山西省学业水平考试数学试题
2023年山西省初中学业水平考试数学试题(含答案)
2023年山西省初中学业水平考试数学（满分120分，考试时间120分钟）第I卷选择题（共30分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1.计算（-1）×（-3）的结果为（）A.3B.31C.-3D.-42.全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量.图书馆是开展全民阅读的重要场所.以下是我省四个地市的图书馆标志，其文字上方的图案是轴对称图形的是（）3.下列计算正确的是（）A.632aaa=⋅ B.2623)(baba-=- C.236aaa=÷ D.632)(aa=4.山西是全国电力外送基地，2022年山西省全年外送电量达到1464亿千瓦时，同比增长18.55%.数据1464亿千瓦时用科学记数法表示为（）A.1.464×108千瓦时B.1464×108千瓦时C.1.464×1011千瓦时D.1.464×1012千瓦时5.如图，四边形ABCD内接于☉O,AC、BD为对角线，BD经过圆心O.若∠BAC=40°，则∠DBC的度数为（）A.40oB.50oC.60oD.70o6.新趋势跨学科问题一种弹簧秤（如图）最大能称不超过10kg的物体，不挂物体时弹簧的长为12cm，每挂重1kg物体，弹簧伸长0.5cm.在弹性限度内，挂重后弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数关系式为（）A.xy5.012-= B.xy5.012+= C.xy5.010+= D.xy5.0=7.新趋势跨学科问题如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心0的光线相交于点P，点F为焦点，若∠1=155°，∠2=30°，则∠3的度数为（）（第4题）（第5题）（第6题）（第7题）A B C D8.若点A（-3,a），B（-1,b），C（2，c）都在反比例函数xky=（0<k）的图象上，则a、b、c的大小关系用“<”连接的结果为（）A.cab<< B.abc<< C.cba<< D.bac<<9.中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志.如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A、B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角α为60°.若圆曲线的半径km5.1=OA，则这段圆曲线AB的长为（）A.km4πB.km2πC.km43πD.km83π10.蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形.如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P、Q、M均为正六边形的顶点，若点P、Q的坐标分别为（32-、3），（0、-3），则点M的坐标为（）A.（33、-2） B.（33、2） C.（2、33-） D.（-2、33-）第Ⅱ卷非选择题二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11.计算)36)(36(-+的结果为.12.如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成，第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片……依此规律，第n个图案中有个白色圆片（用含n的代数式表示）13.如图，在□ABCD中，∠D=60°.以点B为圆心，以BA的长为半径作弧交边BC于点E，连接AE.分别以点A、E为圆心，以大于AE21的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AE于点O，交边AD于点F，则OEOF的值为.14.中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》（如图），它是儒家思想的核（第9题）（第10题）第1个第2个第3个第4个（第12题）心著作，是中国传统文化的重要组成部分.若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是.15.如图，在四边形ABCD 中，o 90=∠BCD ，对角线AC 、BD相交于点O.若5==AC AB ，B 6=BC ，CBD ADB ∠=∠2，则AD 的长为.三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16.（本题共2个小题，每小题5分，共10分）（1）计算：122)53()21(8-⨯+---⨯-（2）计算：xx x x 4)1()2(2-+++17.（本题7分）解方程：223111-=+-x x 18.（本题9分）为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔，报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按4:4:2的比例计算出每人的总评成绩.小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如下表，这20名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如下图.（1）在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67、72、68、69、74、69、71.这组数据的中位数是分，众数是分，平均数是分.（2）请你计算小涵的总评成绩.（3）学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者.试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由.选手测试成绩/分总评成绩/分采访写作摄影小悦83728078小涵8684▲▲（第13题）（第14题）（第15题）19.（本题9分）风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞.该大桥限重标志牌（如图）显示，载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行.现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由l 个A 部件和3个B 部件组成，这种设备必须成套运输.已知1个A 部件和2个B 部件的总质量为2.8吨，2个A 部件和3个B 部件的质量相等.（1）1个A 部件和1个B 部件的质量分别是多少？（2）该卡车要运输这种成套设备通过此大桥，一次最多可运输多少套这种设备?20.（本题8分）2023年3月，水利部印发《母亲河复苏行动河湖名单（2022-2025年）》，我省境内有汾河、桑干河、洋河、清漳河、浊漳河、沁河六条河流人选.在推进实施母亲河复苏行动中，需要砌筑各种驳岸（也叫护坡）.某校“综合与实践”小组的同学把“母亲河驳岸的调研与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告.请根据活动报告计算BC 和AB 的长度（结果精确到0.1m.参考数据：73.13≈，41.12≈）课题母亲河驳岸的调研与计算调查方式资料查阅、水利部门走访、实地查看了解调查内容功能驳岸是用来保护河岸、阻止河岸崩塌或冲刷的构筑物材料所需材料为石料、混凝土等驳岸剖面图材料相关数据及说明：图中，点A 、B 、C 、D 、E 在同一竖直平面内，AE 和CD 均与地面平行，岸墙AB ⊥AE于点A ，o 135=∠BCD ,o 60=∠EDC ,m 6=ED ,m 5.1=AE ,m5.3=CD 计算结果交流展示21.（本题7分）阅读与思考下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务.瓦里尼翁平行四边形我们知道，如图（1），在四边形ABCD 中，点E、F、G、H 分别是边AB、BC、CD、DA 的中点，顺次连接E、F、G、H 得到的四边形EFGH 是平行四边形.我查阅了许多资料，得知这个平行四边形EFGH 被称为瓦里尼翁平行四边形，瓦里尼翁（Varingnon ，Pierre l654—1722）是法国数学家、力学家，瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切.①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形.②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系.③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半，此结论可借助图（1）证明如下：证明：如图(2)，连接AC ，分别交EH、FG 于点P、Q ,过点D 作DM ⊥AC 于点M ,交HG 于点N .∵H、G 分别为AD、CD 的中点∴HG //AC ,AC HG 21=,（依据1）∴GC DGNM DN =∵GCDG =∴DMNM DN 21==∵四边形EFGH 是瓦里尼翁平行四边形∴HE //GF ，即HP //GQ 又 HG //AC ,即HG ∥/PQ∴四边形HPQG 是平行四边形，（依据2）∴S ☐=HPQG MN HG ⋅=DMHG ⋅21∵DMHG DM AC S ADC ⋅=⋅=∆21∴S ☐=HPQG ADCS ∆21同理……任务：（1）填空：材料中的依据1是指.