用样本的频率分布估计总体
用样本的频率分布估计总体的频率分布
用样本的频率分布估计总体的频率分布频率分布是一种用于描述数据集中频次分布情况的统计工具，它描述了每个数值或数值范围出现的频率。
在样本中，我们可以利用频率分布来估计总体的频率分布，从而了解总体的特征。
为了确切估计总体的频率分布，我们需要采取一定的统计方法，下面将介绍一种常用的方法，直方图。
一、直方图的构建构建频率分布的首要任务是将数据分为不同的组或区间。
一般来说，我们会根据数据的特点选择合适的组距，然后根据不同的组距将数据分组。
例如，假设我们有一组数据代表了一些班级学生的测试成绩，我们选择了组距为10，那么我们可以将数据分为以下几个组：然后，我们统计每个组内数据出现的次数，即频次，得到每个组的频次数。
二、计算频率频率是频次的一个重要衍生指标，它反映的是不同数据值或数据范围在总体中的比例。
频率的计算公式为：频率=频次/总样本量在直方图中，我们通常将频率表示为每个组的相对频率。
这样可以更好地反映出组与组之间的差异。
三、绘制直方图绘制直方图是一种直观地表现频率分布的方法。
在直方图上，x轴表示不同的组或区间，y轴表示频率。
我们可以用矩形的高度来表示每个组的频率，矩形的宽度表示组距。
通过绘制多个矩形，可以将频率分布更直观地展示出来。
在绘制直方图时，需要注意以下几点：1.组距应该选择合适，既不过小也不过大，以保证直方图的直观性和准确性。
2.直方图的高度应该符合频率的大小，即高度越高表示频率越大。
3.直方图的矩形之间应该没有间隙，以保证数据的完整性。
四、利用样本频率分布估计总体频率分布样本的频率分布可以提供总体频率分布的一种估计方法。
我们可以基于样本数据构建直方图，并计算每个组的频率。
然后，我们可以将样本频率分布与总体的频率分布进行比较。
如果两个分布形状相似并且没有明显的偏差，那么我们可以认为样本的频率分布可以很好地估计总体的频率分布。
当然，在使用样本频率分布进行总体频率分布估计时，还需要注意以下几点：1.样本的选取应该具有代表性，以避免样本偏差对估计结果的影响。
用样本的频率分布估计总体的频率分布
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ii.组距：各组数据左右两各端点之间的距离。 （3）分组：各组数据所在区间取左闭右开区间，最后一个 区间取闭区间。 （4）填表：统计各组数据频数、计算频率，将频数和频率 填在表格相应空格内。 2、例题 （1）讲与练P36 类型一 画样本的频率分布直方图 （例1） （2 ）讲与练P36 类型一 画样本的频率分布直方图 （变式训练1）
（2）将茎按由小到大的顺序排成一列，写在左侧或右侧； （3）将共茎的表示叶的数据按由小到大的顺序排成一行写 在茎的左侧。
3、注意 （1）对于重复出现的叶不能省略； （2）若有双叶则应对称，即左边的叶按由小到大的顺序排 列，则右边的叶则应按由大到小的顺序排列。 4、例题 （1）讲与练P37 类型三 茎叶图及其应用 （例3） （2）讲与练P37 类型三 茎叶图及其应用 （变式训练3） 四、课堂作业
三、频率分布直方图
1、概念：用直方图的形式来表示频率分布规律的方图叫频
率分布直方图
2、制作 （1）取一直角标架，将直角标架的横轴连续分成几段； （2）以各段为边做矩形，其中矩形的底表示组距，高表示
频率 组距
（3）在各矩形中的底和高所对应的轴相应位置标注相应数据。 3、意义
频率 （1）各矩形面积为频率与 组距
用样本的频率分布 估计总体的频率分布
一、基本概念
1、频数：将全部数据分成几组后，各组数据的个数叫这组数据的频数。
2、频率：各组数据的频数除以全部数据的商叫这组数据的频率。
二、频率分布表
1、画频率分布表的步骤 （1）求极差（极差是全部数据的最大值与最小值之差） （2）求组距和组数
极差 极差 极差 整数，则 组数 整数 ，则 组数 1 i.若 极差 ，若 组距 组距 组距 组距
2.2.1用样本的频率估计总体的分布
它能够精确地反映了总体在各个范围内取值的百分 比，它能给我们提供更加精细的信息.
