2015昌平二模数学试卷及答案
2015年北京中考数学二模各区29题汇总(含答案)
2015北京中考数学二模各区29题（含答案）昌平29. 在平面直角坐标系xOy 中，给出如下定义：形如()()2y a x m a x m =-+-与()()2y a x m a x m =---的两个二次函数的图象叫做“兄弟抛物线”． （1）试写出一对兄弟抛物线的解析式 与 ； （2）判断二次函数2y x x =-与232y x x =-+的图象是否为兄弟抛物线，如果是，求出a 与m 的值，如果不是，请说明理由；（3）若一对兄弟抛物线各自与x 轴的两个交点和其顶点构成直角三角形，其中一个抛物线的对称轴为直线2x =且开口向上，请直接写出这对兄弟抛物线的解析式．备用图朝阳29.如图，顶点为A （－4,4）的二次函数图象经过原点（0,0），点P 在该图象上，OP 交其对称轴l 于点M ，点M 、N 关于点A 对称，连接PN ，ON .（1）求该二次函数的表达式；（2）若点P 的坐标是（－6,3），求△OPN 的面积； （3）当点P 在对称轴l 左侧的二次函数图象上运动时，请解答下面问题：① 求证：∠PNM ＝∠ONM ；② 若△OPN 为直角三角形，请直接写出所有符合 条件的点P 的坐标.丰台29.对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M ，对于任意的函数值y ，都满足y M ≤，那么称这个函数是有上界函数，在所有满足条件的M 中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数是有上界函数，其上确界是2． （1）分别判断函数1y x=-（0x ＜）和23y x =-（2x ＜） 是不是有上界函数？如果是有上界函数，求其上确界； （2）如果函数2y x =-+ （,a x b b a ≤≤＞）的上确界是b ，且这个函数的最小值不超过21a +，求a 的取值范围；（3）如果函数222y x ax =-+（15x ≤≤）是以3为上确界的 有上界函数，求实数a 的值.怀柔29. 阅读理解：学习了三角形全等的判定方法:“SAS ”，“ASA ”，“AAS ”，“SSS ”和直角三角形全等的判定方法“HL ”后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”即“SSA ”的情形进行研究．我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC 和△DEF 中，AC =DF ，BC =EF ，∠A =∠D . 初步探究：如图1，已知AC=DF, ∠A =∠D ,过C 作CH ⊥射线AM 于点H ，对△ABC 的CB 边进行分类，可分为“CB<CH ，CB=CH ，CH<CB<CA ，”三种情况进行探究．深入探究： 第一种情况，当BC<CH 时，不能构成△ABC 和△DEF ．第二种情况，（1）如图2，当BC=CH 时，在△ABC 和△DEF 中，AC =DF ，BC =EF ，∠A =∠D ，根据 ，可以知道Rt △ABC ≌Rt △DEF ．HNANA第三种情况，（2）当CH<BC<CA 时，△ABC 和△DEF 不一定全等．请你用尺规在图1的两个图形中分别补全△ABC 和△DEF,使△DEF 和△ABC 不全等（表明字母，不写作法，保留作图痕迹）．（3）从上述三种情况发现，只有当BC=CH 时，才一定能使△ABC ≌△DEF ． 除了上述三种情况外，BC 边还可以满足什么条件，也一定能使△ABC ≌△DEF ？写出结论,并利用备用图证明.石景山29．对于平面直角坐标系xOy 中的点(),P m n ，定义一种变换：作点(),P m n 关于y 轴对称的点'P ，再将'P 向左平移()0k k >个单位得到点'k P ，'k P 叫做对点(),P m n 的k 阶“ℜ”变换．（1）求()3,2P 的3阶“ℜ”变换后3'P 的坐标；（2）若直线33y x =-与x 轴，y 轴分别交于,A B 两点，点A 的2阶“ℜ”变换后得到点C ，求过,,A B C 三点的抛物线M 的解析式； （3）在（2）的条件下，抛物线M 的对称轴与x 轴交于D ，若在抛物线M 对称轴上存在一点E ，使得以,,E D B 为顶点的三角形是等腰三角形，求点E 的坐标．房山29.如图1，若抛物线L 1的顶点A 在抛物线L 2上，抛物线L 2的顶点B 也在抛物线L 1上(点A 与点B 不重合)，我们把这样的两抛物线L 1、L 2互称为“友好”抛物线. （1）一条抛物线的“友好”抛物线有_______条.A . 1 B. 2 C. 3 D. 无数 （2）如图2，已知抛物线L 3：2284y x x =-+与y 轴交于点C ，点C 关于该抛物线对称轴的对称点为D ，请求出以点D 为顶点的L 3的“友好”抛物线L 4的表达式;（3）若抛物线21()y a x m n =-+的“友好”抛物线的解析式为22()y a x h k =-+,请直接写出1a 与2a 的关系式为 .ANH图2图1平谷29．定义：如图1，平面上两条直线AB 、CD 相交于点O ，对于平面内任意一点M ，点M 到直线AB 、CD 的距离分别为p 、q ，则称有序实数对（p ，q ）是点M 的“距离坐标”．根据上述定义，“距离坐标”为（0,0）点有1个，即点O ． （1）“距离坐标”为（1，0）点有 个；（2）如图2，若点M 在过点O 且与直线CD 垂直的直线l 上时，点M 的“距离坐标”为（p ，q ），且∠BOD =120°．请画出图形，并直接写出p ，q 的关系式； （3）如图3，点M 的“距离坐标”为（1，且∠AOB =30°，求OM 的长．顺义29．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223y x bx c =-++与x 轴交于A ，B 两点，其中B （6，0），与y 轴交于点C （0，8），点P 是x 轴上方的抛物线上一动点（不与点C 重合）． （1）求抛物线的表达式；（2）过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，交直线BC 于点E ，点E 关于直线PC 的对称点为'E ，若点'E 落在y 轴上（不与点C 重合），请判断以P ，C ，E ，'E 为顶点的四边形的形状， 并说明理由； （3）在（2）的条件下直接写出点P 的坐标．图1O D C B A 图2 图3备用图西城29．对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形G ，给出如下定义：在图形G 上若存在两点M ，N ，使△PMN 为正三角形，则称图形G 为点P 的τ型线，点P 为图形G 的τ型点， △PMN 为图形G 关于点P 的τ型三角形．（1）如图1，已知点(0,A ，(3,0)B ，以原点O 为圆心的⊙O 半径为1．在A ，B两点中，⊙O 的τ型点是____，画出并回答⊙O 关于该τ型点的τ型三角形；（画 出一个即可）（2）如图2，已知点(0,2)E ，点(,0)F m （其中m ＞0）．若线段EF 为原点O 的τ型线，且线段EF 关于原点O 的τ，求m 的值； （3）若(0,2)H -是抛物线2y x n =+的τ型点，直接写出n 的取值范围．东城29．定义：如果一条直线能够将一个封闭图形的周长和面积平分，那么就把这条直线称作这个封闭图形的等分线。
2.2015初三数学二模题答案-昌平
EDCBA昌平区2015年初三年级第二次统一练习 数 学 参考答案及评分标准 2015. 6一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分）二、填空题（共6道小题，每小题3分，共18分）三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）17．解：1011)3tan303-⎛⎫+ ⎪⎝⎭=133++………………………………………………………… 4分 =13+=4+ ………………………………………………………………… 5分 18．证明：∵ AB AD ⊥，AE AC ⊥，∴90,EAC DAB ∠=∠=︒即 EAD DAC CAB DAC ∠+∠=∠+∠．∴∠EAD =∠CAB ． …………………………………… 1分在△ADE 和△ABC 中，E C EAD CAB DE BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，∴△ADE ≌△ABC ．……………………………………… 4分 ∴ AD = AB ． ………………………………………… 5分 19．解：去分母，得 46x +-≤2x .………………………………………………… 2分移项，合并，得 x -≤2． 系数化1，得 x ≥-2． ………………………………………………………… 4分所以原不等式的负整数解为21--，． …………………………………………5分 20．解： 3)1()3(22+---x x x2226x 2x 13x x =--+-+ ……………………………………………………2分24x 2x =-+． ………………………………………………………………………3分∵ 0142=--x x ， ∴ 241x x -=，∴ 原式=1+2=3. ………………………………………………………………………… 5分 21．解：（1）∵ 点()1A m -，，()3B n -，在反比例函数6y x=-的图象上， ∴ m =6,n =2.∴ ()16A -，，()23B -， ……………………………………………………………………… 1分 ∵ 一次函数y kx b =+的图象过()16A -，，()23B -，两点，∴ 632.k b k b =-+⎧⎨-=+⎩， …………………………………………………………………… 2分解方程组，得3,3.k b =-⎧⎨=⎩∴ 一次函数的解析式为y =-3x +3. ……………………………………… 3分 （2）∵ 一次函数y =-3x +3与y 轴交点C (0，3), 且B (2，-3)∴ BOC △面积为3. ……………………………………………………………………… 4分 ∵ P 是x 轴上一点，且BOP △的面积是BOC △面积的2倍， ∴ 设P (a ,0), ∴1362a ⨯=，解得，4a =±. ∴ 点P 的坐标为（4,0）或（-4,0）. …………………………………………… 5分 22．解：设小明家到单位的路程是x 千米． ……………………………… 1分依题意，得 13 2.3(3)82(3)0.8x x x +-=+-+． ………………………………………… 3分 解这个方程，得 8.2x =． ……………………………………………………… 4分 答：小明家到单位的路程是8.2千米． ………………………………………………… 5分 四、解答题（共4道小题，每小题5分，共20分）23．（1）如图，补全图形． …………………………… 1分 （2）解：连接CE 交BD 于点F ． …………………………… 2分 ∵ 将△BCD 沿直线BD 翻折，得到△BED ， ∴ BD 垂直平分CE ．