循环小数
循环小数的概念和定义
循环小数的概念和定义
嘿，大家好啊！今天咱来说说循环小数是啥概念和定义。
有一回啊，我和朋友去超市买东西。
算账的时候，我发现价格是个小数，而且这小数有点奇怪。
比如说有个东西价格是 3.3333……一直这么循环下去。
这就有点像循环小数了。
循环小数呢，就是小数部分有一个数字或者几个数字依次不断地重复出现。
就像刚才那个3.3333……，数字3 一直在重复。
比如说还有 2.142857142857……这里面的“142857”就不断重复出现。
循环小数有个特点，就是可以用一种特别的方式来表示。
比如说3.3333……可以写成3.（3 上面加个点），表示数字3 循环。
所以啊，以后咱看到这种小数部分有重复数字的小数，就知道它是循环小数啦。
好了，今天就聊到这儿吧。
希望大家都能认识循环小数。
关于什么是循环小数
关于什么是循环小数在数学中，循环小数是基础学习知识之一，下面是unjs小编为您整理关于循环小数，欢迎阅读!循环小数循环小数，是指从小数点后某一位开始不断地重复出现前一个或一节数字的十进制无限小数，叫做循环小数，可分为有限循环小数,如：1.123123123(不可添加省略号)和无限循环小数，如：1.123123123……(有省略号)。
前者是有限小数，后者是无限小数。
循环小数介绍循环小数英文名：circulating decimal两数相除，如果得不到整数商，会有两种情况：一种，得到有限小数。
一种，得到无限小数。
从小数点后某一位开始不断地重复出现前一个或一节数字的十进制无限小数，叫做循环小数，如 2.1666...*(混循环小数)，35.232323...(循环小数)，20.333333…(循环小数)等，被重复的一个或一节数字称为循环节。
循环小数的缩写法是将第一个循环节以后的数字全部略去，而在第一个循环节首末两位上方各添一个小点。
例如：2.966666... 缩写为 2. 96(6上面有一个点;它读作“二点九六，六循环”)35.232323…缩写为35.23(2、3上面分别有一个点;它读作“三十五点二三，二三循环”)循环小数可以利用等比数列求和(附链接：等比数列)的方法化为分数。
例如图中的化法。
所以在数的分类中，循环小数属于有理数。
循环小数一个“特殊”性质我们熟悉的七分之几化成循环小数为：以第一个分数为例：取它的循环节142857，共六位，从中间分成两段：142和857，对应相加!看看下图，发现了什么吗?没错!999!再试试其他几个循环小数的循环节，也是这样吗?我们再换一个分数。
比如1/11=0.090909……2/11=0.181818……3/11=0.272727…………循环节都是两位，分成两段，对应相加，9!再看一个：1/13=0.0769********……2/13=0.153846153846……3/13=0.230769230769…………第一个：循环节为076923，6位，分成两段， 076和923，对应相加：999!第二个：循环节为153846，6位，分成两段，153和846，对应相加，999!……再看一个长一点的：1/17=0.0588235294117647……2/17=0.1176470588235294……第一个：循环节为0588235294117647，16位，分成两段，05882352和94117647，对应相加，99999999!第二个：循环节为1176470588235294，16位，分成两段，11764705和88235294，对应相加：99999999!……一个调查：没错!7、11、13、17都是质数!其他质数呢?有没有兴趣试一试?特别是，有兴趣拿出一张大一点的纸，计算一下1/109吗?还有，背后的原因是什么呢?您会提出这个问题，并且试图解决吗? [关于什么是循环小数]。
循环小数分类
循环小数分类
循环小数如何分类？
答：循环小数分类如下：
循环小数可分为纯循环小数和混循环小数。
一个数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无限小数叫循环小数。
1、纯循环小数
将纯循环小数改写成分数，分子是一个循环节的数字组成的数；分母各位数字都是9，9的个数与循环节中的数字的个数相同.
例如：0.111...=1/9、0.12341234...=1234/9999
2、混循环小数
将混循环小数改写成分数，分子是不循环部分与第一个循环节连成的数字组成的数，减去不循环部分数字组成的数之差；分母的头几位数字是9，末几位数字是0，9的个数跟循环节的数位相同，0的个数跟不循环部分的数位相同.
