圆柱圆锥圆台和球
课件7：1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球
台
成的 圆面
周而形成的
曲面 所围成 (4)侧面：不垂直于轴的边旋转而
成的曲面
的几何体叫作
圆台
(5)母线：无论转到什么位
置，这条边都叫作侧面的母线
图形
以半圆的直径所在直线为旋转轴，_半__球__面_
旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称
球 球．半圆的圆心叫做球的_球__心__，半圆的
半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的 球常用球心字母进行
4x cm，作圆锥的轴截面如图所示：
在 Rt△SOA 中，O′A′∥OA，∴SA′∶SA＝O′A′∶OA.
即(y－10)∶y＝x∶4x，
解得：y＝1313，∴母线长为
1 133
cm.
考点三 简单的组合体问题 [例3] 观察下列几何体，分析它们是由哪些基本几何体组成的， 并说出主要结构特征．
[解] 图①是由长方体及四棱锥组合而成的，图②是由球、棱柱、 棱台组合而成的．
SA＝coSsO30°＝
2 ＝4 3
3
3(cm)．
2
∴S△ASB＝21SO·2AO＝4 3 3(cm2)．
∴圆锥的母线长为43 3 cm，圆锥的轴截面的面积为43 3 cm2.
[通一类]
2．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径之比为1∶4，
母线长是10 cm，求圆锥的母线长．
[解] 设圆锥的母线长为 y cm，圆台上、下底面半径分别为 x cm，
(4)侧面： 不垂直于轴 的边旋转而
成的曲面
的几何体叫做圆
锥
(5)母线：无论转到什么位 置， 这条边都叫做侧面的母线
图形
名称 结构特征
相关概念
以直角梯形 (1)轴：旋转轴叫做所ห้องสมุดไป่ตู้成的几何
圆柱、圆锥、圆台和球
似三角形的性质得
3 r 3 l 4r
解得l=9.
所以，圆台的母线长为9cm.
例2. 我国首都北京靠近北纬40度。
求北纬40度纬线的长度约为多少千米 （地球半径约为6370千米）?
解：如图，设A是北纬40°圈上一点，AK 是它的半径，所以 OK⊥AK，
设c是北纬40°的纬线长， 因为∠OAK= ∠AOB = 40°，
3．表示方法：用表示它的轴的字母表示， 如圆柱OO’ .
4．有关性质： （1）用平行于底面的平面去截，截面都 是圆。 （2）圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是 全等的矩形、全等的等腰三角形、全等的 等腰梯形；
5.侧面展开图：
（1）圆柱的侧面展开图是矩形。 （2）圆锥的侧面展开图是扇形. （3）圆台的侧面展开图是扇环.
所以 c=2π·AK=2π·OA·cos∠OAK =2π·OA·cos40° ≈2×3.1416×6370×0.7660 ≈3.066×104(km)，
即北纬40°的纬线长约为3.066×104km.
练习： 1、圆柱的轴截面是正方形，它的面
h
积为9 ,求圆柱的高与底面的周长。
(h=3， c=2πr=3π)
即O到截面圆心O1的距离；
（4）大圆与小圆：球面被经过球心的平面截 得的圆叫做球的大圆， 被不经过球心的平面截得的圆叫做球 的
小圆；
5．球面距离：在球面
上，两点之间的最短距
离就是经过这两点的大
A
圆在这两点间的一段劣
弧的长度。这个弧长叫 B
做两点的球面距离。
O
三．旋转体的概念
由一个平面图形绕着一条直线旋转产生的 曲面所围成的几何体叫做旋转体，这条直线 叫做旋转体的轴。比如常见的旋转体有圆柱、 圆锥、圆台和球.
