《三维设计》高三数学 第二单元 基本初等函数(I)和导数15.导数的应用课时限时检测
《三维设计》高三数学 第二单元 基本初等函数(i)和导数4.函数及其表示课时限时检测.doc
(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．已知a 、b 为实数，集合M ＝{b a，1}，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1解析：a ＝1，b ＝0，∴a ＋b ＝1. 答案：C2．下列各组函数中表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝x 与g (x )＝(x )2B ．f (x )＝|x |与g (x )＝3x 3C ．f (x )＝x |x |与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 x ＞－x 2x ＜D ．f (x )＝x 2－1x －1与g (t )＝t ＋1(t ≠1)解析：A 中定义域不同，B 中解析式不同，C 中定义域不同． 答案：D3．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1x ，－2x x，使函数值为5的x 的值是( )A ．－2B ．2或－52C ．2或－2D ．2或－2或－52解析：由题意有x 2＋1＝5，得x ＝±2，又x ≤0，所以x ＝－2； 或－2x ＝5，得x ＝－52，又x >0，舍去．答案：A4．已知函数f (x )满足f (2x ＋|x |)＝log 2x |x |，则f (x )的解析式是( ) A ．f (x )＝log 2x B ．f (x )＝－log 2x C ．f (x )＝2－xD ．f (x )＝x －2解析：根据题意知x >0，所以f (1x)＝log 2x ，则f (x )＝log 21x＝－log 2x .答案：B5．定义两种运算：a ⊕b ＝a 2－b 2，a ⊗b ＝a －b2，则函数f (x )＝2⊕xx ⊗－2的解析式为( )A ．f (x )＝4－x2x，x ∈[－2,0)∪(0,2]B ．f (x )＝x 2－4x ，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．f (x )＝－x 2－4x，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．f (x )＝－4－x2x，x ∈[－2,0)∪(0,2]解析：∵2⊕x ＝4－x 2，x ⊗2＝x －2＝|x －2|，∴f (x )＝4－x2|x －2|－2.又其定义域为{x |－2≤x ＜0或0＜x ≤2}， ∴f (x )＝－4－x2x，x ∈[－2,0)∪(0,2]．答案：D6．某地一年内的气温Q (t )(单位：℃)与时间t (月份)之间的关系如图所示，已知该年的平均气温为10℃.令C (t )表示时间段[0，t ]的平均气温，C (t )与t 之间的函数关系用下列图象表示，则正确的应该是( )解析：C (t )表示时间段[0，t ]的平均气温，所以起点和Q (t )气温一样；又已知该年的平均气温为10℃，所以t ＝12时，C (12)＝10℃；t ＝6时，C (6)接近0，再由C (t )在[6,12]上逐渐上升，再慢慢下降至10℃知选A.答案：A二、填空题(共3个小题，每小题5分，满分15分) 7．已知f (x －1x )＝x 2＋1x2，则函数f (3)＝________.解析：∵f (x －1x )＝x 2＋1x 2＝(x －1x)2＋2，∴f (x )＝x 2＋2，∴f (3)＝32＋2＝11.[来源:学_科_网] 答案：118．下列对应中，是从集合A 到集合B 的映射的是________． (1)A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1x ＋1； (2)A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪12a ∈N*，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫b ⎪⎪⎪b ＝1n ，n ∈N*，f ：a →b ＝1a ；(3)A ＝{x |x ≥0}，B ＝R ，f ：x →y ，y 2＝x ；(4)A ＝{平面α内的矩形}，B ＝{平面α内的圆}，f ：作矩形的外接圆． 解析：(1)当x ＝－1时，y 值不存在，所以不是映射．(2)A ，B 两集合分别用列举法表述为A ＝{2,4,6，…}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12，13，14，…，由对应法则f ：a →b ＝1a知是映射．(3)不是映射，如A 中元素1有两个象±1. (4)是映射． 答案：(2)(4)9．设函数f (x )(x ∈N)表示x 除以2的余数，函数g (x )(x ∈N)表示x 除以3的余数，则对任意的x ∈N ，给出以下式子：①f (x )≠g (x )；②g (2x )＝2g (x )；③f (2x )＝0；④f (x )＋f (x ＋3)＝1. 其中正确的式子编号是________．(写出所有符合要求的式子编号)解析：当x 是6的倍数时，可知f (x )＝g (x )＝0，所以①不正确；容易得到当x ＝2时，g (2x )＝g (4)＝1，而2g (x )＝2g (2)＝4，所以g (2x )≠2g (x )，故②错误；当x ∈N 时，2x 一定是偶数，所以f (2x )＝0正确；当x ∈N 时，x 和x ＋3中必有一个为奇数、一个为偶数，所以f (x )和f (x ＋3)中有一个为0、一个为1，所以f (x )＋f (x ＋3)＝1正确．答案：③④三、解答题(共3小题，满分35分) 10．若函数f (x )＝xax ＋b(a ≠0)，f (2)＝1，又方程f (x )＝x 有唯一解，求f (x )的解析式． 解：由f (2)＝1得22a ＋b ＝1，即2a ＋b ＝2；由f (x )＝x 得x ax ＋b ＝x ，变形得x (1ax ＋b－1)＝0，解此方程得x ＝0或x ＝1－ba，又因方程有唯一解，∴1－b a＝0，解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2得a ＝12，∴f (x )＝2x x ＋2. 11．已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >0，2－x ，x <0.(1)求f [g (2)]和g [f (2)]的值； (2)求f [g (x )]和g [f (x )]的表达式． 解：(1)由已知，g (2)＝1，f (2)＝3， ∴f [g (2)]＝f (1)＝0，g [f (2)]＝g (3)＝2. (2)当x >0时，g (x )＝x －1， 故f [g (x )]＝(x －1)2－1＝x 2－2x ； 当x <0时，g (x )＝2－x ，故f [g (x )]＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3；∴f [g (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x >0，x 2－4x ＋3，x <0.当x >1或x <－1时，f (x )>0， 故g [f (x )]＝f (x )－1＝x 2－2； 当－1<x <1时，f (x )<0， 故g [f (x )]＝2－f (x )＝3－x 2.∴g [f (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x >1或x <－1，3－x 2，－1<x <1.12．某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应提高的比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x .已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x 应在什么范围内？ 解：(1)依题意，本年度每辆摩托车的成本为1＋x (万元)，而出厂价为1.2×(1＋0.75x )(万元)，销售量为1 000×(1＋0.6x )(辆)．故利润y ＝[1.2×(1＋0.75x )－(1＋x )]×1 000×(1＋0.6x )， 整理得y ＝－60x 2＋0<x <1)．(2)要保证本年度利润比上一年有所增加， 则y －(1.2－1)×1 000>0， 即－60x 2＋0， 即3x 2－x <0.解得0<x <13，适合0<x <1.故为保证本年度利润比上年有所增加，投入成本增加的比例x 的取值范围是0<x <13.。
三维设计江苏专用高三数学一轮总复习第三章导数及其应用第二节导数的应用第一课时导数与函数的单调性课件文
1．函数的单调性 在(a，b)内可导函数 f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都 不恒等于 0.f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为 增函数．f′(x) ≤0⇔f(x)在(a，b)上为 减函数．
2．函数的极值 (1)函数的极小值：
函数 y＝f(x)在点 x＝a 的函数值 f(a)比它在点 x＝a 附近 其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点 x＝a 附近 的左侧 f′(x)＜0 ，右侧 f′(x)＞0 ，则点 a 叫做函数 y ＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数 y＝f(x)的极小值．
[由题悟法] 导数法证明函数 f(x)在(a，b)内的单调性的 3 步骤 (1)一求．求 f′(x)； (2)二定．确认 f′(x)在(a，b)内的符号； (3)三结论．作出结论：f′(x)＞0 时为增函数；f′(x) ＜0 时为减函数． [提醒] 研究含参数函数的单调性时，需注意依据参 数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．
[小题体验] 1．(教材习题改编)函数 f(x)＝x2ex 的单调增区间是________．
解析：函数 f(x)的定义域为 R，f′(x)＝2xex＋x2ex＝ex(2x ＋x2)，令 f′(x)>0，得 x<－2 或 x>0，所以函数 f(x)的单 调增区间为(－∞，－2)和(0，＋∞)． 答案：(－∞，－2)，(0，＋∞)
[类题通法] 根据函数单调性求参数的一般思路 (1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调， 则区间(a，b)是相应单调区间的子集． (2)转化为不等式的恒成立问题，即“若函数单调递增， 则 f′(x)≥0；若函数单调递减，则 f′(x)≤0”来求解． [提醒] f(x)为增函数的充要条件是对任意的 x∈(a， b)都有 f′(x)≥0，且在(a，b)内的任一非空子区间上 f′(x) 不恒为 0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．
《三维设计》高三数学 第二单元 基本初等函数(I)和导数13.函数的应用课时限时检测
《三维设计》高三数学 第二单元 基本初等函数（I ）和导数13.函数的应用课时限时检测(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．某企业去年销售收入1000万元，年成本为生产成本500万元与年广告成本200万元两部分．若年利润必须按p %纳税，且年广告费超出年销售收入2%的部分也按p %纳税，其他不纳税．已知该企业去年共纳税120万元．则税率p %为( )A ．10%B ．12%C ．25%D ．40%解析：利润300万元，纳税300·p %万元，年广告费超出年销售收入2%的部分为200－1000×2%＝180(万元)，纳税180·p %万元，共纳税300·p %＋180·p %＝120(万元)，p %＝14＝25%.答案：C2．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为( )A ．36万件B ．18万件C ．22万件D ．9万件 解析：利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L (x )有最大值． 答案：B3．如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H 是圆锥形漏斗中液面下落的高度，则H 与下落时间t (分)的函数关系表示的图象只可能是( )解析：由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口，当时间取12t 时，漏斗中液面下落的高度不会达到漏斗高度的12，对比四个选项的图象可知选B. 答案：B4．已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，汽车离开A 地的距离x (千米)与时间t (小时)之间的函数表达式是( )A ．x ＝60tB ．x ＝60t ＋50tC ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60t ，0≤t ≤2.5150－5t ，x ＞3.5D ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60t ，0≤t ≤2.5，150，2.5＜t ≤3.5，150－50t －3.5，3.5＜t ≤6.5解析：到达B 地需要15060＝2.5小时， 所以当0≤t ≤2.5时，x ＝60t ；当2.5＜t ≤3.5时，x ＝150； 当3.5＜t ≤6.5时，x ＝150－50(t －3.5)．答案：D5．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是( )解析：画出曲线的切线，其切线的斜率的意义为速度．由图中切线斜率的变化规律可知选A.答案：A6．在养分充足的情况下，细菌的数量会以指数函数的方式增加．假设细菌A 的数量每2个小时可以增加为原来的2倍；细菌B 的数量每5个小时可以增加为原来的4倍．现在若养分充足，且一开始两种细菌的数量相等，要使细菌A 的数量是B 的数量的两倍，需要的时间为( )A ．5 hB ．10 hC ．15 hD ．30 h 解析：假设一开始两种细菌数量均为m ，则依题意经过x 小时后，细菌A 的数量是f (x )＝m ·22x ，细菌B 的数量是g (x )＝m ·54x ，令m ·22x ＝2·m ·54x ，解得x ＝10. 答案：B二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)7．有一批材料可以建成200 m 的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形最大面积为______________．(围墙厚度不计)解析：设矩形的长为x m ，宽为200－x 4m ， 则S ＝x ·200－x 4＝14(－x 2＋200x )． 当x ＝100时，S max ＝2 500 m 2.[来源:学科网ZXXK]答案：2 500 m 28．拟定从甲地到乙地通话m 分钟的电话费由f (x )＝1.06×(0.50×[m ]＋1)给出，其中m >0，[m ]是大于或等于m 的最小整数，若通话费为10.6元，则通话时间m ∈________.解析：∵10.6＝1.06(0.50×[m ]＋1)，∴0.5[m ]＝9，∴[m ]＝18，∴m ∈(17,18]．答案：(17,18]9．为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下： 明文――→加密密文――→发送密文――→解密明文已知加密为y ＝a x －2(x 为明文、y 为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接收方通过解密得到明文“3”，若接收方接到密文为“14”，则原发的明文是________．解析：依题意y ＝a x －2中，当x ＝3时，y ＝6，故6＝a 3－2，解得a ＝2.所以加密为y ＝2x －2，因此，当y ＝14时，由14＝2x－2，解得x ＝4.答案：4三、解答题(共3小题，满分35分)10．现有某种细胞100个，其中有占总数12的细胞每小时分裂一次．即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？(精确到小时)(参考数据：lg3≈0.477，lg2≈0.301)解：现有细胞100个，先考虑经过1、2、3、4个小时后的细胞总数，1小时后，细胞总数为12×100＋12×100×2＝32×100； 2小时后，细胞总数为12×32×100＋12×32×100×2 ＝94×100； 3小时后，细胞总数为12×94×100＋12×94×100×2 ＝278×100； 4小时后，细胞总数为12×278×100＋12×278×100×2 ＝8116×100； …可见，细胞总数y 与时间x (小时)之间的函数关系为：y ＝100×(32)x ，x ∈N.由100×(32)x >1010， 得(32)x >108， 两边取以10为底的对数，得x lg 32>8， ∴x >8lg3－lg2， ∵8lg3－lg2≈80.477－0.301≈45.45. 故经过46小时，细胞总数超过1010个．11．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y ＝x 25－48x ＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？解：(1)每吨平均成本为y x (万元)． 则y x ＝x 5＋8 000x －48≥2 x 5·8 000x－48＝32， 当且仅当x 5＝8 000x，即x ＝200时取等号． ∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元．(2)设年获得总利润为R (x )万元，则R (x )＝40x －y ＝40x －x 25＋48x －8 000 ＝－x 25＋88x －8 000＝－15(x －220)2＋1 680(0≤x ≤210)． ∵R (x )在[0,210]上是增函数，∴x ＝210时，R (x )有最大值为－15(210－220)2＋1 680＝1 660. ∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元．12．某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6点到中午12点，车辆通过该市某一路段的用时y (分钟)与车辆进入该路段的时刻t 之间的关系可近似地用如下函数给出： y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －18t 3－34t 2＋36t －6294，6≤t ＜9，t 8＋554，9≤t ≤10，－3t 2＋66t －345，10＜t ≤12.求从上午6点到中午12点，通过该路段用时最多的时刻．解：(1)当6≤t ＜9时，y ′＝－38t 2－32t ＋36＝－38(t 2＋4t －96)＝－38(t ＋12)(t －8)． 令y ′＝0，得t ＝－12或t ＝8.∴当t ＝8时，y 有最大值． y max ＝18.75(分钟)．(2)当9≤t ≤10时，y ＝18t ＋554是增函数， ∴当t ＝10时，y max ＝15(分钟)．(3)当10＜t≤12时，y＝－3(t－11)2＋18，∴当t＝11时，y max＝18(分钟)．综上所述，上午8时，通过该路段用时最多，为18.75分钟．。
《三维设计》高三数学 第二单元 基本初等函数(i)和导数8.函数的图象课时限时检测.doc