依据2是指.（2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形ABCD 及它的瓦里尼翁平行四边形EFGH ，使得四边形EFGH 为矩形.（要求同时画出四边形ABCD 的对角线）（3）在图（1）中，分别连接AC、BD 得到图（3），请猜想瓦里尼翁平行四边形EFGH 的周长与四边形ABCD 对角线AC、BD 长度的关系，并证明你的结论.22.（本题12分）综合与实践问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图（1）中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为△ABC 和△DFE ，其中o 90=∠=∠DEF ACB ，D A ∠=∠.将△ABC 和△DFE 按图（2）所示方式摆放，其中点B 与点F重合（标记为点B ）.当A ABE ∠=∠时，延长DE 交AC 于点G .试判断四边形BCGE 的形状，并说明理由.数学思考：（1）请你解答老师提出的问题.深入探究：（2）老师将图（2）中的△DBE 绕点B 沿逆时针方向旋转，使点E 落在△ABC 内部，并让同学们提出新的问题.①“善思小组”提出问题：如图（3），当BAC ABE ∠=∠时，过点A 作AM ⊥BE 交BE 的延长线于点M ，BM 与AC 交于点N .试猜想线段AM 和BE 的数量关系，并加以证明.请你解答此问题.②“智慧小组”提出问题：如图（4），当BAC ABE ∠=∠时，过点A 作AH ⊥DE 于点H ，若9=BC ，12=AC ，求AH 的长.请你思考此问题，直接写出结果.23.（本题13分）综合与探究如图，二次函数x x y 42+-=的图象与x 轴的正半轴交于点A ，经过点A 的直线与该函数图象交于点B （1，3)，与y 轴交于点C（1）求直线AB 的函数表达式及点C 的坐标.（2）点P 是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点P 作直线PE ⊥x 轴于点E ，与直线AB 交于点D ，设点P 的横坐标为m①当OC PD 21=时，求m 的值.②当点P 在直线AB 上方时，连接OP ，过点B 作BQ ⊥x 轴于点Q ，BQ 与OP 交于点F ，连接DF.设四边形FQED的面积为S，求S关于m的函数表达式，并求出S的最大值.2023年山西省初中学业水平考试数学（答案）10~1题：11题：312题：（22+n ）13题：314题：6115题：39716题：（1）原式=212418⨯-⨯112=-=（2）原式=124122222+=-++++x x x x x x 17题：原方程可化为)1(23111-=+-x x 方程两边同乘)1(2-x ，得3)1(22=-+x 解得23=x 检验：当23=x 时，0)1(2≠-x ∴原方程的解是23=x 18题：（1）696970（2）82244270484486=++⨯+⨯+⨯答：小涵的总评成绩为82分.（3）小涵能入选，小悦不一定能入选.理由：由题中20名学生的总评成绩频数直方图可得，总评成绩不低于80分的学生有10名，总评成绩不低于70分且低于80分的学生有6名.小涵和小悦的总评成绩分别是82分、78分，学校要选拔12名小记者，小涵的成绩在前12名，因此小涵一定能入选；小悦的成绩不一定在前12名，因此小悦不一定能入选.12345678910A C D C B B C D B A（1）设1个A 部件的质量为x 吨，1个B 部件的质量为y 吨.根据题意，得⎩⎨⎧==+y x y x 328.22（2）解得⎩⎨⎧==8.02.1y x 答：1个A 部件的质量为1.2吨，1个B 部件的质量为0.8吨.（2）设该卡车一次可运输m 套这种设备通过此大桥根据题意得308)38.02.1(≤+⨯+m 解得959≤m 因为m 为整数，所以m 的最大值为6答：该卡车一次最多可运输6套这种设备通过此大桥.20题：如图，过点E 作EF ⊥CD 于点F ，则o 90=∠EFD 在Rt△EFD 中，o 60=∠EDF ，6=ED ,ED EF EDF =∠sin ，EDFDEDF =∠cos ∴3323660sin 6sin o =⨯=⨯=∠⋅=EDF ED EF 321660cos 6cos o =⨯=⨯=∠⋅=EDF ED FD 延长AB 、DC 交于点H ，由题意得，o 90=∠H ，四边形AEFH 是矩形∴33==EF AH ，5.1==AE HF ∵5.035.3=-=-=FD CD CF ∴15.05.1=-=-=CF HF CH 在Rt△BCH 中，o 90=∠H ,o o o o 45135180180=-=∠-=∠BCD BCH ，BCCHBCH =∠cos ，CHBH BCH =∠tan ∴4.1222145cos 1cos o≈===∠=BCH CH BC 145tan 1tan o =⨯=∠⋅=BCH CH BH ∴2.4173.13133≈-⨯≈-=-=BH AH AB 答：BC 的长约为1.4m ，AB 的长约为4.2m（1）三角形中位线定理（或三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半）平行四边形的定义（或两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形）（2）如图即为所求.（答案不唯一，只要符合题意均可得分）例如：（3）瓦里尼翁平行四边形EFGH 的周长等于四边形ABCD 对角线AC 与BD 长度的和.证明：∵点E、F、G、H 分别是边AB、BC、CD、DA 的中点∴AC EF 21=，ACGH 21=∴AC GH EF =+同理BDFG EH =+∴四边形EFGH 的周长BDAC FG EH GH EF +=+++=即瓦里尼翁平行四边形EFGH 的周长等于四边形ABCD 对角线AC 与BD 长度的和.22题：（1）四边形BCGE 为正方形.理由：∵o90=∠BED ∴o o 90180=∠-=∠BED BEG ∵A ABE ∠=∠∴AC//BE∴o 90=∠=∠BED CGE 又 o 90=∠，o 90=∠BEG ∴四边形BCGE 为矩形.∵△ACB ≌△DEB ∴BEBC =∴矩形BCGE 为正方形.（2）①BE AM =证明：∵AM ⊥BE 交BE 的延长线于点M ∴CM ∠==∠o 90又∵BAC ABE ∠=∠,BA AB =∴△BAM ≌△ABC∴BCAM =又∵BCBE =∴BEAM =②AH 的长为527解答提示：如图，设AB 、DE 的交点为M ，过点M 作MG ⊥BD 于点G ∵△ACB ≌△DEB∴9==BC BE ，12==AC DE ,D BAC ∠=∠,DBEABC ∠=∠∴DBMCBE ∠=∠又∵BACCBE ∠=∠∴DBMD ∠=∠∴MB MD =（等角对等边）又∵MG ⊥BD∴点G 是BD 的中点（等腰三角形三线合一）由勾股定理得1522=+=DE BE BD ∴21521==BD DG ∵BD DE DM DG D ==∠cos ∴875121525=⨯=⋅=DE BD DG DM ∴875==DM BM ∴84587515=-=-=BM AB AM ∵AH ⊥DE ,BE ⊥DE ,BMEAMH ∠=∠∴△AMH ∽△BME∴53==BM AM BE AH ∴52795353=⨯==BE AM 23题：（1）对于x x y 42+-=，当y =0时，042=+-x x ，解得01=x ,42=x ∵点A 在x 轴正半轴上∴点A 的坐标为（4，0）设直线AB 的函数表达式为)0(≠+=k b kx y 将A、B 两点的坐标（4，0），（1，3）分别代入b kx y +=得⎩⎨⎧=-=41b k ∴直线AB 的函数表达式为4+-=x y将x =0代入4+-=x y ，得y =4∴点C 的坐标为（0，4）（2）①∵点P 在第一象限内二次函数x x y 42+-=的图象上，且PE ⊥x 轴于点E ，与直线AB 交于点D ，其横坐标为m∴点P、D 的坐标分别为P（m ，m m 42+-）、D （m ，4+-m ）∴m m PE 42+-=,4+-=m DE ,mOE =∵点C 的坐标为（0，4）∴4=OC ∵OC PD 21=∴2=PD 如图（1），当点P 在直线AB 上方时，45)4(422-+-=+--+-=-=m m m m m DE PE PD ∵2=PD ∴2452=-+-m m ，解得21=m ，32=m 如图（2），当点P 在直线AB 下方时，45)4(422+-=+--+-=-=m m m m m PE DE PD ∵2=PD ∴2452=+-m m ，解得275±=m ∵10<<m ∴2175-=m 综上所述，m 的值为2、3或2175-②如图（3），由①得m OE =,m m PE 42+-=,4+-=m DE ∵BQ ⊥x 轴于点Q ,交OP 于点F ，点B 的坐标为（1，3）∴1=OQ ,o90=∠OQF ∵点P 在直线AB 上方∴1-=m EQ ∵PE ⊥x 轴于点E∴o90=∠=∠OEP OQF∵FQ //DE∴△FOQ ∽△POE ∴OE OQ PE FQ =∴mm m FQ 142=+-∴442+-=+-=m mm m FQ ∴四边形FQED 为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）又∵PE ⊥x 轴∴四边形FQED 为矩形∴45)4)(1(2-+-=+--=⋅=m m m m FQ EQ S ∵49)25(4522+--=-+-=m m m S ,01<-,41<<m ∴当25=m 时，S 取最大值，最大值为49。
2024年山西省学业水平考试数学试题