∵ 矩形ABCD ，AB =3，BC =6，∴ ︒=∠=∠90BCD BED ， 3 6.DE DC AB EB BC =====，DOCB AEF∴ 53362222=+=+=DE BE BD ． ………………………………………………………… 3分∴ 52321==BD OD . ∵ BDDEDE DF EDB ==∠cos ， ∴5333=DF ． ∴ 553=DF ． ……………………………………………………………………… 4分 ∴5109=-=DF OD OF ． ∵BD 垂直平分CE ，O 为AC 中点， ∴AE =2OF =559． ……………………………………………………………………… 5分 24．解：（1） 补全条形统计图，如图所示．…………………………………………………… 2分（2）100． ……………………………………………………………………… 3分 （3）∵样本中喜欢剪纸的人数为30人，样本容量为100，∴估计全校学生中喜欢剪纸的人数：1200×30100=360人．答：全校学生中喜欢剪纸的有360人． ………………………………………………… 5分25．解：（1）DF 与⊙O 相切． ………………………………… 1分 ∵CAB CDB ∠=∠， 又∵CDB BFD ∠=∠， ∴BFD CAB ∠=∠．∴AC ∥DF ． ………………………………… 2分 ∵半径OD 垂直于弦AC 于点E ， ∴DF OD ⊥．∴DF 与⊙O 相切． ………………………………… 3分 （2）∵半径OD 垂直于弦AC 于点E ，AC =8， ∴482121=⨯==AC AE ． ∵AB 是⊙O 的直径， ∴5102121=⨯===AB OD OA ． 在AEO Rt ∆中，3452222=-=-=AE OA OE ． ……………………………………… 4分 ∵AC ∥DF ， ∴OAE ∆∽OFD ∆．∴DF AEOD OE = ． ∴DF453=． ∴320=DF ． ………………………………………………… 5分26．解：10103xCD =． ……………………………………………………………………… 1分 Sin2α=CD OC =53． ……………………………………………………………………… 2分 如图，连接NO ，并延长交⊙O 于Q ,连接MQ ，MO ，作NO MH ⊥于H ． 在⊙O 中，∠NMQ =90°． ∵ ∠Q =∠P =β，ＯＭ＝ＯＮ，∴ ∠MON =2∠Q =2β． ………………………………………… 3分∵ tan β=21，∴ 设MN =k ，则MQ =2k ，∴ NQ =k MQ MN 522=+．∴ OM=21NQ=k 25． ∵ MH NQ MQ MN S NMQ ⋅=⋅=∆2121， ∴ MH k k k ⋅=⋅52 ．∴ MH =k 552． ………………………………………………………………………………… 4分 在MHO Rt ∆中，sin2β=sin ∠MON =5425552==kkOM MH ． …………………………………… 5分 五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27．解：（1）∵ 抛物线经过()0,0，()4,0- ，()6,3-三点，∴ 01640,366 3.c a b a b =⎧⎪-=⎨⎪-=⎩ …………………………………………………………………… 1分解得 1410a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，，． ………………………………………………………………………… 2分∴ 抛物线的解析式为214y x x =+．∵()()22211144421444y x x x x x =+=++-=+-∴抛物线的顶点坐标为()2,1-- …………………………………………………… 3分 （2）设直线CD 的解析式为2y x m =+，根据题意，得2124x x x m +=+， …………………………………………………… 4分 化简整理，得2440x x m --=，由16160m ∆=+=，解得1m =-， ………………………………………………… 5分∴直线CD 的解析式为21y x =- ．（3）点的坐标为()2,7， …………………………………………………………… 6分． ……………………………………………………………… 7分 28．解：（1）B………………………………………… 1分（2）B证明：如图，延长AE 、DC 交于点P ．∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AD //BC ，AB //CD ．∴ ∠ DAE =∠ AEB ，∠ BAE =∠ DP A ． ……………………………………… 2分 ∵ AE 平分∠ BAD ， ∴ ∠ DAE =∠ BAE ，∴ ∠ BAE =∠ AEB ，∠ DAE =∠ DP A ．∴ BA =BE ，DA =DP ， ……………………………………………………… 3分 又 ∵ BG ⊥ AE ，DH ⊥ AE ，∴ G 为AE 中点，H 为AP 中点． …………………………………………… 4分 又 ∵O 为AC 中点，AD =BC ， ∴ ()()111222OG CE BC BE AD AB ==-=-，()()111222OH CP DP CD AD AB ==-=- ． …………………………… 5分∴ OG =OH ． ………………………………………………………………… 6分（3）717． ……………………………………………………………………………… 7分 29．解：（1）答案不唯一，只要两个解析式给出相同的a 值和相同的m 值即可（每空各1分）…… 2分（2）是兄弟抛物线，理由如下． ………………………………………………………… 3分∵ ()()2211y x x x x =-=-+-， ……………………………………………………… 4分()()223211y x x x x =-+=---， …………………………………………………… 5分∴ 二次函数2y x x =-与232y x x =-+的图象是兄弟抛物线．此时 1a =，1m =． …………………………………………………………………… 6分 （3） 132()()22y x x =--，352()()22y x x =-- ； ………………………………… 7分 或 352()()22y x x =--，572()()22y x x =--． ………………………………………… 8分。
2015年北京市昌平区高三二模数学理科试题和答案
昌平区2015年高三年级第二次统一练习 数学试卷(理科) 2015.4考生注意事项：1.本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，考试时间 120分钟．2．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考试编号填写清楚．答题卡上第一部分(选择题)必须用2B 铅笔作答，第二部分(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时必须使用2B 铅笔．3．修改时，选择题用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液．请保持卡面整洁，不要折叠、折皱、破损．不得在答题卡上作任何标记．4．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域作答或超出答题区域的作答均不得分．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)1. 已知集合{}2340A x x x =--=，{}0,1,4,5B =，则AB 中元素的个数为A ．0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3个2.13(21)xdx -⎰等于A ．12- B. 23C. 1D. 63. 已知等差数列{}n a 的公差是2，若134,,a a a 成等比数列，则 1a 等于A. 4-B. 6-C. 8-D. 10-4. “||2b <是“直线y b =+与圆2240x y y +-=相交”的A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C ．充要条件 D. 既不充分也不必要条件6,a5.右图是统计上述6名队员在比赛中投进的三分球 总数s A. 6i <B. 7i < C. 8i < D. 9i <6 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为A.36+ B. 33+ C.33+ D.7. 已知函数()y f x =（x ∈R ）是奇函数，其部分图象如图 所示,则在(2,0)-上与函数()f x 的单调性相同的是 A. 21y x =+ B. 2log y x =C. (0)(0)x x e x y e x -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩ D. cos y x =8. 已知四面体A BCD -满足下列条件：（1）有一个面是边长为1的等边三角形；（2）有两个面是等腰直角三角形. 那么四面体ABCD -的体积的取值集合是 A ．1{,}212B ．1{6C ．{}1224D ．1{,}61224侧视图 俯视图第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）9.已知直线l 的极坐标方程为sin 2cos 30ρθρθ-+=，则直线l 的斜率是___________.10. 如图，⊙O 中的弦AB 与直径CD 相交于点P ，M 为 DC 延长线上一点，MN 与⊙O 相切于点N ，若AP ＝8, PB ＝6, PD ＝4, MC ＝2，则CP =_______,MN = .11. 在ABC ∆中，若a =b ，5π6B ∠=，则边c =__________.12.如图,在菱形ABCD 中,1AB =,60DAB ∠=,E 为CD 的中点,则AB AE ⋅的值是 .13. 某班举行联欢会由5个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须和节目乙相邻， 且节目甲不能排在第一个和最后一个，则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有___________种.（用数字作答）14. 