q P Qk ax x y y kx kx k x x a k a k +=-+=+++=++=++, ∴线段QP 的中点S 的坐标为22222(,)k aa k a k -++.∴2122(,)k k OR =+,22222k aOS a k a k -=++(,),由0OR OS ⋅=得,2221202()k k a a k-++=+,即22102()k k a -++=, ∴2222k a k =+. ∵212k >,∴2222222251k a k k ==>++,222242222k a k k ==-<++,∴225a <<.由题易知,椭圆E的离心率e =,222a e ∴=-, ∴222225e <-<,∴2405e <<,∴0e <<. 故椭圆E的离心率的取值范围为0(. 36．（2013届江西省高考压轴卷数学理试题）如图,在矩形ABCD中,8,4,,,,AB BC E F G H ==分别为四边的中点,且都在坐标轴上,设→→=OF OP λ,)0(≠=→→λλCF CQ .(Ⅰ)求直线EP 与GQ 的交点M 的轨迹Γ的方程;(Ⅱ)过圆222x y r +=(02)r <<上一点N 作圆的切线与轨迹Γ交于,S T 两点,若02=+⋅→→r NT NS ,试求出r 的值.【答案】解:(I)设(,)M x y ,由已知得(4,0),(4,22)P Q λλ-,则直线EP 的方程为22x y λ=-,直线GQ 的方程为22x y λ=-+,消去λ即得M 的轨迹Γ的方程为221(0)164x y x +=≠(II)方法一:由已知得2NS NT ON=,又ON ST ⊥,则OS OT ⊥,设直线:(2)ST y kx m m =+≠±代入221164x y +=得222(14)84160k x kmx m +++-=,设1122(,),(,)S x y T x y ,则21212228416,1414km m x x x x k k -+=-=++ 由OS OT ⊥得12120x x y y +=,即221212()(1)0km x x k x x m ++++=,则22516(1)m k =+, 又O 到直线ST的距离为r =,故(0,2)r =.经检验当直线ST 的斜率不存在时也满足方法二:设00(,)N x y ,则22200x y r +=,且可得直线ST 的方程为200x x y y r += 代入221164x y +=得222242000(4)84160y x x r x x r y +-+-=, 由2NS NT ON =得220200120(1)()()x x x x x r y +--=,即201212()x x x x x r +-=, 则2242200220084164r x r y r y x -+=+,故(0,2)r =37．（2013届天津市高考压轴卷理科数学）已知椭圆1:2222=+by a x C (a >b >0)的焦距为4,且与椭圆1222=+y x 有相同的离心率,斜率为k 的直线l 经过点M(0,1),与椭圆C 交于不同两点A 、B.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)当椭圆C 的右焦点F 在以AB 为直径的圆内时,求k 的取值范围. 【答案】解:(1)∵焦距为4,∴ c =2 又∵1222=+y x 的离心率为22 ∴222===a a c e ,∴a =22,b =2 ∴标准方程为14822=+y x (2)设直线l 方程:y =kx +1,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由⎪⎩⎪⎨⎧=++=148122y xkx y 得064)21(22=-++kx x k∴x 1+x 2=2214k k +-,x 1x 2=2216k +-由(1)知右焦点F 坐标为(2,0), ∵右焦点F 在圆内部,∴BF AF ⋅<0 ∴(x 1 -2)(x 2-2)+ y 1y 2<0即x 1x 2-2(x 1+x 2)+4+k 2x 1x 2+k (x 1+x 2)+1<0 ∴222221185214)2(216)1(k k k k k k k +-=++-⋅-++-⋅+<0 ∴k <81经检验得k <81时,直线l 与椭圆相交,∴直线l 的斜率k 的范围为(-∞,81) .38．（2013届福建省高考压轴卷数学理试题）已知椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12,右焦点到直线1:3l x + 40y =的距离为35.