数学：第十一章《三角形》复习教案(冀教版七年级下)

数学：第十一章《三角形》复习教案（冀教版七年级下）
一、复习目标提示：
1.认识三角形的概念、掌握三边之间的关系以及三角形的内角和，了解三角形的稳定性。

2.了解三角形的角平分线、高、中线，并能在具体的三角形中作出它们。

3.了解图形的全等，能利用全等图形进行简单的图案设计。

4.能准确地辨认全等三角形中的对应元素，能熟练掌握三角形全等的条件。

5.掌握直角三角形全等的判定方法，正确理解“斜边、直角边”的意义。

6.能利用尺规作一个三角形和已知三角形全等。

二、重、难点点拨：
1.三角形的三边关系、及三角形的内角和。

2.三角形全等的条件、全等图形的性质及其应用。

熟练了解并掌握三角形的三边关系，三角形的内角和是解决与三角形有关问题的重要基础。

全面掌握三角形全等的条件与全等的性质可以解决线段的相等、角的相等的证明问题。

三、复习中应当注意的几个问题：
1.正确理解几个概念：
（1）三角形：理解三角形的概念应抓住三点：①三条线段，②不在同一直线上，③首尾顺次相接。

其表示方法：以A、B、C三点为顶点的三角形记作△ABC。

（2）三角形的外角：由三角形的一边与另一边的延长线组成的角。

（3）三角形的角平分线：一个三角形有三条角平分线，都在三角形的内部，并且相交于一点；三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线；每一条角平分线将每个内角分成相等的两个角。

（4）三角形的中线：三角形的中线有三条，都在三角形的内部，且相交于一点；三角形的每一条边上的中线将该边分成两条相等的线段，将三角形分成两个面积相等的三角形。

（5）三角形的高：每个三角形的每条边上都有一条高，并且垂直于该边，三角形的三条高不一定在三角形内部，但一定交于一点。

（6）全等图形：全等图形一定考虑形状和大小都完全相同，两者缺一不可；它们只和形状、大小有
'''”，应将对应顶点写在对应关，和位置的摆放没有关系。

对于全等三角形其表示方法如“△ABC≌△A B C
位置上，以利于找出对应边、对应角。

2.掌握三个关系：
（1）三角形三边的关系：①三角形的任意两边的和大于第三边；②三角形任意两边的差小于第三边。

若三条线段满足：两条线段之和大于第三条线段，且这两条线段之差（在减小）小于第三条线段，，则它们就能构成三角形。

换句话说，其中一条线段大于另两条线段之差且小于这两条的和，它们说能构成三角
形。

（2）三角形的三个内角的关系：三角形的三个内角之和等于1800.
（3）三角形的内角与外角的关系：
位置关系：三角形的每个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角；
数量关系：三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的任意一个外角大于和它不相邻的内角。

3.了解两个分类：
按边分：
⎧
⎪
⎧
⎨
⎨
⎪
⎩
⎩
不等边三角形：三边互不相等的三角形
三角形两条边相等的三角形
等腰三角形
等边三角形：三条边都相等的三角形。

按角分：
⎧
⎪
⎧
⎨
⎨
⎪
⎩
⎩
直角三角形：有一个角是直角的三角形
三角形锐角三角形：三个角都是锐角的三角形斜三角形
钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。

三角形的分类可以按边分，也可以按角来分，两种分类方法要区分开来，不能混在一起。

4.正确应用三角形全等的判定方法：
三角形全等的四个判定方法都强调了三个条件，而且这三个条件中，至少有一条边，对应相等。

在“边角边”中，它是两条边对应相等，外加一个“其夹角对应相等”在“角边角”中，由于三角形的内角和是1800，使这一判定方法有了一个推广即“角角边”，只要两个三角形有两个对应角相等，再加上一个对应边相等的条件就可以证明两个三角形全等，而“边边边”秒是三条边对应相等。

对四个判定方法加以分析：若知三条线段对应相等，就只考虑“边边边”，其他三个暂不考虑；若知两边对应相等就再考虑加上一个什么样的条件，可能是再有一个边对应相等构成“边边边”，或者看它们的夹角而构成“边角边”，这时需要根据图形和题意去找就可以了；若已知一边，往往是找两角，或一边配夹角；若已知一角，就考虑夹它的两边，凑成“边角边”或再找一个角及其夹边，凑成“角角边”，若已知两角，就考虑再找一对应边。