如图，已知抛物线y x 82=被直线4y =分成两个区域21,W W （包括边界）， 圆222:()(0).C x y m r m +-=>（1）若3m =，则圆心C 到抛物线上任意一点距离的最小值是__________；（2）若圆C 位于2W 内（包括边界）且与三侧边界均有公共点，则圆C 的半径是__________.BCDEA MD三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15. (本小题满分13分)已知函数()sin()(0,0,||,)2f x A x A x ωϕωϕπ=+>><∈R 的部分图象如图所示. （I ）求函数()f x 的解析式； （II ）求函数()()()123g x f x f x ππ=+-+ 的单调递增区间.16. （本小题满分13分）某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如下表，其中表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业．．．．”的概率为25.现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动（每位同学被选到的可能性相同）. （I ） 求,m n 的值；（II ）求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生．．的概率； （III ）设ξ为选出的3名同学中“女生或数学专业．．．．．．．”的学生的人数，求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ.17. (本小题满分14分)如图，已知等腰梯形ABCD 中，1//,2,2AD BC AB AD BC E===是BC 的中点，AEBD M =，将BAE ∆沿着AE 翻折成1B AE ∆，使平面1B AE ⊥平面AECD .（I ） 求证：1CD B DM ⊥平面； （II ）求二面角1D AB E --的余弦值；（III ）在线段1B C 上是否存在点P ，使得//MP 平面1B AD ，若存在，求出11B PB C的值；若不存在，说明理由.18.（本小题满分13分）已知函数2()ln ,.f x x ax x a =-+∈R（I ）若函数()f x 在(1,(1))f 处的切线垂直于y 轴，求实数a 的值； (II) 在（I ）的条件下，求函数()f x 的单调区间； (III) 若1,()0x f x >>时恒成立，求实数a 的取值范围.19.（本小题满分14分）已知椭圆C ：22221(0)+=>>x y a b a b，右焦点F，点D 在椭圆上.（I ）求椭圆C 的标准方程；(II) 已知直线kx y l =:与椭圆C 交于,A B 两点，P 为椭圆C 上异于,A B 的动点. （i ）若直线,PA PB 的斜率都存在，证明：12PA PB k k ⋅=-; (ii) 若0k =，直线,PA PB 分别与直线3x =相交于点,M N ，直线BM 与椭圆C 相交 于点Q （异于点B ）， 求证：A ,Q ,N 三点共线.20. (本小题满分13分)如图，在一个可以向下和向右方无限延伸的表格中，将正偶数按已填好的各个方格中的数字显现的规律填入各方格中.其中第i 行，第j 列的数记作ij a ,*,i j ∈N ，如11232,16a a ==.（I ）写出155366,a a a ，的值；(II) 若502,ij a =求,i j 的值；(只需写出结论)（III ）设n n b a =，11422n nn c b +=-- (*∈N n ), 记数列{}n c 的前n 项和为n S ,求n S ；并求正整数k ，使得对任意*∈N n ，均有n k S S ≥．昌平区2015年高三年级第二次统一练习数学试卷(理科)参考答案一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．)二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）．9. 2 10. 12, 6 11. 112. 1 13. 36 14. 3 , 4+三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15. (本小题满分13分) 解：（I ）由题意可知，2A =,39412T π=，得T =π,2T ωπ==π，解得2=ω.()2sin(2)233f ϕππ=⨯+=， 即2232k k ϕππ+=+π,∈Z ，||2ϕπ<，所以 6ϕπ=-，故()2sin(2)6f x x π=-. ……………7分(II)ππππ()2sin(2(+)-)-2sin(2(+)-)12636g x x x =π2sin2-2sin(2+)2=2sin22cos2)4x x x -x =x =π-由 222,242k x k k πππ-+π≤-≤+π∈Z,,88k x k k π3π-+π≤≤+π∈Z. 故()g x 的单调递增区间是[,],88k k k π3π-+π+π∈Z..……………13分16. (本小题满分13分)解：（I ）设事件A ：从10位学生中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业”． 由题意可知，“数学专业”的学生共有(1)m +人．则12()105m P A +==． 解得 3m =．所以1n =． …………… 4分 （II ）设事件B ：从这10名同学中随机选取3名同学为专业互不相同的男生．则123331011()12C C P B C +==． ……………7分 （III ）由题意，ξ的可能取值为0，1，2，3． 由题意可知，“女生或数学专业”的学生共有7人．所以333101(0)120C P C ===ξ，1273310217(1)12040C C P C ====ξ， 21733106321(2)12040C C P C ====ξ， 37310357(3)12024C P C ====ξ． 所以ξ的分布列为所以 1721721012312040402410E =⨯+⨯+⨯+⨯=ξ． ……………13分17. (本小题满分14分)( I ) 由题意可知四边形ABED 是平行四边形，所以ME AM =，故AE M B ⊥1. 又因为,AB BE M AE =为的中点,所以BM AE ⊥, 即.DM AE ⊥AD //BC 又因为, 2.AD CE ==所以四边形ADCE 是平行四边形. 所以//.AE CD 故CD DM ⊥.因为平面⊥AE B 1平面AECD , 平面 AE B 1平面AE AECD =,1B M ⊂平面AECD 所以⊥M B 1平面AECD .1.B M AE ⊥ 因为⊂CD 平面AECD , 所以⊥M B 1CD .因为M M B MD =1 , MD 、⊂M B 1平面MD B 1,所以⊥CD 平面MD B 1. ……………5分(II) 以ME 为x 轴, MD 为y 轴, 1MB 为z 轴建立空间直角坐标系，则)0,3,2(C ,)3,0,0(1B , )0,0,1(-A , )0,3,0(D .平面E AB 1的法向量为)0,3,0(=→MD . 设平面A DB 1的法向量为),,(z y x m =→, 因为)3,0,1(1=→AB ，)0,3,1(=→AD , ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+0303y x z x,令1=z 得,)1,1,3(-=→m .所以55,cos >=<→→MD m , 因为二面角E AB D --1为锐角, 所以二面角E AB D --1的余弦值为55. ……………10分 (III) 存在点P ,使得//MP 平面1B AD . ……………11分 法一: 取线段1B C 中点P ，1B D 中点Q ，连结,,MP PQ AQ .则//PQ CD ，且1=2PQ CD . 又因为四边形AECD 是平行四边形，所以//AE CD.因为M 为AE 的中点，则//AM PQ .所以四边形AMPQ 是平行四边形，则//MP AQ . 又因为AQ ⊂平面1AB D ,所以//MP 平面1AB D . 所以在线段C B 1上存在点P ，使得//MP 平面AD B 1，2111=C B P B . ……………14分 法二：设在线段C B 1上存在点P ，使得//MP 平面AD B 1,设11B P B C λ=,(10≤≤λ),C ，因为11MP MB B P =+.所以(2)MP λ=.因为//MP 平面AD B 1, 所以0MP m ⋅=, 所以033332=-++-λλλ, 解得21=λ, 又因为MP ⊄平面AD B 1, 所以在线段C B 1上存在点P ，使得//MP 平面AD B 1，2111=C B P B ．……………14分18.（本小题满分13分）解：（I ）2()ln ,.f x x ax x a =-+∈R 定义域为(0,)+∞'1()2,.f x x a a x=-+∈R依题意，'(1)0f =.所以'(1)30f a =-=，解得3a = ……………4分（II ）3a =时，2()ln 3f x x x x =+-，定义域为(0,)+∞，21123()23x xf x x x x+-'=+-=当102x <<或1x >时,()0f x '>， 当112x <<时，()0f x '<， 故()f x 的单调递增区间为1(0,),(1,)2+∞，单调递减区间为1(,1)2.----8分（III ）解法一：由()0f x >，得2ln x x a x+<在1x >时恒成立， 令2ln ()x x g x x +=，则221ln ()x x g x x+-'= 令2()1ln h x x x =+-，则2121()20x h x x x x -'=-=> ()h x 所以在(1,)+∞为增函数，()(1)20h x h >=> .故()0g x '>，故()g x 在(1,)+∞为增函数. ()(1)1g x g >=，所以 1a ≤，即实数a 的取值范围为(,1]-∞. ……………13分 解法二：2112()2x ax f x x a x x+-'=+-= 令2()21g x x ax =-+，则28a ∆=-，（i ）当0∆<，即a -<<()0f x '>恒成立， 1,()x f x >因为所以在(1,)+∞上单调递增，()(1)10f x f a >=-≥，即1a ≤，所以(a ∈-；(ii)当0∆=，即a =±()0f x '≥恒成立，1,()x f x >因为所以在(1,)+∞上单调递增，()(1)10f x f a >=-≥，即1a ≤，所以a =-(iii)当0∆>，即a <-a >方程()0g x =有两个实数根1244a a x x -+==若a <-120x x <<，当1x >时，()0f x '>，()f x 所以在(1,)+∞上单调递增，则()(1)10f x f a >=-≥，即1a ≤，所以a <-若a >()0g x =的两个根120x x <<，()10f x a =-<因为，且()f x 在(1,)+∞是连续不断的函数所以总存在01x >，使得0()0f x <，不满足题意.综上，实数a 的取值范围为(,1]-∞. ……………13分19. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）依题意，椭圆的焦点为12(F F ，则12||||2DF DF a +=，解得{a c ==2222b a c =-=. 故椭圆C 的标准方程为22142x y +=. ……………5分 （Ⅱ）(i)证明：设001111(,),(,),(,)P x y A x y B x y --，则22001,42x y +=2211 1.42x y += 两式作差得22220101042x x y y --+=. 因为直线,PA PB 的斜率都存在，所以02120≠-x x .所以 2201220112y y x x -=--，即010*******y y y y x x x x +-⨯=-+-. 所以，当,PA PB 的斜率都存在时，12PA PB k k ⋅=- . ……………9分 (ii) 证明：0k =时， 00(,),(2,0),(2,0)P x y A B -.设PA 的斜率为n ，则PB 的斜率为12n-， 直线:(2)PA y n x =+，(3,5)M n ， 直线1:(2)2PB y x n=--, 1(3,)2N n -， 所以直线:5(2)BM y n x =-，直线1:(2)10AN y x n =-+， 联立，可得交点2222(501)20(,)501501n n Q n n --++.因为222222(501)20[]2()4501501n n n n --+=++， 所以点2222(501)20(,)501501n n Q n n --++在椭圆22142x y +=上. 即直线MB 与直线NA 的交点Q 在椭圆上，即A ，Q ，N 三点共线. ……………14分20. (本小题满分13分)解：（I ）1522a =，536652,122a a == . ……………4分(II) I =20 , j =3. …………8分(III)位于从左上角到右下角的对角线上的方格内的数字组成的数列是 2，10，26，50， b n 是依(II)中排法的第2 n – 1组的中间一个数，即第n 个数，所以 b n = ( 2n – 1 ) 2 n – 2 ( n – 1 ) = 4 n 2 – 4 n + 2=4n ( n -1) + 2，n = 1，2，3，…； 因为 11422n n n c b +=--所以*11(N )2(1)n n c n n n =-∈+， 故 11()12n n S n n *=-∈+N.…………10分 因为 12340,0,0,0c c c c =>>>；当5n ≥时，()()11112n n n n c n n +⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦， 而()()()1112[1][1]22n n n n n n ++++---=()()()()()11112120222n n n n n n n n n ++++++--=> 得()()51551122n n n ++≤<， 所以当5n ≥时，0n c <，综上对任意n N *∈恒有4n S S ≥，故4k =．…………13分。
2015北京昌(含解析)
北京市昌平区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类)2015．5第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{}2340A x x x =--=，{}0,1,4,5B =，则A B I 中元素的个数为（ ）．A ． 0个B ． 1 个C ． 2个D ． 3个 2 ．130(21)x dx -⎰等于（ ）．A ．12-B ． 23C ． 1D ． 63．已知等差数列{}n a 的公差是2，若134,,a a a 成等比数列，则1a 等于（ ）．A ． 4-B ． 6-C ． 8-D ． 10- 4．“||2b <”是“直线3y x b =+与圆2240x y y +-=相交”的（ ）．A ．充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ．充要条件D ． 既不充分也不必要条件 5．在篮球比赛中，某篮球队队员投进三分球的个数如表所示：队员i1 2 3 4 56三分球个数i a1a2a3a4a5a 6a下图是统计上述6名队员在比赛中投进的三分球总数s 的程序框图，则图中的判断框内应填入的条件是（ ）．A ． 6i <B ． 7i <C ． 8i <D ． 9i <MBODP CNAB C DE A 6．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）．A ． 43336π+B ．83333π+C ． 434333π+D ． 433+π7．已知函数()y f x =（x ∈R ）是奇函数，其部分图象如图所示，则在()2,0-上与 函数()f x 的单调性相同的是（ ）．A ． 21y x =+B ． 2log y x =C ． ()()e 0e 0xx x y x -⎧⎪=⎨<⎪⎩≥ D ． cos y x =8．已知四面体A BCD -满足下列条件：（1）有一个面是边长为1的等边三角形； （2）有两个面是等腰直角三角形． 那么四面体A BCD -的体积的取值集合是（ ）．A ．12,212⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭B ．13,612⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭C ．232,,121224⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭D ．122,,61224⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭第二部分（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．已知直线l 的极坐标方程为sin 2cos 30ρθρθ-+=，则直线l 的斜率是__________．10．如图，⊙O 中的弦AB 与直径CD 相交于点P ，M 为DC 延长线上一点， MN 与⊙O 相切于点N ，若8AP =，6PB =，4PD =，2MC =，则CP =__________，MN =__________．11．在ABC △中，若3a =，7b =，56B π∠=，则边c =__________．12．如图，在菱形ABCD 中，1AB =，60DAB ∠=o ， E 为CD 的中点，则 AB AE ⋅uu u r uu u r的值是__________．13．某班举行联欢会由5个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须和节目乙相邻，且节目甲不能排在第一个和最后一个，则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有__________种．（用数字作答）xyO1214．如图，已知抛物线28x y =被直线4y =分成两个区域12,W W （包括边界），圆222:()(0).C x y m r m +-=>（1）若3m =，则圆心C 到抛物线上任意一点距离的最 小值是__________；（2）若圆C 位于2W 内（包括边界）且与三侧边界均有 公共点，则圆C 的半径是__________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数()()sin 0,0,||,2f x A x A x ωϕωϕπ⎛⎫=+>><∈ ⎪⎝⎭R 的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）求函数()123g x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的单调递增区间．13π12-22Oy xπ316．（本题满分13分）某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如下表，其中表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中 随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业．．．．”的概率为25． 专业 性别中文 英语 数学 体育 男 n1 m1 女1 111现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动（每位同学被选到的可能性相同）． （Ⅰ）求,m n 的值；（Ⅱ）求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生．．的概率； （Ⅲ）设ξ为选出的3名同学中“女生或数学专业．．．．．．．”的学生的人数，求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ．17．（本小题满分14分）如图，已知等腰梯形ABCD 中，1,22AD BC AB AD BC ===∥，E 是BC 的中点，AE I BD M =，将BAE △沿着AE 翻折成1B AE △，使平面1B AE ⊥平面AECD ．（Ⅰ）求证：CD ⊥平面1B DM ； （Ⅱ）求二面角1D AB E --的余弦值；（Ⅲ）在线段1B C 上是否存在点P ，使得MP ∥平面1B AD ，若存在，求出11B PB C的值；若不存在，说明理由．18．（本小题满分13分）已知函数2()ln ,f x x ax x a =-+∈R（Ⅰ）若函数()f x 在()()1,1f 处的切线垂直于y 轴，求实数a 的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数()f x 的单调区间； （Ⅲ）若1x >时，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，右焦点()2,0F ，点()2,1D 在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知直线:l y kx =与椭圆C 交于,A B 两点，P 为椭圆C 上异于,A B 的动点．（i ）若直线,PA PB 的斜率都存在，证明：12PA PB k k ⋅=-；（ii ）若0k =，直线,PA PB 分别与直线3x =相交于点,M N ，直线BM 与椭圆C 相交于点Q （异于点B ）， 求证：A ，Q ，N 三点共线．20．（本小题满分13分）如图，在一个可以向下和向右方无限延伸的表格中，将正偶数按已填好的各个方格中的数字显现的规 律填入各方格中．其中第i 行，第j 列的数记作ij a ，*,i j ∈N ，如11232,16a a ==． （Ⅰ）写出155366,,a a a 的值；（Ⅱ）若502,ij a =求,i j 的值；（只需写出结论） （Ⅲ）设n nn b a =，11422n n n c b +=-- ()*n ∈N ， 记数列{}n c 的前n 项和为 n S ，求n S ；并求正整数P ，使得对任意*n ∈N ，均有k n S S ≥．