高考数学课时训练9-3
2023年人教版高考数学总复习第二部分考点培优训练 考点十三函数的零点与方程的解、二分法
线 y＝－x，之后上下移动直线 y＝－x.可以发现直线与函数图象有两个或一个交
点．
基础1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 素养1 2 3 4 5 6
三、填空题(每小题 5 分，共 10 分) 7．已知函数 f(x)＝x2＋x＋a(a<0)在区间(0，1)上有零点，则 a 的取值范围为 ________．
观察图象可知，若方程 f(x)－a＝0 有三个不同的实数根，则函数 y＝f(x)的图象与 直线 y＝a 有 3 个不同的交点，此时需满足 0＜a＜1.
基础1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 素养1 2 3 4 5 6
【加练备选】
x3，x≤a，
已知函数 f(x)＝
若存在实数 b，使函数 g(x)＝f(x)－b 有两个零点，则 a
A．f(x)可能有三个零点 B．f(3)·f(－4)≥0
C．f(－4)＜f(6)
D．f(0)＜f(－6)
【解析】选 AC.因为 f(x)是定义域为 R 的偶函数，又 f(－3)·f(6)＜0，所以 f(3)·f(6)＜0.又 f(x)在(0， ＋∞)上单调递增，所以函数 f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，且 f(3)＜0，f(6)＞0，所以函数 f(x) 在(－∞，0)∪(0，＋∞)上有两个零点．但是 f(0)的值没有确定，所以函数 f(x)可能有三个零点， 故 A 正确；又 f(－4)＝f(4)，4∈(3，6)，所以 f(－4)的符号不确定，故 B 不正确；C 项显然正确； 由于 f(0)的值没有确定，所以 f(0)与 f(－6)的大小关系不确定，所以 D 不正确．
基础1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 素养1 2 3 4 5 6
2．函数 f(x)＝2x
＋ln
2022届新高考版数学小题狂练09(含解析)
小题专练09解析几何(A)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(考点:直线的斜率与倾斜角的关系,★)下列命题中,正确的是( ). A .若直线的倾斜角越大,则直线的斜率就越大 B .若直线的倾斜角为α,则直线的斜率为tan α C .若直线的斜率为tan α,则直线的倾斜角是αD .当直线的倾斜角α∈[0,π2)∪(π2,π)时,直线的斜率分别在这两个区间上单调递增2.(考点:求直线的方程,★)已知直线l 过点(-1,2)且与直线2x-3y+4=0垂直,则直线l 的方程是( ). A .3x+2y-1=0 B .3x+2y+7=0 C .2x-3y+5=0 D .2x-3y+8=03.(考点:椭圆的标准方程,★)“-1<m<3”是“方程x 2m+1+y 27-m =1表示椭圆”的( ). A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件4.(考点:求双曲线的渐近线方程,★)若双曲线x 2a2-y 2b2=1(a>0,b>0)的离心率为53,则该双曲线的渐近线方程为( ). A .y=±45x B .y=±54xC .y=±43xD .y=±34x5.(考点:求双曲线的方程,★★)已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线过点(2,√3),且双曲线的一个焦点在抛物线y 2=4√7x 的准线上,则该双曲线的方程为( ). A .x 221-y 228=1 B .x 228-y 221=1 C .x 23-y 24=1 D .x 24-y 23=16.(考点:求双曲线的离心率,★★)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0),以点P (b ,0)为圆心,a 为半径作圆P ,圆P 与双曲线C 的一条渐近线交于M ,N 两点,若∠MPN=90°,则双曲线C 的离心率为( ). A .√2B .√3C .√52 D .√727.(考点:抛物线定义的应用,★★)已知F 是抛物线x 2=6y 的焦点,A ,B 是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=9,则线段AB 的中点到x 轴的距离为( ).A .3B .92C .4D .328.(考点:点差法的应用,★★★)已知椭圆x 236+y 29=1的一条弦被点A (4,2)平分,则此弦所在的直线方程是( ).A .x-2y=0B .x+2y=4C .2x+3y=14D .x+2y=8二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分. 9.(考点:直线方程的应用,★★)下列说法正确的是( ). A .当x 1≠x 2,y 1≠y 2时,过(x 1,y 1),(x 2,y 2)两点的直线方程为y -y 1y 2-y 1=x -x 1x2-x 1B .点(0,2)关于直线y=x+1的对称点为(1,1)C .直线x-y-2=0与两坐标轴围成的三角形的面积是2D .经过点(1,1)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=010.(考点:圆的对称性的应用,★★)已知圆O 的方程为x 2+y 2-4x-1=0,则圆O ( ). A .关于点(2,0)对称 B .关于直线y=0对称 C .关于直线x+3y-2=0对称 D .关于直线x-y+2=0对称11.(考点:双曲线的简单几何性质的应用,★★)已知双曲线E :x 24-y 212=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,P 是双曲线右支上的一点,则下列结论正确的是( ). A .|PF 1|-|PF 2|=4B .双曲线E 的离心率是√3C .|PF 1|的最小值是6D .点P 到两渐近线的距离的乘积是312.(考点:抛物线定义的应用,★★★)已知抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点为F ,经过点F 且斜率为√3的直线l 与抛物线C 交于A ,B 两点(点A 在第一象限),与抛物线的准线交于点D ,若|AF|=8,则下列结论正确的是( ). A .p=4B .DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =FA⃗⃗⃗⃗⃗ C .|BD|=2|BF| D .|BF|=4三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(考点:抛物线的应用,★)已知抛物线y 2=2px (p>0)的准线与圆(x-3)2+y 2=16相切,则p 的值为 . 14.(考点:直线与圆的位置关系,★★)已知a ,b 为正实数,直线x+y+1=0截圆(x-a )2+(y-b )2=4所得的弦长为2√2,则ab 的最大值为 .15.(考点:双曲线性质的应用,★★)已知双曲线C :x 24-y 2b 2=1(b>0)的左、右顶点分别为A ,B ,点P 在双曲线C 上,且直线PA 与直线PB 的斜率之积为1,则该双曲线C 的焦距为 .16.(考点:抛物线定义的应用,★★★)已知过抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点F 的直线l :y=4x+b 截抛物线C 所得的弦长为17,设点A 为抛物线C 上的动点,点B (2,6),过点A 作抛物线C 的准线l 1的垂线,垂足为D ,则p 的值为 ,|AB|+|AD|的最小值为 .答案解析：1.(考点:直线的斜率与倾斜角的关系,★)下列命题中,正确的是( ). A .若直线的倾斜角越大,则直线的斜率就越大 B .若直线的倾斜角为α,则直线的斜率为tan α C .若直线的斜率为tan α,则直线的倾斜角是αD .当直线的倾斜角α∈[0,π2)∪(π2,π)时,直线的斜率分别在这两个区间上单调递增【解析】当直线的倾斜角α∈[0,π2)∪(π2,π)时,直线的斜率分别在这两个区间上单调递增,故A 错误,D 正确;当α=π2时,斜率不存在,故B 错误;只有当α∈[0,π2)∪(π2,π)时,直线的倾斜角才是α,故C 错误.故选D . 【答案】D2.(考点:求直线的方程,★)已知直线l 过点(-1,2)且与直线2x-3y+4=0垂直,则直线l 的方程是( ). A .3x+2y-1=0 B .3x+2y+7=0 C .2x-3y+5=0 D .2x-3y+8=0【解析】因为直线2x-3y+4=0的斜率为23,所以直线l 的斜率为-32,所以直线l 的方程为y-2=-32(x+1),即3x+2y-1=0. 【答案】A3.(考点:椭圆的标准方程,★)“-1<m<3”是“方程x 2m+1+y 27-m =1表示椭圆”的( ). A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件【解析】因为方程x 2m+1+y 27-m =1表示椭圆,所以{m +1>0,7-m >0,m +1≠7-m ,解得-1<m<3或3<m<7.故“-1<m<3”是“方程x 2m+1+y 27-m =1表示椭圆”的充分不必要条件. 【答案】A4.(考点:求双曲线的渐近线方程,★)若双曲线x 2a2-y 2b2=1(a>0,b>0)的离心率为53,则该双曲线的渐近线方程为( ). A .y=±45x B .y=±54x C .y=±43x D .y=±34x【解析】因为双曲线的离心率为53,即e=c a =53, 所以c=53a ,又c 2=a 2+b 2,所以b=43a ,所以b a =43,所以该双曲线的渐近线方程为y=±43x. 【答案】C5.(考点:求双曲线的方程,★★)已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线过点(2,√3),且双曲线的一个焦点在抛物线y 2=4√7x 的准线上,则该双曲线的方程为( ). A .x 221-y 228=1 B .x 228-y 221=1C .x 23-y 24=1D .x 24-y 23=1【解析】由题意可得√3=2ba . ①因为抛物线y 2=4√7x 的准线是x=-√7,所以c=√7,即a 2+b 2=c 2=7. ② 联立①②,解得{a =2,b =√3,所以双曲线的方程为x 24-y 23=1. 【答案】D6.(考点:求双曲线的离心率,★★)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0),以点P (b ,0)为圆心,a 为半径作圆P ,圆P 与双曲线C 的一条渐近线交于M ,N 两点,若∠MPN=90°,则双曲线C 的离心率为( ).A .√2B .√3C .√52 D .√72【解析】设双曲线C 的一条渐近线为bx-ay=0,且与圆P 交于M ,N 两点,因为∠MPN=90°,所以圆心P 到直线bx-ay=0的距离为2√a 2+b2=b 2c =√22a ,即2c 2-2a 2=√2ac ,因为e=ca >1,解得e=√2.【答案】A7.(考点:抛物线定义的应用,★★)已知F 是抛物线x 2=6y 的焦点,A ,B 是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=9,则线段AB 的中点到x 轴的距离为( ). A .3 B .92 C .4 D .32【解析】由题意可得F (0,32),抛物线的准线方程为y=-32.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),根据抛物线的定义可得|AF|+|BF|=y 1+y 2+3=9,解得y 1+y 2=6,∴线段AB 中点的纵坐标为3,即线段AB 的中点到x 轴的距离为3. 