国际象棋棋盘上的麦粒
等比数列求和——棋盘上的麦粒
等⽐数列求和——棋盘上的麦粒根据历史传说记载，国际象棋起源于古印度，相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么，发明者说：请您在棋盘的第⼀个格⼦⾥放1粒麦⼦，第⼆个格⼦⾥放2粒，第三个格⼦⾥放4粒，第四个格⼦⾥放8粒，以此类推，直到最后⼀个格⼦，第64格放满为⽌。
、赏给我这么多数⽬的麦粒，我就⼗分满⾜了．国王觉得这个要求不⾼，就欣然同意了． 然⽽等到麦⼦成熟时，国王才发现，全印度的麦⼦竟然连棋盘⼀半的格⼦数⽬都填不满． （《第七封印》）现在我们来帮助国王计算⼀下，想要填满64格棋盘，到底需要多少麦粒。
实际上这是⼀个等⽐数列求和问题。
棋盘的第⼀格只需要麦粒a1=1，第⼆个需要麦粒a2=2，第3格a3=4，等等，这些麦粒的数量构成⼀个⾸项a1=1，公⽐q=2的等⽐数列。
那么要求64格棋盘的总麦粒数。
再观察对⽐这两个等式，发现它们有很多相同的指数幂，所以可以把两个等式相减来化简，我们⽤2式减1式，等号左边相减，2S64-S64，等号右边相减，这些相同的指数幂会消掉，最后留下来的，只有264，减去1.所以能得到棋盘上的总麦粒数S64，等于264-1，这是⼀个天⽂数字，相当于全世界2000年的⼩麦产量。
上⾯计算麦粒的⽅法，对任何⼀个q不等于1的等⽐数列求和，都是适⽤的。
等⽐数列的前n项和Sn，=a1+a2+...+an，我们⽤a1和q来表⽰。
错位相减法不仅适合于等⽐数列的求和，更多的时候，如果⼀个数列的通项形式，可以表⽰成，⼀个等差数列与⼀个等⽐数列的乘积时，那么都可以⽤错位相减法来求前n项和。
⾄于等⽐数列想要求和，只要直接套公式就可以。
远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百⼋⼗⼀，请问尖头⼏盏灯？”意思是：⼀座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中，下⼀层灯数是上⼀层灯数的2倍，则塔的顶层共有⼏盏灯？每层塔所挂的灯的数量形成⼀个等⽐数列，公⽐q=2，我们设塔的顶层有a1盏灯。
7层塔⼀共挂了381盏灯，S7=381，按照等⽐求和公式， 那么有a1乘以1-2的7次⽅，除以1-2，等于381.能解出a1等于3. 尖头必有3盏灯。
国际象棋棋盘上放米粒
国际象棋棋盘上放⽶粒国际象棋棋盘上放⽶粒，数⽬是天数的平⽅。
这个关于关于平⽅的故事⼤家帮忙回忆⼀下第⼀个：我朋友的记忆⼀国家被围困，⼀能⼈帮国王让敌⼈退兵。
国王提出奖励，他说你每天给我在国际象棋棋盘上⽅⼀些⽶粒，数⽬是天数的平⽅，直到棋盘的格⼦被放满。
第⼀个格放1粒，第2个格放2的平⽅2x2=4粒。
第3个格放3的平⽅3x3=9粒。
以此类推。
第⼆个：我的记忆是2个商⼈和国王做交易。
他们说我每天给你10万两黄⾦，你每天给我在国际象棋棋盘的格⼦上⽅些⽶粒，数⽬是2的当天天数次⽅。
就是说第⼀天21（代表2的⼀次⽅）是2粒；第2天22是4粒；第3天23是8粒，以此类推。
该故事应该是什么版本？⼤家都说说⾃⼰的记忆或知道⽐较详细和确凿的版本吧。
还有，就是我很想知道这种交易到最后能收⼊多少粒⽶。
我觉得第⼀个开始肯定⽐第⼆个快。
但第2个都后⾯就⽐第1个快多了吧。
有⼈能否写个程序让我们能⽅便地查出⽅法⼀和⼆任意⼀天该天是多少粒⽶，该天总共收⼊了多少粒⽶。
算出多少粒⽶，下⼀步就是⼤家算算多少粒⽶是⼀⽄。
我们算算收⼊了多少⽄。
wow～好多⼤⽶啊～～！：）这个是从⼀个地⽅复制过来的.因为看了⼀本书叫<⾃动百万富翁>,⾥⾯讲到了复利的神奇,这可以作为⼀个左证的.这也激起了我理财的信念.只是去银⾏问了下,并不理想,哎!现在真的很想多赚些钱,但不知道怎么去赚?这段时间⾥,看了⼀些这⽅⾯的书籍,也了解了⼀些股票和基⾦⽅⾯的事情当然只限于粗浅的⽅⾯.现在的情形也不是很乐观的.在2个朋友从盘锦⾛了之后，⽇⼦变得更加的平淡与⽆味.真的不知道在这上⾯说点什么也是应该的.胡乱的拼凑,只有这么说,也只能这么做了.。
国际象棋数列的故事
圆学子梦想铸金字品牌
国际象棋数列的故事