北京市昌平区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）2015．5一、选择题（满分40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BACABADC二、填空题（满分30分）9．2 10．12，6 11．112．1 13．36 14．3，442+三、解答题（满分80分） 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意可知，2A =，39412T π=，得T =π，2T ωπ==π，解得2ω=． 2sin 2233f ϕππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2232k k ππ+=+π,∈Z ϕ，||2ϕπ<， 所以 6ϕπ=-，故()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭． ……………7分（Ⅱ）()2sin 22sin 212636g x x x ⎛ππ⎫⎛ππ⎫⎛⎫⎛⎫=+--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2sin 22sin 22x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭2sin 22cos 2x x =-22sin 24x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭由222,,242k x k k πππ-+π-+π∈Z ≤≤,88k x k k π3π-+π+π∈Z.≤≤ 故()g x 的单调递增区间是,,88k k k π3π⎡⎤-+π+π∈⎢⎥⎣⎦Z ． ……………13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设事件A ：从10位学生中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业”．由题意可知，“数学专业”的学生共有(1)m +人．则12()105m P A +==． 解得 3m =．所以1n =． …………… 4分（Ⅱ）设事件B ：从这10名同学中随机选取3名同学为专业互不相同的男生．则1233310C C 11()C 12P B +==． ……………7分 （Ⅲ）由题意，ξ的可能取值为0，1，2，3．由题意可知，“女生或数学专业”的学生共有7人． 所以33310C 1(0)C 120P ξ===，1273310C C 217(1)C 12040P ξ====，2173310C C 6321(2)C 12040P ξ====，37310C 357(3)C 12024P ξ====．所以ξ的分布列为：ξ0 123P1120 7402140724所以1721721012312040402410E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． ……………13分17．（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）由题意可知四边形ABED 是平行四边形，所以AM M E =，故1B M AE ⊥．又因为AB BE =，M 为AE 的中点，所以BM AE ⊥，即.DM AE ⊥又因为AD BC ∥， 2.AD CE == 所以四边形ADCE 是平行四边形． 所以.AE CD ∥故CD DM ⊥．因为平面1B AE ⊥平面AECD ， 平面1B AE I 平面AECD AE =， 1B M ⊂平面AECD所以1B M ⊥平面AECD ．1.B M AE ⊥ 因为CD ⊂平面AECD ， 所以1B M ⊥CD ． 因为1MD B M M =I ， MD 、1B M ⊂平面1B MD ， 所以CD ⊥平面1B MD ． ……………5分 （Ⅱ）以ME 为x 轴， MD 为y 轴， 1MB 为z 轴建立空间直角坐标系，如图：E P DCBAFB 1z则(2,3,0)C ， 1(0,0,3)B ， (1,0,0)A -， (0,3,0)D ．平面1AB E 的法向量为(0,3,0)MD =u u u r．设平面1DB A 的法向量为(,,)m x y z =u r， 因为1(1,0,3)AB =u u u r ，(1,3,0)AD =u u u r ， 3030x z x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 令1z =得， (3,1,1)m =-u r ． 所以5cos ,5m MD <>=u r uuu r ， 因为二面角1D AB E --为锐角，所以二面角1D AB E --的余弦值为55． ……………10分 （Ⅲ）存在点P ，使得MP ∥平面1B AD ． ……………11分 法一：取线段1B C 中点P ，1B D 中点Q ，连结,,MP PQ AQ ．则PQ CD ∥，且12PQ CD =．又因为四边形AECD 是平行四边形，所以//AE CD ． 因为M 为AE 的中点，则//AM PQ ．所以四边形AMPQ 是平行四边形，则//MP AQ ． 又因为AQ ⊂平面1AB D ，所以MP ∥平面1AB D ． 所以在线段1B C 上存在点P ，使得MP ∥平面1B AD ，1112B P BC =． ……………14分 法二：设在线段1B C 上存在点P ，使得MP ∥平面1B AD ，设11B P B C λ=uuu r uuu r，()01λ≤≤，(2,3,0)C ，因为11MP MB B P =+u u u r u u u u r u u u r ．所以(2,3,33)MP λλλ=-u u u r．因为MP ∥平面1B AD ， 所以0MP m ⋅=uuu r u r，所以233330λλλ-++-=， 解得12λ=， 又因为MP ⊄平面1B AD ， 所以在线段1B C 上存在点P ，使得MP ∥平面1B AD ，1112B P BC =．……………14分 18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）2()ln ,f x x ax x a =-+∈R 定义域为()0,+∞1()2,f x x a a x'=-+∈R依题意，()10f '=．所以()130f a '=-=，解得3a = ……………4分（Ⅱ）3a =时，()2ln 3f x x x x =+-，定义域为()0,+∞，()2112323x xf x x x x +-'=+-=当102x <<或1x >时， ()0f x '>，当112x <<时，()0f x '<， 故()f x 的单调递增区间为()10,,1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭．----8分（Ⅲ）解法一：由()0f x >，得2ln x x a x+<在1x >时恒成立，令()2ln x x g x x +=，则 ()221ln x xg x x +-'= 令()21ln h x x x =+-，则()2212120x h x x x x-'=-=> 所以()h x 在()1,+∞为增函数，()()120h x h >=> ．故()0g x '>，故()g x 在()1,+∞为增函数．()(1)1g x g >=，所以 1a ≤，即实数a 的取值范围为(],1-∞． ……………13分解法二：()21122x axf x x a x x+-'=+-=令2()21g x x ax =-+，则28a ∆=-，（i ）当0∆<，即2222a -<<时，()0f x '>恒成立， 因为1x >，所以()f x 在()1,+∞上单调递增，()()110f x f a >=-≥，即1a ≤，所以(22,1⎤-⎦； （ii ）当0∆=，即22a =±时，()0f x '≥恒成立， 因为1x >，所以()f x 在()1,+∞上单调递增，()()110f x f a >=-≥，即1a ≤，所以22a =-； （iii ）当0∆>，即22a <-或22a >时， 方程()0g x =有两个实数根221288,44a a a a x x --+-==若22a <-，两个根120x x <<，当1x >时，()0f x '>，所以()f x 在()1,+∞上单调递增， 则()()110f x f a >=-≥，即1a ≤，所以22a <-； 若22a >，()0g x =的两个根120x x <<，因为()10f x a =-<，且()f x 在()1,+∞是连续不断的函数 所以总存在01x >，使得()00f x <，不满足题意．综上，实数a 的取值范围为(],1-∞． ……………13分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）依题意，椭圆的焦点为12(2,0),(2,0)F F -，则12||||2DF DF a +=，解得22a c =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以2222b ac =-=．故椭圆C 的标准方程为22142x y +=． ……………5分（Ⅱ）（i ）证明：设001111(,),(,),(,)P x y A x y B x y --，则22001,42x y +=2211 1.42x y += 两式作差得22220101042x x y y --+=． 因为直线,PA PB 的斜率都存在，所以22010x x -≠． 所以 2201220112y y x x -=--，即010*******y y y y x x x x +-⨯=-+-． 所以，当,PA PB 的斜率都存在时，12PA PB k k ⋅=- ． ……………9分（ii ）证明：0k =时， 00(,),(2,0),(2,0)P x y A B -． 设PA 的斜率为n ，则PB 的斜率为12n-， 直线:(2)PA y n x =+，(3,5)M n ， 直线1:(2)2PB y x n =--， 1(3,)2N n-， 所以直线:5(2)BM y n x =-，直线1:(2)10AN y x n=-+， 联立，可得交点2222(501)20,501501n n Q n n ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭． 因为222222(501)2024501501n n n n ⎡⎤--⎛⎫+=⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦， 所以点2222(501)20,501501n n Q n n ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭在椭圆22142x y +=上． 