高三第一学期期中考试数学答案
天津市部分区2024-2025学年高三上学期期中考试 数学含答案
天津市部分区2024~2025学年度第一学期期中练习高三数学（答案在最后）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，练习用时120分钟。
使用答题卡的地区，将答案写在答题卡上：不使用答题卡的地区，将答案写在练习卷上。
第Ⅰ卷（共45分）注意事项：本卷共9小题，每小题5分，共45分。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集{}0,1,2,3,4,5U =，集合{}0,3M =，{}3,4N =，则()U M N = ð（）A ．{}0,2,3,5B ．{}0,1,3,4C ．{}0,1,2,3,5D ．{}0,2,3,4,52．已知()1,2a =- ，()1,1b = ，则a b -=（）A B ．1C ．D ．53．若x ，y ∈R ，则“22x y =是“33xy=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若918S =，则28a a +=（）A ．4B ．3C ．2D ．15．函数()f x 的部分图象如下图所示，则()f x 的解析式可能为（）A ．()()e e sin x xf x x -=-B ．()()e e cos x xf x x -=-C ．()()e e sin xx f x x--=D ．()()e e cos xx f x x--=6．已知cos cos sin ααα=+，则tan 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．1-B ．12-C ．1D ．1-7．已知0.13a =，b =，3log 1.3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c<<B ．c b a<<C ．c a b<<D ．a c b<<8．已知函数()()2ln 1f x x a x =+-有极值点，则实数a 的取值范围为（）A ．(],0-∞B ．(),0-∞C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦9．已知函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，且在区间()0,π上有且仅有2个零点，则ω的取值范围为（）A ．47,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．47,33⎛⎤⎥⎝⎦C ．4,23⎛⎫⎪⎝⎭D ．4,23⎛⎤⎥⎝⎦第Ⅱ卷注意事项：本卷共11小题，共105分。
辽宁省大连市2024-2025学年高三上学期期中Ⅰ考试 数学含答案
2024-2025学年度上学期高三年级期中I 考试数学科试卷（答案在最后）命题人：第I 卷一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 是虚数单位，复数1z 、2z在复平面内对应的点分别为()1,2-、()1,1-，则复数21z z 的共轭复数的虚部为()A.15-B.15C.1i5- D.1i 52.等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则以下结论正确的是（）A.“q >0”是“{}n a 为递增数列”的充分不必要条件B.“q >1”是“{}n a 为递增数列”的充分不必要条件C.“q >0”是“{}n a 为递增数列”的必要不充分条件D.“q >1”是“{}n a 为递增数列”的必要不充分条件3.函数()()e 1sin e 1xxx f x -=+，则=的部分图象大致形状是（）A.B.C. D.4.某制药企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量M （单位：mg /L ）与时间t （单位：h ）之间的关系为：0ektM M -=（其中0M ，k 是正常数）．已知经过1h ，设备可以过速掉20%的污染物，则过滤一半的污染物需要的时间最接近（）（参考数据：lg 20.3010=）A.3hB.4hC.5hD.6h5.若ππcos ,,tan 223sin αααα⎛⎫∈-= ⎪-⎝⎭，则πsin 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.718+-B.718- C.18-D.18-6.已知ABC V 是边长为点P 是ABC V 所在平面内的一点，且满足3AP BP CP ++=，则AP的最小值是（）A.1B.2C.3D.837.已知4ln 3a π=，3ln 4b π=，34ln c π=，则a ，b ，c 的大小关系是A.c b a << B.b c a << C.b a c << D.a b c<<8.设函数()32||()e 1x f x x x=+-（44x -<<），若(21)(2)(12)f x f f x ++<-，则x 的取值范围是（）A.31,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B.31,22⎛⎫-⎪⎝⎭ C.1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D.3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知220,0,1a b a b ab >>+-=，下列不等式恒成立的是（）A.112a b+≥ B.2a b +≥ C.332a b +≤ D.0323b <≤10.已知函数()()πsin 0,04f x A x B A ωω⎛⎫=++>> ⎪⎝⎭（）A.若()f x 在区间π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，则0ω<≤B.将函数()y f x =的图像向左平移π2个单位得到曲线C ，若曲线C 对应的函数为偶函数，则ω的最小值为13C.若函数()y f x =在区间()0,π上恰有三个极值点，则91344ω<≤ D.关于x 的方程()22f x A B=+在()0,π上有两个不同的解，则522ω<≤11.已知()f x 是定义在R 上连续的奇函数，其导函数为()g x ，()()424f x f x =-，当[]2,1x ∈--时，()0g x '>，则（）A.()g x 为偶函数B.()f x 的图象关于直线12x =对称C.4为()g x 的周期D.()g x 在2026x =处取得极小值第II 卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分.12.已知向量()1,2a =-，()1,b λ= ，若a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________.13.设实数x 、y 、z 、t 满足不等式1100x y z t ≤≤≤≤≤，则x zy t+的最小值为______.14.若存在正实数x ，使得不等式()2ln 2ln 00axa x a ⋅⋅-≤>成立，则a 的最大值为______．四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，5c 5c s os o a CA cb -=.（1）求c ；（2）若7b =，π3B =，点M 在线段BC 上，5AM =，求MAC ∠的余弦值.16.已知函数()()212ln 0af x x a x=-->．（1）当4a =时，求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）设函数()f x 的极大值为()M a ，求证：()11M a a+≤．17.已知函数()()2ln 2f x x a x a x =+-+，()ln 1g x x x x a =--+，a ∈R .（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()()1ln f x g x a x +≥+对任意1x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.18.已知数列{}n a 满足递推关系，()2*1231n n n n a a ma n N a +++=∈+，又1=1a .（1）当1m =时，求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 满足不等式1n n a a +≥恒成立，求m 的取值范围；（3）当31m -≤<时，证明12111111112nn a a a +++≥-+++ .19.对于数列{}n a ，如果存在等差数列{}n b 和等比数列{}n c ，使得()n n n a b c n *=+∈N ，则称数列{}na 是“优分解”的．（1）证明：如果{}n a 是等差数列，则{}n a 是“优分解”的．（2）记()2*11ΔΔΔΔn n n n n n a a a a a a n ++=-=-∈N，，证明：如果数列{}na 是“优分解”的，则()2*Δ0n a n =∈N 或数列{}2Δn a 是等比数列．（3）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，如果{}n a 和{}n S 都是“优分解”的，并且123346a a a ===，，，求{}n a 的通项公式．2024-2025学年度上学期高三年级期中I考试数学科试卷命题人：第I卷一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】A二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】ACD【10题答案】【答案】CD【11题答案】【答案】ACD第II卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分.【12题答案】【答案】1(,2)(2,)2∞--⋃-【13题答案】【答案】15##0.2【14题答案】【答案】1e ln 2四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）5；（2）1314.【16题答案】【答案】（1）690x y --=（2）证明见解析【17题答案】【答案】（1）答案见解析；（2）(,0]-∞.【18题答案】【答案】（1）21nn a =-；（2）3m ≥-；（3）证明见解析.【19题答案】【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）122n n a -=+。
海淀区2024-2025学年高三第一学期期中数学试题(详细解答)
北京市海淀区2024-2025学年高三上学期期中练习数学试题本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.第一部分(选择题 共40分)一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.(1)已知集合A={x|x ≤ 0或x>1}，B={-2，0，1，2}，则A ∩B=( ) A.{-2,2} B.{-2,1,2} C.{-2,0,2} D.{-2,0,1,2} 【分析]利用交集的定义可求得集合A ∩B.【解] 因为集合A={x|x ≤0或x >1}，B={-2,0,1,2}，则A ∩B={-2,0,2},故选:C. 2.若复数z 满足i ·Z=1-i ，则Z=( ) A. 1 + i B. -1 + i C. 1 -i D. -1 -i 【分析]根据给定条件，利用复数乘法运算计算即得. [解]由i ·z=1-i ，得-i ²∙z=(1-i)·(-i)，所以z=-1-i.故选:D 3.若a<b<0，则下列不等式成立的是( ) A.a 2<b 2 B. a 2<ab C. ba >ab D.ba +ab ->2【分析]根据不等式的性质及基本不等式，逐项分析即可得解.【解]因为a<b<0，所以-a>-b>0，所以(−a)2>(−b)2，即a 2>b 2 ，故A 错误; 因为a<b<0，所以a 2> ab ，故B 错误;4. 已知 f(x) = sin xcos x ，则f'(π4) = ( ) A.1 B.2 C.-1 D.-2【分析]求出函数的导函数，计算得解. 【解]：因为f(x)= sin x cos x ,所以f'(π4) = 112=2.故选:B5. 下列不等式成立的是( )【分析]根据指数函数和对数函数的单调性判断各选项即可. 【解]因为函数y=log 0.3x 在(0,+∞)上单调递减，因为函数y=0.2x 在R 上单调递减，6. 若f(x)={x 2，x ≥a 2x +3,x <a在R 上为增函数，则a 的取值范围是( )A.[1,+∞)B.[3,+∞)C.[-1,3]D.(-∞,-1]U[3,+∞)【分析]根据分段函数的单调性列式运算得解.[解]因为f(x)是R 上单调递增函数所以{a ≥0a 2≥2a +3解得a≥3.所以实数a 的取值范围为[3,+∞),故选:B.画图像法：选B(7)已知向量a ⃗ = (x ，1)，b⃗⃗=(-1，y)，则下列等式中，有且仅有一组实数x ，y 使其成立的是 (A)a ⃗·b ⃗⃗=0 ( B) l a ⃗l+|b ⃗⃗| = 2 (C) |a ⃗| =|b ⃗⃗| (D) l a ⃗+b⃗⃗| = 2 解：分析A ：a ⃗·b ⃗⃗=0，-x+y=0.x ，y 有无数组解. 分析B ： l a ⃗l+|b ⃗⃗| = 2,a ⃗⃗⃗⃗·b⃗⃗=0，√x 2+1+√y 2+1=2,x=0,y=0, 有且仅有一组实数x ，y 使其成立的.故B 正确。
