费曼-海尔曼定理
几个定理
(2)
若 ( ) 为实数，则有：
| |
| H | | H |
(2)简化为
H | 2 | | | 2 | H |
$6-1 海尔曼-费曼定理和维里定理
一 海尔曼-费曼定理
20世纪30年代末，Hellmann 和 Feynman 分别提出一个定理， 现统称为Hellmann－ Feynman 定理。
在玻恩-奥本海默近似下，电子运动的哈密顿算符 H ，波函数
能量E等都是核间矩R的函数，或者说是以R为参数。推广一下， H ( ) ( ) E ( ) 以 为参数， 可以是核间矩，核电荷、力常数等。则有：
是一个-3次的齐函数，因为有
f ( sx, sy, sz ) s 3 [
1 1 1 x 3 ] s f ( x, y, z ) 3 3 3 2 2 x y z y z
(2)齐次函数的欧拉定理：如果
f ( x1 , x2 ,, x j )
为n次齐函数，则
f xk nf xk k
q2 ， q3
；相应的动量分量为
p1
p ， 2 ，
i
p3
）。所以
[ H , A] [ H , qi pi ] [ H i , qi pi ] qi [ H i , pi ] [ H i , qi ] pi
i i i
若 选择为第P个核的坐标，则有
பைடு நூலகம்E PE
H | | | PV | | FP |
P E | FP |
fh定理及其应用第五讲
即 (Hˆ En ) | n 0
对求导数：
Hˆ
En
n
Hˆ
En
n 0
n
Hˆ
En
n
n (Hˆ En )
n
0
n | Hˆ (Hˆ | n ) (En | n ) n | En
i1 l
m
|
xi
|
l
1 i
m
|
[xi , Hˆ ]
|
l
1 i
m
|
(xi Hˆ
Hˆxi
)
|
l
1 i
(El
Em
)
m
|
xi
|
l
l
|
pˆ i
|
m
1 i
l
|[
pˆ i
,.Hˆ ]
|
m
1 i
l
|
( pˆ i Hˆ
Hˆpi
)
|
m
1 i
(Em
El
)
l
|
pi
|
m
2T nV
3 i1
l
1 i
(El
Em )
m
|
xi
|
l
l
|
pˆ i
|
m
1 i
(Em
量子力学习题选解
一．选择题1.一个空腔可以看作黑体。
实验得出，当空腔与内部的辐射处于平衡时，辐射能量密度按波长分布的曲线形状和位置[ ]A.只与绝对温度有关B.与绝对温度及组成物质有关C.与空腔的形状及组成物质有关D.与绝对温度无关，只与组成物质有关2.光电效应中，光电子的能量[ ]A.只与光强有关，与光的频率无关B.只与光的频率有关，与光强无关C.与光强和光的频率都有关D.与光强和光的频率都无关，和金属材料有关3.实验表明，高频率的X 射线被轻元素中的电子散射后，波长[ ] A.随散射角的增加而增大 B.不变C.随散射角的增加而减小D.变化情况视元素种类而定4.根据德布罗意关系，与自由粒子相联系的波是[ ] A.定域的波包 B.疏密波 C.球面波 D.平面波5.普朗克常数的单位是[ ]A.s J ⋅B.s N ⋅C.K s J /⋅D.K s N /⋅6.一自由电子具有能量150电子伏，则其德布罗意波长为A.1A B.15A C.10A D.150A7.下列表述正确的是A.波函数归一化后是完全确定的B.自由粒子的波函数为r p i p Ae t r⋅=),(ψD.所有的波函数都可以归一化8. 在球坐标中，ϕθψππd drd z y x 220),,(⎰⎰表示A.在),(ϕθ方向的立体角中找到粒子的几率B.在球壳),(dr r r +中找到粒子的几率C.在),,(ϕθr 点找到粒子的几率D.在),,(ϕθr 点附近，ϕθd drd 体积元中找到粒子的几率9.波函数的标准条件为A.在变量变化的全部区域，波函数应单值、有限、连续B.在变量变化的全部区域，波函数应单值、归一、连续C.