(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分) 1．函数y ＝5x与函数y ＝－15x 的图象关于( )A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．原点对称D ．直线y ＝x 对称解析：因y ＝－15x ＝－5－x，所以关于原点对称．答案：C2．把函数y ＝f (x )＝(x －2)2＋2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数的解析式是( )A ．y ＝(x －3)2＋3 B ．y ＝(x －3)2＋1 C ．y ＝(x －1)2＋3D ．y ＝(x －1)2＋1解析：把函数y ＝f (x )的图象向左平移1个单位，即把其中x 换成x ＋1，于是得y ＝[(x ＋1)－2]2＋2＝(x －1)2＋2，再向上平移1个单位，即得到y ＝(x －1)2＋2＋1＝(x －1)2＋3.答案：C3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈[－1，0]x 2＋1，x ∈，1]，则如图中函数的图象错误的是( )解析：因f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈[－1，0]，x 2＋1，x ∈，1]，其图象如图，验证知f (x －1)，f (－x )，f (|x |)的图象均正确，只有|f (x )|的图象错误．答案：D4．函数y ＝ln 1|2x －3|的图象为( )解析：易知2x －3≠0，即x ≠32，排除C ，D 项．当x >32时，函数为减函数，当x <32时，函数为增函数．答案：A5．若方程f (x )－2＝0在(－∞，0)内有解，则y ＝f (x )的图象是( )解析：由图可知，只有D 中y ＝f (x )图象与y ＝2图象在x <0时有交点． 答案：D6．函数y ＝2|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,16]，当a 变动时，函数b ＝g (a )的图象可以是( )解析：由图象知⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，－4≤a ≤0，故b ＝g (a )，即为b ＝4(－4≤a ≤0)． 答案：B二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)7．为了得到函数f (x )＝log 2x 的图象，只需将函数g (x )＝log 2x8的图象__________________．解析：g (x )＝log 2x8＝log 2x －3＝f (x )－3，因此只需将函数g (x )的图象向上平移3个单位即可得到函数f (x )＝log 2x 的图象．答案：向上平移3个单位8．如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f (1f)的值等于________．解析：由图象知f (3)＝1，[来源:学.科.网Z.X.X.K] ∴1f＝1，∴f (1f)＝f (1)＝2.答案：9．已知定义在[0，＋∞)上的函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象如图所示，则不等式f (x )·g (x )>0的解集是____________．解析：由题图可知，当0<x <12时，f (x )>0，g (x )>0；当12<x <1时，f (x )>0，g (x )<0； 当1<x <2时，f (x )<0，g (x )<0， 当x >2时，f (x )>0，g (x )>0， 因此f (x )·g (x )>0的解集是 {x |0<x <12，或1<x <2或x >2}．答案：{x |0<x <12，或1<x <2或x >2}三、解答题(共3小题，满分35分)10．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，将函数y ＝f (x )的图象向左平移一个单位，再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象．求函数y ＝g (x )的解析式．解：由已知，将函数f (x )＝log 2(x ＋1)的图象向左平移一个单位，得到y ＝log 2(x ＋1＋1)的图象，再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函数y ＝g (x )＝2log 2(x ＋2)的图象．故g (x )＝2log 2(x ＋2)．11．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x－1|(a ＞0且a ≠1)的图象有两个公共点，求a 的取值范围．解：当0＜a ＜1时，y ＝|a x－1|的图象如图(1)所示，由已知得0＜2a ＜1，∴0＜a ＜12.当a ＞1时，y ＝|a x－1|的图象如图(2)所示，由已知可得0＜2a ＜1，∴0＜a ＜12，但a ＞1，故a ∈∅.综上可知，0＜a ＜12.12．为了预防甲型H1N1流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －a(a 为常数)，如图所示，根据图中提供的信息， (1)求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式；(2)据测定：当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过几小时后，学生才能回到教室？解：(1)图中直线的斜率为10.1＝10，方程为y ＝10t ，点(0.1,1)在曲线y ＝(116)t －a上，所以1＝(116)0.1－a，所以a ＝0.1，因此，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10t ，0≤t ≤0.1116t －0.1，t ＞0.1.(2)因为药物释放过程中室内药量一直在增加，即使药量小于0.25毫克，学生也不能进入教室，所以，只能当药物释放完毕后，室内药量减少到0.25毫克以下时学生方可进入教室，即(116)t －0.1≤0.25，解得t ≥0.6. 即学生至少要过0.6小时后，才能回到教室．。
【三维设计】高考数学总复习(基础知识+高频考点+解题训练)第二章 导数的应用(二)教学案(含解析
第十三节导数的应用(二)典题导入[例1] 已知函数f (x )＝x 2ln x －a (x 2－1)，a ∈R.(1)当a ＝－1时，求曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若当x ≥1时，f (x )≥0成立，求a 的取值范围． [自主解答] (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2ln x ＋x 2－1，f ′(x )＝2x ln x ＋3x .则曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为f ′(1)＝3，又f (1)＝0，所以切线方程为3x －y －3＝0.(2)f ′(x )＝2x ln x ＋(1－2a )x ＝x (2ln x ＋1－2a )，其中x ≥1.当a ≤12时，因为x ≥1，所以f ′(x )≥0，所以函数f (x )在[1，＋∞)上单调递增，故f (x )≥f (1)＝0.当a >12时，令f ′(x )＝0，得x ＝e a －12.若x ∈[1，e a －12)，则f ′(x )<0，所以函数f (x )在[1，e a －12)上单调递减．所以当x∈[1，e a －12)时，f (x )≤f (1)＝0，不符合题意．综上a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12.由题悟法利用导数解决参数问题主要涉及以下方面：(1)已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解．(2)已知函数的单调性求参数的取值范围：转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立的问题．(3)已知函数的零点个数求参数的取值范围：利用函数的单调性、极值画出函数的大致图象，数形结合求解．以题试法1．设函数f (x )＝12x 2＋e x －x e x.(1)求f (x )的单调区间；(2)若当x ∈[－2,2]时，不等式f (x )>m 恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)， ∵f ′(x )＝x ＋e x －(e x ＋x e x )＝x (1－e x)， 若x ＝0，则f ′(x )＝0；若x <0，则1－e x>0，所以f ′(x )<0； 若x >0，则1－e x<0，所以f ′(x )<0. ∴f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数， 即f (x )的单调减区间为(－∞，＋∞)． (2)由(1)知，f (x )在[－2,2]上单调递减． 故[f (x )]min ＝f (2)＝2－e 2，∴m <2－e 2时，不等式f (x )>m 恒成立． 故m 的取值范围为(－∞，2－e 2)．典题导入[例2] 已知f (x )＝ax －ln x ，x ∈(0，e]，g (x )＝ln xx，其中e 是自然常数，a ∈R.(1)讨论a ＝1时，函数f (x )的单调性和极值； (2)求证：在(1)的条件下，f (x )>g (x )＋12.[自主解答] (1)∵f (x )＝x －ln x ， f ′(x )＝1－1x ＝x －1x，∴当0<x <1时，f ′(x )<0，此时f (x )单调递减； 当1<x <e 时，f ′(x ) >0，此时f (x )单调递增． ∴f (x )的极小值为f (1)＝1.(2)证明：由(1)知[f (x )]min ＝1.又g ′(x )＝1－ln xx2，∴当0<x <e 时，g ′(x )>0，g (x )在(0，e]上单调递增． ∴[g (x )]max ＝g (e)＝1e <12.∴[f (x )]min －[g (x )]max >12.∴在(1)的条件下，f (x )>g (x )＋12.在本例条件下，是否存在正实数a ，使f (x )的最小值是3？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解：假设存在正实数a ，使f (x )＝ax －ln x (x ∈(0，e])有最小值3.因为f ′(x )＝a －1x＝ax －1x， 当0<1a<e 时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤1a ，e 上单调递增，所以[f (x )]min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1＋ln a ＝3，a ＝e 2，满足条件；当1a≥e 时，f (x )在(0，e]上单调递减，[f (x )]min ＝f (e)＝a e －1＝3，a ＝4e(舍去)，所以，此时a 不存在．综上，存在实数a ＝e 2，使得当x ∈(0，e]时f (x )有最小值3.由题悟法利用导数方法证明不等式f (x )>g (x )在区间D 上恒成立的基本方法是构造函数h (x )＝f (x )－g (x )，然后根据函数的单调性，确定函数的最值证明h (x )>0.以题试法2．已知f (x )＝x ln x . (1)求g (x )＝f x ＋kx(k ∈R)的单调区间； (2)证明：当x ≥1时，2x －e≤f (x )恒成立． 解：(1)g (x )＝ln x ＋k x， ∴令g ′(x )＝x －kx 2＝0得x ＝k .∵x >0，∴当k ≤0时，g ′(x )>0.∴函数g (x )的增区间为(0，＋∞)，无减区间； 当k >0时g ′(x )>0得x >k ；g ′(x )<0得0<x <k ， ∴增区间为(k ，＋∞)，减区间为(0，k )． (2)证明：设h (x )＝x ln x －2x ＋e(x ≥1)， 令h ′(x )＝ln x －1＝0得x ＝e ，h (x )，h ′(x )的变化情况如下：故h (x )≥0.即f (x )≥2x －e.典题导入[例3] 某物流公司购买了一块长AM ＝30米，宽AN ＝20米的矩形地块AMPN ，规划建设占地如图中矩形ABCD 的仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C 在地块对角线MN 上，顶点B 、D 分别在边AM 、AN 上，假设AB 的长度为x 米．(1)要使仓库的占地面积不少于144平方米，求x 的取值范围；(2)要规划建设的仓库是高度与AB 的长度相同的长方体建筑，问AB 的长度为多少时仓库的库容量最大．(墙地及楼板所占空间忽略不计)[自主解答] (1)依题意得△NDC 与△NAM 相似，所以DC AM ＝ND NA ，即x 30＝20－AD 20，故AD ＝20－23x ，矩形ABCD 的面积为20x －23x 2(0<x <30)．要使仓库的占地面积不少于144平方米，则20x －23x 2≥144，化简得x 2－30x ＋216≤0， 解得12≤x ≤18.(2)由(1)知仓库的体积V ＝20x 2－23x 3(0<x <30)，令V ′＝40x －2x 2＝0，得x ＝0或x ＝20.当0<x <20时，V ′>0，当20<x <30时，V ′<0，所以当x ＝20时V 取最大值，且最大值为8 0003，即AB 的长度为20米时仓库的库存容量最大．由题悟法利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各个量之间的关系，建立数学模型，写出函数关系式y ＝f (x )； (2)求出函数的导函数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；(3)比较函数在区间端点和使f ′(x )＝0的点处的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．以题试法3．某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到有关部门的关注，据有关统计数据显示，从上午6点到中午12点，车辆通过该市某一路段的用时y (分钟)与车辆进入该路段的时刻t 之间关系可近似地用如下函数给出：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－18t 3－34t 2＋36t －6294，6≤t <9，18t ＋594，9≤t ≤10，－3t 2＋66t －345，10<t ≤12，求从上午6点到中午12点，通过该路段用时最多的时刻． 解：①当6≤t <9时，y ′＝－38t 2－32t ＋36＝－38(t ＋12)(t －8)．令y ′＝0，得t ＝－12(舍去)或t ＝8. 当6≤t <8时，y ′>0， 当8<t <9时，y ′<0，故t ＝8时，y 有最大值，y max ＝18.75. ②当9≤t ≤10时，y ＝18t ＋594是增函数，故t ＝10时，y max ＝16.③当10<t ≤12时，y ＝－3(t －11)2＋18， 故t ＝11时，y max ＝18.综上可知，通过该路段用时最多的时刻为上午8点．1．f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意正数a ，b ，若a <b ，则必有( )A ．af (b )≤bf (a )B ．bf (a )≤af (b )C ．af (a )≤f (b )D ．bf (b )≤f (a )解析：选A ∵xf ′(x )≤－f (x )，f (x )≥0， ∴⎝⎛⎭⎪⎫f x x ′＝xfx －f x x 2≤－2f xx 2≤0. 则函数f x x在(0，＋∞)上是单调递减的，由于0<a <b ，则f aa≥f b b.即af (b )≤bf (a )．2．(2012·山西适应性训练)若商品的年利润y (万元)与年产量x (百万件)的函数关系式y ＝－x 3＋27x ＋123(x >0)，则获得最大利润时的年产量为( )A ．1百万件B ．2百万件C ．3百万件D ．4百万件解析：选C 依题意得，y ′＝－3x 2＋27＝－3(x －3)(x ＋3)，当0<x <3时，y ′>0；当x >3时，y ′<0.因此，当x ＝3时，该商品的年利润最大．3．已知函数f (x )是R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f ′(x )>0，若f (－1)＝0，那么关于x 的不等式xf (x )<0的解集是________．解析：在(0，＋∞)上有f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)单调递增．又函数f (x )是R 上的偶函数，所以f (1)＝f (－1)＝0.当x >0时，f (x )<0，∴0<x <1；当x <0时，图象关于y 轴对称，f (x )>0，∴x <－1.答案：(－∞，－1)∪(0,1)4．直线y ＝a 与函数f (x )＝x 3－3x 的图象有相异的三个公共点，则a 的取值范围是________．解析：令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，可得极大值为f (－1)＝2，极小值为f (1)＝－2，如图，观察得－2<a <2时恰有三个不同的公共点．答案：(－2,2)5．已知函数f (x )＝x 2＋ln x .(1)求函数f (x )在[1，e]上的最大值和最小值；(2)求证：当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )的图象在g (x )＝23x 3＋12x 2的下方．解：(1)∵f (x )＝x 2＋ln x ，∴f ′(x )＝2x ＋1x.∵x ＞1时，f ′(x )＞0，故f (x )在[1，e]上是增函数， ∴f (x )的最小值是f (1)＝1，最大值是f (e)＝1＋e 2. (2)证明：令F (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2－23x 3＋ln x ，∴F ′(x )＝x －2x 2＋1x ＝x 2－2x 3＋1x＝x 2－x 3－x 3＋1x＝－x x 2＋x ＋x.∵x ＞1，∴F ′(x )＜0.∴F (x )在(1，＋∞)上是减函数．∴F (x )＜F (1)＝12－23＝－16＜0，即f (x )＜g (x )．∴当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )的图象总在g (x )的图象的下方． 6．(2012·乌鲁木齐诊断性测验)已知函数(理)f (x )＝e x －m－x ，(文)f (x )＝1em e x－x ，其中m 为常数．(1)若对任意x ∈R 有f (x )≥0成立，求m 的取值范围； (2)当m >1时，判断f (x )在[0,2m ]上零点的个数，并说明理由． 解：(1)依题意，可知f (x )在R 上连续，且f ′(x )＝e x －m －1，令f ′(x )＝0，得x ＝m . 故当x ∈(－∞，m )时，e x －m<1，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(m ，＋∞)时，ex －m>1，f ′(x )>0，f (x )单调递增；故当x ＝m 时，f (m )为极小值，也是最小值． 令f (m )＝1－m ≥0，得m ≤1，即对任意x ∈R ，f (x )≥0恒成立时，m 的取值范围是(－∞，1]． (2)由(1)知f (x )在[0,2m ]上至多有两个零点，当m >1时，f (m )＝1－m <0. ∵f (0)＝e －m>0，f (0)·f (m )<0， ∴f (x )在(0，m )上有一个零点． 又f (2m )＝e m－2m ，令g (m )＝e m－2m ， ∵当m >1时，g ′(m )＝e m－2>0， ∴g (m )在(1，＋∞)上单调递增． ∴g (m )>g (1)＝e －2>0，即f (2m )>0.∴f (m )·f (2m )<0，∴f (x )在(m,2m )上有一个零点． 故f (x )在[0,2m ]上有两个零点．7．(2013·泰安模拟)某种产品每件成本为6元，每件售价为x 元(6<x <11)，年销售为u 万件，若已知5858－u 与⎝⎛⎭⎪⎫x －2142成正比，且售价为10元时，年销量为28万件．