传说西塔发明了国际象棋而使国王十分高兴，他决定要重赏西塔，西塔说：“我不要你的重赏，陛下，只要你在我的棋盘上赏一些麦子就行了.在棋盘的第1个格子里放1粒，在第2个格子里放2粒，在第3个格子里放4粒，在第4个格子里放8粒，依此类推，以后每一个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到放满第64个格子就行了”.区区小数，几粒麦子，这有何难，“来人”，国王令人如数付给西塔.
计数麦粒的工作开始了，第一格内放1粒，第二格内放2粒，第三格内放22粒，…还没有到第二十格，一袋麦子已经空了.一袋又一袋的麦子被扛到国王面前来.但是，麦粒数一格接一格飞快增长着，国王很快就看出，即便拿出全国的粮食，也兑现不了他对西塔的诺言.
原来，所需麦粒总数为：18 446 744 073 709 551 615.
这些麦子究竟有多少？打个比方，如果造一个仓库来放这些麦子，仓库高4公尺，宽10公尺，那么仓库的长度就要等于地球到太阳的距离的两倍。
而要生产这么多的麦子，全世界要两千年.尽管国家非常富有，但要这样多的麦子他是怎么也拿不出来的.这么一来，国王就欠了西塔好大一笔债.
- 1 -。
棋盘上的麦粒
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1.从简单到复杂找规律： 请先用计算器计算。
1+2 = 3 1+2+22 = 7 1+2+22+23 = 15 1+2+22+23+24 =31
.... .... .... .... 2 3 总结猜想：1+2+2 +2 + +2n=
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汇报： 从简到繁找规律
1+2 = 3=22 -1 1+2+22 = 7= 23 -1 1+2+22+23 = 15= 24 -1 1+2+22+23+24 =31= 25 -1
4）.喜欢吃拉面吗？拉面馆的 师傅用一根很粗的面条，把两端捏 合在一起拉伸，再捏合，再拉伸， 反复几次，就把这根很粗的面拉成 许多根细的面条？
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总结收获
.... ....
总结猜想：1+2+22+23+....
....
+2n= 2n+1-1
找规律方法：1、从简到繁；2、观察、比较、猜想、验证。
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教师 讲授：
S64=1+2+22+23+· · · +263
2S64= 2+22+23+· · · +263+264
①
②
若两边同乘以2，使得等式右边各项都向右错了一位， 然后两式作差，把相同的项消去，就可从中解出s64．
设计者：海城市西柳小学赵长林
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播放视频：
《棋盘上能放多少麦粒？
棋盘格子装米算法总和
棋盘格子装米算法总和棋盘格子装米问题，又被称为“180度麦粒问题”，是一个经典的数学问题。
问题的背景是这样的：传说中，国际象棋设法酬报国王给予他的发明。
发明是棋盘上的64个方格，以及64个大米。
国王很快就发现这个发明过于简单，从而没有像他预期的那样奖励发明者。
比赛是在亚洲举行的，国际象棋的交流在亚洲非常普遍。
现在，这个问题会在每一个阶段或比赛中重新提到。
这个问题的任务是计算整个棋盘上需要多少个谷物。
棋盘的第一个方格上放置一个谷粒，第二个方格上放置两个谷粒，第三个方格上放置四个谷粒，以此类推。
每个方格上的谷粒数量都是前一个方格数量的两倍。
问题要求计算所有谷物数量的总和。
首先，我们来分析这个问题。
棋盘上一共有64个方格，每个方格有对应的谷粒数量。
我们可以用数学公式来表示这个问题。
如果设第一个格子的谷粒数量为1，将其他每个格子的谷粒数量设为$2^{n-1}$，其中$n$代表方格的编号，那么第一个方格的谷粒数量是$2^{1-1}=1$，第二个方格的谷粒数量是$2^{2-1}=2$，第三个方格的谷粒数量是$2^{3-1}=4$，以此类推。
接下来我们可以推导出，第$n$个方格的总谷粒数量，可以表示为$2^{n-1}$。
而所有64个方格的总谷粒数量等于各个方格谷粒数量之和，即$1+2+4+8+...+2^{n-1}$。
现在我们来推导这个等差数列的求和公式。