山东省青岛2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷(含解析)
2024-2025学年度第一学期期中考试解析-高三上数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知，i 为虚数单位，为z 的共轭复数，则（ ）A.B. 4C.D.2. 已知集合，，则（ ）A. B.C. D. 3. （ ）A.B.D.24.已知向量，，其中，若，则（ ）A. 40B. 48C.D. 625. 已知的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成等比数列，则的最大值为（ ）A.B.C.D.6. 若定义在上的偶函数在上单调递增，则，，的大小关系为（）A. B.C. D.7. 已知a ，且，，，则（ ）A.B. C.D. 8. 已知当时，恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.44i z =+z z i -=5(){}2024log 20250M x y x ==-<{}2026x N y y ==M N = (2024,2025)(,2025)-∞(0,)+∞(2025,)+∞4log 50.5=1215-()1,54a λ=+ ()2,8b λ=+ 0λ≥a b ∥ ()b a b ⋅-=34-ABC △B 6π3π2π23πR ()f x [)0,+∞1πf ⎛⎫- ⎪⎝⎭31f ⎛⎫- ⎪⎝⎭127f -⎛⎫⎪⎝⎭12117π3f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫->>- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1211π73f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫>->- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1211π73f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫->-> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭121173πf f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫->>- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭b ∈R 0b ≠1a b ≠-1sin 21a b a bα-=+ab =1cos 1cos αα-+πtan 4α⎛⎫+⎪⎝⎭1sin 1sin αα-+2πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭0x >ln e ln x x ex x a -≥(],0-∞(20,e ⎤⎦(],1-∞[)e,+∞9. 已知且，则（ ）A. B. C.2D.10. 已知幂函数的图象经过点，下列结论正确的有（ ）A. B.是偶函数C. D.若，则11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ）A. 的定义域为B. 有解C. 不存在极值点D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 曲线在点处的切线方程为______.13. 数列共有5项，前三项成等比数列，公比为q . 后三项成等差数列，公差为d ，且若第5项为1，第2项与第4项的和为18，第1项与第3项的和为35，则____________.14. 在中，若，，三点分别在边，，上（均不在端点上），则，，的外接圆交于一点O ，称为密克点.在梯形ABCD 中，，，M 为CD 的中点，动点P 在BC 边上（不包含端点），与的外接圆交于点Q （异于点P ），则BQ 的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知单位向量，满足．（1）求；（2）求在上的投影向量（用表示）．16.（15分）0xy >21x y +=0y <102x <<42xy+≥22log log 0x y +<()f x 14,16⎛⎫⎪⎝⎭()00f =()f x ()12f '-=()()321f x f x ->+233,,4322x ⎛⎫⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()(1)log x f x x +=()f x ()0,+∞()2f x =()f x ()()()11f x f x x <+>21e x y x x -=-()1,0{}n a dq +=111A B C △1M 1N 1P 11A B 11B C 11C A 111A M P △111B M N △111C N P △60B C ∠=∠=︒22AB AD ==ABP △CMP △1e 2e121()23e e e ⋅+= 1232e e -125e e - 1e1e定义三阶行列式运算：，其中（i ，）.关于x 的不等式的解集为M .（1）求M ；（2）已知函数在实数集单调递增，求a 的取值范围.17．（15分）函数（，，）的部分图象如图，和均在函数的图象上，且Q 是图象上的最低点．（1）求函数的单调递增区间；（2）若，，求的值．18. （15分）已知数列是首项为2，公比为4的等比数列，数列满足.（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前n 项和.19.（17分）已知函数（1）求的值；111213212223112233122331132132132231122133112332313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++---ij a ∈R {}1,2,3j ∈10100001x x x->()()241,,e 22,x x a x x Mf x a x M⎧-+∈=⎨--∈⎩R ðR ()()sin f x A x ωϕ=+0A >0ω>π2ϕ<()1,0P ()4,2Q -()f x ()f x ()056f x =058,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦0cos x π{}2na {}nb 321212222n n b b b b n -++++= {}n a {}n b n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n S ()3f x x x =-()0f（2）设，当时，记在区间上的最大值为M ，最小值为m ，求的取值范围.高三期中考试题 数学参考答案1. D 【解析】由，可得.故选D.2. C 【解析】由可得，则；，故，则.故选C.3. C 【解析】由题意得.故选C 项.4. D 【解析】因为，，且，故，解得或（舍去），经检验当时，，故.故选D.5. B 【解析】由题意可得，由余弦定理可得，，，.故选B.6. .B 【解析】因为是定义在上的偶函数，所以，，又()()()ln 0g x a x x f f x =-+-(]1,3a ∈-()g x []1,e Mm -44i z =+45i z i -==-=()2024log 20250x -<020241x <-<()2024,2025M =20260x y =>()0,N =+∞()2024,2025M N = 444222log 5111log loglog log 5log 552510.522222-⎛⎫======⎪⎝⎭()1,54a λ=+ ()2,8b λ=+ a b ∥ ()()54218λλ++=⨯0λ=145-0λ=a b ∥ ()()()2,81,4124834b a b ⋅-=⋅--=-⨯-⨯=-2b ac =2222221cos 2222a cb ac b ac ac B ac ac ac +---=≥==0B π<< 03B π∴<≤()f x R 3113f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11ππf f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭127-=，在上单调递增，所以.故选B 项.7. D 【解析】由题意可得，解得.故选D.8. A 【解析】由对恒成立，令，则，令，得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即.令，，，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以.故选A.9. BCD 【解析】由且，得，解得，同理得，故A 项错误，B 项正确；对于C 项，，当且仅当时，取等，故C项正确；对于D项，，故D 项正确.故选BCD 113π>>()f x [)0,+∞1211π73f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫>->- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1sin 21a b a bα-=+22221sin 2sin cos 2sin cos 1sin 2sin cos 2sin cos a b αααααααααα+++==-+-()()()()22222sin cos 1tan πtan 4sin cos 1tan ααααααα++⎛⎫==+ ⎝--=⎪⎭ln e ln x x x x a -≥0x >()ln f x x x =()ln 1f x x ='+()0f x '=1ex =10e x <<()0f x '<1e x >()0f x '>()f x 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()11e ef x f ⎛⎫≥=- ⎪⎝⎭1ln ex x ≥-ln tx x =()1e et g t et t ⎛⎫=-≥- ⎪⎝⎭()e t g t e '=-11e t -≤<()0g t '<1t >()0g t '>()g t 1,1e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭()1,+∞()()min 01g t g ==0a ≤0xy >210x y +=>(12)0x x ->102x <<01y <<422x y +==>…14x =12y =()22222222121log log log log log log 302822x y x y x y xy ⎡⎤⋅+⎛⎫+====-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦…项.10. BCD 【解析】设幂函数，由，得，所以，所以无意义，故A 项错误；，所以是偶函数，故B 项正确；由，得，故C 项正确；因为是偶函数，且在上单调递减，所以由，得，即且解得且，故D 项正确.