(1)求年销售利润y 关于售价x 的函数关系式； (2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润． 解：(1)设5858－u ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2142，∵售价为10元时，年销量为28万件， ∴5858－28＝k ⎝⎛⎭⎪⎫10－2142，解得k ＝2. ∴u ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫x －2142＋5858＝－2x 2＋21x ＋18.∴y ＝(－2x 2＋21x ＋18)(x －6) ＝－2x 3＋33x 2－108x －108(6<x <11)． (2)y ′＝－6x 2＋66x －108 ＝－6(x 2－11x ＋18) ＝－6(x －2)(x －9)．令y ′＝0，得x ＝2(舍去)或x ＝9， 显然，当x ∈(6,9)时，y ′>0； 当x ∈(9,11)时，y ′<0.∴函数y ＝－2x 3＋33x 2－108x －108在(6,9)上是递增的，在(9,11)上是递减的． ∴当x ＝9时，y 取最大值，且y max ＝135，∴售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元．1．(2012·潍坊模拟)已知函数f (x )＝(x 2－3x ＋3)e x，x ∈[－2，t ](t >－2)． (1)当t <1时，求函数y ＝f (x )的单调区间； (2)设f (－2)＝m ，f (t )＝n ，求证：m <n .解：(1)f ′(x )＝(2x －3)e x＋e x(x 2－3x ＋3)＝e xx (x －1)， ①当－2<t ≤0，x ∈[－2，t ]时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增； ②当0<t <1，x ∈[－2,0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当x ∈(0，t ]时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．综上，当－2<t ≤0时，y ＝f (x )的单调递增区间为[－2，t ]；当0<t <1时，y ＝f (x )的单调递增区间为[－2,0)，单调递减区间为(0，t ]． (2)证明：依题意得m ＝f (－2)＝13e －2，n ＝f (t )＝(t 2－3t ＋3)e t ，设h (t )＝n －m ＝(t 2－3t ＋3)e t －13e －2，t >－2，h ′(t )＝(2t －3)e t ＋e t (t 2－3t ＋3)＝e t t (t －1)(t >－2)．故h (t )，h ′(t )随t 的变化情况如下表：由上表可知h (t )的极小值为h (1)＝e －e 2＝e2>0，又h (－2)＝0，故当－2<t <0时，h (t )>h (－2)＝0，即h (t )>0，因此，n －m >0，即m <n .2． (2012·资阳模拟)已知函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a ，b ∈R)在x ＝2处的切线方程为y ＝9x －14.(1)求f (x )的单调区间；(2)令g (x )＝－x 2＋2x ＋k ，若对任意x 1∈[0,2]，均存在x 2∈[0,2]，使得f (x 1)<g (x 2)，求实数k 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝3x 2－3a ，∵f (x )在x ＝2处的切线方程为y ＝9x －14，∴⎩⎪⎨⎪⎧f＝4，f ＝9，则⎩⎪⎨⎪⎧8－6a ＋b ＝4，12－3a ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝x 3－3x ＋2，则f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)． 由f ′(x )>0，得x <－1或x >1； 由f ′(x )<0，得－1<x <1.故函数f (x )的单调递减区间是(－1,1)；单调递增区间是(－∞，－1)，(1，＋∞)． (2)由(1)知，函数f (x )在(0,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增． 又f (0)＝2，f (2)＝4，有f (0)<f (2)，∴函数f (x )在区间[0,2]上的最大值f (x )max ＝f (2)＝4. 又g (x )＝－x 2＋2x ＋k ＝－(x －1)2＋k ＋1，∴函数g (x )在[0,2]上的最大值为g (x )max ＝g (1)＝k ＋1. ∵对任意x 1∈[0,2]，均存在x 2∈[0,2]，使f (x 1)<f (x 2)成立， ∴有f (x )max <g (x )max ，则4<k ＋1，即k >3. 故实数k 的取值范围是(3，＋∞)．1．已知向量m ＝(x 0，－1)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y 0，x 0，334，y 0成等差数列，2，x 0，y 0成等比数列．(1)求证：m ⊥n ；(2)若存在不为零的实数k 与t ，使得a ＝(t 2－3)m ＋n ，b ＝tm －kn ，且a ⊥b ，|a |≤37，试讨论函数k ＝f (t )的单调性，并求出函数的极值．解：(1)证明：由x 0，334，y 0成等差数列得x 0＋y 0＝332，①由2，x 0，y 0成等比数列得x 0＝2y 0，② 由①与②可得x 0＝3，y 0＝32， 所以m ＝(3，－1)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，因为m ·n ＝(3，－1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32＝32－32＝0，所以m ⊥n .(2)由(1)得|m |＝2，|n |＝1，因为|a |≤37，m ⊥n ，所以|a |2＝(t 2－3)2|m |2＋2(t 2－3)m ·n ＋|n |2＝4(t 2－3)2＋1≤37，所以0≤t 2≤6，所以－6≤t ≤ 6.又a ·b ＝t (t 2－3)|m |2－k (t 2－3)m ·n ＋tm ·n －k |n |2＝4t (t 2－3)－k ＝0，所以k ＝f (t )＝4t (t 2－3)(－6≤t ≤6)，k ′＝f ′(t )＝[4t (t 2－3)]′＝12t 2－12，令12t 2－12＝0，得t ＝±1.当t 变化时，f ′(t )，f (t )的变化情况如下表：的极大值为8，极小值为－8.2．设函数f (x )＝ln x －p (x －1)，p ∈R. (1)当p ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)设函数g (x )＝xf (x )＋p (2x 2－x －1)，对任意x ≥1都有g (x )≤0成立，求p 的取值范围．解：(1)当p ＝1时，f (x )＝ln x －x ＋1，其定义域为(0，＋∞)． 所以f ′(x )＝1x－1.由f ′(x )＝1x－1>0得0<x <1，由f ′(x )<0得x >1.所以函数f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(2)由函数g (x )＝xf (x )＋p (2x 2－x －1)＝x ln x ＋p (x 2－1)(x >0)，得g ′(x )＝ln x ＋1＋2px .由(1)知，当p ＝1时，f (x )≤f (1)＝0， 即不等式ln x ≤x －1成立．①当p ≤－12时，g ′(x )＝ln x ＋1＋2px ≤(x －1)＋1＋2px ＝(1＋2p )x ≤0，即函数g (x )在[1，＋∞)上单调递减，从而g (x )≤g (1)＝0，满足题意； ②当－12<p <0时，若x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1，－12p ，则ln x >0，1＋2px >0， 从而g ′(x )＝ln x ＋1＋2px >0，即函数g (x )在⎝⎛⎭⎪⎫1，－12p 上单调递增，从而存在x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫1，－12p 使得g (x 0)>g (1)＝0，不满足题意；③当p ≥0时，由x ≥1知g (x )＝x ln x ＋p (x 2－1)≥0恒成立，此时不满足题意． 综上所述，实数p 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12.集合与常用逻辑用语 函数、导数及其应用(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2012·广州调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，x ≤0，a x，x >0，若f (1)＝f (－1)，则实数a 的值等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 根据题意，由f (1)＝f (－1)可得a ＝1－(－1)＝2.2．(2012·江西高考)若全集U ＝{}x ∈R|x 2≤4，则集合A ＝{}x ∈R||x ＋1|≤1的补集∁U A 为( )A.{}x ∈R|0<x <2B.{}x ∈R|0≤x <2C.{}x ∈R|0<x ≤2D.{}x ∈R|0≤x ≤2解析：选C 因为U ＝{x ∈R|x 2≤4}＝{x ∈R|－2≤x ≤2}，A ＝{x ∈R||x ＋1|≤1}＝{x ∈R|－2≤x ≤0}．借助数轴易得∁U A ＝{x ∈R|0<x ≤2}．3．下列函数中，恒满足f (2x )＝[f (x )]2的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝1x(x ≠0)C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝sin x解析：选C 若f (x )＝e x，则f (2x )＝e 2x＝(e x )2＝[f (x )]2.4．(2012·大同调研)已知函数f (x )＝x 2＋bx (b ∈R)，则下列结论正确的是( ) A ．∀b ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是增函数 B ．∀b ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是减函数 C ．∃b ∈R ，f (x )为奇函数 D ．∃b ∈R ，f (x )为偶函数解析：选D 注意到当b ＝0时，f (x )＝x 2是偶函数．5．(2013·龙岩四校联考)已知函数y ＝f (x )的图象在点M (3，f (3))处的切线方程是y ＝13x ＋23，则f (3)＋f ′(3)的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．5解析：选B 因为切点(3，f (3))在切线上，所以f (3)＝1＋23＝53，切点处的导数为切线的斜率，所以f ′(3)＝13，所以f (3)＋f ′(3)＝2.6．(2012·汕头一测)已知集合A 是函数f (x )＝1－x2|x ＋1|－1的定义域，集合B 是整数集，则A ∩B 的子集的个数为( )A ．4B ．6C ．8D ．16解析：选A 要使函数f (x )有意义，则需⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，|x ＋1|－1≠0，解得－1≤x <0或0<x ≤1，所以函数的定义域A ＝{x |－1≤x <0，或0<x ≤1}．所以A ∩B ＝{1，－1}，其子集的个数为4.7．已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＝b <c B ．a ＝b >c C ．a <b <cD ．a >b >c解析：选B ∵a ＝log 23＋log 23＝log 233，b ＝log 29－log 23＝log 233， ∴a ＝b .又∵函数y ＝log a x (a >1)为增函数，∴a ＝log 233>log 22＝1，c ＝log 32<log 33＝1，∴a ＝b >c .8．(2012·南昌一模)函数y ＝x 12－1的图象关于x 轴对称的图象大致是( )解析：选B 函数y ＝x 12＝x ，该函数的图象就是抛物线y 2＝x 在x 轴及其以上的部分，故函数y ＝x 12－1＝x －1是将上述图象向下平移一个单位得到的，再作其关于x 轴对称的图象，即选项B 中的图象．9．(2012·长春第二次调研)若a >2，则函数f (x )＝13x 3－ax 2＋1在(0,2)内零点的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选C 依题意得f ′(x )＝x 2－2ax ，由a >2可知，f ′(x )在x ∈(0,2)时恒为负，即f (x )在(0,2)内单调递减，又f (0)＝1>0，f (2)＝83－4a ＋1<0，因此f (x )在(0,2)内只有一个零点．10．(2012·河南三市第二次调研)设U 为全集，对集合X ，Y ，定义运算“*”，X *Y ＝∁U (X ∩Y )．对于任意集合X ，Y ，Z ，则(X *Y )*Z ＝( )A ．(X ∪Y )∩∁U ZB ．(X ∩Y )∪∁U ZC ．(∁U X ∪∁U Y )∩ZD ．(∁U X ∩∁U Y )∪Z解析：选B 依题意得(X *Y )＝∁U (X ∩Y )＝(∁U X )∪(∁U Y )，(X *Y )*Z ＝∁U [(X *Y )∩Z ]＝∁U [∁U(X ∩Y )∩Z ]＝{∁U [∁U (X ∩Y )]}∪(∁U Z )＝(X ∩Y )∪(∁U Z )．11．(2012·重庆高考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，则“f (x )为[0,1]上的增函数”是“f (x )为[3,4]上的减函数”的( )A ．既不充分也不必要的条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．充要条件解析：选D 由题意可知函数在[0,1]上是增函数，在[－1,0]上是减函数，在[3,4]上也是减函数；反之也成立．12．下列命题：①∀x ∈R ，不等式x 2＋2x >4x －3均成立； ②若log 2x ＋log x 2≥2，则x >1；③“若a >b >0且c <0，则c a >c b”的逆否命题是真命题；④若命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1≥1，命题q ：∃x ∈R ，x 2－x －1≤0，则命题p ∧(綈q )是真命题．其中真命题为( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④解析：选A 由x 2＋2x >4x －3推得x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2>0恒成立，故①正确；根据基本不等式可知要使不等式log 2x ＋log x 2≥2成立需要x >1，故②正确；由a >b >0得0<1a <1b，又c <0，可得c a >cb，则可知其逆否命题为真命题，故③正确；命题p 是真命题，命题q 是真命题，所以p ∧(綈q )为假命题，故④不正确．二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2013·河北质检)函数y ＝log 12(3x －a )的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞，则a ＝________. 解析：由3x －a >0得x >a 3.因此，函数y ＝log 12(3x －a )的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞，所以a 3＝23，即a ＝2.答案：214． (2012·南通一调)设P 是函数y ＝x (x ＋1)图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是________．解析：依题意得，y ＝x 32＋x 12，y ′＝32x 12＋12x －12(x >0)，当x >0时，y ′＝32x 12＋12x －12≥232x 12×12x －12＝3，即该图象在点P 处的切线的斜率不小于3，即tan θ≥ 3.又θ∈[0，π)，因此π3≤θ<π2，即θ的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π215．(2012·山东高考)若函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.解析：函数g (x )在[0，＋∞)上为增函数，则1－4m >0，即m <14.若a >1，则函数f (x )在[－1,2]上的最小值为1a ＝m ，最大值为a 2＝4，解得a ＝2，12＝m ，与m <14矛盾；当0<a <1时，函数f (x )在[－1,2]上的最小值为a 2＝m ，最大值为a －1＝4，解得a ＝14，m ＝116<14.所以a ＝14.答案：1416．(2012·福州质检)已知集合M 是满足下列条件的函数f (x )的全体：(1)f (x )既不是奇函数也不是偶函数；(2)函数f (x )有零点．那么在函数①f (x )＝|x |－1，②f (x )＝2x－1，③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x >0，0，x ＝0，x ＋2，x <0，④f (x )＝x 2－x －1＋ln x 中，属于M 的有________．(写出所有符合的函数序号)解析：对于①，∵f (－x )＝|－x |－1＝|x |－1＝f (x )，∴f (x )＝|x |－1是偶函数，∴①不符合条件；易知f (x )＝2x－1既不是奇函数也不是偶函数，且有一个零点x ＝0，∴②符合条件；对于③，令x >0，则－x <0，∴f (x )＝x －2，f (－x )＝－x ＋2＝－(x －2)，即f (x )＝－f (－x )，又f (0)＝0，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x >0，0，x ＝0，x ＋2，x <0.是奇函数，∴③不符合条件；对于④，函数f (x )＝x 2－x －1＋ln x 的定义域为(0，＋∞)，故它既不是奇函数也不是偶函数，∵f ′(x )＝2x －1＋1x ＝2x 2－x ＋1x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142＋78x>0，∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (1)＝1－1－1＋0＝－1<0，f (e)＝e 2－e －1＋1＝e(e －1)>0，∴函数f (x )在(1，e)上存在零点，∴④符合条件．答案：②④三、解答题(本题共6小题，共70分)17．(本小题满分10分)已知函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，且x >0时，f (x )＝x 2－2x ＋3，试求f (x )在R 上的表达式，并画出它的图象，根据图象写出它的单调区间．解：∵f (x )的图象关于原点对称，∴f (－x )＝－f (x )，又当x >0时，f (x )＝x 2－2x ＋3， ∴当x <0时，f (x )＝－x 2－2x －3. 当x ＝0时，f (x )＝0.∴函数解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋3，x >0.0，x ＝0，－x 2－2x －3，x <0.作出函数的图象如图．根据图象可以得函数的增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)； 函数的减区间为(－1,0)，(0,1)． 