东莞09届高三理数学一模2009[1].3.10
广东东莞2009届高三理科数学模拟试题二2009410
广东省东莞市2009届高三理科数学模拟试题(二)命题人：东莞高级中学 黄云秀 2009.4.10一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知U = { 2，3，4，5，6，7 }，M = { 3，4，5，7 }，N = { 2，4，5，6 }，则 A ．M ∩N = { 4，6 }B ．M ∪N = UC ．(C u N )∪M = UD ．(C u M )∩N = N2．已知复数122,34,z m i z i =+=-若12z z 为实数，则实数m 的值为 A ．83 B ．32 C ．83- D ． 32-3．已知等差数列}{n a 的前13项之和为39，则876a a a ++等于A ．6B ．9C ． 12D ．184．设函数()cos f x x =，把()f x 的图象向右平移m 个单位后，图象恰好为函数'()y f x =- 的图象，则m 的值可以为A ．4πB ．2πC ．34πD ．π5．已知m n 、是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平面，有下列命题： ①若,//m n αα⊂，则//m n ； ②若//m α，//m β，则//αβ； ③若,m m n α⊥⊥，则αn ； ④若,m m αβ⊥⊥，则//αβ；其中真命题的个数是A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 6．设命题23:|23|1,:12x p x q x --<≤-，则p 是q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7．5个人站成一排，若甲乙两人之间恰有1人，则不同站法有 A ．18种 B ．24种 C ．36种 D ．48种8．如图，已知(4,0)A ，(0,4)B ，从点(2,0)P 射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是A ．210B ．6C ．33D ．25二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9~12题）9. 由曲线1,1,===y x e y x所围成的图形面积是 . 10. 与圆22(2)x y +-=1 相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有_____________条．11．用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如下图所示，则它的体积的最小值为 ，最大 值为 .俯视图主视图12.2008年1号台风"浣熊"(NEOGURI)于4月19日下午减弱为热带低压后登陆阳江.如图，位于港口O 正东向20海里B 处的渔船回港避风时出现故障.位于港口南偏西30o ，距港口10海里C 处的拖轮接到海事部门营救信息后以30海里/小时的速度沿直线CB 去营救渔船，则拖轮到达B 处需要__________小时.（二）选做题（13-15题，考生只能从中选做二题）13. （坐标系与参数方程选做题）.在直角坐标系xoy 中，已知点C )3,3(--，若以o 为极点，x 轴的正半轴为极轴，则点C 的极坐标)0,0)(,(<<->θπρθρ可写为______.14.（不等式选讲选做题）已知关于x 的不等式|||1|2009x a x a ++-+>（a 是常数）的解是非空集合，则a 的取值范围是 ．15.（几何证明选讲选做题）如图，已知PA 、PB 是 圆O 的切线，A 、B 分别为切点，C 为圆O 上不与A 、B 重合的另一点，若∠ACB = 120°， 则∠APB = ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）在锐角ABC ∆中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b、c ，向量 2(2sin(cos 2,2cos 12B m A C n B ⎛⎫=+=-⎪ ⎭⎝，且向量m ,n 共线． （1）求角B 的大小；（2）如果1b =，求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值．17．（本小题满分12分）东莞市政府要用三辆汽车从新市政府把工作人员接到老市政府，已知从新市政府到老市政府有两条公路，汽车走公路①堵车的概率为14，不堵车的概率为34；汽车走公路②堵车的概率为p ，不堵车的概率为1p -．若甲、乙两辆汽车走公路①，丙汽车由于其他原因走公路②，且三辆车是否堵车相互之间没有影响．（1）若三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为716，求走公路②堵车的概率； （2）在（1）的条件下，求三辆汽车中被堵车辆的个数ξ的分布列和数学期望．BCO18．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P-ABC 中， PA=3，AC=AB=4，PB=PC=BC=5，D 、E 分别是BC 、AC 的中点，F 为PC 上的一点，且PF:FC=3:1． （1）求证：PA ⊥BC ；（2）试在PC 上确定一点G ，使平面ABG ∥平面DEF ； （3）在满足（2）的情况下，求二面角G-AB-C 的平面 角的正切值．19．（本小题满分14分）已知xxx g e x x ax x f ln )(],,0(,ln )(=∈-=，其中e 是自然常数，.a R ∈ （1）讨论1=a 时, ()f x 的单调性、极值； （2）求证：在（1）的条件下，1()()2f xg x >+； （3）是否存在实数a ，使()f x 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由. 20．（本小题满分14分）APBCDEF已知A 、B 、C 是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x m 上的三点，其中点A 的坐标为)0,32(，BC过椭圆m 的中心，且||2||,0AC BC BC AC ==•． （1）求椭圆m 的方程；（2）过点),0(t M 的直线l （斜率存在时）与椭圆m 交于两点P ，Q ，设D 为椭圆m 与y 轴负半轴的交点，且||||DQ DP =.求实数t 的取值范围．21．（本题满分14分）已知数列{}n a 中，,11=a 且点()()*+∈N n a a P n n 1,在直线01=+-y x 上. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若函数(),2,1111)(321≥∈++++++++=n N n a n a n a n a n n f n且Λ求函数)(n f 的最小值； （3）设n nn S a b ,1=表示数列{}n b 的前项和．试问：是否存在关于n 的整式()n g ，使得 ()()n g S S S S S n n ⋅-=++++-11321Λ对于一切不小于2的自然数n 恒成立？ 若存在，写出()n g 的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由．东莞市2009届高三理科数学模拟试题(二)参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.B2. D3.B4.B5.A6.A7.C8. A . 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9.1-e 10. 4 11. 10（2分），16（3分） 12.37 13. )65,32(π- 14.)1004,(-∞ 15. 60o 三、解答题（本大题共6小题，共80分） 16.（本题满分10分）解：（1）由向量,m n →→共线有： 22sin()2cos 12,2B A C B ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭即tan 2B = 4分 又02B π<<，所以02B π<<，则2B =3π，即6B π= 6分（2）由余弦定理得2222cos ,b a c ac B =+-则221(2a c ac =+≥，所以2ac ≤+当且仅当a c =时等号成立 10分所以11sin (224ABC S ac B ∆=≤． 12分17．（本小题满分12分）解：（1）由已知条件得2121337(1)44416C p p ⎛⎫⋅⋅⋅-+⋅= ⎪⎝⎭2分即31p =，则13p = 6分答：p 的值为13．（2）解：ξ可能的取值为0，1，2，3 5分3323(0)4438P ξ==⋅⋅= 6分7(1)16P ξ==121121311(2)4434436P C ξ==⋅⋅+⋅⋅⋅= 7分 1111(3)44348P ξ==⋅⋅= 8分ξ的分布列为：10分所以E ξ3711501238166486=⋅+⋅+⋅+⋅= 12分 答：数学期望为56． 18．（本小题满分14分）解：(1) 在△PAC 中，∵PA=3，AC=4，PC=5，∴222PC AC PA =+，∴AC PA ⊥；……1分 又AB=4，PB=5，∴在△PAB 中，同理可得 AB PA ⊥ …………………………2分 ∵A AB AC =I ，∴ABC PA 平面⊥……3分 ∵⊂BC 平面ABC ，∴PA ⊥BC. …………4分(2) 如图所示取PC 的中点G ，…………………5分 连结AG ，BG ，∵PF:FC=3:1,∴F 为GC 的中点 又D 、E 分别为BC 、AC 的中点，∴AG ∥EF ，BG ∥FD ，又AG∩GB=G ，EF∩FD=F ，……………7分 ∴面ABG ∥面DEF ．即PC 上的中点G 为所求的点． …………… 9分(3)由(2)知G 这PC 的中点，连结GE ，∴GE ⊥平面ABC ，过E 作EH ⊥AB 于H ，连结GH ，则GH ⊥AB ，∴∠EHG 为二面角G-AB-C 的平面角． …………… 11分 ∵839521==∆∆ABC ABE S S 又EH AB S ABE ⋅=∆21∴16395443952===∆ABS EH ABE又2321==PA GE …………… 13分 ∴653983951623tan =⨯==∠EH EG EHG ξ0 1 2 3P 3871616148∴二面角G-AB-C 的平面角的正切值为65398． …………… 14分 19．（本小题满分14分）（1）Θx x x f ln )(-=，xx x x f 111)(-=-=' ……1分 ∴当10<<x 时，/()0f x <，此时()f x 单调递减当e x <<1时，/()0f x >，此时()f x 单调递增 ……3分 ∴()f x 的极小值为1)1(=f ……4分（2）Θ()f x 的极小值为1，即()f x 在],0(e 上的最小值为1， ∴ 0)(>x f ，min ()1f x =……5分 令21ln 21)()(+=+=x x x g x h ，xxx h ln 1)(-='， ……6分 当e x <<0时，0)(>'x h ，()h x 在],0(e 上单调递增 ……7分 ∴min max |)(|12121211)()(x f e e h x h ==+<+== ∴在（1）的条件下，1()()2f xg x >+……9分 （3）假设存在实数a ，使x ax x f ln )(-=（],0(e x ∈）有最小值3，/1()f x a x =-x ax 1-=…9分① 当0≤a 时，)(x f 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，ea 4=（舍去），所以，此时)(x f 无最小值. ……10分 ②当e a <<10时，)(x f 在)1,0(a 上单调递减，在],1(e a上单调递增 3ln 1)1()(min =+==a af x f ，2e a =，满足条件. ……11分③ 当e a ≥1时，)(xf 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，ea 4=（舍去），所以，此时)(x f 无最小值.