2024年山西省学业水平考试数学试题一、单选题1．计算134⎛⎫÷- ⎪⎝⎭的结果是（ ）A ．12B ．12-C ．43-D ．112-2．百度地图秉持“科技让出行更简单”的品牌使命，以“科技”为手段不断探索创新，已经发展成为国内领先的互联网地图服务商．下面是百度地图APP 中的四个图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．下列运算正确的是（ ） A ．23534a a a += B ．()3326a a -=-C ．2D 4．如图，是一种结构简单的长方体空心结构件，具有较高的强度和刚性，其应用广泛．图中箭头所指方向为正面，则该结构件的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．5．七巧板又称七巧图，是中国民间流传的智力玩具．如图是由七巧板拼成的正方形，将其放入平面直角坐标系中，若点A 的坐标为(11)，--，点B 的坐标为(11)，，则点C 的坐标为（ ）A ．()2,2-B ．()2,2-C ．()1,1-D ．()1,1-6．不等式组()52234x x -≥⎧⎨+>⎩的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知点()11,A x y ，()22,B x y 在反比例函数6y x=的图象上，若120x x <<，则下列结论正确的是（ ） A ．120y y >> B ．120y y << C ．120y y <<D ．120y y <<8．《山西省城乡垃圾管理条例》于2024年1月1日起施行，以推动实现城乡垃圾减量化、资源化、无害化．据统计，2023年我省某城区生活垃圾无害化处理能力为0.8万吨/日，预计2025年生活垃圾无害化处理能力将达到1.2万吨/日．如果设这两年该城区生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为x ，那么根据题意可列方程为（ ） A ．()0.81 1.2x += B ．()0.812 1.2x += C ．()20.81 1.2x -=D ．()20.81 1.2x +=9．如图，在两个大小相同的玻璃瓶中分别装有质量相同且初始温度均为16℃的豆浆和牛奶，同时浸入100℃的热水中加热相同的时间，已知牛奶比豆浆的温度升高得慢，则上述实验的一段时间内，牛奶和豆浆的温度T （℃）随加热时间()min t 变化的图象是（ ）A．B．C．D．10．将直尺和量角器按如图方式摆放，其中AB为量角器所在半圆的直径，直尺的边缘与量角器所在半圆相切于点C，并与BA的延长线交于点D．已知点C，D在直尺上对应的刻度分别为0和3，点C在量角器上对应的外圈刻度为60 ，则图中阴影部分的面积为（）A B C ．2πD二、填空题11．计算()23a +的结果是12．如图是一组有规律的图案，它们是由正三角形组成的，第1个图案中有6个正三角形，第2个图案中有10个正三角形，第3个图案中有14个正三角形……按此规律，第n 个图案中有个正三角形．（用含n 的代数式表示）13．山西是戏剧大省，典型剧种以晋剧、蒲剧、北路梆子和上党梆子为代表，被称为“四大梆子”．在“戏曲文化进校园”活动中，某班开展戏剧知识宣讲，每个小组可随机选择“四大梆子”中的一个剧种进行宣讲，则甲、乙两个小组选择同一剧种的概率为．14．如图，在ABC V 中，AB AC =，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧交AC 于点C 和点D ，再分别以点C 和点D 为圆心，大于12DC 长为半径画弧，两弧相交于点F ，作射线BF 交AC于点E ．若40A ∠=︒，则EBC ∠=度．15．如图，在矩形ABCD 中，4,6AB BC ==，点E ，F 分别是AB BC ，的中点，连接DE ，点G 在线段DE 上，若45FGE ∠=︒，则FG 的长为．三、解答题16．（1）计算：()311153532-⎛⎫⎛⎫-⨯-+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）先化简再求值：2132111a a a a a --⎛⎫+÷ ⎪+-+⎝⎭，其中3a =- 17．山西科技馆是一座集科普展览、科教影视、科技培训、学术交流和天文观测等多功能为一体的重要科普场所．为让学生直观感受科技的魅力，学校组织九年级师生参观科技馆．已知学校租用了A ，B 两种型号的大巴车共6辆，其中每辆A 型大巴车载客45人，每辆B 型大巴车载客60人，前往参观的师生330人正好坐满全部座位．求租用A 型和B 型大巴车的数量．18．2024年3月23日是第64个世界气象日，今年世界气象日的主题是“气候行动最前线”．学校借此机会举行气象知识竞赛，要求每班选派10名同学参加（满分10分，成绩为整数），比赛结束后，竞赛组委会将八年级甲、乙两班参赛同学的成绩汇总并绘制成下面的条形统计图．(1)两个班的成绩分析如表：填空：a =，b =．(2)参赛同学小婷说：“这次竞赛我得了7分，在我们班中排名属中游略偏上！”观察上表可知，小婷是班的学生（填“甲”或“乙”）；(3)你认为甲乙两班哪个班成绩更好？请结合上表中的两种统计量说明理由．19．在省城太原轨道交通1号线工程建设中，迎泽公园北门牌楼穿着“轮滑鞋”向南平移24米，开创了我市仿古类建筑物平移施工先河！综合实践小组的同学按如图的方式测量迎泽公园北门牌楼高度AB ：①在牌楼前空地上取测量点P ，测得牌楼最高点A 的仰角35ACD ∠=︒；②改变测量点至Q 处，测得此时点A 的仰角45AEF ∠=︒；③测得6PQ =米，0.5CP =米，1EQ =米（已知图中各点均在同一竖直平面内，点B ，P ，Q 在同一水平直线上）．请根据该小组的测量数据计算牌楼的高度AB ．（结果精确到1米，参考数据：350.57350.82350.70sin cos tan ︒≈︒≈︒≈，，）20．阅读与理解下面是小刚同学的一篇数学周记，请仔细阅读并完成相应的任务． 巧用正方形网格由边长为1的小正方形组成的正方形网格是数学学习的重要工具，我们把小正方形的顶点叫做格点，顶点在格点上的三角形叫做格点三角形．利用正方形网格可以构造格点直角三角形的角平分线．如图1，已知ABC V 是格点三角形，由网格可知，90ABC ∠=︒，2AB BC =．可以用如下两种方法构造ABC V 的角平分线．方法一：延长BC 到格点D ，使CD BC =．连接AD ，利用网格找出AD 的中点F ，连接BF 交边AC 于点P ，线段BP 即为ABC V 的角平分线．理由如下： ∵CD BC =， ∴2BD BC =， ∵2AB BC =， ∴AB BD =，又∵点F 是AD 的中点， ∴BF 平分ABD ∠（依据）， 即BP 为ABC V 的角平分线．方法二：如图2，延长BC 到格点D ，使CD BC =．利用网格在AB 上取格点E ，使BE =BC ，连接DE 交AC 于点P ，连接BP ，线段BP 即为ABC V 的角平分线．理由如下： 同方法一可得，AB BD =， ∵BE BC =，ABC DBE ∠=∠， ∴ABC DBE ≌△△， ∴A D ∠=∠．∵AB BE BD BC -=-， ∴AE DC =． 又∵APE DPC ∠=∠， ∴APE DPC ≌△△． …(1)请写出方法一中“依据”的内容：； (2)请将方法二中的说理过程补充完整；(3)按照材料中的思路，请你在图3中作出ABC V 的角平分线BP ． 21．项目化学习项目主题：优化大豆种植密度项目背景：大豆，通称黄豆，属一年生草本，是我国重要粮食作物之一，已有五千年栽培历史，古称“菽”．某校综合实践小组以探究“大豆种植密度优化方案”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究大豆产量与种植密度的关系 研究步骤：（1）在劳动实践基地中选定6块单位面积（1平方米）的地块作为试验田，并选定适宜的大豆品种；（2）在不同试验田中种植株数不同的大豆，严格控制影响大豆生长的其它变量，在大豆成熟期，对每株大豆的产量进行统计； （3）数据分析，形成结论． 试验数据：问题解决：请根据此项目实施的相关材料完成下列任务：(1)根据表中信息可知，单位面积试验田中大豆单株的平均产量y （粒）是种植株数x （株）的函数（选填“一次”“二次”“反比例”），y 与x 的函数关系式为（3080x ≤≤）；(2)若要使单位面积试验田中大豆的总产量（单位：粒）最大，请通过计算说明单位面积实验田中大豆植株种植数量的方案． 22．综合与实践 问题情境：数学活动课上，老师要求同学们以矩形为背景探索几何图形运动变化中的数学结论．如图1，在矩形ABCD 中，点O 为对角线BD 的中点，连接CO ．点E 在AB 边上，且BE BO =，线段EO 的延长线交CD 于点F ．猜想证明：（1）“笃学”小组发现DF OC =，请你证明这一结论； 操作探究：（2）“勤思”小组将图1中的BOE △绕B 点顺时针旋转（设点O ，E 的对应点分别为O E ''）在认真分析旋转到不同位置时的情形后，提出如下问题，请你解答：①如图2，当点O '落在AB 的延长线上时，连接CE '，判断四边形OBE C '的形状，并说明理由； ②若8,6AB AD ==，当线段O E ''所在直线与EF 所在直线垂直时，直接写出,A O '两点间的距离． 23．综合与探究如图，已知抛物线²y x bx c =-++与x 轴交于()1,0A -，B 4,0 两点，与y 轴交于点C ，作直线BC ．(1)求抛物线的函数表达式，并直接写出点C 的坐标；(2)如图2，点D 是第二象限抛物线上的一个动点，过点D 作y 轴的垂线，与第一象限的抛物线交于点E ，与直线BC 交于点F ，与y 轴交于点P ，点C 关于直线DE 的对称点为y 轴上的点C '．设点D 的横坐标为m ．请探究如下问题： ①当点F 是线段DE 的中点时，则线段CC '的长为； ②当CC DE '=时，求m 的值；③试探究：点D 在运动过程中，是否存在某一位置，使得12C AO ABC ∠∠'=若存在，请直接写出CC 的长；若不存在，请说明理由．。