18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log 3(ax ＋b )的部分图象如右图所示． (1)求f (x )的解析式与定义域；(2)函数f (x )的图象能否由y ＝log 3x 的图象平移变换得到．解：(1)由图可知(2,1)(5,2)是f (x )＝log 3(ax ＋b )上的两点，将其代入函数表达式可得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝3，5a ＋b ＝9⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1.∴f (x )的解析式为f (x )＝log 3(2x －1)． ∵f (x )有意义需满足2x －1>0，∴x >12.∴f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. (2)∵f (x )＝log 3(2x －1)＝log 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋log 32， ∴f (x )的图象是由y ＝log 3x 的图象向右平移12个单位，再向上平移log 32个单位得到的．故可以由y ＝log 3x 的图象平移得到．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x (x 2－ax －3)．(1)若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围； (2)若x ＝－13是f (x )的极值点，求f (x )在区间[1,4]上的最大值．解：(1)∵f (x )＝x (x 2－ax －3)，∴f ′(x )＝3x 2－2ax －3. ∵f (x )在[1，＋∞)上是增函数， ∴在[1，＋∞)上恒有f ′(x )≥0， 即3x 2－2ax －3≥0在[1，＋∞)上恒成立． 得a ≤32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 在[1，＋∞)上恒成立．∵当x ≥1时，32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ≥32(1－1)＝0，∴a ≤0.(2)依题意得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0， 即13＋23a －3＝0，得a ＝4， 故f (x )＝x 3－4x 2－3x .令f ′(x )＝3x 2－8x －3＝0，得x 1＝－13，x 2＝3.当x 在[1,4]上变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：所以f (20．(本小题满分12分)经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t (天)的函数，且销售量近似地满足f (t )＝－2t ＋200(1≤t ≤50，t ∈N)．前30天价格为g (t )＝12t ＋30(1≤t ≤30，t ∈N)，后20天价格为g (t )＝45(31≤t ≤50，t ∈N)．(1)写出该种商品的日销售额S 与时间t 的函数关系； (2)求日销售额S 的最大值． 解：(1)根据题意，得S ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2t ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ＋30，1≤t ≤30，t ∈N ，－2t ＋，31≤t ≤50，t ∈N＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋40t ＋6 000，1≤t ≤30，t ∈N ，－90t ＋9 000，31≤t ≤50，t ∈N.(2)①∵当1≤t ≤30，t ∈N 时，S ＝－(t －20)2＋6 400， ∴当t ＝20时，S 的最大值为6 400.②当31≤t ≤50，t ∈N 时，S ＝－90t ＋9 000为减函数， ∴当t ＝31时，S 的最大值为6 210. ∵6 210<6 400，∴当t ＝20时，日销售额S 有最大值6 400.21.已知函数f (x )＝13x 3＋1－a 2x 2－ax －a ，x ∈R ，其中a >0.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在区间(－2,0)内恰有两个零点，求a 的取值范围； 解：(1)f ′(x )＝x 2＋(1－a )x －a ＝(x ＋1)(x －a )． 由f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝a >0.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：(2)由(1)知f (x )在区间(－2，－1)内单调递增，在区间(－1，0)内单调递减，从而函数f (x )在区间(－2,0)内恰有两个零点即⎩⎪⎨⎪⎧f －，f －，f，解得0<a <13.所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13.22. (2012·安徽名校模拟)已知函数f (x )＝a x 2－x －ex(x ∈R)，a 为正数．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若对任意x 1，x 2∈[0,4]均有|f (x 1)－f (x 2)|<1成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)∵f (x )＝a x 2－x －ex ，∴f ′(x )＝a x －x－a x 2－x －xe2x ＝－ax x －ex.令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝3.∵a >0，∴由f ′(x )>0，得0<x <3；由f ′(x )<0，得x <0或x >3.故函数f (x )的单调递增区间为(0,3)，单调递减区间为(－∞，0)，(3，＋∞)．(2)由(1)易知函数f (x )在[0,3]上为增函数，在[3,4] 上为减函数． ∴函数f (x )在[0,4]上的最大值f (3)＝5ae 3，又∵f (0)＝－a <0，f (4)＝11a e －4>0， ∴f (0)<f (4)．∴f (x )在[0,4]上的最小值为f (0)＝－a . ∴要使函数f (x )对任意x 1，x 2∈[0,4]均有|f (x 1)－f (x 2)|<1成立，只需|f (3)－f (0)|<1即可， 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪5a e 3＋a <1. ∵a >0，∴0<a <e 35＋e 3.。
《三维设计》高三数学 第二单元 基本初等函数(I)和导数6.函数的单调性课时限时检测
(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．(2010·大连模拟)下列函数在(0,1)上是减函数的是( ) A ．y ＝log 0.5(1－x ) B ．y ＝x 0.5C ．y ＝0.51－xD ．y ＝12(1－x 2)解析：y ＝log 0.5(1－x )在(0,1)上为增函数；y ＝x 0.5在(0,1)上是增函数； y ＝0.51－x 在(0,1)上为增函数；函数y ＝12(1－x 2)在(－∞，0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数，∴函数y ＝12(1－x 2)在(0,1)上是减函数．答案：D2．函数y ＝2x 2－(a －1)x ＋3在(－∞，1]内递减，在(1，＋∞)内递增，则a 的值是( ) A ．1 B ．3 C ．5D ．－1解析：依题意可得对称轴x ＝a －14＝1，∴a ＝5.答案：C3．已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f (|x |)<f (1)的实数x 的取值范围是( ) A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：∵f (x )为R 上的减函数，且f (|x |)<f (1)， ∴|x |>1，∴x <－1或x >1. 答案：D4．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：由题意知当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2， 当1＜x ≤2时，f (x )＝x 3－2，又∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域上都为增函数，∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6. 答案：C5．定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f x 2－f x 1x 2－x 1<0，则( )A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2)解析：对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f x 2－f x 1x 2－x 1<0，实际上等价于函数f (x )在[0，＋∞)上是减函数，故f (3)<f (2)<f (1)，由于函数是偶函数，故f (3)<f (－2)<f (1)．答案：A6．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在区间[3,5]上单调递增，则函数f (x )在区间[1,3]上的( )A ．最大值是f (1)，最小值是f (3)B ．最大值是f (3)，最小值是f (1)C ．最大值是f (1)，最小值是f (2)D ．最大值是f (2)，最小值是f (3)解析：依题意得f (x )的图象关于直线x ＝1对称，f (x ＋1)＝－f (x －1)，f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即函数f (x )是以4为周期的函数．由f (x )在[3,5]上是增函数与f (x )的图象关于直线x ＝1对称得，f (x )在[－3，－1]上是减函数．又函数f (x )是以4为周期的函数，因此f (x )在[1,3]上是减函数，f (x )在[1,3]上的最大值是f (1)，最小值是f (3)．答案：A二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分) 7．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________． 解析：y ＝－(x －3)|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x x >0，x 2－3x x ≤0.作出该函数的图象，观察图象知递增区间为[0，32]．答案：[0，32]8．设x 1、x 2为方程4x 2－4mx ＋m ＋2＝0的两个实根，当m ＝________时，x 21＋x 22有最小值________．解析：由根与系数的关系得：x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m ＋24，∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝m 2－m ＋22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －142－1716.又x 1，x 2为实根，∴Δ≥0，∴m ≤－1或m ≥2，∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －142－1716在区间(－∞，－1]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，又抛物线y 开口向上且以m ＝14为对称轴，故m ＝－1时，y min ＝12.答案：－1129．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2x －1，x ≤1，log a x x ＞1.若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －2>0，a >1，log a 1≥a －2·1－1，解得2<a ≤3.答案：(2,3]三、解答题(共3小题，满分35分)10．求函数f (x )＝x ＋a 2x(a >0)的单调区间．解：∵函数的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}， 设x 1、x 2≠0，且x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋a 2x 1－x 2－a 2x 2＝(x 1－x 2)＋a 2x 2－x 1x 1·x 2＝x 1－x 2x 1·x 2－a 2x 1·x 2.(1)当x 1<x 2≤－a 或a ≤x 1＜x 2时，x 1－x 2<0，x 1·x 2>a 2，∴f (x 1)－f (x 2)<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－a ]上和在[a ，＋∞)上都是增函数． (2)当－a ≤x 1<x 2<0或0<x 1<x 2≤a 时，x 1－x 2<0， 0<x 1·x 2<a 2，∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x 1)>f (x 2)， ∴f (x )在[－a,0)和(0，a ]上都是减函数． 11．已知函数f (x )＝a －1|x |.(1)求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )＜2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)证明：当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝a －1x，设0<x 1<x 2，则x 1x 2>0，x 2－x 1>0.f (x 1)－f (x 2)＝(a －1x 1)－(a －1x 2)＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2<0. ∴f (x 1)<f (x 2)，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)由题意a －1x ＜2x 在(1，＋∞)上恒成立，设h (x )＝2x ＋1x，则a ＜h (x )在(1，＋∞)上恒成立． 可证h (x )在(1，＋∞)上单调递增．故a ≤h (1)，即a ≤3，∴a 的取值范围为(－∞，3]．12．定义在R 上的函数f (x )满足对任意x 、y ∈R 恒有f (xy )＝f (x )＋f (y )，且f (x )不恒为0.(1)求f (1)和f (－1)的值；(2)试判断f (x )的奇偶性，并加以证明；(3)若x ≥0时f (x )为增函数，求满足不等式f (x ＋1)－f (2－x )≤0的x 的取值集合． 解：(1)令x ＝y ＝1，得f (1)＝f (1)＋f (1)． ∴f (1)＝0.令x ＝y ＝－1，得f (1)＝f (－1)＋f (－1)． ∴f (－1)＝0.(2)令y ＝－1，由f (xy )＝f (x )＋f (y )，得f (－x )＝f (x )＋f (－1)．又f (－1)＝0，∴f (－x )＝f (x )， 又f (x )不恒为0，∴f (x )为偶函数．(3)由f (x ＋1)－f (2－x )≤0，知f (x ＋1)≤f (2－x )． 又由(2)知f (x )＝f (|x |)， ∴f (|x ＋1|)≤f (|2－x |)．又∵f (x )在[0，＋∞)上为增函数，∴|x ＋1|≤|2－x |.故x 的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤12.。
【三维设计】高考数学大一轮复习讲义(备考基础查清+热点命题悟通)第二章 函数、导数及其应用 理 苏教版
第二章 函数、导数及其应用第一节函数及其表示对应学生用书P81．函数映射的概念(1)函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图像法、列表法． 3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．1．解决函数的一些问题时，易忽视“定义域优先”的原则．2．易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A 到B的一个映射，A 、B 若不是数集，则这个映射便不是函数．3．误把分段函数理解为几种函数组成． [试一试]1．(2013·苏锡常镇一调)已知常数t 是负实数，则函数f (x )＝12t 2－tx －x 2的定义域是________．解析：因为f (x )＝12t 2－tx －x 2＝－x ＋3t x ＋4t ，则(－x ＋3t )(x ＋4t )≥0.又t <0，所以x ∈[3t ，－4t ]．答案：[3t ，－4t ]2．(2013·扬州期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x，x ≤0，则f (f (0))＝________.解析：因为f (0)＝30＝1，所以f (f (0))＝f (1)＝log 21＝0. 答案：0求函数解析式的四种常用方法(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法； (3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(4)解方程组法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f (x )．[练一练]1．设g (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则f (x )等于________． 解析：f (x )＝g (x ＋2)＝2(x ＋2)＋3＝2x ＋7. 答案：2x ＋72．若f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0，则f (x )＝________.解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝3.∴f (x )＝x 2－4x ＋3. 答案：x 2－4x ＋3 对应学生用书P9函数与映射的概念1.________．(填写序号①y ＝x －1与y ＝x －2②y ＝x －1与y ＝x －1x －1③y ＝4lg x 与y ＝2lg x 2④y ＝lg x －2与y ＝lg x100答案：④2．以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？为什么？ (1)f 1：y ＝x x；f 2：y ＝1. (2)f 1：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2；f 2：(3)f 1：y ＝2x ；f 2解：(1)不同函数．f 1(x )的定义域为{x ∈R |x ≠0}，f 2(x )的定义域为R .(2)同一函数．x 与y 的对应关系完全相同且定义域相同，它们是同一函数的不同表示方式．(3)同一函数．理由同(2)．[备课札记] [类题通法]两个函数是否是同一个函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示同一函数．另外，函数的自变量习惯上用x 表示，但也可用其他字母表示，如：f (x )＝2x －1，g (t )＝2t －1，h (m )＝2m －1均表示同一函数．