初中数学学而思面试试讲
学而思八年级数学培优讲义
学而思八年级数学培优讲义学而思八年级数学培优讲义旨在帮助学生巩固课堂所学知识，提高数学素养，为初中阶段的学习打下坚实基础。
以下是八年级数学培优讲义的部分内容：一、有理数及其运算1. 有理数的分类：整数、分数、正有理数、负有理数、零。
2. 有理数的加法：同号相加，异号相减；绝对值相加，符号决定和的大小。
3. 有理数的减法：减法转化为加法，被减数、减数与差的的关系。
4. 有理数的乘法：符号规律，绝对值相乘。
5. 有理数的除法：除法转化为乘法，商的变化规律。
6. 有理数的乘方：乘方的意义，乘方运算规则。
二、几何知识1.点、线、面的基本概念：点的坐标，线段的平行、垂直，平面的性质。
2.三角形的基本概念：三角形的分类，三角形的边角关系，三角形的判定。
3. 四边形的基本概念：四边形的分类，四边形的对边、对角线、内角和。
4.平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分，平行四边形的判定。
5.矩形、菱形、正方形的性质：矩形的对角线相等，菱形的对角线垂直，正方形的性质。
三、函数与方程1.函数的基本概念：函数的定义，函数的图像，函数的性质。
2.一次函数：一次函数的解析式，一次函数的图像，一次函数与直线。
3.方程的基本概念：方程的定义，方程的解法，方程的应用。
4. 一元一次方程：一元一次方程的解法，一元一次方程的应用。
5. 一元二次方程：一元二次方程的解法，一元二次方程的应用。
四、三角形和四边形的几何证明1.三角形的证明：全等三角形的判定，相似三角形的判定。
2. 四边形的证明：平行四边形的判定，矩形、菱形、正方形的判定。
3.几何证明的方法：综合法、分析法、反证法。
五、统计与概率1.统计的基本概念：数据的收集、整理、分析。
2.频数与频率：频数分布表，频率分布表，概率的基本概念。
3.事件的概率：等可能事件的概率，条件概率，独立事件的概率。
4.统计的应用：平均数、中位数、众数，概率的应用。
通过学习八年级数学培优讲义，学生可以系统地回顾和巩固课堂所学知识，提高自己的数学能力，为初中阶段的学习打下坚实基础。
学而思培优教师面试经验
初试、复试（各地情况不同，可能出现的环节）：1)现场填写他们准备好的简历，要贴一寸照2)人格测试的题目3)笔试：一套中考题，有可能会考高考题4)自我介绍：【突出自己相关经验】几人一共3分钟；一个人3分钟，可以是才艺展示，让大家记住你成功案例：最后我选择给大家讲个数学题的方式展开了我的自我展示。
?上去之后，我没说话，先拿粉笔在黑板上写下如下几行字：李威杰Will.Lee北航计算机学院Techie问候一下之后，开口说我叫李威杰，英文名是Will.Lee,并解释Will的意思是希望、意愿的意思，内容丰富又好记。
然后解释了一下Techie是技术狂热者的意思，我告诉他们我喜欢编程，是个极客。
然后就接着说，下面我给大家讲一个初中时代非常经典的一个数学题，我讲完之后我会把我的中文名和英文名字擦掉，然后找一个人来给我补上。
接着我就把0.9的循环等于1这个证明过程讲解了一下。
然后擦掉自己的中英文名字，然后说，请第一排的这位美女帮我填写一下我的名字吧。
她写完之后，我说完全正确，谢谢你，如果你愿意的话，面试结束后我请你去北航吃饭。
然后我的自我展示就结束了，我相信应该有一大部分人记住我是谁了。
失败案例：第一个上去的是个男生，简单地做了个自我介绍，讲了个笑话，我估计没人听的进去，因为几乎没人笑，冷场了。
5)无领导小组面试：给一个题目，分甲方乙方进行辩论，最后一个同学总结陈词；无主题一分钟自由讨论辩论题目示例：“选择我爱的人还是爱我的人”，能力和机遇哪个更重要，荒岛上几个都很有用的人救哪个成功案例：我方辩题是“能力比机遇更重要”，反方自然就是“机遇比能力更重要”，给十五分钟准备时间，然后正反方每个人都要有两分钟的时间进行立论陈述观点。
其他人就不说了，我说一下我立论切入点：1.当代社会，随着网络和制度的完善，机遇对每个人来说会变得越来越透明和平等，所以对我们来说有能力抓住机遇并利用机遇才是最关键的。
2.能力和机遇的关系犹如锦缎和鲜花，皮和毛的关系。
学而思2015年试讲题目(初中数学竞赛)
8.设n是整数，如果存在整数x，y，z满足n= + + −3，则
称n具有性质P.
(1)试判断1，2，3是否具有性质P；
(2)在1，2，3，… ，2013，2014这2014个连续整数中，不具有性质
P的数有多少个？
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13 14
白
y 2 x 1 3x 2 4 x 1 5 x 2
初中数学竞赛题目
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13 14
白
1.已知，为整数，且满足
+ 的可能的值有（
+
+
=−
2 1
3 4
−
1
4
，则
）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
1 1 1
1
2 1
1
2 2 4 4
13 14
白
3.∆ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=1，D在BC上，E在AB上，
使得∆ADE为等腰直角三角形，∠ADE=90°，则BE的长为（ ）
A．4-2
B. 2-
C.
−
D.
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13 14
白
4.使得不等式
学而思初二数学上册培优辅导讲义人教版
第1讲 与相交有关概念及平行线的判定考点·方法·破译1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行.2几何符号表示它们.3经典·考题·赏析【例1】如图，三条直线AB 、CD 、顶角一共构成哪几对邻补角 【解法指导】反向延长线.有6对对顶角. 12对邻补角. 【变式题组】01．如右图所示，直线AB 、CD 、EF ⑴∠ARC 的对顶角是⑵中有几对对顶角，几对邻补角02当三条直线相交于一点时，共有6当四条直线相交于一点时，共有12问：当有100【例２】如图所示，点O 是直线AB ∠AOC ．⑴求∠EOF 的度数；⑵写出∠BOE 的余角及补角.【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解；【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC ＝21∠BOC ，∠FOC ＝21∠AOC ∴∠EOF ＝∠EOC ＋∠FOC ＝21∠BOC ＋21∠AOC ＝()AOC BOC ∠+∠21又∵∠BOC ＋° ⑵∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；O ，OA 平分∠EOC ，且∠EOC ＝100°，C ．50° D ．80° 4＝ .相交于点O ，A 、B 分别是l1、l2上的.的垂线段.A 、B 、C 是直线l 上三点，且PA ＝4cm ，PB ＝5cm ，PC ＝6cm ，则点P 到直线l 的距离为（ ）A ．4cmB ． 5cmC ．不大于4cmD ．不小于6cm02 如图，一辆汽车在直线形的公路AB 上由A 向B 行驶，M 、NA B CE F O1 4 32 （第2题图）l 2为位于公路两侧的村庄； ⑴设汽车行驶到路AB 上点P时，距离村庄N ⑵当汽车从A 出发向B 在 的路上距离村庄N 【例４】如图，直线AB 、CD BOE 和∠AOC 的度数. 可以作为该图形具备的性质，⊥AB ． 【变式题组】 01．如图，若EO ⊥AB 于O ，直线CD ＝1︰3，求∠AOC 、∠AOE 的度数. 02．如图，O 为直线AB 上一点，∠⑴求∠AOC 的度数； ⑵试说明OD 与AB 的位置关系.03．如图，已知AB ⊥BC 于B ，DB ⊥∠ABD ＝1︰2，请作出∠CBE ∠1和∠2： ∠1和∠3： ∠1和∠6： ∠2和∠6： ∠2和∠4：∠3和∠5：∠3和∠4：【解法指导】正确辩认同位角、内错角、同旁内角的思路是：首先弄清所判断的是哪两个角，其次是找到这两个角公共边所在的直线即截线，其余两条边所在的直线就是被截的两条直线，最后确定它们的名称.【变式题组】【解法指导】⑴由∠CBD ＝∠ADB ，可推得AD ∥BC ；根据内错角相等，两直线平行.⑵由∠BCD ＋∠ADC ＝180°，可推得AD ∥BC ；根据同旁内角互补，两直线平行. ⑶由∠ACD ＝∠BAC 可推得AB ∥DC ；根据内错角相等，两直线平行.【变式题组】 01⑴∵∠A ＝∠ ∴AC ∥ED （ ⑵∵∠C ＝∠ ∴AC ∥ED （ ⑶∵∠A ＝∠ ∴AB ∥DF （02．如图，AD 系. 解：∵AD ∴∠BAC ＝2∠ 又∵EF ∴ 又∵∠1＝∠2 ∴ ∴AB ∥DE （03．如图，已知＋∠ACE ＝9004分∠ACB ，∠EBF的直线，试证：在所有的交角中，至少有一个角小于31°. 【解法指导】如图⑵，我们可以将所有的直线移动后，使它们相交于同一点，此时的图形为图⑵.a2,a2∥a3，a3⊥a4，＝ .）EMB 的同位角为D ．∠END图⑴ 图⑵AD C第4题图D ．垂线段就是点到直线的距离04．如图，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，则下列结论中，正确的个数有（ ） ①AB ⊥AC ②AD 与AC 互相垂直 ③点C 到AB 的垂线段是线段AB ④线段AB 的长度是点B 到AC 的距离 ⑤垂线段BA 是点B 到AC 的距离 ⑥AD ＞BD A ．0 B ． 2 C ．05．点A 、B 、C 是直线l PC ＝6cm ，则点P 到直线l A ．4cm B ．5cm C 06＝ .07．如图，矩形ABCD 沿EF 08．在同一平面内，若直线a1与a10不重合） 09．如图所示，直线a 、b 被直线∠1＝∠7，③∠2＋∠3＝180是 . 1011．如图，已知BE 平分∠ABD ，∥CD 12．如图，已知BE 平分∠ABC ，CF 平分∠BCD ，∠1＝∠2，那么直线AB 与CD 的位置关系如何 13．如图，推理填空：⑴∵∠A ＝ （已知） ∴AC ∥ED （ ） ⑵∵∠2＝ （已知） 使AD ∥BC ． 2，3 ）部分. D ．45 ）个交点.D ．55a 、b 是一个角的两的个数是（ ）A ．3B ．1或3C ．1或2或3D ．不一定是1，2，3 07．请你在平面上画出6条直线（没有三A B C D O 第6题图 A CD EB AB CDEF 1 2A B C D E F第14题图 a b08．平面上有10安排才能办到09．如图，在一个正方体的2AC ，那么两条对角线的夹角等于（A ．60° B ． 75° C ．90°10．在同一平面内有9个条件⑴任意两条直线都有交点； ⑵总共有29个交点. 第13讲 平行线的性质及其应用 考点·方法·破译123经典·考题·赏析 【例１】如图，四边形ABCD 中，AB 【解法指导】 两条直线平行，同位角相等； 两条直线平行，内错角相等； 两条直线平行，同旁内角互补. 线，识别角的关系式关键. 【解】：∵AB ∥CD BC ∥AD ∴∠A ＋∠B ＝180° ∠B ＋∠C ∴∠A ＝∠C ∵∠A ＝38° 【变式题组】 01．如图，已知AD ∥BC ，点E 在BD 的延长线上，若∠ADE ＝155°，则∠DBC 的度数为（ ） A ．155° B ．50° C ．45° D ．25°2＝65°，则∠3为（ ） 60° D ．65° ：∠B ＝2: 3: 4, 试求∠α、∠D 、∠B ，∠B ＝60°，∠EFC ＝45°，求∠BCGF ＝∠FCD(两条直EFC ＝45° ∴∠∴∠GCF ＝90°BCG ＝【变式题组】 01．如图，已知AF ∥BC, 且AF 平分∠EAB ，∠B ＝48°，则∠C 的的度数＝_______________ E A FG D C B西30°A01．如图，已知，AB ∥CD ，分别探究下面四个图形中∠APC 和∠PAB 、∠PCD 的关系，请你从所得四个关系中选出任意一个，说明你探究的结论的正确性.结论：⑴____________________________ ⑵____________________________⑶移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点. ⑷连: 按原图形顺次连接对应点. 【解】①连接AA/ ②过点B 作AA/的平行线l ③在l 截取BB/＝AA/,则点B/就是的B 对应点，用同样的方法作出点C 的对应点C/.连接A/B/，B/C/，C/A/就得21cm ，作出平移后的图形. ABC 中，∠C ＝90°, BC＝4，AC ＝4，方向平移到△A/B/C/的位置，若平移距与△A/B/C/的重叠部分的面积.BC 方向平移BE 的距）60°．北偏西60°02．命题：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两直线平行；④平行于同一条直线的两直线垂直.其中的真命题的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个03．一个学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相A．第一次向左拐左拐130°C．第一次向左拐左拐120°04A．对顶角相等互补05A．①②B06．在A、B东52°.现A、B走向应该是（A．北偏东52°07的转动）；③升降机上下做机械运动；④足球场上足球的运动.A．1种B．2种C．3种D．4种08．如图，网格中的房子图案正好处于网格右下角的位置.平移这个图案，使它正好位于左上角的位置（不能出格）15．如图，AB∥CD，∠1＝∠2，试说明∠E和∠F的关系.培优升级·奥赛检测01．如图，等边△ABC△ABC内能与△DEF那么在△ABC内由△DEF个02B点沿着BO方向匀速滚来，直线奔跑前去拦截足球.能截住足球的位置.（点的平移）03．如图，长方体的长AB＝4cm，宽AA1＝2cm. 将AC平移到A1C1的距离是___________,平移___________.04的边长均为a，竖直方向的边长为b向右平移1个单位得到B1B2A1A2B2B1 [即阴影部分如图⑴];得到封闭图形A1A2 A3B3B2B1 [⑴在图⑶中，从而得到1________.地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分草地面积是若5次后发现赛车回到出C．144°D．720°或144°10个点A1、A2、…、A10，直线bb上每一点相连可得线段.若）6480 D．2006平分∠BEC，EG⊥EF. 求∠BEG和∠DEG.⑶⑷实数与数轴上的点一q≠0）0(a≥0) ．的值．2m ?4＝5，m＝l．____．____．y是____．数a、b满足24242a b a-++=，则a＋b等于( ) A．－1 B．≥3∵24a b-++∴24a b-++∴()2203ba b+=⎧⎪⎨-=⎪⎩【变式题组】0l0203．（天津）若A．1 B．－04．已知xA．11π-B． C． D．无法确定【例3】若a、b都为有理效，且满足1a b-+=+a＋b的平方根．【解法指导】任何两个有理数的和、差、积、商（除数不为0）还是有理数，但两个无理数的和、差、积、商（除数不为0）不一定是无理数．∵1312，5±．＋2）m＋(3－＋7＝0（123π+）x＋（132π+）y?4?π是9的平方根，且a b b a-=-，求a?2＝整数部分＋小?2 ?2?4．∵a＝2，b?1＝4，即a＋b＝6．【变式题组】01．若3的小数部分是a，b，则a＋b的值为____．02a ，小数部分为ba ）·b ＝____． 演练巩固 反馈提高0l ．下列说法正确的是( )A ．－2是(－2)2C ． 16的平方根是±4D ．02．设a =b ＝ －2，cA ．a<b<c B ．a<c<b C03A ．－9与81的平方根 B ．04．在实数1.414，，A ．2个 B ．3个 C ．405．实数a 、b A ．b>a B ．a C ． －a ＜b D ．－06．A ． 1个 B ．2个 C ．07．设m n ＝A. m ＝±nB.m ＝08．（烟台）如图，数轴上 A 、B 两点表示的数分别为－1B 关于点A 的对称点C ，则点C 所表示的数为( )A ．－2．－1．－2 D ．l 09．点AB 在数轴上和原点相距3个单位，____．13，那么至少要选____个数． a ※b ＝a b -，如．<b ，则a ＋b ＝____．a*b ＝()()22a b a b ab a b ⎧⎪⎨⎪⎩≥<，已知3*m ＝36，，213a +在数轴上对应的点分别是A 、B 、．P ．点P 表示的实数为－1．如果该圆沿数轴正方向滚动一周后与数轴的公共点为P′，那么点P′所表示的数是____．16．已知整数x 、y ＋x 、y ．17．已知2a?1的平方根是±3，3a＋b?1的算术平方根是4，求a＋b＋1的立方根．18．小颖同学在电脑上做扇形滚动的游戏，如图有一圆心角为60°，半径为1个单位长的扇形放置在数轴上，当扇形在数轴上做无滑动的滚动时，当B点恰好落在数轴上时，(1)B点所对的数；(2)求圆心O移动的路程．19．若b 315a-153a-＋3l，且a＋11的算术平方根为m，4b＋1的立方根为n，求（mn?2）(3mn ＋4)的平方根与立方根．20．若x、y为实数，且（x?y＋1）2与533x y--互为相反数，求22x y+的值．培优升级奥赛检测01．（荆州市八年级数学联赛试题）一个正数x的两个平方根分别是a＋1与a?3，则a值为( )A． 2 B．－1 C． 1 D． 002．x＋1x-＋2x-的最小值是( )A．0 B． 12 C．1 D． 20353x+?2的最小值为____．04．设a、b为有理数，且a、b满足等式a2＋3b＋b3＝21?53，则a＋b＝____．05．若a b-＝1，且3a＝4b，则在数轴上表示a、b两数对应点的距离为____．06．已知实数a满足20092010a a a--=，则a? 20092＝_______．m满足关系式3523199199x y m x y m x y x y+--+-=-+--g，试确定m的值．08．（全国联赛）若a、b满足35a b+＝7，S＝23a b，求S的取值范围．09．（北京市初二年级竞赛试题）已知0<a<1，并且123303030a a a⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦2830a⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦g g g2930a⎡⎤++⎢⎥⎣⎦18=，求[10a]的值[其中[x]表示不超过x的最大整数] ．10．（北京竞赛试题）已知实数a、b、x、y满足y＋231x a=-，231x y b-=--，求22x y a b+++的值．第14讲平面直角坐标系（一）考点．方法．破译1．认识有序数对，认识平面直角坐标系．2．了解点与坐标的对应关系．3．会根据点的坐标特点，求图形的面积．经典．考题．赏析【例1】在坐标平面内描出下列各点的位置．A(2，1)，B(1，2)，C(－1，2)，D(－2，－1)，E(0，3)，F(－3，0)【解法指导】从点的坐标的意义去思考，在描点时要注意点的坐标的有序性．【变式题组】01．第三象限的点P(x，y)，满足|x|＝5,2x＋|y|＝1，则点P得坐标是-_____________．02．在平面直角坐标系中，如果m.n＞０，那么（m, |n|）一定在____________象限.03．指出下列各点所在的象限或坐标轴．A(－3，0)，B(－2，－13)，C(2，12)，D(0,3)，E(π－3.14，3.14－π)【例2】若点P(a，b)在第四象限，则点Q(―a，b―1)在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解法指导】∵P(a，b)在第四象限，∴a＞0，b＜0，∴－a＜0, b－１＜0,故选C．【变式题组】01．若点G(a，2－a)是第二象限的点，则a的取值范围是（）A．a＜0 B．a＜2 C．0＜a＜2 B．a＜0或a＞2 02．如果点P(3x－２，２－x)在第四象限，则x的取值范围是____________．03．若点P(x，y)满足xy＞0，则点P在第______________象限．04．已知点P(2a－8，2－a)是第三象限的整点，则该点的坐标为___________．【例３】已知A点与点B(－3，4)关于x轴对称，求点A关于y轴对称的点的坐标．【解法指导】关于x轴对称的点的坐标的特点：横坐标(x)相等，纵坐标(y)互为相反数，关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标(y)相等．