例如：0.1234234234…=(1234-1)/9990 0.55889888988898...=(558898-55)/999900。
探索小数了解循环小数和无限不循环小数
探索小数了解循环小数和无限不循环小数要探索小数的性质，我们需要先了解循环小数和无限不循环小数的概念。
循环小数是指小数部分存在循环模式的小数，而无限不循环小数则是指小数部分没有循环模式的小数。
为了更好地理解这两种小数，我们先来看一个例子：1/3。
当我们用十进制表示1/3时，得到的是无限不循环小数0.333333...，小数部分没有循环模式，无限重复。
而当我们用分数表示1/3时，可以写成1/3=0.3(3)，其中小数部分3无限循环，这就是循环小数。
接下来，让我们探索一下循环小数和无限不循环小数的特点以及它们之间的关系。
1. 循环小数的性质循环小数具有以下性质：- 循环小数的小数部分有限，但整数部分可以是任意整数。
- 循环小数可以用分数表示。
- 循环小数可以通过循环节的重复来表示。
在表示循环小数时，中括号可以用来表示循环节。
例如，4/7=0.(571428)，可以写成4/7=0.[571428]，其中571428是循环节。
2. 无限不循环小数的性质无限不循环小数具有以下性质：- 无限不循环小数的小数部分无限重复，没有循环模式。
- 无限不循环小数无法用有限的分数表示。
- 无限不循环小数是无限不循环的。
一个经典的例子是圆周率π，它是无限不循环小数。
尽管我们可以用3.14或22/7这样的近似值表示π，但真实的π是一个无限不循环小数，小数部分没有循环模式，无限重复。
3. 循环小数和无限不循环小数的关系循环小数和无限不循环小数之间存在一定的关系，可以通过一些数学方法进行转换。
有理数可以表示为循环小数或者有限小数，而无理数可以表示为无限不循环小数。
有理数是可以用两个整数的比表示的，而无理数无法用分数表示。
在数学领域中，我们可以通过一些运算和技巧将无理数近似地表示为循环小数或者无限不循环小数的形式，这对于计算和研究无理数是非常有帮助的。
总结起来，循环小数和无限不循环小数是小数的两种不同形式，它们有着不同的特点和性质。
循环小数
循环小数化分数要两种类型可分：1.纯循环小数循环节有几位分母就写几个9，循环节是什么分子就写什么，如：0.33……＝3/9＝1/32.混循环小数循环节有几位分母就写几个9，不是循环节的有几位就在“9”后面加几个0，分子是第一个循环节前的数空大相应的倍数相减，如：0.833……＝83.33……－8.33……/90＝75/90＝5/6一、纯循环小数化分数从小数点后面第一位就循环的小数叫做纯循环小数。
怎样把它化为分数呢？看下面例题。
把纯循环小数化分数：纯循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是一个循环节表示的数，分母各位上的数都是9。
9的个数与循环节的位数相同。
能约分的要约分。
二、混循环小数化分数不是从小数点后第一位就循环的小数叫混循环小数。
怎样把混循环小数化为分数呢？把混循环小数化分数。
（2）先看小数部分0.353一个混循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差。
分母的头几位数是9，末几位是0。
9的个数与循环节中的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。
三、循环小数的四则运算循环小数化成分数后，循环小数的四则运算就可以按分数四则运算法则进行。
从这种意义上来讲，循环小数的四则运算和有限小数四则运算一样，也是分数的四则运算。
有限小数化成分数直接将小数点去掉，分母对应化成十百千万等。
再约分。
例如：0.333.....＝3/9=1/30.214214214214214....=214/999简单说每一个循环节为分子，循环节有几位数分母就写几个90.3333......循环节为3 0.214.....循环节为2140.52525252....循环节为52，所以0.525252...＝52/990.35....=35/99例如：0.333333……循环节为3则0.3=3*10^(-1)+3*10^(-2)+……+3^10(-n)+……前n项和为：30.1(1-(0.1)^(n))/(1-0.1)当n趋向无穷时（0.1）^（n）=0因此0.3333……=0.3/0.9=1/3注意：m^n的意义为m的n次方。
五年级数学循环小数
五年级数学循环小数
一、循环小数的定义
循环小数是一种特殊的分数小数，它具有特定的循环特征。
在数学上，循环小数被定义为具有无尽循环模式的数字序列。
例如，1/3=0.333333……是一个循环小数，因为它的小数部分3是不断重复的。
二、循环小数的表示方法
循环小数通常可以用两种方式表示：一般形式和特殊形式。
1.一般形式：通过在数字后面添加一个无穷的小数来表示循环小数。
例如，
1/3=0.333333……可以表示为1.333333……
2.特殊形式：通过在数字后面添加一个循环节来表示循环小数。
例如，
1/3=0.333333……可以表示为0.3（3无限循环）。
三、循环小数的性质
循环小数有一些重要的性质：