综上，存在实数2e a =，使得当],0(e x ∈时()f x 有最小值3.……14分20．解（1）∵BC AC BC 且||2||=过（0，0）则0||||=⋅=BC AC AC OC Θ又∴∠OCA=90°， 即)3,3(C …………2分又∵11212:,32222=-+=cy x m a 设 将C 点坐标代入得 11231232=-+C 解得 c 2=8，b 2=4∴椭圆m ：141222=+y x …………5分 （2）由条件D （0，－2） ∵M （0，t ）1°当k=0时，显然－2<t<2 …………6分 2°当k≠0时，设t kx y l +=:⎪⎩⎪⎨⎧+==+t kx y y x 141222 消y 得 01236)31(222=-+++t ktx x k …………8分由△>0 可得 22124k t +< ①………………9分 设),(),,(),,(002211y x H PQ y x Q y x P 中点 则22103132k kt x x x +=+= 2031k tt kx y +=+= ∴)31,313(22ktk kt H ++-…………11分 由kk PQOH DQ DP DH 1||||-=⊥∴=即∴2223110313231k t k k kt k t+=-=-+-++化简得 ②∴t>1 将①代入②得 1<t<4∴t 的范围是（1，4）………………13分 综上t ∈（－2，4） ………………14分 21．（本小题满分14分）解：（1）由点P ),(1+n n a a 在直线01=+-y x 上，即11=-+n n a a ，-----------------------------------------------2分 且11=a ，数列{n a }是以1为首项，1为公差的等差数列)2(1)1(1≥=⋅++=n n n a n ，11=a 同样满足，所以n a n =---------------4分（2）nn n n f 212111)(+++++=Λ 221121413121)1(+++++++++=+n n n n n n f Λ---------------------6分 01122122111221121)()1(=+-++>+-+++=-+n n n n n n n f n f所以)(n f 是单调递增，故)(n f 的最小值是127)2(=f ----------------------8分（3）n b n 1=，可得n S n 131211++++=Λ，)2(11≥=--n nS S n n -------10分1)1(11+=----n n n S S n nS ，1)2()1(221+=------n n n S S n S n……1112+=-S S S113211-+++++=--n S S S S S nS n n Λ)1(1321-=-=++++-n n n S n n nS S S S S Λ，n ≥2------------------12分n n g =)(．故存在关于n 的整式g （x ）=n,使得对于一切不小于2的自然数n 恒成立．----14分。
2009年全国高考理科数学试题及答案-全国1
2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分．第卷1至2页，第卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷考生注意： 1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目． 2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．．．．．．．．．． 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式： 如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R = 如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B ∙=∙球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径一、选择题(1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A B ，则集合[()u AB I中的元素共有（A ）（A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个解：{3,4,5,7,8,9}AB =，{4,7,9}(){3,5,8}U A BC A B =∴=故选A 。
也可用摩根律：()()()U U U C A B C A C B =（2）已知1iZ＋=2+i,则复数z=（B ） （A ）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i 解：(1)(2)13,13z i i i z i =+⋅+=+∴=- 故选B 。
(3) 不等式11X X +-＜1的解集为（ D ）（A ）｛x }{}011x x x 〈〈〉 (B){}01x x 〈〈（C ）{}10x x -〈〈 (D){}0x x 〈 解：验x=-1即可。
09届高三年第一次月考数学理科答案
word1 / 1 某某一中2009届高三年第一次月考数学理科试卷参考答案一、选择题：CDBAD CACBB AC二、填空题：13、()f b <()f a <()f c 14、(]3,2 15、210<<a 16、①③④ 三、解答题：17、解：若P 真则有012≠++ax ax 恒成立。
①0=a 时，0112≠=++ax ax②0≠a 时，△=042<-a a 40<<∴a故P 真⇔40<≤a若q 真⇔3≤a又∵p 或q 为真 p 且q 为假∴0<a 或43<<a18、32,1<=a m 19、f(0)=120、化归为022=++at t 至少有一个大于1的根，分类讨论得：22-≤a 21、解：（1）f(5)=53.5 , f(20)=47⇒>⇒)20()5(f f .开讲后5分钟学生的接受能力比开讲后20分钟强。
（2）当0<x 最大值是是增函数＝时，⇒⇒+--≤)(9.59)13(1.0)(102x f x x ff(10)=59;当16<x<30时，f(x)是递减的函数，59)16()(=<⇒f x f ,故开讲后10钟学生达到最强的接受能力，并维持6分钟。
（3）当0<x<10时，令f(x)>55,则6<x<10;当16<x<30时，令f(x)>55,则16<x<17.3因此，学生达到或超过55的接受能力的时间11。
3 分钟，小于13分钟，故这位老师不能在学生所需状态下讲完这道题。
22、a=2,b=1。
2009年普通高等学校招生全国统一考试(模拟一)(数学理)
绝密★启用前2009年普通高等学校招生全国统一考试（模拟一）（数学理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上并用2B 铅笔将答题卡试卷类型填涂上，在答题卡右上角的“试室号”和“座位号”栏填写试室号、座位号，并用2B 铅笔将相应的试室号、座位号信息点涂黑．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么 )()()(B P A P B A P +=+如果事件A 、B 相互独立，那么)()()(B P A P B A P ∙∙=第Ⅰ卷 选择题（共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．（1）已知平面向量)2,1(,)1,2( -=-=b x a ，若b a ⊥，则=x （A ）1 （B ）2 （C ）1- （D ）2- （2）某长跑运动员7天里每天的训练量（单位：米）是：则这位长跑运动员7天共跑了（A ）63000米 （B ）62000米 （C ）61000米 （D ）60000米 （3）下列函数中，y 的值随x 的增大而增大的是锥体的体积公式 Sh V 31=，其中S 表示底面积，h 表示高 三角函数值262328cos ≈︒（A ）x y -= （B ）x y cos = （C ）x y sin = （D ）2-=x y （4）当)1,0( ∈a 时，函数x y a log =的值域是（A ）),0( ∞+ （B ）),1()1,( ∞+∞-（C ）),0()0,( ∞+∞- （D ）R （5）设α、β是方程0922=-+x x 的两个实数根，则=++))(11(22αββαβα（A ）3 （B ）92 （C ）4 （D ）94（6）如图所示，三个相同的正方形相连接，则=++2γβα（A ）30° （B ）45°（C ）60° （D ）75°（7）某种放射性元素的原子数N 随时间x 的变化规律是x e λ0N N -=，其中常数N 0，λ是正数，则对于函数)(N x f =，下列说法正确的是（A ）反函数是N N x f 01lgλ1)(=- （B ）反函数是NNx f 01ln λ1)(=- （C ）函数)(x f 是增函数 （D ）函数)(x f 是减函数（8）如图所示，已知OP ⊥平面ABC ，OB ⊥AC ，则 在图中与线段AC 垂直的线段共有（A ）4条 （B ）3条 （C ）2条 （D ）1条（9）生物遗传学规定：只要有基因D ，则其就是高茎， 只有两个基因全是d 才显现矮茎．碗豆的高矮性状遗传由一对基因决定，其中决定高茎基因为D ，决定矮茎基因为 d ，将其杂交所得第一子代的一对基因为Dd ，若第二子代的D 、d 基因遗传是等可能 的，则第二子代为高茎的概率是（A ）41 （B ）21 （C ）43（D ）不能确定（10）如图所示，把截面半径为25的圆形木头锯成矩形木料，若矩形的一边长为x ，面积为y ，记)(x f y =，则方程0)(=x f 在区 间)50,0( 内的实数根共有（A ）3个 （B ）2个 （C ）1个 （D ）0个第Ⅱ卷 非选择题（共100分）注意事项：1．第Ⅱ卷总共为4页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中，不要在答题卡上填涂． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线． （11）命题“0)(lim =-∞→n n n b a ”是命题“n n n n b a ∞→∞→=lim lim ”的________________条件．（12）一物体作直线运动，在时间t s 时，物体的位置2214t t S -=（单位：米），设物体在s 3=t时的瞬时速度的大小为x ，若)1814(lim 21---=→x x y x ，则x 与y 的关系式是______________；记)(x f y =，若曲线)()(x xf x g =在点),( b a 处的切线为12=-y x ，则=+b a __________．（13）如图所示，在直二面角βα--AB 中，一束光线 经过平面β射到平面α的O 点上，再经过O 、D 点与平 面α所成)102arctan( =θθ度角射出．又CD ∥AE ，且 32OA OC ,53AE CD == ，则直线OE 与平面α所成角的正切 值为______________．（14）已知方程112:22=+-+m y m x C 表示任意曲线．