故选BCD 项.11. ACD 【解析】对于A 选项，由函数的定义知的定义域为，故A 正确.对于B 选项，令，则，即，判别式，无实数解，故B 错误.对于C 选项，，可知，设函数，可知，令，解得，则在上单调递减，在上单调递增，且在上，则的图象为的图象向左平移一个单位长度，易得两者无交点，则无零点，即不存在极值点，故C 正确.对于D 选项，方法一：由的单调性可知，D 正确.方法二：作差有，且，故，D 正确.故选ACD.12. 【解析】，故时，，故曲线在点处()a f x x =()14416af ==2α=-()2f x x -==()0f ()()f x f x -=()f x ()32f x x -=-'()12f '-=()f x ()0,+∞()()321f x f x ->+321x x -<+22(32)(1)x x -<+320,10,x x -≠⎧⎨+≠⎩243x <<32x ≠()f x ()0,+∞(1)log 2x x +=2(1)x x +=2403x x +=+70∆=-<()(1)ln log ln(1)x x xf x x +==+()2211ln(1)ln (1)ln(1)ln 1ln 1)(1)ln )((1x xx x x x x x f x x x x x +-++-+==+++'()ln g x x x =()ln 1g x x ='+()0g x '=1e x =()g x 10,e ⎛⎫⎪⎝⎭1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()0,1()0g x <()()1ln 1y x x =++()g x ()f x '()f x ()f x ()()()(1)21lo (1)g log x x x f x x f x ++-+=+-()()()2ln ln 2ln 1ln(2)ln 1x x x x x ⋅+-++⋅+=()()()()222ln ln 22ln 1ln ln 2ln 122x x x x x x ⎡⎤⎡⎤+++⋅+<<=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()11f x f x x <+>22y x =-()212e 1x y x x -'+-=1x =2y '=21e x y x x -=-()1,0的切线方程为.13. 5【解析】由题意得该数列的项可设为，，，，1，又即从而，即，即，解得所以.14.【解析】如图，延长BA ，CD 交于点E ，则为正三角形.由题设结论，，，的外接圆有唯一公共点，该公共点即为题中的点Q ，故点Q 在的外接圆上.由题意得，，则是直角三角形，故其外接圆半径.在中，由余弦定理可知，，当Q 在线段BD 上，且时，BQ 取得最小值.15. 解：（1）．……6分（2）在上的投影向量为．……13分16．（15分）解：（1），（3分）所以，所以原不等式的解集.（6分）（2）由（1）知，所以（7分）22y x =-()212d q +()12d q +12d +1d +()()211218,121235,d d q d d q ⎧+++=⎪⎨+++=⎪⎩()()221217,2234,q d q q d q ⎧+=-⎪⎨+=-⎪⎩()()()()2212341722q q q q +-=-+232334682343422q q q q q q -+-=+--235700q q -=2,3,q d =⎧⎨=⎩5q d +=1-EBC △ABP △CMP △AME △AME △120BAD ∠=︒90BAM ∠=︒AME △1R AD ==ABD △BD ==1QD =11232e e -==125e e -1e ()121111352e e e e e e -⋅⋅=-()()1010110001x x x x x xx x x=-=->-1x >{|1}M x x =>{|1}M x x =>()()241,1e 22,1xx a x x f x a x ⎧-+>=⎨--⎩…在实数集上单调递增，，又因为当时，是单调增函数，所以当时，，解得（10分）综上，a 的取值范围是.17. 解：（1）由题得，，故，．由，得，，故，，，故，故．，即单调递增区间为，．……9分（2）由，即，又，则，故，．……15分18.解：（1）由题意得，（2分）所以.（3分）由，得当时，，（5分）所以，即.（6分）又当时，也符合，()f x R 4112a +∴≤14a ∴≤1x ≤()f x 1x =224e a a --≤-12ea ≤-,1(]2e -∞-2A =334T =4T =π2ω=2113f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π113π2π232k ϕ⨯+=+k Z ∈π2π3k ϕ=-+k Z ∈π2ϕ<π3ϕ=-()ππ2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ππππ152π2π44223233k x k k x k -+≤-≤+⇒-+≤≤+()f x 154,433k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦k Z ∈()056f x =0ππsin 2335x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭058,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦0πππ,π232x ⎛⎫⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭04ππcos 235x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭0000ππππππ1ππcos cos cos sin 223323223x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-⋅--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()22000ππcos cos(2c )2)1os (2(122x x x π=-∴=⨯=⨯-=1212422na n n --=⨯=21n a n =-32122222n b b b b n ++++= 2n …()31212222122n n b b b b n --++++=- 122nn b -=2n n b =1n =12b =所以.（7分）（2）设，则，（8分）（9分）两式作差得，（10分）即，（12分）所以.19.（17分）已知函数（1）求的值；（2）设，当时，记在区间上的最大值为M ，最小值为m ，求的取值范围.解：（1）由，（2分）所以，所以，（4分）所以.（5分）（2）由（1）可得，（6分）2nn b =()1212nn n n a c n b ⎛⎫==- ⎪⎝⎭()21221111()32221nn n S c c c n ⎛⎫⎛⎫=+++=⨯+⨯++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()231111132112222n n S n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()231111112211222222221nn n S n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1121722222212111272111n n n n n S n ++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-+--=- ⎪⎝⎭-2277n nn S +=-()3f x x x =-+()0f ()()()ln 0g x a x x f f x =-++-(]1,3a ∈-()g x []1,e Mm -()3f x x x =-+()()332223031()2e f f x x e x -'-'=-+()()30012f f =-+''()02f '=()3f x x x =-()206f e =()32ln 6g x x a x e =-++，（7分）①当时，，， 在区间上单调递减， （8分）所以的最小值.（9分）的最大值，（10分），（11分）这时的取值范围为.（12分）②当时，，，在区间上，， 在区间上单调递减，（13分）所以的最小值.（14分）的最大值，（15分），这时的取值范围为.（16分）综上所述，当时，取值范围为；当时，取值范围为.（17分）变式：已知函数.（1）求曲线在处的切线方程；（2）设，当时，记在区间上的最大值为M ，最小值为m ，求的取值范围.()32333x a x a g x x x '⎛⎫- ⎪=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭10a -<≤03a ->()0g x '≤()g x [1,]e ()g x ()326m g e a e e ==-++()g x ()2161M g e ==-()232333(1)6161(1,]M m g g e e a e e a e e e -=-=-+--=--∈-Mm -33(1,]e e -03a <≤013a<≤01<≤[1,]e ()0g x '≤()g x [1,]e ()g x ()326m g e a e e ==-++()g x ()2161M g e ==-()232333(1)6161[4,1)M m g g e e a e e a e e e -=-=-+--=--∈--Mm -33[4,1)e e --10a -<≤M m -33(1,]e e -03a <≤Mm -33[4,1)e e --()3f x x x =-+()y f x =0x =()()()20g x ax x f f x =+--10a -<<()g x []1,0-M m -解：（1）由，（2分）所以，所以，（4分）所以，所以.（5分）所以在处的切线方程为（6分）化为.（7分）（2）由（1）可得，（8分）所以，，两零点为 （9分）-+单调递减单调递增（11分）因为，（12分）所以时，，（13分）()3f x x x =-+()()3223031(1)2f f x x x -'-'=-+()()30012f f =-+''()02f '=()3f x x x =-+()06f =()y f x =0x =()620y x -=-260x y -+=()()()()22332006g x ax x f f x ax x f x x x ax =-++-⎛=-+--+ ⎝=-++()22323()3a g x x ax x x =-+=--'10a -<<1222,0,033a x x ⎛⎫=∈-= ⎪⎝⎭x 21,3a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2,03a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()g x '()g x ()60g =()()7106g a g =+>=-[]1,0x ∈-()()max 17M g x g a==-=+（14分）所以设，（15分）（16分）所以在上单调递增，因为，所以的取值范围为.（17分）()n 33mi 3238462742769a m g x g a a a ⎛⎫== ⎪⎝=-++=+⎭()33472741276h a M m a a a a -=-==+--++10a -<<()22449433'1()()()0994922h a a a a a =-+=--=-+->()h a 10a -<<()4127h -=()01h =M m -4,127⎛⎫⎪⎝⎭。
山东省济宁市2024-2025学年高三上学期期中考试 数学含答案