在变量变化的全部区域，波函数应满足连续性方程D.在变量变化的全部区域，波函数应满足粒子数守恒10.下列波函数中，定态波函数是 A. tE i ix tE i ix ex v ex u t x ---+=ψ)()(),(1 B. tE i ix tE i ix ex v e x u t x+--+=ψ)()(),(2C. )()()(),(21321E E ex u e x u t x t E it E ≠+=ψ--D. )()()(),(21421E E ex u e x u t x t E it E ≠+=ψ+-11.一维无限深势阱中，粒子任意两个相邻能级之间的间隔 A.和势阱宽度成正比 B.和势阱宽度成反比 C.和粒子质量成正比 D.随量子数n 增大而增大12.若量子数不变，一维无限深势阱的宽度增加一倍，其中粒子的能量 A.增大为原来的四倍 B.增大为原来的两倍 C.减小为原来的四分之一 D.减小为原来的二分之一13. 对于一维谐振子，势能为2221)(x x V μω=，若令xμωξ=，则波函数形如)()(22ξξψξH e -=，其中)(ξH 满足0)1(222=-+-H d dHd H d λξξξ为使±∞→ξ时，)(ξψ有限，则λ值为A.整数B.奇数C.偶数D.零14.设体系处于的状态102111Y c Y c +=ψ，式中1c 、2c 是常数，则在此状态下，测量力学量2L 和z L ，下列结论中正确的是A. 测量2L 有确定值，测量z L 也有确定值 B. 测量2L 有确定值，测量z L 没有确定值 C. 测量2L 和z L 都没有确定值D. 测量2L 没有确定值，测量z L 有确定值15. 若Aˆ、B ˆ是厄密算符，则下列结论中正确的是 A. B A+仍然是厄密算符 B. B A ˆˆ仍然是厄密算符 C. B Aˆˆ是对易的 D. A ˆ、B ˆ的本征函数是实函数16.一质量为m 的粒子禁闭在边长为a 的立方体内，粒子的能量)(2222222z y x n n n n n n maE zy x ++=π ， x n 、y n 、z n =1，2，3，…则第一激发态能量A.不简并B.二重简并C.三重简并D.四重简并17.一维谐振子处于10ϕϕψB A +=，其中A 、B 为实常数，n ϕ为谐振子的第n 个归一化本征函数，则A.122=+B AB.1)(2=+B A C.1=+B A D.B A =18. 球谐函数ϕθϕθim m l lm m lm e P N Y )(cos )1(),(-=，其中)(cos θml P 是A.贝塞尔函数B. 缔合勒盖尔函数C.缔合勒让德函数D.拉格朗日函数19.关于球谐函数20Y 和21Y 的奇偶性，下列说法正确的是A. 20Y 、21Y 都是奇函数B. 20Y 、21Y 都是偶函数C. 20Y 是奇函数，21Y 是偶函数D. 21Y 是奇函数，20Y 是偶函数20.粒子在库仑场中运动，薛定谔方程径向部分是0)1()(222222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++u r l l r Ze E dr u d s μ其中A.0>E 构成连续谱，0<E 构成分立谱B.0<E 构成连续谱，0>E 构成分立谱C.0>l 构成连续谱，0<l 构成分立谱D.0<l 构成连续谱，0>l 构成分立谱21.氢原子的径向波函数)2()2()(01200r na Z L r na Z eN r R l l n l r na Z nl nl ++-=中的)2(012r na Z L l l n ++是 A.拉格朗日函数 B.拉普拉斯函数 C.缔合勒盖尔函数 D. 缔合勒让得函数22.不考虑电子自旋，库仑场中粒子束缚态能级的简并度为A.2n B.22n C.n D.n 223.氢原子核外电子的角分布Ωd W lm ),(ϕθ（即径向),(ϕθ附近立体角内找到粒子的几率）A.与r 有关C.与ϕ有关，与θ无关D.与θ、ϕ皆有关24.表示厄密算符的矩阵称为厄密矩阵。