（ⅰ）当方程C 表示焦点在y 轴上的双曲线时，实数m 的取值范围是______________； （ⅱ）当方程C 表示椭圆时，实数m 的取值范围是______________．（15）如图所示，在空间中，一种有规律的直线不断在变化，第一组只有一条直线，第二组变成两条直线，第三组变成五条直线，依此类推，把第n 组所变成的直线数用)(n f 表示，则=)4(f __________；=)(n f ______________．（结果用n 表示）三、解答题：本大题共6小题；共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （16）（本小题满分13分）如图所示，足球门左右门柱分别立在A 、B 处，假定足球门宽度AB=7m ．在距离右门柱 15m 的C 处，一球员带球沿与球门线AC 成28º角的CD 方向以平均每秒6.5m 的速度推进，2 秒的到达点D 处射门．（Ⅰ）求点D 到左右门柱的距离AD 和BD 的长； （Ⅱ）求此时射门张角θ的值．（17）（本小题满分13分）在一次数学解题能力测试中，已知甲、乙两位同学答对每道题的概率分别是21和54，如果他们各自独立解答两道题．（Ⅰ）求甲两题都解对且乙至少解对一题的概率；（Ⅱ）若解对一题得10分，没有解对得0分，求甲、乙得分相等的概率；（Ⅲ）假设甲、乙需解三道题，规定：解对一题得10分，错一题则得5-分，求甲、乙得分 的数学期望．（18）（本小题满分14分）如图所示，A 、B 、C 都是在球O 表面上的点，且球心与A 、B 、C 三点组成一个正四面体．已知∠BOC =∠AOB =∠AOC =90º，AB = 2，D 、D 分 别是线段AB 、OA 上的中点． （Ⅰ）求二面角G —CD —A 的大小； （Ⅱ）求点A 到平面GCD 的距离．（19）（本小题满分14分）已知10,10<<<<b a ，数列}{n x 和}{n y 满足以下条件：)22,1(),)(1,2(),(1111 b by a ax y x y x n n n n -+-+==++．（Ⅰ）试求数列}{n x 和}{n y 的通项公式；（Ⅱ）若}{n x 和}{n y 都是有限数列，且当b a =时，求点),(n n y x 存在的范围．（20）（本小题满分14分）（Ⅰ）如图所示，P 是抛物线221x y =上一点，直线l 过 点P 且与抛物线交于另一点Q ，且直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹方程；（Ⅱ）设定义在R 上的函数)(x f 满足x xf x f =-)1(2)( ，试探究方程0)(=x f 能否成立，若成立，请求方程0)(=x f的实根，若不成立，请说明理由．（21）（本小题满分12分）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知矩形OABC 的周长为24，把它以OB 为折痕 折叠起来，使得OA'与BC 相交于P 点，设OA ＞OC 且x =OA ． （Ⅰ）求线段PC 的长；（Ⅱ）△OPC 的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．2009年普通高等学校招生全国统一考试（模拟一）数学标准答案二．填空题，4小题，每小题5分，共20分。
广东省2009届高三数学一模试题分类汇编排列组合二项式定理
实用文档 广东省2009届高三数学一模试题分类汇编排列组合二项式定理 一、选择题 1（2009广东三校一模）设][x 表示不超过x 的最大整数(如2]2[=,1]45[=),对于给定的*N n ∈,定义)1][()1()1][()1(+--+--=x x x x x n n n C x n ,),1[+∞∈x ,则当)3,23[∈x 时,函数x C 8的值域是]28,316.[A )56,316.[B )56,28[)328,4.(⋃C ]28,328(]316,4.(⋃D D2、（2009茂名一模）“2a =”是“6()x a -的展开式的第三项是604x ”的 条件A.充分不必要 B 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要A3、（2009汕头一模）在113(32)x x 的展开式中任取一项，设所取项为有理项的概率为p ，则10p x dx ⎰＝（ ） A 、1 B 、67 C 、76 D 、1113B实用文档二、填空题1、（2009广州一模）在(1－x)n =a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+…+a n x n 中，若2a 2+a n-5=0， 则自然数n 的值是A.7B.8C.9D.10 B2、（2009广东三校一模）621⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中常数项是_______________;(用数字作答)153、（2009东莞一模）在72⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中，3x 的系数是 .（用数字作答）844、（2009江门一模）设n n n n n x a x a x a a x x x ++++=++++++--11102)1()1()1( ，20091=-n a ，则=++++-n n a a a a 110 (表示为λβα-的形式)．222009-5、（2009韶关一模）已知9)222(-x 展开式的第7项为421，则实数x 的值是实用文档 ______. －21 6、（2009深圳一模）已知n 为正偶数，且n xx )21(2-的展开式中第4项的二项式系数最大，则第4项的系数是 ．（用数字作答） 25-。
数学(理科)答案(一)
2009年高考数学联考模拟试卷（理）参考答案一、选择题：（每小题5分，共12小题，满分60分）二、填空题：（每小题5分，共4小题，满分20分） 13、2(2)2nn f +>14、11324n -⎛⎫⎪⎝⎭15、11516、 ① ③ 三、解答题答案及评分标准：17解：（I ） ()sin ,cos sin x x x =+p ，()2cos ,cos sin x x x =-q ，∴=)(x f ⋅p q =()sin ,cos sin x x x + ·()2cos ,cos sin x x x -x x x x 22sin cos cos sin 2-+= x x 2cos 2sin +=…………………………4分∴)3(πf = 213-. 又()f x =sin 2cos2x x +=)42sin(2π+x∴函数)(x f 的最大值为2当且仅当8πx k π=+（∈k Z ）时，函数)(x f 取得最大值为2..………6分（II ）由222 242πππk πx k π-++≤≤（∈k Z ），得388ππk πx k π-+≤≤ （∈k Z ）∴函数)(x f 的单调递增区间为[8,83πk ππk π+-]（ ∈k Z ）.………………12分18、（12分）解：（1）设“这箱产品被用户接收”为事件A ，……1分3103107()15n C P A C -==. …………………………4分∴n=2． ……………………………………6分（2）ξ的可能取值为1，2，3． ……………7分()1=ξP =51102=， ()2=ξP =45892108=⨯， ()3=ξP =452897108=⨯， ∴ξ的概率分布列为：∴ξE =45109345282458151=⨯+⨯+⨯． ……………………12分 19.解：解法一：（Ⅰ）取AC 中点D ，连结SD 、DB. ∵SA=SC ，AB=BC ，∴AC ⊥SD 且AC ⊥BD ，……………………2分 ∴AC ⊥平面SDB ，又SB ⊂平面SDB ，∴AC ⊥SB.……………………………………4分 （Ⅱ）∵AC ⊥平面SDB ，AC ⊂平面ABC ， ∴平面SDB ⊥平面ABC.过N 作NE ⊥BD 于E ，NE ⊥平面ABC ，过E 作EF ⊥CM 于F ，连结NF ， 则NF ⊥CM.∴∠NFE 为二面角N-CM-B 的平面角.……………6分 ∵平面SAC ⊥平面ABC ，SD ⊥AC ，∴SD ⊥平面ABC. 又∵NE ⊥平面ABC ，∴NE ∥SD. ∵SN=NB ，∴NE=21SD=2122AD SA -=21412-=2，且ED=EB.在正△ABC 中，由平几知识可求得EF=41MB=21， 在Rt △NEF 中，tan ∠NFE=EF EN =22，cos ∴∠NFE=31 ∴二面角N-CM-B 的余弦值为31.………………………………8分（Ⅲ）在Rt △NEF 中，NF=22EN EF +=23， ∴S △CMN =21CM ·NF=233，S △CMB =21BM ·CM=23.……………………10分 设点B 到平面CMN 的距离为h ，∵V B-CMN =V N-CMB ，NE ⊥平面CMB ，∴31S △CMN ·h=31S △CMB ·NE ，∴h=CMNCMB S NE S ⋅=324.即点B 到平面CMN 的距离为324.………12分 解法二：（Ⅰ）取AC 中点O ，连结OS 、OB.∵SA=SC ，AB=BC ， ∴AC ⊥SO 且AC ⊥BO.∵平面SAC ⊥平面ABC ，平面SAC ∩平面ABC=AC ∴SO ⊥面ABC ，∴SO ⊥BO.如图所示建立空间直角坐标系O-xyz.………………………………2分 则A （2，0，0），B （0，23，0）， C （-2，0，0），S （0，0，22）， M(1，3，0)，N(0，3，2).∴=（-4，0，0），=（0，23，22），∵·=（-4，0，0）·（0，23，22）=0，………………3分 ∴AC ⊥SB.…………………………………………………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得CM =（3，3，0)，MN =（-1，0，2）.设n=（x ，y ，z ）为平面CMN 的一个法向量，CM ·n=3x+3y=0，则 取z=1，则x=2，y=-6，………………6分·n=-x+2z=0，∴n=(2，-6，1)，又OS =(0，0，22)为平面ABC 的一个法向量，∴cos(n ，||||OS n ⋅=31.………………………………………………7分 ∴二面角N-CM-B 的余弦值为31.………………………………………………8分 （Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）得MB =（-1，3，0），n=（2，-6，1）为平面CMN 的一个法向量，∴点B 到平面CMN 的距离d=|||·|n MB n =324 (12)20、（12分）解：（1）①当直线l 垂直于x 轴时，则此时直线方程为1=x ，l 与圆的两个交点坐标为()3,1和()3,1-，其距离为32满足题意 ………1分②若直线l 不垂直于x 轴，设其方程为()12-=-x k y ，即02=+--k y kx设圆心到此直线的距离为d ，则24232d -=，得1=d …………3分∴1|2|12++-=k k ，34k =，故所求直线方程为3450x y -+= ……………………5分 综上所述，所求直线为3450x y -+=或1=x ………6分 （2）设点M 的坐标为()00,y x （00y ≠），Q 点坐标为()y x ,则N 点坐标是()0,0y ………………7分∵OQ OM ON =+，∴()()00,,2x y x y = 即x x =0，20yy =…………8分 又∵42020=+y x ，∴224(0)4y x y +=≠ (10)∴Q 点的轨迹方程是221(0)416x y y +=≠， 轨迹是一个焦点在x 轴上的椭圆，除去短轴端点。
2009年广东高考数学(理科)模拟试题