总体密度曲线
频率 组距
月均用 水量/t
a
b
（图中阴影部分的面积，表示总体在 某个区间 (a, b) 内取值的百分比）。
总体密度曲线
总体密度曲线反映了总体在各个范围内取值的 百分比，精确地反映了总体的分布规律。是研究 总体分布的工具. 用样本分布直方图去估计相应的总体分布时， 一般样本容量越大，频率分布折线图就会无限接 近总体密度曲线，就越精确地反映了总体的分布 规律，即越精确地反映了总体在各个范围内取值 百分比。
2.2.1用样本的频率分布 估计总体分布(1)
我国是世界上严重缺水的国家之一， 城市缺水问题较为突出。
2000年全国主要城市中缺 水情况排在前10位的城市
探究:某市政府为了节约生活用水，计划在本 市试行居民生活用水定额管理，即确定一个 居民月用水量标准a , 用水量不超过a 的部分 按平价收费，超过a 的部分按议价收费。 ①如果希望大部分居民的日常生活不受影响， 那么标准a 定为多少比较合理呢？ ②为了较合理地确定这个标准，你认为需要做 哪些工作？
（2009 福建卷）一个容量 100 的样本，其数据的分组与各组的频数如下表 组别 频数
(0,10]
(20, 20] (20,30) (30, 40)
(40,50]
(50,60]
(60,70]
12
13
24
15
16
13
7
则样本数据落在 (10, 40) 上的频率为 A. 0.13 B. 0.39 C. 0.52 D. 0.64
频率
组距
小长方形的 面积总和=?
0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 月均用水量 /t 4.5
《用样本的频率分布估计总体分布》教学设计 (1)
《用样本的频率分布估计总体分布》教学设计教学目标：1 知识与能力目标：（1）.了解样本的频率分布与总体分布的关系，能用样本的频率分布去估计相应的总体分布。
（2）.在表示样本数据的过程中，学会列出频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图，体会它们各自的特点。
（3）.通过学生应用所学知识解决实际问题，进一步提高学生理论联系实际的能力。
2 情感目标：（1）渗透数形结合思想。
（2）结合教学内容培养学生学习数学的兴趣及“用数学”的意识，激励学生勇于自我创新。
（3）培养学生普遍联系、数学来源于实践又指导实践的辩证唯物主义观点及勇于探索的创新精神。
教学重点：通过实例体会分布的意义和作用，能做出样本的频率分布表、画频率分布直方图和频率折线图。
教学方法：以教师为主导，学生为主体，以能力发展为目标，强化学生的注意力及新旧知识的联系，通过教师讲授、学生尝试练习，调动学生的积极性，发挥学生的主体作用。
教学环节教学内容师生互动设计意图复习统计的基本思想方法是用样本估计总体，即通过从总体中抽取一个样本，根据样本的情况去估计总体。
前面我们学习了哪些抽样方法？问题:抽取样本后怎样用样本来估计总体呢？即用什么方法来处理得到的样本数据，来估计、推测总体的特征、特性？理论证明，可以用样本的频率分布估计总体的分布，用样本数字特征估计总体的数字特征。
本节我们学习用样本的频率分布估计总体的分布，教师提出问题，铺垫复习，学生思考、积极回答问题教师根据学生的回答、进一步提出问题，导入新课。
学生思考、讨论教学重难点新课前的复习即可加深对学过的知识的理解，又可为学习新知识埋下伏笔。
先设疑、激发学生的求知欲望、提高学生学习教学的兴趣让学生了解本节学生内容和学习的重难点,为学好本节做好知识和心理上的准备。
导入（1）为了了解中学生的身体发育情况，对某中学同年龄的60名女学生的身高进行了测量，结果如下（单位：厘米）167 154 159 166 169 159 156 166162 158 159 156 166 160 164 160 157 156 157 161 158 158153 158 164 158 163 158 153157 162 162 159 154 165 166157 151 146 151 158 160 165158 163 163 162 161 154 165162 162 159 157 159 149 164 168 159 153我们希望了解身高在哪个小范围内的学生多，在那个小范围内的学生少？（2）为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中抽取了10株苗，测得苗高如下（单位：厘米）甲：12 13 14 15 10 16 13 11 15 11乙：11 16 17 14 13 19 6 8 1016问：那种小麦的10株苗高比较整齐？频率分布直方图如果样本容量较大，很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息。