设等比数列的首项为$a_1$，公比为$q$，项数为$n$，那么等比数列的前$n$项和可以表示为$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$。
对于我们的问题，首项$a_1=1$，公比$q=2$，项数$n=64$。
代入公式中。
这个结果看起来可能令人惊讶，因为这个数字非常庞大。
实际上，这个数字已经超出了人类记忆和计算的范围。
对于普通的计算机也很难一次性计算出这个结果。
我们可以用python来验证一下这个结果。
```total_grains = 0current_grains = 1for i in range(64):total_grains += current_grainscurrent_grains *= 2print(total_grains)```需要注意的是，这个问题中的计算数量非常庞大，远远超出了人类的想象力。
奥数专题：棋盘上能放多少麦粒？
印度有个发明家发明了国际象棋，国王玩的很 开心，于是决定奖励这个发明家。发明家没有向 国王要金银珠宝，他的要求是让国王在棋盘上放 麦粒， “请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒， 第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗 麦粒，第4个格子里放上8颗麦粒，依次类推，每 个格子里放的麦 粒数都是前一个格子麦粒数的2 倍，直到第64 个格子，国王一笑，连忙答应。你 认为国王能满足这位发明家的要求吗？
设计者：海城市西柳小学赵长林
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《棋盘上能放多少麦粒？
问题：1、国际象棋有多少个格子？
2、第64格该放多少麦粒？
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1.从简单到复杂找规律： 请先用计算器计算。
1+2 = 3 1+2+22 = 7 1+2+22+23 = 15 1+2+22+23+24 =31
.... .... .... .... 2 3 总结猜想：1+2+2 +2 + +2n=
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1.从简单到复杂找规律： 请先用计算器计算。
1+2 = 3 1+2+22 = 7 1+2+22+23 = 15 1+2+22+23+24 =31
.... .... .... .... 2 3 总结猜想：1+2+2 +2 + +2n=
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汇报： 从简到繁找规律
1+2 = 3=22 -1 1+2+22 = 7= 23 -1 1+2+22+23 = 15= 24 -1 1+2+22+23+24 =31= 25 -1
棋盘上的数学
棋盘上的数学同学们，听说过国际象棋吗？国际象棋起源于印度，它的棋盘是正方形的，由8行8列颜色一深一浅、交错排列的64个小方格组成（如右图）。
国际象棋和它的发明人——印度人西萨·班·达依尔还有一段有趣的故事呢！读一读棋盘上的麦粒西萨·班·达依尔是古印度舍罕王的宰相。
一次，舍罕王觉得自己王宫里的所有游戏都玩腻了，于是，他下令说，如果谁能发明一种使他开心的游戏，谁就将得到很多的赏赐。
达依尔知道了这个消息，便把自己发明的国际象棋奉献给了舍罕王。
舍罕王觉得这种游戏很有趣，非常高兴，就打算重赏达依尔。
舍罕王问达依尔：“你的发明给我带来了很多欢乐，你要什么赏赐，我就给你什么赏赐！”达依尔不慌不忙地说：“陛下，请你在这张棋盘的第一个小格里，赏给我1粒麦子，在第二格里赏2粒，照这样下去，每一格里的麦子都比前一格加一倍。
直到把棋盘的64个格子都摆满，您把这些麦子赏给我就够了。
”舍罕王对达依尔的要求既奇怪，又高兴：“达依尔，你的要求也太少了，我会让你满足的！”于是舍罕王命令侍臣，把这些麦子如数付给达依尔。
数麦粒的工作开始了，第一格放1粒，第二格放2粒，第三格放4粒，可还没放到20格，一袋的麦子已经空了。
接着一袋又一袋的麦子被扛上来，一袋又一袋的麦子被数尽，依旧无法达到达依尔的要求。
而舍罕王也惊得目瞪口呆，因为他发现：达依尔的要求竟是无法兑现的！？？做一做让我们一起来动手做一做吧！这是为什么呢？图画不好，本意想画成两次对折状。