【变式题组】01．P(－1，3)关于x轴对称的点的坐标为____________．02．P(3，－2)关于y轴对称的点的坐标为____________．03．P(a，b)关于原点对称的点的坐标为____________．04．点A(－3，2m－１) 关于原点对称的点在第四象限，则m的取值范围是____________．05．如果点Ｍ(a＋b，ab)在第二象限内，那么点N(a，b) 关于y轴对称的点在第______象限．【例４】P(3，－4)，则点P到x轴的距离是____________．【解法指导】P(x，y)到x轴的距离是| y|，到y轴的距离是|x|．则P到轴的距离是|－4|＝4【变式题组】01．已知点P(3，5)，Q(6，－５)，则点P、Q到x 轴的距离分别是_________，__________．P到y轴的距离是点Q到y轴的距离的________倍．02．若x轴上的点Ｐ到y轴的距离是3，则P点的坐标是__________．03．如果点B(m＋1，3m－5) 到x轴的距离与它到y轴的距离相等，求m的值．04．若点(5－a，a－3)在一、三象限的角平分线上，求a的值．05．已知两点A(－3，m)，B(n，4)，AB∥x轴，求m的值，并确定n的取值范围．【例５】如图，平面直角坐标系中有A、B两点．(1)它们的坐标分别是___________，___________；(2)以A、B为相邻两个顶点的正方形的边长为_________；(3)求正方形的其他两个顶点C、D的坐标．【解法指导】平行x轴的直线上两点之间的距离是：两个点的横坐标的差得绝对值，平行y轴的直线上两点之间的距离是：两个点的纵坐标的差得绝对值．即：A(x1，y1)，B(x2，y2)，若AB∥x轴，则|AB|＝|x1－x2|；若AB∥y，则|AB|＝|y1－y2|，则(1)A(2，2)，B(2，－1)；(2)3；(3)C(5，2)，D(5，－1)或C(－1，2)，D(－1，－1)．【变式题组】01．如图，四边形ACBD是平行四边形，且AD∥x轴，说明，A、D两点的___________坐标相等，请你依据图形写出A、B、C、D四点的坐标分别是_________、_________、____________、____________．02．已知：A(0，4)，B(－3，0)，C(3，0)要画出平行四边形ABCD，请根据A、B、C三点的坐标，写出第四个顶点D的坐标，你的答案是唯一的吗03．已知：A(0，4)，B(0，－1)，在坐标平面内求作一点，使△ABC的面积为5，请写出点C的坐标规律．【例6】平面直角坐标系，已知点A(－3，－2)，B(0，3)，C(－3，2)，求△ABC 的面积．【解法指导】(1)三角形的面积＝12×底×高．(2)通过三角形的顶点做平行于坐标轴的平行线将不规则的图形割补成规则图形，然后计算其面积．则Ｓ△ABC＝Ｓ△ABD＝Ｓ△BCD＝12·3·5－12·3·1＝6．【变式题组】01．在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(―3，―1)，B(1，3)，C(2，－3)，△ABC的面积．02．如图，已知A(－4，0)，B(－2，2)，C,0，－1)，D(1，0)，求四边形ABDC的面积．03．已知：A(－3，0)，B(3，0)，C(－2，2)，若D点在y轴上，且点A、B、C、D四点所组成的四边形的面积为15，求D点的坐标．【例7】如图所示，在平面直角坐标系中，横、纵坐标都为整数的点称为整点．请你观察图中正方形A1B1C1D1、A2B2C2D2……每个正方形四条边上的整点的个数，推算出正方形A10B10C10D10四条边上的整点共有__________个．【解法指导】寻找规律，每个正方形四条边上的整点个数为S＝8n，所以S10＝8×10＝80个．【变式题组】01．如图所示，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变成△OA3B3．已知：A(1，2)， A1(2，2)，A2(4，2)，A3(8，2)，B(2，0)，B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)．(1)观察每次变换前后的三角形有何变化找出规律，按此规律再将三角形△OA3B3变换成△OA4B4，则A4的坐标是____________，B4的坐标是_____________；(2)若按(1)题找到的规律将△OAB进行n次变换，得到三角形△OAnBn，推测An 的坐标是_____________，Bn的坐标是_____________．【解法指导】由AA1A2A3、BB1B2B3的坐标可知，每变换一次，顶点A的横坐标乘以2，纵坐标不变，顶点B的横坐标乘以2，纵坐标不变．如图，已知A1(1，0)，A2(1，1)，A3(－1，1)，A4(－1，－1)，A5(2，－1)…则点A2010的坐标为_______________．演练巩固反馈提高01．若点A(－2，n)在x轴上，则点B(n－1，n＋1)在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限 D．第四象限02．若点M(a＋2，3－2a)在y轴上，则点M的坐标是( )A．(－2，7) B．(0，3) C．(0，7) D．(7，0)03．如果点A(a，b)，则点B(－a＋1，3b－5)关于原点的对称点是( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限 D．第四象限04．下列数据不能确定物体位置的是( )A．六楼6号 B．北偏西400 C．文昌大道10号 D．北纬260，东经135005．在坐标平面内有一点P(a，b)，若ab＝0，则P点的位置是( )A．原点 B．x轴上 C．y轴上 D．坐标轴上06．已知点P(a，b)到x轴的距离为2，到y轴的距离为5，且|a－b |＝b－a，则点P的坐标是_______________．07．已知平面直角坐标系内两点M(5，a)，N(b，－2)，①若直线MN∥x轴，则a＝______，b＝__________；②若直线MN∥y轴，则a＝___________，b＝_________．08．如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2010次，点P依次落在点P1，P2，P3，…，P2010的位置，则P2010的横坐标x2010＝___________?09．按下列规律排列的一列数对，(2，1)，(5，4)，(8，7) …，则第七个数对中的两个数之和是______________?10．如图，小明用手盖住的点的坐标可能为（）A．(2，3) B．(2，－3) C．(－2，3)D．(－2，－3)11．点P位于x轴的下方，距y轴3个单位长度，距x轴4个单位长度，则点P的坐标是____________．12．将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序数对(n，m)表示第n排，从左到右第m个数，则表示实数25的有序数对是______________．13．已知点A(－5，0)，B(3，0)，(1)在y轴上找一点C，使之满足S△ABC＝16，求点C的坐标；(2)在平面直角坐标系内找一点C，使之满足S△ABC＝16的点C有多少个这样的点有什么规律．14．若y轴正方向是北，小芳家的坐标为(1，2)，小李家的坐标为(－2，－1)，则小芳家的________________方向．15．如图在平面直角坐标系中A(0，1)，B(2，0)，C(2，1.5)(1)求△ABC的面积；(2)如果在第二象限内有一点P(a，12)，试用含a的式子表示四边形ABOP的面积；(3)在(2)的条件下，是否存在一点P，使得四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图所示，在直角坐标系xOy中，四边形OABC为正方形，其边长为4，有一动点P，自O点出发，以2个单位长度／秒得速度自O→A→B→C→O运动，问何时S△ＰBC＝4并求此时P点的坐标．培优升级奥赛检测01．如果点M(a＋b，ab)在第二象限，那么点N(a，b)在第_____________象限．02．若点A(6－5a，2a－1)．(1)点A在第二象限，求a的取值范围；(2)当a为实数时，点A能否在第三象限，试说明理由；(3)点A能否在坐标原点处为什么03．点P{－12，－[ －|1－12| ]}04．已知点Ａ(2a＋3b，－2)与点B(8，3a＋2b)关于x轴对称，那么a＋b＝__________．05．已知ａ＜０，那么点Ｐ(－a2－2，2－a)关于原点对称的点在第________象限．06．已知点P1(a－1，5)在第一、三象限角平分线上，点P2(2，b－8)在第二、四象限角平分线上，则(－a＋b)2010＝___________．07．无论x为何实数值，点P(x＋1，x－1)都不在第_________象限?08．已知点P的坐标为(2－a，3b＋6)，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P 的坐标为_________．09．若点P(x，y)在第二象限，且|x－1|＝2，|y＋3|＝5，则P点的坐标是__________．10．若点A(2x－3，b－x)在坐标轴夹角的平分线上，且在第二象限，则点A的坐标是__________．11．已知线段AB平行于y轴，若点A的坐标为(－2，3)，且AB＝4，则点B的坐标是__________．12．已知A(－3，2)与点B(x，y)在同一条平行于y轴的直线上，且点B到x轴的距离等于3，求B点的坐标．13．如图，B(2，4)，点D从O→C→B运动，速度为1单位长度／秒．(1)当D在OC上运动时，直线BD能否将长方形ABCD的面积分为1:2两部分，若能，求点D的坐标，若不能，请说明理由；(2)当点D运动到CB上时，经过多长时间△ABD的面积等于14矩形ABCO的面积并求此时D点的坐标．14．已知：A(a－35，2b＋23)，以A点为原点建立平面直角坐标系．AB CDO－2 xy(1)试确定a、b的值；(2)若点B(2a －75，2b＋2m)，且AB所在直线为第二、四象限夹角的平分线，求m的值．第15讲平面直角坐标系（二）考点?方法?破译1．建立适当的平面直角坐标系描述物体的位置.2．了解可以用不同的方式确定物体的位置.3．在同一坐标系中，会用坐标表示平移变换.经典?考题?赏析【例1】在平面直角坐标系中，将点A（－2，3）先向左平移2个单位，再向上平移2个单位后得到B点的坐标是 .【解法指导】在平面直角坐标系中，将点P（x,y）向右或向左平移a个单位，可以得到P’（x+a,y）或P’（x－a,y），将点P（x,y）向上或向下平移b个单位长度，可以得到P’（x,y+b）或P’（x,y－b）.一句话：右、上作加，左、下作减.即B点的坐标为（－4,5），所以B点的坐标为（－4,5）.【变式题组】01．在平面直角坐标系中，将点A（5，－2）先向下平移3个单位，再向右平移2个单位得到点B的坐标是 .02. 在平面直角坐标系中，将点M（3，－4）平移到点N（－1,4），是经过了先向，再向，而得到的.03．点A（－5，－b）经过先向下平移3个单位，再向左平移2个单位长度后得到点B（a,－1），则ab＝ .【例2】△ABC三个顶点坐标分别是A（4,3）B（3,1）C（1,2）⑴将△ABC向右平移1个单位，得到△A1B1C1，再向下平移2个单位长度得到△A2B2C2，求△A2B2C2三个顶点的坐标.⑵将△ABC三个顶点坐标的横坐标都减去5，纵坐标不变得到△A3B3C3，则△A3B3C3与△ABC的大小、形状和位置上有什么关系⑶将△ABC三个顶点坐标的纵坐标都加上5，横坐标不变得到△A4B4C4，则△A4B4C4与△ABC的大小、形状和位置上有什么关系【解法指导】平移后得到的图形与平移前的图形的大小相等，形状相同.解：⑴A2(5,1)B2（4，－1）C2（2,0）；⑵△A3B3C3与△ABC大小相等，形状相同，△A3B3C3是△ABC向左平移5个单位得到的；⑶A4（4,8） B4（3,6） C4（1,7），△A4B4C4与△ABC大小相等，形状相同，△A4B4C4是△ABC向上平移5个单位得到的.【变式题目】01.如图将三角形向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后三个顶点的坐标是（）A．（1,7），（0,2）（3,5） B（1,7），（0,2）（4,5）C（1,7），（2,2）（3,5） D（1,7），（2,2）（3,3）02.将正方形向下平移3个单位长度，再向左平移5个单位长度，所得到的顶点坐标分别是（－1,2），（3,2），（3，－2），（－1，－2），则平移前该正方形的四个顶点的坐标分别为：3.如图所示的直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是：A（0,0）B（6,0）C（5,5）⑴求△ABC的面积；⑵如果将△ABC向上平移1个单位长度，得到△A1B1C1，再向右平移2个单位长度得到△A2B2C2，试求△A2B2C2三个顶点的坐标；⑶试说明△A2B2C2与△ABC的形状、大小有什么关系【例3】在平面直角坐标中，点A（1,2）平移后的坐标A’（－3,3），按照同样的规律平移其它点，则下列哪种变换符合这种规律（）A．（3,2）→（4，－2） B．（－1,0）→（－5，－4）C（2.5，－1/3）→ (－1.5,2/3) D(1.2,5) → (－3.2,6)【解法指导】先仔细分析平移规律：点A（1,2）→A’（－3,3），规律是：横坐标减少4，纵坐标增加1，再依据规律作出正确的判断.【解】依据坐标平移规律，故选C．【变式题组】01．在平面直角坐标系中，点A（－2,3）平移后的坐标为A’（2，－3），按照同样的规律平移（1，－2），得到 .02．线段CD是由线段AB平移得到的,点A(－1,4)的对应点C（4,7），则点B（－4，－1）的对应点D的坐标是 .03．将点P(m－2,n+1),沿x轴负方向平移3个单位长度得到P1（1－m,2）,求点P的坐标.04．平面直角坐标系中，△ABC个顶点的坐标分别是A（6,8），B（－2,0），C（－5，－3），△DEF各顶点的坐标是D （0，3），E（8,11），F（－3,0），请仔细观察这两个三角形各顶点的坐标关系，判断△DEF是不是由△ABC平移得到的如果是请回答平移规律；如果不是，请说明理由.【例4】如图是某市市区几个旅游景点的示意图（图中每个小正方形的边长为1个长度单位），请以某景点为原点，画出直角坐标系，并用坐标表示下列景点的位置.光岳楼金凤广场动物园【解法指导】若以金凤广场为坐标原点O，过点O的水平线为x轴，取向右为正方向；过点O的竖直直线为y轴，取向上为正方向，即可建立平面直角坐标系，各景点坐标的位置就可以表示出来.【解】以金凤广场为坐标原点O，，建立如图所示的直角坐标系.所以：⑴光岳楼（1,1）⑵金凤广场（0,0）；⑶动物园（6,5）.【变式题组】01．如图为某市旅游景点示意图，试以中心广场为坐标原点建立直角坐标系，用坐标表示各个景点的位置.02．如图是传说中的一个藏宝图，藏宝人生前用直角坐标系的方法画了这幅图，现金的寻宝人没有原来的地图，但知道在该图上有两块大石头A(2,1),B(8,2),而藏宝地的坐标是（6,6），试设法在地图上找到藏宝地点.【例5】某村是一个古树名木保护模范村，仅百年以上树龄的古树就有5棵，第一棵古松树在小刚家的院子里，第二棵古松树在小刚家东南方向2000米处，第三棵古松树在小刚家北偏西30?方向1000米处，第四棵古松树在小刚家正东1000米处，第五棵古槐树在小刚家南偏西45?方向1500米处，请你画图表示这五棵古树的位置.【解法指导】以小刚家为坐标原点，水平线为x轴，正东方向为正方向，取竖直线为y轴，正北方向为正方向建立平面直角坐标系，再根据这五棵树的方位和数量关系即可确定它们的位置.【解】以小刚家为坐标原点，水平线为x轴，正东方向为正方向，取竖直线为y 轴，正北方向为正方向建立平面直角坐标系，比列尺为1:50000，即1厘米表示500米.那么五棵数的位置如图所示.【变式题组】01．如图，为一公园内运动园的平面示意图：A为孔雀园，B为猴山，C为鹦鹉园，D为天鹅园，E为熊猫园，F为师虎园.现以孔雀园来说：⑴猴山在孔雀园的北偏东多少度的方向上要想确定猴山的位置，还需要什么数据⑵与孔雀园距离相等的有几个园它们是什么园⑶要确定狮虎园的位置还需要几个数据请借助刻度尺、量角器，说出狮虎园距鹦鹉园的位置【例6】如图，早直角坐标系中，第一次将∆OAB变换成∆OA1B1，第二次将∆OA1B1变换成∆OA2B2，第三次将∆OA2B2变换成∆OA3B3，已知A（1,3），A1（2,3），A2（4,3）A3（8,3），B（2,0），B1（4,0），B2（8，0），B3（16,0）.⑴观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再次将∆OA3B3变换成∆OA4B4，则A4的坐标是，B4的坐标是；⑵若按⑴题找到的规律，将∆OAB进行了n次变换，得到∆OAnBn,推测An的坐标是，Bn的坐标是 .【解法指导】此题为猜想题，解这类题一般步骤是：⑴＜1＞观察：高清观察的对象；＜2＞分析：分析个数之间的关系，如：和、倍、分等数量关系；＜3＞对比：在分析个数据的情况下，找出个数据之间的区别和联系，为归纳作准备；＜4＞归纳：将观察、分析、对比得出的结论用文字或数学式子表示出来；⑵这种数学方法是从特殊到一半的思想方法.分析：观察图形，可知An 的横坐标是2n,而Bn的横坐标是按2n+1变化的. 解：⑴A4(16,3),B4(32,0);An(2n,3),Bn(2n+1,0).【变式题组】01.（菏泽.淄博）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点，观察图中每一个正方形（实线）四条边上的整点的个数，请你猜想由里向外第10个正方形（实线）四条边上的整点个数共有个.【例7】如图所示，在平面直角坐标系中，将坐标为（0,0), (5,0),(4,3), (1,3), (0,0),的点用线段依次连接起来形成一个图案，不画图形，回答下列问题.若每个点的横坐标保持不变，纵坐标变成原来的2倍，将所得各点用线段依次连接起来，那么所得的图案与原来图案相比有什么变化若横坐标保持不变，纵坐标分别加2呢若纵坐标保持不变，横坐标分别加2呢若横坐标保持不变，纵坐标分别乘－1呢若纵坐标保持不变，横坐标分别乘－1呢【解法指导】⑴所得图案与原图案相比，图案横向未变，纵向被拉长为原来的2倍；⑵所得图案与原图案相比，图案的形状、大小未发生改变，它被向上纵向平移了2个单位；⑶所得图案与原图案相比，图案的形状、大小未发生改变，它被向右横向平移了2个单位；⑷所得图案与原图案相比，新图案与原图案关于x轴成轴对称.⑸所得图案与原图案相比，新图案与原图案关于y轴成轴对称.欲解此题，只要充分利用图形上点的坐标变化与图形的形状变化之间关系的规律即可. 演练巩固反馈提高01．将三角形ABC各顶点的横坐标不变，而纵坐标分别加4，连接三个点所得到三角形是三角形ABC（）A．向左平移4个单位得到 B．向上平移4个单位得到C．向右平移4个单位得到 D．向下平移4个单位得到02. 将三角形ABC各顶点的纵坐标不变，横坐标分别减5，连接三个点所得到三角形是由三角形ABC（）A．向左平移5个单位得到 B．向右平移5个单位得到C．向上平移5个单位得到 D．向下平移5个单位得到03.（日照市）在平面直角坐标系中，把点P(－2,1)向右平移一个单位，则得到的对应点P’的坐标是（）A．（－2,2） B．（－1,1） C．（－3,1） D．（－2,0）04．如右图，将三角形向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后三个顶点的坐标是（）A．（2,2），（3,4），（1,7） B．（－2,2），（4,3），（1,7）C．（－2,2），（－5,－3），（0,－1）D．（－2,2），（－5,3），（0，－1）05．利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程如下⑴根据具体问题确定适当的单位长度；⑵建立平面直角坐标系；⑶在平面直角坐标系内画出各点.其中顺序正确的是（）A．⑴，⑵，⑶ B．⑵，⑴，⑶C．⑶，⑴，⑵ D．⑴，⑶，⑵06．如图，图是由图1经过变换得到的，下列说法中错误的是（）A．将图1先向右平移4个单位，再向上平移6个单位得到图2 B．将图1先向上平移6个单位，再向右平移4个单位得到图2C．将图1先向上平移6个单位后，再沿y轴翻折180?可得到图2D．将图1先向右平移4个单位后，再沿x轴翻折180?可得到图207．在象棋中，“马走斜”是指“马”从“日”的一个顶点沿着对角线走向另一个顶点，图中“马”现在的位置用（6,2）表示，要想“马”走现在“帅”的位置（如图），至少需要步，写出“马”所走的路线（只要写出一种） .。