【答案】A8.(考点:点差法的应用,★★★)已知椭圆x 236+y 29=1的一条弦被点A (4,2)平分,则此弦所在的直线方程是( ).A .x-2y=0B .x+2y=4C .2x+3y=14D .x+2y=8【解析】设过点A 的直线与椭圆相交于E (x 1,y 1),F (x 2,y 2)两点,则有x 1236+y 129=1,x 2236+y 229=1,两式相减得(x 1-x 2)(x 1+x 2)36+(y 1-y 2)(y 1+y 2)9=0.又∵A 为弦EF 的中点,且A (4,2),∴x 1+x 2=8,y 1+y 2=4,∴836(x 1-x 2)+49(y 1-y 2)=0, ∴k EF =y 1-y 2x 1-x 2=-12,∴过点A 且被该点平分的弦所在直线的方程是y-2=-12(x-4),即x+2y-8=0.【答案】D二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分. 9.(考点:直线方程的应用,★★)下列说法正确的是( ). A .当x 1≠x 2,y 1≠y 2时,过(x 1,y 1),(x 2,y 2)两点的直线方程为y -y 1y 2-y 1=x -x 1x2-x 1B .点(0,2)关于直线y=x+1的对称点为(1,1)C .直线x-y-2=0与两坐标轴围成的三角形的面积是2D .经过点(1,1)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0 【解析】对于A,当x 1≠x 2,y 1≠y 2时,过(x 1,y 1),(x 2,y 2)两点的直线方程为y -y 1y2-y 1=x -x 1x2-x 1,故A 正确;对于B项,点(0,2)与(1,1)的中点坐标为(12,32),满足直线方程y=x+1,并且两点连线的斜率为-1,所以点(0,2)关于直线y=x+1的对称点为(1,1),所以B正确;对于C项,直线x-y-2=0在两坐标轴上的截距分别为2,-2,故直线x-y-2=0与两坐标轴围成的三角形的面积是12×2×2=2,所以C正确;对于D项,经过点(1,1),且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0或y=x,所以D不正确.【答案】ABC10.(考点:圆的对称性的应用,★★)已知圆O的方程为x2+y2-4x-1=0,则圆O().A.关于点(2,0)对称B.关于直线y=0对称C.关于直线x+3y-2=0对称D.关于直线x-y+2=0对称【解析】x2+y2-4x-1=0⇒(x-2)2+y2=5,所以圆心O的坐标为(2,0).对于A项,圆是关于圆心对称的中心对称图形,而点(2,0)是圆心,所以A选项正确;对于B项,圆是关于直径对称的轴对称图形,直线y=0过圆心,所以B选项正确;对于C项,圆是关于直径对称的轴对称图形,直线x+3y-2=0过圆心,所以C选项正确;对于D项,圆是关于直径对称的轴对称图形,直线x-y+2=0不过圆心,所以D选项不正确.【答案】ABC11.(考点:双曲线的简单几何性质的应用,★★)已知双曲线E:x24-y212=1的左、右焦点分别为F1,F2,P是双曲线右支上的一点,则下列结论正确的是().A.|PF1|-|PF2|=4B.双曲线E的离心率是√3C.|PF1|的最小值是6D.点P到两渐近线的距离的乘积是3【解析】由双曲线E:x 24-y212=1,得a2=4,b2=12,c2=a2+b2=16,解得a=2,b=2√3,c=4,由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a=4,所以A正确;离心率e=ca =42=2,所以B错误;当点P在右顶点时,|PF1|取得最小值,即|PF1|min=a+c=6,所以C正确;因为双曲线的渐近线方程为y=±bax=±√3x,设点P(x0,y0),则x024-y0212=1,即3x02-y02=12,则点P 到直线y=√3x 和y=-√3x 的距离的乘积为|√3x 0-y 0|2×|√3x 0+y 0|2=|3x 02-y 02|4=124=3,所以D 正确.【答案】ACD12.(考点:抛物线定义的应用,★★★)已知抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点为F ,经过点F 且斜率为√3的直线l 与抛物线C 交于A ,B 两点(点A 在第一象限),与抛物线的准线交于点D ,若|AF|=8,则下列结论正确的是( ). A .p=4B .DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =FA⃗⃗⃗⃗⃗ C .|BD|=2|BF| D .|BF|=4 【解析】如图所示,分别过点A ,B 作抛物线C 的准线m 的垂线,垂足分别为点E ,M.抛物线C 的准线m 交x 轴于点P ,则|PF|=p ,由于直线l 的斜率为√3,其倾斜角为60°,又∵AE ∥x 轴,∴∠EAF=60°,由抛物线的定义可知,|AE|=|AF|,则△AEF 为等边三角形,∴∠EFP=∠AEF=60°,则∠PEF=30°,∴|AF|=|EF|=2|PF|=2p=8,解得p=4,故A 选项正确;∵|AE|=|EF|=2|PF|,又PF ∥AE ,∴F 为AD 的中点,则DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =FA⃗⃗⃗⃗⃗ ,故B 选项正确; ∵∠DAE=60°,∴∠ADE=30°,∴|BD|=2|BM|=2|BF|,故C 选项正确; ∵|BD|=2|BF|,∴|BF|=13|DF|=13|AF|=83,故D 选项错误.【答案】ABC三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(考点:抛物线的应用,★)已知抛物线y 2=2px (p>0)的准线与圆(x-3)2+y 2=16相切,则p 的值为 . 【解析】抛物线的准线方程为x=-p2,准线与圆相切,则3+p2=4,解得p=2.【答案】214.(考点:直线与圆的位置关系,★★)已知a ,b 为正实数,直线x+y+1=0截圆(x-a )2+(y-b )2=4所得的弦长为2√2,则ab 的最大值为 .【解析】由题意可得圆心(a ,b )到直线x+y+1=0的距离d=√22-(2√22)2=√2,故√2=√2.又a ,b 为正实数,故a+b=1,所以ab ≤(a+b 2)2=14,当且仅当a=b=12时取等号.【答案】1415.(考点:双曲线性质的应用,★★)已知双曲线C :x 24-y 2b2=1(b>0)的左、右顶点分别为A ,B ,点P 在双曲线C 上,且直线PA 与直线PB 的斜率之积为1,则该双曲线C 的焦距为 . 【解析】由双曲线方程可知A (-2,0),B (2,0), 设P (x 0,y 0),则k PA ·k PB =y 0x+2·y 0x-2=y 02x 02-4=1,即x 02-y 02=4. 又x 024-y 02b 2=1,∴b 2=4,∴c 2=a 2+b 2=8,∴双曲线C 的焦距2c=4√2. 【答案】4√216.(考点:抛物线定义的应用,★★★)已知过抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点F 的直线l :y=4x+b 截抛物线C 所得的弦长为17,设点A 为抛物线C 上的动点,点B (2,6),过点A 作抛物线C 的准线l 1的垂线,垂足为D ,则p 的值为 ,|AB|+|AD|的最小值为 .【解析】抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点为(p2,0),直线l 过焦点,故b=-2p ,即直线l :y=4x-2p.设直线l 与抛物线C 交点的横坐标分别为x 1,x 2,联立{y 2=2px ,y =4x -2p ,得8x 2-9px+2p 2=0,所以x 1+x 2=98p ,故x 1+x 2+p=178p=17,解得p=8,所以y 2=16x.易知点B (2,6)在抛物线外,所以|AB|+|AD|=|AB|+|AF|≥|BF|=2√10,当B ,A ,F 三点共线时等号成立. 【答案】8 2√10。
高中数学必修三课时作业9：3.1.2 概率的意义
3．1.2 概率的意义一、选择题1．若在同等条件下进行n 次重复试验得到某个事件A 发生的频率f (n )，则随着n 的逐渐增加，有( )A ．f (n )与某个常数相等B ．f (n )与某个常数的差逐渐减小C ．f (n )与某个常数差的绝对值逐渐减小D ．f (n )在某个常数附近摆动并趋于稳定 [答案] D[解析] 随着n 的增大，频率f (n )会在概率附近摆动并趋于稳定，这也是频率与概率的关系． 2．先后抛掷两枚均匀的五角、一元的硬币，观察落地后硬币的正反面情况，则下列哪个事件的概率最大( )A ．至少一枚硬币正面向上B ．只有一枚硬币正面向上C ．两枚硬币都是正面向上D ．两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上 [答案] A[解析] 抛掷两枚硬币，其结果有“正正”，“正反”，“反正”，“反反”四种情况．至少有一枚硬币正面向上包括三种情况，其概率最大． 3．在下列各事件中，发生的可能性最大的为( ) A ．任意买1张电影票，座位号是奇数 B ．掷1枚骰子，点数小于等于2C ．有10000张彩票，其中100张是获奖彩票，从中随机买1张是获奖彩票D ．一袋中装有8个红球，2个白球，从中随机摸出1个球是红球 [答案] D[解析] 概率分别是P A ＝12，P B ＝13，P C ＝1100，P D ＝45，故选D.4．某医院治疗一种疾病的治愈率为15，前4位病人都未治愈，则第5位病人的治愈率为( )A ．1B.15C.45D ．0[答案] B[解析] 治愈率为15，表明每位病人被治愈的概率均为15，并不是5人中必有1人被治愈．故选B.5．每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的，某次考试共有12道选择题，某人说：“每个选项正确的概率是14，我每题都随机地选择其中一个选项，则一定有3道选择题结果正确．”这句话( ) A ．正确 B ．错误 C ．不一定正确 D ．以上都不对[答案] B[解析] 虽然答对一道题的概率为14，但实际问题中，并不意味着一定答对3道，可能全对，可能对3道，也可能全不对等．6．甲、乙两人做游戏，下列游戏中不公平的是( )A ．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜B ．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则甲胜，两枚都是正面向上则乙胜C ．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜D ．甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜． [答案] B[解析] A 项，P (点数为奇数)＝P (点数为偶数)＝12；B 项，P (恰有一枚正面向上)＝12，P (两枚都正面向上)＝14；C 项，P (牌色为红)＝P (牌色为黑)＝12；D 项，P (同奇或同偶)＝P (奇偶不同)＝12. 二、填空题7．某班某次测验中，全班53人，有83%的人及格，则“从该班中任意抽出10人，仅有1人及格”这件事________发生．(选填“可能”或“不可能”) [答案] 可能[解析] 全班及格人数为53×83%≈44，所以不及格人数为53－44＝9.所以任意抽出10人，是有可能包含全部不及格的学生的．8．