山西省太原市2024-2025学年高二上学期11月期中学业诊断数学试题(含答案)
2024~2025学年第一学期高二年级期中学业诊断数学试卷（考试时间：上午7：30-9：00）说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间90分钟，满分100分.题号一二三四总分得分一、单项选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.直线的倾斜角为（ ）A. B. C. D.2.圆的圆心坐标为（ ）A. B. C. D.3.过点和的椭圆的标准方程为（ ）A. B. C. D.4.已知，，且，则（ ）A. B. C. D.5.已知直线经过点，且平行于直线，则直线的方程为（ ）A. B. C. D.6.已知直线与圆相交于，两点，则的最小值是（ ）A.1B.2D.7.已知椭圆的左、右焦点分别是，，若椭圆上存在点使得，则椭圆离心率的取值范围为（ ）y x =30︒60︒120︒150︒22620x y x y ++-=()3,1-()3,1-()6,2-()6,2-()3,0()0,222132x y +=22194x y +=22123x y +=22149x y +=()1,1,a m =- ()2,,6b n =-a b ∥(),m n =()3,2-()2,3-()3,2-()2,3-l ()1,021y x =-+l 220x y +-=220x y --=210x y +-=210x y --=()():10l x m y m m +-+=∈R 22:4C x y +=A B AB ()2222:10x y C a b a b+=>>1F 2F C M12120F MF ∠=︒C eA. B. C. D.8.在如图所示的试验装置中，正方形框ABEF 的边长是2，矩形框ABCD 中，它们所在的平面互相垂直.活动弹子，分别在线段AC 和BF 上移动，则MN 的长的最小值为（ ）A.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知椭圆，则下列说法正确的是（ ）A.是椭圆的一个顶点 B.是椭圆的一个焦点C.椭圆的离心率 D.椭圆的短轴长为10.已知正四棱锥中，，是PB 的中点，是底面ABCD 的中心，则下列说法正确的是（ ）A.B.直线DE 与APC.直线DE 与平面ABCDD.点到直线DE11.已知点是圆上的动点，则下列说法正确的是（ ）⎛ ⎝⎫⎪⎪⎭10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭2AB AD =M N 2322:134x y C +=()2,0C ()0,1C C 12e =C P ABCD -PA AB ==E O DE AC⊥O (),P x y ()22:21M x y -+=A.的最小值为B.的最小值为C.的最大值为D.的最大值为三、填空题（本题共3小题，每小题3分，共9分）12.直线在轴上的截距为______.13.已知圆经过直线与圆的公共点和点，则圆的一般方程为______.14.已知点是椭圆的左焦点，为上一点，，则的最小值是______.四、解答题（本题共5小题，共49分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题满分8分）已知的三个顶点，，.（1）求边AB 上的中线所在直线的一般式方程；（2）求边AB 上的高所在直线的斜截式方程.16.（本小题满分8分）如图，四面体OABC 各棱的棱长都是，是的中点，在上，且，记，，.（1）用向量，，表示向量；（2）求OE 的长.17.（本小题满分10分）已知圆与圆.（1）若圆与圆相内切，求的值；yx2226x y x y ++-9-x y -1+2x y +410x y +-=y C 1y x =-221x y +=()1,1C F 22:143x y C +=P C ()0,1A PA PF +ABC △()1,2A -()3,0B ()0,2C -1D AB E CD2DE EC = OA a = OB b = OC c = a b c OE221:1C x y +=222:40C x y y F +-+=1C 2C F（2）在（1）的条件下，直线被圆截得的弦长为的值.18.（本小题满分10分）如图、四棱锥的底面ABCD 是菱形，，.（1）求证：平面平面ABCD ；（2）求平面PAB 与平面PCD 的夹角的余弦值.19.（本小题满分13分）椭圆规是画椭圆的一种工具，如图1所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标，，有一根旋杆将两个滑标连成一体，为旋杆上的一点且在，两点之间.当滑标在滑槽内作往复运动时，滑标在滑槽GH 内随之运动，放置于处的笔尖便可画出椭圆，即动点的轨迹为椭圆.如图2所示.设EF 与GH 交于点，以EF 所在的直线为轴，以GH 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，记，.（1）若，，求椭圆的方程；（2）证明：动点的轨迹为椭圆；（3）若，过作两条互相垂直的射线分别交椭圆于点、，求证：点到直线PQ 距离为定值.y kx =2C k P ABCD -PA PD ==2PB AB BD ===PAD ⊥M N D M N ()ND DM ≠M EF N D D C O x ND a =DM b =()0,0a b >>4MN =3ND DM =C D C a b >O C P Q O2024～2025学年第一学期高二年级期中学业诊断数学试题参考答案及评分建议一.单项选择题：DA B C A D B C 二.多项选择题：9.B CD10.ACD11.ABD三.填空题：12.113.14.四.解答题：15.解：（1）设是边AB 的中点，则，…2分边AB 上的中线CD 的一般式方程为；……4分（2），，，边AB 上的高所在直线的斜率，…6分边AB 上的高所在直线的斜截式方程为.……8分16.（1）解：连接OD ，则；……4分（2）由（1）得，，.……8分17.解：（1），，，……2分，，，，……4分圆与圆相内切，，，；……5分（2）由（1）得，圆的方程为，，，……7分故圆心到直线的距离，……10分18.（1）证明：设是AD 的中点，连结OP ，OB ，四边形ABCD 是菱形，，，2220x y x y ++--=4(),D x y 131,2201,2x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪-+===⎩=+()1,1D ∴∴320x y --=()1,2A - ()3,0B 12AB k ∴=-∴2k =∴22y x =-()221333OE OD DE OD DC OD OC OD OD =+=+=+-=+()212112363663OC OA OB OC a b c =++=++()146OE a b c =++()()22222114162883636OE a b c a b c a b b c c a∴=++=+++⋅+⋅+⋅ 111131116288362224⎛⎫=+++⨯+⨯+⨯= ⎪⎝⎭OE ∴= 221x y += ()10,0C ∴11r =2240x y y F +-+= ()2224x y F ∴+-=-()20,2C ∴2r = 1C 2C 1221C C r r ∴=-21∴=-5F ∴=-5F =-2C ()2229x y +-=()20,2C 23r =2C y kx =1d ===k ∴=O 2AB BD ==OB AD ∴⊥OB =，，，平面ABCD ，平面平面ABCD ；（2）由（1）得，，，以为原点，OA ，OB ，OP 所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图的空间直角坐标系，则，，，，，设是平面PAB 的一个法向量，则令，……6分设是平面PCD 的一个法向量，则令，则，……8分，平面PAB 与平面PCD的夹角的余弦值为.……10分19.解：（1）由题意可设椭圆的方程，则，，椭圆的方程为；…3分（2）解法一：设，，，PA PD == OP AD ∴⊥1OP =2224PB OP OB ∴=+=,OP OB OP ∴⊥∴⊥∴PAD ⊥OB AD ⊥OP OA ⊥OP OB ⊥O x y z ()1,0,0A ()B ()C -()1,0,0D -()0,0,1P ()111,,m x y z =11110,,0,,x z m PA x m AB ⎧-=⎧⊥⎪⎪∴⎨⎨-+=⊥⎪⎪⎩⎩1x =m = ()222,,n x y z =2222220,,,0,x z n PC n CD x ⎧⎧+=⊥⎪⎪∴⎨⎨⊥=⎪⎪⎩⎩ 21y =n = 1cos ,7m n m n m n ⋅∴==⋅∴17C ()222210x y a b a b+=>>334a ND MN ===114b DM MN ===∴C 2219x y +=(),D x y (),0M m ()0,N n由题意得，，，，，整理得，当时，动点的轨迹是以为半长轴长、为半短轴长的椭圆；当时，动点的轨迹是以为半长轴长、为半短轴长的椭圆.……8分解法二：设，，由题意得，，则，即，当时，动点的轨迹是以为半长轴长、为半短轴长的椭圆；当时，动点的轨迹是以为半长轴长、为半短轴长的椭圆.