学而思初二数学上册培优辅导讲义(人教出版)
第1讲 与相交有关概念及平行线的判定 考点·方法·破译1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行.2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们.3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系. 经典·考题·赏析【例1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，一共构成哪几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？ 【解法指导】⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线. ⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线. 有6对对顶角. 12对邻补角. 【变式题组】01．如右图所示，直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ，则：⑴∠ARC 的对顶角是 . 邻补角是 .⑵中有几对对顶角，几对邻补角？02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角； 当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角； 当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角.问：当有100条直线相交于一点时共有 对顶角. 【例２】如图所示，点O 是直线AB 上一点，OE 、OF 分别平分∠BOC 、 ∠AOC ．⑴求∠EOF 的度数； ⑵写出∠BOE 的余角及补角.【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解；【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC ＝21∠BOC ，∠FOCABCDEF AB CDEFPQRA BCEF＝21∠AOC ∴∠EOF ＝∠EOC ＋∠FOC ＝21∠BOC ＋21∠AOC ＝()AOC BOC ∠+∠21 又∵∠BOC ＋∠AOC ＝180° ∴∠EOF ＝21×180°＝90° ⑵∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；∠BOE 的补角是：∠AOE. 【变式题组】01．如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，且∠EOC ＝100°，则∠BOD 的度数是（ ）A ．20°B ． 40°C ．50°D ．80°02．（杭州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝ .【例３】如图，直线l1、l2相交于点O ，A 、B 分别是l1、l2上的点，试用三角尺完成下列作图：⑴经过点A 画直线l2的垂线. ⑵画出表示点B 到直线l1的垂线段.【解法指导】垂线是一条直线，垂线段是一条线段. 【变式题组】01．P 为直线l 外一点，A 、B 、C 是直线l 上三点，且PA ＝4cm ，PB ＝5cm ，PC ＝6cm ，则点P 到直线l 的距离为（ ）A ．4cmB ．5cmC ．不大于4cmD ．不小于6cm02 如图，一辆汽车在直线形的公路AB 上由A 向B 行驶，M 、N 为位于公路两侧的村庄；⑴设汽车行驶到路AB 上点P 的位置时距离村庄M 最近.行驶到AB 上点Q 的位置时，距离村庄N 最近，请在图中的公路上分别画出点P 、Q 的位置.EA ACDO（第1题图）1 432（第2题图）2⑵当汽车从A出发向B行驶的过程中，在的路上距离M村越来越近..在的路上距离村庄N越来越近，而距离村庄Ｍ越来越远.【例４】如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，OF⊥AB，∠DOF＝65°，求∠BOE和∠AOC的度数.【解法指导】图形的定义现可以作为判定图形的依据，也可以作为该图形具备的性质，由图可得：∠AOF＝90°，OF⊥AB．【变式题组】01．如图，若EO⊥AB于O，直线CD过点O，∠EOD︰∠EOB＝1︰3，求∠AOC、∠AOE的度数.02．如图，O为直线AB上一点，∠BOC＝3∠AOC，OC平分∠AOD．⑴求∠AOC的度数；⑵试说明OD与AB的位置关系.03．如图，已知AB⊥BC于B，DB⊥EB于B，并且∠CBE︰∠ABD＝1︰2，请作出∠CBE的对顶角，并求其度数.FBAOC DEC DBAEOB ACDOABAED【例５】如图，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的，并说出它们的名称：∠1和∠2：∠1和∠3：∠1和∠6：∠2和∠6：∠2和∠4：∠3和∠5：∠3和∠4：【解法指导】正确辩认同位角、内错角、同旁内角的思路是：首先弄清所判断的是哪两个角，其次是找到这两个角公共边所在的直线即截线，其余两条边所在的直线就是被截的两条直线，最后确定它们的名称.【变式题组】01．如图，平行直线AB、CD与相交直线EF，GH相交，图中的同旁内角共有（）A．4对B． 8对C．12对D．16对CFEBAD142 3 65A BDCHＧEF02．如图，找出图中标出的各角的同位角、内错角和同旁内角.03．如图，按各组角的位置判断错误的是（ ） A ．∠1和∠2是同旁内角 B ．∠3和∠4是内错角 C ．∠5和∠6是同旁内角 D ．∠5和∠7是同旁内角【例６】如图，根据下列条件，可推得哪两条直线平行？并说明理由• ⑴∠CBD ＝∠ADB ； ⑵∠BCD ＋∠ADC ＝180° ⑶∠ACD ＝∠BAC【解法指导】图中有即即有同旁内角，有“ ”即有内错角.【解法指导】⑴由∠CBD ＝∠ADB ，可推得AD ∥BC ；根据内错角相等，两直线平行.⑵由∠BCD ＋∠ADC ＝180°，可推得AD ∥BC ；根据同旁内角互补，两直线平行. ⑶由∠ACD ＝∠BAC 可推得AB ∥DC ；根据内错角相等，两直线平行. 【变式题组】 01．如图，推理填空.⑴∵∠A ＝∠ （已知） ∴AC ∥ED （ ） ⑵∵∠C ＝∠ （已知） ∴AC ∥ED （ ）⑶∵∠A ＝∠ （已知） ∴AB ∥DF （ ）02．如图，AD 平分∠BAC ，EF 平分∠DEC ，且∠1＝∠2，试说明DE 与AB 的位7 1 5 6 8 4 1 2 乙丙 3 23 4 5 61 23 4甲1 A BC2 3 4567 ABCDOABDEF置关系.解：∵AD 是∠BAC 的平分线（已知） ∴∠BAC ＝2∠1（角平分线定义） 又∵EF 平分∠DEC （已知）∴ （ ） 又∵∠1＝∠2（已知）∴ （ ） ∴AB ∥DE （ ）03．如图，已知AE 平分∠CAB ，CE 平分∠ACD ．∠CAE ＋∠ACE ＝90°，求证：AB ∥CD ．04．如图，已知∠ABC ＝∠ACB ，BE 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ，∠EBF ＝∠EFB ，求证：CD ∥EF.【例７】如图⑴，平面内有六条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中，至少有一个角小于31°.ABCDEA BCE 12ABCDEFl 1l 2l 3 l 4l 5l 6图⑴l 1l 2 l 3l 4l 5l 6图⑵【解法指导】如图⑵，我们可以将所有的直线移动后，使它们相交于同一点，此时的图形为图⑵.证明：假设图⑵中的12个角中的每一个角都不小于31°则12×31°＝372°＞360°这与一周角等于360°矛盾所以这12个角中至少有一个角小于31°【变式题组】01．平面内有18条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中至少有一个角小于11°.02．在同一平面内有2010条直线a1,a2,…，a2010,如果a1⊥a2,a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5……那么a1与a2010的位置关系是 .03．已知n（n＞2）个点P1，P2，P3…Pn.在同一平面内没有任何三点在同一直线上，设Sn表示过这几个点中的任意两个点所作的所有直线的条数，显然：S2＝1，S3＝3，S4＝6，∴S5＝10…则Sn＝ .演练巩固·反馈提高01．如图，∠EAC＝∠ADB＝90°.下列说法正确的是（）A．α的余角只有∠B B．α的邻补角是∠DACC ．∠ACF 是α的余角D ．α与∠ACF 互补02．如图，已知直线AB 、CD 被直线EF 所截，则∠EMB 的同位角为（ ） A ．∠AMF B ．∠BMFC ．∠ENCD ．∠END03．下列语句中正确的是（ ） A ．在同一平面内，一条直线只有一条垂线 B ．过直线上一点的直线只有一条C ．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条D ．垂线段就是点到直线的距离04．如图，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，则下列结论中，正确的个数有（ ） ①AB ⊥AC ②AD 与AC 互相垂直 ③点C 到AB 的垂线段是线段AB ④线段AB 的长度是点B 到AC 的距离 ⑤垂线段BA 是点B 到AC 的距离 ⑥AD ＞BD A ．0 B ．2 C ．4 D ．605．点A 、B 、C 是直线l 上的三点，点P 是直线l 外一点，且PA ＝4cm ，PB ＝5cm ，PC ＝6cm ，则点P 到直线l 的距离是（ ）A ．4cmB ．5cmC ．小于4cmD ．不大于4cm06．将一副直角三角板按图所示的方法旋转（直角顶点重合），则∠AOB ＋∠DOC ＝ .07．如图，矩形ABCD 沿EF 对折，且∠DEF ＝72°，则∠AEG ＝ . 08．在同一平面内，若直线a1∥a2,a2⊥a3,a3∥a4,…则a1 a10.（a1与a10不重合）09．如图所示，直线a 、b 被直线c 所截，现给出下列四个条件：①∠1＝∠5，②∠1＝∠7，③∠2＋∠3＝180°，④∠4＝∠7，其中能判断a ∥b 的条件的序号ABCDOABCDEF G Habc第6题图第7题图第9题图12 3 4 5 6 7 81A E BCF DAB C DFEMNα第1题图 第2题图ABDC第4题图是 .10．在同一平面内两条直线的位置关系有 . 11．如图，已知BE 平分∠ABD ，DE 平分∠CDB ，且∠E ＝∠ABE ＋∠EDC ．试说明AB ∥CD ？12．如图，已知BE 平分∠ABC ，CF 平分∠BCD ，∠1＝∠2，那么直线AB 与CD 的位置关系如何？13．如图，推理填空：⑴∵∠A ＝ （已知） ∴AC ∥ED （ ） ⑵∵∠2＝ （已知）∴AC ∥ED （ ） ⑶∵∠A ＋ ＝180°（已知）∴AB ∥FD ．14．如图，请你填上一个适当的条件 使AD ∥BC ．ACD EBABCD EF12 AB CDEF第14题图培优升级·奥赛检测01．平面图上互不重合的三条直线的交点的个数是（）A．1，3 B．0，1，3 C．0，2，3 D．0，1，2，302．平面上有10条直线，其中4条是互相平行的，那么这10条直线最多能把平面分成（）部分.A．60 B．55 C．50 D．4503．平面上有六个点，每两点都连成一条直线，问除了原来的6个点之外，这些直线最多还有（）个交点.A．35 B．40 C．45 D．5504．如图，图上有6个点，作两两连线时，圆内最多有__________________交点.05．如图是某施工队一张破损的图纸，已知a、b是一个角的两边，现在要在图纸上画一条与这个角的平分线平行的直线，请你帮助这个施工队画出这条平行线，并证明你的正确性.a b06．平面上三条直线相互间的交点的个数是（）A．3 B．1或3 C．1或2或3 D．不一定是1，2，3 07．请你在平面上画出6条直线（没有三条共点）使得它们中的每条直线都恰好与另三条直线相交，并简单说明画法？08．平面上有10条直线，无任何三条交于一点，要使它们出现31个交点，怎么安排才能办到？09．如图，在一个正方体的2个面上画了两条对角线AB、AC，那么两条对角线的夹角等于（）A．60°B．75°C．90°D．135°10．在同一平面内有9条直线如何安排才能满足下面的两个条件？⑴任意两条直线都有交点；⑵总共有29个交点.第13讲平行线的性质及其应用考点·方法·破译1．掌握平行线的性质，正确理解平行线的判定与性质定理之间的区别和联系；2．初步了解命题，命题的构成，真假命题、定理；3．灵活运用平行线的判定和性质解决角的计算与证明，确定两直线的位置关系，感受转化思想在解决数学问题中的灵活应用.经典·考题·赏析【例１】如图，四边形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，∠A＝38°，求∠A BCC 的度数. 【解法指导】两条直线平行，同位角相等； 两条直线平行，内错角相等； 两条直线平行，同旁内角互补.平行线的性质是推导角关系的重要依据之一，必须正确识别图形的特征，看清截线，识别角的关系式关键. 【解】：∵AB ∥CD BC∥AD∴∠A ＋∠B ＝180° ∠B ＋∠C ＝180°(两条直线平行，同旁内角互补)∴∠A ＝∠C∵∠A ＝38° ∴∠C ＝38°【变式题组】01．如图，已知AD ∥BC ，点E 在BD 的延长线上，若∠ADE ＝155°，则∠DBC的度数为（ ）A ．155°B ．50°C ．45°D ．25°02．（安徽）如图，直线l1 ∥ l2,∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为（ ） A ． 50° B ． 55° C ． 60° D ．65°03．如图，已知FC ∥AB ∥DE ，∠α：∠D ：∠B ＝2: 3: 4, 试求∠α、∠D 、∠B 的度数.【例２】如图，已知AB ∥CD ∥EF ，GC ⊥CF ，∠B ＝60°，∠EFC ＝45°，求∠BCG 的度数.【解法指导】平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和角平分线相结合，可求各种位置的角的度数，但注意看清角的位EAFG D CB置.【解】∵AB ∥CD ∥EF ∴∠B ＝∠BCD ∠F ＝∠FCD(两条直线平行，内错角相等)又∵∠B ＝60° ∠EFC ＝45° ∴∠BCD ＝60° ∠FCD ＝45° 又∵GC ⊥CF ∴∠GCF ＝90°（垂直定理） ∴∠GCD ＝90°－45°＝45° ∴∠BCG ＝60°－45°＝15°【变式题组】01．如图，已知AF ∥BC, 且AF 平分∠EAB ，∠B ＝48°，则∠C 的的度数＝_______________02.如图,已知∠ABC ＋∠ACB ＝120°，BO 、CO 分别∠ABC 、∠ACB ，DE 过点O 与BC 平行，则∠BOC ＝___________03．如图，已知AB ∥ MP ∥CD, MN 平分∠AMD ，∠A ＝40°，∠D ＝50°，求∠NMP 的度数.【例３】如图，已知∠1＝∠2，∠C ＝∠D ． 求证：∠A ＝∠F. 【解法指导】 因果转化，综合运用.逆向思维：要证明∠A ＝∠F ，即要证明DF ∥AC ． 要证明DF ∥AC, 即要证明∠D ＋∠DBC ＝180°， 即：∠C ＋∠DBC ＝180°；要证明∠C ＋∠DBC ＝180°即要证明DB ∥EC ． 要证明DB ∥EC 即要 证明∠1＝∠3. 证明：∵∠1＝∠2，∠2＝∠3（对顶角相等）所以∠1＝∠3 ∴DB ∥EC （同位角相等•两直线平行）∴∠DBC ＋∠C ＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠C ＝∠D ∴∠DBC ＋∠D ＝180° ∴DF ∥AC（同旁内角，互补两直线平行）∴∠A ＝∠F （两直线平行，内错角相等）【变式题组】ABC DOE FAEBC （第1题图）（第2题图）BAMCDN P （第3题图）CD ABE F1 32 B3 C A1D2 FDA 2 E 1BC 01．如图，已知AC ∥FG ，∠1＝∠2，求证：DE ∥FG02．如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B ． 求证：∠AED ＝∠ACB03．如图，两平面镜α、β的夹角θ，入射光线AO 平行 于β入射到α上，经两次反射后的出射光线O ′B 平行 于α，则角θ等于_________.【例４】如图，已知EG ⊥BC ，AD ⊥BC ，∠1＝∠3. 求证：AD 平分∠BAC ．【解法指导】抓住题中给出的条件的目的，仔细分析条件给我们带来的结论，对于不能直接直接得出结论 的条件，要准确把握住这些条件的意图.（题目中的：∠1＝∠3） 证明：∵EG ⊥BC ，AD ⊥BC ∴∠EGC ＝∠ADC ＝90°（垂直定义）∴EG ∥AD （同位角相等，两条直线平行） ∵∠1＝∠3 ∴∠3＝∠BAD （两条直线平行，内错角相等） ∴AD 平分∠BAC （角平分线定义）AE ⊥BC 于E ，∠1＝∠2，求证：DC ⊥BC ．A 2C F 3 ED 1B（第2题图）31A BGDCEB FEACD02．如图，在△ABC中，CE⊥AB于E,DF⊥AB于F, AC∥ED，CE平分∠ACB．求证：∠EDF＝∠BDF.3．已知如图，AB∥CD，∠B＝40°，CN是∠BCE的平分线. CM⊥CN，求：∠BCM 的度数.【例５】已知，如图，AB∥EF，求证：∠ABC＋∠BCF＋∠CFE＝360°ADMCNEBαβ P BC DA∠P ＝α＋β3 21γ 4 ψ Dα βEB CAFH【解法指导】从考虑360°这个特殊角入手展开联想，分析类比， 联想周角.构造两个“平角”或构造两组“互补”的角. 过点C 作CD ∥AB 即把已知条件AB ∥EF 联系起来，这是关键. 【证明】：过点C 作CD ∥AB ∵CD ∥AB ∴∠1＋∠ABC ＝180° (两直线平行，同旁内角互补) 又∵AB ∥EF ，∴CD ∥EF （平行于同一条直线的两直线平行） ∴∠2＋∠CFE ＝180°(两直线平行，同旁内角互补) ∴∠ABC ＋∠1＋∠2＋∠CFE ＝180°＋180°＝360°即∠ABC ＋∠BCF ＋∠CFE ＝360°【变式题组】01．如图，已知，AB ∥CD ，分别探究下面四个图形中∠APC 和∠PAB 、∠PCD 的关系，请你从所得四个关系中选出任意一个，说明你探究的结论的正确性.结论：⑴____________________________ ⑵____________________________⑶____________________________ ⑷____________________________【例６】如图，已知，AB ∥CD ，则∠α、∠β、∠γ、∠ψ之间的关系是∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝180°【解法指导】基本图形善于从复杂的图形中找到基本图形，运用基本图形的规律打开思路.【解】过点E 作EH ∥AB ． 过点F 作FG ∥AB ． ∵AB ∥EH ∴∠α＝∠1（两直线平行，内错角相等）又∵FG ∥AB ∴EH ∥FG （平行于同一条直线的两直线平行）∴∠2＝∠3 又∵AB ∥CD ∴FG ∥CD （平行于同一条直线的两直线平行）∴∠ψ＋∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝∠1＋∠3＋∠4－ψ－∠1－∠2＝∠4＋ψ＝180° 【变式题组】BAPCA C CDAAPCBD PBPDBD⑴⑵⑶⑷FED21 A B CFγ Dα β EB CAF DEB CA BCAA′lB ′C′ 01．如图， AB ∥EF ，∠C ＝90°，则∠α、∠β、∠γ的关系是（ ） A ． ∠β＝∠α＋∠γ B ．∠β＋∠α＋∠γ＝180° C ． ∠α＋∠β－∠γ＝90° D ．∠β＋∠γ－∠α＝90°02．如图，已知，AB ∥CD ，∠ABE 和∠CDE 的平分线相交于点F ，∠E ＝140°，求∠BFD 的度数.【例７】如图，平移三角形ABC ，设点A 移动到点A/，画出平移后的三角形A/B/C/. 