如果从一个不透明的口袋中摸出白球的概率为16，已知袋中白球有3个，那么袋中球的总个数为________． [答案] 18[解析] 设袋中有x 个球，因为摸出白球的概率为16，且袋中白球有3个，所以3x ＝16.所以x ＝18.9．一个袋中装有数量差别较大的白球和黑球，从中任取一球，取出的是白球，估计袋中数量少的球是________． [答案] 黑球[解析] 根据极大似然法，知袋中数量较多的是白球，因此黑球数量较少．10．玲玲和倩倩是一对好朋友，她俩都想去观看某歌星的演唱会，可手里只有一张票，怎么办呢？玲玲对倩倩说：“我向空中抛两枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，我就去，如果落地后两面一样，你就去！”这个办法________．(选填“公平”或“不公平”) [答案] 公平[解析] 同样抛掷两枚硬币落地的结果共4种：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)．由此可见，她们两人得到门票的概率都是12，所以公平．三、解答题11．判断下列说法是否正确，并说明理由．(1)如果一件事成功的概率是0.1%，那么它必然不会成功；(2)某校九年级共有学生400人，为了了解他们的视力情况，抽查了20名学生的视力并对所得数据进行整理，若视力在0.95～1.15范围内的频率为0.3，则可估计该校九年级学生的视力在0.95～1.15范围内的人数为120；(3)甲袋中有12个黑球，4个白球，乙袋中有20个黑球，20个白球．摸出1个球，要想摸出1个黑球，由于乙袋中黑球的个数多些，故选择乙袋成功的机会较大．解 (1)不正确，因为0.1%表示试验很多次，平均每1000次有1次成功，不是不可能成功，只是成功的机会小． (2)正确，400×0.3＝120.(3)不正确，因为在甲袋中P (摸到黑球)＝34，在乙袋中P (摸到黑球)＝12，12＜34，所以选择甲袋成功的机会较大．12．设人的某一特征是由一对基因所决定的，以d 代表显性基因，r 代表隐性基因，则具有dd 基因的人为纯显性，具有rr 基因的人为纯隐性，具有rd 或dr 基因的人为混合性，纯显性与混合性的人都显露显性基因决定的某一特征．孩子从父母身上各得到一个基因，假定父母的基因都是混合性的，求他们的一个孩子显露显性基因决定的特征的概率．解 如图，由图可知，他们的孩子可能的基因有4种，即dd ，dr ，rd ，rr ，它们的概率分别为14，14，14，14，当基因为dd ，dr ，rd 时，孩子显露显性基因决定的特征，所以他们的一个孩子显露显性基因决定的特征的概率为34.13．如图所示，有两个可以自由转动的均匀转盘A 、B .转盘A 被平均分成3等份，分别标上1,2,3三个数字；转盘B 被平均分成4等份，分别标上3,4,5,6四个数字．有人为甲、乙两人设计了一个游戏规则：自由转动转盘A 与B ，转盘停止后，指针各指向一个数字，将指针所指的两个数字相加，如果和是6，那么甲获胜，否则乙获胜．你认为这样的游戏规则公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，怎样修改规则才能使游戏对双方公平？解 列表如下：由表可知，等可能的结果有因为P (和为6)＝312＝14，所以甲、乙获胜的概率不相等．所以这样的游戏规则不公平．如果将规则改为“和是6或7，则甲胜，否则乙胜”，那么此时游戏规则是公平的．。
高三数学下册课时精练测试9
(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！) 一、选择题(每小题6分，共36分)1．设正弦函数y ＝sin x 在x ＝0和x ＝π2附近的平均变化率为k 1，k 2，则k 1，k 2的大小关系为 ( )A ．k 1＞k 2B ．k 1＜k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定【解析】 ∵y ＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x ，k 1＝cos 0＝1，k 2＝cos π2＝0，∴k 1＞k 2. 【答案】 A2．一质点沿直线运动，如果由始点经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t 2＋2t ，那么速度为零的时刻是( )A ．0秒B ．1秒末C ．2秒末D ．1秒末和2秒末【解析】 ∵s ＝13t 3－32t 2＋2t ，∴υ＝s ′(t )＝t 2－3t ＋2，令υ＝0得，t 2－3t ＋2＝0，t 1＝1，t 2＝2. 【答案】 D3．已知二次函数f (x )的图象如图所示，则其导函数f ′(x )的图象大致形状是( )【解析】 设二次函数为y ＝ax 2＋b (a ＜0，b ＞0)，则y ′＝2ax ，又∵a ＜0，故选B.【答案】 B4．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.94e 2 B ．2e 2 C ．e 2D.e 22【解析】 ∵点(2，e 2)在曲线上，∴切线的斜率k ＝y ′⎪⎪⎪⎪x ＝2＝e xx ＝2＝e 2， ∴切线的方程为y －e 2＝e 2(x －2)． 即e 2x －y －e 2＝0.与两坐标轴的交点坐标为(0，－e 2)，(1,0)，∴S △＝12×1×e 2＝e 22. 【答案】 D5．(2018年临沂模拟)若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( )A ．1 B. 2C.22D. 3【解析】 过点P 作y ＝x －2的平行直线，且与曲线 y ＝x 2－ln x 相切，设P (x 0，x 20－ln x 0)则有k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0－1x 0.∴2x 0－1x 0＝1，∴x 0＝1或x 0＝－12(舍去)．∴P (1,1)，∴d ＝|1－1－2|1＋1＝ 2.【答案】 B6．(2008年辽宁高考)设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12 B ．[－1,0]C ．[0,1]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 【解析】 设P (x 0，y 0)，∵y ′＝2x ＋2，∴曲线C 在P 点处的切线斜率为2x 0＋2.又切线倾斜角范围是[0，π4]，∴斜率范围是[0,1]，即0≤2x 0＋2≤1，∴－1≤x 0≤－12. 【答案】 A二、填空题(每小题6分，共18分)7．(2008年江苏高考)设直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x ＞0)的一条切线，则实数b 的值为______．【解析】 y ′＝(ln x )′＝1x ，令1x ＝12得x ＝2，∴切点为(2，ln2)，代入直线方程y ＝12x ＋b ，∴ln2＝12×2＋b ，∴b ＝ln2－1. 【答案】 ln2－18．如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝______.【解析】 易得切点P (5,3)， ∴f (5)＝3，k ＝－1， 即f ′(5)＝－1.∴f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2. 【答案】 29．已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，g (x )≠0，f ′(x )g (x )＜f (x )g ′(x )，f (x )＝a x·g (x )，f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52，在有穷数列{f (n )g (n )}(n ＝1,2，…，10)中，任意取前k 项相加，则前k 项和大于1516的概率是________．【解析】 据已知得[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )＜0， 故a x ＝f (x )g (x )为定义域上的减函数，故0＜a ＜1，从而由f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52⇒a ＝12，故易知数列{f (n )g (n )}即{a n }从第五项开始其和大于1516，故其概率为610＝35.【答案】 35三、解答题(10,11每题15分，12题16分，共46分)10．已知函数f (x )＝x 3－3x 及y ＝f (x )上一点P (1，－2)，过点P 作直线l .(1)求使直线l 和y ＝f (x )相切且以P 为切点的直线方程； (2)求使直线l 和y ＝f (x )相切且切点异于P 的直线方程．【解析】 (1)由f (x )＝x 3－3x 得，f ′(x )＝3x 2－3， 过点P 且以P (1，－2)为切点的直线的斜率f ′(1)＝0， ∴所求直线方程为y ＝－2；(2)设过P (1，－2)的直线l 与y ＝f (x )切于另一点(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20－3.又直线过(x 0，y 0)，P (1，－2)，故其斜率可表示为y 0－(－2)x 0－1＝x 30－3x 0＋2x 0－1，又x 30－3x 0＋2x 0－1＝3x 20－3，即x 30－3x 0＋2＝3(x 20－1)·(x 0－1)， 解得x 0＝1(舍)或x 0＝－12，故所求直线的斜率为k ＝3×(14－1)＝－94，∴y －(－2)＝－94(x －1)，即9x ＋4y －1＝0.11．设t ≠0，点P (t,0)是函数f (x )＝x 3＋ax 与g (x )＝bx 2＋c 的图象的一个公共点，两函数的图象在点P 处有相同的切线．试用t 表示a ，b ，c .【解析】 因为函数f (x )，g (x )的图象都过点(t,0)， 所以f (t )＝0，即t 3＋at ＝0. 因为t ≠0，所以a ＝－t 2. g (t )＝0，即bt 2＋c ＝0，所以c ＝ab . 又因为f (x )，g (x )在点(t,0)处有相同的切线， 所以f ′(t )＝g ′(t )．而f ′(x )＝3x 2＋a ，g ′(x )＝2bx ，所以3t 2＋a ＝2bt . 将a ＝－t 2代入上式得b ＝t .因此c ＝ab ＝－t 3. 故a ＝－t 2，b ＝t ，c ＝－t 3.12．已知定义在正实数集上的函数f (x )＝12x 2＋2ax ，g (x )＝3a 2ln x ＋b ，其中a >0.设两曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )有公共点，且在该点处的切线相同．(1)用a 表示b ，并求b 的最大值； (2)求证：f (x )≥g (x )(x >0)．【解析】 (1)设y ＝f (x )与y ＝g (x )(x >0)在公共点(x 0，y 0)处的切线相同，∵f ′(x )＝x ＋2a ，g ′(x )＝3a 2x ， 由题意知f (x 0)＝g (x 0)，f ′(x 0)＝g ′(x 0)． 即⎩⎪⎨⎪⎧12x 20＋2ax 0＝3a 2ln x 0＋b ，x 0＋2a ＝3a 2x 0.由x 0＋2a ＝3a 2x 0，得：x 0＝a ，或x 0＝－3a (舍去)．即有b ＝12a 2＋2a 2－3a 2ln a ＝52a 2－3a 2ln a .令h (t )＝52t 2－3t 2ln t (t >0)，则h ′(t )＝2t (1－3ln t )，于是当t (1－3ln t )>0时，即0<t <e 13时，h ′(t )>0；当t (1－3ln t )<0时，即t >e 13时，h ′(t )<0.故h (t )在(0，e 13)为增函数，在(e 13，＋∞)为减函数．于是h (t )在(0，＋∞)的最大值为h (e 13)＝32e 23. (2)证明：设F (x )＝f (x )－g (x ) ＝12x 2＋2ax －3a 2ln x －b (x >0)，则F ′(x )＝x ＋2a －3a 2x ＝(x －a )(x ＋3a )x (x >0)， 故F (x )在(0，a )为减函数，在(a ，＋∞)为增函数， 于是函数F (x )在(0，＋∞)上的最小值是 F (a )＝F (x 0)＝f (x 0)－g (x 0)＝0. 故当x >0时，有f (x )－g (x )≥0， 即当x >0时，f (x )≥g (x )．。