1.循环小数的整数部分始终保持不变。
2.循环小数的循环节始终重复出现。
3.循环小数的和、差、积和商都可以表示为循环小数。
4.循环小数的倍数仍然为循环小数。
四、循环小数的简单运算
对于循环小数的简单运算，可以遵循以下步骤：
1.将循环小数转换为分数。
2.对分数进行运算。
3.将结果再转换为循环小数（如果需要的话）。
五、应用循环小数解决实际问题
循环小数在现实生活中有着广泛的应用。
例如，在时间计算中，我们常常会遇到“一刻钟”这样的表述，其中的“一刻”实际上是15分钟，是一个循环
小数的表示。
此外，循环小数也出现在物理学、工程学和其他科学领域中。
通过对循环小数的理解，我们可以更好地解决实际问题。
循环小数
1.4854854854 5.16875578…
一个循环小数的小数部分，依次不 断重复出现的数字，叫做这个循环小数 的循环节。例如，5.33…的循环节是3， 7 .14545…的循环节是45。写循环小数 时，可以只写第一个循环节，并在这个 循环节的首位和末位上点两个圆点。例 .. 如，3.2727…写作3.27，0.1875875…写 . . 作0.1875。
5.你能根据下面各式的商，很快说出其 它各式的商吗？ 1÷11＝0.0909… 2÷11＝0.1818… 3÷11＝0.2727…
趣 味 练 习
4÷11＝ 0.3636…
5÷11＝ 0.4545…
6÷11＝ 0.5454…
7÷11＝ 0.6363…
平均每秒跑 多少米呢 ？
哇！王鹏400米 只用了75秒！
从前有座山，山上有座庙， 庙里有个老和尚和一个小和尚， 老和尚给小和尚讲故事 ……
在我们平时接触到的一些自然现象或生活中也 有一些现象是按照一定顺序依次不断进行着的。
四季的排列顺序， 一个星期的七天的排列顺序， 一年12个月的排序，
……
像这样“依次不断重复出现”的现象叫做“循环
73÷3= 24.333…
1.读下面循环小数。
24.3
.
读作： 二十四点三，三循环
..
0.854
. .
读作： 零点八五四，五四循环
0.3215
读作： 零点三二一五，三二一 五循环
.. 7.12424…= 7.124 . . 0.0201201…= 0.0201 . . 4.412031203…= 4.41203
0.4666… = 0.46
2.用简便形式写出下列循环小 数 .
3、计算下面各题，哪些商是循环小数？ 3 ÷8 =0.375
循环小数的简单表示方法
循环小数的简单表示方法循环小数的简单表示方法一、简介循环小数是一种不定小数，也称作无限循环小数，它是一种复杂的数学概念，它在数学实践中，一般用简记方式来表示。
二、简记法简记法是用一个符号来代表复杂的数字，帮助人们快速记忆。
简记法常用来表示循环小数，它由三部分组成：比特率，循环节以及权数。
1.比特率：比特率是指循环小数的位数，它的取值范围一般为2到16。
2.循环节：循环节是指位数形成的圈，表征循环小数的最小单位。
其中从右边开始的第一个不同的数字为该循环节的第一位，第二个不同的数字为第二位，以此类推。
3.权数：权数即对应其小数部分权值，由2位16进制数字表示，其范围为00-FF。
简记法中的三部分组成，比特率、循环节以及权数都可以根据实际情况自行确定，但循环节和权数要搭配使用，所确定的比特率不能超过循环节，权数不能大于比特率。
三、示例考虑一个循环小数，它的比特率为3，循环节为其小数部分的第一位即多少位数以及最后一位的十六进制标识，权数为第一位和最后一位之间数字的十六进制标识，即可表示为：3-n-m。
四、表示法如果以循环小数的格式进行表示，则可以用一个词语表示，表示法由比特率、小数部分和权数组成，其形式为：m比特率置n，权m，如3比特率置3，权6，表示小数0.123456循环。
五、转换法例如，一个循环小数a=0.125，比特率=4，可以先转换成十进制，即a=0.125=1/8=0.0001，然后按照四比特率进行编码，即 0000 1000 0000 0000，将其转换成二进制约分，可以转换成 0000 1000 0000 0000=0.1000=8/16，即a=0.125=8/16，再把8换算成十六进制表示，可以得出，a=4-8-8，表示4比特率置8，权8表示循环小数0.125。
六、结论循环小数是一种常见的不定小数，简记法、表示法以及转换法都能够帮助人们快速记忆循环小数，并能够根据实际需要调整比特率以及权数，以此来更有效的表示循环小数。
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的什么呢? 尚讲故事.讲 的什么呢?老 尚讲故事. 的什么呢?老 的什么呢? 和尚说: 和尚说:
和尚说: 和尚说:
聪明的同学们:这个故事有什么特点?
王鹏跑400米用了75秒 王鹏跑400米用了75秒, 400米用了75 探索 平均每秒跑多少米呢? 平均每秒跑多少米呢? 5. 3 3 3 观察这个竖式, 观察这个竖式, 7 5 4 0 0 3 7 5 你发现了什么? 你发现了什么?
2 5 0 5
400÷75= 400÷75=
余数总是"25" 余数总是"25" 商的小数部分总是重复出现" 商的小数部分总是重复出现"3" 继续除下去,可能永远也除不完. 继续除下去,可能永远也除不完.