1. 1.2 圆柱,圆锥.圆台和球
1．1.2圆柱、圆锥、圆台和球在我们生活的世界中，从土木建筑到家居装潢，从机械设计到商品包装，从航空测绘到零件视图……无不存在着形状各异的物体，它们蕴含着形状各异的圆柱、圆锥、圆台和球等空间图形．每种空间图形各自具有不同的几何结构特征，与我们的生活息息相关，因此对空间图形的研究和应用非常重要．1．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面，过轴的截面是全等矩形．2．以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥．旋转轴叫做圆锥的轴；垂直于轴的直角边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面；斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面；斜边叫做圆锥的母线，过轴的截面是全等的等腰三角形．3．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台．原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面．4．以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球．半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径．5．由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体．6．柱体：棱柱、圆柱；锥体：棱锥、圆锥；台体：棱台、圆台；球体是七种最基本的简单几何体，日常生活中见到的各种几何体则是由它们所组合成的简单组合体．7．由一些简单的几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成．8．简单组合体包括：多面体与多面体的组合、多面体与旋转体的组合、旋转体与旋转体的组合；在画简单组合体时，要把遮住的部分用虚线来表示或不画．,圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征圆柱的结构特征：①两底面是全等的圆面；②所有母线长相等且互相平行；③过圆柱的轴截面都是全等矩形；④圆柱沿着它的一条母线剪开后的侧面展开图是矩形．圆锥的结构特征：①平行于底面的截面都是相似的圆；②所有母线长相等且相交于一点；③过圆锥的轴截面都是全等的等腰三角形；④圆锥沿它的一条母线剪开的侧面展开图是扇形．圆台的结构特征：①平行于底面的截面都是相似的圆；②所有母线长相等且延长线相交于一点；③过圆台的轴截面都是全等的等腰梯形；④圆台沿它的一条母线剪开后的侧面展开圆是扇环．球的结构特征：①过球心的截面都是全等的圆；②球的直径垂直截面，所截得的都是相似的圆．理解和掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征，要学会从直观感受空间旋转体的形成过程，从实物中概括出圆柱、圆锥、圆台和球的定义，以定义展开，多进行类比、归纳和整理，通过比较四者间的异同点加强记忆．圆柱、圆锥、圆台的截面包括平行于底面的截面和过轴的截面(简称轴截面)两类，球的截面有大圆和小圆之分，谨记其截面的形状是关键．基础巩固知识点一圆柱、圆锥和圆台的结构特征1．在几何体：①圆柱；②圆锥；③圆台；④球中，轴截面一定是圆面的有________(填序号)．解析：根据结构特征判断．2．下列命题中说法错误的是________(填序号)．①以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；②以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体叫做圆锥；③以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体叫做圆锥；④以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，其余各边旋转形成的曲面围成的几何体叫做圆锥．解析：根据圆锥定义知②中应改为以一条直角边旋转．答案：②3．以下命题正确的是________(填序号)．①通过圆台侧面上一点有无数条母线；②夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱；③圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台；④棱锥截去一个小棱锥后剩余部分是棱台．解析：根据定义判定③正确；①中只有一条母线；②中两个平行截面应与底面平行；④中小棱锥底面应与大棱锥底面平行．答案：③知识点二球的结构特征4．半圆绕着直径旋转一周所得的几何图形是________．解析：注意球与球面、半圆与半圆面的区别．5．已知半径为5的球的两个平行截面的周长分别为6π和8π，则两平行平面间的距离为________．解析：由截面的周长分别为6π和8π得两个截面半径分别为3和4，又球的半径为5，故圆心到两个截面的距离分别为4和3.