函数的定义域问题函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分.归纳起来常见的命题角度有：求给定函数解析式的定义域； 已知fx 的定义域，求f g x 的定义域；已知定义域确定参数问题.角度一 求给定函数解析式的定义域1．(1)(2013·山东高考改编)函数f (x )＝ 1－2x＋1x ＋3的定义域为________．(2)(2013·安徽高考)函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________．解析：(1)由题意，自变量x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧1－2x≥0，x ＋3>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x >－3，∴－3<x ≤0.(2)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x>0，1－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x >0，x 2≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，－1≤x ≤1，解得0<x ≤1，所以定义域为(0,1]．答案：(1)(－3,0] (2)(0,1]角度二 已知f (x )的定义域，求f (g (x ))的定义域2．已知函数f (x )的定义域是[－1,1]，求f (log 2x )的定义域． 解：∵函数f (x )的定义域是[－1,1]，∴－1≤log 2x ≤1， ∴12≤x ≤2.故f (log 2x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.[备课札记] 角度三 已知定义域确定参数问题3．(2014·合肥模拟)若函数f (x )＝ 2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________．解析：函数f (x )的定义域为R ，所以2x 2＋2ax －a －1≥0对x ∈R 恒成立，即2x 2＋2ax －a ≥1，x 2＋2ax －a ≥0恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0.答案：[－1,0] [类题通法]简单函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．(3)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出．求函数的解析式[典例] (1)已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋x ＝x 2＋x2，求f (x )的解析式．(2)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，求f (x )的解析式．(3)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )．(4)定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求函数f (x )的解析式．[解] (1)由于f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2，所以f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2，故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2(x ≥2或x ≤－2)． (2)令2x ＋1＝t 得x ＝2t －1，代入得f (t )＝lg 2t －1，又x >0，所以t >1， 故f (x )的解析式是f (x )＝lg2x －1(x >1)． (3)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ， 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x (x ∈R )．(4)当x ∈(－1,1)时，有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)． ①以－x 代x ，得2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)． ②由①②消去f (－x )，得f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1,1)．[备课札记] [类题通法]求函数解析式常用的方法有 (1)待定系数法；(2)换元法(换元后要注意新元的取值范围)； (3)配凑法； (4)解方程组法． [针对训练]1．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式． 解：法一：设t ＝x ＋1， 则x ＝(t －1)2(t ≥1)；代入原式有f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1. 故f (x )＝x 2－1(x ≥1)．法二：∵x ＋2x ＝(x )2＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1， ∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1(x ＋1≥1)， 即f (x )＝x 2－1(x ≥1)．2．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，求f (x )的解析式．解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b ＝2x ＋2， ∴a ＝1，b ＝2，f (x )＝x 2＋2x ＋c . 又∵方程f (x )＝0有两个相等实根， ∴Δ＝4－4c ＝0，c ＝1，故f (x )＝x 2＋2x ＋1.分段函数[典例] (2011·江苏高考)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．[解析] 当a >0时，1－a <1,1＋a >1. 这时f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a ，f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－1－3a .由f (1－a )＝f (1＋a )得2－a ＝－1－3a ，解得a ＝－32.不合题意，舍去．当a <0时，1－a >1,1＋a <1，这时f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ，f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝2＋3a .由f (1－a )＝f (1＋a )得－1－a ＝2＋3a ，解得a ＝－34.综上可知，a 的值为－34.[答案] －34[备课札记] [类题通法]分段函数“两种”题型的求解策略 (1)根据分段函数解析式求函数值首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解． (2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．提醒：当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论． [针对训练]设函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x，x ∈－∞，，x 2，x ∈[1，＋，若f (x )>4，则x 的取值范围是______．解析：当x <1时，由f (x )>4，得2－x>4，即x <－2； 当x ≥1时，由f (x )>4得x 2>4，所以x >2或x <－2，由于x ≥1，所以x >2. 综上可得x <－2或x >2. 答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞) 对应学生用书P10[课堂练通考点]1．(2013·南京一模)函数y ＝2x －x 2的定义域是________． 解析：由2x －x 2≥0得0≤x ≤2，故函数的定义域为[0,2] 答案：[0,2]2．(2013·苏北四市二调)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x， x <0，－2－x， x >0，则函数y ＝f (f (x ))的值域是________．解析：当x <0时，f (x )＝2x∈(0,1)，故y ＝f (f (x ))＝－2－f (x )∈⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12；当x >0时，f (x )＝－2－x ∈(－1,0)，故y ＝f (f (x ))＝2f (x )∈⎝⎛⎭⎪⎫12，1，从而原函数的值域为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.答案：⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，13．函数y ＝(x ＋1)0＋ln(－x )的定义域为________．解析：由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，－x >0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1x <0⇒x ∈(－∞，－1)∪(－1,0)．答案：(－∞，－1)∪(－1,0)4．已知f (x )＝x 2＋px ＋q 满足f (1)＝f (2)＝0，则f (－1)＝________. 解析：由f (1)＝f (2)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧12＋p ＋q ＝0，22＋2p ＋q ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－3，q ＝2.故f (x )＝x 2－3x ＋2.所以f (－1)＝(－1)2＋3＋2＝6. 答案：65．已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >0，2－x ，x <0.(1)求f (g (2))与g (f (2))；(2)求f (g (x ))与g (f (x ))的表达式． 解：(1)g (2)＝1，f (g (2))＝f (1)＝0；f (2)＝3，g (f (2))＝g (3)＝2.(2)当x >0时，f (g (x ))＝f (x －1)＝(x －1)2－1＝x 2－2x ； 当x <0时，f (g (x ))＝f (2－x )＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3.所以f (g (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x >0，x 2－4x ＋3，x <0.同理可得g (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x <－1或x >1，3－x 2，－1<x <1.[课下提升考能] 第Ⅰ组：全员必做题1．已知集合A ＝[0,8]，集合B ＝[0,4]，则下列对应关系中，不能看作从A 到B 的映射的是________．(填写序号)①f ：x →y ＝18x ②f ：x →y ＝14x ③f ：x →y ＝12x④f ：x →y ＝x解析：按照对应关系f ：x →y ＝x ，对①中某些元素(如x ＝8)，②中不存在元素与之对应． 答案：④2．(2014·南昌模拟测试)函数f (x )＝2x ＋12x 2－x －1的定义域是________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≥0，2x 2－x －1≠0，解得x >－12且x ≠1.答案：{x |x >－12且x ≠1}3．(2014·温州高三第一次适应性测试)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，0≤x <5f x －，x ≥5，那么f (2013)＝________.解析：根据题意，当x ≥5时，f (x )＝f (x －5)， ∴f (2 013)＝f (3)，而当0≤x <5时，f (x )＝x 3， ∴f (3)＝33＝27. 答案：274．(2014·连云港期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ∈[0，1]，x ，x ∉[0，1]，则使f [f (x )]＝2成立的实数x 的集合为________．解析：当x ∈[0,1]时，f (f (x ))＝f (2)＝2成立；当x ∉[0,1]时，f (f (x ))＝f (x )＝x ，要使f (f (x ))＝2成立，只需x ＝2，综上所述，实数x 的集合为{x |0≤x ≤1或x ＝2}．答案：[0,1]∪{2}5．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧c x ，x <A ，c A ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是________．解析：因为组装第A 件产品用时15分钟， 所以cA＝15， ①所以必有4<A ，且c4＝c2＝30. ②联立①②解得c ＝60，A ＝16. 答案：60,166．设函数f (x )满足f (x )＝1＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 2x ，则f (2)＝________. 解析：由已知得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·log 22，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，则f (x )＝1＋12·log 2x ，故f (2)＝1＋12·log 22＝32. 答案：327．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ，x ≥2，2x＋1，x ＜2，若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________．解析：由题知，f (1)＝2＋1＝3，f (f (1))＝f (3)＝32＋6a ，若f (f (1))>3a 2，则9＋6a >3a 2，即a 2－2a －3<0，解得－1<a <3.答案：(－1,3) 8．有以下判断：(1)f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x －1，x表示同一个函数．(2)f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数．(3)若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0.其中正确判断的序号是________．解析：对于(1)，函数f (x )＝|x |x的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，－x的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于(2)，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )与g (t )表示同一函数；对于(3)，由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (0)＝1. 综上可知，正确的判断是(2)． 答案：(2)9．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝________.解析：若a ≥0，则a ＋1＝2，解得a ＝1；若a <0，则－a ＋1＝2，解得a ＝－1.故a ＝±1.答案：±110．二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.则f (x )＝________. 解析：设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝1，∴c ＝1.把f (x )的表达式代入f (x ＋1)－f (x )＝2x ，有a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x .∴2ax ＋a ＋b ＝2x . ∴a ＝1，b ＝－1. ∴f (x )＝x 2－x ＋1. 答案：x 2－x ＋1 第Ⅱ组：重点选做题1.创新题具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是________(填序号)．解析：对于①，f (x )＝x －1x，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③. 答案：①③2．若函数f (x )＝x 2－1x 2＋1，则(1)ff ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________.(2)f (3)＋f (4)＋…＋f (2 012)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 012＝________.解析：(1)∵f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 2－1x 2＋1＋1－x 21＋x 2＝0，∴f xf ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－1(x ≠±1)，∴ff ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1.(2)又f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，f (4)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝0，…f (2 012)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 012＝0，∴f (3)＋f (4)＋…＋f (2 012)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 012＝0.答案：(1)－1 (2)03．(2013·苏北四市一检)定义在R 上的函数f (x )满足f (m ＋n 2)＝f (m )＋2[f (n )]2，m ，n ∈R ，且f (1)≠0，则f (2 014)＝________.解析：令m ＝n ＝0，得f (0＋02)＝f (0)＋2[f (0)]2，所以f (0)＝0；令m ＝0，n ＝1，得f (0＋12)＝f (0)＋2[f (1)]2，由于f (1)≠0，所以f (1)＝12；令m ＝x ，n ＝1，得f (x ＋12)＝f (x )＋2[f (1)]2，所以f (x ＋1)＝f (x )＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122，即f (x ＋1)＝f (x )＋12，这说明数列{f (x )}(x ∈Z )是首项为12，公差为12的等差数列，所以f (2 014)＝12＋(2 014－1)×12＝1 007.答案：1 0074．