【高中数学】课时提升作业 九 1.4.2(一)
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课时提升作业九正弦函数、余弦函数的性质(一)一、选择题(每小题5分，共25分)1.函数y=sin的最小正周期为( )A.πB.2πC.4πD.【解析】选C.T==4π.2.(2016·三明高一检测)函数f(x)=x+sinx，x∈R( )A.是奇函数，但不是偶函数B.是偶函数，但不是奇函数C.既是奇函数，又是偶函数D.既不是奇函数，又不是偶函数【解析】选A.f(x)的定义域为R，关于原点对称.又因为f(-x)=-x+sin(-x)=-x-sinx=-(x+sinx)=-f(x)，所以f(x)为奇函数，但不是偶函数.【补偿训练】函数f(x)=是( )A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数也不是偶函数【解析】选A.定义域为R，f(-x)===-f(x)，则f(x)是奇函数.3.(2016·襄阳高一检测)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)在x=1处取最大值，则( )A.f(x-1)一定是奇函数B.f(x-1)一定是偶函数C.f(x+1)一定是奇函数D.f(x+1)一定是偶函数【解析】选D.f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)在x=1处取最大值.图象左移一个单位，是偶函数，即f(x+1)是偶函数，所以判定A，B，C是错误的.4.(2016·衡阳高一检测)已知角φ的终边经过P(-4，3)，函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则f的值为( ) A. B. C.- D.-【解析】选D.由于角φ的终边经过点P(-4，3)，可得cosφ=，sinφ=.再根据函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，可得周期为=2×，求得ω=2，所以f(x)=sin(2x+φ)，所以f=sin=cosφ=-.【补偿训练】下列图象中，有可能是函数f(x)=(1-cosx)·sinx在[-π，π]上的图象的序号是____________.【解题指南】首先从判断函数的奇偶性进行排除，然后再根据函数的图象特征取最佳值进行验证排除.【解析】选C.因为f(-x)=-(1-cosx)sinx，即f(-x)=-f(x)，而定义域[-π，π]关于原点对称，所以函数f(x)为奇函数，排除B.又当x=时，f=sin=1>0，排除A.当x=时，f=sin=>1，排除D，只有C符合.5.(2016·广州高一检测)如果函数f(x)=cos(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为，则ω的值为( )A.3B.6C.12D.24【解析】选B.函数f(x)=cos(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为，所以T=2×=，又=，解得ω=6.【补偿训练】(2016·泉州高一检测)已知函数y=cos(ω>0)的最小正周期为，则ω的值为( )A.1B.2C.3D.【解析】选C.因为y=cos(ω>0)的最小正周期为T==，所以ω=3.二、填空题(每小题5分，共15分)6.(2016·商丘高一检测)y=3sin的最小正周期为π，则a=________. 【解析】由最小正周期的定义知=π，所以|a|=2，a=±2.答案：±27.已知函数f(x)是定义在R上周期为6的奇函数，且f(1)=-1，则f(5)=________. 【解析】因为函数f(x)是定义在R上周期为6的奇函数，所以f(5)=f(5-6) =f(-1)=-f(1)=-(-1)=1.答案：1【拓展延伸】利用周期求函数值的关键及作用(1)解答利用周期求函数值的问题的关键是应用化归思想，借助周期函数的定义，把要求的问题转移到已知区间上来解决.(2)一个周期函数，只要知道了一个周期上的性质，就可以掌握该函数在整个定义域内的性质.8.若f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=sinx，则f(x)的解析式是______________.【解析】当x<0时，-x>0，f(-x)=sin(-x)=-sinx，因为f(-x)=f(x)，所以x<0时，f(x)=-sinx.所以f(x)=sin|x|，x∈R.答案：f(x)=sin|x|【补偿训练】若f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=x2-sinx，则当x<0时，f(x)=________.【解析】当x<0时，-x>0.f(-x)=(-x)2-sin(-x)=x2+sinx.因为f(x)是奇函数，所以f(-x)=-f(x)，f(x)=-f(-x).所以f(x)=-x2-sinx.答案：-x2-sinx三、解答题(每小题10分，共20分)9.判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=xsin(π+x).(2)f(x)=sin4x-cos4x.(3)f(x)=.【解析】(1)函数的定义域为R，关于原点对称.因为f(x)=xsin(π+x)=-xsinx，所以f(-x)=-(-x)sin(-x)=-xsinx=f(x)，所以f(x)是偶函数.(2)显然定义域为R.因为f(-x)=sin4(-x)-cos4(-x)=sin4x-cos4x=f(x)，所以f(x)是偶函数.(3)函数应满足1+sinx≠0，所以函数定义域为，显然定义域不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数.10.已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x∈时，f(x)=1-sinx，求当x∈时f(x)的解析式.【解析】x∈时，3π-x∈，因为x∈时，f(x)=1-sinx，所以f(3π-x)=1-sin(3π-x)=1-sinx.又f(x)是以π为周期的偶函数，所以f(3π-x)=f(-x)=f(x)，所以f(x)的解析式为f(x)=1-sinx，x∈.一、选择题(每小题5分，共10分)1.(2016·北京高一检测)若函数f(x)=sin(φ∈[0，2π])是偶函数，则φ=( )A. B. C. D.【解析】选C.因为f(x)=sin是偶函数，所以=kπ+(k∈Z).所以φ=3kπ+(k∈Z).又因为φ∈[0，2π]，所以当k=0时，φ=.2.(2016·衡阳高一检测)设f(x)是定义域为R，最小正周期为的函数，若f(x)=则f的值等于( )A.1B.C.0D.-【解析】选B.f=f=f=sinπ=.二、填空题(每小题5分，共10分)3.设函数f(x)=3sin，ω>0，x∈(-∞，+∞)，且以为最小正周期.若f=，则sinα的值为________.【解析】因为f(x)的最小正周期为，ω>0，所以ω==4.所以f(x)=3sin.由f=3sin=3cosα=，所以cosα=.所以sinα=±=±.答案：±4.设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x+2)=13.若f(1)=2，则f(99)=________.【解题指南】先求f(x)的周期后求f(99)的值.【解析】因为f(x)·f(x+2)=13，所以f(x+2)=，f(x+4)==f(x)，所以f(x)是以4为周期的函数.所以f(99)=f(24×4+3)=f(3)==.答案：【拓展延伸】常见周期函数的形式周期函数除常见的定义式f(x+T)=f(x)外，还有如下四种形式：(1)f(x+a)=-f(x).(2)f(x+a)=.(3)f(x-a)=-.(4)f(x-a)=f(x+a).以上四种形式的函数都是以2a为周期的周期函数.三、解答题(每小题10分，共20分)5.已知函数f(x)=sin(2x+φ)，试求φ为何值时：(1)f(x)是奇函数？(2)f(x)是偶函数？【解析】(1)因为f(x)的定义域为R，所以当f(x)为奇函数时必有f(0)=0.即sinφ=0，所以φ=kπ(k∈Z).即当φ=kπ(k∈Z)时，f(x)=sin(2x+φ)是奇函数.(2)因为偶函数的图象关于y轴对称，且正、余弦函数在对称轴处取最值，所以要使f(x)为偶函数，需有f(0)=±1，即sinφ=±1.所以φ=kπ+(k∈Z).即当φ=kπ+(k∈Z)时，f(x)=sin(2x+φ)是偶函数.6.已知函数f(x)=cos，若函数g(x)的最小正周期是π，且当x∈时，g(x)=f，求关于x的方程g(x)=的解集.【解析】当x∈时，g(x)=f=cos.因为x+∈，所以由g(x)=解得x+=-或，即x=-或-.又因为g(x)的最小正周期为π.所以g(x)=的解集为.关闭Word文档返回原板块高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
2022年高考数学(理)一轮复习课时训练：第五章 数列 5-3 Word版含解析
课时规范训练A 组 基础演练1．已知数列{a n }，则“a n ，a n ＋1，a n ＋2(n ∈N *)成等比数列”是“a 2n ＋1＝a n a n ＋2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.明显，n ∈N *，a n ，a n ＋1，a n ＋2成等比数列，则a 2n ＋1＝a n a n ＋2，反之，不肯定成立，举反例，如数列为1,0,0,0，….2．设{}a n 是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1＝( ) A ．2 B ．－2 C.12D ．－12解析：选D.由于等差数列{}a n 的前n 项和为S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，所以S 1，S 2，S 4分别为a 1,2a 1－1,4a 1－6.由于S 1，S 2，S 4成等比数列，所以(2a 1－1)2＝a 1·(4a 1－6)．解得a 1＝－12.3．在等比数列{a n }中，若a 4，a 8是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则a 6的值是( ) A ．±2 B ．－ 2 C. 2D ．±2解析：选C.由于a 4，a 8是方程的两根，则⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 8＝3＞0a 4a 8＝2＞0，∴a 4＞0，a 8＞0，又a 26＝a 4a 8＝2，∴a 6＝ 2.4．已知等比数列{a n }的公比q ＝2，且2a 4，a 6,48成等差数列，则{a n }的前8项和为( ) A ．127 B ．255 C ．511D ．1 023解析：选B.∵2a 6＝2a 4＋48，即a 6＝a 4＋24 ∴25a 1＝23a 1＋24，从而a 1＝1.于是S 8＝1×(1－28)1－2＝28－1＝255.5．