对于直角三角形，除了用一般三角形的判定方法外还需要考虑“斜边、直角边”，即“边边角”只对于直角三角形成立。

5.正确应用全等的性质：
两个图形全等后，其对应边对应相等、对应角对应相等、周长相等、面积相等。

两个全等的三角形除了以上结论外，还有对应边上的中线对应相等，对应边一的高对应相等，对应角的平分线对应相等，等结论都可以通过证明全等来得到。

6.掌握尺规作三角形的方法：
要全面掌握由“已知两边及其夹角求作三角形”、“已知两角及其夹边作三角形”、“已知三边作三角
形”的方法。

尺规作三角形是作图的重点，其中的语言叙述是圣战，要注意以下两点：①尺规作图的一般步骤：已知、求作、分析、作法、说明、讨论。

而我们现在只需写出已知、求作、作法说可以了。

②尺规作图的语言叙述必须使用规范、精练、准确的作图语言。

四、 典例分析：
1.考查三角形三边的关系：
例1．已知三角形中两边长分别为5，8，试确定第三边的取值范围。

析解：由已知三角形中两边长时，可确定第三边的取值范围，其是|两边之差|<第三边<两边之和。

即若设第三边为x ，则有8－5<x <5+8，即3<x <13。

点评：在求三角形中某一边的取值范围时，三角形三边关系是常用的不等关系。

2.考查三角形的内角与外角的关系：
例2.如图1所示，已知AB ∥CD ，∠B ＝550，∠D ＝220，则∠P ＝
析解：利用平行线的特性和三角形内、外角关系可解此题。

因为AB ∥CD ，∠B ＝550，所以∠CEP ＝∠B ＝550，
又因为∠D ＝220，∠CEP ＝∠P+∠D ，
所以∠P ＝∠CEP －∠D ＝550－220＝350。

点评：本例综合运用了平行线的特性和三角形外角和的性质。

3.考查判定三角形全等：
例3.如图2，已知点D 是△ABC 的边AB 上一点，DF 交AC 于E ，DE 、EF ，CF ∥AB ，AE 与CE 是否相等？试说明理由。

析解：应先看图中AE 与CE 在哪两个三角形中，根据题中给出的条件能否证明这两个三角形全等。

AE ＝CE ，
理由：因为CF ∥AB ，所以∠A ＝∠FCE （两直线平行，内错角相等）。

又，在△ADE 和△CFE 中，
DE EF A FCE AED CEF
∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩
（对项角相等）＝（已知） 所以△ADE ≌△CFE （AAS ）， 所以AE ＝CE （全等三角形的对应边相等）。

点评：事实上，本例由CF ∥AB 还可以得到∠ADE ＝＝∠F ，从而利用ASA 也能判定△ADE ≌△CFE 。

由本例可以看出，依据条件得到全等三角形的思路和方法并非唯一的，它与同学的思维取向，对条件的利用有关，但最终会殊途同归的，因而对于多个解法的题，同学们可以试试看，以利于巩固所学知识。

4.考查三角形全等的实际应用：
例4.如图3，有一块矩形的土地ABCD 分别被甲、乙二人承包，一条公路GEFH 穿过这块地，为发展经济，决定将这条公路尽量修直，为不影响甲乙两家土地的面积，请你设计一种方案来解决这一问题。

析解：将公路修直并不困难，困难的是保持甲、乙两家土地面积不变，，我们可以利用矩形的AD ∥BC 构造全等三角形。

取EF 的中点M ，连结GM ，并延长交FH 于点N ，GN 是修直后的公路，如图3.
设GN 交AD 、BC 于P 、Q 两点。

因为EM ＝FM ，∠PEM ＝∠QFM ，∠EMP ＝∠FMQ ，
所以△PEM ≌△QFM （ASA ），
故能保持甲、乙两家承包的土地面积不变。

点评：本例是构造全等三角形解决实际问题的一个实例，解决此类问题时，应把握题目的条件及图形特征，运用全等三角形的判定方法合理分析，方能做出正确的解答。

利用全等三角形的知识可以解决许多实际问题，这也是中考的热点。

5.考查尺规作三角形：
例5.已知线段a ，b 和h(h<b)，求作△ABC ，使BC ＝a ，AB ＝b ，BC 边上的高为AD ＝h 。

析解：一般来说对于比较复杂的几何作图题，一般应先采用画草图的方法进行分析，在分析的基础上进行作图。

作法：（1）作直线PQ ，在直线PQ 上任取一点D ，作DM ⊥PQ ；
（2）在DM 上截取线段AD ＝h ；
（3）以A 点为圆心，以b 为半径画弧交射线DP 于点B ；
（4）以B 为圆心，以a 为半径画弧交射线BP 和射线BQ 于点12C C 和；
（5）连结12AC AC 和；
则12ABC ABC 和就是所求的三角形。

如图4.
点评：作三角形时，一定三角形的全等条件查结合，以便确定所作的三角形是否符合所求作的三角形，同时，对于这种几何作图题来说，往往是按照由里到外的顺序平画，首先画出AD ，再画AB ，最后画出12C C 和两点。