２００９年广东高考数学（理科）模拟试题本试卷分选择题和非选择题，全卷满分150分，考试时间120分钟.第一部分选择题（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．关于全称命题与特称命题下列说法中不正确的一个为（）A．全称命题，对于取值集合中的每一个元素，命题都成立或都不成立B．特称命题，对于取值集合中至少有一个元素使命题成立或不成立C．“全称命题”的否定一定是“特称命题”D．“特称命题”的否定一定不是“全称命题”2．若纯虚数z满足（2-i）z=4-bi，（i是虚数单位，b是实数），则b=（）A．-2 B． 2 C．-8 D．83．设a1，a2，a3，a4成等比数列，其公比为2，则=（）A．B．C．D．4．任给x的值，计算函数y=1，（x＜1）2，（x=1）3，（x＞1）中y值的程序框图，如右图，其中①②③分别是（）A．x＜1、x＞1、y=3B．x=1、x＞1、y=3C．x＜1、x=1、y=3D．x＜1、x＞1、y=35．已知=1，=2，，的夹角为60°，设=3+，=-，若⊥，则的值为（）A．B．－C．－D．6．若不等式组x-y≥0，2x+y≤2，y≥0，x+y≤a表示的平面区域不能构成三角形，则a的范围是（）Ａ．1＜a＜Ｂ．1＜a≤Ｃ．1≤a≤Ｄ．1≤a＜7．已知c是双曲线-=1（a，b＞0）的半焦距，则的取值范围是（）A．（-1，）B．（-２，-１）C．（-，-1）D．（-1，0）8．定义在R上的函数f（x）满足xf ′（x）≤0，且y=f（x）为偶函数，当x1＜x2时，有（）A．f（x1）＞f（x2）B．f（x1）= f（x2）C．f（x1）＜f（x2）D．f（x2）＞f（x1）第二部分非选择题（共110分）二、填空题：本大题共7小题，其中9～12题是必做题，13～15题是选做题．每小题5分，共30分．9．设A是平面上形如（k，k3）（k=-1，0，1，2，3）的点构成的集合，三点P，M，N是集合A中的元素，则以P，M，N为顶点，共可构成三角形的个数为.（用数字作答）10．一个总体中有100个个体，随机编号为0，1，2，…，99，依编号顺序平均分10个小组，组号分别为1，2，…，10，现采用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第一组中随机取得的号码为m，那么在第k组中抽取的号码的个位数与m+k的个位数相同，若m=8，则在第6组中抽取的号码为.11．三角形的一个性质为：设△SAB的两边SA、SB互相垂直，点S在AC边上的射影为H，则SB2=BH?AB. 结论推广到三棱锥，设三棱锥S-ABC的三个侧面SAB、SBC、SAC两两相互垂直，点S在平面ABC上的射影为H，则有.12．设an是（＋3）n的展开式中x的一次项的系数，则（++…+）的值为．13. （坐标系与参数方程选做题）过点P（－3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线x=t+，y=t-（t为参数）相交于A、B两点，则线段AB的长为．14.（不等式选讲选做题）（a-b）2的最大值为.15.（几何证明选讲选做题）设PA切⊙O于点A，割线PBC经过圆心O，OB=PB=1，OA绕点O逆时针旋转60°到OD，则PD的长为.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分13分）在△ABC中，A，B，C为三个内角，a，b，c为三条边，＜C＜且=.（1）判断△ABC的形状；（2）若+=2，求?的取值范围．17．（本小题满分13分）已知数列a1，a2，…，a30，其中a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列；a10，a11，…，a20是公差为d的等差数列；a20，a21，…，a30是公差为d２的等差数列（d≠0）.（1）若a20=40，求d；（2）试写出a30关于d的关系式，并求a30的取值范围；（3）续写已知数列，使得a30，a31，…，a40是公差为d3的等差数列，…，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？18．（本小题满分14分）两个人射击，甲射击一次中靶概率是p1，乙射击一次中靶概率是p2，已知，是方程x2－5x+a=0的根，若两人各射击5次，甲的方差是．（1）求p1，p2的值；（2）两人各射击2次，中靶至少3次就算完成目的，则完成目的的概率是多少？（3）甲、乙两人轮流射击，各射击3次，中靶一次就终止射击，求终止射击时两人射击的次数之和ξ的期望？19．（本小题满分14分）在下图所示的多面体中，已知正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，EC⊥AC，EF∥AC，AB＝，EF＝EC＝1，（1）求证：平面BEF⊥平面DEF；（2）求二面角A－BF－E的余弦值.20．（本小题满分14分）已知f（x）＝1nx，g（x）=x2+mx+（m＜0），直线l与函数f（x）、g（x）的图像都相切，且与函数f（x）的图像的切点的横坐标为1．（1）求直线l的方程及m的值；（2）若h（x）=f（x+1）-g′（x）（其中g′（x）是g （x）的导函数），求函数h（x）的最大值；（3）当0＜b＜a时，求证：f（a+b）-f（2a）＜．21．（本小题满分12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，在椭圆C的右准线上的点P（2，），满足线段PF1的中垂线过点F2．直线l：y=kx+m为动直线，且直线l与椭圆C交于不同的两点A、B．（1）求椭圆C的方程；（2）若在椭圆C上存在点Q，满足+=（O为坐标原点），求实数的取值范围；（3）在（2）的条件下，当取何值时，△ABO的面积最大，并求出这个最大值．参考答案及解析一、选择题1．D．“特称命题”的否定一定是“全称命题”，故D不正确．2．C．设z=ai（a∈R），由（2-i）z=4-bi，得（2-i）?ai=4-bi2a=-b，a=4b=-8．3．A．==．4．D．首先注意到“是”时，“y=1”则①应该是“x＜1”；再看②，由于“否”时，y=2，会想到②应该是“x＞1”；当“x＞1”时，“y=3”．5．D．由（3+）（-）=3（）2+（-3）?-（）2=3+（-3）-4=0，得=．。
广东省东莞市2009届高三理科数学模拟试题一2009.3.10
广东省东莞市2009届高三理科数学模拟试题(一)命题人：东莞中学 庞进发 2009.3.10一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个备选项中，有且只有一项是符合要求的．1．下列四个函数中，在（0，1）上为增函数的是 A ．x y sin =B ．x y 2log -=C ．xy )21(=D ．12y x-=2．如果复数i a a a a z )23(222+-+-+=为纯虚数，那么实数a 的值为 A ．－2 B ．1 C ．2 D ．1或 －23．已知),(,,2121R b a AC b a AB ，b a ∈+=+=λλλλ若是不共线的向量，则A 、B 、C 三点共线的充要条件为 A ．121-==λλ B ．121==λλ C ．0121=-λλ D ．1121=+⋅λλ 4．下图是2008年在郑州举行的全国少数民族运动会上，七 位评委为某民族舞蹈打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为A ．84，4.84B ．84，1.6C ．85，4D ．85，1.65．已知函数xx f 2)(=的反函数)(1x f-满足4)()(11=+--b fa f，则ba 11+的最小值为 A ．1 B ．31 C ．21 D ．416．如右图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么几何体的侧面积为A ． 12πD.4π 7．两个正数a 、b 的等差中项是92，一个等比中项是,b a >则双曲线12222=-b y a x 的离心率为 A ．53B．4C ．54D．58．已知0{(,)|y x y y ≥⎧⎪Ω=⎨≤⎪⎩，直线2y mx m =+和曲线y =们围成的平面区域为M ，向区域Ω上随机投一点A ，点A 落在区域M 内的概率为()P M ，若2()[,1]2P M ππ-∈，则实数m 的取值范围为A ．1[,1]2B．[0,3 C．,1]3 D ． [0,1] 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共30分．9．在72⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中，3x 的系数是 .（用数字作答）10．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1,一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积为0的概率 . 11．如图，该程序运行后输出的结果为 . 12．已知点),(y x P 满足条件y x z k k y x x y x 3),(02,,0+=⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤≥若为常数的最大值为8， 则k = . 13．（几何证明选讲选做题）如图，AD 是⊙O 的切线，AC 是⊙O 的弦，过C 做AD 的垂线，垂足为B ，CB 与⊙O 相 交于点E ，AE 平分CAB ∠，且2AE =，则AB = ， AC = ， BC = . 14．(参数方程与极坐标选做题)在极坐标系中，点()1,0到直线()cos sin 2ρθθ+=的距离为 ． 15. （不等式选讲选做题）函数()3f x x x =-- 的最大值为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16. （12分）设函数2()2cos sin 2()f x x x a a R =++∈．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间； （2）当[0,]6x π∈时，()f x 的最大值为2，求a 的值，并求出()()y f x x R =∈的对称轴方程．17. （12分）某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利10﹪，可能损失10﹪，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为21，41，41；如果投资乙项目，一年后可能获利20﹪，也可能损失20﹪，这两种情况发生的概率分别为）（和1 =+βαβα. （1）如果把10万元投资甲项目，用ξ表示投资收益（收益=回收资金-投资资金），求ξ的概率分布及ξE ；（2）若把10万元投资投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求α的取值范围.18.（14分） 已知圆C 方程为：224x y +=.（1）直线l 过点()1,2P ，且与圆C 交于A 、B两点，若||AB =l 的方程； （2）过圆C 上一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量OQ OM ON =+，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.OAB CDE19．（14分）如图，在长方体1,1,11111>==-AB AA AD D C B A ABCD 中，点E 在棱AB 上移动，小蚂蚁从点A 沿长方体的表面爬到点C 1，所爬的最短路程为22. （1）求证：D 1E ⊥A 1D ； （2）求AB 的长度；（3）在线段AB 上是否存在点E ，使得二面角41π的大小为D EC D --。