费曼-海尔曼定理及其应用
第 ３期
篝 一 ＞一＜ ＞ 詈 一＜＞ ＜ Ａ 一 ＜ ｉ Ｔ ｖ ２
（ ）式 在 动量表 象 中变 为 ：Ｈ一 “ Ｖ （矗 ｆ ｐ ３ ＋ ７ 厶 再 用 Ｆ Ｈ 定理 ： －
（ ４ ）
簧 一 ＞一 ＜ ＜
比较 （ ） （ ）式 得 ２ ｌ ４ ５ ＜ 、 一＜ｒ・ ＞ ｖＶ＞
ＶｏＬ ２ ３ ＮＯ． ３
Ｊ ｎ ０ ７ ｕ ｅ２ ０
费 曼一 海 尔 曼 定 理 及 其 应 用
张 若 洵 杨 洋 ，
（．邢 台 学 院初 等 教 育 学院 ， 河 北 邢 台 ０ ４ ０ ；２ １ ５ ０ １ ．河 北 北 方 学 院 理 学 院物 理 系 ， 河 北 张 家 口 ０ ５ ０ ） ７０ ０
设 为 Ｈａ ｌ ｎ算符 Ｈ 含 有的 任何一 个 参数 ．视 为参 变量 ，则 Ｅｎ ｍｉｔ ｏ 、
均 为 的函数 ．
＜
用符 号＜ ＞ 表 示 态下 的平均值 ，上式 变 为 ：
＞并 一
（ ２ ）
＜ ＞一 酱
（ ）式 通 常称 为费 曼一 海尔 曼定 理 ，又 称 ＦＨ 定 理 ． ２ 卜引
由于从 Ｆ Ｈ 定 理 可导 出维里 定理 ，因此 ，凡 可以用 维里 定理 处理 的 问题 ，肯定都 可 以用 Ｆ Ｈ 定 理来 － ＿
处理 ．Ｆ Ｈ 定 理远 在 维里定 理 之上． 某些 时候 ，二 定理 联合 应用 ，可使 问题变得 更 为简单 ． －
３ 用 Ｆ Ｈ 定 理 求 某 些 量 的平 均 值 ．
＞一｝ ｖ＞ ｛ｒｖ＞ ＜ ・Ｖ ＜・Ｖ 一
㈤
（ ６ ）
此 即维里 定理 ．若 Ｖ （ ）是 ｒ ｖ次齐 次 函数 ，则 有 ： ｒ 的
高等量子力学习题和答案
高等量子力学习题和解答† 量子力学中的对称性1、 试证明：若体系在线性变换Qˆ下保持不变，则必有0]ˆ,ˆ[=Q H 。
这里H ˆ为体系的哈密顿算符，变换Qˆ不显含时间，且存在逆变换1ˆ-Q 。
进一步证明，若Q ˆ为幺正的，则体系可能有相应的守恒量存在。
解：设有线性变换Qˆ，与时间无关；存在逆变换1ˆ-Q 。
在变换 ˆ(,)'(,)(,)r t r t Qr t ψ→ψ=ψ 若体系在此变换下不变，即变换前后波函数满足同一运动方程 ˆ''ˆt ti Hi H ∂ψ=ψ∂ψ=ψ进而有11[,]0t t i Q HQ i Q HQ Q HQ H H Q --∂ψ=ψ⇒∂ψ=ψ⇒=⇒=2、 令坐标系xyz O -绕z 轴转θd 角，试写出几何转动算符)(θd R ze的矩阵表示。
解：'cos sin 'sin cos 'O xyz z d x x d y d y x d y d z zθθθθθ-=+=-+=考虑坐标系绕轴转角'1''x x yd d y xd y z z θθθ=+⎧⎪<<⇒=-+⎨⎪=⎩若用矩阵表示 '10'10'001x d x y d y z z θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭还可表示为 '()z e r R d r θ=10()10001z e d R d d θθθ⎛⎫⎪=-⎪ ⎪⎝⎭3、 设体系的状态可用标量函数描述，现将坐标系绕空间任意轴n转θd 角，在此转动下，态函数由),,(z y x ψ变为),,(),()',','(z y x d n U z y x ψθψ =。
试导出转动算符),(θd n U的表达式，并由此说明，若体系在转动),(θd n U下保持不变，则体系的轨道角动量为守恒量。