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)若直线2:(0)l y kx m km =+≠ 与椭圆C 交于A 、B 两点,且线段AB 中点恰好在直线1l 上,求△OAB 的面积S 的最大值.(其中O 为坐标原点).【答案】【解析】 (I)由题意得21==a c e ,1=c ,所以2=a ,所求椭圆方程为13422=+y x . (II)设()()2211,,,y x B y x A ,把直线m kx y l +=:2代入椭圆方程13422=+y x 得到01248)34(222=-+-+m kmx x k ,因此34822221+-=+k kmx x ,341242221+-=k m x x , 所以AB 中点)343,344(22++-k mk km M ,又M在直线1l 上,得03434344322=+⨯++-⨯k mk km , 1.0=∴=/k m , 故7821m x x -=+,7124221-=m x x , 所以22127764||1||m x x k AB -=-+=,原点O 到AB 的距离为2||m d =, 得到32)7(732)7(7322222=-+⨯≤-=m m m m S ,当且仅当272=m 取到等号,检验0>∆成立.39．（2013新课标高考压轴卷（一）理科数学）给定抛物线2:4C y x =,F 是抛物线C 的焦点,过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点,O 为坐标原点. (Ⅰ)设l 的斜率为1,求以AB 为直径的圆的方程; (Ⅱ)设2FA BF =,求直线l 的方程. 【答案】(Ⅰ)解:()24,1,0,y x F =∴又直线l 的斜率为1,∴直线∴l 的方程为:1y x =-,代入24y x =,得:2610x x -+=,由根与系数的关系得:121261x x x x +=⎧⎨⋅=⎩,易得AB 中点即圆心的坐标为()3,2,又128,4AB x x p r =++=∴=,∴所求的圆的方程为:()()223216x y -+-=.^(Ⅱ)2,2,FA BF FA BF =∴=而()()11221,,1,FA x y BF x y =-=--,()12121212x x y y -=-⎧∴⎨=-⎩,直线l 的斜率存在,设直线l 的斜率为k ,则直线l 的方程为:()1y k x =-,代入24y x =,得:()2222240k x k x k -++=,由根与系数的关系得:212212241k x x k x x ⎧++=⎪⎨⎪⋅=⎩,()12121x x -=-,∴1211x x =⎧⎨=⎩或12212x x =⎧⎪⎨=⎪⎩,∴k =±,∴直线l 的方程为:)1y x =±-40．（2013届湖南省高考压轴卷数学（理）试题）设21,F F 分别为椭圆右两个焦点,若椭圆C 上的点到F 1,F 2两点的距离之和等于4.⑴写出椭圆C 的方程和焦点坐标;⑵过点P(1,的直线与椭圆交于两点D 、E,若DP=PE,求直线DE 的方程;⑶过点Q(1,0)的直线与椭圆交于两点M 、N,若△OMN 面积取得最大,求直线MN 的方程. 【答案】⑴椭圆C 的焦点在x 轴上,由椭圆上的点A 到F 1、F 2两点的距离之和是4,得2a=4,即a=2.;又点在椭圆上,b 2=1,于是c 2=3; 所以椭圆C⑵∵P 在椭圆内,∴直线DE 与椭圆相交,∴设D(x 1,y 1),E(x 2,y 2),代入椭圆C 的方程得x 12+4y 12-4=0, x 22+4y 22-4=0,相减得2(x 1-x 2y 1-y 2)=0,∴斜率为k =-1 ∴DE 方程为y -1= -1(x即4x +4y =5; (3)直线MN 不与y 轴垂直,∴设MN 方程为my =x -1,代入椭圆C 的方程得 (m 2+4)y 2+2my -3=0, 设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),则y 1+y 2y 1y 2且△>0成立.又S △OMNy 1-y 2设t则 S △OMNt-t -2>0对ttt,S △OMN 最大,此时m =0,∴MN 方程为x =141．（2013届陕西省高考压轴卷数学（理）试题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离,且椭圆C 上一点与两个焦点构成的三角形的周长为222+. (I)求椭圆C 的方程;(II)设过椭圆C 右焦点F 的动直线l 与椭圆C 交于A B 、两点,试问:在x 轴上是否存在定点M ,使716MA MB ⋅=-成立?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由. 