故当两个截面在球心同一侧时，平行平面间的距离为4－3＝1，当两个截面在球心两侧时，平行平面间的距离为4＋3＝7.答案：1或7知识点三组合体的有关问题6．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如下图所示，则截面的可能图形是________(填序号)．解析：当截面平行于正方体的一个侧面时得③，当截面过正方体对角线时得②，当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得①，但无论如何都不能得出④.答案：①②③7．如下图，一个圆环面绕着过圆心的直线l旋转180°，想象并说出它形成的几何体的结构特征．试着说出它的名称为________．解析：旋转形成的几何体是由两个同心球构成的，即大球中挖去一个同心的小球．答案：空心球8．描述下列几何体的结构特征．解析：(1)两个圆台组合而成的组合体；(2)圆台挖去一个等高圆锥而成的组合体；(3)圆锥挖去一个等高三棱锥而成的组合体．能力升级综合点一空间旋转体的组合与分割9．作一个圆柱的内接正三棱柱，又作这个三棱柱的内切圆柱，那么两个圆柱的底面半径之比为________．解析：两个圆柱的底面半径之比即为正三角形的外接圆与内切圆半径之比．答案：2∶1综合点二 旋转体中的简单计算10．用平行于圆锥的底面的平面截圆锥，所得截面面积与底面面积的比是1：3，这个截面把圆锥的母线分为两段的比是________．解析：面积比为相似比的平方．答案：1(3－1)11．如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是________．解析：设底面半径为r ，母线为l ，则2πr ＝πl ，∴l ＝2r .答案：60°综合点三 相切球的空间想象12．把四个半径为R 的小球放在桌面上，使下层三个，上层一个，两两相切，求上层小球最高处离桌面的距离．解析：如右图，由于四个半径为R 的球两两相切，故四个球的球心构成一个棱长为2R 的正四面体O 4O 1O 2O 3，因为底面等边三角形O 1O 2O 3的高为32×2R ，∴该棱锥的高OO 4＝（2R ）2－⎝ ⎛⎭⎪⎫233R 2＝263R .∴上层小球最高处离桌面的距离d ＝263R ＋R ＋R ＝⎝⎛⎭⎪⎫2＋263R .。
旋转体的结构特征(圆柱、圆锥、圆台、球)(课堂PPT)
AA’’
叫做圆柱的侧面。
母
（4）无论旋转到什么位置,不垂直于轴 线
的边都叫做圆柱的母线。
O’ B’
A
O
B
矩 形
轴 侧 面 底面
3
2.圆柱的表示：用表示它的轴的字母表示，如圆柱OO1。
3.圆柱与棱柱统称为柱体。
O
柱
体
棱 柱 圆 柱
侧
面
O1
母 线
轴
底面
4
二、圆锥的结构特征 1.定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，
1.1.6旋转体的结构特征
——圆柱、圆锥、圆台、球
1
旋转一周。。。
矩形
直角三角形
直角梯形
半圆
圆柱
圆锥
圆台
球
2
一、圆柱的结构特征
圆柱O定1义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，
其余三边旋转形成的曲面所围成的旋转体叫做圆柱。
（1）旋转轴叫做圆柱的轴。
（2） 垂直于轴的边旋转而成的圆面叫
O
做圆柱的底面。
（3）平行于轴的边旋转而成的曲面
B
O
E
O
16 C
题型一、旋转体的概念
例 下列叙述中正确的是____③____．(填序号)
①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥； ②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台； ③圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台； ④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．
[解题过程] ①中以直角三角形的直角边为轴旋 转所得的旋转体是圆锥，以斜边为轴旋转所得的旋 转体是两个圆锥的组合体．故①不正确． ②中以直角梯形中垂直于底边的腰为轴旋转所得 的旋转体是圆台，以不垂直底边的腰为轴旋转所得 的旋转体是圆柱和圆锥的组合体，故②不正确． ③正确．
圆柱、圆锥、圆台、圆
矩形
O
(3)平行于轴的边旋转而成的 曲面叫做圆柱的侧面. (4)无论旋转到什么位置,不垂直 于轴的边都叫做圆柱的母线.
A’
O
B’
A
O1
B
侧面 轴
母线 底面
2、圆柱的表示法：用表示它的轴的字母 表示，如圆柱OO1.
二、 圆锥的结构特征:
S
S
直角三角形
O A
1、定义:以直角三角形 的一条直角边所在直线 为旋转轴，其余两边旋 转而成的面所围成的旋 转体叫做圆锥.
柱、锥、台体的关系 棱柱、棱锥、棱台之间有什么关系？圆柱、圆锥、 圆台之间呢？柱、锥、台体之间有什么关系？
上底扩大 上底缩小
柱
台
锥
体
上底扩大
体
上底缩小
体
旋转体
例1 将下列平面图形绕直线AB旋转一周， 所得的几何体分别是什么？
B B B A 图3
A
A 图1
图2
BAC 45 例2 如图，AB为圆弧BC所在圆的直径， . 将这个平面图形绕直线AB旋转一周，得到一个组 合体，试说明这个组合体的结构特征.