规定[t ]为不超过t 的最大整数，例如[12.6]＝12，[－3.5]＝－4，对任意实数x ，令f 1(x )＝[4x ]，g (x )＝4x －[4x ]，进一步令f 2(x )＝f 1[g (x )]．(1)若x ＝716，分别求f 1(x )和f 2(x )；(2)若f 1(x )＝1，f 2(x )＝3同时满足，求x 的取值范围． 解：(1)∵x ＝716时，4x ＝74，∴f 1(x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤74＝1. ∵g (x )＝74－⎣⎢⎡⎦⎥⎤74＝34.∴f 2(x )＝f 1[g (x )]＝f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝[3]＝3. (2)∵f 1(x )＝[4x ]＝1，g (x )＝4x －1， ∴f 2(x )＝f 1(4x －1)＝[16x －4]＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧1≤4x <2，3≤16x －4<4，∴716≤x <12. 故x 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫716，12.第二节函数的单调性与最值对应学生用书P111．增函数、减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果对于任意x1，x2∈D，且x1<x2，则有：(1)f(x)在区间D上是增函数⇔f(x1)<f(x2)；(2)f(x)在区间D上是减函数⇔f(x1)>f(x2)．2．单调区间的定义若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．3．函数的最值1．函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．2．两函数f(x)，g(x)在x∈(a，b)上都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)也为增(减)函数，但f(x)·g(x)，1f x等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比．[试一试]1．(2013·苏锡常镇二调)函数f(x)＝2x＋log2x(x∈[1,2])的值域为________．解析：因为y＝2x，y＝log2x在定义域内均为增函数，所以y＝2x＋log2x在[1,2]上单调递增，故f(x)∈[2,5]．答案：[2,5]2．函数f(x)＝x2－2x(x∈[－2,4])的单调增区间为______；f(x)max＝________.解析：函数f (x )的对称轴x ＝1，单调增区间为[1,4]，f (x )max ＝f (－2)＝f (4)＝8. 答案：[1,4] 81．判断函数单调性的四种方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论；(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数； (3)图像法：如果f (x )是以图像形式给出的，或者f (x )的图像易作出，可由图像的直观性判断函数单调性．(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性． 2．求函数最值的五个常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值． (4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．(5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值． 提醒：在求函数的值域或最值时，应先确定函数的定义域． [练一练]1．(2013·南京第一学期调研)命题甲：函数f (x )是奇函数，乙：函数f (x )在定义域上是增函数．对于函数：(1)f (x )＝－1x；(2)f (x )＝tan x ；(3)f (x )＝x |x |；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1， x ≥0，－2－x＋1， x <0.能使甲、乙均为真命题的所有函数的序号是________．解析：(1)(2)不满足在定义域上是增函数，(3)(4)满足，且(3)(4)是奇函数． 答案：(3)(4) 2．函数f (x )＝1x 2＋1在区间[2,3]上的最大值是________，最小值是________． 答案：15 110对应学生用书P11求函数的单调区间1.函数f (x 5________．解析：要使y ＝log 5(2x ＋1)有意义，则2x ＋1>0，即x >－12，而y ＝log 5u 为(0，＋∞)上的增函数，当x >－12时，u ＝2x ＋1也为R 上的增函数，故原函数的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞2．函数y ＝x －|1－x |的单调增区间为________．解析：y ＝x －|1－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ≥1，2x －1， x <1.作出该函数的图像如图所示．由图像可知，该函数的单调增区间是(－∞，1]． 答案：(－∞，1]3．设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数k ，定义函数f k (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x，f x k ，k ，fx ＞k ，取函数f (x )＝2－|x |.当k ＝12时，函数f k (x )的单调递增区间为________．解析：由f (x )>12，得－1<x <1.由f (x )≤12，得x ≤－1或x ≥1.所以f 12(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≥1，12，－1＜x ＜1，2x，x ≤－1.故f 12(x )的单调递增区间为(－∞，－1)．答案：(－∞，－1)[备课札记][类题通法]求函数单调区间的方法与判断函数单调性的方法相同即 (1)定义法；(2)复合法；(3)图像法；(4)导数法．函数单调性的判断[典例] 试讨论函数f (x )＝x ＋x(k >0)的单调性．[解] 法一：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．在(0，＋∞)内任取x 1，x 2，令x 1<x 2，那么f (x 2)－f (x 1)＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋k x 2－⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋k x 1＝(x 2－x 1)＋k ⎝⎛⎭⎪⎫1x 2－1x1＝(x 2－x 1)x 1x 2－kx 1x 2.因为0<x 1<x 2，所以x 2－x 1>0，x 1x 2>0. 故当x 1，x 2∈(k ，＋∞)时，f (x 1)<f (x 2)， 即函数在(k ，＋∞)上单调递增． 当x 1，x 2∈(0，k )时，f (x 1)>f (x 2)， 即函数在(0，k )上单调递减．考虑到函数f (x )＝x ＋kx(k >0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(－∞，－k )上单调递增，在(－k ，0)上单调递减．综上，函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上单调递增，在(－k ，0)和(0，k )上单调递减．法二：f ′(x )＝1－k x2.令f ′(x )>0得x 2>k ，即x ∈(－∞，－k )或x ∈(k ，＋∞)，故函数的单调增区间为(－∞，－k )和(k ，＋∞)．令f ′(x )<0得x 2<k ，即x ∈(－k ，0)或x ∈(0，k )，故函数的单调减区间为(－k ，0)和(0，k )．故函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上单调递增，在(－k ，0)和(0，k )上单调递减．[备课札记] [类题通法]1．利用定义判断或证明函数的单调性时，作差后要注意差式的分解变形彻底． 2．利用导数法证明函数的单调性时，求导运算及导函数符号判断要准确． [针对训练]判断函数g (x )＝－2xx －1在 (1，＋∞)上的单调性．解：任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2， 则g (x 1)－g (x 2)＝－2x 1x 1－1－－2x 2x 2－1＝x 1－x2x 1－x 2－，由于1<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，(x 1－1)(x 2－1)>0， 因此g (x 1)－g (x 2)<0，即g (x 1)<g (x 2)． 故g (x )在(1，＋∞)上是增函数．函数单调性的应用函数单调性的应用比较广泛是每年高考的重点和热点内容.归纳起来常见的命题角度有：求函数的值域或最值；比较两个函数值或两个自变量的大小；解函数不等式；求参数的取值范围或值.角度一 求函数的值域或最值1．已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数；(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值． 解：(1)证明：∵函数f (x )对于任意x ，y ∈R ， 总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )， ∴令x ＝y ＝0，得f (0)＝0. 再令y ＝－x ，得f (－x )＝－f (x )． 在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0，f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 2)．又∵当x >0时，f (x )<0， 而x 1－x 2>0，∴f (x 1－x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)．因此f (x )在R 上是减函数．(2)∵f (x )在R 上是减函数， ∴f (x )在[－3,3]上也是减函数，∴f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f (－3)与f (3)． 而f (3)＝3f (1)＝－2，f (－3)＝－f (3)＝2. ∴f (x )在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.[备课札记] 角度二 比较两个函数值或两个自变量的大小2．已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x ，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则f (x 1)________f (x 2)(填“>”或“<”)解析：∵函数f (x )＝log 2x ＋11－x在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，∴当x 1∈(1,2)时，f (x 1)<f (2)＝0，当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0， 即f (x 1)<0，f (x 2)>0. 答案：<角度三 解函数不等式3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，则不等式f (a 2－4)>f (3a )的解集为________．解析：作出函数f (x )的图像，如图所示，则函数f (x )在R 上是单调递减的．由f (a 2－4)>f (3a )，可得a 2－4<3a ，整理得a 2－3a －4<0，即(a ＋1)(a －4)<0，解得－1<a <4，所以不等式的解集为(－1,4)．答案：(－1,4)角度四 求参数的取值范围或值4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x ，x ≥2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1，x <2满足对任意的实数x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值范围为____________．解析：函数f (x )是R 上的减函数，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，a －⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1，由此解得a ≤138，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，138 . 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，138[类题通法]1．含“f ”不等式的解法首先根据函数的性质把不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g (x )与h (x )的取值应在外层函数的定义域内．2．比较函数值大小的思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于填空题能数形结合的尽量用图像法求解．对应学生用书P13[课堂练通考点]1．(2013·无锡期末)已知函数y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．解析：令m ＝ax －1，则函数y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增等价于m ＝ax －1在(1,2)上单调递增，且ax －1>0在(1,2)上恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a －1≥0，即a ≥1.答案：[1，＋∞)2．函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是________．解析：由于f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2.结合图像可知函数的单调减区间是[1,2]． 答案：[1,2]3．已知函数f (x )为R 上的减函数，若m <n ，则f (m )______f (n )(填“>”或“<”)；若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x <f (1)，则实数x 的取值范围是________．解析：由题意知f (m )>f (n )；⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x >1，即|x |<1，且x ≠0. 故－1<x <1且x ≠0. 答案：> (－1,0)∪(0,1)4．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．解析：由于y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1,1]上递增，所以f (x )在[－1,1]上单调递减，故f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.答案：3 5．函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是递增的，求实数a 的取值范围． 解：f (x )＝ax ＋1x ＋2＝a x ＋＋1－2a x ＋2＝1－2ax ＋2＋a . 任取x 1，x 2∈(－2，＋∞)，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝1－2a x 1＋2－1－2ax 2＋2＝－2a x 2－x 1x 1＋x 2＋.∵函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是递增的， ∴f (x 1)－f (x 2)<0.∵x 2－x 1>0，x 1＋2>0，x 2＋2>0，∴1－2a <0，a >12，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. [课下提升考能] 第Ⅰ组：全员必做题1．(2013·苏北四市三调)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ， x ≤0，ax 2＋bx ， x >0为奇函数，则a ＋b ＝________.解析：当x >0时，－x <0，由题意得f (－x )＝－f (x )，所以x 2－x ＝－ax 2－bx ，从而a ＝－1，b ＝1，a ＋b ＝0.答案：02．若函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在[－2，＋∞)上递增，在(－∞，－2]上递减，则f (1)＝________.解析：依题意，知函数图像的对称轴为x ＝－－m 8＝m 8＝－2，即 m ＝－16，从而f (x )＝4x2＋16x ＋5，f (1)＝4＋16＋5＝25.答案：253.创新题定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于________．解析：由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2， 当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数． ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6. 答案：64．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________．解析：∵函数f (x )＝－x 2＋2ax 在区间[1,2]上是减函数，∴a ≤1. 又∵函数g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上也是减函数，∴a >0.∴a 的取值范围是(0,1]． 答案：(0,1]5．(2014·苏中三市、宿迁调研)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝x ＋e x(e 为自然对数的底数)，则f (ln 6)的值为________．解析：由f (x )是奇函数得f (ln 6)＝－f (－ln 6)＝－(－ln 6)－e －ln 6＝ln 6－16.答案：ln 6－166．已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)，若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，则a ＝__________.解析：由反比例函数的性质知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f ＝2.即⎩⎪⎨⎪⎧1a －2＝12，1a －12＝2，解得a ＝25.答案：257．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．解析：g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1.如图所示，其递减区间是[0,1)．答案：[0,1)8．使函数y ＝2x ＋kx －2与y ＝log 3(x －2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k 的取值范围是________．解析：由y ＝log 3(x －2)的定义域为(2，＋∞)，且为增函数，故在(3，＋∞)上是增函数．