我们研究所要借助的材料是一张普通的白 纸。
如图，对折1次，纸有几层？对折2次， 纸有几层？ 对折3次呢？1. 随着对折次数的不断增加，你发现纸的层数变化有什么规律吗？2. 这些层数与2又有什么特殊的联系呢？○ 小 贴 士 ○4可以写成2×2，两个2相乘可以在2 的右上角写一个2，即22，读作2的平方，或 2的2次方。
通常，几个2连乘，就可以在2的右上角写 几，读的时候就读作2的几次方。
棋盘麦粒问题计算过程
棋盘麦粒问题，也叫“麦子数问题”，是一个古老的数学问题，传说是古印度一位聪明的大臣向国王提出的。
问题的具体描述是：在一个棋盘上放入一粒麦子，接着在第二格里放入两粒麦子，第三格里放入四粒麦子，第四格里放入八粒麦子……如此类推，直到放满64 格，问最后棋盘上共放了多少粒麦子？
这个问题可以用指数函数和求和公式来计算。
首先，第n 格放的麦子数量为2^(n-1)。
也就是说，第一格放的是2^(1-1)=1 粒麦子，第二格放的是2^(2-1)=2 粒麦子，第三格放的是2^(3-1)=4 粒麦子，以此类推。
其次，总共放的麦子数就是每一格放的麦子数之和。
因此，可以使用求和公式来计算：
总共放的麦子数= 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2^(n-1)
其中n=64，因为棋盘共有64 格。
这是一个等比数列，公比为2。
因此，可以使用等比数列求和公式来计算：
总共放的麦子数= (1 - 2^n) / (1 - 2) = 2^n - 1
将n=64 代入公式，得到：
总共放的麦子数= 2^64 - 1 = 18,446,744,073,709,551,615
因此，如果在棋盘上按照上述规律放麦子，最后总共会放下18,446,744,073,709,551,615 粒麦子。
这个数字非常大，相当于全球人口数量的数倍。
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国际象棋棋盘上的麦粒
1、实践目标
（1）理解循环语句的作用，能根据实际情况正确使用For语句。
（2）学会使用VB循环控制结构编写程序，实现简单的算法。
2、任务描述
在印度有一个古老的传说：舍
罕王打算奖赏国际象棋的发明
人——宰相西萨·班·达依尔。
国王问他想要什么。
他对国王
说：陛下，请您在这张棋盘
（图7-1）的第1个小格里，
赏给我1粒麦子，在第2个小
格里给2粒，第3小格给4粒，
以后每一小格都比前一小格加
1倍。
请您像这样摆满棋盘上所有64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！国王觉得这个要求太容易满足了就命令给他这些麦粒。
当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求。
那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少呢？尝试设计一个程序来计算。
3、操作提示
（1）问题分析
本问题可用累加的方法来求解，即最后得到的麦粒数由每一格赏赐的麦粒数相加得到，而且相邻的格子要求得到赏赐的麦粒数也是有一定规律的，即后一格是前一覆盖麦粒数的2倍。
若用i表示当前所处的格子，p 表示此格子中应该赏赐的麦粒数，s表示累加得到的麦粒数，分析过程见表7-1。
表7-1
由表7-1的分析可得i= ,p= ,s= 。
（2）设计算法。
根据上面的分析，可画出算法流程图如下：
（3）程序实现。
①将下列根据上面算法编写的代码填写完整。
Private Sub Command1_Click( )
Dim n As Integer, i As Integer, p As Double, s As Double n=Val(Text1.Text)
s=0
p=1
For i= To n
s=
p=
Next i
Text2.Text=Str(s)
End Sub
②新建工程，创建窗体。
界面设计参照图7-2，属性设置参照表7-2。
表7-2 窗体中主要控件属性设置
③将上面完成的代码段输入到计算按钮的代码窗口中。
④调试运行程序。
（4）假如每颗麦粒的重量为0.2克，每人每天消耗0.5千克，算一算上面棋盘上的麦粒能供全球60亿人吃多少年？（先写出VB表达式再计算）。