【解法指导】抓住平移作图的“四部曲”——定，找，移，连. ⑴定：确定平移的方向和距离.⑵找：找出图形的关键点.⑶移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点. ⑷连: 按原图形顺次连接对应点.【解】①连接AA/ ②过点B 作AA/的平行线l ③在l 截取BB/＝AA/,则点B/就是的B 对应点，用同样的方法作出点C 的对应点C/.连接A/B/，B/C/，C/A/就得到平移后的三角形A/B/C/. 【变式题组】01．如图，把四边形ABCD 按箭头所指的方向平移21cm ，作出平移后的图形.02．如图,已知三角形ABC 中，∠C ＝90°, BC ＝4，AC ＝4，现将西B 30° A北东南△ABC 沿CB 方向平移到△A/B/C/的位置，若平移距离为3, 求△ABC 与△A/B/C/的重叠部分的面积.03．原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着BC 方向平移BE 的距离，就得到此图形，求阴影部分的面积.（单位：厘米）演练巩固 反馈提高01．如图，由A 测B 得方向是（ ） A ．南偏东30°B ．南偏东60°C ．北偏西30°D ．北偏西60°02．命题：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两直线平行；④平行于同一条直线的两直线垂直.其中的真命题的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个03．一个学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，两次拐弯的角度可能是（ ）A ．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°B ．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°C ．第一次向左拐50°，第二次向右拐130°D ．第一次向左拐60°，第二次向左拐120°04．下列命题中，正确的是（ ）A ．对顶角相等B ． 同位角相等C ．内错角相等D ．同旁内角互补05．学习了平行线后，小敏想出过直线外一点画这条直线的平行线的新方法，是通过折一张半透明的纸得到的[如图⑴—⑷]B B /AA /C C /从图中可知，小敏画平行线的依据有（）①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行.A．①②B．②③C．③④D．①④06．在A、B两座工厂之间要修建一条笔直的公路，从A地测得B地的走向是南偏东52°.现A、B两地要同时开工，若干天后，公路准确对接，则B地所修公路的走向应该是（）A．北偏东52°B．南偏东52°C．西偏北52°D．北偏西38°07．下列几种运动中属于平移的有（）①水平运输带上的砖的运动；②笔直的高诉公路上行驶的汽车的运动（忽略车轮的转动）；③升降机上下做机械运动；④足球场上足球的运动.A．1种B．2种C．3种D．4种08．如图，网格中的房子图案正好处于网格右下角的位置.平移这个图案，使它正好位于左上角的位置（不能出格）09．观察图，哪个图是由图⑴平移而得到的（）10．如图，AD∥BC，AB∥CD，AE⊥BC，现将△ABE进行平移. 平移方向为射线AD的方向. 平移距离为线段BC的长，则平移得到的三角形是图中（）图的阴P.P.P.P.⑴⑵⑶⑷150° 120°DBCE湖影部分.11．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例.⑴对顶角是相等的角；⑵相等的角是对顶角；⑶两个锐角的和是钝角；⑷同旁内角互补，两直线平行.12．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出命题的真假.⑴互补的角是邻补角；⑵两个锐角的和是锐角；⑶直角都相等.13．如图，在湖边修一条公路.如果第一个拐弯处∠A ＝120°，第二个拐弯处∠B ＝150°，第三个拐弯处∠C ，这时道路CE 恰好和道路AD 平行，问∠C 是多少度？并说明理由.43 2 1 ABEF C D4P 231AB E F CD14．如图，一条河流两岸是平行的，当小船行驶到河中E 点时，与两岸码头B 、D 成64°角. 当小船行驶到河中F 点时，看B 点和D 点的视线FB 、FD 恰好有∠1＝∠2，∠3＝∠4的关系. 你能说出此时点F 与码头B 、D 所形成的角∠BFD 的度数吗？15．如图，AB ∥CD ，∠1＝∠2，试说明∠E 和∠F 的关系.培优升级·奥赛检测01．如图，等边△ABC 各边都被分成五等分，这样在△ABC 内能与△DEF 完成重合的小三角形共有25个，那么在△ABC 内由△DEF 平移得到的三角形共有（ ）个02．如图，一足球运动员在球场上点A 处看到足球从B 点沿着BO 方向匀速滚来，运动员立即从A 处以匀速直线奔跑前去拦截足球.若足球滚动的速度与该运动员. A04．如图是图形的操作过程（五个矩形水平方向的边长均为a，竖直方向的边长为b）；将线段A1A2向右平移1个单位得到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1 [即阴影部分如图⑴];将折现A1A2 A3向右平移1个单位得到B1B2B3，得到封闭图形A1A2 A3B3B2B1 [即阴影部分如图⑵];⑴在图⑶中，请你类似地画出一条有两个折点的直线，同样的向右平移1个单位，从而得到1个封闭图形，并画出阴影.⑵请你分别写出上述三个阴影部分的面积S1＝________, S2＝________, S3＝________.⑶联想与探究：如图⑷，在一矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路在任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分草地面积是05．一位模型赛车手遥控一辆赛车，先前进一半，然后原地逆时针旋转α°（0°＜α°＜180°），被称为一次操作，若5次后发现赛车回到出发点，则α°角为（）A．720°B．108°或144°C．144°D．720°或144°06．两条直线a、b互相平行，直线a上顺次有10个点A1、A2、…、A10，直线b上顺次有10个点B1、B2、…、B9，将a上每一点与b上每一点相连可得线段.若没有三条线段相交于同一点，则这些选段的交点个数是（）A．90 B．1620 C．6480 D．200607．如图，已知AB∥CD，∠B＝100°，EF平分∠BEC，EG⊥EF. 求∠BEG和∠DEG.FEBACGD08．如图，AB ∥CD ，∠BAE ＝30°，∠DCE ＝60°，EF 、EG 三等分∠AEC ． 问：EF 与EG 中有没有与AB 平行的直线？为什么？09．如图，已知直线CB ∥OA ，∠C ＝∠OAB ＝100°，E 、F 在CB 上，且满足∠FOB ＝∠AOB ，OE 平分∠COF.⑴求∠EOB 的度数；⑵若平行移动AB ，那么∠OBC ：∠OFC 的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值.⑶在平行移动AB 的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC ＝∠OBA ？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由.10．平面上有5条直线，其中任意两条都不平行，那么在这5条直线两两相交所成的角中，至少有一个角不超过36°,请说明理由.11．如图，正方形ABCD 的边长为5,把它的对角线AC 分成n 段，以每一小段为FEBACGD 100°FEBACOA B对角线作小正方形，这n个小正方形的周长之和为多少？12．如图将面积为a2的小正方形和面积为b2的大正方形放在一起，用添补法如何求出阴影部分面积？第06讲实数考点·方法·破译1．平方根与立方根：若2x＝a(a≥0)则x叫做a的平方根，记为：a的平方根为x a的平方根为x叫做a的算术平方根．若x3＝a，则x叫做a的立方根．记为：a的立方根为x．2．无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称实数．实数与数轴上的点一一对应．任何有理数都可以表示为分数pq（p、q是两个互质的整数，且q≠0）的形式．3非负数：实数的绝对值，实数的偶次幂，非负数的算术平方根（或偶次方根）都是非负数．即a>0，2na≥0（n为正整数）0(a≥0) ．经典·考题·赏析【例1】若2m－4与3m－1是同一个数的平方根，求m的值．【解法指导】一个正数的平方根有两个，并且这两个数互为相反数．∵2m −4与3m−l是同一个数的平方根，∴2m−4 ＋3m−l＝0，5m＝5，m＝l．【变式题组】01．一个数的立方根与它的算术平方根相等，则这个数是____．02．已知m的最大整数，则m的平方根是____．03____．04．如图，有一个数值转化器，当输入的x为64时，输出的y是____．【例2】（全国竞赛）已知非零实数a、b满足24242a b a-++=，则a＋b等于( )A．－1 B．0 C．1 D．2【解法指导】若有意义，∵a、b为非零实数，∴b2>0∴a－3≥0 a ≥3∵24242 a b a-++=∴24242a b a-+++=，∴20b++=．∴()22030ba b+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，∴32ab=⎧⎨=-⎩，故选C．【变式题组】0l3b+＝0成立，则ab＝____．02()230b-=，则ab的平方根是____．03．（天津）若x、y为实数，且20x+=，则2009xy⎛⎫⎪⎝⎭的值为（）A．1 B．－1 C．2 D．－204．已知x1xπ-的值是( )A．11π-B．11π+C．11π-D．无法确定【例3】若a、b都为有理效，且满足1a b-+=+a＋b的平方根．【解法指导】任何两个有理数的和、差、积、商（除数不为0）还是有理数，但两个无理数的和、差、积、商（除数不为0）不一定是无理数．∵1a b-+=+∴1a b-=⎧⎪=1a b-=⎧⎪=，∴1312ab=⎧⎨=⎩，a ＋b＝12 ＋13＝25．∴a＋b的平方根为：5==±．【变式题组】01．（西安市竞赛题）已知m、n2）m＋(3－＋7＝0求m、n．02．（希望杯试题）设x、y都是有理数，且满足方程（123π+）x＋（132π+）y−4−π＝0，则x−y＝____．【例4】若a−2的整数部分，b−1是9的平方根，且a b b a-=-，求a＋b的值．−2＝整数部分＋小数部分．整数部分估算可得2−2 −24．∵a＝2，b−1＝±3 ，∴b＝－2或4∵a b b a-=-．∴a<b ，∴a＝2，b＝4，即a＋b＝6．【变式题组】01．若3a，3的小数部分是b，则a＋b的值为____．02a，小数部分为ba）·b＝____．演练巩固反馈提高0l．下列说法正确的是( )A．－2是(－2)2的算术平方根B．3是－9的算术平方根C．16的平方根是±4 D．27的立方根是±302．设a=b＝－2，2c=-，则a、b、c的大小关系是( )A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．c<a<b03．下列各组数中，互为相反数的是( )A．－9与81的平方根B．4与C．4D．304．在实数1.414，2-，0.1•5•，5−16，π，3.1•4•，83125中无理数有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ． 5个05．实数a 、b 在数轴上表示的位置如图所示，则( ) A ．b>a B ．a b>C ． －a ＜bD ．－b>a06．现有四个无理数5，6，7，8，其中在2＋1与3＋1之间的有( )A ． 1个B ．2个C ． 3个D ．4个07．设m 是9的平方根，n ＝()23．则m ，n 的关系是( )A. m ＝±nB.m ＝n C .m ＝－n D.m n≠08．（烟台）如图，数轴上 A 、B 两点表示的数分别为－1和3，点B 关于点A的对称点C ，则点C 所表示的数为( )A ．－23-B ．－13-C ．－2 ＋3D ．l ＋309．点A 在数轴上和原点相距5个单位，点B 在数轴上和原点相距3个单位，且点B 在点A 左边，则A 、B 之间的距离为____．10．用计算器探索：已知按一定规律排列的一组数：1，12，13…，119，120．如果从中选出若干个数，使它的和大于3，那么至少要选____个数． 11．对于任意不相等的两个数a 、b ，定义一种运算※如下：a ※b ＝a ba b +-，如3※2＝3232+-＝5．那么12.※4＝____．12．（长沙中考题）已知a 、b 为两个连续整数，且a<7 <b ，则a ＋b ＝____．13．对实数a 、b ，定义运算“*”，如下a*b ＝()()22a b a b ab a b ⎧⎪⎨⎪⎩≥<，已知3*m ＝36，则实数m＝____．14．设a是大于1的实数．若a，23a+，213a+在数轴上对应的点分别是A、B、C，则三点在数轴上从左自右的顺序是____．15.如图，直径为1的圆与数轴有唯一的公共点P．点P表示的实数为－1．如果该圆沿数轴正方向滚动一周后与数轴的公共点为P′，那么点P′所表示的数是____．16．已知整数x、y满足x＋2y＝50，求x、y．17．已知2a−1的平方根是±3，3a＋b−1的算术平方根是4，求a＋b＋1的立方根．18．小颖同学在电脑上做扇形滚动的游戏，如图有一圆心角为60°，半径为1个单位长的扇形放置在数轴上，当扇形在数轴上做无滑动的滚动时，当B点恰好落在数轴上时，(1)求此时B点所对的数；(2)求圆心O移动的路程．19．若b＝315a-＋153a-＋3l，且a＋11的算术平方根为m，4b＋1的立方根为n，求（mn−2）(3mn ＋4)的平方根与立方根．20．若x、y为实数，且（x−y＋1）2的值．培优升级奥赛检测01．（荆州市八年级数学联赛试题）一个正数x的两个平方根分别是a＋1与a−3，则a值为( )A．2 B．－1 C．1 D．002．的最小值是( )A．0 B．1C．1 D．203−2的最小值为____．04．设a、b为有理数，且a、b满足等式a2＋3b＋＝21−a＋b ＝____．05．若a b-＝1，且3a＝4b，则在数轴上表示a、b两数对应点的距离为____．06．已知实数a满足2009a a-=，则a−20092＝_______．m满足关系式199y x=--，试确定m的值．08．（全国联赛）若a 、b满足5b＝7，S＝3b，求S 的取值范围．09．（北京市初二年级竞赛试题）已知0<a<1，并且123303030a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦2830a ⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦2930a ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦18=，求[10a]的值[其中[x]表示不超过x 的最大整数] ．10．（北京竞赛试题）已知实数a、b、x、y满足y＋21a=-，231x y b-=--，求22x y a b+++的值．第14讲平面直角坐标系（一）考点．方法．破译1．认识有序数对，认识平面直角坐标系．2．了解点与坐标的对应关系．3．会根据点的坐标特点，求图形的面积．经典．考题．赏析【例1】在坐标平面内描出下列各点的位置．A(2，1)，B(1，2)，C(－1，2)，D(－2，－1)，E(0，3)，F(－3，0)【解法指导】从点的坐标的意义去思考，在描点时要注意点的坐标的有序性．【变式题组】01．第三象限的点P(x，y)，满足|x|＝5,2x＋|y|＝1，则点P得坐标是_____________．02．在平面直角坐标系中，如果m.n＞０，那么（m, |n|）一定在____________象限.03．指出下列各点所在的象限或坐标轴．A(－3，0)，B(－2，－13)，C(2，12)，D(0,3)，E(π－3.14，3.14－π)【例2】若点P(a，b)在第四象限，则点Q(―a，b―1)在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解法指导】∵P(a，b)在第四象限，∴a＞0，b＜0，∴－a＜0, b－１＜0,故选C．【变式题组】01．若点G(a，2－a)是第二象限的点，则a的取值范围是（）A．a＜0 B．a＜2 C．0＜a＜2 B．a＜0或a＞2 02．如果点P(3x－２，２－x)在第四象限，则x的取值范围是____________．03．若点P(x，y)满足xy＞0，则点P在第______________象限．04．已知点P(2a－8，2－a)是第三象限的整点，则该点的坐标为___________．【例３】已知A点与点B(－3，4)关于x轴对称，求点A关于y轴对称的点的坐标．【解法指导】关于x轴对称的点的坐标的特点：横坐标(x)相等，纵坐标(y)互为相反数，关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标(y)相等．【变式题组】01．P(－1，3)关于x轴对称的点的坐标为____________．02．P(3，－2)关于y轴对称的点的坐标为____________．03．P(a，b)关于原点对称的点的坐标为____________．04．点A(－3，2m－１) 关于原点对称的点在第四象限，则m的取值范围是____________．05．如果点Ｍ(a＋b，ab)在第二象限内，那么点N(a，b) 关于y轴对称的点在第______象限．【例４】P(3，－4)，则点P到x轴的距离是____________．【解法指导】P(x，y)到x轴的距离是| y|，到y轴的距离是|x|．则P到轴的距离是|－4|＝4【变式题组】01．已知点P(3，5)，Q(6，－５)，则点P、Q到x 轴的距离分别是_________，__________．P到y轴的距离是点Q到y轴的距离的________倍．02．若x轴上的点Ｐ到y轴的距离是3，则P点的坐标是__________．03．如果点B(m＋1，3m－5) 到x轴的距离与它到y轴的距离相等，求m的值．04．若点(5－a，a－3)在一、三象限的角平分线上，求a的值．05．已知两点A(－3，m)，B(n，4)，AB∥x轴，求m的值，并确定n的取值范围．【例５】如图，平面直角坐标系中有A、B两点．(1)它们的坐标分别是___________，___________；(2)以A、B为相邻两个顶点的正方形的边长为_________；(3)求正方形的其他两个顶点C、D的坐标．【解法指导】平行x轴的直线上两点之间的距离是：两个点的横坐标的差得绝对。
学而思初二数学上册培优辅导讲义(人教版)