【答案】【解析】(I)由题意知:c a =,且222a c +=+,解得1a c ==,2221b a c =-=,∴ 椭圆C 的方程为2212x y +=.(II)易求得右焦点(1,0)F ,假设在x 轴上存在点(,0)M t (t 为常数),使716MA MB ⋅=-. ①当直线l 的斜率不存在时,则:1l x =,此时(1,A B, 217(1(1,(1)216MA MB t t t ⋅=-⋅-=--=-,解得54t =或34. ②当直线l 的斜率存在时,设:(1)l y k x =-,联立方程组22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去y 整理得2222(21)4220k x k x k +-+-=, 设1122(,),(,)A x y B x y ,则22121222422,2121k k x x x x k k -+==++ 1122(,(1))(,(1))MA MB x t k x x t k x ⋅=--⋅--22221212(1)()()k x x t k x x k t =+-++++22222222224(1)()2121k k k t k k t k k -=+⋅-+⋅++++222(41)221t k t k -+=-+ 当41221t -=即54t =时,MA MB ⋅为定值:27216t -=-由①②可知,在x 轴上存在定点5(,0)4M ,使716MA MB ⋅=-成立. 42．（2013届安徽省高考压轴卷数学理试题）已知椭圆的焦点坐标是12(10)(10)F F --，，,过点2F 垂直与长轴的直线交椭圆与P Q ，两点,且||3PQ =. (1)求椭圆的方程(2)过2F 的直线与椭圆交与不同的两点M N ，,则1F MN ∆的内切圆面积是否存在最大值?若存在,则求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.【答案】【解析】(1)设椭圆的方程是22221(0)x y a b a b+=>>,由交点的坐标得:1c =,---------------由||3PQ =,可得223b a=----------------解得2a b ==，故椭圆的方程是22143x y +=-----------(2)设1122()N()M x y x y ，，，,不妨设1200y y ><，设1F MN ∆的内切圆半径是R ,则1F MN ∆的周长是48a =,1111()42F MN S MN F M F N R R ∆=++=, 因此1F MN S ∆最大,R 就最大-----------------------11212121()2F MN S F F y y y y ∆=-=- 由题知,直线l 的斜率不为0,可设直线l 的方程为1x my =+,由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得,22(34)690m y my ++-=,--------------解得12y y ==则12121()2AMNS AB y y y y ∆=-=-=-----------------。

2013高考数学押题卷：高三理科数学高考押题卷（带答案）

2013年⾼考数学(理)押题精粹（课标版）（30道选择题+20道⾮选择题）⼀．选择题（30道）1.设集合，，若，则的值为（）A．0 B．1 C． D．2. 已知是实数集，集合，，则 ( )A. B.C. D.3.已知i为虚数单位，则复数等于（）A．-1-i B．-1+i C．1+i D．1—i4.复数在复平⾯上对应的点不可能位于A．第⼀象限 B．第⼆象限 C．第三象限 D．第四象限5. “ ”是“⽅程表⽰焦点在y轴上的椭圆”的（）A．充分⽽不必要条件 B．必要⽽不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6.若命题“ R，使得 ”为假命题，则实数m的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）7.⼀个算法的程序框图如右，则其输出结果是（）A.0B.C. D.8.下⾯的程序框图中，若输出的值为，则图中应填上的条件为（）A． B． C． D．9.右图是函数在区间上的图象．为了得到这个函数的图象，只需将的图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变10.已知则的值（）A．随着k的增⼤⽽增⼤B．有时随着k的增⼤⽽增⼤,有时随着k的增⼤⽽减⼩C．随着k的增⼤⽽减⼩D．是⼀个与k⽆关的常数11.