设数列{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( ) A.152 B.314 C.334D.172解析：选B.设此数列的公比为q (q ＞0)，由已知a 2a 4＝1，得a 23＝1，∴a 3＝1，由S 3＝7，知a 3＋a 3q ＋a 3q 2＝7，即6q 2－q －1＝0，解得q ＝12，从而a 1＝4， 所以S 5＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝314. 6．等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，则公比q 为________． 解析：由a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1得 a 4－a 3＝2(S 3－S 2)＝2a 3， ∴a 4＝3a 3，∴q ＝a 4a 3＝3.答案：37．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列，则q 的值为________．解析：由已知条件得2S n ＝S n ＋1＋S n ＋2， 即2S n ＝2S n ＋2a n ＋1＋a n ＋2，即a n ＋2a n ＋1＝q ＝－2.答案：－28．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1.若a 1＝1，则对任意的n ∈N *，都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，则S 5＝________.解析：由题意知a 3＋a 2－2a 1＝0，设公比为q ，则a 1(q 2＋q －2)＝0. 由q 2＋q －2＝0解得q ＝－2或q ＝1(舍去)， ∴S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝1－(－2)53＝11.答案：119．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1. 解：(1)∵S 1＝a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列， ∴S n ＝2n －1，又当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2(2－1)＝2n －2. 当n ＝1时，a 1＝1，不适合上式． ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －2，n ≥2.(2)a 3，a 5，…，a 2n ＋1是以2为首项，4为公比的等比数列， ∴a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1＝2(1－4n )1－4＝2(4n －1)3.∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1＝2(4n －1)3＋1＝22n ＋1＋13.10．已知成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5. (1)求数列{b n }的通项公式； (2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是等比数列． 解：(1)设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d .依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，解得a ＝5. 所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d . 依题意，有(7－d )(18＋d )＝100， 解得d ＝2或d ＝－13(舍去)， ∴b 3＝5，公比q ＝2，因此b 1＝54，故b n ＝54·2n －1＝5·2n －3.(2)证明：由(1)知b 1＝54，公比q ＝2，∴S n ＝54(1－2n)1－2＝5·2n －2－54，则S n ＋54＝5·2n －2，因此S 1＋54＝52，S n ＋54S n －1＋54＝5·2n －25·2n －3＝2(n ≥2)． ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是以52为首项，公比为2的等比数列．B 组 力量突破1．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N *，满足S 2m S m ＝9，a 2m a m ＝5m ＋1m －1，则数列{a n }的公比为( ) A ．－2 B ．2 C ．－3D ．3解析：选B.设公比为q ，若q ＝1，则S 2mS m＝2， 与题中条件冲突，故q ≠1.∵S 2m S m ＝a 1(1－q 2m )1－q a 1(1－q m )1－q＝q m ＋1＝9，∴q m＝8. ∴a 2m a m ＝a 1q 2m －1a 1q m －1＝q m＝8＝5m ＋1m －1， ∴m ＝3，∴q 3＝8，∴q ＝2.2．等比数列{a n }中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2.a 5＞a 2，则a n 等于( ) A ．(－2)n －1 B ．－(－2)n －1 C ．(－2)nD ．－(－2)n解析：选A.∵|a 1|＝1，∴a 1＝1或a 1＝－1. ∵a 5＝－8a 2＝a 2·q 3，∴q 3＝－8，∴q ＝－2. 又a 5＞a 2，即a 2q 3＞a 2，∴a 2＜0.而a 2＝a 1q ＝a 1·(－2)＜0，∴a 1＝1. 故a n ＝a 1·(－2)n －1＝(－2)n －1.3．数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 33＋…＋a 2n 等于( )A ．(3n －1)2 B.12(9n －1) C ．9n－1D.14(3n－1)解析：选B.∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n －1，n ∈N *， n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝3n －1－1， ∴当n ≥2时，a n ＝3n －3n －1＝2·3n －1， 又n ＝1时，a 1＝2适合上式，∴a n ＝2·3n －1， 故数列{a 2n }是首项为4，公比为9的等比数列． 因此a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝4(1－9n )1－9＝12(9n －1)． 4．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＝－8，a 4＋a 5＋a 6＝1，则a 11－q ＝__________.解析：∵a 4＋a 5＋a 6a 1＋a 2＋a 3＝q 3＝－18，∴q ＝－12，把q ＝－12代入a 1＋a 2＋a 3＝－8， 解得a 1＝－323，∴a 11－q ＝－649.答案：－6495．已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)． (1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：∵a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a n ＝3a n ＋6a n －1＝3(a n ＋2a n －1)(n ≥2)． 又a 1＝5，a 2＝5，∴a 2＋2a 1＝15， ∴a n ＋2a n －1≠0(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a na n ＋2a n －1＝3(n ≥2)， ∴数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)得a n ＋1＋2a n ＝15×3n －1＝5×3n ， 则a n ＋1＝－2a n ＋5×3n ， ∴a n ＋1－3n ＋1＝－2(a n －3n )． 又∵a 1－3＝2，∴a n －3n ≠0，∴{a n －3n }是以2为首项，－2为公比的等比数列． ∴a n －3n ＝2×(－2)n －1， 即a n ＝2×(－2)n －1＋3n (n ∈N *)．。
最新版高考高三数学小题多维训练原卷含解析——课时09-基本不等式及其应用
课时09 基本不等式及其应用（基础题）一、填空题1．（·上海高三二模）某茶农打算在自己的茶园建造一个容积为500立方米的长方体无盖蓄水池，要求池底面的长和宽之和为20米．若每平方米的池底面造价是池侧壁的两倍，则为了使蓄水池的造价最低，蓄水池的高应该为______________米．2．（·上海交大附中高三期末）若1x>，则函数211x xyx-+=-的最小值为___________.3．（·上海高三其他模拟）已知函数()()3031xxaf x a=+>+的最小值为5，则a=______. 4．（·上海市嘉定区第一中学高三月考）已知正数a，b满足1ab=，则11a bb a+++的最小值为______.5．（·上海高三三模）若正实数,a b满足a b ab+=，则64baa ab++的最小值为__________.二、解答题6．（·上海卢湾高级中学高三月考）某市为了刺激当地消费，决定发放一批消费券，已知每投放(04,)a a a<≤∈R亿元的消费券，这批消费券对全市消费总额提高的百分比y随着时间x(天）的变化的函数关系式近似为()10af xy=，其中302,()3727,xx xf x xx x x+⎧≤≤∈⎪=-⎨⎪-<≤∈⎩RR，若多次投放消费券，则某一时刻全市消费总额提高的百分比为每次投放的消费券在相应时刻对消费总额提高的百分比之和.（1）若第一次投放2亿元消费券，则接下来多长时间内都能使消费总额至少提高40%；（2）政府第一次投放2亿元消费券，4天后准备再次投放m 亿元的消费券，若希望第二次投放后的接下来两天内全市消费总额仍然至少提高40%，试求m 的最小值.（能力题） 一、单选题1．（·上海）若直线l ：212x y b a a b +=++经过第一象限内的点11(,)P a b ，则ab 的最大值为 A ．76B ．422-C ．523-D ．632-2．（2018·上海市控江中学高三开学考试）已知*N k ∈，,,R x y z +∈，若222()5()k xy yz zx x y z ++>++，则对此不等式描述正确的是A ．若5k =，则至少存在．．．．一个以,,x y z 为边长的等边三角形 B ．若6k =，则对任意满足不等式的,,x y z 都存在．．．以,,x y z 为边长的三角形 C ．若7k =，则对任意满足不等式的,,x y z 都存在．．．以,,x y z 为边长的三角形 D ．若8k，则对满足不等式的,,x y z 不存在．．．以,,x y z 为边长的直角三角形3．（2018·上海高三二模）已知长方体的表面积为2452cm ，所有棱长的总和为24cm .那么，长方体的体对角线与棱所成的最大角为（ ）.A ．1arccos 3 B ．2arccos3 C ．3arccos9D ．6arccos9二、填空题4．（·上海市建平中学高三期中）已知二次函数2()2019f x ax bx c =++（0a >），若存在0x ∈Z ，满足01|()|2019f x ≤，则称0x 为函数()f x 的一个“近似整零点”，若()f x 有四个不同的“近似整零点”，则a 的取值范围是________5．（·上海高三一模）已知0a b >>，那么，当代数式216()a b a b +-取最小值时，点(,)P a b 的坐标为________6．