第1讲 与相交有关概念及平行线的判定 考点·方法·破译1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行.2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们.3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系. 经典·考题·赏析【例1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，一共构成哪几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？ 【解法指导】⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线.⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线.有6对对顶角. 12对邻补角.【变式题组】01．如右图所示，直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ，则：⑴∠ARC 的对顶角是 . 邻补角是 .⑵中有几对对顶角，几对邻补角？02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角； 当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角； 当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角. 问：当有100条直线相交于一点时共有 对顶角.【例２】如图所示，点O 是直线AB 上一点，OE 、OF 分别平分∠BOC 、 ∠AOC ．⑴求∠EOF 的度数；⑵写出∠BOE 的余角及补角.【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解； 【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC ＝21∠BOC ，∠FOC ＝21∠AOC ∴∠EOF ＝∠EOC ＋∠FOC ＝21∠BOC ＋21∠AOC ＝()AOC BOC ∠+∠21又∵∠BOC ＋∠AOC ＝180° ∴∠EOF ＝21×180°＝90° ⑵∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；∠BOE 的补角是：∠AOE.【变式题组】 01．如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，且∠EOC＝100°，则∠BOD 的度数是（ ） A ．20° B ． 40° C ．50° D ．80°02．（杭州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝ .【例３】如图，直线l1、l2相交于点O ，A 、B 分别是l1、l2上的点，试用三角尺完成下列作图：⑴经过点A 画直线l2的垂线.⑵画出表示点B 到直线l1的垂线段.【解法指导】垂线是一条直线，A B C D E F A B C DEF PQ R A BCE F E A ACD O （第1题图） 1 4 3 2（第2题图）2垂线段是一条线段. 【变式题组】01．P 为直线l 外一点，A 、B 、C 是直线l 上三点，且PA ＝4cm ，PB ＝5cm ，PC ＝6cm ，则点P 到直线l 的距离为（ ） A ．4cm B ． 5cm C ．不大于4cm D ．不小于6cm02 如图，一辆汽车在直线形的公路AB 上由A 向B 行驶，M 、N 为位于公路两侧的村庄；⑴设汽车行驶到路AB 上点P 的位置时距离村庄M 最近.行驶到AB 上点Q 的位置时，距离村庄N 最近，请在图中的公路上分别画出点P 、Q 的位置.⑵当汽车从A 出发向B 行驶的过程中，在 的路上距离M 村越来越近..在的路上距离村庄N 越来越近，而距离村庄Ｍ越来越远.【例４】如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE ⊥CD ，OF ⊥AB ，∠DOF ＝65°，求∠BOE 和∠AOC 的度数.【解法指导】图形的定义现可以作为判定图形的依据，也可以作为该图形具备的性质，由图可得：∠AOF ＝90°，OF ⊥AB ．【变式题组】01．如图，若EO ⊥AB 于O ，直线CD 过点O ，∠EOD ︰∠EOB ＝1︰3，求∠AOC 、∠AOE 的度数.02．如图，O 为直线AB 上一点，∠BOC ＝3∠AOC ，OC 平分∠AOD ． ⑴求∠AOC 的度数；⑵试说明OD 与AB 的位置关系.03．如图，已知AB ⊥BC 于B ，DB ⊥EB 于B ，并且∠CBE ︰∠ABD ＝1︰2，请作出∠CBE 的对顶角，并求其度数.【例５】如图，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的，并说出它们的名称： ∠1和∠2：∠1和∠3：∠1和∠6：∠2和∠6： F B AO CD EAEB ACDO A BA E DCF EBAD 1 4 2 3 6 5∠2和∠4： ∠3和∠5： ∠3和∠4： 【解法指导】正确辩认同位角、内错角、同旁内角的思路是：首先弄清所判断的是哪两个角，其次是找到这两个角公共边所在的直线即截线，其余两条边所在的直线就是被截的两条直线，最后确定它们的名称.【变式题组】 01．如图，平行直线AB 、CD 与相交直线EF ，GH 相交，图中的同旁内角共有（ ） A ．4对 B ． 8对 C ．12对 D ．16对 02．如图，找出图中标出的各角的同位角、内错角和同旁内角.03．如图，按各组角的位置判断错误的是（ ） A ．∠1和∠2是同旁内角 B ．∠3和∠4是内错角 C ．∠5和∠6是同旁内角 D ．∠5和∠7是同旁内角 【例６】如图，根据下列条件，可推得哪两条直线平行？并说明理由• ⑴∠CBD ＝∠ADB ； ⑵∠BCD ＋∠ADC ＝180° ⑶∠ACD ＝∠BAC 【解法指导】图中有即即有同旁内角，有“ ”即有内错角. 【解法指导】⑴由∠CBD ＝∠ADB ，可推得AD ∥BC ；根据内错角相等，两直线平行.⑵由∠BCD ＋∠ADC ＝180°，可推得AD ∥BC ；根据同旁内角互补，两直线平行. ⑶由∠ACD ＝∠BAC 可推得AB ∥DC ；根据内错角相等，两直线平行. 【变式题组】 01．如图，推理填空.⑴∵∠A ＝∠ （已知） ∴AC ∥ED （ ） ⑵∵∠C ＝∠ （已知）∴AC ∥ED （ ）⑶∵∠A ＝∠ （已知） ∴AB ∥DF （ ）02．如图，AD 平分∠BAC ，EF 平分∠DEC ，且∠1＝∠2，试说明DE 与AB 的位置关系.解：∵AD 是∠BAC 的平分线（已知）∴∠BAC ＝2∠1（角平分线定义）又∵EF 平分∠DEC （已知） A BDC HＧ E F 7 1 5 6 84 1 2 乙丙 3 23 4 5 61 23 4甲1 A BC 2 3 45 67 A B CDO A BD E FA E12∴ （ ） 又∵∠1＝∠2（已知） ∴ （ ） ∴AB ∥DE （ ） 03．如图，已知AE 平分∠CAB ，CE 平分∠ACD ．∠CAE ＋∠ACE ＝90°，求证：AB ∥CD ． 04．如图，已知∠ABC ＝∠ACB ，BE 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ，∠EBF ＝∠EFB ，求证：CD ∥EF. 【例７】如图⑴，平面内有六条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中，至少有一个角小于31°.【解法指导】如图⑵，我们可以将所有的直线移动后，使它们相交于同一点，此时的图形为图⑵. 证明：假设图⑵中的12个角中的每一个角都不小于31° 则12×31°＝372°＞360°这与一周角等于360°矛盾 所以这12个角中至少有一个角小于31° 【变式题组】 01．平面内有18条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中至少有一个角小于11°.02．在同一平面内有2010条直线a1,a2,…，a2010,如果a1⊥a2,a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5……那么a1与a2010的位置关系是 . 03．已知n （n ＞2）个点P1，P2，P3…Pn.在同一平面内没有任何三点在同一直线上，设Sn 表示过这几个点中的任意两个点所作的所有直线的条数，显然：S2＝1，S3＝3，S4＝6，∴S5＝10…则Sn ＝ . 演练巩固·反馈提高01．如图，∠EAC ＝∠ADB ＝90°.下列说法正确的是（ ） A ．α的余角只有∠B B ．α的邻补角是∠DACC ．∠ACF 是α的余角D ．α与∠ACF 互补 A BC D E A BC D E F l 1 l 2 l 3 l 4 l 5 l 6l 1 l 2 l 3l 4 l 5 l 6 A EA B EMα A02．如图，已知直线AB、CD被直线EF所截，则∠EMB的同位角为（）A．∠AMF B．∠BMF C．∠ENC D．∠END03．下列语句中正确的是（）A．在同一平面内，一条直线只有一条垂线B．过直线上一点的直线只有一条C．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条D．垂线段就是点到直线的距离04．如图，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，则下列结论中，正确的个数有（）①AB⊥AC ②AD与AC互相垂直③点C到AB的垂线段是线段AB ④线段AB 的长度是点B到AC的距离⑤垂线段BA是点B到AC的距离⑥AD＞BD A．0 B． 2 C．4 D．605．点A、B、C是直线l上的三点，点P是直线l外一点，且PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝6cm，则点P到直线l的距离是（）A．4cm B．5cm C．小于4cm D．不大于4cm06．将一副直角三角板按图所示的方法旋转（直角顶点重合），则∠AOB＋∠DOC ＝.07．如图，矩形ABCD沿EF对折，且∠DEF＝72°，则∠AEG＝. 08．在同一平面内，若直线a1∥a2,a2⊥a3,a3∥a4,…则a1 a10.（a1与a10不重合）09．如图所示，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件：①∠1＝∠5，②∠1＝∠7，③∠2＋∠3＝180°，④∠4＝∠7，其中能判断a∥b的条件的序号是.10．在同一平面内两条直线的位置关系有.11．如图，已知BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，且∠E＝∠ABE＋∠EDC．试说明AB∥CD？12．如图，已知BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，∠1＝∠2，那么直线AB与CD的位置关系如何？13．如图，推理填空：⑴∵∠A＝（已知）∴AC∥ED（）⑵∵∠2＝（已知）∴AC∥ED（）⑶∵∠A＋＝180°（已知）∴AB∥FD．14．如图，请你填上一个适当的条件使AD∥BC．ABCDOAB CDEFGHabc第6题图第7题图第9题图123 4567 81AC DEBAC DE12AB CDEF第14题图培优升级·奥赛检测01．平面图上互不重合的三条直线的交点的个数是（ ）A ．1，3B ．0，1，3C ．0，2，3D ．0，1，2，302．平面上有10条直线，其中4条是互相平行的，那么这10条直线最多能把平面分成（ ）部分. A ．60 B ． 55 C ．50 D ．45 03．平面上有六个点，每两点都连成一条直线，问除了原来的6个点之外，这些直线最多还有（ ）个交点. A ．35 B ． 40 C ．45 D ．5504．如图，图上有6个点，作两两连线时，圆内最多有__________________交点. 05．如图是某施工队一张破损的图纸，已知a 、b 是一个角的两边，现在要在图纸上画一条与这个角的平分线平行的直线，请你帮助这个施工队画出这条平行线，并证明你的正确性.06．平面上三条直线相互间的交点的个数是（ ）A ．3B ．1或3C ．1或2或3D ．不一定是1，2，3 07．请你在平面上画出6条直线（没有三条共点）使得它们中的每条直线都恰好与另三条直线相交，并简单说明画法？08．平面上有10条直线，无任何三条交于一点，要使它们出现31个交点，怎么安排才能办到？09．如图，在一个正方体的2个面上画了两条对角线AB 、AC ，那么两条对角线的夹角等于（ ）A ．60°B ． 75°C ．90°D ．135°10．在同一平面内有9条直线如何安排才能满足下面的两个条件？a b AB C⑴任意两条直线都有交点；⑵总共有29个交点.第13讲平行线的性质及其应用考点·方法·破译1．掌握平行线的性质，正确理解平行线的判定与性质定理之间的区别和联系；2．初步了解命题，命题的构成，真假命题、定理；3．灵活运用平行线的判定和性质解决角的计算与证明，确定两直线的位置关系，感受转化思想在解决数学问题中的灵活应用.经典·考题·赏析【例１】如图，四边形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD度数.【解法指导】两条直线平行，同位角相等；两条直线平行，内错角相等；两条直线平行，同旁内角互补.平行线的性质是推导角关系的重要依据之一，必须正确识别图形的特征，看清截线，识别角的关系式关键.【解】：∵AB∥CD BC∥AD∴∠A＋∠B＝180°∠B＋∠C＝180°(两条直线平行，同旁内角互补)∴∠A＝∠C ∵∠A＝38°∴∠C＝38°【变式题组】01．如图，已知AD∥BC，点E在BD的延长线上，若∠ADE＝155°，则∠DBC的度数为（）A．155°B．50°C．45°D．25°1＝55°，∠2＝65°，则∠3为（）A．50°B．55°C．60°D．65°03．如图，已知FC∥AB∥DE，∠α：∠D：∠B＝2: 3: 4, 试求∠α、∠D、∠B的度数.【例２】如图，已知AB∥CD∥EF，GC⊥CF，∠B＝60°，∠EFC＝45°，求∠BCG的度数.【解法指导】平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和角平分线相结合，可求各种位置的角的度数，但注意看清角的位置.【解】∵AB∥CD∥EF ∴∠B＝∠BCD ∠F＝∠FCD(两条直线平行，内错角相等)又∵∠B＝60°∠EFC＝45°∴∠BCD＝60°∠FCD＝45°又∵GC⊥CF ∴∠GCF＝90°（垂直定理）∴∠GCD＝90°－45°＝45°∴∠BCG＝60°－45°＝15°【变式题组】EAFGDCB01．如图，已知AF ∥BC, 且AF 平分∠EAB ，∠B ＝48°，则∠C 的的度数＝_______________02.如图,已知∠ABC ＋∠ACB ＝120°，BO 、CO 分别∠ABC 、∠ACB ，DE 过点O 与BC 平行，则∠BOC ＝___________03．如图，已知AB ∥ MP ∥CD, MN 平分∠AMD ，∠A ＝40°，∠D ＝50°，求∠NMP 的度数.【例３】如图，已知∠1＝∠2，∠C ＝∠D ． 求证：∠A ＝∠F. 【解法指导】因果转化，综合运用.逆向思维：要证明∠A ＝∠F ，即要证明DF ∥AC ． 要证明DF ∥AC, 即要证明∠D ＋∠DBC ＝180°， 即：∠C ＋∠DBC ＝180°；要证明∠C ＋∠DBC ＝180°即要证明DB ∥EC ． 要证明DB ∥EC 即要 证明∠1＝∠3.证明：∵∠1＝∠2，∠2＝∠3（对顶角相等）所以∠1＝∠3 ∴DB ∥EC （同位角相等•两直线平行）∴∠DBC ＋∠C ＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠C ＝∠D ∴∠DBC ＋∠D ＝180° ∴DF ∥AC （同旁内角，互补两直线平行）∴∠A ＝∠F （两直线平行，内错角相等） 【变式题组】01．如图，已知AC ∥FG ，∠1＝∠2，求证：DE ∥FG02．如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B ． 求证：∠AED ＝∠ACB03．如图，两平面镜α、β的夹角θ，入射光线AO 平行 于β入射到α上，经两次反射后的出射光线O′B 平行 于α，则角θ等于_________.【例４】如图，已知EG ⊥BC ，AD ⊥BC ，∠1＝∠3. 求证：AD 平分∠BAC ．【解法指导】抓住题中给出的条件的目的，仔细分析 条件给我们带来的结论，对于不能直接直接得出结论 的条件，要准确把握住这些条件的意图.（题目中的： ∠1＝∠3）证明：∵EG ⊥BC ，AD ⊥BC ∴∠EGC ＝∠ADC ＝90° （垂直定义）∴EG ∥AD （同位角相等，两条直线平行）∵∠1＝∠3 ∴∠3＝∠BAD （两条直线平行，内错角相等）ABCDOE FAEBC （第1题图） （第2题图） BA MC D N P （第3题图）DE F2GB 3C A 1D 2E F （第1题图） A2 CF 3 E D1B（第2题图） 31ABG D CEDA2 E1 B C B F E AC D ∴AD 平分∠BAC （角平分线定义） 【变式题组】01．如图，若AE ⊥BC 于E ，∠1＝∠2，求证：DC ⊥BC ．02．如图，在△ABC 中，CE ⊥AB 于E,DF ⊥AB 于F, AC ∥ED ，CE 平分∠ACB ． 求证：∠EDF ＝∠BDF.3．已知如图，AB ∥CD ，∠B ＝40°，CN 是∠BCE 的平分线. CM ⊥CN ，求：∠BCM 的度数.【例５】已知，如图，AB ∥EF ，求证：∠ABC ＋∠BCF ＋∠CFE ＝360° 【解法指导】从考虑360°这个特殊角入手展开联想，分析类比， 联想周角.构造两个“平角”或构造两组“互补”的角.过点C 作CD ∥AB 即把已知条件AB ∥EF 联系起来，这是关键.【证明】：过点C 作CD ∥AB ∵CD ∥AB ∴∠1＋∠ABC＝180°(两直线平行，同旁内角互补) 又∵AB ∥EF ，∴CD ∥EF （平行于同一条直线的两直线平行） ∴∠2＋∠CFE ＝180°(两直线平行， 同旁内角互补) ∴∠ABC ＋∠1＋∠2＋∠CFE ＝180°＋180°＝360° 即∠ABC ＋∠BCF ＋∠CFE ＝360° 【变式题组】01．如图，已知，AB ∥CD ，分别探究下面四个图形中∠APC 和∠PAB 、∠PCD 的关系，请你从所得四个关系中选出任意一个，说明你探究的结论的正确性. 结论：⑴____________________________ ⑵____________________________⑶____________________________ ⑷____________________________BAPCAC CDAAPCBDPBPD BD ⑴⑵⑶⑷A DMCN EB F E D 2 1 AB Cα β P B C D A∠P ＝α＋βF γ Dα β E B C A FD EBC A AA ′ lB ′C ′【例６】如图，已知，AB ∥CD ，则∠α、∠β、∠γ、∠ψ之间的关系是 ∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝180° 【解法指导】基本图形善于从复杂的图形中找到基本图形，运用基本图形的规律打开思路【解】过点E 作EH ∥AB ． 过点F 作FG∥AB ． ∵直线平行，内错角相等）又∵FG ∥AB ∴EH∥FG （平行于同一条直线的两直线平行）∴∠2＝∠3 又∵AB ∥CD ∴FG ∥CD ∴∠ψ＋∠4＝180°＋∠3＋∠4－ψ－∠1－∠2＝∠4＋ψ＝180° 【变式题组】01．如图， AB ∥EF ，∠C ＝90°，则∠α、∠β、∠γA ． ∠β＝∠α＋∠γ B ．∠β＋∠α＋∠γ＝180° C ． ∠α＋∠β－∠γ＝90° D ．∠β＋∠γ－∠α＝90°02．如图，已知，AB ∥CD ，∠ABE 和∠CDE 的平分线相交于点F ，∠E ＝140°，求∠BFD 的度数.【例７】如图，平移三角形ABC ，设点A 移动到点A/，画出平移后的三角形A/B/C/.【解法指导】抓住平移作图的“四部曲”——定，找，移，连. ⑴定：确定平移的方向和距离. ⑵找：找出图形的关键点. ⑶移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点. ⑷连: 按原图形顺次连接对应点.的平行线l ③在l 截取BB/＝AA/,则点B/C 的对应点C/.连接A/B/，B/C/，C/A/就21cm ，作出平移后的图形. 三角形ABC 中，∠C ＝90°, BC ＝4，AC ＝4，现将△ABC 沿CB 方向平移到△A/B/C/的位置，若平移距离为3, 求△ABC与△A/B/C/的重叠部分的面积. 03．原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着BC 方向平移BE 的距离，就得到此图形，求阴影部分的面积.（单位：厘米）BB / AA / C C /演练巩固 反馈提高 01．如图，由A 测B 得方向是（ ） A ．南偏东30° B ．南偏东60° C ．北偏西30° D ．北偏西60° 02平行；④平行于同一条直线的两直线垂直.其中的真命题的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 03．一个学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，两次拐弯的角度可能是（ ） A ．第一次向左拐30°，第二次向右拐30° B ．第一次向右拐50°，第二次向左拐130° C ．第一次向左拐50°，第二次向右拐130° D ．第一次向左拐60°，第二次向左拐120° 04．下列命题中，正确的是（ ） A ．对顶角相等 B ． 同位角相等 C ．内错角相等 D ．同旁内角互补 05．学习了平行线后，小敏想出过直线外一点画这条直线的平行线的新方法，是通过折一张半透明的纸得到的[如图⑴—⑷]） .C ．③④D ．①④ A 地测得B 地的走向是南B 两地要同时开工，若干天后，公路准确对接，则B 地所修公路的走向应该是（ ） A ．北偏东52° B ．