即直线MB 与直线NA 的交点Q 在椭圆上，即A ，Q ，N 三点共线． ……………14分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）1522a =，536652,122a a == ． ……………4分（Ⅱ）20,3i j ==． …………8分（Ⅲ）位于从左上角到右下角的对角线上的方格内的数字组成的数列是 2,10,26,50， n b 是依（Ⅱ）中排法的第21n -组的中间一个数，即第n 个数，所以 ()()()221221442412,1,2,3,n b n n n n n n n n =---=+=-+=⋅-⋯；因为11422n n n c b +=--，所以()*112(1)n n c n n n =-∈+N ， 故 ()*1112n n S n n =-∈+N ． …………10分 因为 12340,0,0,0c c c c =>>>；当5n ≥时，()()11112n n n n c n n +⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦，而()()()11121122n n n n n n ++++⎡⎤⎡⎤---=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()()()11112120222n n n n n n n n n ++++++--=> 得()()51551122nn n ++<≤，所以当5n ≥时，0n c <，综上对任意*n ∈N ，恒有4n S S ≥，故4k =．…………13分北京市昌平期末区高三年级二模数学（理科）选填解析一、 选择题 1．【答案】B【解析】{}{}23401,4A x x x =--==-Q ，{}4A B ∴=I ．故选B ． 2．【答案】A【解析】41310011(21)1222x x dx x ⎛⎫-=-=-=- ⎪⎝⎭⎰．故选A ．3．【答案】C【解析】由题可知2314a a a =⋅，故()()21111468a a a a +=⋅+⇒=-． 故选C ．4．【答案】A【解析】||222b b <⇔-<<，直线3y x b =+与圆2240x y y +-=相交等价于圆心()0,2到直线3y x b =+的距离小于半径2r =，即222613b b -<⇔-<<+．故选A 5．【答案】B 【解析】列表：S1a 12a a +L126a a a +++L循环结束i1 23L7故7i <． 故选B ． 6．【答案】A【解析】由三视图可知该几何体左边为底面半径1的半圆，高3的半圆锥，右边为底面边长2的正方形，高3的四棱锥，所以体积1143334332336V ππ=⨯⨯+⨯⨯=+．故答案为A ．7．【答案】D【解析】由奇函数在对称区间上的单调性一致，所以函数()f x 在()2,0-上单调递增，选项D 在(),0-π上单调递增，满足题意． 故答案选D ．8．【答案】C【解析】满足条件的四面体A BCD -如下图所示：图一：ABC △为边长1的等边三角形，,,ADC BDC ADB △△△都是直角边为22的等腰直角三角形，所以1122223222224V =⨯⨯⨯⨯=；图二：ABC △为边长1的等边三角形，,DAB DAC △△都是直角边为1的等腰直角三角形，所以11331132212V =⨯⨯⨯⨯=；图三：ABC △为边长1的等边三角形，,ACD ABD △△都是直角边为1的等腰直角三角形，过点D 作DE ⊥平面ABC ，连结,,EA EB EC ，可知2222222223122AE DE AD DE BD BE BE AE ⎧⎪+=⎪⎪=-⎨⎪⎛⎫⎪⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩，即2222222213122AE DE DE BE BE AE ⎧⎪+=⎪⎪=-⎨⎪⎛⎫⎪⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得63233DE AE ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以113621322312V =⨯⨯⨯⨯=．故答案选C ．二、 填空题9．【答案】2【解析】sin 2cos 30230y x -+=⇔-+=ρθρθ．故答案为2． 10．【答案】12，6【解析】由相交弦定理可知68124CP PD AP BP CP ⨯⋅=⋅⇒==； 由切割线定理可知()222124366MN MC MD MN =⋅=⨯++=⇒=．故答案为12，611．【答案】1【解析】由余弦定理可知2222cos b a c ac B =+-，即()()2733410c c c c =++⇒+-=，所以1c =或4c =-（舍去）． 故答案为112．【答案】1【解析】联结BE ，易知90ABE ∠=o ，所以2237122AE ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭，127cos 772EAB ∠==，727cos 1127AB AE AB AE EAB ⋅=⋅⋅∠=⨯⨯=uu u r uu u r uu u r uu u r ．故答案为113．【答案】36【解析】甲乙相邻的个数为2424A A 48⋅=，其中甲在两端的个数为332A 12=，故满足题意的有481236-=种． 故答案为3614．【答案】3，442+【解析】对于（1），设抛物线上的动点为200,8x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，圆心()0,3C ，所以()22222000188864x CP x x ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭，当00x =时min 3CP =； 对于（2）由题意知()44r m m =->，联立方程()()222248x y m m x y⎧+-=-⎪⎨=⎪⎩，得()2828160y m y m +-+-=，由于图形的对称性，可知圆与抛物线的两个公共点的纵坐标y 唯一，所以()()28248160842m m m ∆=---=⇒=±，由于4m >，所以8424442r =+-=+． 故答案为3，442+。
北京市昌平区高三数学二模试题 理 新人教A版
昌平区2015年高三年级第二次统一练习数学试卷(理科)考生注意事项：1.本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，考试时间 120分钟．2．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考试编号填写清楚．答题卡上第一部分(选择题)必须用2B 铅笔作答，第二部分(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时必须使用2B 铅笔．3．修改时，选择题用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液．请保持卡面整洁，不要折叠、折皱、破损．不得在答题卡上作任何标记．4．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域作答或超出答题区域的作答均不得分．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)1. 已知集合{}2340A x x x =--=，{}0,1,4,5B =，则A B I 中元素的个数为A ．0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3个2. 130(21)x dx -⎰等于A ．12- B. 23C. 1D. 63. 已知等差数列{}n a 的公差是2，若134,,a a a 成等比数列，则 1a 等于 A. 4- B. 6- C. 8- D. 10-4. “||2b <是“直线y b =+与圆2240x y y +-=相交”的A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C ．充要条件 D. 既不充分也不必要条件5.应填入的条件是A.6i < B. 7i < C. 8i < D. 9i <6 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为A.36+B. 33+ C.33+ D.7. 已知函数()y f x =（x ∈R ）是奇函数，其部分图象如图 所示,则在(2,0)-上与函数()f x 的单调性相同的是 A. 21y x =+ B. 2log y x =C. (0)(0)x x e x y e x -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩D. cos y x =8. 已知四面体A BCD -满足下列条件：（1）有一个面是边长为1的等边三角形； （2）有两个面是等腰直角三角形. 那么四面体A BCD -的体积的取值集合是 A ．1{2 B．1{6 C ． D ．1{6 第Ⅱ卷（非选择题 共110分）侧 视图俯视图二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）9.已知直线l 的极坐标方程为sin 2cos 30ρθρθ-+=，则直线l 的斜率是___________.10. 如图，⊙O 中的弦AB 与直径CD 相交于点P ，M 为DC 延长线上一点，MN 与⊙O 相切于点N ，若AP ＝8, PB ＝6, PD ＝4, MC ＝2，则CP =_______,MN = .11. 在ABC ∆中，若3a =，7b =，5π6B ∠=，则边c =__________.12.如图,在菱形ABCD 中,1AB =,60DAB ∠=o,E 为CD 的中点,则AB AE ⋅u u u r u u u r的值是 .13. 某班举行联欢会由5个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须和节目乙相邻， 且节目甲不能排在第一个和最后一个，则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有___________种.（用数字作答）14. 如图，已知抛物线y x 82=被直线4y =分成两个区域21,W W （包括边界）， 圆222:()(0).C x y m r m +-=>（1）若3m =，则圆心C 到抛物线上任意一点距离的最小值是__________；（2）若圆C 位于2W 内（包括边界）且与三侧边界均有公共点，则圆C 的半径是__________.