广东省东莞市度高三第一学期期末调研考试数学理试题
2008—2009学年度第一学期高三调研测试数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．）13、14、15题是选做题）9．5 10．97 11．6 12．21-n 13．)4,22(π 14． 99 15．5 三、解答题16．(本小题满分13分) 解：（1）因为0=⋅n m ，所以0cos 21=+A ……………2分 所以1cos .2A=- (4)分 又因为0,A π<<所以2.3A π= ……………6分 （2）因为2222cos ,a c b cb A =+-所以201244cos120b b =+-. ……………8分即2280.b b +-= ……………9分 解得4() 2.b b =-=舍， ……………11分 所以11sin 22222S bc A ==⨯⨯⨯= ……………13分17．(本题满分13分)解: (1)依题意，甲答对试题数3,2,1,0=ξ． ……………2分ξ的概率分布如右表：……………6分由上表可得，甲答对试题数ξ的数学期望 ξE =5961321210313010=⨯+⨯+⨯+⨯． ……………7分 (2)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则)(A P =310361426C C C C +=1202060+=32，)(B P =310381228C C C C +=1205656+=1514 ……………9分 因为事件A 、B 相互独立，所以甲、乙两人考试都合格的概率为4528151432)()(=⨯=⋅B P A P . ……………10分 所以甲、乙两人至少有一人考试不合格的概率为451745281)()(1=-=⋅-=B P A P P ． ……………12分答：甲、乙两人至少有一人考试不合格的概率为4517． ……………13分18．（本小题满分14分） 证明：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF 中AD ⊥DF,DF=AD=DC ……………2分(1)连接DB ，则AC ⊥DB 又FD ⊥AD FD ⊥CD ， ∴FD ⊥面ABCD ∴FD ⊥AC ． 又D BD FD = ， ∴AC ⊥面FDB ． FAC AC 面⊂ ，∴平面FAC ⊥平面FBD …………………………………………………………5分 （2）设多面体FMBEC 的体积为V ，直三棱柱FAD —EBC 的体积为V 1，四棱锥F —MADC 的体积为V 2，则33321414121a a a V V V =-=-=……………8分 （3）点P 在A 点处………………………………10分证明：取FC 中点为S ，连接GA ，GS ，SM ，………………………11分∵G 是DF 的中点，∴GS //DC ，GS=21DC ，∴GS //AM ，GS=AM ，∴四边形AMSG 是平行四边形, ∴AG //MS ．……………………13分∵AG ⊄平面FMC ，MS ⊂平面FMC ，∴AG //平面FMC ．……………………14分19．（本题满分13分)（1）由题意可得)(51N x x y ∈=； …………………………2分)(2122N x y x ∈-=．…………………………4分 （2）通过计算可知，当5,4,3,2,1=x 时，21y y >，即当5,4,3,2,1=x 时，应该选择方案一；………6分又当7,6=x 时，12y y >，猜测当6≥x 时，12y y >，即当6≥x 时选择方案二．……………8分下面用数学归纳法证明: N x x ∈≥,6时, 12y y >即x x 5212>-. ①当6=x 时, 652126⨯>-成立；………………9分 ②假设),6(N k k k x ∈≥=时,不等式成立,即k k 5212>-．………………10分 当1+=k x 时,)1(521565)1(52155)1(52110212)12(22121+>+-⨯++≥+-++=+>+-⋅=-+k k k k k k k , 即1+=k x 时,不等式也成立． ………………12分由①②知,N x x ∈≥,6时,x x 5212>-即12y y >成立．所以当6≥x 时应该选择方案二． …13分20. (本题满分13分)E F C D GA MB S解:(1)当1a =时，232()(1)2f x x x x x x =--=-+-，得(2)2f =-，………1分且2()341f x x x '=-+-，(2)5f '=-,………………………………2分所以，曲线2(1)y x x =--在点(22)-，处的切线方程是25(2)y x +=--，整理得580x y +-=．………………………3分(2)当0>a 时，2322()()2f x x x a x ax a x =--=-+-,求导得22()34(3)()f x x ax a x a x a '=-+-=---．………………………4分令()0f x '=，解得3a x =或x a =．………………………………5分 ∵0>a ，∴a a >，列表如下：因此，函数()f x 在3a x =处取得极小值3a f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且34327a f a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭； 函数()f x 在x a =处取得极大值()f a ，且()0f a =．……………………………8分(3)证明：由3a >，得13a >， 当[]10k ∈-，时，1cos ≤-x k ，1cos 22≤-x k ．…………………………9分由（2）知，()f x 在]1,(-∞上是减函数，………………………10分 要使)cos ()cos (22x k f x k f -≥-(R x ∈)只要x k x k 22cos cos -≤-(R x ∈),即)(cos cos 22R x k k x x ∈-≤-①………11分 设2211()cos cos cos 24g x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，则函数()g x 在R 上的最大值为2．………12分 要使①式恒成立，必须22≥-k k ,即2≥k 或1-≤k ．所以，在区间[]10-，上存在1k =-，使得)cos ()cos (22x k f x k f -≥-对任意的R x ∈恒成立．……………13分21．（本小题满分14分）解：（1）由12n n n x x x +=+得nn n x x x 21+=+， 所以2122111-+⋅-=-+++n nn n x x x x ． ……………2分 又因为11=x ，所以22111-=-+x x ， 即数列{21-+n n x x }是首项为－2，公比为－2的等比数列. ……………3分 （2）由（1）可知：n n n x x )2(21-=-+,解得1)2(321)2(1)2(2--+=--+-=n n n n x ． ……………5分 （3）因为n n n n n x )1(23)1(2)1(--+-=-． ……………6分 ①当n 为偶数时，n n n n x x )1()1(11-+---1231231-++=-n n)12)(12(22311-++⋅=--n n nnn n nn 2222311⋅+⋅<--)2121(31n n +=-，……………9分 所以.3)211(3)212121212121(3)1()1()1( 1432221<-=++++++<-++-+--n n n nn x x x……………11分 ②当n 为奇数时,前1n -项为偶数项,∴21121(1)(1)(1)(1)n n n nx x x x ---+-++-+- 3)1232(3)1(3<++-+=-+<n n n x ，……………13分 综合①②可知原不等式得证. ……………14分。
2009年广东高考数学理科卷带详解
2009年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知全集U R =，集合{}212M x x =--和{}21,1,2N x x k k ==-=的关系的韦恩（V enn ）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有 ( )第1题图A. 3个B. 2个C. 1个D. 无穷多个 【测量目标】集合的表示方法（描述法），集合的并集.【考查方式】给出2个集合，通过并集运算求出集合的元素共有几个. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】由{}212M x x =--得{|13}M x x =-，{1,3,5,}N =则{1,3}M N =，有2个，选B.2.设z 是复数，()a z 表示满足1nz =的最小正整数n ，则对虚数单位i ，()i a = ( ) A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【测量目标】复数的基本概念.【考查方式】给出相关信息，求解出满足i 1n=最小正整数n 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】()i i 1na ==，则最小正整数n 为4，选C.3.若函数()y f x =是函数(0,xy aa =>且)1a ≠的反函数，其图象经过点),,a a 则()f x = （ ）A.2log xB. 12log x C.12x D. 2x 【测量目标】反函数.【考查方式】给出反函数的原函数的方程和其图象经过点(),a a ，求解出反函数的方程.【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】()log ,a f x x =代入(),,a a 解得1,2a =所以()12log ,f x x =选B.4.已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=且()252523,n n a a n -=则当1n 时，2123221log log log n a a a -+++= （ ）A.()21n n -B. ()21n + C. 2n D.()21n - 【测量目标】已知递推关系求通项.【考查方式】给出相关信息，先求出通项n a ，再利用对数函数化简，求解. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】由()252523nn a a n -=得222,0,n nn a a =>（步骤1） 则2,nn a = ()22123221log log log 1321,n a a a n n -+++=+++-=选C.（步骤2）5.给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是（ ）A. ①和②B. ②和③C. ③和④D. ②和④ 【测量目标】平行与垂直关系的综合问题.【考查方式】给出4个命题，通过直线与直线、面，面与面之间的位置关系判断其真假. 【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】显然 ①和③是假命题，故否定A,B,C,选D.6.一质点受到平面上的三个力123,,F F F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知12,F F 成60角，且12,F F 的大小分别为2和4，则3F 的大小为 （ ）A. 6B. 2C. 25D. 27【测量目标】余弦定理.【考查方式】给出物理学相关信息，通过余弦定理求解. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】()222312122cos 1806028,F F F F F =+--=所以327F =，选D.7.2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 ( )A. 36种B. 12种C. 18种D. 48种 【测量目标】排列组合及其应用..【考查方式】给出相关信息，考查了排列组合的公式. 【难易程度】中等 【参考答案】A【试题解析】分两类：若小张或小赵入选，则有选法113223C C A 24,=若小张、小赵都入选，则有选法2223A A 12,=共有选法36种，选A.8.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙（如图所示）．那么对于图中给定的0t 和1t ，下列判断中一定正确的是 （ ）第8题图A.在1t 时刻，甲车在乙车前面B.1t 时刻后，甲车在乙车后面C.在0t 时刻，两车的位置相同D.0t 时刻后，乙车在甲车前面 【测量目标】函数图象的应用. 【考查方式】给出相关图象，再求解. 【难易程度】中等 【参考答案】A【试题解析】由图象可知，曲线v 甲比v 乙在0100t t ～、～与x 轴所围成图形面积大，则在01t t 、时刻，甲车均在乙车前面，选A.二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9 ~ 12题）9.随机抽取某产品n 件，测得其长度分别为12,,,,n a a a 则如图所示的程序框图输出的s = ，s 表示的样本的数字特征是 ．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”“：=”）第9题图【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】给出算法流程图，阅读框图，运行程序，得出结果. 【难易程度】容易 【参考答案】12na a a n+++ 平均数【试题解析】第一次当i =1时,1;s a =第二次当i =2时,12;2a a s +=最后输出12+;na a a s n++=s =平均数.10.若平面向量,a b 满足1,+=+a b a b 平行于x 轴，()2,1,=-b 则=a .【测量目标】向量的坐标运算.【考查方式】考查向量的基本概念及向量的坐标运算. 【难易程度】中等【参考答案】()1,1-或()3,1-【试题解析】设(,)x y =a ，则(2,1)x y +=+-a b ，依题意，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-++011)1()2(22y y x ，（步骤1）解得⎩⎨⎧=-=11y x 或⎩⎨⎧=-=13y x ，所以(1,1)=-a 或(3,1)=-a .（步骤2） 11.已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为 ． 【测量目标】椭圆的标准方程.【考查方式】给出相关信息，通过离心率公式，长短轴间的关系，求解出标准方程. 【难易程度】中等【参考答案】221369x y += 【试题解析】3,212,6,3,2e a a b ====则所求椭圆方程为22 1.369x y += 12.已知离散型随机变量X 的分布列如右表．若0,1,EX DX ==则a = ，b = ．第12题图【测量目标】离散型随机变量的分布列.【考查方式】给出离散型随机变量的分布列，通过公式求解. 【难易程度】中等 【参考答案】51,124【试题解析】由题知2221111,0,1121,12612a b c a c a c ++=-++=⨯+⨯+⨯= 解得51,124a b ==. （二）选做题（13 ~ 15题，考生只能从中选做两题） 13．（坐标系与参数方程选做题）若直线112,:2,x t l y kt =-⎧⎨=+⎩（t 为参数）与直线2,:12,x s l y s =⎧⎨=-⎩（s 为参数）垂直，则k = ． 【测量目标】坐标系与参数方程.【考查方式】给出两条直线的参数方程，且两条直线垂直，求解. 【难易程度】较难 【参考答案】1-【试题解析】直线112,:2,x t l y kt =-⎧⎨=+⎩（t 为参数）化为普通方程是)1(22--=-x ky ，该直线的斜率为2k-，（步骤1）直线2,:12,x s l y s =⎧⎨=-⎩（s 为参数）化为普通方程是12+-=x y ，该直线的斜率为2-，（步骤2）则由两直线垂直的充要条件，得()212k ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭， 1.k =-（步骤3） 14．（不等式选讲选做题）不等式112x x ++的实数解为 ．【测量目标】解一元二次不等式【考查方式】给出不等式方程，先求定义域，再把它换成整数不等式求解. 【难易程度】中等 【参考答案】{x |32x-且2-≠x }【试题解析】112xx++1220x xx⎧++⎪⇔⎨+≠⎪⎩22(1)(2)2x xx⎧++⇔⎨≠-⎩2302xx+⎧⇔⎨≠-⎩解得32x-且2-≠x.所以原不等式的解集为{x|32x-且2-≠x}. 15．（几何证明选讲选做题）如图，点,,A B C是圆O上的点，且4,45AB ACB=∠=，则圆O的面积等于．第15题图【测量目标】几何证明选讲.【考查方式】给出圆上线段长，角度大小，求解圆的面积.【难易程度】容易【参考答案】8π【试题解析】解法一：连结,,OA OB则902,AOB ACB∠==∠（步骤1）所以AOB△为等腰直角三角形，又4AB=，（步骤2）所以，圆O的半径22R=O的面积等于22ππ(22)8πR=⨯=（步骤3）解法二：设圆O的半径为R，在ABC△中，由正弦定理，得42sin45R=，解得22R=（步骤1）所以，圆O的面积等于22ππ(22)8πR=⨯=.（步骤2）三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分12分）已知向量(sin,2)θ=-a与(1,cos)θ=b互相垂直，其中π(0,)2θ∈．（1）求sinθ和cosθ的值；（2）若10πsin()102θϕϕ-=<<，求cosϕ的值．【测量目标】余弦定理.【考查方式】利用两向量垂直公式、诱导公式、余弦定理求解.【难易程度】中等【试题解析】（1）∵向量()sin,2θ=-a与()1cosθ，b=互相垂直，∴ sin 2cos 0θθ=-=a b ，即θθcos 2sin =①，（步骤1）又 1cos sin 22=+θθ ② ① 代入②，整理，得51cos 2=θ，（步骤2） 由π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可知0cos >θ， ∴55cos =θ，（步骤3）代入①得552sin =θ. 故55cos =θ， 552sin =θ.（步骤4）（2）ππππ0,0,,2222ϕθθϕ<<<<∴-<-<（步骤5）则()()2310cos 1sin ,10θϕθϕ-=--=（步骤6）()()()2cos cos cos cos sin sin .2ϕθθϕθθϕθθϕ∴=--=-+-=⎡⎤⎣⎦（步骤7） 17．（本小题满分12分）根据空气质量指数API （为整数）的不同，可将空气质量分级如下表：API0~50 51~100 101~150 151~200 201~250 251~300 >300 级别 I II 1III2III1IV2IVV状况 优 良轻微污染 轻度污染 中度污染 中度重污染 重度污染xy67 xy68xy69xy70xy71对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得的API 数据按照区间[0,50],(50,100],(100,150],(150,200],(200,250],(250,300]进行分组，得到频率分布直方图如图所示. （1）求直方图中x 的值；（2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；（3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率. （结果用分数表示．已知77578125,2128,==32738123,18253651825182591259125++++=365735=⨯)第17题图 【测量目标】频率分布直方图.【考查方式】给出直方图，阅读，从图中找到相关信息，利用公式定理求解. 【难易程度】中等【试题解析】（1）因为，在频率分布直方图中，各个小矩形的面积之和等于1，依题意，得327385011825365182518259125x ⎛⎫+++++=⎪⎝⎭（步骤1）又 9125123912581825318257365218253=++++ 所以 182501199125123501=-=x .（步骤2） （2）一年中空气质量为良的天数为 1195018250119365=⨯⨯（天）；（步骤3） 一年中空气质量为轻微污染的天数为 100503652365=⨯⨯（天）；（步骤4） （3）由（2）可知，在一年之中空气质量为良或轻微污染的天数共有119+100=219（天） 所以，在一年之中的任何一天空气质量为良或轻微污染的概率是21933655P ==，（步骤5） 设一周中的空气质量为良或轻微污染的天数为ξ，则ξ~B （7，53） 7733()C 155kkk P k ξ-⎛⎫⎛⎫==- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，（k =0,1,2,…,7）（步骤6）设“该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染”为事件A ，则)1()0(1)(=-=-=ξξP P A P =-1070733C 155⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭161733C 155⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=6752537521⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-⎪⎭⎫⎝⎛-=78125766537812513441281522121767=+-=⨯+-.（步骤7） 18．（本小题满分14分）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E 是正方形11BCC B 的中心，点F G 、分别是棱111,C D AA 的中点．设点1,1E G 分别是点,E G 在平面11DCC D 内的正投影．（1）求以E 为顶点，以四边形FGAE 在平面11DCC D 内的正投影为底面边界的棱锥的体积；（2）证明：直线1FG ⊥平面1FEE ； （3）求异面直线11E G EA 与所成角的正弦值.第18题图【测量目标】锥的体积、空间直角坐标系.【考查方式】考查了锥的体积、线面垂直的判定、异面直线所成的角，建立空间直角坐标系求解【难易程度】较难【试题解析】（1）依题得所求为四棱锥11FG DE E -的体积，其底面11FG DE 面积为111111Rt Rt E FG DG E DE FG S S S =+△△四边形221212221=⨯⨯+⨯⨯=，（步骤1） 又⊥1EE 面11FG DE ，11=EE ，∴111111233E DE FG DE FG V S EE -==四边形.