又函数y ＝2x ＋kx －2＝x －＋4＋k x －2＝2＋4＋kx －2，使其在(3，＋∞)上是增函数， 故4＋k <0，得k <－4. 答案：(－∞，－4) 9．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围． 解：(1)证明：任设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝x 1－x 2x 1＋x 2＋.∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， ∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a x 2－x 1x 1－a x 2－a.∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，∴a ≤1.综上所述知0<a ≤1. 10．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值； (2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值．解：(1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0. (2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1， 由于当x >1时，f (x )<0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． (3)∵f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数． ∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)．由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫93＝f (9)－f (3)， 而f (3)＝－1，∴f (9)＝－2. ∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2. 第Ⅱ组：重点选做题1．(2013·南通二模)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝f (x ＋2)，当x ∈[3,5]时，f (x )＝2－|x －4|.下列不等关系：①f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6；②f (sin l)>f (cos l)；③f ⎝⎛⎭⎪⎫cos 2π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3；④f (cos 2)>f (sin 2)． 其中正确的是________(填序号)．解析：当x ∈[－1,1]时，x ＋4∈[3,5]，从而f (x )＝f (x ＋4)＝2－|x |，因为sin π6<cosπ6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6；因为sin l>cos l ，所以f (sin l)<f (cos l)；因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos 2π3<⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 2π3，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫cos 2π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3；因为|cos 2|<|sin 2|，所以f (cos 2)>f (sin 2)．综上所述，正确的是④.答案：④2．若函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)在区间(a,3a －1)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．解析：由于f (x )＝|log a x |(0<a <1)的递减区间是(0,1]，所以有0<a <3a －1≤1，解得12<a ≤23.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤12，23 第三节函数的奇偶性及周期性对应学生用书P131．函数的奇偶性2.(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．判断函数f (x )的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x ，均有f (－x )＝－f (x )，而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)、f (－x 0)＝f (x 0)．3．分段函数奇偶性判定时，f (－x 0)＝f (x 0)利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性是错误的．[试一试]1．(2013·南通三模)对于定义在R 上的函数f (x )，给出三个命题： ①若f (－2)＝f (2)，则f (x )为偶函数；②若f (－2)≠f (2)，则f (x )不是偶函数； ③若f (－2)＝f (2)，则f (x )一定不是奇函数． 其中正确命题的序号为________．解析：根据偶函数的定义，对于定义域内的任意实数x ，若f (－x )＝f (x )，则f (x )是偶函数．从而命题①错误，命题②正确；对于常数函数，命题③错误．答案：①2．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是________． 解析：∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数， ∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝13.又f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，∴a ＋b ＝13.答案：131．判断函数奇偶性的两个方法 (1)定义法：(2)图像法：2．周期性常用的结论对f (x )定义域内任一自变量的值x ： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a ； (2)若f (x ＋a )＝1f x，则T ＝2a ； (3)若f (x ＋a )＝－1f x，则T ＝2a .(a >0)[练一练]已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32，且f (1)＝2，则f (2 014)＝________.解析：∵f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32， ∴f (x ＋3)＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＋32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x )．∴f (x )是以3为周期的周期函数． 则f (2 014)＝f (671×3＋1)＝f (1)＝2. 答案：2 对应学生用书P14函数奇偶性的判断(1)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (2)f (x )＝3－2x ＋2x －3； (3)f (x )＝3x －3－x； (4)f (x )＝4－x2|x ＋3|－3；(5)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x >0，x 2－x ，x <0.解：(1)∵由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，1－x 2≥0，得x ＝±1，∴f (x )的定义域为{－1,1}．又f (1)＋f (－1)＝0，f (1)－f (－1)＝0， 即f (x )＝±f (－x )．∴f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)∵函数f (x )＝3－2x ＋2x －3的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫32，不关于坐标原点对称，∴函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数． (3)∵f (x )的定义域为R ，∴f (－x )＝3－x－3x ＝－(3x －3－x)＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数．(4)∵由⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0，得－2≤x ≤2且x ≠0.∴f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]， ∴f (x )＝4－x2|x ＋3|－3＝4－x 2x ＋－3＝4－x2x，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(5)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，又当x >0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x <0时，－x >0，故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )；当x <0时，f (x )＝x 2－x ，则当x >0时，－x <0， 故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )，故原函数是偶函数．[备课札记] [类题通法]判断函数奇偶性除利用定义法和图像法，应学会利用性质(1)“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶； (2)“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶； (3)“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇.函数奇偶性的应用[典例] 是奇函数，且f (1)＝1.若2，则g (－1)＝________.(2)已知奇函数f (x )的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]上递减，求满足f (1－m )＋f (1－m 2)<0的实数m 的取值范围．[解析] (1)∵y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且x ＝1时，y ＝2，∴当x ＝－1时，y ＝－2， 即f (－1)＋(－1)2＝－2，得f (－1)＝－3，所以g (－1)＝f (－1)＋2＝－1. (2)∵f (x )的定义域为[－2,2]，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤1－m ≤2，－2≤1－m 2≤2，解得－1≤m ≤ 3.①又f (x )为奇函数，且在[－2,0]上递减， ∴f (x )在[－2,2]上递减，∴f (1－m )<－f (1－m 2)＝f (m 2－1)⇒1－m >m 2－1，即－2<m <1.② 综合①②可知，－1≤m <1.[备课札记]∵f(x)为奇函数且在[－2,0]上递增，∴f(x)在[－2,2]上递增．∴m2－1>1－m.即m>1或m<－2.由例(2)①知1<m≤ 3.故m的取值范围为(1，3]．[类题通法]应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．(3)求函数解析式中参数的值：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．(4)画函数图像和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图像及判断另一区间上的单调性．[针对训练]1．已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，若f(a)≥f(2)，则实数a的取值范围是________．解析：∵y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，∴函数y＝f(x)在[0，＋∞)上是增函数．∴当a>0时，由f(a)≥f(2)可得a≥2，当a<0时，由f(a)≥f(2)＝f(－2)，可得a≤－2.所以实数a的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，－2]∪[2，＋∞)2．(2013·苏北四市期中)已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且f (2)＝1，若f (x ＋a )≤1对x ∈[－1,1]恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意得－2≤x ＋a ≤2对x ∈[－1,1]恒成立，即－2－x ≤a ≤2－x 对x ∈[－1,1]恒成立．当x ∈[－1,1]时，(－2－x )max ＝－2－(－1)＝－1，(2－x )min ＝2－1＝1，所以实数a 的取值范围是[－1,1]．答案：[－1,1]函数的周期性及其应用[典例] 已知函数f (x )对任意的实数满足：f (x ＋3)＝－f x，且当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2，当－1≤x <3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 014)＝________.[解析] ∵对任意x ∈R ，都有f (x ＋3)＝－1f x，∴f (x ＋6)＝f (x ＋3＋3) ＝－1fx ＋＝－1－1f x＝f (x )，∴f (x )是以6为周期的周期函数，∵当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2，当－1≤x <3时，f (x )＝x ，∴f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－1，f (4)＝f (－2)＝0，f (5)＝f (－1)＝－1，f (6)＝f (0)＝0.∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝f (7)＋f (8)＋…＋f (12)＝…＝f (2 005)＋f (2 006)＋…＋f (2 010)＝1，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 010)＝1×2 0106＝335.而f (2 011)＋f (2 012)＋f (2 013)＋f (2 014)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝1＋2－1＋0＝2，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 014)＝335＋2＝337. [答案] 337[备课札记][类题通法]函数周期性的判定与应用(1)判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．[针对训练]设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式． 解：(1)证明：∵f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )． ∴f (x )是周期为4的周期函数．(2)∵x ∈[2,4]，∴－x ∈[－4，－2]，∴4－x ∈[0,2]， ∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8. 又∵f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝－x 2＋6x －8， 即f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[2,4]．对应学生用书P15[课堂练通考点]1．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝________. 解析：∵f (x )是周期为2的奇函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－2 ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝－12.答案：－122．(2010·江苏高考)设函数f (x )＝x (e x＋a e －x)(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为________．解析：设g (x )＝x ，h (x )＝e x ＋a e －x，因为函数g (x )＝x 是奇函数，则由题意知，函数h (x )＝e x ＋a e －x 为奇函数，又函数f (x )的定义域为R ，∴h (0)＝0，解得a ＝－1.答案：－13．设函数f (x )＝x 3cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________.解析：观察可知，y ＝x 3cos x 为奇函数，且f (a )＝a 3cos a ＋1＝11，故a 3cos a ＝10.则f (－a )＝－a 3·cos a ＋1＝－10＋1＝－9.答案：－94．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________. 解析：法一：∵f (－x )＝f (x )对于x ∈R 恒成立，∴|－x ＋a |＝|x ＋a |对于x ∈R 恒成立，两边平方整理得ax ＝0对于x ∈R 恒成立，故a ＝0.法二：由f (－1)＝f (1)，得|a －1|＝|a ＋1|得a ＝0. 答案：05．设定义在[－2,2]上的偶函数f (x )在区间[－2,0]上单调递减，若f (1－m )<f (m )，求实数m 的取值范围．解：由偶函数性质知f (x )在[0,2]上单调递增，且f (1－m )＝f (|1－m |)，f (m )＝f (|m |)，因此f (1－m )<f (m )等价于⎩⎪⎨⎪⎧－2≤1－m ≤2，－2≤m ≤2，|1－m |<|m |.解得：12<m ≤2.因此实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2. [课下提升考能] 第Ⅰ组：全员必做题1．x 为实数，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数f (x )＝x －[x ]的最小正周期是________．解析：如图，当x ∈[0,1)时，画出函数图像，再左右扩展知f (x )为周期函数． 答案：12．(2013·湖南高考改编)已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于________．。
【三维设计】高考数学 第二章 第十三节 导数的应用(二)课件 文
[以题试法1]
解：(1)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，
∵f′(x)＝x＋ex－(ex＋xex)＝x(1－ex)，
若x＝0，则f′(x)＝0；
若x<0，则1－ex>0，所以f′(x)<0； 若x>0，则1－ex<0，所以f′(x)<0.