……8分（3）由题意可得椭圆的方程，当直线PQ 的斜率不存在时，设其方程为，则点到直线PQ9分当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为，，，由得，x x m NDaa b==+y y n DMba b==+()a b x m a+∴=()a b yn b+=()()()22222a b x a b y m n a b a b ⎡⎤⎡⎤++∴+=+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦22221x y a b+=a b >D C ND DM a b <D C DM ND (),D x y OMN θ∠=cos x NDθ=sin y DMθ=2222cos sin 1x y ND DM θθ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22221x y a b +=a b >D C ND DM a b <D C DM ND C ()222210x y a b a b+=>>()00x x a x a =-<<0x =∴O y kx m =+()11,P x y ()22,Q x y 2222,1y kx m x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()()2222222220a k b x a kmx a m b +++-=()212222222122222,,a kmx x a k b a m b x x a k b ⎧+=-⎪+⎪∴⎨-⎪=⎪+⎩，，，即，……12分点到直线PQ 距离为，综上所述，点到直线PQ.……13分OP OQ ⊥ ()()221212121210OP OQ x x y y k x x km x x m ∴⋅=+=++++=()()2222221a b k m a b ∴+=+()2222221a b k m a b +=+∴O d ==O。
2023年山西省普通高中学业水平考试数学试题
一、单选题二、多选题1. 已知是第二象限角，，则（ ）A．B．C．D．2. 中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何?” 意思是:“现有一根金锤，长五尺，一头粗一头细.在粗的一端截下一尺，重四斤;在细的一端截下一尺，重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为（ ）A ．3斤B ．6斤C ．9斤D ．12斤3.（ ）A．B．C．D．4.已知展开式中的常数项为,且,则（ ）(附：若随机变量,则,)A．B．C．D．5. 对于个向量，若存在个不全为0的示数，使得：成立；则称向量是线性相关的，按此规定，能使向量，，线性相关的实数，则的值为（ ）A．B ．0C ．1D ．26. 球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两个点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度（大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆），我们把这个弧长叫做两点的球面距离.已知正的顶点都在半径为的球面上，球心到所在平面距离为，则、两点间的球面距离为（ ）A ．B．C．D．7. 已知函数的图象向左平移个单位长度后与原图象重合，则实数的最小值是（ ）A．B．C．D ．88. 已知空间四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面内”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9. 甲、乙两人解关于x的方程，甲写错了常数b ，得到的根为或，乙写错了常数c ，得到的根为或，则下列是原方程的根的是（ ）A．B．C．D．10. 若平面向量，，其中，，则下列说法正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则与同向的单位向量为C ．若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为2023年山西省普通高中学业水平考试数学试题2023年山西省普通高中学业水平考试数学试题三、填空题四、解答题D ．若，则的最小值为11. 如图所示，平行六面体中，，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且，则下列结论正确的是（）A．B ．平面C．D．12.已知数列的前项的和为，，，，则下列说法正确的是（ ）A．B ．是等比数列C．D．13.设二项式的展开式中常数项为A ，则________．14. 已知函数，在点处的切线与直线平行，则的值为___________.15. 已知，与一条坐标轴相切，圆心在直线上.若与相切，则的一个方程为________.16.某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图；（1）求高一参赛学生的成绩的众数、中位数；（2）求高一参赛学生的平均成绩．17. 已知函数（其中为自然对数的底数）.(1)讨论函数的导函数的单调性；(2)设，若x ＝0为g （x ）的极小值点，求实数a 的取值范围.18.如图所示，在三棱锥中，平面，，，、分别为线段、上的点，且，.(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值.19. 某老师对全班名学生学习积极性和参加社团活动情况进行调查，统计数据如下所示：参加社团活动不参加社团活动合计学习积极性高学习积极性一般合计(1)请把表格数据补充完整；(2)若从不参加社团活动的人按照分层抽样的方法选取人，再从所选出的人中随机选取两人作为代表发言，求至少有一个学习积极性高的概率；(3)运用独立性检验的思想方法分析：请你判断是否有的把握认为学生的学习积极性与参与社团活动由关系？附：20. 如图，在平行四边形中，，，，四边形为矩形，平面平面，．(1)求证：平面平面；(2)点在线段上运动，且，若平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，求的值．21. 已知是各项均为正数的等比数列，是与的等差中项且．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和．。
山西省晋中市榆次区2023-2024学年八年级上学期期中学业水平质量监测数学试卷(含解析)
榆次区2023-2024学年第一学期期中学业水平质量监测题（卷）八年级数学注意事项：1．本试卷共8页，满分100分，考试时间90分钟．2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1. 64的平方根是（）A. 8B.C.D. 4答案：C解析：解：64的平方根是：，故选：C．2. 在平面直角坐标系中，点的位置在（）A. 第二象限B. 第四象限C. 轴上D. 轴上答案：D解析：解：平面直角坐标系中，点所在的位置是轴上，故选：D．3. 下列实数中的无理数是（）A. B. C. D.答案：A解析：解：开方开不尽，是无理数；，是分数，是整数，都属于有理数；故选：A．4. “赵爽弦图”（图1）通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了一个重要的数学定理，它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲，这个图案被选为2002年国际数学家大会的会徽（图2）．利用这个图形证明的重要数学定理是（）A. 三角形内角和定理B. 勾股定理C. 勾股定理的逆定理D. 全等三角形的判定定理答案：B解析：解：由勾股定理相关的数学背景可知：“赵爽弦图”是对勾股定理的验证．故选：B．5. 下列计算正确的是（）A. B. C. D.答案：D解析：解：A、，此选项不符合题意；B、，此选项不符合题意；C、，此选项不符合题意；D、，此选项符合题意．故选：D．6. 以下四组数据中不能作为直角三角形的三边长的是（）A. B. C. D.答案：D解析：解：A、，故不符合题意；B、，故不符合题意；C、，故不符合题意；D、，故符合题意；故选：D．7. 某校开展了主题为“生活中的一次函数”的项目学习，同学们找到了许多生活中的函数．下面实例中，变量之间的关系不是一次函数的是（）A. 家庭用水的单价为4.1元，每月的水费支出与用水量之间的关系B. 百米赛跑中，时间与速度之间的关系C. 相同规格的A4纸整齐放置，纸的厚度与纸的张数之间的关系D. 普通钟表指针转动的角度与所用时间的关系答案：B解析：解：A、家庭用水的单价为4.1元，每月的水费支出与用水量之间的关系是一次函数关系，不符合题意；B、百米赛跑中，时间与速度之间的关系是不是一次函数关系，符合题意；C、相同规格的A4纸整齐放置，纸的厚度与纸的张数之间的关系是一次函数关系，不符合题意；D、普通钟表指针转动的角度与所用时间的关系是一次函数关系，不符合题意．故选：B．8. 如图1，大树移植后常用木头支撑．将其中一根木头的支撑情况抽象为数学图形（图2），如果木头的长为1.8米，木头底端A到树底端C的距离长为1米，则的长度在（）A. 1.2米到1.3米之间B. 1.3米到1.4米之间C. 1.4米到1.5米之间D. 1.5米到1.6米之间答案：C解析：解：由勾股定理，得(米)∵，，∴∴长度在1.4米到1.5米之间故选：C．9. 如图是一个数值转换器，如果输入的为81，则输出的值为（）A. B. C. D.答案：A解析：当时，取算术平方根为9，是有理数，代入，取算术平方根为3，是有理数，代入，取算术平方根为，是无理数，则输出为．故选：A．10. 小磊在画一次函数的图象时列出了如下表格，小颖看到后说有一个函数值求错了．这个错误的函数值是…012……852…A. 5B. 2C.D.答案：C解析：解：设一次函数的表达式为：，由表得：，解得：，，当时，，当时，，当时，，当时，，这个错误函数值为，故选C．