三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)BCD E A MBODPCNA15. (本小题满分13分)已知函数()sin()(0,0,||,)2f x A x A x ωϕωϕπ=+>><∈R 的部分图象如图所示. （I ）求函数()f x 的解析式；（II ）求函数()()()123g x f x f x ππ=+-+的单调递增区间.16. （本小题满分13分）某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如下表，其中表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业．．．．”的概率为25.现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动（每位同学被选到的可能性相同）.（I ） 求,m n 的值；（II ）求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生．．的概率； （III ）设ξ为选出的3名同学中“女生或数学专业．．．．．．．”的学生的人数，求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ.17. (本小题满分14分)如图，已知等腰梯形ABCD 中，1//,2,2AD BC AB AD BC E ===是BC 的中点，AE I BD M =，将BAE ∆沿着AE 翻折成1B AE ∆，使平面1B AE ⊥平面AECD .（I ） 求证：1CD B DM ⊥平面； （II ）求二面角1D AB E --的余弦值；（III ）在线段1B C 上是否存在点P ，使得//MP 平面1B AD ，若存在，求出11B PB C的值；若不存在，说明理由.18.（本小题满分13分）已知函数2()ln ,.f x x ax x a =-+∈R（I ）若函数()f x 在(1,(1))f 处的切线垂直于y 轴，求实数a 的值； (II) 在（I ）的条件下，求函数()f x 的单调区间； (III) 若1,()0x f x >>时恒成立，求实数a 的取值范围.19.（本小题满分14分）已知椭圆C ：22221(0)+=>>x y a b a b，右焦点F，点D 在椭圆上.（I ）求椭圆C 的标准方程；(II) 已知直线kx y l =:与椭圆C 交于,A B 两点，P 为椭圆C 上异于,A B 的动点. （i ）若直线,PA PB 的斜率都存在，证明：12PA PB k k ⋅=-; (ii) 若0k =，直线,PA PB 分别与直线3x =相交于点,M N ，直线BM 与椭圆C 相交 于点Q （异于点B ）， 求证：A ,Q ,N 三点共线.20. (本小题满分13分)如图，在一个可以向下和向右方无限延伸的表格中，将正偶数按已填好的各个方格中的数字显现的规律填入各方格中.其中第i 行，第j 列的数记作ij a ,*,i j ∈N ，如11232,16a a ==.（I ）写出155366,a a a ，的值；(II) 若502,ij a =求,i j 的值；(只需写出结论) （III ）设n nn b a =，11422n n n c b +=-- (*∈Nn ), 记数列{}n c 的前n 项和为n S ,求n S ；并求正整数k ，使得对任意*∈N n ，均有n k S S ≥．昌平区2015年高三年级第二次统一练习 数学试卷(理科)参考答案一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．)二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）．9. 2 10. 12, 6 11. 112. 1 13. 36 14. 3 , 4+三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15. (本小题满分13分) 解：（I ）由题意可知，2A =,39412T π=，得T =π,2T ωπ==π，解得2=ω.()2sin(2)233f ϕππ=⨯+=， 即2232k k ϕππ+=+π,∈Z ，||2ϕπ<，所以 6ϕπ=-，故()2sin(2)6f x x π=-. ……………7分(II)ππππ()2sin(2(+)-)-2sin(2(+)-)12636g x x x =π2sin2-2sin(2+)2=2sin22cos2)4x x x -x =x =π-由 222,242k x k k πππ-+π≤-≤+π∈Z,,88k x k k π3π-+π≤≤+π∈Z. 故()g x 的单调递增区间是[,],88k k k π3π-+π+π∈Z..……………13分16. (本小题满分13分)解：（I ）设事件A ：从10位学生中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业”． 由题意可知，“数学专业”的学生共有(1)m +人．则12()105m P A +==． 解得 3m =．所以1n =． …………… 4分 （II ）设事件B ：从这10名同学中随机选取3名同学为专业互不相同的男生．则123331011()12C C P B C +==． ……………7分 （III ）由题意，ξ的可能取值为0，1，2，3． 由题意可知，“女生或数学专业”的学生共有7人．所以333101(0)120C P C ===ξ，1273310217(1)12040C C P C ====ξ， 21733106321(2)12040C C P C ====ξ，37310357(3)12024C P C ====ξ． 所以ξ的分布列为所以 1721721012312040402410E =⨯+⨯+⨯+⨯=ξ． ……………13分17. (本小题满分14分)( I ) 由题意可知四边形ABED 是平行四边形，所以ME AM =，故AE M B ⊥1. 又因为,AB BE M AE =为的中点,所以BM AE ⊥, 即.DM AE ⊥AD //BC 又因为, 2.AD CE ==所以四边形ADCE 是平行四边形. 所以//.AE CD 故CD DM ⊥.因为平面⊥AE B 1平面AECD , 平面I AE B 1平面AE AECD =,1B M ⊂平面AECD 所以⊥M B 1平面AECD .1.B M AE ⊥ 因为⊂CD 平面AECD , 所以⊥M B 1CD .因为M M B MD =1I , MD 、⊂M B 1平面MD B 1,所以⊥CD 平面MD B 1. ……………5分(II) 以ME 为x 轴, MD 为y 轴, 1MB 为z 轴建立空间直角坐标系，则)0,3,2(C ,)3,0,0(1B , )0,0,1(-A , )0,3,0(D .平面E AB 1的法向量为)0,3,0(=→MD . 设平面A DB 1的法向量为),,(z y x m =→, 因为)3,0,1(1=→AB ，)0,3,1(=→AD , ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+0303y x z x,令1=z 得,)1,1,3(-=→m .所以55,cos >=<→→MD m , 因为二面角E AB D --1为锐角, 所以二面角E AB D --1的余弦值为55. ……………10分 (III) 存在点P ,使得//MP 平面1B AD . ……………11分 法一: 取线段1B C 中点P ，1B D 中点Q ，连结,,MP PQ AQ .则//PQ CD ，且1=2PQ CD . 又因为四边形AECD 是平行四边形，所以//AE CD .xyE CDMB 1z因为M 为AE 的中点，则//AM PQ .所以四边形AMPQ 是平行四边形，则//MP AQ . 又因为AQ ⊂平面1AB D ,所以//MP 平面1AB D . 所以在线段C B 1上存在点P ，使得//MP 平面AD B 1，2111=C B P B . ……………14分 法二：设在线段C B 1上存在点P ，使得//MP 平面AD B 1,设11B P B C λ=u u u r u u u u r,(10≤≤λ),C ，因为11MP MB B P =+u u u r u u u u r u u u r .所以(2)MP λ=u u u r.因为//MP 平面AD B 1, 所以0MP m ⋅=u u u r u r,所以033332=-++-λλλ, 解得21=λ, 又因为MP ⊄平面AD B 1, 所以在线段C B 1上存在点P ，使得//MP 平面AD B 1，2111=C B P B ．……………14分18.（本小题满分13分）解：（I ）2()ln ,.f x x ax x a =-+∈R 定义域为(0,)+∞'1()2,.f x x a a x=-+∈R依题意，'(1)0f =.所以'(1)30f a =-=，解得3a = ……………4分（II ）3a =时，2()ln 3f x x x x =+-，定义域为(0,)+∞，21123()23x xf x x x x+-'=+-=当102x <<或1x >时,()0f x '>， 当112x <<时，()0f x '<， 故()f x 的单调递增区间为1(0,),(1,)2+∞，单调递减区间为1(,1)2.----8分（III ）解法一：由()0f x >，得2ln x x a x +<在1x >时恒成立， 令2ln ()x x g x x +=，则221ln ()x xg x x +-'=令2()1ln h x x x =+-，则2121()20x h x x x x -'=-=>()h x 所以在(1,)+∞为增函数，()(1)20h x h >=> .故()0g x '>，故()g x 在(1,)+∞为增函数. ()(1)1g x g >=，所以 1a ≤，即实数a 的取值范围为(,1]-∞. ……………13分解法二：2112()2x axf x x a x x +-'=+-=令2()21g x x ax =-+，则28a ∆=-，（i ）当0∆<，即a -<<()0f x '>恒成立，1,()x f x >因为所以在(1,)+∞上单调递增，()(1)10f x f a >=-≥，即1a ≤，所以(a ∈-；(ii)当0∆=，即a =±()0f x '≥恒成立，1,()x f x >因为所以在(1,)+∞上单调递增，()(1)10f x f a >=-≥，即1a ≤，所以a =-(iii)当0∆>，即a <-或a >方程()0g x =有两个实数根12,44a a x x ==若a <-120x x <<，当1x >时，()0f x '>，()f x 所以在(1,)+∞上单调递增，则()(1)10f x f a >=-≥，即1a ≤，所以a <-；若a >()0g x =的两个根120x x <<，()10f x a =-<因为，且()f x 在(1,)+∞是连续不断的函数所以总存在01x >，使得0()0f x <，不满足题意.综上，实数a 的取值范围为(,1]-∞. ……………13分19. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）依题意，椭圆的焦点为12(F F ，则12||||2DF DF a +=，解得{a c ==2222b a c =-=.