解：从波函数在坐标系旋转变换下的变化规律，可导出旋转变换算符()z e U d θ利用 (')()()z e r U d r θψ=ψ 及 (')()r Rr ψ=ψ 可得 ()1z e z iU d d L θθ=-通过连续作无穷多次无穷小转动可得到有限大小的转动算符()lim(1)z z i L n e z n i U L e nθθθ-→∞=-=绕任意轴n 转θ角的转动算符为()in Ln U eθθ-⋅=1U U U -+=⇒ 为幺正算符若(')()()z e r U d r θψ=ψ则必有1(')()()()()[,]z z e e z H r U d H r U d iH r d H L θθθ-==+若哈密顿量具有旋转对称性，就有[,]0z H L =→角动量守恒4、 设某微观粒子的状态需要用矢量函数描述，试证明该粒子具有内禀自旋1=S 。
6第3章概念3-守恒量、位力定理、费曼-海尔曼定理
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = [ x, H ] px + x[ px , H ] + [ y, H ] p y + y[ p y , H ] + [ z , H ] pz + z[ pz , H ] ˆ ] = ih p [ p , H ] = −ih ∂U ˆx ˆx ˆ Q [ x, H ↓ µ ∂x ih 2 ∂U ih 2 ∂U ih 2 ∂U ˆ ˆ ˆ = px − ihx + p y − ihy + pz − ihz µ ∂x µ ∂y µ ∂z ih ih v ˆ = p 2 − ih(r ⋅∇U )
十一、力学量平均值随时间的演化 十一、 1.海森堡运动方程
ˆ F = ∫ψ * ( x, t )Fψ ( x, t ) dx
ˆ dF ∂ψ * ˆ * ∂F * ˆ ∂ψ =∫ Fψ dx + ∫ψ dx ψ dx + ∫ψ F dt ∂t ∂t ∂t ∂ψ 1 ˆ ∂ψ * 1 ˆ * = Hψ 因为 = − ( Hψ ) ∂t ih ∂t ih ˆ dF 1 1 * ∂F ˆ ˆ ˆˆ = ∫ψ ψ dx − ∫ ( Hψ )* Fψ dx + ∫ψ * FHψ dx 所以 dt ih ih ∂t
ˆ ˆ ˆ ˆ 不显含时间， 如果 F 不显含时间，即 ∂F / ∂t = 0 ，并且 [ F , H ] = 0 ，则有
dF / dt = 0
即力学量
ˆ F
平均值不随时间变化。 平均值不随时间变化。这时称
F
为运动恒量，即守恒量。 为运动恒量，即守恒量。
（1）自由粒子 U = 0 v v ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ p( p , p , p ) L ( L , L , L ) ˆ ˆx ˆy ˆz H H x y z 、 、 都与 对易，它们都是守恒量。 对易，它们都是守恒量。
6第3章概念3-位力定理、费曼-海尔曼定理
∂En E 1 = n + ω = n ∂h 2 h
所以
2 ˆ T h
n
En = h
ˆ T
n
1 = En 2
下面利用FH定理证明位力定理。 下面利用 定理证明位力定理。 定理证明位力定理
ˆ ˆ H = p 2 /(2µ ) + U
在坐标表象中
h2 2 v ˆ =− H ∇ + U (r ) 2µ ˆ ∂H h 2 2 ˆ =− ∇ = T ∂h µ h
1 ∂ −ipx x / h = ∫ ϕ ( px ) ∫ ih ∂px e ψ ( x)dx dpx 2π h
*
1 ∂ = ∫ ϕ ( px ) ih 2π h ∂px
*
(∫ e
− ipx x / h
ψ ( x)dx dpx
为参量， 取 h 为参量，有
利用FH定理， 利用 定理，得 定理
∂En 2 ˆ = T ∂h h
n
p2 ˆ v ˆ ˆ 在动量表象中 H= + U (r ) 2µ v v ˆ ˆ ∂ ∂r r v ˆ 因为 r = ih v 所以 = ∂h h ∂p ˆ ∂U ∂U ∂r r ˆ ˆ v v ˆ ˆ ∂H ˆ 因此 = = v ⋅ = ⋅∇U ˆ ∂h ∂h ∂r ∂h h