二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11. 的绝对值是_____．答案：12. 如图是杭州亚运会火炬传递线路图，小红和小亮想利用平面直角坐标系的相关知识标记各站点．他们将其置于正方形网格中，宁波站的坐标为，舟山站的坐标为，则丽水站的坐标为________．答案：解析：解：由，可建立如图所示的平面直角坐标系：∴点C的坐标是．故答案为：．13. 复习课上，同学们根据一次函数所满足的性质写表达式．小华说：“一次函数图象经过点，小丽说：“该函数中，的值随着值的增大而减小”，则该一次函数表达式可以是________．（写出一种即可）答案：（答案不唯一）解析：解：设一次函数的解析式为，∵y随着x的增大而减小，∴，∵图象过点，∴，∴符合条件的解析式可以为：．故答案为：（答案不唯一）．14. 如图，长方体的长为，宽为，高为，点与点的距离是，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程是________ ．答案：15解析：解：由题意得：①当把长方体按照正面和右侧进行展开时，如图所示：，∴在中，；②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，如图所示：，∴在中，；∵，∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是15，由长方体的特征可得其他途径必定比①②两种更远，故不作考虑；故答案为：15．15. 如图，在中，，动点在射线上移动，连接．如果，则线段的长为________．答案：或解析：解：由勾股定理，得，①当点P在线段上时，如图，∵，，∴∴，设，则，在中，由勾股定理，得解得：；②当点P在线段延长线上时，如图，在上截取，连接，∵，∴，∵，∴∴，∵，，∴∴∴，由①可得，∴，∴，综上，线段的长为或．三、解答题（本大题共8个小题，共55分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16. 计算：（1）；（2）；（3）．答案：（1）（2）（3）小问1解析：解：原式；小问2解析：解：原式；小问3解析：解：原式17. 如图，平面直角坐标系中，正方形的顶点均在格点上，且．（1）请在图中画出与正方形关于轴对称正方形；（2）直接写出正方形与正方形的对应顶点的坐标满足的关系：横坐标，纵坐标；（3）正方形的面积为．答案：（1）见解析（2）互为相反数，相同（3）20小问1解析：如图所示；小问2解析：直接写出正方形与正方形的对应顶点的坐标满足的关系：横坐标互为相反数，纵坐标相同；小问3解析：正方形的面积．18. 某地气象资料表明，当地雷雨持续的时间可以用下面的公式“”来估计，其中是雷雨区域的直径．（1）如果雷雨区域直径为，那么这场雷雨大约持续多长时间？（结果精确到）（2）如果一场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径是否超过？答案：（1）如果雷雨区域直径为，那么这场雷雨大约能持续大约持续（2）如果一场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径没有超过小问1解析：当时，，根据题意，得，答：如果雷雨区域直径为，那么这场雷雨大约能持续大约持续．小问2解析：当时，，即，所以．又因为，且，所以．答：如果一场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径没有超过．19. 已知，，，（为大于1的正整数）．试问是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由．答案：是直角三角形，且边所对角是直角，理由见解析解析：解：∵，；∴；∵；∴为最长边；，且，．是直角三角形，且边所对角是直角．20. 如图，正比例函数的图象经过点．（1）求的值；（2）请在如图的坐标系中画出一次函数的图象；（3）根据图象，写出与一次函数有关的一个结论：．答案：（1）（2）见解析（3）随的增大而增大小问1解析：解：将代入，得：，解得：．小问2解析：将的图象向上平移3个单位得到的图象，函数图象如图所示：小问3解析：，随的增大而增大（答案不唯一）．21. 如图，某学校劳动实践基地有一块正方形空地，七、八年级分别在空地上开垦出两块面积为和的正方形区域进行种植试验．求这块正方形空地（正方形）的面积．答案：这块正方形空地的面积为解析：解：答：这块正方形空地的面积为．解法二：答：这块正方形空地的面积为．22. 阅读下列材料，并完成相应任务．巧用勾股定理测算旗杆高度数学活动课上，老师让同学们利用升旗的绳子、卷尺设计一个方案，测算出学校旗杆的的高度．小李同学将升旗的绳子拉直到其末端刚好接触地面，测得此时绳子末端距旗杆底端的距离为(如图1)．小李同学发现无法求出旗杆的高度．小明同学将绳子拉直到其末端距离旗杆处，测得此时绳子末端距离地面的高度为(如图2)．小明同学也发现无法求出旗杆的高度．他俩去请教老师，老师给出提示：你俩的方法结合一下便可以解决问题，因为不管怎么拉动绳子，绳子的长度不变，…任务：请你按照老师的提示帮小李和小明求出旗杆的高度．答案：旗杆的高度为解析：解：设旗杆的高度为，由图1得，绳子的平方为：，由图2得，绳子的平方为：，∴，解得：，答：旗杆的高度为．23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于两点，一次函数的图象经过点，并与轴交于点．（1）求两点的坐标；（2）求的面积；（3）在平面内是否存在点，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．答案：（1），（2）（3）存在，点的坐标为或小问1解析：令，得，解得，．令，得．小问2解析：将代入中，得，所以．令，得，所以，所以．所以．小问3解析：如图所示，当是等腰直角三角形时，过点B作，过点P作，过点A作，∵，∴，∵∴∵∴∵，∴∴，∴点的横坐标为，点的纵坐标为，∴点的坐标为；当是等腰直角三角形时，同理可得，∴，∴∴点的坐标为综上所述，当点P的坐标为或时，是以点为直角顶点的等腰直角三角形．。
山西省2023-2024学年高二上学期普通高中学业水平合格性考试适应性测试数学试题
一、单选题二、多选题1. 已知是定义域为的奇函数，满足.若，则（ ）A．B．C ．50D．2. 点到直线的距离的最大值为（ ）A ．1B．C．D．3. 已知向量，，则在方向上的投影为（ ）A．B．C．D．4. 拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微积分学中的基本定理之一，它反映了函数在闭区间上的整体平均变化率与区间某点的局部变化率的关系，其具体内容如下：若在上满足以下条件：①在上图象连续，②在内导数存在，则在内至少存在一点，使得（为的导函数）．则函数在上这样的点的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45. 函数的部分图象大致是（ ）A．B．C．D．6. 某单位为了解办公楼用电量y （度）与气温x （℃）之间的关系，随机统计了四个工作日用电量与当天平均气温，如下表：气温x （℃）181310－1用电量y （度）24343864由表中数据得到线性回归方程为，当气温为－4℃时，预测用电量为（ ）A ．69度B ．68度C ．66度D ．52度7.（ ）A ．9B ．3C ．2D．8. 已知集合，则（ ）A．B．C．D．9. 若函数，则下列说法正确的是（ ）A ．函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到B．函数的图象关于直线对称C ．函数的图象关于点对称D ．函数在上为增函数山西省2023-2024学年高二上学期普通高中学业水平合格性考试适应性测试数学试题三、填空题四、解答题10.已知正方体的棱长为为空间中任一点，则下列结论中正确的是（ ）A．若为线段上任一点，则与所成角的余弦值范围为B．若为正方形的中心，则三棱锥外接球的体积为C．若在正方形内部，且，则点轨迹的长度为D．若三棱锥的体积为恒成立，点轨迹的为圆的一部分11.已知，则下列不等式正确的是（ ）A．B．C．D．12.已知函数的部分图象如图所示，则（）A．函数的最小正周期为πB ．点是曲线的对称中心C ．函数在区间内单调递增D ．函数在区间内有两个最值点13.若，则___________.14. 已知双曲线的焦距为4，焦点到C 的一条渐近线的距离为1，则C 的渐近线方程为______15. 已知，其中e 是自然对数的底数，若，则实数a 的取值范围是_________．16.公比为的等比数列的前项和.(1)求与的值；(2)若，记数列的前项和为，求.17. 若抛物线的焦点为，是坐标原点，为抛物线上的一点，向量与轴正方向的夹角为60°，且的面积为.（1）求抛物线的方程；（2）若抛物线的准线与轴交于点，点在抛物线上，求当取得最大值时，直线的方程.18. 已知函数.(1)若，求曲线在处的切线方程；(2)当，时，证明：.19. 如图，在四棱锥中，，且.（1）证明：平面平面；（2）若，，且四棱锥的体积为，求该四棱锥的侧面积．20.如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，，，，，是棱的中点．(1)证明：平面；(2)若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值的最大值．21. 为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按，，，，分组，绘制频率分布直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只.假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.（1）填写下面的列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.单位：只抗体指标值合计小于60不小于60有抗体没有抗体合计（2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体.（i）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率；（ii）以（i）中确定的概率作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量.试验后统计数据显示，当时，取最大值，求参加人体接种试验的人数及.参考公式：(其中为样本容量)参考数据：0.500.400.250.150.1000.0500.025 0.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024。