南偏东52° C ．西偏北52° D ．北偏西38° 07．下列几种运动中属于平移的有（ ） ①水平运输带上的砖的运动；②笔直的高诉公路上行驶的汽车的运动（忽略车轮的转动）；③升降机上下做机械运动；④足球场上足球的运动. A ．1种 B ．2种 C ．3种 D ．4种 08．如图，网格中的房子图案正好处于网格右下角的位置.平移这个图案，使它正好位于左上角的位置（不能出格）150°120°DBCE 湖09．观察图，哪个图是由图⑴平移而得到的（）10．如图，AD∥BC，AB∥CD，AE⊥BC，现将△ABE进行平移. 平移方向为射线AD的方向. 平移距离为线段BC的长，则平移得到的三角形是图中（）图的阴影部分.11．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例.⑴对顶角是相等的角；⑵相等的角是对顶角；⑶两个锐角的和是钝角；⑷同旁内角互补，两直线平行.12．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出命题的真假.⑴互补的角是邻补角；⑵两个锐角的和是锐角；⑶直角都相等.13．如图，在湖边修一条公路.如果第一个拐弯处∠A＝120°，第二个拐弯处∠B ＝150°，第三个拐弯处∠C，这时道路CE恰好和道路AD平行，问∠C是多少度？并说明理由.14．如图，一条河流两岸是平行的，当小船行驶到河中E点时，与两岸码头B、D成64°角. 当小船行驶到河中F点时，看B点和D点的视线FB、FD恰好有∠1＝∠2，∠3＝∠4的关系. 你能说出此时点F与码头B、D所形成的角∠BFD的DEAB CE DB CE D AB CED AB CEDA B C4 P 23 1A BEF CD15．如图，AB ∥CD ，∠1＝∠2，试说明∠E 和∠F 的关系.培优升级·奥赛检测01．如图，等边△ABC 各边都被分成五等分，这样在△ABC 内能与△DEF 完成重合的小三角形共有25个，那么在△ABC 内由△DEF 平移得到的三角形共有（ ）个02．如图，一足球运动员在球场上点A 处看到足球从B 点沿着BO 方向匀速滚来，运动员立即从A 处以匀速直线奔跑前去拦截足球.若足球滚动的速度与该运动员奔跑的速度相同，请标出运动员的平移方向及最快能截住足球的位置.（运动员奔跑于足球滚动视为点的平移）A3向右平移1个单位得到B1B2B3，得到封闭图形A1A2 A3B3B2B1 [即阴影部分如图⑵];⑴在图⑶中，请你类似地画出一条有两个折点的直线，同样的向右平移1个单位，从而得到1个封闭图形，并画出阴影.⑵请你分别写出上述三个阴影部分的面积S1＝________, S2＝________, S3＝________.⑶联想与探究：如图⑷，在一矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路在任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分草地面积是多少？05．一位模型赛车手遥控一辆赛车，先前进一半，然后原地逆时针旋转α°（0°＜⑶ ⑷ ... AF E B A C GD α°＜180°），被称为一次操作，若5次后发现赛车回到出发点，则α°角为（ ） A ．720° B ．108°或144° C ．144° D ．720°或144° 06．两条直线a 、b 互相平行，直线a 上顺次有10个点A1、A2、…、A10，直线b 上顺次有10个点B1、B2、…、B9，将a 上每一点与b 上每一点相连可得线段.若没有三条线段相交于同一点，则这些选段的交点个数是（ ） A ．90 B ．1620 C ．6480 D ．200607．如图，已知AB ∥CD ，∠B ＝100°，EF 平分∠BEC ，EG ⊥EF. 求∠BEG 和∠DEG.08．如图，AB ∥CD ，∠BAE ＝30°，∠DCE ＝60°，EF 、EG 三等分∠AEC ． 问：EF 与EG 中有没有与AB 平行的直线？为什么？09．如图，已知直线CB ∥OA ，∠C ＝∠OAB ＝100°，E 、F 在CB 上，且满足∠FOB ＝∠AOB ，OE 平分∠COF. ⑴求∠EOB 的度数；⑵若平行移动AB ，那么∠OBC ：∠OFC 的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值.⑶在平行移动AB 的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC ＝∠OBA ？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由.10．平面上有5条直线，其中任意两条都不平行，那么在这5条直线两两相交所成的角中，至少有一个角不超过36°,请说明理由.11．如图，正方形ABCD 的边长为5,把它的对角线AC 分成n 段，以每一小段为对角线作小正方形，这n 个小正方形的周长之和为多少？12．如图将面积为a2的小正方形和面积为b2的大正方形放在一起，用添补法如何求出阴影部分面积？FEB AC GD 100° FE BAC O ABCD第06讲 实 数 考点·方法·破译 1．平方根与立方根：若2x ＝a(a ≥0)则x 叫做a 的平方根，记为：a 的平方根为xa 的平方根为xa 的算术平方根．若x3＝a ，则x 叫做a 的立方根．记为：a 的立方根为x2．无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称实数．实数与数轴上的点一一对应．任何有理数都可以表示为分数pq （p 、q 是两个互质的整数，且q ≠0）的形式． 3非负数： 实数的绝对值，实数的偶次幂，非负数的算术平方根（或偶次方根）都是非负数．即a>0，2na ≥0（n 为正整数）0(a ≥0) ．经典·考题·赏析【例1】若2m －4与3m －1是同一个数的平方根，求m 的值．【解法指导】一个正数的平方根有两个，并且这两个数互为相反数．∵2m −4与3m−l 是同一个数的平方根，∴2m−4 ＋3m−l ＝0，5m ＝5，m ＝l ． 【变式题组】01．一个数的立方根与它的算术平方根相等，则这个数是____． 02．已知mm 的平方根是____． 03____．04．如图，有一个数值转化器，当输入的x 为64时，输出的y 是____．【例2】（全国竞赛）已知非零实数a 、b 满足24242a b a -+++=，则a ＋b 等于( ) A ．－1 B ． 0 C ．1 D ．2有意义，∵a 、b 为非零实数，∴b2>0∴a －3≥0 a≥3∵24242a b a -+++=∴24242a b a -++=，∴20b ++=．∴()22030b a b +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，∴32a b =⎧⎨=-⎩，故选C ．【变式题组】0l3b +＝0成立，则ab ＝____．02()230b -=，则a b 的平方根是____．03．（天津）若x 、y为实数，且20x +=，则2009x y ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ）A ．1B ．－1C ．2D ．－204．已知x1x π-的值是( )A ．11π-B ．11π+C ．11π- D ．无法确定【例3】若a 、b都为有理效，且满足1a b -+=+a ＋b 的平方根． 【解法指导】任何两个有理数的和、差、积、商（除数不为0）还是有理数，但两个无理数的和、差、积、商（除数不为0）不一定是无理数．∵1a b -+=+∴1a b -=⎧⎪=1a b -=⎧⎪=，∴1312a b =⎧⎨=⎩， a ＋b ＝12 ＋13＝25．∴a ＋b的平方根为：5==±． 【变式题组】01．（西安市竞赛题）已知m 、n2）m ＋(3－)n ＋7＝0求m 、n ．02．（希望杯试题）设x 、y 都是有理数，且满足方程（123π+）x ＋（132π+）y−4−π＝0，则x−y ＝____．【例4】若a2的整数部分，b−1是9的平方根，且a b b a-=-，求a＋b 的值．【解法指导】−2＝整数部分＋小数部分．整数部分估算可得2−2 −2−4．∵a ＝2，b−1＝±3 ，∴b ＝－2或4 ∵a b b a-=-．∴a<b ，∴a ＝2， b ＝4，即a ＋b ＝6．【变式题组】01．若3a ，的小数部分是b ，则a ＋b 的值为____． 02a ，小数部分为ba ）·b ＝____． 演练巩固 反馈提高0l ．下列说法正确的是( )A ．－2是(－2)2的算术平方根B ．3是－9的算术平方根C ． 16的平方根是±4D ．27的立方根是±302．设3a =-，b ＝ －2，52c =-，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a<b<c B ．a<c<b C ． b<a<c D ．c<a<b03．下列各组数中，互为相反数的是( ) A ．－9与81的平方根 B ．4与364- C ．4与364 D ．3与904．在实数1.414，2-，0.1•5•，5−16，π，3.1•4•，83125中无理数有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ． 5个05．实数a 、b 在数轴上表示的位置如图所示，则( ) A ．b>a B ．a b>C ． －a ＜bD ．－b>a06．现有四个无理数5，6，7，8，其中在2＋1与3＋1之间的有( ) A ． 1个 B ．2个 C ． 3个 D ．4个 07．设m 是9的平方根，n ＝()23．则m ，n 的关系是( )A. m ＝±nB.m ＝n C .m ＝－n D.m n≠08．（烟台）如图，数轴上 A 、B 两点表示的数分别为－1和3，点B 关于点A 的对称点C ，则点C 所表示的数为( )A ．－23-B ．－13-C ．－2 ＋3D ．l ＋309．点A 在数轴上和原点相距5个单位，点B 在数轴上和原点相距3个单位，且点B 在点A 左边，则A 、B 之间的距离为____．10．用计算器探索：已知按一定规律排列的一组数：1，12，13…，119，120．如果从中选出若干个数，使它的和大于3，那么至少要选____个数． 11．对于任意不相等的两个数a 、b ，定义一种运算※如下：a ※b ＝a ba b +-，如3※2＝3232+-＝5．那么12.※4＝____．12．（长沙中考题）已知a 、b 为两个连续整数，且a<7 <b ，则a ＋b ＝____．13．对实数a 、b ，定义运算“*”，如下a*b ＝()()22a b a b ab a b ⎧⎪⎨⎪⎩≥<，已知3*m ＝36，则实数m ＝____．14．设a 是大于1的实数．若a ，23a +，213a +在数轴上对应的点分别是A 、B 、C，则三点在数轴上从左自右的顺序是____．15.如图，直径为1的圆与数轴有唯一的公共点P ．点P表示的实数为－1．如果该圆沿数轴正方向滚动一周后与数轴的公共点为P′，那么点P′所表示的数是____．16．已知整数x、y满足x＋2y＝50，求x、y．17．已知2a−1的平方根是±3，3a＋b−1的算术平方根是4，求a＋b＋1的立方根．18．小颖同学在电脑上做扇形滚动的游戏，如图有一圆心角为60°，半径为1个单位长的扇形放置在数轴上，当扇形在数轴上做无滑动的滚动时，当B点恰好落在数轴上时，(1)求此时B点所对的数；(2)求圆心O移动的路程．19．若b＝315a-＋153a-＋3l，且a＋11的算术平方根为m，4b＋1的立方根为n，求（mn−2）(3mn ＋4)的平方根与立方根．20．若x、y为实数，且（x−y＋1）2与533x y--互为相反数，求22x y+的值．培优升级奥赛检测01．（荆州市八年级数学联赛试题）一个正数x的两个平方根分别是a＋1与a−3，则a值为( )A．2 B．－1 C．1 D．002．（黄冈竞赛）代数式x＋1x-＋2x-的最小值是( )A．0 B．1＋2C．1 D．203．代数式53x+−2的最小值为____．04．设a、b为有理数，且a、b满足等式a2＋3b＋则a＋b＝____．05．若a b-＝1，且3a＝4b，则在数轴上表示a、b两数对应点的距离为____．06．已知实数a满足2009a a-=，则a− 20092＝_______．m满足关系式199y x=--，试确定m的值．08．（全国联赛）若a、b满足5b＝7，S＝3b，求S的取值范围．09．（北京市初二年级竞赛试题）已知0<a<1，并且123303030a a a⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦2830a⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦2930a⎡⎤++⎢⎥⎣⎦18=，求[10a]的值[其中[x]表示不超过x的最大整数] ．10．（北京竞赛试题）已知实数a、b、x、y满足y＋21a=-，231x y b-=--，求22x y a b+++的值．第14讲平面直角坐标系（一）考点．方法．破译1．认识有序数对，认识平面直角坐标系．2．了解点与坐标的对应关系．3．会根据点的坐标特点，求图形的面积．经典．考题．赏析【例1】在坐标平面内描出下列各点的位置．A(2，1)，B(1，2)，C(－1，2)，D(－2，－1)，E(0，3)，F(－3，0)【解法指导】从点的坐标的意义去思考，在描点时要注意点的坐标的有序性．【变式题组】01．第三象限的点P(x，y)，满足|x|＝5,2x＋|y|＝1，则点P得坐标是_____________．02．在平面直角坐标系中，如果m.n＞０，那么（m, |n|）一定在____________象限.03．指出下列各点所在的象限或坐标轴．A(－3，0)，B(－2，－13)，C(2，12)，D(0,3)，E(π－3.14，3.14－π)【例2】若点P(a，b)在第四象限，则点Q(―a，b―1)在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解法指导】∵P(a，b)在第四象限，∴a＞0，b＜0，∴－a＜0, b－１＜0,故选C．【变式题组】01．若点G(a，2－a)是第二象限的点，则a的取值范围是（）A．a＜0 B．a＜2 C．0＜a＜2 B．a＜0或a＞2 02．如果点P(3x－２，２－x)在第四象限，则x的取值范围是____________．03．若点P(x，y)满足xy＞0，则点P在第______________象限．04．已知点P(2a－8，2－a)是第三象限的整点，则该点的坐标为___________．【例３】已知A点与点B(－3，4)关于x轴对称，求点A关于y轴对称的点的坐标．【解法指导】关于x轴对称的点的坐标的特点：横坐标(x)相等，纵坐标(y)互为相反数，关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标(y)相等．【变式题组】01．P(－1，3)关于x轴对称的点的坐标为____________．02．P(3，－2)关于y轴对称的点的坐标为____________．03．P(a，b)关于原点对称的点的坐标为____________．04．点A(－3，2m－１) 关于原点对称的点在第四象限，则m的取值范围是____________．05．如果点Ｍ(a＋b，ab)在第二象限内，那么点N(a，b) 关于y轴对称的点在第______象限．【例４】P(3，－4)，则点P到x轴的距离是____________．【解法指导】P(x，y)到x轴的距离是| y|，到y轴的距离是|x|．则P到轴的距离是|－4|＝4【变式题组】01．已知点P(3，5)，Q(6，－５)，则点P、Q到x 轴的距离分别是_________，__________．P到y轴的距离是点Q到y轴的距离的________倍．02．若x轴上的点Ｐ到y轴的距离是3，则P点的坐标是__________．03．如果点B(m＋1，3m－5) 到x轴的距离与它到y轴的距离相等，求m的值．04．若点(5－a，a－3)在一、三象限的角平分线上，求a的值．05．已知两点A(－3，m)，B(n，4)，AB∥x轴，求m的值，并确定n的取值范围．【例５】如图，平面直角坐标系中有A、B两点．(1)它们的坐标分别是___________，___________；(2)以A、B为相邻两个顶点的正方形的边长为_________；(3)求正方形的其他两个顶点C、D的坐标．【解法指导】平行x轴的直线上两点之间的距离是：两个点的横坐标的差得绝对值，平行y轴的直线上两点之间的距离是：两个点的纵坐标的差得绝对值．即：A(x1，y1)，B(x2，y2)，若AB∥x轴，则|AB|＝|x1－x2|；若AB∥y，则|AB|＝|y1－y2|，则(1)A(2，2)，B(2，－1)；(2)3；(3)C(5，2)，D(5，－1)或C(－1，2)，D(－1，－1)．【变式题组】01．如图，四边形ACBD是平行四边形，且AD∥x轴，说明，A、D两点的___________坐标相等，请你依据图形写出A、B、C、D四点的坐标分别是_________、_________、____________、____________．02．已知：A(0，4)，B(－3，0)，C(3，0)要画出平行四边形ABCD，请根据A、B、C三点的坐标，写出第四个顶点D的坐标，你的答案是唯一的吗？03．已知：A(0，4)，B(0，－1)，在坐标平面内求作一点，使△ABC的面积为5，请写出点C的坐标规律．【例6】平面直角坐标系，已知点A(－3，－2)，B(0，3)，C(－3，2)，求△ABC 的面积．【解法指导】(1)三角形的面积＝12×底×高．。
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0 U 1 B． 1 ，， 1 U 1 D． 0 ，，
34．已知椭圆 C :
x2 y 2 2 2 1a b 0 的离心率为 ，点 2 ， 2 在 C 上． 2 a b 2
（Ⅰ）求 C 的方程； （Ⅱ）直线 l 不经过原点 O，且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 中点 为 M，证明：直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率乘积为定值．
2 1 ，第二次吃了余下的 ，第三天吃了又余了的 5 3
3 ，这时还剩下 15 千克．那么食堂运来大米共多少千克？ 4 关键词：还原问题，转换单位“1” 1 2 14. 园里的荔枝获得丰收，第一天摘了全部荔枝的 又 10 筐，第二天摘了余下的 又 3 筐， 3 5
这样还剩下 63 筐荔枝没有摘，则共有荔枝多少筐？ 关键词：还原问题，转换单位“1”
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关键词：二次函数中的相似三角形 30. 如图，菱形 OABC 的顶点 C 的坐标为（3，4），顶点 A 在 x 轴的正半轴上．反比例函 k 数 y x 0 的图象经过顶点 B，则 k 的值为 ． x
关键词：反比例函数的几何意义应用。 31．若 a ， b 是函数 f x x 2 px q p 0 ，q 0 的两个不同的零点，且 a ， b ， 2 这 三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 p q 的值等于（ ） A．6 B．7 C．8 D．9
1 1 1 1 1 1 11. 3 5 5 7 7 9 9 11 11 13 13 15 关键词：裂项
12. 甲、乙两车分别同时从 A，B 两地相对开出，第一次在离 A 地 80 千米处相遇．相遇后继 续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离 B 地 20 千米处相遇．求 A，B 两地间的距离？ 关键词：二次相遇 13. 食堂运来一批大米，第一天吃了全部的
学而思初二数学上册培优辅导讲义(人教版)