∴f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，
∴当 0<x<1 时，f′(x)<0，此时 f(x)单调递减； 当 1<x<e 时，f′(x) >0，此时 f(x)单调递增． ∴f(x)的极小值为 f(1)＝1. 1－ln x (2)证明：由(1)知[f(x)]min＝1.又 g′(x)＝ ， x2 ∴当 0<x<e 时，g′(x)>0，g(x)在(0，e]上单调递增． 1 1 ∴[g(x)]max＝g(e)＝ < . e 2 1 ∴[f(x)]min－[g(x)]max> . 2 1 ∴在(1)的条件下，f(x)>g(x)＋ . 2
[以题试法 3]
解：①当 6≤t<9 时，
3 3 y′＝－ t2－ t＋36 8 2 3 ＝－ (t＋12)(t－8)． 8 令 y′＝0，得 t＝－12(舍去)或 t＝8. 当 6≤t<8 时，y′>0， 当 8<t<9 时，y′<0， 故 t＝8 时，y 有最大值，ymax＝18.75.
1 59 ②当 9≤t≤10 时，y＝ t＋ 是增函数， 8 4 故 t＝10 时，ymax＝16. ③当 10<t≤12 时，y＝－3(t－11)2＋18， 故 t＝11 时，ymax＝18. 综上可知，通过该路段用时最多的时刻为上午 8 点．
高中数学_基本初等函数的求导公式及运算法则教学设计学情分析教材分析课后反思
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教学设计教学目标：1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；2．掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。
教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则教学难点： 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用教学过程：一． 复习引入1. 导函数定义当x =x 0时, f ´(x 0) 是一个确定的数.这样,当x 变化时, f ´(x )便是x 的一个函数,我们称它为f (x )的导函数.即:2. 由定义求导数（三步法）二． 课堂探究探究点1 试求几种常见函数的导数（1） f (x)=c （c 为常数）（2） f (x)=x（3） f (x)=x 2思考：从（2）（3）（4）你能发现（x n ）'=?结论：四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式及应用 函数 导数 y c ='0y = y x = '1y =00()()()lim lim x x y f x x f x f x y x x ∆→∆→∆+∆-''===∆∆xx f 14=)()(三．新课讲授（一）基本初等函数的导数公式表小试牛刀：1、 求下列函数的导数（1）f(x)=a 2.（2）f(x)=x 12.（3）f(x)=x -4.（4）f(x)=lgx.设计意图：让同学熟悉公式，能够用简单的公式求简单函数的导数 导数运算法则 2y x = '2y x = 1y x = '21y x =- *()()n y f x x n Q ==∈ '1n y nx -= 函数 导数 y c = '0y = *()()n y f x x n Q ==∈ '1n y nx -= sin y x = 'cos y x = cos y x = 'sin y x =- ()x y f x a == 'ln (0)x y a a a =⋅> ()x y f x e == 'x y e =()log a f x x = '1()log ()(01)ln a f x xf x a a x a==>≠且 ()ln f x x = '1()f x x =1．[]'''()()()()f x g x f x g x ±=± 2．[]'''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ⋅=± 3．[]'''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦（2）推论：[]''()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）四．典例分析例1．求下列函数的导数:735(1)1;2(2).y x x x y x x=+-+=-（3）y =x 2sin x（4）y ＝x x 4； 【点评】○1 求导数是在定义域内实行的．② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．例2．若直线y ＝kx 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切，试求k 的值．例 3.日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为5284()(80100)100c x x x=<<- 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90% （2）98%解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．''''252845284(100)5284(100)()()100(100)x x c x x x ⨯--⨯-==-- 20(100)5284(1)(100)x x ⨯--⨯-=-25284(100)x =- （1） 因为'25284(90)52.84(10090)c ==-，所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨．（2） 因为'25284(98)1321(10090)c ==-，所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1321元/吨．函数()f x 在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，''(98)25(90)c c =．它表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为90%左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．五．课堂练习2.函数 y =sin x (cos x ＋1)的导数为______________.3.曲线y=x 3＋x 2＋l 在点P(－1，1)处的切线方程为 .六．回顾总结（1）基本初等函数的导数公式表（2）导数的运算法则七．布置作业 活页作业NO.13基本初等函数求导公式及运算法则学情分析在中学阶段，学生没有学习极限，而导数又作为一种特殊的极限，我们在处理这部分内容时不能过多地要求学生利用极限去求过于复杂的函数导数。
1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(三)课件人教新课标1
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4、新课讲授（复合函数的导数）
（1）．复合函数的概念：对于两个函数y＝f(u)和u ＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成 x 的函数 ，那 么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记
2 令u＝2x＋3，则y＝10u，
yx＝yu·ux＝10u·ln 10?(2x＋3) ＝2ln 10·102 x＋3.
3 y＝sin4 x＋cos4 x＝(sin2 x＋cos2 x)2－2sin2 x·cos2 x
＝1－sin2 2x＝1－(1－cos 4x)＝＋cos 4x. 所以y＝＝－sin 4x.
(4)设 y＝5log2u，u＝2x＋1，
则
y′＝5(log2u)′(2x＋1)′＝ul1n02＝2x＋110ln
. 2
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复合函数的求导步骤
1、分层：确定中间变量，写出内层 函数u g（x)，外层函数y （ u x）
2、求导：分别求出各层函数的导数 （弄清哪个是自变时），即先求y对u
的导数：yu ，再求u对x的导数：u x
6.若f (x) ex , 则f '(x) ex ;
7.若f
(x)
log a
x, 则f
'( x)
1 (a x ln a
0, 且a
1);
8.若f (x) ln x,则f '(x) 1 ; x
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2、复习引入(二）（导数的四则运算）
由导数的定义易知：x＝1,(x2 )＝2x, (x2 x) 2x 1 即 (x2 x) (x2 ) x 2x 1
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《三维设计》高三数学 第二单元 基本初等函数（I ）和导数
15.导数的应用课时限时检测
(时间60分钟，满分80分)
一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)
1．函数f (x )＝2x 4－3x 2
＋1在区间[12，2]上的最大值和最小值分别是( )
A ．21，－18
B ．1，－1
8
C ．21,0
D ．0，－1
8
答案：A
2．函数f (x )＝1＋x －sin x 在(0,2π)上是( ) A ．增函数 B ．减函数
C ．在(0，π)上增，在(π，2π)上减
D ．在(0，π)上减，在(π，2π)上增
解析：f ′(x )＝1－cos x >0，∴f (x )在(0,2π)上递增． 答案：A
3．f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )的图象最有可能的是图中的( )
解析：∵x ∈(－∞，－2)∪(0，＋∞)时f ′(x )<0，
∴在(－∞，－2)和(0，＋∞)上f (x )是减函数，排除B 、C 、D. 答案：A
4．函数f (x )＝x 3＋3x 2
＋4x －a 的极值点的个数是( ) A ．2 B ．1 C ．0
D ．由a 确定
解析：f ′(x )＝3x 2
＋6x ＋4＝3(x ＋1)2
＋1>0，则f (x )在R 上是增函数，故不存在极值点． 答案：C
5．已知f (x )＝x 3
－ax 在[1，＋∞)上是单调增函数，则a 的最大值是( ) A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
解析：f ′(x )＝3x 2－a ≥0在[1，＋∞)上恒成立， 即：a ≤3x 2
在[1，＋∞)上恒成立，而(3x 2
)min ＝3×12
＝3. ∴a ≤3，故a max ＝3. 答案：D
6．f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意正数
a ，
b ，若a <b ，则必有( )
A ．af (b )≤bf (a )
B ．bf (a )≤af (b )
C ．af (a )≤f (b )
D ．bf (b )≤f (a )
解析：∵xf ′(x )＋f (x )≤0， 又f (x )≥0，∴xf ′(x )≤－f (x )≤0， 设y ＝f x x ，则y ′＝xf ′x －f x
x 2≤0， 故y ＝
f x
x
为减函数或常函数． 又a <b ，∴
f a a ≥f b
b
， 而a ，b >0，则af (b )≤bf (a )． 答案：A
二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分) 7．函数f (x )＝12x 2
－ln x 的最小值为________．
解析：⎩⎪⎨
⎪⎧
f ′x ＝x －1x >0，x >0，
得x >1，⎩
⎪⎨
⎪⎧
f ′x
<0，
x >0，得0<x <1.
∴f (x )在x ＝1时取最小值f (1)＝12－ln1＝1
2.
答案：1
2
8．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2
在x ＝1处取极值10，则f (2)＝________. 解析：f ′(x )＝3x 2
＋2ax ＋b ，
由题意⎩⎪⎨
⎪⎧
f 1＝10，f ′1＝0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
1＋a ＋b ＋a 2
＝10，
3＋2a ＋b ＝0，
得a ＝4或a ＝－3.
但当a ＝－3时，f ′(x )＝3x 2
－6x ＋3≥0，故不存在极值， ∴a ＝4，b ＝－11，f (2)＝18. 答案：18
9．给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′.若f ″(x )<0在D 上恒成立，则称
f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在(0，π2
)上不是凸函数的是________．(把你认为正确
的序号都填上)
①f (x )＝sin x ＋cos x ；②f (x )＝ln x －2x ； ③f (x )＝－x 3
＋2x －1；④f (x )＝x e x
.
解析：对于①，f ″(x )＝－(sin x ＋cos x )，x ∈(0，π
2
)时，
f ″(x )<0恒成立；
对于②，f ″(x )＝－1x 2，在x ∈(0，π
2)时，f ″(x )<0恒成立；
对于③，f ″(x )＝－6x ，在x ∈(0，π
2)时，f ″(x )<0恒成立；
对于④，f ″(x )＝(2＋x )·e x
在x ∈(0，π2)时f ″(x )>0恒成立，
所以f (x )＝x e x
不是凸函数． 答案：④
三、解答题(共3小题，满分35分)
10．已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2
－bx (a ，b ∈R)．若y ＝f (x )图象上的点(1，－113)处的切线
斜率为－4，求y ＝f (x )的极大值．
解：(1)∵f ′(x )＝x 2
＋2ax －b ，
∴由题意可知：f ′(1)＝－4且f (1)＝－11
3，
即⎩⎪⎨⎪⎧
1＋2a －b ＝－4，13
＋a －b ＝－11
3，解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝－1，
b ＝3.
∴f (x )＝13
x 3－x 2
－3x ，
f ′(x )＝x 2－2x －3＝(x ＋1)(x －3)．
令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝3.
由此可知，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
x (－∞，－1) －1 (－1,3) 3 (3，＋∞)
f ′(x ) ＋ 0[来
源:Z|xx |]
－ 0 ＋
f (x )
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
∴当x ＝－1时，f (x )取极大值5
3.
11．已知函数f (x )＝x ln x . (1)求f (x )的最小值；
(2)讨论关于x 的方程f (x )－m ＝0(m ∈R)的解的个数． 解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，
f ′(x )＝ln x ＋1，令f ′(x )＝0，得x ＝1e
.
当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下：
x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，1e 1
e ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e ，＋∞ f ′(x ) － 0 ＋ f (x )
↘
极小值
↗
所以，f (x )在(0，＋∞)上最小值是f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e ＝－1e .
(2)当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f (x )单调递减且f (x )的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，0；
当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，f (x )单调递增且f (x )的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1e ，＋∞. 下面讨论f (x )－m ＝0的解： 当m <－1
e
时，原方程无解；
当m ＝－1
e
或m ≥0时，原方程有唯一解；
当－1
e <m <0时，原方程有两个解．
12．已知函数f (x )＝(a ＋1)ln x ＋ax 2
＋1. (1)讨论函数f (x )的单调性；
(2)设a ≤－2，证明：对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)， |f (x 1)－f (x 2)|≥4|x 1－x 2|.
解：(1)由题知f (x )的定义域为(0，＋∞)．
f ′(x )＝a ＋1x ＋2ax ＝2ax 2
＋a ＋1
x
.
当a ≥0时，故f ′(x )＞0，f (x )在(0，＋∞)上单调增加； 当a ≤－1时，f ′(x )＜0，故f (x )，在(0，＋∞)上单调减少； 当－1＜a ＜0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝－
a ＋1
2a
. 则当x ∈(0，
－
a ＋1
2a
)时，f ′(x )＞0； x ∈( －
a ＋1
2a
，＋∞)时，f ′(x )＜0. 故f (x )在(0, －
a ＋1
2a
)上单调增加， 在(
－
a ＋1
2a
，＋∞)上单调减少． (2)证明：不妨假设x 1≥x 2.
由(1)知当a ≤－2时，f (x )在(0，＋∞)上单调减少，
所以|f (x 1)－f (x 2)|≥4|x 1－x 2|等价于f (x 2)－f (x 1)≥4x 1－4x 2，[来源:Z §xx §] 即f (x 2)＋4x 2≥f (x 1)＋4x 1. 令g (x )＝f (x )＋4x ，
则g ′(x )＝a ＋1x ＋2ax ＋4＝2ax 2
＋4x ＋a ＋1
x
.
于是g ′(x )≤－4x 2
＋4x －1x ＝
－
2x －1
2
x
≤0.
从而g (x )在(0，＋∞)上单调减少，故g (x 1)≤g (x 2)， 即f (x 1)＋4x 1≤f (x 2)＋4x 2，
故对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，|f (x 1)－f (x 2)|≥4|x 1－x 2|.。