2.2.1用样本的频率分布估计总体分布课件人教新课标
4. 茎叶图的概念 茎是指 中间的一列数 ，叶就是从茎的旁边生长出 来的数．茎叶图可用来分析单组数据，也可以对两组数 据进行比较．茎叶图不仅能够保留原始数据，而且能够 展示数据的散布情况．
【常考题型】
列频率散布表、画频率散布直方图 [例 1] 考察某校高二年级男生的身高，随机抽取 40 名 高二男生，实测身高数据(单位：cm)如下： 171 163 163 166 166 168 168 160 168 165 171 169 167 169 151 168 170 160 168 174 165 168 174 159 167 156 157 164 169 180 176 157 162 161 158 164 163 163 167 161 (1)作出频率分布表； (2)画出频率分布直方图和频率分布折线图．
(2)频率分布直方图和频率分布折线图如图所示：
(3)样本数据不足 0 的频率为： 0．035＋0.055＋0.075＋0.2＝0.365.
频率散布直方图的应用
[例 2] (1)某班 50 名学生在一次百米跑 测试中，成绩全部介于 13 s 与 19 s 之间，将 测试结果按如下方式分成六组：第一组，成 绩大于等于 13 s 且小于 14 s；第二组，成绩 大于等于 14 s 且小于 15 s；…；第六组，成 绩大于等于 18 s 且小于等于 19 s，如图所示是按上述分组方法 得到的频率分布直方图．设成绩小于 17 s 的学生人数占全班 总人数的百分比为 x，成绩大于等于 15 s 且小于 17 s 的学生人 数为 y，则从频率分布直方图(如图所示)中分析出 x 和 y 分别 为( )
3．如图是一个班的语文成绩的茎叶图(单位：分)，则优秀率(90 分以上)是________，最低分是________.
用样本的频率分布估计总体分布教案
用样本的频率分布估计总体分布教案教案：用样本的频率分布估计总体分布一、教学目标：1.了解频率分布的概念和作用；2.学会使用频率分布来估计总体分布；3.掌握构建频率分布表的方法；4.能够利用频率分布表对总体进行估计。
二、教学内容：1.频率分布的概念和作用2.构建频率分布表的方法3.利用频率分布表对总体进行估计三、教学过程：一、频率分布的概念和作用（10分钟）1.频率分布是指对一组数据中各个数值出现的次数进行统计，从而得到数值的分布情况。
2.频率分布的作用是可以帮助我们了解数据的分布规律，从而对总体进行估计。
二、构建频率分布表的方法（30分钟）1.确定数据的分组区间：首先需要确定分组的宽度，即把数据分为若干个区间。
常用的方法有等宽分组和等频分组。
2.计算各个分组的频数：统计每个区间内数据的个数。
3.计算各个分组的频率：将各个分组的频数除以总样本数量，得到各个分组的频率。
4.制作频率分布表：将各个分组的上界、下界、频数和频率列成表格。
三、利用频率分布表对总体进行估计（40分钟）1.利用频率分布表进行估计的方法有两种：直接估计和间接估计。
2.直接估计是通过频率分布表直接读取各个分组的频率来估计总体分布。
3.间接估计是通过频率分布表的图形化表示来估计总体分布，常用的图形有直方图和折线图。
4.对于直方图，可以通过观察分布的形状和峰值来估计总体的分布情况。
5.对于折线图，可以通过观察分布曲线的形状来估计总体的分布情况。
四、练习和小结（20分钟）1.让学生根据给定的数据，完成频率分布表的构建。
2.让学生根据给定的频率分布表，进行总体分布的估计。
3.对学生进行小结和概念回顾，检查他们对于频率分布和总体估计的理解程度。