（步骤2）（2）以D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别作x 轴，y 轴，z 轴，得)1,2,0(1E ,)1,0,0(1G ，又因为)1,0,2(G ，)2,1,0(F ，)1,2,1(E ，则)1,1,0(1--=FG ，)1,1,1(-=FE ，)1,1,0(1-=FE ，（步骤3） ∴10(1)10FG FE =+-+=，110(1)10FG FE =+-+=， 即FE FG ⊥1，11FE FG ⊥，（步骤4） 又1FE FE F =，∴⊥1FG 平面1FEE .（步骤5）第18(2)题图（3）)0,2,0(11-=G E ，)1,2,1(--=EA ， 则111111cos ,6E G EA E G EA E G EA<>==（步骤6） 设异面直线11E G EA 与所成角为θ，则33321sin =-=θ.（步骤7）19.（本小题满分14分）已知曲线2:C y x =与直线:20l x y -+=交于两点(,)A A A x y 和(,)B B B x y ，且A B x x <．记曲线C 在点A 和点B 之间那一段L 与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D ．设点(,)P s t 是L 上的任一点，且点P 与点A 和点B 均不重合．（1）若点Q 是线段AB 的中点，试求线段PQ 的中点M 的轨迹方程；（2）若曲线22251:24025G x ax y y a -+-++=与D 有公共点，试求a 的最小值． 【测量目标】直线与抛物线的位置关系，圆锥曲线中的探索性问题. 【考查方式】给出了抛物线方程与直线方程，利用公式、定理求解. 【难易程度】较难【试题解析】曲线C 与直线l 的联立方程组⎩⎨⎧=+-=022y x x y ,得⎩⎨⎧=-=1111y x ,⎩⎨⎧==4222y x ,（步骤1）又A B x x <，所以点,A B 的坐标分别为)4,2(),1,1(B A -（步骤2） ∵点Q 是线段AB 的中点∴点Q 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛25,21Q （步骤3）∵点(,)P s t 是L 上的任一点，且点P 与点A 和点B 均不重合．∴2s t = ，即),(2s s P ，且21<<-s （步骤4） 设线段PQ 的中点为(),M x y ,则点M 的轨迹的参数方程为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=2252212s y s x （s 为参数，且21<<-s ）；消去s 整理，得454122+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y ，且⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-4541x所以，线段PQ 的中点M 的轨迹方程是454122+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y ，⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-4541x ；（步骤5）（２)曲线22251:24025G x ax y y a -+-++=可化为()()222572⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+-y a x ， 它是以(),2G a 为圆心，以57为半径的圆，（步骤6）设直线:20l x y -+=与y 轴相交于点E ，则E 点的坐标为()0,2E ； 自点A 做直线:20l x y -+=的垂线，交直线2y =于点F ，在Rt △EAF 中，45,AEF ∠=2=AE ，所以2=AF ，∵257<， ∴当0<a 且圆G 与直线l 相切时，圆心G 必定在线段FE 上，且切点必定在线段AE 上，（步骤7） 于是，此时的a 的值就是所求的最小值. 当圆G 与直线:20l x y -+=相切时 571122=++-a ， 解得527-=a ，或者527=a （舍去） 所以，使曲线G 与平面区域D 有公共点的a 的最小值是527-．（步骤8）第19(2)题图20．（本小题满分14分）已知二次函数()y g x =的导函数的图象与直线2y x =平行，且()y g x =在1x =-处取得极小值1(0)m m -≠．设()()g x f x x=． （1）若曲线()y f x =上的点P 到点()0,2Q 2，求m 的值； （2）()k k ∈R 如何取值时，函数()y f x kx =-存在零点，并求出零点．【测量目标】函数零点的应用.【考查方式】利用导数求函数的极值、两点间距离公式、函数零点的判断等求解. 【难易程度】较难【试题解析】设二次函数()y g x =的解析式为)0()(2≠++=a c bx ax x g则它的导函数为)0(2)(≠+='a b ax x g ，（步骤1）∵函数)0(2)(≠+='a b ax x g 的图象与直线x y 2=平行， ∴22a = ，解得1a =,所以c bx x x g ++=2)(，b x x g +='2)(（步骤2）∵()y g x =在1x =-处取得极小值1(0)m m -≠∴⎩⎨⎧-=-=-'1)1(0)1(m g g ，即⎩⎨⎧-=+-=+-1102m c b b ，解得⎩⎨⎧==mc b 2.所以m x x x g ++=2)(2，()()g x f x x ==2++xm x （0≠x ）（步骤3）（1）设点P ⎪⎭⎫⎝⎛++2,x m x x （0≠x ，0≠m ）为曲线()y f x =上的任意一点则点P 到点(0,2)Q 的距离为m x m x x m x x PQ 2222222++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=（步骤4）22m当且仅当222m x =时，等号成立，此时min PQ =m m 222+（步骤5）又已知点P 到点(0,2)Q 2222=+m m两边平方整理， 得12=+m m当0>m 时，12=+m m ，解得12-=m当0<m 时，12=+-m m ，解得12--=m 所以m 的值为12-或者12--；（步骤6）（2）函数令kx x f x h -=)()(=2)1(2++-=-++xmx k kx x m x （0≠x ）令0)(=x h ，即02)1(=++-xmx k （0≠x ），整理，得02)1(2=++-m x x k （0≠x ），①（步骤7）函数kx x f x h -=)()(存在零点，等价于方程①有非零实数根，由0≠m 可知，方程①不可能有零根，当1k =时，方程①变为02=+m x ，解得02≠=mx ，方程①有唯一实数根， 此时， 函数kx x f x h -=)()(存在唯一的零点2mx =；（步骤8）当1k ≠时，方程①根的判别式为)1(44k m --=∆，0≠m令)1(44k m --=∆=0，解得mk 11-=，方程①有两个相等的实数根m x x -==21，（步骤9）此时，函数kx x f x h -=)()(存在唯一的零点m x -=； 令44(1)0m k ∆=-->，得()11m k -<,当0m >时，解得mk 11->，当0m <时，解得mk 11-<， 以上两种情况下，方程①都有两个不相等的实数根kk m x ---+-=1)1(111，k k m x -----=1)1(112此时， 函数kx x f x h -=)()(存在两个零点k k m x ---+-=1)1(111，kk m x -----=1)1(112（步骤10）综上所述，函数()y f x kx =-存在零点的情况可概括为当1k =时，函数kx x f x h -=)()(存在唯一的零点2mx =；当mk 11-=时，函数kx x f x h -=)()(存在唯一的零点m x -=； 当0m >且m k 11->，或者0m <且mk 11-<时，函数kx x f x h -=)()(存在两个零点 k k m x ---+-=1)1(111，kk m x -----=1)1(112.（步骤11）21．（本小题满分14分）已知曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+==,从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为(0)n n k k >的切线n l ，切点为(,)n n n P x y ．（１）求数列{}{}n n x y 与的通项公式；（２）证明：13521n n nxx x x x y -<< 【测量目标】数列的实际应用，间接证明.【考查方式】利用圆锥曲线性质求通项公式，放缩法等求解. 【难易程度】较难【试题解析】曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+==可化为222)(n y n x =+-，所以，它表示以)0,(n C n 为圆心，以n 为半径的圆， 切线n l 的方程为)1(+=x k y n ，联立⎩⎨⎧=+-+=02)1(22y nx x x k y n ，消去y 整理，得 0)22()1(2222=+-++n n n k x n k x k ，①（步骤1）222222)12(44)1(4)22(n n n n k n n k k n k +-=+--=∆，0>n k 令0=∆，解得1222+=n n k n， 12+=n n k n （步骤2）此时，方程①化为012)2122()121(2222=++-++++n n x n n n x n n整理，得[]0)1(2=-+n x n ，解得1+=n n x x ，（步骤3） 所以121)11(12++=+++=n n n n n n ny n∴数列}{n x 的通项公式为1+=n nx x数列}{n y 的通项公式为121++=n n ny n .（步骤4）（２）证明：∵121111111+=+++-=+-n n n n n x x n n ，212n n -=<=135211352113521246235721n n n x x x x n n ---∴=⨯⨯⨯⨯<⨯⨯⨯⨯+ =121+n =nn x x +-11（步骤5）∵121+=n y x nn=n n x x +-11，又因为π043<< 令x y x n n =，则π04x <<， 要证明n n n n y x y x sin 2<，只需证明当π04x <<时，x x sin 2<恒成立即可. （步骤6）设函数x x x f sin 2)(-=，π04x <<则x x f cos 21)(-='，π04x <<（步骤7）∵在区间π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上x x f cos 21)(-='为增函数，∴当π04x <<时，π()1104f x x '=<=，（步骤8）∴x x x f sin 2)(-=在区间π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上为单调递减函数，∴ x x x f sin 2)(-=0)0(=<f 对于一切π04x <<恒成立，（步骤9）∴x x sin 2<，即n n x x +-11=n n nny x y x sin 2< 综上，得13521n n nxx x x x y -<<（步骤10）。