第 1 讲与相交有关概念及平行线的判定考点·方法·破译1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行.2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们 .3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系.经典·考题·赏析【例 1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O，一共构成哪几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？A 【解法指导】⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线 .C ⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线.有 6 对对顶角 . 12 对邻补角 .【变式题组】111∠ FOC＝2∠ AOC∴∠ EOF ＝∠ EOC ＋∠ FOC ＝2∠BOC＋2∠AOC＝1AOC1BOC又∵∠ BOC＋∠ AOC ＝ 180° ∴∠ EOF＝2× 180°＝ 90°2⑵∠ BOE 的余角是：∠ COF 、∠ AOF ；∠ BOE 的补角是：∠ AOE.【变式题组】01．如图，已知直线AB 、CD 相交于点 O，OA 平分∠ EOC，且∠ EOC＝100°，E则∠ BOD 的度数是（）D A ．20°B ． 40°C． 50° D ．80°E D14B32FO AAC01．如右图所示，直线AB 、 CD、EF 相交于 P、Q、R，则：C⑴∠ ARC 的对顶角是.邻补角是.⑵中有几对对顶角，几对邻补角？02．当两条直线相交于一点时，共有 2 对对顶角；A Q 当三条直线相交于一点时，共有 6 对对顶角；当四条直线相交于一点时，共有12 对对顶角 .F 问：当有 100 条直线相交于一点时共有对顶角 .【例２】如图所示，点O 是直线 AB 上一点， OE、 OF 分别平分∠ BOC 、∠AOC ．⑴求∠ EOF 的度数；⑵写出∠ BOE 的余角及补角 .F 【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解；EPR BD【变式题组】CE（第 1 题图）（第 2 题图）02．（杭州）已知∠ 1＝∠ 2＝∠ 3＝ 62°，则∠ 4＝.【例３】如图，直线l1、 l2 相交于点 O， A 、 B 分别是 l1、 l2 上的点，试用三角尺完成下列作图：A⑴经过点 A 画直线 l2的垂线 .⑵画出表示点 B 到直线 l1 的垂线段 .O【解法指导】垂线是一条直线，垂线l2段是一条线段 .B01． P 为直线 l 外一点，A、B、Cl 1是直线 l 上三点，且 PA＝ 4cm， PB＝ 5cm，PC＝ 6cm，则点 P到直线 l 的距离为（）A ． 4cm B．5cm C．不大于 4cm D．不小于 6cm02 如图，一辆汽车在直线形的公路AB 上由 A向B行驶，M、1A【解】⑴∵ OE、OF 平分∠ BOC 、∠ AOC∴∠ EOC＝2∠BOC ，O B N 为位于公路两侧的村庄；⑴设汽车行驶到路AB 上点 P 的位置时距离村庄M 最近.行驶到 AB 上点 Q 的位置时，距离村庄N 最近，请在图中的公路上分别画出点P、Q的位置.⑵当汽车从 A 出发向 B 行驶的过程中，在的路上距离M 村越来越近 ..在的路上距离村庄N 越来越近，而距离村庄Ｍ越来越远.【例４】如图，直线 AB 、 CD 相交于点 O，OE⊥ CD，OF⊥ AB ，∠ DOF ＝ 65°，求∠ BOE 和∠ AOC 的度数 .E 【解法指导】图形的定义现可以作为判定图形的依据，也可以作为该图形具备的性质，由图可得：∠AOF ＝ 90°，OF⊥AB ．AOC【变式题组】01．如图，若 EO⊥ AB 于 O，直线 CD 过点 O，∠EOD ︰∠ EOB ＝ 1︰ 3，求∠ AOC 、∠AOE 的度数 .E 03．如图，已知AB ⊥ BC 于 B ，DB ⊥ EB 于 B，并且∠ CBE ︰∠ ABD ＝1︰ 2，请作出∠ CBE 的对顶角，并求其度数.AB DAE【例５】如图，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的，并说出它们的名称：F C∠1 和∠ 2：1∠1 和∠ 3：46D A23B∠1 和∠ 6：5BDE∠2 和∠ 6：F∠2和∠4：∠3 和∠5：∠3 和∠4：D 02．如图，O 为直线 AB 上一点，∠ BOC＝ 3∠AOC ，OC 平分∠ AOD ．⑴求∠ AOC 的度数；B ⑵试说明 OD 与 AB 的位置关系 .DB OA【解法指导】正确辩认同位角、内错角、同旁内角的思路是：首先弄清所判断的是哪两个角，其次是找到这两个角公共边所在的直线即截线，其余两条边所在的直线就是被截的两条直线，最后确定它O C们的名称 .C【变式题组】01．如图，平行直线AB 、CD 与相交直线EF，GH 相交，图中的同旁内角共有（）AA．4对B．8对C ． 12A对CHEＧBDFD．16 对02．如图，找出图中标出的各角的同位角、内错角和同旁内角.37854346216521123401．如图，推理填空.⑴∵∠ A ＝∠（已知）∴AC∥ED（）⑵∵∠ C＝∠（已知）∴AC ∥ED（）⑶∵∠ A ＝∠（已知）∴AB ∥DF（）02．如图， AD 平分∠ BAC ，EF 平分∠ DEC ，且∠ 1＝∠ 2，试说明 DE 与 AB的位置关系 .C甲乙03．如图，按各组角的位置判断错误的是（）A ．∠ 1 和∠ 2 是同旁内角B．∠ 3 和∠ 4 是内错角丙A13254解：∵ AD 是∠ BAC 的平分线（已知）∴∠ BAC ＝2∠ 1（角平分线定义）又∵ EF 平分∠ DEC（已知）∴（）又∵∠ 1＝∠ 2（已知）A1E2C．∠ 5 和∠ 6 是同旁内角6D ．∠ 5 和∠ 7 是同旁内角B 【例６】如图，根据下列条件，可推得哪两条直线平行？并说明理由?⑴∠ CBD ＝∠ ADB ；A⑵∠ BCD ＋∠ ADC ＝ 180°⑶∠ ACD ＝∠ BAC【解法指导】图中有即即有同旁内B角，有“”即有内错角.7 C∴（）∴AB∥DEB DF（）DO03．如图，已知 AE 平分∠ CAB ， CE 平分∠ ACD ．∠ CAE ＋∠ ACE＝90°，求证： AB ∥ CD ．C AECB【解法指导】⑴由∠ CBD ＝∠ ADB ，可推得 AD ∥BC ；根据内错角相等，两直线平行 .⑵由∠ BCD ＋∠ ADC ＝ 180°，可推得 AD ∥ BC；根据同旁内角互补，两直线平行 .⑶由∠ ACD ＝∠ BAC 可推得 AB ∥ DC ；根据内错A角相等，两直线平行 .F【变式题组】EBD04．如图，已知∠ ABC ＝∠ ACB ， BE 平分∠ ABC ，CD 平分∠ ACB ，∠ EBF ＝∠ EFB ，求证： CD∥ EF.C DAD EBC F01．如，∠ EAC ＝∠ ADB ＝ 90° .下列法正确的是（A．α的余角只有∠ B B．α的角是∠ DAC 【例７】如⑴，平面内有六条两两不平行的直，：在所有的交角中，至C．∠ ACF 是α的余角D．α与∠ ACF 互少有一个角小l4l4l3E E于 31°.A Al3l5l5l 2l6l2αM l 6Bl1l1C DB D CFFN第 1第 202．如，已知直 AB 、CD 被直 EF 所截，∠ EMBA．∠ AMFB ．∠ BMF C．∠ ENC03．下列句中正确的是（））ABD C第 4的同位角（）D．∠ END⑴⑵【解法指】如⑵，我可以将所有的直移后，使它相交于同一点，此的形⑵.明：假⑵中的12 个角中的每一个角都不小于31°12× 31°＝ 372°＞ 360°与一周角等于 360°矛盾所以 12 个角中至少有一个角小于 31°【式】01．平面内有18 条两两不平行的直，：在所有的交角中至少有一个角小于11° .A．在同一平面内，一条直只有一条垂B．直上一点的直只有一条C．直上一点且垂直于条直的直有且只有一条D．垂段就是点到直的距离04．如，∠BAC ＝ 90°，AD ⊥ BC 于 D，下列中，正确的个数有（）① AB ⊥AC ② AD 与 AC 互相垂直③点 C 到 AB 的垂段是段 AB ④ 段 AB 的度是点 B 到 AC 的距离⑤垂段 BA 是点 B 到 AC 的距离⑥ AD ＞ BDA． 0B．2C．4D．605．点 A 、 B 、C 是直 l 上的三点，点P 是直 l 外一点，且PA＝ 4cm，PB ＝5cm， PC＝ 6cm，点 P 到直 l 的距离是（）A． 4cm B ． 5cm C．小于 4cm D．不大于4cm06．将一副直角三角板按所示的方法旋（直角点重合），∠ AOB＋∠ DOC＝.02．在同一平面内有2010 条直 a1,a2,⋯， a2010,如果 a1⊥ a2,a2∥ a3， a3⊥a4，a4∥ a5⋯⋯那么a1 与 a2010 的位置关系是.03．已知 n（ n＞ 2）个点 P1，P2，P3⋯ Pn.在同一平面内没有任何三点在同一直上， Sn 表示几个点中的任意两个点所作的所有直的条数，然：S2＝1，S3＝ 3， S4＝ 6，∴ S5＝ 10⋯ Sn＝.演巩固·反提高cC A E D21D B a34Gb65B FC78A O ∴AB ∥ FD．14．如，你填上一个适当的条件使AD∥ BC．FAEH第 61第 7第 907．如，矩形 ABCD 沿 EF 折，且∠ DEF ＝ 72°，∠ AEG ＝. 08．在同一平面内，若直 a1∥ a2,a2⊥ a3,a3∥ a4,⋯ a1a10（. a1 与 a10不重合）09．如所示，直a、b 被直 c 所截，出下列四个条件：①∠1＝∠ 5，②∠ 1 ＝∠ 7，③∠ 2＋∠ 3＝ 180°，④∠ 4＝∠ 7，其中能判断a∥ b的条件的序号是.10．在同一平面内两条直的位置关系有.11．如，已知 BE 平分∠ ABD ，DE 平分∠ CDB ，且∠ E＝∠ ABE ＋∠ EDC．明 AB ∥CD？AE 12．如，已知 BE 平分∠ ABC ， CF 平分∠ BCD ，∠ 1 ＝∠2，那么直 AB 与 CD 的位置关系如何？BBD第 14CCA1E13．如，推理填空：⑴∵∠ A＝（已知）2∴AC ∥ED（）C⑵∵∠ 2＝（已知）∴AC ∥ED（）⑶∵∠ A＋＝ 180°（已知）DB培升·奥F01．平面上互不重合的三条直的交点的个数是（）A． 1，3B． 0，1， 3C．0，2，3D． 0，1， 2， 3 D02．平面上有 10 条直，其中 4 条是互相平行的，那么 10条直最多能把平面分成（）部分 .DAA． 60B．55C．50D． 4503．平面上有六个点，每两点都成一条直，除了原来的CBEF6 个点之外，这些直线最多还有（）个交点 .⑵总共有 29 个交点 .A ．35B． 40C． 45D． 55第 13讲平行线的性质及其应用04．如图，图上有 6 个点，作两两连线时，圆内最多有考点·方法·破译__________________ 交点 .1．掌握平行线的性质，正确理解平行线的判定与性质定理之间的区别和联系；05．如图是某施工队一张破损的图纸，已知a、b 是一个角的两边，现在要在图纸2．初步了解命题，命题的构成，真假命题、定理；上画一条与这个角的平分线平行的直线，请你帮助这个施工队画出这条平行线，3．灵活运用平行线的判定和性质解决角的计算与证明，确定两直线的位置关系，并证明你的正确性 .感受转化思想在解决数学问题中的灵活应用.经典·考题·赏析【例１】如图，四边形 ABCD 中， AB ∥ CD ， BC ∥AD ，∠ A ＝ 38°，a b求∠C 的度数 .D【解法指导】两条直线平行，同位角相等；A两条直线平行，内错角相等；06．平面上三条直线相互间的交点的个数是（）两条直线平行，同旁内角互补 .A．3B．1 或 3C．1或2或3D．不一定是 1，2， 3平行线的性质是推导角关系的重要依据之一，必须正确识别图形的特征，看清截07．请你在平面上画出 6 条直线（没有三条共点）使得它们中的每条直线都恰好线，识别角的关系式关键 .与另三条直线相交，并简单说明画法？【解】：∵ AB ∥CD BC∥ AD∴∠ A ＋∠ B＝180°∠ B＋∠ C＝ 180°(两条直线平行，同旁内角互补 )08．平面上有 10 条直线，无任何三条交于一点，要使它们出现31 个交点，怎么∴∠A＝∠C∵∠ A＝38°∴∠ C＝ 38°安排才能办到？【变式题组】01．如图，已知 AD ∥BC，点 E 在 BD 的延长线上，若∠ ADE ＝ 155 °，则∠ DBC的度数为（）A． 155° B ．50°C． 45°D． 25°09．如图，在一个正方体的 2 个面上画了两条对角线AB 、A E3C l12AC ，那么两条对角线的夹角等于（）DA ．60°B． 75°C． 90° D ． 135°A l 2C1B10．在同一平面内有 9 条直线如何安排才能满足下面的两（第 1 题图）（第 2 题图）个条件？⑴任意两条直线都有交点；BF C21αA B（第 3 题图）D E02．（安徽）如图，直线l1∥ l2,∠ 1＝55°，∠ 2＝65°，则∠ 3 为（）A． 50°B． 55°C． 60°D．65°03．如图，已知FC∥ AB ∥ DE，∠α：∠ D：∠ B ＝2: 3: 4, 试求∠α、∠ D、∠ B 的度数 .【例２】如图，已知 AB ∥ CD ∥ EF，GC⊥ CF，∠ B＝ 60°，∠ EFC＝45°，求∠ BCG 的度数 .【解法指导】平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和角平分线A相结合，可求各种位置的角的度数，但注意看清角的位置.【解】∵ AB ∥CD∥ EF∴∠ B ＝∠ BCD∠ F＝∠ FCD( 两条直线平行，内错角相等 ) 又∵∠ B＝ 60°∠ EFC＝ 45°∴∠ BCD ＝C 60°∠ FCD ＝ 45°又∵ GC⊥ CF ∴∠ GCF ＝ 90°（垂直定理）∴∠ GCD ＝90°－ 45°＝ 45°∴∠ BCG＝ 60°－ 45°＝ 15°E【变式题组】01．如图，已知AF∥ BC, 且 AF平分∠ EAB ，∠ B ＝ 48°，则∠ C 的的度数＝_______________E AFA B MD O EB C B C APND（第 1 题图）（第 2 题图）（第 3 题图）02.如图 ,已知∠ ABC ＋∠ ACB ＝ 120°， BO、 CO 分别∠ ABC 、∠ ACB ， DE 过点O 与 BC 平行，则∠ BOC＝ ___________03．如图，已知AB ∥ MP ∥ CD, MN 平分∠ AMD ，∠ A＝ 40°，∠ D＝ 50°，求∠NMP 的度数 .【例３】如图，已知∠1＝∠ 2，∠ C＝∠ D ．求证：∠ A ＝∠ F.【解法指导】因果转化，综合运用.逆向思维：要证明∠ A ＝∠ F，即要证明 DF∥ AC ．要证明 DF ∥ AC, 即要证明∠ D＋∠ DBC ＝ 180°，即：∠ C＋∠ DBC ＝ 180°；要证明∠ C＋∠ DBC＝180°即要证明 DB ∥ EC．要证明 DB ∥EC 即要证明∠ 1＝∠ 3.证明：∵∠ 1＝∠ 2，∠ 2＝∠ 3（对顶角相等）所以∠1＝∠ 3 ∴ DB ∥B EC（同位角相等 ?两直线平行）∴∠ DBC ＋∠ C＝ 180°（两直线平行，G同旁内角互补）∵∠C＝∠ D∴∠ DBC ＋∠ D ＝ 180° ∴ DF∥ AC（同旁内角，互补两直线平行）∴∠A＝∠ F（两直线平行，内错角相D等）D E F2F【变式题组】01．如图，已知 AC ∥ FG，∠3C1＝∠ 2，求证： DE ∥ FGA1A1DB C32E G C（第 1 题图）02．如图，已知∠ 1＋∠ 2＝ 180°，∠ 3＝∠ B ．求证：∠ AED ＝∠ ACBADE312FB C（第 2 题图）03．如图，两平面镜α、β的夹角θ，入射光线 AO 平行于β入射到α上，经两次反射后的出射光线 O′B平行于α，则角θ等于_________.αOθ【例４】如图，已知 EG⊥ BC ， AD ⊥BC，∠ 1＝∠ 3.O/求证： AD 平分∠ BAC ．E【解法指导】抓住题中给出的条件的目的，仔细分析条件给我们带来的结论，对于不能直接直接得出结论A.（题目中的：的条件，要准确把握住这些条件的意图13∠ 1＝∠ 3）证明：∵ EG⊥ BC ， AD ⊥BC∴∠ EGC＝∠ ADC ＝ 90°（垂直定义）∴ EG∥AD （同位角相等，两条直线平行）G DB∵∠ 1＝∠ 3 ∴∠ 3＝∠ BAD （两条直线平行，内错角相等）∴ AD 平分∠ BAC （角平分线定义）【变式题组】D01．如图，若AE ⊥ BC 于 E，∠ 1＝∠ 2，求证： DC ⊥BC ．A12B E C02．如图，在△ ABC 中，CE⊥AB 于 E,DF ⊥ AB 于 F, AC∥ ED ，CE 平分∠ACB ．求证：∠ EDF＝∠ BDF.AEFBD CB3．已知如图， AB ∥ CD，∠ B＝ 40°， CN 是∠ BCE 的平分线 . CM ⊥ CN，求：∠BCM 的度数 .A BβNME C DC【例５】已知，如图，AB ∥ EF，求证：∠ ABC ＋∠ BCF ＋∠ CFE＝ 360°【解法指导】从考虑360°这个特殊角入手展开联想，分析类比，联想周角 .构造两个“平角”或构造两组“互补”的角.过点 C 作 CD∥AB 即把已知条件 AB ∥ EF 联系起来，这是关A B键 .1【证明】：过点 C 作 CD∥ AB∵ CD ∥ AB ∴∠ 1＋∠ ABC DC ＝ 180°2(两直线平行，同旁内角互补 )又∵ AB ∥EF，∴ CD ∥ EF（平E F行于同一条直线的两直线平行）∴∠ 2＋∠ CFE＝ 180°(两直线平行，同旁内角互补 ) ∴∠ ABC ＋∠ 1＋∠ 2＋∠ CFE＝180°＋ 180°＝ 360°即∠ ABC ＋∠ BCF ＋∠ CFE＝ 360 °【变式题组】01．如图，已知， AB ∥ CD，分别探究下面四个图形中∠APC 和∠ PAB、∠ PCD的关系，请你从所得四个关系中选出任意一个，说明你探究的结论的正确性.结 论 ： ⑴ ____________________________⑵____________________________⑶ ____________________________⑷ ____________________________ABPABABBAPPPDC ⑴D C ⑵ D C ⑶ DC ⑷【例６】如图，已知， AB ∥ CD ，则∠ α、∠ β、∠ γ、∠ ψ之间的关系是∠ α＋∠ γ＋∠ ψ－∠ β＝ 180°Aα B【解法指导】基本图形ABα1βHP ∠ P ＝ α＋ β E 2.善于从复杂的图形中找到基本图形，运用基本图形的规律打开思路 3Fβγ 4∵AB ∥ EH∴∠ α＝∠ 1（两 【解】过点 E 作 EH ∥AB ． 过点 F 作 FG ∥AB ．直线平行，内错角相等）又∵ C DFG ∥AB ∴ EH ∥ FG （平行于同一条直线的两直线ψ 平行）∴∠ 2＝∠ 3 又∵ AB ∥ CD ∴FG ∥ CD （平行于同一条直线的两直线平行）CD∴∠ ψ＋∠ 4＝ 180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠ α＋∠ γ＋∠ ψ－∠ β＝∠ 1＋∠ 3＋∠ 4－ ψ－∠ 1－∠ 2＝∠ 4＋ ψ＝180°【变式题组】01．如图， AB ∥ EF ，∠ C ＝ 90°，则∠ α、∠ β、∠ γ的关系是（ ）A ． ∠ β＝∠ α＋∠ γB ．∠ β＋∠ α＋∠ γ＝ 180°C ． ∠ α＋∠ β－∠ γ＝ 90°D ．∠ β＋∠ γ－∠ α＝ 90°【例７】如图，平移三角形 ABC ，设点 A 移动到点 A/ ，画出平移后的三角形 A/B/C/.【解法指导】抓住平移作图的“四部曲” —— 定，找，移，连 .A ′⑴定：确定平移的方向和距离 .⑵找：找出图形的关键点 .l⑶移：过关键点作平行且相等的线段， 得到关键点的对应点 .A⑷连 : 按原图形顺次连接对应点 .B ′C ′【解】①连接 AA/ ②过点 B 作 AA/ 的平行线 l ③在 l 截取BB/ ＝AA/, 则点 B/ 就是的 B 对应点，用同样的方法作出点 BC 的对应点 C/.连接 A/B/ ，B/C/ ，C/A/ 就得到平移后的三角C形 A/B/C/.【变式题组】01．如图，把四边形 ABCD 按箭头所指的方向平移21cm ，作出平移后的图形.ADBC02．如图 ,已知三角形 ABC 中，∠ C ＝ 90°, BC ＝4， AC＝ 4，现将△ ABC 沿 CB 方向平移到△A/B/C/ 的位置，若平移距离为3, 求△ ABCAA /02．如图， 已知， AB ∥ CD ，∠ ABE 求∠ BFD 的度数 .AαBCγ Dβ和∠ CDE 的平分线相交于点F ，∠ E ＝ 140°，ABEFCD与△ A/B/C/ 的重叠部分的面积 .CC /BB /03．原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着BC 方向平移 BE 的距离，就得到此图形，求阴影部分的面积.（单位：厘米）EFA D83B 5 EC F演练巩固反馈提高A北01．如图，由 A 测 B 得方向是（）A ．南偏东 30°B．南偏东 60°30°C．北偏西 30°D．北偏西 60°B西02．命题：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两直线南平行；④平行于同一条直线的两直线垂直.