2024～2025学年度第一学期期中教学质量检测高三数学试题（答案在最后）2024.11本试卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的考场、座号、姓名、班级填（涂）写在答题卡上，将条形码粘贴在“贴条形码区”．2．做选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号．3．非选择题须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡中各题目指定的区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．否则，该答题无效．4．考生必须保持答题卡的整洁；书写要求字体工整，符号规范，笔迹清楚．一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{P x y ==，{Q y y ==，则()R P Q =ð（）A.∅B.[)1,+∞C.(),0-∞ D.(],1-∞-2.若复数12i=-z （i 为虚数单位），则z =（）A.21i 55- B.21i 55+ C.33i 55- D.33i 55+3.已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点()1,2--，则tan 2α=（）A.34B.43C.34-D.43-4.已知函数()f x 的定义域为R ，满足()()()2024f x y f x f y +-+=⎡⎤⎣⎦，则下列说法正确的是（）A.()f x 是偶函数B.()f x 是奇函数C.()2024f x +是奇函数D.()2024f x +是偶函数5.向量()1,2a = ，()1,1b =- ，则a 在b上的投影向量是（）A.2-B.5-C.11,22⎛⎫-⎪⎝⎭D.12,55⎛⎫--⎪⎝⎭6.已知函数()21,11,11x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪-⎩，则()()3f f =（）A.8B.34-C.109-D.127.已知πcos 5a =，πsin 4b =，3log 2c =，则（）A.b a c<< B.b c a<< C.c a b<< D.c b a<<8.如图，在ABC V中，AC =，AB =，90A ∠=︒，若PQ 为圆心为A 的单位圆的一条动直径，则BP CQ ⋅的最大值是（）A.2B.4C.D.1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.命题“x ∀∈R ，210x x ++>”的否定形式是“x ∃∈R ，210x x ++≤”B.当()0,πx ∈时，4sin sin y x x=+的最小值为4C.tan 25tan 20tan 25tan 201︒+︒+︒︒=D.“ππ4k θ=±（k ∈Z ）”是“π4k θ=（k ∈Z ）”的必要不充分条件10.已知函数()cos f x x x =+，则（）A.函数()f x 在π2,6π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减B.函数()f x 的图象关于点5π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称C.函数()f x 的图象向左平移m （0m >）个单位长度后，所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是π3D.若实数m 使得方程()f x m =在[]0,2π上恰好有三个实数解1x ，2x ，3x ，则1238π3x x x ++=11.设数列{}n a 前n 项和为n S ，满足()()214100n n a S -=-，*N n ∈且10a >，10n n a a -+≠（2n ≥），则下列选项正确的是（）A.223n a n =-B.数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列C .当10n =时，n S 有最大值D.设12n n n n b a a a ++=，则当8n =或10n =时，数列{}n b 的前n 项和取最大值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知a ，b 都是正数，且230a b ab +-=，则a b +的最小值为______．13.已知函数()21ln 22xf x x ax =-+在区间()2,+∞上没有零点，则实数a 的取值范围是______．14.已知函数e 1()e 1x x f x -=+，()(1)2g x f x =-+，则()g x 的对称中心为______；若12321()()()()n n a g g g g n n n n-=+++⋅⋅⋅+（*n ∈N ），则数列{}n a 的通项公式为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知在ABC V 中，角A ，B ，C ，所对的边分别为a ，b ，c，)2cos cos cos b B a C c A =+．（1）求角B ；（2）过点A 作AD BC ∥，连接CD ，使A ，B ，C ，D 四点组成四边形ABCD ，若AB =，2AC =，CD =，求AD 的长．16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，22n n a S =+，（*n ∈N ）.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记2log n n c a =，数列n n c a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若关于n 的不等式()()221n n n T n λ+-≤+恒成立，求实数λ的取值范围．17.已知函数()223,02ln ,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩（1）请在网格纸中画出()f x 的简图，并写出函数的单调区间（无需证明）；（2）定义函数()()2241,2012,022f x x x xg x x x ⎧--+-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩在定义域内的0x ，若满足()00g x x =，则称0x 为函数()g x 的一阶不动点，简称不动点；若满足()()00g g x x =，则称0x 为函数()g x 的二阶不动点，简称稳定点.①求函数()g x 的不动点；②求函数()g x 的稳定点.18.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图，某摩天轮最高点距离地面高度为100m ，转盘直径为90m ，均匀设置了依次标号为1～48号的48个座舱．开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动min t 后距离地面的高度为m H ，转一周需要24min．（1）求在转动一周的过程中，H 关于t 的函数解析式；（2）若甲、乙两人分别坐在1号和9号座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h （单位：m ）关于t 的函数解析式，并求t 为何值时高度差h 最大．（参考公式：sin sin 2cossin 22θϕθϕθϕ+--=，cos cos 2sin sin 22θϕϕθθϕ+--=）19.已知a ∈R ，函数()ln af x x x=+，()ln 2g x ax x =--.（1）当()f x 与()g x 都存在极小值，且极小值之和为0时，求实数的值；（2）若()()()12122f x f x x x ==≠，求证：12112x x a+>.2024～2025学年度第一学期期中教学质量检测高三数学试题2024.11本试卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的考场、座号、姓名、班级填（涂）写在答题卡上，将条形码粘贴在“贴条形码区”．2．做选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号．3．非选择题须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡中各题目指定的区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．否则，该答题无效．4．考生必须保持答题卡的整洁；书写要求字体工整，符号规范，笔迹清楚．一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】AC 【10题答案】【答案】BCD 【11题答案】【答案】BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．【12题答案】【答案】13+【13题答案】【答案】[)2,-+∞【14题答案】【答案】①.(1,2)②.42n a n =-四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）π6B =（2）1AD =或2．【16题答案】【答案】（1）2n n a =（2）3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【17题答案】【答案】（1）作图见解析，单增区间为[]1,0-，()0,∞+，()f x 的单减区间为(],1-∞-（2）①23-；②32-，23-和1.【18题答案】【答案】（1）π5545cos12H t=-，[]0,24t∈．（2）π2π45cos123h t⎛⎫=-⎪⎝⎭，[]0,24t∈；8mint=或20mint=【19题答案】【答案】（1）1（2）证明见解析。
北京市顺义一中2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷(含答案)
顺义一中2024-2025学年度第一学期高三年级期中考试数学试卷本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题卡交回。
一．选择题（本大题共10小题，共40分）1．设集合{}10A x x =−>，集合{}03B x x =<≤，则A B =（ ） A ．()1,3B ．(]1,3C ．()0,∞+D ．()1,+∞2．若复数z 满足(1)2i i z ，则z 的共轭复数=z （ ）A ．1i −B ．1i +C ．i −D ．1i −+3．如图所示，直线123,,l l l 的斜率分别为123,,k k k ，则下列结论正确的是（ ） A ．123k k k >> B ．213k k k >> C ．231k k k <<D ．312k k k >>4．已知角α的终边经过点()3,4−，则()cos πα+=（ ）A ．45−B ．35 C ．35D ．455．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ） A ．3y x =B ．cos y x =C ．2x y =D ． 21lny x = 6．在ABC 中，若7a =，8b =，1cos 7B =，则A ∠的大小为（ ） A ．π6B ．π3C ．5π6 D ．π3或2π37．设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“AB AC AB AC +>−”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若30m,10m AB BC AD ===，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD 的夹角的正切值均为5，则该五面体的所有棱长之和为（ ） A ．100mB ．112mC ．117mD ．132m9．函数()sin2f x x =图象上存在两点(),P s t ，()(),0Q r t t >满足6r s π−=，则下列结论成立的是（ ）A ．6f s π⎛⎫−= ⎪⎝⎭B ．162f s π⎛⎫−=− ⎪⎝⎭C ．6f s π⎛⎫+= ⎪⎝⎭D ．162f s π⎛⎫+= ⎪⎝⎭10．已知函数()22,,x ax x af x x a x a ⎧−+≥⎪=⎨+<⎪⎩，若对于任意正数k ，关于x 的方程()f x k =都恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数a 的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．无数二．填空题（本大题共5小题，共25分） 11．函数2ln(12)y x x=−+的定义域是 . 12．首项为1的等比数列{}n a 中，14a ，22a ，3a 成等差数列，则公比q = .13．能说明“若sin cos αβ=，则36090k αβ+=⋅+，其中Z k ∈”为假．命题的一组α，β的值是 ．14．如图，这个优美图形由一个正方形和以各边为直径的四个半圆组成，若正方形ABCD 的边长为4，点P 在四段圆弧上运动，则AP AB ⋅的取值范围为 .15．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，点M ，N 分别在线段1AD 和11B C 上． 给出下列四个结论：①MN 的最小值为2； ②四面体NMBC 的体积为43；③有且仅有一条直线MN 与1AD 垂直； ④存在点M ，N ，使MBN △为等边三角形． 其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题（本大题共6小题，共85分。