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广东省东莞市2009届高三理科数学模拟试题(一)命题人：东莞中学 庞进发 2009.3.10一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个备选项中，有且只有一项是符合要求的．1．下列四个函数中，在（0，1）上为增函数的是 A ．x y sin =B ．x y 2log -=C ．xy )21(=D ．12y x-=2．如果复数i a a a a z )23(222+-+-+=为纯虚数，那么实数a 的值为 A ．－2 B ．1 C ．2 D ．1或 －23．已知),(,,2121R b a AC b a AB ，b a ∈+=+=λλλλ若是不共线的向量，则A 、B 、C 三点共线的充要条件为 A ．121-==λλ B ．121==λλ C ．0121=-λλ D ．1121=+⋅λλ 4．下图是2008年在郑州举行的全国少数民族运动会上，七 位评委为某民族舞蹈打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为A ．84，4.84B ．84，1.6C ．85，4D ．85，1.6 5．已知函数x x f 2)(=的反函数)(1x f -满足4)()(11=+--b f a f ，则ba 11+的最小值为A ．1B ．31 C ．21 D ．416．如右图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么几何体的侧面积为A ． 12πB. 2C. 4D.4π7．两个正数a 、b 的等差中项是92，一个等比中项是,b a >则双曲线12222=-b y a x 的离心率为 A ．53BC ．54D8．已知0{(,)|y x y y ≥⎧⎪Ω=⎨≤⎪⎩，直线2y mx m =+和曲线y =有两个不同的交点，它们围成的平面区域为M ，向区域Ω上随机投一点A ，点A 落在区域M 内的概率为()P M ，若2()[,1]2P M ππ-∈，则实数m 的取值范围为A ．1[,1]2 B． C． D ． [0,1] 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共30分．9．在72⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中，3x 的系数是 .（用数字作答）10．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1,一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积为0的概率 .11．如图，该程序运行后输出的结果为 . 12．已知点),(y x P 满足条件y x z k k y x x y x 3),(02,,0+=⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤≥若为常数的最大值为8， 则k = . 13．（几何证明选讲选做题）如图，AD 是⊙O 的切线，AC 是⊙O 的弦，过C 做AD 的垂线，垂足为B ，CB 与⊙O 相交于点E ，AE 平分CAB ∠，且2AE =，则AB = ， AC = ， BC = . 14．(参数方程与极坐标选做题)在极坐标系中，点()1,0到直线()cos sin 2ρθθ+=的距离为 ． 15. （不等式选讲选做题）函数()3f x x x =-- 的最大值为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16. （12分）设函数2()2cos sin 2()f x x x a a R =++∈．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）当[0,]6x π∈时，()f x 的最大值为2，求a 的值，并求出()()y f x x R =∈的对称轴方程．17. （12分）某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利10﹪，可能损失10﹪，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为21，41，41；如果投资乙项目，一年后可能获利20﹪，也可能损失20﹪，这两种情况发生的概率分别为）（和1 =+βαβα. （1）如果把10万元投资甲项目，用ξ表示投资收益（收益=回收资金-投资资金），求ξ的概率分布及ξE ；（2）若把10万元投资投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求α的取值范围.18.（14分） 已知圆C 方程为：224x y +=.（1）直线l 过点()1,2P ，且与圆C 交于A 、B两点，若||AB =l 的方程； （2）过圆C 上一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量OQ OM ON =+，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.19．（14分）如图，在长方体1,1,11111>==-AB AA AD D C B A ABCD 中，点E 在棱AB 上移动，小蚂蚁从点A 沿长方体的表面爬到点C 1，所爬的最短路程为22.OA B CDE（1）求证：D 1E ⊥A 1D ； （2）求AB 的长度；（3）在线段AB 上是否存在点E ，使得二面角41π的大小为D EC D --。
若存在，确定点E 的位置；若不存在，请说明理由.20．（14分）已知2()(2,)f x x ax a a x R =++≤∈，()x g x e -=，()()()x f x g x Φ=⋅. （1）当1a =时，求()x Φ的单调区间；（2）求()g x 在点(0,1)处的切线与直线1x =及曲线()g x 所围成的封闭图形的面积；（3）是否存在实数a ，使()x Φ的极大值为3？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由.21. （14分）设等差数列{},{}n n a b 前n 项和n n S T ,满足127n n S An T n +=+，且37462825a ab b b b +=++，S 2=6；函数()1()12g x x =-，且11()(,1), 1.n n c g c n N n c -=∈>= （1）求A ；（2）求数列}{}{n n c a 及的通项公式；（3）若.,)()(21n n n n d d d n c n a d +++⎩⎨⎧= 试求为偶数为奇数东莞市2009届高三理科数学模拟试题(一)参考答案9.84； 10.34； 11.45； 12. -6；； 15.3 三、解答题（共80分．解答题应写出推理、演算步骤）16. 解：（1）2()2cos sin 21cos 2sin 2)14f x x x a x x a x a π=++=+++=+++ 则()f x 的最小正周期2T ππω==， ……………………………4分且当222()242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈时()f x 单调递增．即3[,]()88x k k k Z ππππ∈-+∈为()f x 的单调递增区间（写成开区间不 扣分）．…………6分 （2）当[0,]6x π∈时724412x πππ⇒≤+≤， 当242x ππ+=，即8x π=时sin(2)14x π+=．所以max ()121f x a a +=⇒= ……………9分2()4228k x k x k Z πππππ+=+⇒=+∈为()f x 的对称轴． ……12分17. 解：（1）依题意，ξ的可能取值为1，0，-1 ………1分的分布列为 …4分ξE =24-=4…………6分（2）设η表示10万元投资乙项目的收益，则η的分布列为……8分依题意要求1424α-≥… 11分∴9116α≥≥………12分注：只写出916α≥扣1分18. 解：（1）①当直线l 垂直于x 轴时，则此时直线方程为1=x ，l 与圆的两个交点坐标为()3,1和()3,1-，其距离为32满足题意 ………1分②若直线l 不垂直于x 轴，设其方程为()12-=-x k y ，即02=+--k y kx 设圆心到此直线的距离为d ，则24232d -=，得1=d …………3分 ∴1|2|12++-=k k ，34k =， 故所求直线方程为3450x y -+=综上所述，所求直线为3450x y -+=或1=x …………7分 （2）设点M 的坐标为()00,y x （00y ≠），Q 点坐标为()y x ,则N 点坐标是()0,0y …………9分∵OQ OM ON =+，∴()()00,,2x y x y = 即x x =0，20yy =…………11分 又∵42020=+y x ，∴224(0)4y x y +=≠ ∴Q 点的轨迹方程是221(0)416x y y +=≠， …………13分 轨迹是一个焦点在x 轴上的椭圆，除去短轴端点。
…………14分19.解一：（1）证明：连结AD 1，由长方体的性质可知：AE ⊥平面AD 1，∴AD 1是ED 1在平面AD 1内的射影。
又∵AD=AA 1=1， ∴AD 1⊥A 1D∴D 1E ⊥A 1D 1（三垂线定理） 4分 （2）设AB=x ，∵四边形ADD 1A 是正方形，∴小蚂蚁从点A 沿长方体的表面爬到点C 1可能有两种途径，如图甲的最短路程为4||21+=x AC如图乙的最短路程为221)1(|221++=++=x x x AC 1>x42222222+=++>++∴x x x x22242=∴=+∴x x ………………9分（3）假设存在，平面DEC 的法向量)1,0,0(1=n ，)1,2,0(1-=D设平面D 1EC 的法向量),,(2z y x n =，则⎩⎨⎧-==y a x yz )2(2)2,1,2(2a n -=∴…………………12分由题意得：2221)2(2,cos 22221=++->=<a n n解得：3232+=-=a a 或（舍去）.431π的大小为二面角时为离即当点D ED D ，B E --………14分20. 解：（1）当221,()(1),'()()x x a x x x e x e x x --=Φ=++Φ=-+时.…（1分）'()0,01;'()0,10.x x x x x Φ><<Φ<><当时当时或 ……（3分）∴()x Φ的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为：(,0)-∞，(1,)+∞. ……（4分）（2）切线的斜率为0'(0)|1x x k g e -===-=-，∴ 切线方程为1y x =-+.……（6分）所求封闭图形面积为1121000111[(1)](1)()|22xx x S e x dx e x dx e x x e---=--+=+-=-+-=-⎰⎰. ……（8分）（3）22'()(2)()[(2)]x x x x x a e e x ax a e x a x ---Φ=+-++=-+-， ……（9分）令'()0,02x x x a Φ===-得或. ……（10分）由表可知，()(2)(4)x a a e Φ=Φ-=-极大. ……（12分） 设22()(4),'()(3)0a a a a e a a e μμ--=-=->， ∴()(,2)a μ-∞在上是增函数，……（13分）∴ ()(2)23a μμ≤=<，即2(4)3a a e --≠，∴不存在实数a ，使()x Φ极大值为3. (14)21.解：（1）由52:5255827643==+++b a b b a b b a 知 而52929255919199==⨯+⨯+=b a b b a a T S 5279219=+⨯+∴A 解得A=1……………………………………2分 （2）令)1(+=n kn S n n n S k S n +===22,1,6即得当n=1时，a 1=S 1=2,当n ≥2时，a n =S n －S n-1=n 2+n ⎣⎦n n n 2)1()1(2=-+--综合之：a n =2n …………………………………………6分由题意)1(211:)1(2111+=+-=--n n n n c c c c 变形得 ∴数列{c n +1}是21为公比，以211=+c 为首项的等比数列。