2 2
2 5 0 2 2 5 5 2 5 0 2 2
2 5
课题
循环小数
继续
1 8 2
说一说这些商的特点
复习
6.3÷3= 2.1 ÷ 8.1÷9= 0.9 ÷ 4.9÷7= 0.7 ÷ 3.2÷8= 0.4 ÷ 6.6÷11= 0.6 ÷ 1.5÷15= 0.1 ÷ 0.96÷0.3= 3.2 ÷ 0.63÷0.9= 0.7 ÷
引入
故事会
哈哈哈 哈哈哈 哈哈 哈
从前有座山, 从前有座山, 从前有座山, 从前有座山,山 山上有座庙, 山上有座庙, 上有座庙, 上有座庙,庙里 庙里住着老和 从前有座山, 从前有座山, 住着老和尚和小 尚和小和尚, 尚和小和尚, 山上有座庙, 山上有座庙, 和尚, 和尚,老和尚给 庙里住着老和 老和尚给小和 从前有座山, 从前有座山, 山上有座庙, 山上有座庙, 尚讲故事. 尚和小和尚, 尚讲故事 尚和小和尚, 小和尚讲故事. 小和尚讲故事. .讲 从前有座山, 从前有座山, 庙里住着老和 老和尚给小和 山上有座庙, 山上有座庙, 的什么呢? 尚讲故事.讲 的什么呢?老 尚和小和尚, 尚和小和尚, 讲的什么呢? 讲的什么呢?老 庙里住着老和 尚讲故事. 老和尚给小和 尚和小和尚, 尚和小和尚, 和尚说: 和尚说: 的什么呢? 尚讲故事.讲 和尚说: 和尚说: 的什么呢?老 尚讲故事. 老和尚给小和
1. 8 0 0 0 5 5 5 1 1 7. 7 8. 7 7 1 1 1 6 6 1 5 0 4 4 6 0 5 5 5 0 4 4 6 0 5 5 5 4 5 4 5
1 8 1 0 9 0 1 0 9 0 1 0 9 0 1 0
小数部分也有数字重复出现
循环小数
一个数的小数部分,从某一位起, 一个数的小数部分,从某一位起, 一个数字或者几个数字依次 不断重复出现,这样的小数 叫做循环小数. 其中依次不断重复出现的数字, 其中依次不断重复出现的数字, 叫做这个循环小数的循环节.
小结
循环小数 循环节 简写方法 有限与无限
课后作业
课程练习册第19页 课程练习册第19页
�
.
.
特别的:6.9127127 特别的:6.9127127
. . . .
=6.9127
小数家族
1,小数部分的位数是有限的小数, 小数部分的位数是有限的小数, 叫做有限小数. 叫做有限小数. 如: 0.9852,11.37,0.5等等 0.9852,11.37,0.5等等 2,小数部分的位数是无限的小数, 小数部分的位数是无限的小数, 叫做无限小数. 叫做无限小数. 如:0.245687148 及所有的循环 小数. 小数.
. 5.6
3,比较下面每组两数大小
1.3 < .< 5.43 5.43 .. > 1.23 1.2323 5.43=5.4343 .< 0.29 0. 9
. 1.3 ..
. 1.3=1.333 . 5.43=5.433 3 ..
4,判断下面叙述是否正确 对的画" 错的画" (对的画"√",错的画"×") (1) 0.6666是循环小数. 0.6666是循环小数. (× ) √ (2) 循环小数一定是无限小数. ( ) ... (3) 2.07=2.07 2.07=2.07. (× ) (4) 无限小数比有限小数大. (×) (5) 32÷6的商是一个循环小数. (√ 5.666 写作( 写作( ) .. 0.06262 写作( 0.062 写作( ) .. 3.2727 写作( 3.27 写作( ) .. 0.9181818 写作( 0.918 写作( ) .. 2.802802802 写作( 2.802 ) 写作( .. 16.203203 写作( 16.203 ) 写作(
复习巩固 1,填空题
一个数的小数部分,从某一位起, 一个数的小数部分,从某一位起, 数字或者( ( 一个 )数字或者( 几个 )数 字依次不断( 字依次不断( 重复出现 ), 这样的小数叫做循环小数. 这样的小数叫做循环小数. 其中依次不断重复出现的数字,叫 其中依次不断重复出现的数字, 做这个循环小数的( 做这个循环小数的( 循环节 ).
创造之旅
你能找到循环小数么?
11.4444 11.4444 2.535353 535353 213213213 5.213213213 48.576576576 48.576576576
循环小数的简便写法
400÷75= 400÷75=5.333 或简便记作: 或简便记作:5.3 28÷18= 28÷18=1.555 或简便记作: 或简便记作:1.5 78. 11= 78.6÷11=7.14545 或简便记作: 或简便记作:7.145