（2018·上海高三二模）在直角三角形ABC 中，2A π∠=，3AB =，4AC =，E 为三角形ABC 内一点，且22AE =，若AE AB AC λμ=+，则34λμ+的最大值等于___________.（真题/新题）一、单选题1．（·全国高三其他模拟）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木?”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门x 里见到树，则11972215x ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（注：1里=300步）（ ）A ．210里B ．410里C ．610里D ．810里二、填空题2．（·上海高考真题）如图，已知正方形OABC ，其中()1OA a a =>，函数23y x =交BC 于点P ，函数12y x -=交AB 于点Q ，当AQ CP +最小时，则a 的值为_______三、解答题3．（·江苏高考真题）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y 万元与年产量x 吨之间的函数关系可以近似地表示为22420005x y x =-+，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本; （2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?并求最大利润.课时10 基本不等式及其应用（基础题）一、填空题 1．（·上海高三二模）某茶农打算在自己的茶园建造一个容积为500立方米的长方体无盖蓄水池，要求池底面的长和宽之和为20米．若每平方米的池底面造价是池侧壁的两倍，则为了使蓄水池的造价最低，蓄水池的高应该为______________米． 【答案】5；【分析】设长方体蓄水池长为y ，宽为x ，高为h ，蓄水池总造价为()W h ，由题意可得500()402W h ah ah=+，然后基本不等式求出()W h 的最小值即可． 【详解】设长方体蓄水池长为y ，宽为x ，高为h ， 每平方米池侧壁造价为a ，蓄水池总造价为()W h ，则由题意可得20500x y xyh +=⎧⎨=⎩，500()2()22()2402W h a xh yh axy ah x y axy ah ah∴=++=++=+， 500()2402400W h ah aa h∴⋅=， ∴当且仅当5h =时，()W h 取最小值，即5h =时，()W h 取最小值. 故答案为：5．2．（·上海交大附中高三期末）若1x >，则函数211x x y x -+=-的最小值为___________. 【答案】3【分析】由2111111x x y x x x -+==-++--，及1x >，利用基本不等式可求出最小值.【详解】由题意，()()()()222211111111111111x x x x x x x y x x x x x -++-+-+-+-+====-++----，因为1x >，所以()1111211311y x x x x =-++≥-⋅+=--，当且仅当111x x -=-，即2x =时等号成立.所以函数211x x y x -+=-的最小值为3.故答案为：3.3．（·上海高三其他模拟）已知函数()()3031x x af x a =+>+的最小值为5，则a =______. 【答案】9【分析】配方得()()303113131x x x x aaf x a =+>=++-++，结合基本不等式即可求解【详解】()()3031121593131x x x x aaf x a a a =+>=++-≥-=⇒=++，当且仅当3log 2x =时等号满足，故答案为：94．（·上海市嘉定区第一中学高三月考）已知正数a ，b 满足1ab =，则11a b b a+++的最小值为______. 【答案】4 【分析】由已知得11a b a ba b b a b a+++=+++，然后利用基本不等式求最值即可.【详解】由题可知，0,0a b >>，且1ab =，所以11224a b a b a b a b a ba b ab b a b a ab b a b a++++=++=+++≥⋅+=， 当且仅当1a b ==等号成立， 故答案为：4.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.5．（·上海高三三模）若正实数,a b 满足a b ab +=，则64b a a ab ++的最小值为__________. 【答案】15【分析】由a b ab +=可得1bb a，将它们替换目标式中的ba、ab ，应用基本不等式求最小值即可. 【详解】由题设知：1bb a +=，即1b b a ，又a b ab +=且0,0a b >>，∴64646412()()116115ba ab a b a ab a b a b++=+-+≥+-=-=++， 当且仅当8a b +=时等号成立. 故答案为：15.二、解答题6．（·上海卢湾高级中学高三月考）某市为了刺激当地消费，决定发放一批消费券，已知每投放(04,)a a a <≤∈R 亿元的消费券，这批消费券对全市消费总额提高的百分比y 随着时间x (天）的变化的函数关系式近似为()10af x y =，其中302,()3727,xx x f x x xx x +⎧≤≤∈⎪=-⎨⎪-<≤∈⎩R R，若多次投放消费券，则某一时刻全市消费总额提高的百分比为每次投放的消费券在相应时刻对消费总额提高的百分比之和.（1）若第一次投放2亿元消费券，则接下来多长时间内都能使消费总额至少提高40%；（2）政府第一次投放2亿元消费券，4天后准备再次投放m 亿元的消费券，若希望第二次投放后的接下来两天内全市消费总额仍然至少提高40%，试求m 的最小值.【答案】（1）5天内；（2）min 2086m =-.【分析】（1）根据题意分段列出不等式组，求解，然后取并集即得x 的取值范围，从而得解；（2）依题意，列出不等式，并分离参数，然后利用换元方法和基本不等式求相应最值，从而得到所求. 【详解】依题意得a=2,321040%4302xx x +⎧⨯≥⨯=⎪-⎨⎪≤≤⎩，解得12x ≤≤， 2(7)1040%427x x ⨯-≥⨯=⎧⎨<≤⎩，解得25x ≤≤， 15x ∴≤≤，即第一次投放2亿元消费券，则接下来5天内都能使消费总额至少提高40%；（2）依题意得3()42[7(4)]43xmf x x m x +≥⇒-++⨯≥-；在[]0,2x ∈上恒成立，3(22)(3)62433x x x x m m x x+---+≥⇒≥-+， 设(28)(6)243[3,5],3202()t t t x x t m t t t--=+∈=-⇒≥=-+ 2086m ≥-，min 2086m ∴=-.【点睛】本题考查分段函数模型的应用，涉及不等式的求解，不等式恒成立问题.注意：（1）不等式恒成立问题，分离参数后所得式子如果不是特别复杂以至于很难处理，一般常用分离参数法解决；（2）对于二次分式函数的最值，若分子或分母中的式子是一次的，一般作换元，用一个字母t 表示这个一次式，二次分式可以表示为t 函数，一般可用基本不等式或者对勾函数的性质求得相应最值；若分子分母都是二次式，则可以通过分离常数，先将分子转化为一次式在进行处理.（能力题） 一、单选题1．（·上海）若直线l ：212x y b a a b +=++经过第一象限内的点11(,)P a b ，则ab 的最大值为 A ．76 B ．422- C ．523- D ．632-【答案】B 【分析】直线2:12x y l b a a b +=++经过第一象限内的点1(P a，1)b ，可得a ，0b >，211(2)()a b a b a b +=++．2211()(2)()121ba ab ab b ba b a b a b a a⨯=+=++++⨯+．令0bt a =>，21()121t g t t t=+++，(0)t >再利用基本不等式计算可得． 【详解】解：直线2:12xyl b a a b +=++经过第一象限内的点1(P a ，1)b ， 则a ，0b >，211(2)()a b a b a b +=++． 22121()(2)()2121bb a a ab ab b ba b a b a b a b a b a a⨯∴=+=+=++++++⨯+．令0bt a =>，()()()()211221()121121t t t t g t t t t t +++=+=++++22214231t tt t ++=++ 21231tt t =+++ 11312t t =+++． 因为1123223322t t t t ++≥⋅+=+，当且仅当12t t =即22t =时取最小值；1114221322213t t∴+≤+=-+++即()max 24222g t g ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭故选：B ．【点睛】本题考查了直线方程、换元法、基本不等式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2．（2018·上海市控江中学高三开学考试）已知*N k ∈，,,R x y z +∈，若222()5()k xy yz zx x y z ++>++，则对此不等式描述正确的是A ．若5k =，则至少存在．．．．一个以,,x y z 为边长的等边三角形 B ．若6k =，则对任意满足不等式的,,x y z 都存在．．．以,,x y z 为边长的三角形C ．若7k =，则对任意满足不等式的,,x y z 都存在．．．以,,x y z 为边长的三角形D ．若8k ，则对满足不等式的,,x y z 不存在．．．以,,x y z 为边长的直角三角形【答案】B【详解】本题可用排除法，由222222222222x y y z z x x y z xy yz zx+++++=++≥++，对于A ，若5k =，可得222xy yz zx x y z ++>++，故不存在这样的,,,x y z A 错误，排除A ；对于,1,1,2C x y z ===时，()()22275xy yz zx xy z ++>++成立，而以,,x y z 为边的三角形不存在，C 错误，排除C ；对于,D 1,1,2x y z ===时，()()22285xy yz zx x y z ++>++成立，存在以,,x y z 为边的三角形为直角三角形，故D 错误，排除,D 故选B.【 方法点睛】本题主要考查不等式的性质、排除法解选择题，属于难题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前n 项和公式问题等等. 3．（2018·上海高三二模）已知长方体的表面积为2452cm ，所有棱长的总和为24cm .那么，长方体的体对角线与棱所成的最大角为（ ）. A ．1arccos 3 B ．2arccos3 C ．3arccos9D ．6arccos9【答案】D【解析】设三条棱a b c ≤≤454ab ac bc ∴++=，6a b c ++=，222272a b c ++=()22222452264a b c a bc a a a ⎡⎤++≥+=+--⎢⎥⎣⎦整理可得2430a a -+≤12a ∴≤≤∴最短棱长为1，体对角线长为36226cos 936θ==故选D点睛：本题以长方体为载体，考查了不等式的运用，根据题目意思给出三边的数量关系，利用基本不等式代入消元，将三元变为二元，二元变为一元，从而求出变量范围，结合问题求出角的最大值二、填空题 4．（·上海市建平中学高三期中）已知二次函数2()2019f x ax bx c =++（0a >），若存在0x ∈Z ，满足01|()|2019f x ≤，则称0x 为函数()f x 的一个“近似整零点”，若()f x 有四个不同的“近似整零点”，则a 的取值范围是________ 【答案】21(0,]2019【分析】设函数的四个“近似整零点”为,1,2,3m m m m +++，再利用绝对值不等式和01|()|2019f x ≤，求得a 的取值范围.