关于函数的四个结论:P1:值为 ;P2:最⼩正周期为 ;P3:单调递增区间为 Z;P4:图象的对称中⼼为 Z.其中正确的有（）A．1 个 B．2个 C．3个 D．4个12. 是两个向量，，，且，则与的夹⾓为（）（A）（B）（C）（D）13.已知a,b是两个互相垂直的单位向量,且c•a=c•b=1,,则对任意正实数t, 的最⼩值是（）A． B． C． D．14.⼀个⼏何体的三视图如右图所⽰，则它的体积为（）A． B．15．正⽅形的边长为 ,中⼼为 ,球与正⽅形所在平⾯相切于点,过点的球的直径的另⼀端点为 ,线段与球的球⾯的交点为 ,且恰为线段的中点,则球的体积为（）A． B． C． D．16.不等式组表⽰⾯积为1的直⾓三⾓形区域，则的值为（）Ａ. B. C. D.17.设函数， . 若当时，不等式恒成⽴，则实数的取值范围是（）.A. B. C. D.18、⼀个盒⼦⾥有3个分别标有号码为1，2，3的⼩球，每次取出⼀个，记下它的标号后再放回盒⼦中，共取3次，则取得⼩球标号值是3的取法有（）A.12种B. 15种C. 17种D.19种19、⼆项式的展开式中常数项是（）A．28 B．-7 C．7 D．-2820、⾼三毕业时，甲，⼄，丙等五位同学站成⼀排合影留念，已知甲，⼄相邻，则甲丙相邻的概率为（） A. B. C. D.⼀、某苗圃基地为了解基地内甲、⼄两块地种植的同⼀种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗测量它们的⾼度，⽤茎叶图表⽰上述两组数据，对两块地抽取树苗的⾼度的平均数和中位数进⾏⽐较，下⾯结论正确的是（）A． B．C． D．22、公差不为0的等差数列{ }的前21项的和等于前8项的和．若，则k＝（）A．20 B．21 C．22 D．2323、已知数列为等⽐数列，，，则的值为（）A． B． C． D．24. 已知分别是双曲线的左、右焦点,过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点,若是锐⾓三⾓形,则该双曲线离⼼率的取值范围是（）A． B． C． D．25．圆－2x＋my－2＝0关于抛物线＝4y的准线对称，则m的值为（）A.1B. 2C. 3D. 426．已知抛物线的焦点到准线的距离为 , 且上的两点关于直线对称, 并且 , 那么 =（）A． B． C．2 D．327．如果函数图像上任意⼀点的坐标都满⾜⽅程，那么正确的选项是（）(A) 是区间（0，）上的减函数，且(B) 是区间（1，）上的增函数，且(C) 是区间（1，）上的减函数，且(D) 是区间（1，）上的减函数，且28．定义在R上的奇函数，当 ≥0时，则关于的函数（0＜＜1）的所有零点之和为（）（A）1- （B）（C）（D）29．的展开式中, 的系数等于40,则等于（）A． B． C．1 D．30．已知函数 ,,设函数，且函数的零点均在区间内，则的最⼩值为（）A． B． C． D．⼆．填空题（8道）31.已知A ,B(0,1)),坐标原点O在直线AB上的射影为点C,则 = .32.在的展开式中，含项的系数是________.（⽤数字作答）33.若实数、满⾜，且的最⼩值为，则实数的值为__34.已知四⾯体的外接球的球⼼在上,且平⾯ , , 若四⾯体的体积为 ,则该球的体积为_____________35.已知是曲线与围成的区域，若向区域上随机投⼀点，则点落⼊区域的概率为．36.公⽐为4的等⽐数列中,若是数列的前项积,则有也成等⽐数列,且公⽐为；类⽐上述结论，相应的在公差为3的等差数列中，若是的前项和，则有⼀相应的等差数列，该等差数列的公差为_____________.37.在中,⾓所对的边分别为 ,且 ,当取值时,⾓的值为_______________38.已知抛物线的准线为 ,过点且斜率为的直线与相交于点 ,与的⼀个交点为 ,若 ,则等于____________三．解答题（12道）39、中，，，分别是⾓的对边，向量， , ．（1）求⾓的⼤⼩；（2）若，，求的值．40、已知等差数列的⾸项，公差．且分别是等⽐数列的．（Ⅰ）求数列与的通项公式；（Ⅱ）设数列对任意⾃然数均有 … 成⽴，求 … 的值.41、⼀次考试中，五名同学的数学、物理成绩如下表所⽰：学⽣（1）请在直⾓坐标系中作出这些数据的散点图，并求出这些数据的回归⽅程；（2）要从名数学成绩在分以上的同学中选⼈参加⼀项活动，以表⽰选中的同学的物理成绩⾼于分的⼈数，求随机变量的分布列及数学期望的值．42、⼗⼀黄⾦周，记者通过随机询问某景区110名游客对景区的服务是否满意，得到如下的列联表：性别与对景区的服务是否满意　单位：名男⼥总计满意 50 30 80不满意 10 20 30总计 60 50 110(1)从这50名⼥游客中按对景区的服务是否满意采取分层抽样，抽取⼀个容量为5的样本，问样本中满意与不满意的⼥游客各有多少名？