安徽省黄山市屯溪2024-2025学年高三上学期11月期中数学试题含答案
屯溪2024-2025学年度第一学期期中质量检测高三数学试题（答案在最后）命题人：（考试时间：120分钟满分：150分）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.若全集{}{}{}0,1,2,3,4,0,1,4,1,3U A B ===，则()U A B =ð（）A.{}2,3 B.{}1,3,4 C.{}1,2,3 D.{}0,1【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用补集、并集的定义直接求解即可.【详解】由{}{}0,1,2,3,4,0,1,4U A ==，得{2,3}U A =ð，而{}1,3B =，所以{}3()1,2,U B A = ð.故选：C2.已知命题2:1,1p x x ∀<->，则p ⌝是（）A.21,1x x ∃<-≤B.21,1x x ∀≥->C.21,1x x ∀<->D.21,1x x ∃≤-≤【答案】A 【解析】【分析】运用全称命题的否定，否定结论，全称量词换成存在量词即可解题.【详解】全称命题的否定，否定结论，全称量词换成存在量词.则G ∀<−1,2>1，则p ⌝是21,1x x ∃<-≤.故选：A.3.设各项均为正数的等比数列{}n a 满足41082a a a ⋅=，则()2121011log a a a a 等于（）A.102B.112 C.11D.10【答案】C 【解析】【分析】等比数列中若+,,,N m n p q ∈，m n p q +=+，则m n p q a a a a ⨯=⨯.我们先根据此条性质和已知条件求出6a 的值,最后运用对数性质计算即可.【详解】在等比数列{}n a 中，8462108a a a a a ==⋅，得62a =.根据等比数列性质，2211121039485762a a a a a a a a a a a ======.所以1210111112103948576()()()()()a a a a a a a a a a a a a a a = 5116262()a a ==⨯，1121210112log ()log (2)11a a a a == .故选：C.4.若()()220,cos 2,cos 2m n m n αβαβ-≠-=+=，则tan tan αβ=（）A.2m nm n +- B.m n m n +-C.2m n m n-+ D.m n m n-+【答案】D 【解析】【分析】由两角和差的余弦展开式求出cos cos ,sin sin m n m n αβαβ=+=-，再由同角的三角函数关系求解即可；【详解】因为()()cos cos cos sin sin 2,cos cos cos sin sin 2m n αβαβαβαβαβαβ-=+=+=-=，所以cos cos ,sin sin m n m n αβαβ=+=-，所以sin sin tan tan cos cos m nm nαβαβαβ-==+．故选：D.5.已知函数()f x 与其导函数()f x '的图象的一部分如图所示，则关于函数()()e xf xg x =的单调性说法正确的是（）A.在(1,1)-单调递减B.在(0,2单调递减C.在[2单调递减 D.在[1,2]单调递减【答案】B 【解析】【分析】根据图象判断出过点()2,0的为()f x 的图象，过点()1,0的为导函数()f x '的图象，求导得到()()()exf x f xg x '-'=，()g x在(1,2x ∈-上单调递减，在2x ⎡⎤∈⎣⎦上单调递增，得到答案.【详解】从图象可以看出过点()2,0的为()f x 的图象，过点()1,0的为导函数()f x '的图象，()()()e xf x f xg x '-'=，当(1,2x ∈-时，()()0f x f x '-<，故()0g x '<，()()ex f x g x =在(1,2x ∈-上单调递减，当2x ⎡⎤∈-⎣⎦时，()()0f x f x '-≥，故()0g x '≥，()()ex f x g x =在2x ⎡⎤∈⎣⎦上单调递增，ACD 错误，B 正确，故选：B6.若对任意实数b ，关于x 的方程()212ax b x x ++-=有两个实根，则实数a 的取值范围是（）A.02a <≤B.01a <≤ C.10a -≤< D.11a -≤≤且0a ≠【答案】B 【解析】【分析】根据方程有两个根，利用判别式可转化为关于实数b 的不等式恒成立，即可求解.【详解】关于x 的方程()212ax b x x ++-=有两个实根，即方程()2120ax b x b +-+-=有两个实根，所以()()210Δ1420a b a b ≠⎧⎪⎨=---≥⎪⎩，即()20212810a b a b a ≠⎧⎨-+++≥⎩对任意实数b 恒成立，所以()()220Δ4124810a a a ≠⎧⎪⎨=+-+≤⎪⎩，即200a a a ≠⎧⎨-≤⎩，得01a <≤.故选：B.7.直线1y =被函数()()π2sin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象所截得线段的最小值为π，则ω=（）A.13B.23C.32D.3【答案】B 【解析】【分析】由()π2sin 16f x x ω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，得到ππ2π,Z 66x k k ω+=+∈或π5π2π,Z 66x k k ω+=+∈，再结合条件，即可求解.【详解】由()π2sin 16f x x ω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，得到π1sin 62x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π,Z 66x k k ω+=+∈或π5π2π,Z 66x k k ω+=+∈，又直线1y =被函数()()π2sin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象所截得线段的最小值为π，显然最小值在一个周期内取到，不妨取0k =，得到0x =或2π3x ω=，所以2ππ3ω=，解得23ω=，故选：B.8.已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足(()()xf yf x xf y y=-，且当1x >时，()0f x >，则（）A.2()2()f x f x ≥B.322()()()f x f x f x ≥C.2()2()f x f x ≤D.322()()()f x f x f x ≤【答案】D 【解析】【分析】应用赋值法构造出23(),(),()f x f x f x 的等量关系，再结合不等式性质判断即可.【详解】由题意，0,0x y >>，()()()x f yf x xf y y=-.赋值1x y ==，得1(1)(1(1)1(1)01f f f f ==⋅-⋅=；赋值1x =，得1(1)1()()f yf f y f y y ⎛⎫=-⋅=- ⎪⎝⎭，即1()f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当1x >时，()0f x >，当01x <<时，则11x >，所以1()0f f x x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，即()0f x <；赋值2x y =，得()222()()y f f y yf y y f y y ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，解得21()()f y y f y y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即21()()f x x f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭；AC 项，由21()()f x x f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，0x >，得()212()2()f xf x x f x x ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，其中由0x >，可知1220x x +-≥=，当1x >时，1()0,2()0f x x f x x ⎛⎫>+-≥ ⎪⎝⎭，即()22()f x f x ≥；当01x <<时，1()0,2()0f x x f x x ⎛⎫<+-≤ ⎪⎝⎭，即()22()f x f x ≤；故AC 错误；BD 项，21,x x y x ==，得232222111()()()()1x f f x f x x f f x x f x x x x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫==-=+ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭；又21()()f x x f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以3222211()()()1()f x f x x f x x f x x x ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭，则322222222211()()()1()2()()0f x f x f x x f x x f x f x x x ⎛⎫⎛⎫-=++-++=-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故322()()()f x f x f x ≤，且()f x 不恒为0，故B 错误，D 正确.故选：D.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分）9.给出下列四个关系式，其中正确的是（）A.2024∈RB.0∈∅C.∈Z QD.∅{}【答案】AD 【解析】【分析】根据R,Z,Q 表示的数集，结合空集的性质、真子集的定义逐一判断即可.【详解】因为2024是实数，因此选项A 正确；因为空间集中没有元素，显然0∈∅不正确，因此选项B 不正确；因为所有的整数都是有理数，因此整数集是有理数集的子集，所以选项C 不正确；因为空集是任何非空集合的真子集，所以选项D 正确，故选：AD10.（多选）下列说法不正确的是（）A.已知{}{}260,10A xx x B x mx =+-==-=∣∣，若B A ⊆，则m 组成集合为11,23⎧⎫-⎨⎩⎭B.不等式23208kx kx +-<对一切实数x 恒成立的充分不必要条件是30k -<<C.()f x 的定义域为()1,2-，则()21f x -的定义域为()3,3-D.