十三、费曼-海尔曼定理（ 定理 定理） 十三、费曼-海尔曼定理（FH定理） ˆ 设体系的哈密顿算符 H 中含有某参量 λ （可以是质量 µ 、普朗 ˆ 的本征值， 克常数 h 、角频率 ω 等）， E n为 H 的本征值，相应的归一化本征函 数（束缚态）为ψ n（n为一组量子数），则 束缚态） 为一组量子数） 为一组量子数
系综平均意义下的hellmann-feynman 定理
系综平均意义下的hellmann-feynman 定理Hellmann-Feynman定理是量子力学中的一个重要定理，它描述了哈密顿量中的势能项对能量期望值的贡献。
在系综平均意义下，Hellmann-Feynman定理可以表示为：$$\frac{d\langle
H\rangle}{d\lambda}=\langle\frac{\partial
H}{\partial\lambda}\rangle$$其中，$\lambda$是哈密顿量中的某个参数，例如原子核的位置或电场的强度。
$\langle H\rangle$是系统的能量期望值，$\frac{\partial H}{\partial\lambda}$是哈密顿量关于参数$\lambda$的偏导数，$\langle\frac{\partial
H}{\partial\lambda}\rangle$是该偏导数的系综平均值。
这个定理的意义在于，它告诉我们如何通过改变哈密顿量中的参数来控制系统的能量。
例如，在分子动力学模拟中，我们可以通过改变原子核的位置来改变分子的能量。
通过Hellmann-Feynman定理，我们可以计算出这种改变对能量的影响，从而更好地理解分子的行为。
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,
T n lT ˆmnld m rE n
论文的结构和主要内容
上面的具体计算十分复杂，但是如
果用维里定理，问题就十分容易了。根
据题意我们可以知道势能是的 n 1齐次
函数，所以
2T U
,
又因为总能量 EnTUT,
因此
U2T2En .
即平均势能为负值，并且为总能量
的两倍，由于平均动能一定是负值，这
论文的结构和主要内容
3.1.2示例对比分析
在求解一维谐振子问题中的 x 2 、p 2 ，
n
n
以及 xp 时，如果利用量子力学中求期
望值的方法，那么，我们就要将已知的
哈密顿量带入到线性谐振子的本征函数，
即
1
nx1 22nn!2e1 22x2Hnx,
m
令 ，Hˆ mx2 ，此处利用费曼海尔曼定
理，就可以得到
E nn1 2mx2 n
对上式化简得
x2 n n12m
论文的结构和主要内容
3.2费曼-海尔曼定理解氢原子中一些问 题 3.2.1典型示例的选取
在量子力学中，由于氢原子问题有 解析解，更简单、更实用，因此它的应 用十分广泛、重要。所以，在此选择它 作为示例。
费曼-海尔曼定理和维里定理 的应用
提纲
一 选题的目的、意义和要完成的任务 二 论文的基本框架和主要内容 三 完成论文写作存在的问题及收获
一、选题的目的、意义和要完成的任务
费曼-海尔曼定理和维里定理的应用极 其广泛, 在量子力学中，处理问题也十分 简便，可惜在各种教材中, 只是轻轻带过, 很少充分论述。
论文的结构和主要内容
4.2库仑场问题
若库仑场势能为 ，如 Ures2
es2
T
x2y2z2
果我们通过氢原子定态薛定谔方程求解，
则氢原子的能级为负值，即 , En2e2ns42 2ae0s2n2
则平均动能一定是正值。因为总能量为负
值，所以，U T .即
U n le r m s 2 n d l m R n 2 r l Y lm , 2 e r s 2 r 2 d r e s 2 d 0 R n 2 r r l d a e 0 n s 2 2 r 2 E n