2023年山西省普通高中学业水平考试数学试题(1)
一、单选题1. 已知，是平面内互相垂直的单位向量，且，，则与夹角余弦值为（ ）A．B．C．D．2. 复数满足为纯虚数，且，则可能为（ ）A．B．C．D．3. 已知定义在R上的函数的图象关于点对称，若对任意的有（是函数的导函数）成立，且，则关于x的不等式的解集是（ ）A．B．C．D．4. 已知复数（，是虚数单位）．若，则的虚部是（ ）A．B．C．D．5. 第二十二届世界杯足球赛在卡塔尔举办.某学院对该院收看第一轮小组赛的16场比赛每场比赛的人数进行统计，整理数据，得到如图所示的折线图，根据此折线图判断，下列结论正确的是（）A ．这16场比赛中，收看每场比赛的人数的极差大于85B ．这16场比赛中，收看每场比赛的人数的平均数大于132C ．这16场比赛中，收看每场比赛的人数的中位数为130D ．收看前5场比赛的人数的方差小于收看后5场比赛的人数的方差6. 三棱锥中，平面，，．过点分别作，交于点，记三棱锥的外接球表面积为，三棱锥的外接球表面积为，则（）A．B．C．D．7. 已知复数（为虚数单位），则（ ）A．B．C．D ．28. 某人周一至周五每天6：30至6：50出发去上班，其中在6：30至6：40出发的概率为0.4，在该时间段出发上班迟到的概率为0.1；在6：40至2023年山西省普通高中学业水平考试数学试题(1)2023年山西省普通高中学业水平考试数学试题(1)二、多选题三、填空题6：50出发的概率为0.6，在该时间段出发上班迟到的概率为0.2，则小王某天在6：30至6：50出发上班迟到的概率为（ ）A ．0.3B ．0.17C ．0.16D ．0.139. 2020年突如其来的新冠肺炎疫情对房地产市场造成明显的冲击，如图为某市2020年国庆节7天假期的楼房认购量与成交量的折线图，某同学根据折线图对这7天的认购量（单位：套）与成交量（单位：套）作出如下判断，则判断正确的是（）A ．日成交量的中位数是16B ．日成交量超过平均成交量的只有1天C ．10月7日认购量量的增长率大于10月7日成交量的增长率D ．日认购量的方差大于日成交量的方差10.如图，在正三棱柱中，，，则下列结论正确的是（）A ．不存在，使得异面直线与垂直B．当时，异面直线和所成角的余弦值为C ．若，当时，三棱锥的外接球的表面积为D．过且与直线和直线所成角都是的直线有两条11.已知抛物线的焦点为，准线为，、是上异于点的两点（为坐标原点）则下列说法正确的是（ ）A ．若、、三点共线，则的最小值为B．若，则的面积为C ．若，则直线过定点D ．若，过的中点作于点，则的最小值为12. 下列说法正确的是（ ）A ．一组数据2、3、3、4、5、7、7、8、9、11的第80百分位数为8.5B．在回归分析中，可用决定系数判断模型拟合效果，越小，模型的拟合效果越好C ．若变量服从，，则D ．将总体划分为2层，通过分层抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，，若，则总体方差13. 已知圆锥的底面半径为1，高为，则该圆锥侧面展开图的圆心角的大小为_________．四、解答题14.定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集是__．15. 写出一个截两坐标轴所得的弦长相等且半径为1的圆的标准方程______．16. 已知双曲线的离心率是，实轴长是8.(1)求双曲线C 的方程；(2)过点的直线l 与双曲线C 的右支交于不同的两点A 和B ，若直线l 上存在不同于点P 的点D 满足成立，证明：点D 的纵坐标为定值，并求出该定值.17.如图，在五面体中，点O 是矩形的对角线的交点，面是等边三角形，棱且．(1)证明：平面；(2)设，证明：平面．18. 已知，函数（是自然对数的底数）(1)求函数的单调区间;(2)若函数在区间内无零点，求的最大值.19. 已知函数f （x ）＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－与x ＝1时都取得极值（1）求a 、b 的值与函数f （x ）的单调区间（2）若对，不等式恒成立，求c 的取值范围.20. 已知椭圆，、分别是其左、右焦点，过的直线与椭圆交于两点，且椭圆的离心率为，的周长等于.（1）求椭圆的方程；（2）当时，求直线的方程.21. 的内角的对边分别是，已知，且的面积为24.(1)求；(2)若，求.。
2022年山西省普通高中学业水平考试数学试题
一、单选题二、多选题1.设抛物线，直线过抛物线的焦点，且与的对称轴垂直，与交于两点，若S 为的准线上一点，的面积为，则（ ）A．B．C．D．2. 已知全集，集合，则（ ）A．B．C．D．3. 已知函数的图象如图所示，则此函数可能是（）A．B．C．D．4.设函数的定义域为，有下列三个命题：（1）若存在常数，使得对任意，有，则是函数的最大值；（2）若存在，使得对任意，且，有，则是函数的最大值；（3）若存在，使得对任意，有，则是函数的最大值；这些命题中，真命题的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5. 复数满足，则（为的共轭复数）（ ）A．B．C．D ．6. 某医药研究所研发了一种治疗某疾病的新药，服药后，当每毫升血液中含药量不少于0.25毫克时，治疗疾病有效．据监测，服药后每毫升血液中的含药量y （单位：毫克）与时间t（单位：时）之间满足如图所示的曲线，则服药一次后治疗疾病的有效时间为（ ）A．B．C ．5D ．67. 把不超过的最大整数记作，如，，，若实数，满足，且，则（ ）A ．6B ．7C ．8D ．98. 已知单位向量，的夹角为，若向量，，且，则( )A．B ．2C ．4D ．69.已知函数，若经过点且与曲线相切的直线有两条，则实数的值为（ ）A．B．C ．D．10.在矩形中，，，以对角线BD 为折痕将△ABD 进行翻折，折后为，连接得到三棱锥，在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）2022年山西省普通高中学业水平考试数学试题2022年山西省普通高中学业水平考试数学试题三、填空题四、解答题A ．三棱锥体积的最大值为B ．点都在同一球面上C ．点在某一位置，可使D ．当时，11.已知数列的前项和为，若，且对，都有，则（ ）A．是等比数列B．C．D．12. 以下关于概率与统计的说法中，正确的为（ ）A ．某高中为了解在校学生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本.已知该校高一､高二､高三年级学生之比为，则应从高二年级中抽取20名学生B ．10件产品中有7件正品，3件次品，若从这10件产品中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为C ．若随机变量服从正态分布，，则D．设某学校女生体重(单位：)与身高(单位：)具有线性相关关系，根据一组样本数据，用最小二乘法建立的回归方程为，若该学校某女生身高为，则可断定其体重必为13.不等式的解集为_________．14. 已知一个圆锥的底面积和侧面积分别为和，则该圆锥的体积为________15. 设全集若集合则______.16. 为了配合今年上海迪斯尼游园工作，某单位设计了统计人数的数学模型：以表示第个时刻进入园区的人数；以表示第个时刻离开园区的人数.设定以分钟为一个计算单位，上午点分作为第个计算人数单位，即；点分作为第个计算单位，即；依次类推，把一天内从上午点到晚上点分分成个计算单位（最后结果四舍五入，精确到整数）.（1）试计算当天点至点这一小时内，进入园区的游客人数、离开园区的游客人数各为多少？（2）假设当日园区游客总人数达到或超过万时，园区将采取限流措施.该单位借助该数学模型知晓当天点（即）时，园区总人数会达到最高，请问当日是否要采取限流措施？说明理由.17. 为落实《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，完善学校体育“健康知识＋基本运动技能＋专项运动技能”教学模式，建立“校内竞赛－校级联赛－选拔性竞赛－国际交流比赛”为一体的竞赛体系，构建校、县（区）、地（市）、省、国家五级学校体育竞赛制度．某校开展“阳光体育节”活动，其中传统项目“定点踢足球”深受同学们喜爱．其间甲、乙两人轮流进行足球定点踢球比赛（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次踢球命中的概率为，乙每次踢球命中的概率为，且各次踢球互不影响．（1）经过1轮踢球，记甲的得分为，求的数学期望；（2）若经过轮踢球，用表示经过第轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的概率．