不等式20ax bx c ++>解集为()(),23,-∞-⋃+∞，则0a b c ++>【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，考虑B =∅时，0m =，满足要求，可判断A ；B 选项，考虑0k =时，0k ≠两种情况讨论可得充要条件为30k -<≤，可判断B ；C 选项，由1212x -<-<，可求定义域判断C ；D 选项，根据不等式的解集得到0a >且2,3-为方程20ax bx c ++=的两个根，由韦达定理得到的关系,,a b c ，计算可判断D.【详解】A 选项，{}2,3A =-，又{}10B xmx =-=∣，当0m =时，B =∅，满足B A ⊆，当0m ≠时，1B m ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，当12m =时，{}2B =，满足B A ⊆，当13m =-时，{}3B =-，满足B A ⊆，综上，m 组成集合为110,,23⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，A 说法不正确；B 选项，当0k =时，不等式为308-<恒成立，可得23208kx kx +-<对一切实数x 恒成立，当0k ≠时，由23208kx kx +-<对一切实数x 恒成立，可得20342()08k k k <⎧⎪⎨-⨯⨯-<⎪⎩，解得30k -<<，综上所述：不等式23208kx kx +-<对一切实数x 恒成立的充要条件是30k -<≤，所以不等式23208kx kx +-<对一切实数x 恒成立的充分不必要条件是30k -<<，故B 正确；C 选项，因为()f x 的定义域为()1,2-，所以1212x -<-<，解得302x <<，故()21f x -的定义域为30,2⎛⎫⎪⎝⎭，C 说法不正确；D 选项，不等式20ax bx c ++>解集为−∞,−2∪3,+∞，则0a >且2,3-为方程20ax bx c ++=的两个根，故23,23b c a a-+=--⨯=，则,6b a c a =-=-，故60a b c c a ++==-<，D 说法不正确.故选：ACD.11.如图，心形曲线22:()1L x y x +-=与y 轴交于,A B 两点，点P 是L上的一个动点，则（）A.点,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭和−1,1均在L 上B.点PC.O 的最大值与最小值之和为3D.PA PB +≤【答案】ABD 【解析】【分析】点代入曲线判断A ，根据曲线分段得出函数取得最大值判断B ，应用三角换元再结合三角恒等变换求最值判断C ，应用三角换元结合椭圆的方程得出恒成立判断D.【详解】令0x =，得出1y =±，则()()1,0,1,0,A B -对于A ：2x =时，21122y ⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭得0y =或y =，=1x -时，()2111y +-=得1y =，所以,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭和()1,1-均在L 上，A 选项正确；对于B ：因为曲线关于y 轴对称，当0x ≥时，()221x y x+-=，所以y x =+()()222221112y y x x x x =+=+-+≤++-=，所以2x =时，y 最大，最大值为22+=B 选项正确；对于C ：OP =，因为曲线关于y 轴对称，当0x ≥时，设cos ,sin x y x θθ=-=，所以()2222222cos cos sin 2cos sin 2sin cos OP x y θθθθθθθ=+=++=++()1cos231351sin2cos2sin2sin 222222θθθθθϕ+=++=++=+，因为θ可取任意角，所以OP 12=，OP 512+=，C 选项错误；对于D ：PA PB +≤等价为点P 在椭圆22132y x +=内，即满足()222cos sin 3cos 6θθθ++≤，即()()31+cos221sin 262θθ++≤，整理得4sin23cos25θθ+≤，即()sin 21θβ≤+恒成立，故D 选项正确.故选：ABD.【点睛】方法点睛：应用三角换元，再结合三角恒等变换化简，最后应用三角函数值域求最值即可.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12.若()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2f x x x =-+，则(2)f -=______．【答案】2-【解析】【分析】根据函数为奇函数，利用()()f x f x -=-求解.【详解】由题意得，(2)2222f =-=+.∵()f x 是定义在R 上的奇函数，∴(2)(2)2f f -=-=-．故答案为:2-.13.函数()sin cos f x x x =+在()0,2π上的极小值点为：__________.【答案】5π4【解析】【分析】法一，由辅助角公式得π()4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用函数()f x 与π4f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭图象的平移关系可得所求；法二，利用导函数，求出导函数的零点按零点分区间，分析导函数符号与原函数单调性即可求解极值点.【详解】法一：()πsin cos 4f x x x x ⎫⎛=+=+ ⎪⎝⎭，()0,2πx ∈，由()f x 的图象向右平移π4个单位可得到函数π4f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，π9π,44x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图象.而函数y x =在π9π,44⎛⎫⎪⎝⎭的极小值点为3π2，故函数()f x 的极小值点即为3ππ5π244-=.法二：()sin cos f x x x =+，()0,2πx ∈，则π()cos sin 4f x x x x ⎛⎫'=-=+ ⎪⎝⎭，由()0,2πx ∈，则ππ9π,444x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，令()0f x '=，得ππ42x +=或3π2，解得π4x =或5π4x =.则(),()f x f x '的变化情况如下表：xπ0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭π4π5π,44⎛⎫ ⎪⎝⎭5π45π,2π4⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x '+0-0+()f x极大值极小值()f x 在()0,2π上的极小值点为5π4.故答案为：5π4.14.函数,0ky k x=>与ln yx =和e x y =分别交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，设ln y x =在A 处的切线1l 的倾斜角为α，e x y =在B 处的切线2l 的倾斜角为β，若2βα=，则k =________．【答案】【解析】【分析】由对称性可得21ex x =，利用导数求切线1l 和2l 的斜率，得tan β和tan α，由2βα=解出1x ，再由11ln kx x =求出k 的值.【详解】函数,0ky k x=>与ln y x =和e x y =分别交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，则111ln k y x x ==，222e x ky x ==，函数,0ky k x=>的图象关于直线y x =对称，函数ln y x =和e x y =的图象也关于直线y x =对称，所以11(,)A x y ，22(,)B x y 两点关于直线y x =对称，有221e xy x ==，函数ln y x =的导数为1y x'=，函数e x y =的导数为e x y '=，则11tan x α=，2tan e x β=，由2βα=，有22tan tan tan 21tan αβαα==-，即211212e 1x x x x ==-，由1>0x ，解得1x =所以11l n k x x ==.【点睛】关键点点睛：本题除了导数和倍角公式的运用，关键点在于运用函数的对称性或对数式的运算，得到21e x x =.四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.已知数列{}n a 满足：11a =，()*12n n a a n +=+∈N ，数列{}n b 为单调递增等比数列，22b =，且1b ，2b ，31b -成等差数列.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设2log n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =-，12n n b -=；（2）232n n n T -=【解析】【分析】（1）根据()*12n n a a n +=+∈N 得到{}na 为公差为2的等差数列，利用等差数列求通项公式求出21n a n =-，再设{}nb 的公比为q ，列出方程，求出2q =，得到通项公式；（2）化简得到32n c n =-，故{}n c 为公差为3的等差数列，利用等差数列求和公式得到答案.【小问1详解】因为()()**1122n n n n a a n a a n ++=+∈⇒-=∈N N ，故{}n a 为公差为2的等差数列，所以()()12112121n a a n n n =+-=+-=-，又1b ，2b ，31b -成等差数列，故21321b b b =+-，设{}n b 的公比为q ，其中22b =，则2421q q =+-，解得2q =或12，当2q =时，11b =，此时1112n n n b b q --==，为递增数列，满足要求，当12q =时，14b =，此时31112n n n b b q --⎛⎫== ⎪⎝⎭，为递减数列，舍去，综上，21n a n =-，12n n b -=；【小问2详解】212log 1322n n c n n -=+--=，则13n n c c +-=，故{}n c 为公差为3的等差数列，故()2121323143222n n n n n n T c c c n +--=+++=+++-== .16.记ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2cos 1.a C b =+（1）求证：2;C B =（2）若3cos 4B =，6c =，求ABC 的面积.【答案】（1）证明见解析（2）4【解析】【分析】（1）利用正弦定理以及两角和与差的正弦公式可证2C B =；（2）由正弦定理及三角形面积公式可得答案.【小问1详解】由正弦定理sin sin a b A B =，知sin sin a A b B =，所以2cos 1a C b =+，即为sin 2cos 1sin A C B =+，所以sin 2sin cos sin A B C B =+，即()sin 2sin cos sin B C B C B +=+，所以()sin sin cos cos sin sin .B BC B C C B =-+=-因为0πB <<，ππC B -<-<，所以B C B =-或()πB C B +-=，即2C B =或πC =（舍去）；【小问2详解】由2C B =，得21cos cos22cos 18C B B ==-=，所以52cos 14a C b =+=，即5.4a b =由余弦定理，得2222cos c a b ab C =+-，即22225513621648b b b =+-⨯⨯，解得=4，所以 5.a =又由1cos 8C =，可得π0<2<C ，得37sin 8C ==，所以ABC V 的面积1137157sin 54.2284S ab C ==⨯⨯⨯=17.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 是直角梯形，224,AD AB BC AB ===⊥,,AD AB BC E ⊥是AD 的中点，PC BE ⊥．（1）证明：BE ⊥平面PAC ．