所以，本文将根据他们的定义，列举 具有代表性的例子来向大家介绍费曼-海尔 曼定理和维里定理的应用。
二、论文的结构和主要内容
2、维理 定理
3、费曼-海尔曼 定理的应用
1、费曼-海尔曼 定理
4、维里定理 的应用
5、小结
论文的结构和主要内容
1费曼-海尔曼定理
1.1费曼-海尔曼定理的概述 费曼-海尔曼定理又称费曼-海尔曼
1
Z
r n n2a0
论文的结构和主要内容
4维里定理的应用
4.1对于谐振子问题的求解 设谐振子的势能为 U 1 2x2 ,
2
如果用量子力学求平均值的公式，
即 FFd,
可以求出谐振子的基态能量值为
则总能量
,
T0 4
U0 4
E0T0 U0 2
而这正是谐振子的零点能。
之中，并且应用量子力学求平均值的公 式，即
论文的结构和主要内容
FFd
1
nx1 22nn!2e1 22x2Hnx,
m
来求解，这其中所涉及到的积分问题十 分复杂，计算过程也相当的困难，这样 想要获得正确的解就需要扎实的计算能 力和耐心。
论文的结构和主要内容
论文的结构和主要内容
3费曼-海尔曼定理的应用
3.1用费曼-海尔曼定理求某些量的平均值 3.1.1典型示例的选取
在量子力学领域中，一维谐振子在量 子力学中是一个重要的物理模型，一维谐 振子问题是个基本的问题，所以，我对其 中的一些问题，分别利用量子力学中的普 遍方法和费曼-海尔曼定理来解决，并进 行对比。
论文的结构和主要内容
3.3.2示例对比分析
质量为，电荷为- 的电子，在电荷为
的原子核的库伦场中运动，忽略原子核的运动，
求1 r
，1
n
r2
，1
n r3
。
n
在已知哈密顿量和能量的情况下，
若我们选Z为参变量，则: H e2 1
z n
rn
由费曼-海尔曼定理: 则有：
H En z n z
论文的结构和主要内容
2维理定理
2.1维里定理的证明 2.1.1证明方法的选取
维里定理的证明方法十分多，例如： 应用泊松括号的性质和平均值的普遍公 式来证明、应用海森堡运动方程和矩阵 法证明、以及应用变分法证明等等。
论文的结构和主要内容
最终导出了维里定理的表达式为：
2Tr V
从上面的式子可以看出，维里定理非 常简洁的给出了系统平均动能和平均势能 之间的关系，如果知道了系统的平均动能， 可以利用它求得平均势能，反之亦然。
样总能量就为负值。
三、完成论文写作存在的问题及收获
本篇论文只是具体从几个方面介绍了 费曼-海尔曼定理和维里定理的一些应用， 并没有全面的论述它们所有的应用。
但是，通过撰写本篇论文，使我更深 入、细致的学习费曼-海尔曼定理和维里 定理及其应用，使我体会到他们的重要性， 因此对我的帮助很大。
论文的结构和主要内容
但是如果要求第一激发态或更高激 发态的平均动能和平均势能，以及它们 之间的关系时，用量子力学求平均值的 方法就显得很复杂了，如果我们改用维 里定理，则方便得多。由题意知此时的 势能U是位矢x的2次齐次函数，由维里定 理立即可以得出 T U ，即谐振子的平均 动能等于平均势能，而且它不仅对基态 成立，而且对任何激发态都成立。
关系，发表于30年代后期。它的应用极 其广泛，即 分麻烦，但是用费曼-海尔曼定理就简 单的多了。
论文的结构和主要内容
1.2费曼-海尔曼定理的证明
对于费曼-海尔曼定理的证明，我引
用了曾谨言的《量子力学》中的方法。
设定了某量子体系的束缚态的能级,以及
相应的归一化波函数，并对他们所以满
足的式子
Hn Enn
进行了求导、求标积的计算，最后又利 用了哈密顿算符的厄米性以及波函数的 归一化特性，导出了费曼-海尔曼定理。
论文的结构和主要内容
费曼-海尔曼定理的表达式为：
n,H nEn
从上面的式子中我们就可以看出， 我们可以利用这个式子求解某些力学量 的平均值或是它的能量等。因此，在后 面的应用中，我举了这些方面具有代表 性的例子。