四、教学反思：通过本节课的教学，学生能够了解频率分布的概念和作用，掌握构建频率分布表的方法，以及利用频率分布表对总体进行估计的方法。
在教学过程中，可以利用实际案例和练习来加深学生对于频率分布和总体估计的理解。
课件6：2.2.1 用样本的频率分布估计总体的分布
[思路探索] 根据画频率分布直方图的步骤先画频率分布直方图，再 画折线图．
解 (1)频率分布表如下：
分组
频数 频率
[10.75，10.85)
3Байду номын сангаас
0.03
[10.85，10.95)
9
0.09
[10.95，11.05) [11.05，11.15) [11.15，11.25) [11.25，11.35) [11.35，11.45) [11.45，11.55) [11.55，11.65]
题型二 频率的分布直方图的应用 例2.(1)为了帮助班上的两名贫困生解决经济困难，班上的20名同学捐出 了自己的零花钱，他们捐款数(单位：元)如下：19，20，25，30，24， 23，25，29，27，27，28，28，26，27，21，30，20，19，22，20.班主 任老师准备将这组数据制成频率分布直方图，以表彰他们的爱心．制图 时先计算最大值与最小值的差是________．若取组距为2，则应分成 ________组；若第一组的起点定为18.5，则在[26.5，28.5)内的频数为 ________． (2)将容量为100的某个样本数据拆分为10组，若前七组的频率之和为0.79， 而剩下的三组中频率依次相差0.05，则剩下的三组中频率最大的一组的 频率为________．
(4)数据小于11.20的可能性即数据小于11.20的频率，设为x， 则(x－0.41)÷(11.20－11.15) ＝(0.67－0.41)÷(11.25－11.15)， 所以x－0.41＝0.13，即x＝0.54， 从而估计数据小于11.20的可能性是54%.
变式3.美国历届总统中，就任时年纪最小的是罗斯福，他于1901年 就任，当时年仅42岁；就任时年纪最大的是里根，他于1981年就 任，当时69岁．下面按时间顺序(从1789年的华盛顿到2009年的奥 巴马，共44任)给出了历届美国总统就任时的年龄： 57，61，57，57，58，57，61，54，68，51，49，64，50，48， 65，52，56，46，54，49，51，47，55，55，54，42，51，56， 55，51，54，51，60，62，43，55，56，61，52，69，64，46， 54，48 (1)将数据进行适当的分组，并画出相应的频率分布直方图和频率 分布折线图． (2)用自己的语言描述一下历届美国总统就任时年龄的分布情况．
2.2.1用样本的频率分布估计总体分布
总体密度曲线
反映了总体在各个范围内取值的百分比,精确地 反映了总体的分布规律。是研究总体分布的工具. 用样本分布直方图去估计相应的总体分布时， 一般样本容量越大，频率分布直方图就会无限接 近总体密度曲线，就越精确地反映了总体的分布 规律，即越精确地反映了总体在各个范围内取值 百分比。
定额管理，即确定一个居民月用水量标准a， 用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的 部分按议价收费.那么①标准a定为多少比较合 理呢？ ②为了较合理地确定这个标准，你认 为需要做哪些工作？
通过抽样，我们获得了100位居民某年的月平均 用 水量(单位： t) ，如下表：
思考：由上表，大家可以得到什么信息？
2019/4/10
二、画频率分布直方图的步骤
1.求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)
4.3 - 0.2 = 4.1
极差 4.1 2.决定组距与组数： = 组距= = 0.5 8 组数
当数据在100个以内时，常分8-12组.
3.将数据分组
［0，0.5 )，［0.5，1 )，…，［4，4.5］
4.列频率分布表
月均用水量 /t 4.5
归纳： 作频率分布直方图的方法为:
把横轴分成若干段，每一段对应一个组 的组距，以此线段为底作矩形，高等于 该组的频率/组距, 这样得到一系列矩形, 每一个矩形的面积恰好是该组上的频率, 这些矩形构成了频率分布直方图.