（2）若PA PC ==B PA D --的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）.7【解析】【分析】（1）连接CE ，通过四边形ABCE 是正方形，得到BE AC ⊥，进而可求证；（2）作BH PA ⊥，垂足为H ，连接,EH PE .先证明PA ⊥平面BEH ，得到BHE ∠是二面角B PA D --的平面角，在判断四棱锥P ABCE -为正四棱锥，求得2EH BH ==，再由余弦定理即可求解.【小问1详解】证明：连接CE ．因为E 是AD 的中点，所以2AD AE =．分因为224AD AB BC ===，且,AB AD AB BC ⊥⊥，所以四边形ABCE 是正方形，则BE AC ⊥．因为,,PC BE PC AC ⊥⊂平面PAC ，且PC AC C ⋂=，所以BE ⊥平面PAC ．【小问2详解】解：作BH PA ⊥，垂足为H ，连接,EH PE .由（1）可知BE ⊥平面PAC ．又PA ⊂平面PAC ，所以PA BE ⊥．因为,BH BE ⊂平面BEH ，且BH BE B = ，所以PA ⊥平面BEH ．因为EH ⊂平面BEH ，所以PA EH ⊥，则BHE ∠是二面角B PA D --的平面角．记AC BE O =I ，连接OP ，则O 是AC 的中点．因为PA PC =，且O 是AC 的中点，所以OP AC ⊥．因为BE ⊥平面PAC ，且OP ⊂平面PAC ，所以BE OP ⊥．连接PE ．因为,AC BE ⊂平面ABCE ，且AC BE O =I ，所以OP ⊥平面ABCE ，则四棱锥P ABCE -为正四棱锥，故PA PB PE ===．因为PAB 的面积1122S AB PA BH ==⋅，即11222BH ⨯=⨯，所以2BH =．同理可得2EH BH ==．在BEH △中，由余弦定理可得2221cos 27BH EH BE BHE BH EH +-∠==-⋅，则sin 7BHE ∠=，即二面角B PA D --的正弦值为718.已知函数()e xx f x =.（1）求()f x 在区间[]22-,上的最大值和最小值；（2）若0x =是函数()()()sin g x f a f x x =⋅+的极值点.（ⅰ）证明：2ln20a -<<；（ⅱ）讨论()g x 在区间()π,π-上的零点个数.【答案】（1）最大值为1e -，最小值为22e -；（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）2【解析】【分析】（1）求导得到导函数，根据导函数的正负确定在[]22-,上的性，再计算最值得到答案；（2）（ⅰ）计算得到1()cos e ea x a x g x x -'=⋅+，确定e 0a a +=，设()e x F x x =+，根据函数的单调性结合()01F =，()2ln 20F -<得到证明；（ⅱ）求导得到导函数，考虑()π,0x ∈-，0x =，∈0,π三种情况，构造()e sin xF x x x =-，确定函数的单调区间，根据()00F =，()00F x >，()π0F <得到零点个数.【小问1详解】()e x x f x =，1()e xx f x -'=，令1()0e x x f x -'==得到1x =，当()2,1x ∈-时，′>0，函数单调递增，当()1,2x ∈时，′<0，函数单调递减，又()22222e e f ---==-，()1111e e f -==，()22222e ef -==，故()f x 在区间[]22-,上的最大值为1e -，最小值为22e -；【小问2详解】（ⅰ）()()()sin sin e e a xa x g x f a f x x x =⋅+=⋅+，1()cos e e a xa x g x x -'=⋅+，(0)10e a a g '=+=，故e 0a a +=，设()e x F x x =+，函数单调递增，()010F =>，()2ln 212ln 2e 2ln 2ln 404F --=-=-<.根据零点存在定理知2ln 20a -<<；（ⅱ）()sin e x x g x x =-+，()00g =，1()cos e x x g x x -'=+，设1()cos e x x h x x -=+，2()sin e xx h x x -'=-，当()π,0x ∈-时，20,sin 0e x x x -><，故()0h x '>，()g x '单调递增，()()0110g x g <=-+'='，故函数()g x 单调递减，()()00g x g >=，故函数在()π,0-上无零点；当∈0,π时，()1()sin e sin e e x x x x g x x x x =-+=-，设()e sin x F x x x =-，()()esin cos 1x F x x x =+-'，设()()esin cos 1x k x x x =+-，则()2e cos x k x x '=，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2e cos 0x k x x '=>，当π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2e cos 0x k x x '=<故()k x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()00k =，π2πe 102k ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，()ππe 10k =--<，故存在0π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使()00k x =，当∈0,0时，()0k x >，单调递增；当()0,πx x ∈时，()0k x <，单调递减.()00F =，故()00F x >，()ππ0F =-<，故函数在()0,πx 上有1个零点.综上所述：()g x 在区间()π,π-上的零点个数为2.【点睛】关键点点睛：本题考查了利用导数解决函数的单调性和极值，根据极值求参数，零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中分类讨论是解题的关键，三角函数的有界性和正负交替是经常用到的关键思路.19.设满足以下两个条件的有穷数列12,,,n a a a ⋅⋅⋅为()2,3,4,n n =⋅⋅⋅阶“曼德拉数列”：①1230n a a a a +++=⋅⋅⋅+；②1231n a a a a +++⋅⋅⋅+=.（1）若某()*2k k ∈N 阶“曼德拉数列”是等比数列，求该数列的通项n a（12n k ≤≤，用,k n 表示）；（2）若某()*21k k +∈N 阶“曼德拉数列”是等差数列，求该数列的通项n a （121n k ≤≤+，用,k n 表示）；（3）记n 阶“曼德拉数列”{}n a 的前k 项和为()1,2,3,,k S k n =⋅⋅⋅，若存在{}1,2,3,,m n ∈⋅⋅⋅，使12m S =，试问：数列{}()1,2,3,,i S i n =⋅⋅⋅能否为n 阶“曼德拉数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由.【答案】（1）()1112n n a k -=-或()1112n n a k -=--（2）()()*1,211n n a n n k k k k ∴=-∈≤++N 或()()*1,211n n a n n k k k k =-+∈≤++N （3）不能，理由见解析【解析】【分析】（1）结合曼德拉数列的定义，分公比是否为1进行讨论即可求解；（2）结合曼德拉数列的定义，首先得120,k k a a d ++==,然后分公差是大于0、等于0、小于0进行讨论即可求解；（3）记12,,,n a a a ⋅⋅⋅中非负项和为A ，负项和为B ，则0,1A B A B +=-=，进一步()11,2,3,,2k S k n ≤=⋅⋅⋅，结合前面的结论以及曼德拉数列的定义得出矛盾即可求解.【小问1详解】设等比数列()1232,,,,1k a a a a k ⋅⋅⋅≥的公比为q .若1q ≠，则由①得()21122101k k a q a a a q -++⋅⋅⋅+==-，得1q =-，由②得112a k =或112a k=-.若1q =，由①得，120a k ⋅=，得10a =，不可能.综上所述，1q =-.()1112n n a k -∴=-或()1112n n a k-=--.【小问2详解】设等差数列()12321,,,,1k a a a a k +⋅⋅⋅≥的公差为d ，123210k a a a a ++++⋅⋅⋅+= ，()()11221210,02k k dk a a kd +∴++=+=，即120,k k a a d ++=∴=，当0d =时，“曼德拉数列”的条件①②矛盾，当0d >时，据“曼德拉数列”的条件①②得，()23211212k k k k a a a a a a +++++⋅⋅⋅+==-+++ ，()1122k k kd d -∴+=，即()11d k k =+，由10k a +=得()1101a k k k +⋅=+，即111a k =-+，()()()()*1111,21111n n a n n n k k k k k k k ∴=-+-⋅=-∈≤++++N .当0d <时，同理可得()1122k k kd d -+=-，即()11d k k =-+.由10k a +=得()1101a k k k -⋅=+，即111a k =+，()()()()*1111,21111n n a n n n k k k k k k k ∴=--⋅=-+∈≤++++N .综上所述，当0d >时，()()*1,211n n a n n k k k k ∴=-∈≤++N ，当0d <时，()()*1,211n n a n n k k k k =-+∈≤++N .【小问3详解】记12,,,n a a a ⋅⋅⋅中非负项和为A ，负项和为B ，则0,1A B A B +=-=，得12A =，12B =-，1122k B S A -=≤≤=，即()11,2,3,,2k S k n ≤=⋅⋅⋅.若存在{}1,2,3,,m n ∈⋅⋅⋅，使12m S =，由前面的证明过程知：10a ≥，20a ≥，⋅⋅⋅，0m a ≥，10m a +≤，20m a +≤，⋅⋅⋅，0n a ≤，且1212m m n a a a ++++⋅⋅⋅+=-.若数列{}()1,2,3,,i S i n =⋅⋅⋅为n 阶“曼德拉数列”，记数列{}()1,2,3,,i S i n =⋅⋅⋅的前k 项和为k T ，则12k T ≤.1212m m T S S S ∴=++⋅⋅⋅+≤，又12m S =，1210m S S S -∴==⋅⋅⋅==，12110,2m m a a a a -∴==⋅⋅⋅===.又1212m m n a a a ++++⋅⋅⋅+=-，1m S +∴，2m S +，⋅⋅⋅，0n S ≥，123123n n S S S S S S S S ∴+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+，又1230n S S S S +++⋅⋅⋅+=与1231n S S S S +++⋅⋅⋅+=不能同时成立，∴数列{}()1,2,3,,i S i n =⋅⋅⋅不为n 阶“曼德拉数列”.【点睛】关键点点睛：第三问的关键是得到10a ≥，20a ≥，⋅⋅⋅，0m a ≥，10m a +≤，20m a +≤，⋅⋅⋅，0n a ≤，且1212m m n a a a ++++⋅⋅⋅+=-，由此即可顺利得解.。
黑龙江省哈尔滨市2024-2025学年高三上学期期中考试 数学含答案