【详解】设函数的四个“近似整零点”为,1,2,3m m m m +++， 所以42019()(3)(1)(2)a f m f m f m f m ⨯=++-+-+|()||(3)||(1)||(2)|f m f m f m f m ≤++++++142019≤⨯所以212019a ≤.故答案为21(0,]2019. 【点睛】本题考查“近似整零点”的定义，求解的关键是读懂新定义，且理解“近似整零点”只与图象的开口大小有关，且四个整零点之间的最小距离为3，此时a 可取到最大值.5．（·上海高三一模）已知0a b >>，那么，当代数式216()a b a b +-取最小值时，点(,)P a b 的坐标为________ 【答案】(22,2)【分析】先根据基本不等式得到22()24b a b a b a b +-⎛⎫-=⎪⎝⎭；再利用基本不等式即可求解．【详解】解：因为0:a b >>22()24b a b a b a b +-⎛⎫∴-≤=⎪⎝⎭；所以222166426416()a a b a b a +≥+≥=-．当且仅当464a b a b ⎧=⎨=-⎩，即222a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩时取等号，此时(,)P a b 的坐标为：()22,2．故答案为：()22,2．【点睛】本题考查的知识点：关系式的恒等变换，基本不等式的应用，属于基础题．6．（2018·上海高三二模）在直角三角形ABC 中，2A π∠=，3AB =，4AC =，E 为三角形ABC 内一点，且22AE =，若AE AB AC λμ=+，则34λμ+的最大值等于___________. 【答案】1【分析】先以直角建系,将22AE =转化为221(3)(4)2λμ+=,然后结合基本不等式求最值.【详解】在直角三角形ABC 中,2A π∠=, 故以A 点为原点,以,AB AC 为,x y 轴正方向建系:则(3,0),(0,4)AB AC ==, 所以(3,4)AE AB AC λμλμ=+=, 因为22AE =,所以()()22134(0,0)2λμλμ+=>>, 又2221(3)(4)(34)2342λμλμλμ+=+-⋅⋅= 所以22134(34)2342()22λμλμλμ++-=⋅⋅≤⋅(当且仅当1342λμ==时等号成立), 所以22134(34)2()22λμλμ++-≤⋅, 解得341λμ+≤, 故答案为:1.【点睛】本题主要考查向量,考查基本不等式,需要学生有一定的计算推理能力.一般在向量中遇见直角,垂直等条件时,可以考虑建系应用坐标求解.（真题/新题）一、单选题 1．（·全国高三其他模拟）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木?”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门x里见到树，则11972215x⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（注：1里=300步）（）A．210里B．410里C．610里D．810里【答案】D【分析】根据题意得EF GFGAEB⋅=，进而得4 2.510EF GF EB GA⋅=⋅=⨯=，再结合基本不等式求4()EF GF+的最小值即可.【详解】因为1里=300步，则由图知1200EB=步=4里，750GA=步=2.5里．由题意，得EF GFGAEB⋅=，则4 2.510EF GF EB GA⋅=⋅=⨯=，所以该小城的周长为4()8810EF GF EF GF+≥⋅=，当且仅当10EF GF==时等号成立.故选:D．【点睛】本题以数学文化为背景考查基本不等式，解题的关键在于根据题意，得出对应的边长关系，即：EF GF GA EB⋅=，再代入数据，结合基本不等式求解，同时，在应用基本不等式时，还需要注意“一正”、“二定”、“三相等”.二、填空题 2．（·上海高考真题）如图，已知正方形OABC ，其中()1OA a a =>，函数23y x =交BC 于点P ，函数12y x -=交AB 于点Q ，当AQ CP +最小时，则a 的值为_______【答案】3【分析】通过函数解析式得到,P Q 两点坐标，从而表示出AQ CP +，利用基本不等式得到最值，从而得到取最值时的条件13a a=，求解得到结果.【详解】依题意得：,3a P a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,Q a a ⎛⎫⎪⎝⎭ 则4111223333a a a AQ CP a a a +=+=+≥⋅=当且仅当13a a=即3a =时取等号，故3a =本题正确结果：3【点睛】本题考查基本不等式的应用，关键在于能够通过坐标构造出关于a 的基本不等式的形式，从而利用取等条件得到结果.三、解答题 3．（·江苏高考真题）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y 万元与年产量x 吨之间的函数关系可以近似地表示为22420005x y x =-+，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本;（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?并求最大利润.【答案】（1）年产量为100吨时，平均成本最低为16万元；（2）年产量为110吨时，最大利润为860万元.【分析】（1）列出式子，通过基本不等式即可求得； （2）将式子化简后，通过二次函数的角度求得最大值. 【详解】（1）2000245yxx x=+-，[60,110]x ∈ 2000224165x x≥⋅-= 当且仅当20005xx=时，即100x =取“=”，符合题意；∴年产量为100吨时，平均成本最低为16万元.（2）()()2212424200012088055x L x x x x ⎛⎫=--+=--+ ⎪⎝⎭又60110x ≤≤，∴当110x =时，max ()860L x =.答：年产量为110吨时，最大利润为860万元.。
高考数学 第九章 第二节 框图课时提升作业 文 北师大
【全程复习方略】（陕西专用）2014高考数学第九章第二节框图课时提升作业文北师大版一、选择题1.下列框图是结构图的是( )(A)P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q(B)Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件(C)(D)2.进入互联网时代,经常发送电子邮件.一般而言,发送电子邮件要分成以下几个步骤:(a)打开电子邮箱;(b)输入发送地址;(c)输入主题;(d)输入信件内容;(e)点击“写邮件”;(f)点击“发送邮件”.正确的步骤是( )(A)a→b→c→d→e→f(B)a→c→d→f→e→b(C)a→e→b→c→d→f(D)b→a→c→d→f→e3.阅读如图所示的知识结构图.“求简单函数的导数”的“上位”要素有( )(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个4.(2013·长安模拟)小明中午放学回家自己煮面条吃,有下面几道工序:①洗锅盛水2分钟;②洗菜6分钟;③准备面条及佐料2分钟;④用锅把水烧开10分钟;⑤煮面条和菜共3分钟.以上各道工序,除了④之外,一次只能进行一道工序.小明要将面条煮好,最少要用( )(A)13分钟(B)14分钟(C)15分钟(D)23分钟5.(2013·阜阳模拟)如图所示的是产品加工流程图,一件成品必须经过的工序数是( )(A)6或8 (B)5或7(C)4或6 (D)7或86.(2013·西安模拟)为解决四个村庄用电问题,政府投资在已建电厂与这四个村庄之间架设输电线路,现已知这四个村庄及电厂之间的距离如图所示(距离单位:千米),则能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应该是( )(A)19.5 (B)20.5 (C)21.5 (D)25.5二、填空题7.旅客乘火车要完成四个步骤:候车、买票、上车、检票,完成这四步的正确流程图是.8.(2013·汉中模拟)某市质量技术监督局计量认证审查流程图如图所示:从图中可知在计量认证审查过程中审查可能不通过的环节有处.9.在工商管理学中,MRP指的是物资需求计划,基本MRP的体系结构如图所示.从图中可以看出,主生产计划受和的影响.三、解答题10.(能力挑战题)一家新技术公司计划研制一个名片管理系统,希望系统能够具备以下功能:(1)用户管理:能修改密码,显示用户信息,修改用户信息.(2)用户登录.(3)名片管理:能够对名片进行删除、添加、修改、查询.(4)出错信息处理.根据这些要求画出该系统的结构图.答案解析1.【解析】选C.C为组织结构图,A,B,D均为流程图.2.【解析】选C.打开电子邮箱后,先点击“写邮件”,然后再输入.3.【解析】选C.“求简单函数的导数”的“上位”要素有“基本求导公式”“函数四则运算求导法则”“复合函数求导法则”3个.4.【解析】选C.①洗锅盛水2分钟+④用锅把水烧开10分钟(同时②洗菜6分钟+③准备面条及佐料2分钟)+⑤煮面条和菜共3分钟=15分钟.5.【解析】选C.成品的工序为“粗加工-检验-精加工-检验-成品”或“粗加工-检验-返修加工-检验-精加工-检验-成品”,故必须经过的工序数是4或6.6.【解析】选B.要使电厂与四个村庄相连,则需四条线路;注意到最短的四条线路能使电厂与四个村庄相连,所以5+4+5.5+6=20.5(千米).买票候车检票上车.7.【解析】根据实际情况,这四步完成顺序应是:→→→买票候车检票上车答案：→→→8.【解析】由审查流程图知有3个判断框,即有3处审查可能不通过.答案：39.【思路点拨】分析结构图的逻辑关系即可求解.【解析】由结构图可知,主生产计划受用户订单与需求预测的影响.答案：用户订单需求预测10.【思路点拨】根据题中所给出的信息,按基本要素间的关系画出结构图.【解析】。
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(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高； (2)计算甲班的样本方差； (3)现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173 cm 的同学，求身高为 176 cm 的同学被抽中的概率． 解析：(1)由茎叶图可知：甲班身高集中 160 cm～179 cm 之间，而乙班身高集中于 170 cm～179 cm 之间．因此乙班平均身高高于甲班． (2)甲班的平均身高为 x ＝158＋162＋163＋168＋168＋ 10170＋171＋179＋179＋182 ＝170(cm)． 甲班的样本方差为 s2＝110[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168 －170)2＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝57.2(cm2)． (3)设身高为 176 cm 的同学被抽中的事件为 A.从乙班 10 名同学中抽中两名身高不低于 173 cm 的同学有：(181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)，(179,173)，(179,176)，(179,178)， (178,173)，(178,176)，(176,173)共 10 个基本事件，而事件 A 含有 4 个基本事件， ∴P(A)＝140＝25.