三、频率分布直方图再认识 1、小长方形
频率
的面积总和=?
频率 组距 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
O
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月均用水量/t
2019/4/10
当总体中的个体数很多时（如抽样调查全国城市 居民月均用水量） ，随着样本容量的增加，作图时 所分的组数增多，组距减少，你能想象出相应的 频率分布折线图会发生什么变化吗？
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温故知新
知识形成
课堂练习
课堂小结
课后巩固
频率分布直方图
频率分布折线图
总体密度曲线
优点：很清晰的看出数据的变化态势 缺点：原始数据损失
如何解决？
温故知新
知识形成
课堂练习
课堂小结
课后巩固 103 140 121 117 138
四、茎叶图
116 93 117 123 118 143 117 135 96 127 80 138 108 128 118 100 91 124 135 71 117 109 91 87 110 93 103 136 117 115 132 90 127 120 133 118 90 131 125 84 145 126 94 130 123
组数：当数据在100个以内时，按数据多少常分5-12组 组距：指每个小组的两个端点的距离
极差 组距 =14.8 ≈15 组数
极差为74，分为5组
温故知新
知识形成
课堂练习
课堂小结
课后巩固
一、频率分布直方图的画法： 3.将数据分组 起点：70.5 共5组，每组组距15 [70.5， 85.5） [85.5， 100.5） [100.5，115.5） [115.5，130.5） [130.5，145.5] 思考： 这样安排有什么好处？
温故知新
知识形成
课堂练习
课堂小结
课后巩固
1. 一个容量为100的样本,数据的分组和各组的相关信息 ， 如下表,试完成表中每一行的两个空格.
分组 [12,15) [15,18) [18,21) [21,24) [24,27) [27,30) [30,33) [33,36] 合计
频数 6 8 16 21 18 16 10 5 100
0.004 0.06 0.013 0.008 0.020 0.012 0.040 0.015 频率/组距 0.027
0.022
70.5
85.5
100.5
115.5 130.5 145.5 成绩
温故知新
知识形成
课堂练习
课堂小结
课后巩固
一、频率分布直方图的分析：
成绩 纵坐标：____________ 频率/组距 ①横坐标：________; 区间内的频率 ②小长方形的面积__________________ 1 小长方形的面积之和为________________ 区间内的频率之和 ③某几个长方形的面积之和意义___________________
温故知新
知识形成
课堂练习
课堂小结
课后巩固
一、频率分布直方图的画法： 4. 列频率分布表
频数 3 [70.5， 85.5） [85.5，100.5） 10 分组 频率 0.06 0.20 0.12 0.40 0.22 1.00 频率/组距 0.004 0.013 0.008 0.027 0.015 0.067
温故知新
知识形成
课堂练习
课堂小结
课后巩固
二、频率分布折线图
0.028
0.024 0.020 0.016 0.012 0.008 0.004 频率/组距
0
70.5
85.5
100.5
115.5 130.5 145.5 成绩
连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点, 得到频率分布折线图 样本容量越大，这种估计越精确
★
温故知新
知识形成
课堂练习
课堂小结
课后巩固
5、在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比， 作品上交时间为5月1日至30日，评委会把同学们上交作品 的件数按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图（如图 所示），已知从左到右各长方形高的比为2:3:4:6:4:1， 第三组的频数为12，请解答下列问题： （1）本次活动共有多少件作品参加评比？ （2）哪组上交的作品数量最多？有多少件？ （3）经过评比，第四组和第六组分别有10件、2件作品获 奖，问这两组哪组获奖率高？ 4 （ 1 ） 12 72 2 3 4 6 41 6 （ 2 ）第四组： 72 18 2 3 4 6 41 10 5 2 6 （ 3 ）第四组： 第六组： 18 9 3 9
温故知新
知识形成
课堂练习
课堂小结
课后巩固
一、频率分布直方图 第一步: 求极差 d=Max-Min 极差 组距 第二步: 决定组距与组数: 组数 第三步: 数据分组 频数 频率 第四步: 列频率分布表. 样本容量 第五步: 画频率分布直方图
二、频率分布折线图
三、总体密度曲线图 四、茎叶图
长方形上边中点连线 样本容量无限增大，组距无限缩小
平均数 中位数 样本的数字特征估计总体的数字特征 众数 2.2.2节 方差、标准差