(2)从(1)中的5名⼥游客样本中随机选取两名作深度访谈，求选到满意与不满意的⼥游客各⼀名的概率；(3)根据以上列联表，问有多⼤把握认为“游客性别与对景区的服务满意”有关附：P( )0.050 0.025 0.010 0.0053.841 5.024 6.635 7.87943、如图在四棱锥中,底⾯是边长为的正⽅形,侧⾯底⾯，且 ,设、分别为、的中点．(Ⅰ) 求证： //平⾯；(Ⅱ) 求证：⾯平⾯；(Ⅲ) 求⼆⾯⾓的正切值．44、已知椭圆 : 的焦距为 ,离⼼率为 ,其右焦点为 ,过点作直线交椭圆于另⼀点 .(Ⅰ)若 ,求外接圆的⽅程;(Ⅱ)若过点的直线与椭圆相交于两点、，设为上⼀点，且满⾜（为坐标原点），当时，求实数的取值范围.45. 已知定点A(1，0), B为x轴负半轴上的动点，以AB为边作菱形ABCD,使其两对⾓线的交点恰好落在y轴上.(1) 求动点D的轨迹五的⽅程.(2) 若四边形MPNQ的四个顶点都在曲线E上，M，N关于x轴对称，曲线E在M点处的切线为l，且PQ//l①证明直线PN与QN的斜率之和为定值；②当M的横坐标为，纵坐标⼤于O, =60°时，求四边形MPNQ的⾯积46. 对于函数f（x）（x∈D），若x∈D时，恒有＞成⽴，则称函数是D上的J函数．（Ⅰ）当函数f（x）＝m lnx是J函数时，求m的取值范围；（Ⅱ）若函数g（x）为（0，＋∞）上的J函数，①试⽐较g（a）与 g（1）的⼤⼩；②求证：对于任意⼤于1的实数x1，x2，x3，…，xn，均有g（ln（x1＋x2＋…＋xn））＞g（lnx1）＋g（lnx2）＋…＋g（lnxn）．47. 设函数，．(Ⅰ)讨论函数的单调性；(Ⅱ）如果存在，使得成⽴，求满⾜上述条件的整数；（Ⅲ）如果对任意的，都有成⽴，求实数的取值范围．48.选修4-1:⼏何证明选讲.如图，过圆E外⼀点A作⼀条直线与圆E交B,C两点，且AB= AC,作直线AF与圆E相切于点F，连接EF交BC于点D,⼰知圆E的半径为2， =30.(1)求AF的长.(2)求证：AD=3ED.49. 在直⾓坐标系中,以原点为极点, 轴的正半轴为极轴建坐标系.已知曲线 ,已知过点的直线的参数⽅程为：，直线与曲线分别交于两点.（1）写出曲线和直线的普通⽅程；（2）若成等⽐数列,求的值．50. 选修4-5：不等式选讲设（1）当，求的取值范围；（2）若对任意x∈R，恒成⽴，求实数的最⼩值．2013年⾼考数学(理)押题精粹（课标版）【参考答案与解析】⼆．选择题（30道）1.【答案】A2.【答案】D【点评】:集合问题是⾼考必考内容之⼀，题⽬相对简单.集合的表⽰法有列举法、描述法、图⽰法三种，⾼考中与集合的运算相结合，不外乎上述⼏种题型。

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高考数学压轴题练习30
15.已知抛物线:W 2y ax =经过点A (2,1)，过A 作倾斜角互补的两条不同直线12,l l . （Ⅰ）求抛物线W 的方程及准线方程；
（Ⅱ）当直线1l 与抛物线W 相切时，求直线2l 的方程
（Ⅲ）设直线12,l l 分别交抛物线W 于B ，C 两点（均不与A 重合），若以线段BC 为直径的圆与抛物线的准`线BC 的方程.
解：（Ⅰ）由于A (2,1)在抛物线2y ax =上，所以14a =，即14
a =. ………….2分故所求抛物线的方程为
2
14
y x =
，其准线方程为1y =-. ……………….3分（Ⅱ）当直线1l 与抛物线相切时，由2
1x y ='=，可知直线1l 的斜率为1，其倾斜角为45︒，所以直线2l 的倾
斜角为135︒，故直线2l 的斜率为1-，所以2l 的方程为3y x =-+…6分（Ⅲ）不妨设直线AB 的方程为1(2) (0)y k x k -=->， ………………
由2
1(2)14
y k x y x -=-⎧⎪⎨=⎪⎩得24840x kx k -+-=,……….10分易知该方程有一个根为2，所以另一个根为42k -，
所以点B 的坐标为2(42,441)k k k --+, 同理可得C 点坐标为2
(42,441)k k k --
++, (11)
分所以
2
|(44
1)
(4
4
1)
]
B
k k =-++ ==, ……………….9分
线段BC 的中点为2(2,41)k -+，因为以BC 为直径的圆与准线1y =-相切，所以241(1)k +--=,由于0k >，解得2
k =
. …………….10分此时，点B 的坐标为2,3-，点C 的坐标为(2,3--+，直线BC 的斜率为1=-，
所以，BC 的方程为(3[2)]y x --=--，即10x y +-=. …….12分。