其中的真命题的有（）A．1个B．2 个C．3 个D．4 个03．一个学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，两次拐弯的角度可能是（）A ．第一次向左拐 30°，第二次向右拐 30°B ．第一次向右拐50°，第二次向左拐 130°C．第一次向左拐 50°，第二次向右拐 130 ° D ．第一次向左拐 60°，第二次向左拐 120°04．下列命题中，正确的是（）A ．对顶角相等B．同位角相等C．内错角相等 D ．同旁内角互补05．学习了平行线后，小敏想出过直线外一点画这条直线的平行线的新方法，是通过折一张半透明的纸得到的 [ 如图⑴—⑷ ]P.P.P.P.从图中可知，小敏画平行线的依据有（）①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行.A．①② B ．②③C．③④ D ．①④06．在 A 、B 两座工厂之间要修建一条笔直的公路，从 A 地测得 B 地的走向是南偏东 52° .现 A 、B 两地要同时开工，若干天后，公路准确对接，则 B 地所修公路的走向应该是（）A．北偏东52°B．南偏东52°C．西偏北52° D ．北偏西38°东07．下列几种运动中属于平移的有（）①水平运输带上的砖的运动；②笔直的高诉公路上行驶的汽车的运动（忽略车轮的转动）；③升降机上下做机械运动；④足球场上足球的运动.A．1种B．2 种C．3 种D．4种08．如图，网格中的房子图案正好处于网格右下角的位置 .平移这个图案，使它正好位于左上角的位置（不能出格）09．观察图，哪个图是由图⑴平移而得到的（）⑴⑵⑶⑷10．如图， AD ∥ BC ，AB ∥ CD ，AE ⊥BC，现将△ ABE 进行平移 . 平移方向为射AD 的方向 . 平移距离段BC 的，平移得到的三角形是中（）的阴影部分 .DA DADAB E AC B E B C BE C C B E11．判断下列命是真命是假命，如果是假命，出一个反例 . ⑴ 角是相等的角；⑵相等的角是角；⑶两个角的和是角；⑷同旁内角互，两直平行.12．把下列命改写成“如果⋯⋯那么⋯⋯”的形式，并指出命的真假.⑴互的角是角；⑵两个角的和是角；⑶直角都相等.13．如，在湖修一条公路.如果第一个拐弯∠ A ＝ 120 °，第二个拐弯∠B ＝150°，第三个拐弯∠ C，道路 CE 恰好和道路 AD 平行，∠ C 是多少度？并明理由 .湖E D120°150°CBD CE DE 点，与两岸B、14．如，一条河流两岸是平行的，当小船行到河中D 成 64°角 . 当小船行到河中 F 点，看 B 点和 D 点的 FB 、FD 恰好有∠1＝∠ 2，∠ 3＝∠ 4 的关系 . 你能出此点 F 与 B、D 所形成的角∠ BFD 的度数？AB12F E3C4D15．如， AB ∥CD ，∠ 1＝∠ 2，明∠ E 和∠ F 的关系 .A B13EF42C PD培升·奥A01．如，等△ ABC 各都被分成五等分，在D F△ ABC 内能与△ DEF 完成重合的小三角形共有25 个，那么在△ ABC 内由△ DEF 平移得到的三角形共有EB C（）个02．如，一足球运在球上点 A 看到足球从 B 点沿着 BO 方向匀速来，运立即从 A 以匀速直奔跑前去截足球.若足球的速度与运奔跑的速度相同，出运的平移方向及最快能截住足球的位置.（运奔跑于足球点的平移）. D A03．如，方体的 AB ＝ 4cm， BC ＝3cm，高 AA1 ＝ 2cm. 将 AC 平移到 A1C1 的位置上，平移的距离是 ___________,平移的方向是___________..A .B04．如是形的操作程（五个矩形水平方向O D1B的均 a，直方向的 b ）；将段A1A2 向右平移 1 个位得到 B1B2 ，得到封A1B1形 A1A2B2B1 [即阴影部分如⑴]; 将折 A1A2A3 向右平移 1 个位得到 B1B2B3 ，得到封形A1A2 A3B3B2B1 [即阴影部分如⑵ ];⑴在⑶中，你似地画出一条有两个折点的直，同的向右平移 1 个位，从而得到 1 个封形，并画出阴影 .⑵ 你分写出上述三个阴影部分的面S1＝ ________, S2＝ ________, S3＝________.⑶ 想与探究：如⑷，在一矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路在任何地方的水平度都是1个位），你猜想空白部分草地面是1A1B1A11A1B BA2草地BA B A3222B3草地2A3B3 A BA B2⑶⑷44⑴⑵⑸多少？05．一位模型手遥控一，先前一半，然后原地逆旋α°（ 0°＜α°＜ 180 °），被称一次操作，若 5 次后回到出点，α°角（）A． 720° B ．108°或 144°C． 144° D ． 720°或 144°06．两条直 a、b 互相平行，直 a 上次有 10 个点 A1 、A2 、⋯、 A10 ，直b 上次有 10个点 B1 、B2 、⋯、 B9 ，将 a 上每一点与 b 上每一点相可得段 .若没有三条段相交于同一点，些段的交点个数是（）C A ．90B． 1620C． 6480D． 200607．如，已知 AB ∥ CD ，∠ B ＝ 100 °， EF 平分∠ BEC ，EG⊥ EF. 求∠BEG 和∠ DEG.C1AB100°G FD E C08．如， AB ∥ CD ，∠ BAE ＝ 30°，∠ DCE＝ 60°，EF、EG 三等分∠ AEC ．：EF 与 EG 中有没有与AB 平行的直？什么？A BFEGC D09．如，已知直 CB ∥ OA ，∠ C＝∠ OAB ＝ 100 °， E、 F 在 CB 上，且足∠ FOB＝∠ AOB ， OE 平分∠ COF.⑴求∠ EOB 的度数；⑵若平行移AB ，那么∠ OBC：∠ OFC 的是否随之生化？若化，找出变化规律；若不变，求出这个比值.⑶在平行移动 AB 的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC＝∠ OBA ？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由.C FE 若x2＝ a(a≥ 0)则 x 叫做 a 的平方根，记为： a 的平方根为x＝± a ，其中a的平B方根为 x＝a叫做a的算术平方根．若 x3＝ a，则 x 叫做 a 的立方根．记为： a 的立方根为x＝3a．2．无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称实数．实数与数轴上的点一O10．平面上有 5 条直线，其中任意两条都不平行，那么在这 5 条直线两两相交所成的角中，至少有一个角不超过36°,请说明理由 .11．如图，正方形 ABCD 的边长为 5,把它的对角线 AC 分成 n 段，以每一小段为对角线作小正方形，这 n 个小正方形的周长之和为多少？ AD12．如图将面积为a2 的小正方形和面积为b2 的大正方形放在一起，用添补法如pA一对应．任何有理数都可以表示为分数q（ p、q 是两个互质的整数，且q≠ 0）的形式．3非负数：实数的绝对值，实数的偶次幂，非负数的算术平方根（或偶次方根）都是非负数．即a>0，a2 n≥ 0（ n 为正整数），a≥0(a≥0)．B经典·考题·赏析【例 1】若 2m－ 4 与 3m－ 1 是同一个数的平方根，求m 的值．【解法指导】一个正数的平方根有两个，并且这两个数互为相反数．∵2m -4 与3m-l 是同一个数的平方根，∴ 2m-4 ＋ 3m-l ＝ 0， 5m＝ 5， m＝ l ．【变式题组】01．一个数的立方根与它的算术平方根相等，则这个数是____．C2的最大整数，则m 的平方根是 ____．02．已知 m 是小于159的立方根是 ____．何求出阴影部分面积？F A03．04．如图，有一个数值转化器，当输入的x 为 64 时，输出的 y 是 ____ ．是无理数输入 x输出 y取算术平方根第06讲实数B考点·方法·破译E1．平方根与立方根：C D是有理数【例2】（全国竞赛）已知非零实数 a 、b满足2a 4 b 2 a 3 b24 2a，则 a＋ b 等于 ( )A．－1B． 0C．1D． 2【解法指导】若a 3 b2有意义，∵ a、 b为非零实数，∴ b2>0 ∴a－ 3≥ 0 a ≥ 3∵2a4b2 a 3 b2 4 2a∴2a 4 b 2 a 3 b2 4 2a b 2 a 3 b20，∴．b20a3∴a 3 b20，∴b2，故选 C．【变式题组】0l ．在实数范围内，等式2a a 2b 3＝ 0 成立，则 ab＝ ____．2a02．若a9b30，则b的平方根是 ____．2009x03．（天津）若 x、 y 为实数，且x 2y 2 0，则y的值为（）A ． 1B．－ 1C． 2D．－ 2x xx104．已知 x 是实数，则的值是 ()111111A ．B．C．D．无法确定【例 3】若 a、 b 都为有理效，且满足ab b 1 23．求 a＋b 的平方根．【解法指导】任何两个有理数的和、差、积、商（除数不为0）还是有理数，但两个无理数的和、差、积、商（除数不为0）不一定是无理数．∵a b b 1 23 ，a b1 a b1a13∴ b 2 3 即b12 ，∴b12 ，a ＋ b＝ 12＋ 13＝ 25．∴ a＋b 的平方根为： a b25 5 ．【变式题组】01．（西安市竞赛题）已知m、 n 是有理数，且（5＋ 2） m＋(3 －25)n＋ 7＝ 0求 m、 n．1102．（希望杯试题）设 x、y 都是有理数，且满足方程（23）x＋（32）y-4-＝ 0，则 x-y ＝ ____．【例 4】若 a 为17- 2 的整数部分， b-1 是 9 的平方根，且 a b b a ，求a＋ b 的值．【解法指导】一个实数由小数部分与整数部分组成，17- 2＝整数部分＋小数部分．整数部分估算可得2，则小数部分＝17-2-2 ＝17- 4．∵ a＝ 2，b-1＝± 3 ，∴ b＝－ 2 或 4∵ a bb a．∴ a<b ，∴ a ＝ 2， b ＝ 4，即 a ＋ b ＝ 6．【 式 】01．若 3＋5的小数部分是 a ，3-5的小数部分是 b ， a ＋ b 的 ____．02． 5的整数部分a ，小数部分b ， （5＋ a ）· b ＝ ____ ．演 巩固 反 提高0l ．下列 法正确的是 ( )A ．－ 2 是 (－ 2)2 的算 平方根B ．3 是－ 9 的算 平方根C ． 16 的平方根是± 4D ．27 的立方根是± 3c502．a3， b ＝ －2，2 ， a 、 b 、c 的大小关系是 ( )A ． a<b<cB ． a<c<bC ． b<a<cD ． c<a<b03．下列各 数中，互 相反数的是 ()A ．－9 与 81 的平方根B ．4 与364C ．4 与 3 64D ．3 与93 82 ? ?16 ， ? ?125 中无理数有 ()04．在 数1.414， ，0.1 ，5-， 3.1 ，54A ．2个B ．3 个C ．4个D ． 5个05． 数 a 、 b 在数 上表示的位置如 所示，( )A ． b>aabB ．C ． －a ＜ bD ．－ b>a06． 有四个无理数5，6 ，7 ，8 ，其中在 2 ＋1 与 3＋1 之 的有 ( )A ． 1个B ．2 个C ． 3个D ．4个3207． m 是． m ， n 的关系是 ( )9的平方根， n ＝A. m ＝± nB.m ＝ nC .m ＝－ nm nD.08．（烟台）如 ，数 上 A 、B 两点表示的数分 － 1 和3，点B 关于点 A的 称点 C ， 点 C 所表示的数 ( )A ．－ 2 3B ．－13C ．－2 ＋3D ． l ＋309．点 A 在数 上和原点相距5个 位，点 B 在数 上和原点相距 3 个 位，且点 B 在点 A 左 ， A 、 B 之 的距离 ____．111 10．用 算器探索：已知按一定 律排列的一 数：1， 2，3 ⋯，19 ，120．如果从中 出若干个数，使它的和大于3，那么至少要 ____个数．a b11． 于任意不相等的两个数a 、b ，定 一种运算※如下： a ※ b ＝ab ，如 33 2※ 2＝3 2＝ 5．那么 12.※ 4＝ ____．12．（ 沙中考 ）已知a 、b 两个 整数，且a<7<b ， a ＋ b ＝ ____．a2b a≥ b13．对实数 a、 b，定义运算“ * ”，如下 a*b＝ab2a<b，已知 3*m＝ 36，则实数 m＝ ____．a22a114．设 a 是大于 1 的实数．若 a， 3 ，3在数轴上对应的点分别是 A 、B、C，则三点在数轴上从左自右的顺序是____ ．15.如图，直径为 1 的圆与数轴有唯一的公共点P．点 P 表示的实数为－ 1．如果该圆沿数轴正方向滚动一周后与数轴的公共点为P′，那么点 P′所表示的数是 ____．16．已知整数x、 y 满足x＋2y＝50，求x、y．17．已知 2a-1 的平方根是± 3，3a＋ b-1 的算术平方根是4，求 a＋ b＋ 1 的立方根．18．小颖同学在电脑上做扇形滚动的游戏，如图有一圆心角为60°，半径为 1 个单位长的扇形放置在数轴上，当扇形在数轴上做无滑动的滚动时，当 B 点恰好落在数轴上时，(1)求此时 B 点所对的数；(2)求圆心 O 移动的路程．19．若 b＝3a 15＋153a＋ 3l ，且 a＋ 11 的算术平方根为m， 4b＋ 1 的立方根为 n，求（ mn-2 ） (3mn＋ 4)的平方根与立方根．20．若 x、y 为实数，且（ x-y ＋ 1）2 与5x 3y 3互为相反数，求x2y2的值．培优升级奥赛检测01．（荆州市八年级数学联赛试题）一个正数x 的两个平方根分别是a＋1 与 a-3 ，则 a 值为 ( )A． 2B．－ 1C． 1 D ． 002．（黄冈竞赛）代数式x ＋x 1＋x2的最小值是 ( )A． 0B．1＋2C． 1 D ． 203．代数式53x- 2的最小值为____．04．设 a 、b 为有理数，且 a 、b 满足等式 a2＋ 3b ＋ b 3＝ 21-5 3，则 a ＋ b ＝ ____．05．若a b＝ 1，且 3 a＝ 4 b，则在数轴上表示09．（北京市初 二 年级竞赛试题）已知0<a<1 ， 并 且a 、b 两数对应点的距离为____．1 2328 29a a06．已知实数 a 满足2009aa 2010a，则 a- 20092 ＝_______．aggg aa303030303018 ，求 [10a] 的值[其中 [x] 表示不超过 x 的最大整数 ]．m 满足关系式 3x 5y2 mx 3 y mx 199 y g 199 xy ，试确定 m 的值．10．（北京竞赛试题）已知实数a 、b 、 x 、 y 满足 x3 1 a 2y ＋，x 3 y 1 b 2 ，求 2x y 2a b 的值．08．（全国联赛）若 a 、 b 满足 3 a 5 b ＝ 7，S ＝ 2 a 3 b，求 S 的取值范围．第 14 讲平面直角坐标系（一）考点．方法．破译1．认识有序数对，认识平面直角坐标系．2．了解点与坐标的对应关系．3．会根据点的坐标特点，求图形的面积．经典．考题．赏析【例 1】在坐标平面内描出下列各点的位置．A(2 ， 1)， B(1， 2)， C(－1， 2)， D( － 2，－ 1)， E(0， 3)， F(－ 3， 0)【解法指导】从点的坐标的意义去思考，在描点时要注意点的坐标的有序性．【变式题组】01．第三象限的点P(x，y)，满足 |x|＝ 5,2x＋ |y|＝ 1，则点 P 得坐标是 _____________ ．02．在平面直角坐标系中，如果m.n＞０，那么（m, |n|）一定在 ____________象限 .03．指出下列各点所在的象限或坐标轴．11A( －3， 0)， B( －2，－3) ，C(2，2)， D(0,3) ， E(π－ 3.14， 3.14－π )【例 2】若点 P(a， b)在第四象限，则点Q(― a， b― 1)在（）A．第一象限 B ．第二象限C．第三象限 D ．第四象限【解法指导】∵ P(a，b)在第四象限，∴ a＞0，b＜ 0，∴－ a＜ 0, b－１＜ 0,故选C．【变式题组】01．若点 G(a，2－ a)是第二象限的点，则 a 的取值范围是（）A． a＜ 0B． a＜2C． 0＜ a＜ 2 B ． a＜ 0 或 a＞ 2 02．如果点P(3x－２，２－ x)在第四象限，则x 的取值范围是____________．03．若点 P(x， y)满足 xy ＞ 0，则点 P 在第 ______________象限．04．已知点P(2a－ 8， 2－ a)是第三象限的整点，则该点的坐标为___________．【例３】已知 A 点与点 B(－ 3， 4)关于 x 轴对称，求点 A 关于 y 轴对称的点的坐标．【解法指导】关于x 轴对称的点的坐标的特点：横坐标(x)相等，纵坐标(y)互为相反数，关于 y 轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标 (y)相等．【变式题组】01．P(－ 1， 3)关于 x 轴对称的点的坐标为____________ ．02．P(3，－ 2)关于 y 轴对称的点的坐标为____________ ．03．P(a， b)关于原点对称的点的坐标为____________ ．04．点A( － 3 ， 2m－１ ) 关于原点对称的点在第四象限，则m 的取值范围是____________ ．05．如果点Ｍ (a＋b， ab)在第二象限内，那么点N(a， b) 关于 y 轴对称的点在第______象限．【例４】 P(3，－ 4)，则点 P 到 x 轴的距离是 ____________．【解法指导】 P(x，y)到 x 轴的距离是 | y|，到 y 轴的距离是 |x|．则 P 到轴的距离是|－4|＝4【变式题组】01．已知点P(3， 5)， Q(6，－５ )，则点 P、 Q 到 x 轴的距离分别是_________ ，__________．P 到 y 轴的距离是点Q 到 y 轴的距离的 ________倍．02．若 x 轴上的点Ｐ到y 轴的距离是3，则 P 点的坐标是 __________．03．如果点B(m ＋ 1， 3m－ 5) 到 x 轴的距离与它到y 轴的距离相等，求m 的值．04．若点 (5－a， a－ 3)在一、三象限的角平分线上，求 a 的值．05．已知两点 A( －3， m)， B(n ，4) ，AB ∥ x 轴，求 m 的值，并确定 n 的取值范围．【例５】如图，平面直角坐标系中有A、B 两点．(1)它们的坐标分别是 ___________，___________；(2)以 A 、 B 为相邻两个顶点的正方形的边长为_________；(3)求正方形的其他两个顶点 C、D 的坐标．【解法指导】平行x 轴的直线上两点之间的距离是：两个点的横坐标的差得绝对值，平行 y 轴的直线上两点之间的距离是：两个点的纵坐标的差得绝对值．即：A(x1 ， y1)，B(x2 ， y2)，若 AB ∥ x 轴，则 |AB| ＝ |x1－ x2|；若 AB ∥ y，则 |AB| ＝ |y1－y2|，则 (1)A(2 ，2) ，B(2 ，－ 1)； (2)3； (3)C(5 ， 2)，D(5 ，－ 1)或 C(－ 1， 2)， D(－ 1，－1)．【变式题组】01．如图，四边形 ACBD 是平行四边形，且 AD ∥ x 轴，说明， A、D 两点的 ___________坐标相等，请你依据图形写出 A 、 B 、 C、 D 四点的坐标分别是_________ 、_________、 ____________ 、____________ ．02．已知： A(0 ，4)， B( －3， 0)， C(3， 0)要画出平行四边形 ABCD ，请根据 A 、 B 、C 三点的坐标，写出第四个顶点 D 的坐标，你的答案是唯一的吗？03．已知： A(0 ，4)，B(0 ，－ 1)，在坐标平面内求作一点，使△ ABC 的面积为 5，请写出点 C 的坐标规律．【例 6】平面直角坐标系，已知点 A( －3，－ 2)，B(0 ，3)， C(－ 3， 2)，求△ ABC 的面积．1【解法指导】(1)三角形的面积＝ 2 ×底×高．(2)通过三角形的顶点做平行于坐标轴的平行线将不规则的图形割补成规则图形，然后计算其面积．则Ｓ△11ABC ＝Ｓ△ ABD ＝Ｓ△ BCD ＝2·3·5－2·3·1＝6．【变式题组】01．在平面直角坐标系中，已知△ ABC三个顶点的坐标分别为 A( ― 3，― 1)， B(1， 3)， C(2，－ 3)，△ ABC 的面积．02．如图，已知 A( －4， 0)， B( － 2， 2)， C,0，－ 1)， D(1 ， 0)，求四边形 ABDC 的面积．03．已知： A( － 3，0)，B(3 ， 0)， C(－ 2，2)，若 D 点在 y 轴上，且点 A 、B、C、D 四点所组成的四边形的面积为 15，求 D 点的坐标．。