样本的频率分布估计总体的分布
116 93 117 123 118 143 117 135 96 127 80 138 108 128 118 100 91 124 135 71 117 109 91 87 110 93 103 136 117 115 132 90 127 120 133 118 90 131 125 84 145 126 94 130 123 103 140 121 117 138
频率
0.06 0.08 0.16
0.16 0.18 0.16 0.10 0.05 1.00
频率累计 0.06 0.14 0.30 0.51
0.69 0.85
0.95 1.00
温故知新
知识形成
课堂练习
课堂小结
课后巩固
2.(2006年全国卷II)一个社会调查机构就某地居民的月收入调 查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图 (如下图).为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的 关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一 步调查，则在[2500，3000](元)月收入段应抽出 _____人. 25
[100.5, 115.5）
6
[115.5 , 130.5） 20 11 [130.5 , 145.5]
总计
50
频数 频率 样本容量
温故知新
知识形成
课堂练习
课堂小结
课后巩固
一、频率Байду номын сангаас布直方图的画法：
5. 画频率分布直方图
0.028 0.024 0.020 0.016 0.012 0.008 0.004 0
人教出版社必修三第二章统计初步2.2节
用样本估计总体
山东省实验中学西校区数学组 王 虎
收集 整理 分析
推断 决策
温故知新
知识形成
课堂练习
课堂小结
课后巩固
根据所学知识思考：
1、我们学过的抽样方法有哪些？他们的共同特点是什么？
简单随机抽样 每个个体被抽到的可能性相同 系统抽样 分层抽样 2、初中学过的分析数据方法有哪些？ 饼状图 样本的频率分布估计总体的分布 柱状图 2.2.1节 折线图
36
众 数
中位数
无 27.5
★
温故知新
知识形成
课堂练习
课堂小结
课后巩固
课堂小结：
知识上：
数据的收集 数据的整理
方法上： 全方位的处理信息
温故知新
知识形成
课堂练习
课堂小结
课后巩固
基础作业： 同步练习册上相应练习 探索性作业： 1、分别研究一下各种图估计总体分布的优缺点 2、你还知道其他类型的图吗？
温故知新
知识形成
频率/组距
课堂练习
课堂小结
课后巩固
三、总体密度曲线
0.028
0.024
0.020 0.016 0.012 0.008 0.004 0 70.5 85.5 100.5 115.5 130.5 145.5 成绩
当样本容量无限增大，组距无限缩小，那么频 率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线— —总体密度曲线
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一、频率分布直方图的画法： 1.求极差 （最大值与最小值的差） 反映一组数据变化的幅度 d=Max-Min=145-71=74 思考：怎么用算法求出一组数 的最大值和最小值？
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一、频率分布直方图的画法： 2.决定组距与组数
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3.将某班50名学生在一次百米测试 结果按如下方式分成六组： 第一组，[13,14);第二组，[14,15); ……第六组， [18,19]． 下图是按上述分组方法得到的频率 分布直方图． 设成绩[13,17) 的学生人数占全班总 人数的百分比为x， 成绩[15,17)的学生人数为y， 则x=_______,y=________ 0.9 35
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4.下列是甲乙两位球员的得分情况的茎叶图，据此回答问题 （1）甲乙球员各选取了多少场比赛的成绩进行统计？ （2）甲乙球员的最高分、最低分、众数，中位数分别是多少？ （3）哪位球员的成绩更稳定？ 甲 个 数 12 51 8 最高分 最低分 乙 13 50
12 31、36
87 91 103 116 123 132 145
91 93 93 94 96 108 109 117 117 117 117 117 118 118 118 123 124 125 126 127 127 128 133 135 135 136 138 138
优点： （1）原始数据无损失 （2）方便随时记录
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知识形成 71 80 90 100 110 120 130 140
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