线是圆柱的母线．
（
）
（2）圆台所有的轴截面是全等的等腰梯形．（ ）
（3）与圆锥的轴平行的截面是等腰三角形．（ ）
多面体
旋转体
简单几何体
旋转体 多面体
球
圆 柱
圆 锥
圆 台
棱 柱
棱 锥
棱 台
几何体的分类
柱体
锥体
台体
球
简单几何体的结构特征
柱体 棱柱 圆柱
锥体
台体 棱台 圆台
球
棱锥 圆锥
台体与锥体的关系 圆台和棱台统称为台体．它们是由平行与底面的 平面截锥体，得到的底面和截面之间的部分．
圆柱圆锥圆台球的表面积和体积
圆柱圆锥圆台球的表面积和体积圆柱、圆锥、圆台、球是我们数学中经常遇到的几何图形，它们的表面积和体积也是我们需要掌握的基本概念。
下面我们来分别介绍它们的表面积和体积。
一、圆柱圆柱是由一个圆形和一个平行于圆底的矩形组成的几何体。
它的表面积包括圆底面积、侧面积和顶面积三部分。
其中，圆底面积为πr²，侧面积为2πrh，顶面积同圆底面积为πr²。
因此，圆柱的表面积为2πr²+2πrh。
圆柱的体积为底面积乘以高，即V=πr²h。
二、圆锥圆锥是由一个圆锥形底面和一个顶点连通而成的几何体。
它的表面积包括锥底面积、侧面积和母线长度三部分。
其中，锥底面积为πr²，母线长度为l=√(h²+r²)，侧面积为πrl。
因此，圆锥的表面积为πr²+πrl。
圆锥的体积为底面积乘以高再除以3，即V=πr²h/3。
三、圆台圆台是由一个圆形底面和一个上方与底面平行的圆环面连通而成的几何体。
它的表面积包括圆底面积、圆环侧面积和上底面积三部分。
其中，圆底面积为πr₁²，上底面积为πr₂²，圆环侧面积为π(r₁+r₂)l，其中l为斜高。
因此，圆台的表面积为πr₁²+πr₂²+π(r₁+r₂)l。
圆台的体积为底面积乘以高再除以3，即V=(πr₁²+πr₂²+πr₁r₂)h/3。
四、球球是由一个圆形转动一周形成的几何体，它的表面积和体积是所有几何体中最容易计算的。
球的表面积为4πr²，球的体积为4/3πr³。
圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积都是由其底面积和高或半径计算得出的。
通过学习和掌握这些几何体的公式，我们可以更好地理解和运用它们在实际生活中的应用。
1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球
组合体
简单组合体
日常生活中我们常用到的日用品，比如：消毒液、 暖瓶、洗洁精等的主要几何结构特征是什么？ 由柱、锥、台、球组成了一些简单的组合体．认 识它们的结构特征要注意整体与部分的关系．
圆柱
圆台
圆柱
简单组合体
走在街上会看到一些物体，它们的主要几何结构特 征是什么？
简单组合体
一些螺母、带盖螺母又是有什么主要的几何结构特 征呢？
90° 60° 66.5°北极圈
40°
20° 30° 0° 20° 40° 60° 90° 60° 90° 120° 150° 赤道 23.5° 南回归线 23.5° 北回归线
南极圈 66.5°
P地的纬度就是经过 P点的球半径和赤道 平面所成的线面角 ∠POA的度数
北极
G
r R
P
O
A
南极
球面离
简单组合体
蒙古大草原上遍布蒙古包，那么蒙古包的主要几 何结构特征是什么？
简单组合体
居民的住宅又有什么主要几何结构特征？
简单组合体
下图是著名的中央电视塔和天坛，你能说说它们的 主要几何结构特征吗？
你能从旋转体的概念说说它们是由什么图形旋转而 成的吗？
旋转体
你能想象这条曲线绕轴旋转而成的几何图形吗？
O S
O
2、表示：如圆锥SO。
圆台
O1 O
用一个平行于圆锥底面的平面去截 圆锥,底面与截面之间的部分是圆台.
思考：圆柱、圆锥和圆台都是旋转体，当 底面发生变化时，它们能否互相转化？
上底扩大 上底缩小
思考：圆柱、圆锥、圆台过轴的截面分 别是什么图形？
例1. 用一个平行圆锥底面的平面截这个 圆 锥，截得圆台上下底面半径的比是1：4，截 去的圆锥的母线长是3cm,求圆台的母线长。
圆柱、圆锥、圆台和球
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单： (1)圆柱、圆锥、圆台的结构特征. (2)球的结构特征. (3)复杂空间图形的结构特征. 2.方法归纳：分类讨论、转化与化归. 3.常见误区：同一平面图形以不同的轴旋转形成的旋转体一般是不 同的.
4 课时对点练
PART FOUR
基础巩固
√B.圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都
可以构成直角三角形 C.在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线
√D.圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的
解析 由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知BD正确，AC错误.
二、复杂的空间图形的结构特征
例2 请描述如图所示的空间图形是如何形成的.