①求，，；②规定，且有，请根据①中，，的值求出、，并求出数列的通项公式．18. 为考察本科生基本学术规范和基本学术素养，某大学决定对各学院本科毕业论文进行抽检，初步方案是本科毕业论文抽检每年进行一次，抽检对象为上一学年度授予学士学位的论文，初评阶段，每篇论文送位同行专家进行评审，位专家中有位以上（含位）专家评议意见为“不合格”的毕业论文，将认定为“存在问题毕业论文”.位专家中有位专家评议意见为“不合格”，将再送位同行专家（不同于前位）进行复评.复评阶段，位复评专家中有位以上（含位）专家评议意见为“不合格”，将认定为“存在问题毕业论文”.每位专家，判定每篇论文“不合格”的概率均为，且各篇毕业论文是否被判定为“不合格”相互独立.(1)若，求每篇毕业论文被认定为“存在问题毕业论文”的概率是多少；(2)学校拟定每篇论文需要复评的评审费用为元，不需要复评的评审费用为元，则每篇论文平均评审费用的最大值是多少？19. 解关于x的不等式：.20. 某市为了解本市2万名学生的汉字书写水平，在全市范围内进行了汉字听写考试，现从某校随机抽取了50名学生，将所得成绩整理后，发现其成绩全部介于之间，将其成绩按如下分成六组，得到频数分布表成绩人数410161064(1)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图；(2)估算该校50名学生成绩的平均值和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(3)以该校50名学生成绩的频率作为概率，试估计该市分数在的人数.21. 随着改革开放的不断深入，祖国不断富强，人民的生活水平逐步提高，为了进一步改善民生，2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）收入个税起征点专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括①赡养老人费用②子女教育费用③继续教育费用④大病医疗费用……等.其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除2000元②子女教育费用：每个子女每月扣除1000元.新个税政策的税率表部分内容如下：级数一级二级三级四级…每月应纳税所得额（含税）不超过3000元的部分超过3000元至12000元的部分超过12000元至25000元的部分超过25000元至35000元的部分…税率（%）3102025…（1）现有李某月收入19600元，膝下有一名子女，需要赡养老人，（除此之外，无其它专项附加扣除）请问李某月应缴纳的个税金额为多少？（2）现收集了某城市50名年龄在40岁到50岁之间的公司白领的相关资料，通过整理资料可知，有一个孩子的有40人，没有孩子的有10人，有一个孩子的人中有30人需要赡养老人，没有孩子的人中有5人需要赡养老人，并且他们均不符合其它专项扣除（受统计的50人中，任何两人均不在一个家庭）.若他们的月收入均为20000元，试求在新个税政策下这50名公司白领的月平均缴纳个税金额为多少？。
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（）
C．{x | −1 < x < 1} D．{x |1 < x < 3}
2．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是
A. 圆柱
B. 圆台
C. 圆锥
D. 棱台
3. 函数 f (= x) lg x − 1 的零点所在的区间是
x
A． (0,1) B． (1,10) C． (10,100)
正视图 侧视图
俯视图
直线方程 yˆ =−2x + 60 ，现表中有一个数据被污损．则被污损的数据为__________．
气温（ C ） 18 13 10 −1 用电量(度) 24 34 ∗ 64
17. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的体积为 8 ,则这个球的表
面积为__________．
18 ． 过 点 M (−3, −3) 且 斜 率 为 2 的 直 线 l 被 圆 x2 + y2 + 4 y − 21 = 0 截 得 的 弦 长 为
=
cos
2x
图象上所有的点
（）
π
A．向左平行移动 个单位长度
3 π
C．向左平行移动 个单位长度
6
π
B．向右平行移动 个单位长度
3 π
D．向右平行移动 个单位长度
6
6．甲校有 3600 名学生，乙校有 5400 名学生，丙校有1800 名学生，为统计三校学生某
方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为 90 人的样本，应在这三校分别
( ) a b c
10. 已知非零向量 a,b, c, 满足 a+b+c=0 ， a − b ⊥ c ，m = + + ，则 m=（ ） b c a
A． 3 2
B． 3
2018 年高中学业水平考试，
C．1+ 3 2 2
D． 2 + 2 2
数学试题，第2页，共5页
得分 评卷人
二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）请将答案填在题中横线上.
束条件
x
+
y
−
2
≤
0
,则
=z
3x − 4 y 的最小值为__________．
y ≥ 0
15．若直线 x + y = 1(a > 0,b > 0) 过点 (1, 2) ,则 2a + b 的最小值为__________．
ab
16. 某同学为了解秋冬季节用电量( y 度)与气温( xC )的关系曾由下表数据计算出回归
设
f
(
x
)
=
2ex log
−1 3
, x < 2, 2x −1
,
x
≥
则
2，
f
(
f
(2)) =
A． 0 B．1 C． 2 D． 3
（）
（）
9. 圆 C1 : x2 + y2 + 2x − 6 y − 26 = 0 与圆 C2 : x2 + y2 − 4x + 2 y + 4 =0 的位置关系为
ห้องสมุดไป่ตู้
（）
A．相离 B．相交 C．外切 D． 内切
抽取学生
（）
A． 30 人， 45 人，15 人 B． 30 人， 30 人， 30 人 C． 20 人， 30 人，10 人 D． 30 人， 50 人，10 人
7. 阅读如图的程序框图,运行相应的程序,若
输入 N 的值为 24 ,则输出 N 的值为
A． 0 B．1 C． 2 D． 3
( ) 8.
11． 324 与135 两个数的最大公约数是__________．
12．函数 =y
1
−
1 2
x
的定义域为__________．
( ) 13. 已知 a = 2,b 是单位向量，且 a 与 b 夹角为 60 ,则 a· a − b = __________．
x − y ≥ 0
14.
若
x,
y
满足约
（1）求数列{an} 的通项公式 an ；
（2）求数列{an} 的前 n 项和 Sn.
得分 评卷人
于点 F
21．（本小题 10 分） 在四棱锥 P − ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD ⊥ 底 面 ABCD ，PD = DC ，E 是 PC 的中点，作 EF ⊥ PB 交 PB
（1）证明： PA 平面 EDB ； （2）证明： PB ⊥ 平面 EFD .
[来源:学_科_网 Z_X_
2018 年高中学业水平考试， 数学试题，第4页，共5页
得分 评卷人
22．（本小题 10 分） 在 ∆ABC 中， a,b, c 分别为内角 A, B, C 的对边，且
( ) 2absin=C 3 b2 + c2 − a2 ，
（1）求角 A ；
（2）若 a = 3，且 ∆ABC 的面积为 3 3 ，求 ∆ABC 的周长. 2
座位号
2018 年山西省普通高中学业水平考试试卷
数学
说明： 1.答卷前考生务必将自己的座位号、姓名、准考证号、考点名称、考场
号等信息填写在相应位置. 2.答卷时考生务必用蓝、黑墨水笔或圆珠笔作答(作图可用黑色铅笔)，
请在答题卡上作答，在试题卷中作答无效。 3.本试卷共 5 页，答题时间 90 分钟，满分 100 分.
D． (100，+∞)
（） （）
4．已知数列{an} 为等差数列，且 a1=2，a2 +a3 =13，则 a4 +a5 +a6 =
A． 40
B． 42
C． 43
D． 45
（）
2018 年高中学业水平考试， 数学试题，第1页，共5页
5. 为了得到函= 数 y
cos
2x
−
π 3
的图象,只需把函数
y
得分 评卷人
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 在每小题列出的四个选项中，只．有．一．项．是符合题目要求 的.请将正确选项前的字母填写在下列表格中.
1．若集合 A= {x | −2 < x < 1} ，=B {x | x < −1或x > 3} ，则 A B =
A．{x | −2 < x < −1} B．{x | −2 < x < 3}
__________．
三、解答题（本大题共 5 小题，共 46 分）解答应写出文字说明，证明过程或 演算步骤.
2018 年高中学业水平考试， 数学试题，第3页，共5页
得分 评卷人
19.（本小题 8 分） 某校有教职工 130 人，对他们进行年龄状况和受教育程度的调
查，其结果如下：
本科
研究生
合计
35 岁以下
50
35
85
35∼50 岁
20
13
33
50 岁以上
10
2
12
随机地抽取一人，求下列事件的概率：
（1）具有本科学历； （2）35 岁以下具有研究生学历； （3）50 岁以上.
得分 评卷人
20. （本小题 8 分）
在数列{an} 中， Sn 为它的前 n 项和，已知= a2 3= , a3 7, 且数
列{an +1} 是等比数列，