哈尔滨市2024—2025学年度高三上学期期中考试数学学科试卷（答案在最后）满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合35,122M x x N x x ⎧⎫⎧⎫=>-=∈-<<⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Z ，则M N = （）A.312x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B.{}2,1,0-- C.{}1,0- D.{}0,12.若复数z 满足2025i 2i z =-，则z 的实部与虚部之和为（）A.12i-+ B.12i-- C.1D.3-3.已知等差数列{}n a 的前6项和为60，且12315a a a ++=，则5a =（）A.5B.10C.15D.204.在平面直角坐标系中，若α∠的终边经过点()2,1P ，则πcos 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A.31010-B.10-C.1010D.105.如图，四边形O A C B ''''表示水平放置的四边形OACB 根据斜二测画法得到的直观图，2O A ''=，4B C ''=，O B ''=//O A B C ''''，则AC =（）A.B. C.6D.6.若曲线e x y a =+的一条切线方程是1y x =-，则a =（）A.2- B.1C.1- D.e7.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为43，面积为4π3的扇形，则该圆锥的外接球的表面积为（）A.256π63B.4πC.9π2D.9π8.在学习完“错位相减法”后，善于观察的同学发现对于“等差×等比数列”此类数列求和，也可以使用“裂项相消法”求解．例如()()()112122nnn n a n n n +=+⋅=-+⋅--⋅，故数列{}n a 的前n 项和()()()()()1223112302121222122n n n n S a a a a n n +=++++=⨯--⨯+-⨯--⨯++-+⋅--⋅ 12n n +=⋅．记数列2{}2n n 的前n 项和为n T ，利用上述方法求306T -=（）A.305132 B.305132-C.295132 D.295132-二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知平面向量1e ，2e 的夹角为π3，且121e e == ，若122a e e =- ，12b e e =+ ，则下列结论正确的是（）A.a b⊥B.a与b 可以作为平面内向量的一组基底C.a =D.a在b 上的投影向量为12b- 10.在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin :sin :sin 4:5:6A B C =，D 为线段AC 上一点，则下列判断正确的是（）A.ABC V 为钝角三角形B.ABC V 的最大内角是最小内角的2倍C.若D 为AC 中点，则:BD AC =D .若ABD CBD ∠=∠，则:5BD AC =11.设数列的前n 项和为n S ，若nn S b n=，则称数列是数列的“均值数列”．已知数列是数列的“均值数列”，且21232482nn b b b b n n ++++=+ ，则下列结论正确的是（）A.72364a =-B.设数列的前n 项积为n T ，则n T 有最大值，无最小值C.数列{}n S 中没有最大项D.若对任意*n ∈N ，2504n m m S --≥成立，则1m ≤-或94m ≥三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若3sin 5α=，且α为第二象限角，则sin 2α=___________.13.已知函数2()()(2)f x x a x x =--在x a =处取得极大值，则a =_________．14.已知数列满足12,2,n n n a n a a n +⎧=⎨+⎩为奇数为偶数，10a =，则10a =______；设数列的前n 项和为n S ，则2024S =______．（第二个空结果用指数幂表示）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数()21cos sin cos 2f x x x x =+-．（1）求()f x 的最小正周期；（2）将()f x 的图象向左平移π4个单位长度，得到函数()y g x =的图象，求不等式()0g x 的解集．16.数列{}n a 满足1111,202n n n n a a a a a ++=+-=．（1）求数列{}n a 通项公式．（2）设()cos 1π2n nn b a +=+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．17.在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知2cos ,3cos b c Ca a A-==．（1）求角A ；（2）若点D 在边AC 上，且1233BD BA BC =+，求BCD △面积的最大值．18.南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积，体积的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”．在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式．如图，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第1n +层球数是第n 层球数与1n +的和，设各层球数构成一个数列．（1）求数列的通项公式；（2）证明：当0x >时，()ln 11x x x+>+（3）若数列满足2ln(2)2ln n n n b a n=-，对于*n ∈N ，证明：11232n n b b b b n +++++<⨯ ．19.定义：如果函数()f x 在定义域内，存在极大值()1f x 和极小值()2f x ，且存在一个常数k ，使()()()1212f x f x k x x -=-成立，则称函数()f x 为极值可差比函数，常数k 称为该函数的极值差比系数．已知函数()1ln f x x a x x=--．（1）当52a =时，判断()f x 是否为极值可差比函数，若是求极值差比系数，若不是说明理由；（2）是否存在a 使()f x 的极值差比系数为2a -？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由；（3）若522a ≤≤，求()f x 的极值差比系数的取值范围．哈尔滨市2024—2025学年度高三上学期期中考试数学学科试卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】BD【10题答案】【答案】BCD【11题答案】【答案】AD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．【12题答案】【答案】2425-##0.96-【13题答案】【答案】0【14题答案】【答案】①.60②.()1013322026-四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）π（2）3πππ,π,Z 88k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【16题答案】【答案】（1）12n a n=（2）31,,n n n S n n +⎧=⎨⎩为奇数为偶数【17题答案】【答案】（1）π3（2）334【18题答案】【答案】（1）()12n n n a +=（2）证明见解析（3）证明见解析【19题答案】【答案】（1）()f x 是极值可差比函数，102ln 23k =-；（2）不存在，理由见解析；（3）102ln 2,23ln 23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2020-2021高三第一学期期中考试数学★答案★
一、选择题：
1-8AADCB,CBD,9.BCD 10.ABC 11.BD 12.ABC
第Ⅱ卷（非选择题 90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.1 14. 14. 15.43-
16.16， 1； （本题第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（I ）由题意2
11m x x x >--≤≤在恒成立，因为2
2
1124x x x ⎛
⎫-=-- ⎪⎝
⎭，所以
2122x x m -≤-≤>，即，所以实数m 的取值范围是()2,+∞…8分
（II ）由q 得44a m a -<<+，因为q p ⇒，所以426a a -≥≥，即，所以实数a 的取值范围是[)6,+∞………………………………………………………………………10分
19.(12分
19. 解：（1）因为()11220n n n n S S S S +----=，2n ≥，*
n N ∈，
所以11
2
n n a a +=
，2n ≥，
因为11a =，2a ，1a ，2S 依次成等差数列，所以2212a =+，得212
a =， 所以2112a a =
，所以数列{}n a 是以1为首项，公比为12q =的等比数列，所以112
n n a -=. （2）由题意知：
11
2n n
a -=，所以11024n m --<≤， 所以12(1)22n m --≤，即12(1)n m ≤+-，所以21m
b m =-， 当m 为偶数时，2219254981121(23)(21)m W m m =-+-+-++
--+-，
所以2(888)2824408(1)22
m m
m W m m ⨯+-=++++-==，所以20800W =.
20.解：（1）
,,a b c 依次成等差数列，且公差为2，∴4,2a c b c =-=-，
又因23
MCN π∠=，即，
1
cos 2C =-,可得222122a b c ab +-=-, 恒等变形得：29140c c -+=，解得7,2c c ==或。
又4c >，∴7.
c =
（2）在△ABC 中，由正弦定理可得
sin sin sin AC BC AB
ABC BAC ACB
==∠∠∠，
3,2sin ,2sin()2sin 3
sin()sin 33
AC BC AC BC π
θθππθθ∴
====--即∴△ABC 的周长()|AC ||BC ||AB |2sin 2sin()33
f π
θθθ=++=+-+
,
,
当,即
时，()f θ取得最大值23+.
20.（1）∵AD AB ⊥，平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD 平面ABEF AB =，
∴AD ⊥平面ABEF ，∴AD BE ⊥，
取EF 的中点记为G ，连接AG ，∵//BA EG ，BA EG =，∴四边形ABEG 为平行四边形，
即//BE AG ，在三角形AGF 中，2AG AF ==，22GF =，222
AF AG GF +=，所以
AG AF ⊥.即BE AF ⊥. AD
AF A =，∴BE ⊥平面ADF ，DF ⊂平面ADF ，∴BE DF ⊥.
（2）12233
C ABE ABE V S BC -=
⋅=. （3）21.解：（Ⅰ）依题意，知下潜时间分钟，返回时间分钟，
则有 (
)， 整理，得
(
). （Ⅱ）由（Ⅰ）及题意，得
(
)， ∴
（）.
当且仅当，即时“=”成立. ∴当时，；
又当
时，
；当
时，. 所以，总用氧量的取值范围是
22. 解：（1）()()ln x
f x e x ax a b =-++的导数为()1
'ln x f x e x ax b x
⎛⎫
=-++ ⎪⎝
⎭
，
由已知可得()12e f eb ==
，()()'112e f e b a =-+=，解得1a =，12
b =； （2）由（1）可知，3()ln 2x
f x e x x ⎛
⎫=-+
⎪⎝⎭，则11'()ln 2x f x e x x x ⎛⎫=-++
⎪⎝
⎭， 令11
()ln 2
g x x x x =-++，则22
1'()0x x g x x -+=-<恒成立，∴()g x 在()0,+∞上单调递减，又∵()1
102
g =
>，()2ln 210g =-<，∴存在唯一的()01,2x ∈，使得()00g x =， 且当()00,x x ∈时，()0g x >，即()'0f x <，∴()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减，又∵当0x →时，()0f x <，()102e f =
>，21(2)ln 202f e ⎛
⎫=-> ⎪⎝
⎭，
()502e f e e e ⎛⎫
=-< ⎪⎝⎭
，
∴存在0k =或2，()y f x =在(),1k k +上有唯—零点.
感谢您的下载!
快乐分享，知识无限！。