知识点二 球
球
定义
相关概念
图形及表示
半圆绕着它的直径所在 的直线旋转一周所形成 球心：半圆的 圆心， 球 的曲面叫作球面，球面 半径：半圆的 半径， 围成的空间图形叫作球 直径：半圆的_直__径__
如图可记作：球O 体，简称球
知识点三 旋转面与旋转体
一条平面曲线绕它所在平面内的 一条定直线 旋转所形成的曲面叫作旋 转面，封闭的旋转面围成的空间图形称为 旋转体 .圆柱、圆锥、圆台和 球都是特殊的旋转体.
反思 感悟
(1)判断简单旋转体结构特征的方法 ①明确由哪个平面图形旋转而成； ②明确旋转轴是哪条直线. (2)简单旋转体的轴截面及其应用 ①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋 转体结构特征的关键量； ②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图 形的转化思想.
跟踪训练1 (多选)下列说法，正确的是 A.圆柱的母线与它的轴可以不平行
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课题：圆柱、圆锥、圆台和球
制作人：马中明审核:高一数学组时间：2012-11-23
一．学习目标
（1）理解圆柱、圆锥、圆台、球有关概念及其形成过程，理解球面距离的概念。
（2）通过对圆柱、圆锥、圆台、球的研究培养空间想象力及知识的自我生成和发展能力。
（3）通过观察实物模型或观察电脑演示圆柱、圆锥、圆台、球的生成过程，体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学习兴趣．
二．学习重点：圆柱、圆锥、圆台、球的概念的生成.
三．学习难点：母线及其相关性质的理解和简单应用.
四、学习过程
【探究任务一】
1、通过你的认真预习，你发现了圆柱、圆锥、圆台以及球在生成规律上有什么区别于棱柱、棱锥、棱台的特点？
2、把矩形、直角三角形、直角梯形沿任意边所在直线旋转一周能否得到圆柱、圆锥、圆台？
3、能否从圆柱、圆锥、圆台以及球的生成规律上，找出它们的共同特点，分
别给他下一个定义呢？
4、由棱锥截去一个小棱锥可以得到棱台，由圆锥经过怎样的变化可得到圆台，
圆台能否补成圆锥？
5、对照图形说出圆柱、圆锥、圆台以及球的基本元素。
【练习】
1．判断下列几何体是否是圆柱、圆锥、圆台
（1）
【探究任务二】
1．用垂直于圆柱的轴的一个平面去截一个圆柱，得到的截面是______,它和圆柱的底面______。
圆锥和圆台呢？
2．在用任意的平面截圆柱所得的截面中，哪一类包含了圆柱的高、母线、底面圆的直径等特征元素？画出这一截面图形并指明各条边代表了圆柱的哪些元素。
3．圆锥、圆台的轴截面是什么图形？画出这一截面图形并指明各条边分别代表了圆锥，圆台的哪些元素。
4、【知识运用】
例题用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是1：4，截去的圆锥的母线长是3cm，求圆台的母线长。
【探究任务三】
1．任意一个平面截球所得的图形是，任意一个平面截球面所得的图形是。
【知识运用】
例题球半径为25cm，球心到截面的距离为24cm，求此截面面积．
【变式练习】
我国首都靠近北纬40 纬线，求北纬40 纬线的长度等于多少km？（地球半径大约为6370km）
2、什么是球的大圆？什么是球的小圆？地球上的经线和纬线中哪些是球的大圆？哪些是小圆？
【课堂检测】
1．一个圆台的上下底面面积分别为1cm 2、49cm 2，一个平行于底面的截面面积为25cm 2，则这个截面与上下底面的距离之比为（ ）
A. 2：1
B. 3：1 1:3.1:2.D C
2．一个等边圆柱（底面直径等于高）的轴截面面积是S ，则它的一个底面面积是（ ） A.
2S π B. 4
S π C. S D. S π 3.设球的半径为R ，则过球面上任意两点的截面圆中，最大面积是 。
4.过球的半径的中点，作一个垂直于这条半径的截面，则这截面圆的半径是球半径的 。
5．已知圆台的轴与母线所在直线的夹角为45°，若上底面的半径为1，高为1，则圆台的下底面半径为 。
6．若圆锥的高为12，底面半径为5，则它的母线长为
7.已知半径为5的球的两个平行截面的周长分别是ππ86和，求这两个平行截面的距离。
8. 球O 直径为4,,P Q 为球面上的两点且32=PQ ，则,P Q 两点的球面距离
_______。