答案：45 三、解答题 9．从甲、乙两名学生中选拔一人参加射击比赛，对他们的射击水平进行了测试，两人 在相同条件下各射击 10 次，命中的环数如下： 甲：7,8,6,9,6,5,9,9,7,4. 乙：9,5,7,8,7,6,8,6,7,7. (1)分别计算甲、乙两人射击命中环数的极差、众数和中位数； (2)分别计算甲、乙两人射击命中环数的平均数、方差、标准差； (3)比较两人的成绩，然后决定选择哪一个人参赛． 解析：(1)对于甲：极差是 9－4＝5，众数是 9，中位数是 7； 对于乙：极差是 9－5＝4，众数是 7，中位数是 7. (2) x 甲＝7＋8＋6＋9＋6＋ 105＋9＋9＋7＋4＝7， s2甲＝110[(7－7)2＋(8－7)2＋(6－7)2＋(9－7)2＋(6－7)2＋(5－7)2＋(9－7)2＋(9－7)2＋(7－ 7)2＋(4－7)2]＝2.8， s 甲＝ s2甲＝ 2.8≈1.673； x 乙＝9＋5＋7＋8＋7＋ 106＋8＋6＋7＋7＝7， s2乙＝110[(9－7)2＋(5－7)2＋(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(6－7)2＋(7－ 7)2＋(7－7)2]＝1.2， s 乙＝ s2乙＝ 1.2≈1.095； (3)∵ x 甲＝ x 乙，s 甲>s 乙， ∴甲、乙两人的平均成绩相等，乙的成绩比甲的成绩稳定一些，从成绩的稳定性考虑， 可以选择乙参赛．
A．1 000,2 000
B．40,80
C．20,40
D．10,20
解析：低收入者的频率是 0.000 2×500＝0.1，故从低收入者中抽取 200×0.1＝20 人；
高收入者的频率是(0.000 3＋0.000 1)×500＝0.2，
故从高收入者中抽取 200×0.2＝40 人．故选 C.
答案：C
为 5,6，故中位数 me＝6＋2 5＝5.5，又众数 mo＝5，平均值 x ＝
3×2＋4×3＋5×10＋6×6＋7×3＋8×2＋9×2＋10×2 30
＝13709，
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∴mo<me< x .故选 D.
答案：D 二、填空题 6．一组数据是 19,20，x,43，已知这组数据的平均数是整数，且 24<x<28，则这组数据 的平均数及方差分别为________、________. 解析：∵14(19＋20＋x＋43)＝824＋x为整数，且 24<x<28， ∴x＝26， ∴这组数据的平均数 x ＝82＋4 26＝27， 方差 s2＝14[(19－27)2＋(20－27)2＋(26－27)2＋(43－27)2] ＝14(64＋49＋1＋256) ＝14×370 ＝92.5. 答案：27 92.5 7．(2014 年高考江苏卷)为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中 60 株树木的 底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80,130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽 测的 60 株树木中，有________株树木的底部周长小于 100 cm.
求下列频率分布表中所标字母的值，并补充完成频率分布直方图．
频率分布表：
分组 …
频数 …
频率 …
频率/组距 …
[180,185)
x
y
z
[185,190)
m
n
p
…
…
…
…
解析：由频率分布直方图可知前五组的频率和是(0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.06)×5 ＝0.82，第八组的频率是 0.008×5＝0.04，所以第六、七组的频率和是 1－0.82－0.04＝0.14， 所以第八组的人数为 50×0.04＝2，第六、七组的总人数为 50×0.14＝7.
解析：由图可知，甲的 5 次成绩分别是 88,89,90,91,92，易知甲的平均分为 90.乙的成绩 分别是 83,83,87,99，其中被污损的那次成绩为 90 到 99 中的某一个．设被污损的那次成绩为 x，由甲的平均成绩超过乙的平均成绩，得83＋83＋587＋x＋99<90.所以 x<98.又 x 是 90 到 99 的十个整数中的其中一个，其中有 8 个整数小于 98，所以 x<98 的概率为180＝45.
解析：由题意，在抽测的 60 株树木中，底部周长小于 100 cm 的株数为(0.015＋ 0.025)×10×60＝24.
答案：24 8.下面茎叶图是甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平 均成绩超过乙的平均成绩的概率是________．
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满两年的 10 000 人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如图所示)．为了分析其收
入与学历、职业、性别等方面的关系，要从这 10 000 人中再用分层抽样方法抽出 200 人作
进一步调查，其中月收入低于 1 500 元的称为低收入者，高于 3 000 元的称为高收入者，则
应在低收入者和高收入者中分别抽取的人数是( )
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10．(2015 年济南模拟)从某校高三年级 800 名男生中随机抽取 50 名学生测量其身高， 据测量，被测学生的身高全部在 155 cm 到 195 cm 之间．将测量结果按如下方式分成 8 组： 第一组[155,160)，第二组[160,165)，…，第八组[190,195]，下图是按上述分组得到的频率分 布直方图的一部分．已知第一组与第八组的人数相同，第七组与第六组的人数差恰好为第八 组与第七组的人数差．
由已知得 x＋m＝7，m－x＝2－m， 解得 x＝4，m＝3， 所以 y＝0.08，n＝0.06，z＝0.016，p＝0.012. 补充完成频率分布直方图如图所示．
B 组 高考题型专练
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1．(2014 年高考山东卷)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所 有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]， 将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组．如图是根据试验数据制 成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有 20 人，第三组中没有疗效的有 6 人，则第 三组中有疗效的人数为( )
解析：(1)由频率分布直方图知[200,250)小组的频率为 1－(0.002 4＋0.003 6＋0.006 0＋ 0.002 4＋0.001 2)×50＝0.22，于是 x＝05.202＝0.004 4.
(2)数据落在[100,250)内的频率是(0.003 6＋0.006 0＋0.004 4)×50＝0.7，所以月用电量在 [100,250)内的户数为 100×0.7＝70.
解析：利用等量关系：频率＝小长方形的面积＝小长方形的高×组距来求解，可得样本 数据落在[5,9)内的频率为 0.05×4＝0.2.
频数 求样本数据落在某个区间上的频数时，我们可以利用频率＝总数这个等量关系来求解， 已知样本容量为 200，所以所求频数为 200×0.2＝40. 答案：0.2 40 5．(2013 年高考湖北卷)从某小区抽取 100 户居民进行月用电量调查，发现其用电量都 在 50 至 350 度之间，频率分布直方图如图所示． (1)直方图中 x 的值为________； (2)在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为________．
D．18、20
解析：由茎叶图可知，甲的中位数为 19，乙的中位数为 13.故选 A.
答案：A
3．某同学使用计算器求 30 个数据的平均数时，错将其中一个数据 105 输入为 15，那
么由此求出的平均数与实际平均数的差为( )
A．3.5
B．－3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C．3
D．－0.5
解析：设这 30 个数据为 105，x1，x2，…，x29， ∴实际的平均数为310(105＋x1＋x2＋…＋x29)
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A 组 考点基础演练
一、选择题
1．(2014 年高考陕西卷)设样本数据 x1，x2，…，x10 的均值和方差分别为 1 和 4，若 yi
＝xi＋a(a 为非零常数，i＝1,2，…，10)，则 y1，y2，…，y10 的均值和方差分别为( )
A．1＋a,4
B．1＋a,4＋a