故椭圆C 的标准方程为22142x y +=. ……………5分（Ⅱ）(i)证明：设001111(,),(,),(,)P x y A x y B x y --，则221,42x y +=22111.42x y += 两式作差得22220101042x x y y --+=.因为直线,PA PB 的斜率都存在，所以02120≠-x x .所以 2201220112y y x x -=--，即0101010112y y y y x x x x +-⨯=-+-. 所以，当,PA PB 的斜率都存在时，12PA PB k k ⋅=- . ……………9分(ii) 证明：0k =时， 00(,),(2,0),(2,0)P x y A B -.设PA 的斜率为n ，则PB 的斜率为12n -，直线:(2)PA y n x =+，(3,5)M n ， 直线1:(2)2PB y x n =--, 1(3,)2N n -，所以直线:5(2)BM y n x =-，直线1:(2)10AN y x n =-+， 联立，可得交点2222(501)20(,)501501n nQ n n --++.因为222222(501)20[]2()4501501n n n n --+=++， 所以点2222(501)20(,)501501n n Q n n --++在椭圆22142x y +=上. 即直线MB 与直线NA 的交点Q 在椭圆上，即A ，Q ，N 三点共线. ……………14分20. (本小题满分13分)解：（I ）1522a =，536652,122a a == . ……………4分(II) I =20 , j =3. …………8分(III)位于从左上角到右下角的对角线上的方格内的数字组成的数列是 2，10，26，50， b n 是依(II)中排法的第2 n – 1组的中间一个数，即第n 个数，所以 b n = ( 2n – 1 ) 2 n – 2 ( n – 1 ) = 4 n 2 – 4 n + 2=4n ( n -1) + 2，n = 1，2，3，…；因为 11422n n n c b +=--所以*11(N )2(1)n n c n n n =-∈+， 故 11()12n n S n n *=-∈+N.…………10分 因为 12340,0,0,0c c c c =>>>；当5n ≥时，()()11112n n n n c n n +⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦， 而()()()1112[1][1]22n n n n n n ++++---=()()()()()11112120222n n n n n n n n n ++++++--=> 得()()51551122n n n ++≤<， 所以当5n ≥时，0n c <，综上对任意n N *∈恒有4n S S ≥，故4k =．…………13分。
3.2015-2016第2学期初2数学期末考试题答案 昌平
F AD BC昌平区2015-2016学年第二学期初二年级期末质量抽测数学试卷参考答案及评分标准 2016．7一、选择题（本题共10道小题，每小题3分，共30分）17．解： 移项，得 223x x -=， ………………………1分配方,得22131x x -+=+， ………………………2分()214x -=. ………………………3分 由此可得12x -=±， ………………………4分 121, 3.x x =-= ………………………5分 （其他方法酌情给分） 18．解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，AB ∥CD . …… 2分 ∵AE =CF ,∴BE =DF . ………………………… 3分 ∴四边形DEBF 是平行四边形. ………………………… 4分 又∵∠DEB ＝90°，∴四边形DEBF 是矩形. ………………………… 5分19．解：∵2x =是方程2240x mx m -+=的一个根，∴2480m m -+=． ………………………… 1分∴284m m --=． ………………………… 3分 ∴()81m m --281m m =--………………………… 4分5=-． ………………………… 5分20．解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DE ∥AB ， AB = DC ． ………………………… 2分 ∴△DEF ∽ △BAF ． ………………………… 3分 ∵S △DEF ∶S △ABF = 9∶64， ∴DE ∶AB =3∶8． ………………………… 4分∴DE ∶DC =3∶8． ∴DE ∶EC =3∶5． ………………………… 5分21．（1）解：由题意得，[]22=21)4(4)=2080a a a （∆---->.…………………… 1分 ∴ 52a <． ……………………… 2分 （2）∵a 为正整数，∴=1a ，2． ………………………… 3分当=1a 时，230x -=，x =．当=2a 时，220x x +=，10x =，22x -=． ………………………… 4分 ∴=2a ． ………………………… 5分22．证明：∵∠BAC =90°，点M 是BC 的中点．∴AM =CM ………………………… 1分 ∴∠C =∠CAM ． ………………………… 2分∵DA ⊥AM ，∴∠DAM =90°．∴∠DAB =∠CAM ． ………………………… 3分 ∴∠DAB =∠C . ………………………… 4分 ∵∠D =∠D ,∴△DBA ∽△DAC . …………………… 5分CD AEBF CB M A四、解答题（本题共4道小题，每题5分，共20分）23．解：设这个百分率为x ． ………………………… 1分根据题意列方程，得 21000(1)1440x +=． ………………………… 3分 解方程得：10.2x =，2-2.2x =（舍）． …………………………… 4分 所以x =0.2=20%.答：这个百分率为20%. ………………………… 5分24．解：（1）由题意得，m =0. ………………………… 1分∴二次函数表达式为：22y x x =- ……………………… 2分（2）由222(1)1y x x x =-=--， 可得顶点B （1，-1）令y =0，x =0或2，∴A （2，0）∴OA =2，1AOB S = .设点C 的纵坐标为h ,由题意ΔAOC 的面积是ΔAOB 面积的2倍， ∴2AOC S = . ∴122OA h ⋅=．∴2h =，2h =或-（舍去）． ……… 3分令 222x x =-,解得1x =．∴ 点C的坐标为1212（）或（）. ………………… 5分 25.（1）表中的m =13． ……………………… １分 （2）如图：……………………… 3分（3）108，27.…………………… 5分 26．步骤一：23x x -…………………… 2分/个步骤二：23=0x x -,12=0=3x x ，； …………………… 4分步骤三：0≤x ≤3. …………………… 5分 五、解答题（本题共3道小题，27题7分，28题7分,29题8分，共22分）） 27．（1）解：令y =0，则()222120x k x k k ．++++= ∴ ()()22414240k k k ．∆=+-+=>∴ 无论k 取任何实数，抛物线与x 轴总有两个交点． …………… 3分 （2）证明：解方程 ()222120x k x k k ，++++=得 x =-k ，或x =-k -2. …………………………… 4分∴ A （-k -2，0），B （-k ，0）． ∴ AB=2．∴ AB 的中点D （-k -1，0）．当x =-k -1时，y = -1.∴ 点C 的纵坐标y c = -1. …………………………… 5分∴ S △ABC =12AB ×c y =1. …………………………… 6分 ∴ 无论k 取任何实数，△ABC 的面积总为确定的值． ………………7分28．解：（1……………………… 1分 （2）证明∵ 正方形ABCD ， ∴ AD ∥BC.∴ ∠DEC =∠ADE . ………………………… 2分 ∵ ∠ABC =90°， ∴ ∠FBE =90°. ∵ BG ⊥DE 于点G ，∴ ∠ABG =∠DEC . ………………………… 3分 ∴ ∠ABG =∠ADE . ………………………… 4分 （3）DG +BG .证明：在DE 上截取DH =BG ，连接AH ，…………………………5分 ∵ 四边形ABCD 是正方形，∴ ∠DAB =90°，AB =AD . ∵ ∠ABG =∠ADH (已证). ∴ △ABG ≌△ADH (SAS ). ∴ AG =AH ,∠GAB =∠HAD . ∴ ∠GAH =90°. ∴ 222AG AH GH +=.∴ GH. …………………………… 6分∴ DG =DH +GH+BG . …………………………… 7分29．解：（1）B 点的坐标为（6，2）. …………………………… 1分 （2）由题意得，∠BAP =∠COP =90°. ∵ PC ⊥PB ， ∴ ∠BPC =90°. ∴ ∠CPO+∠APB =90°. ∵∠CPO+∠OCP =90°， ∴∠OCP =∠APB .∴△OCP ∽△APB . ……………………………4分∴由定义可得，点P 是四边形ABCO 在边OA 上的相似点. ……………………………5分 （3）点P 的坐标为（3，0）,(0),(30). ……………………………8分图2。
2015年昌平数学二模题+答案2015年昌平数学二模题+答案
DC B A -3-2-13210圆矩形平行四边形直角三角形AB C D昌平区2015年初三年级第二次统一练习数 学 2015．6一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．1．小超同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”，能搜索到与之相关结果的条数是1650000 ，这个数用科学记数法表示为 A ．410165⨯ B ．51.6510⨯ C ．61065.1⨯ D ．710165.0⨯2．如图，数轴上有A ，B ，C ，D 四个点，其中表示 -3的相反数的点是A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D3．用5个完全相同的小正方体组合成如图所示的立方体图形，它的主视图为4.四张质地、大小相同的卡片上，分别画上如下图所示的四个图形，在看不到图形的情况下从中任意抽出一张卡片，则抽出的卡片上的图形是中心对称图形的概率为E DFB21CA ABP OA .12 B . 14 C . 34D .15．如图，直线AB ∥CD ，Rt △DEF 如图放置，∠EDF =90°，若∠1+∠F =70°，化学教案老板是要员工无条则∠2的度数为A ．20°B ．25°C ．30°D ．40° 学6．五一期间（5月1日-7日），昌平区每天最高温度（单位：℃）情况如图所示，则表示最高温度的这组数据的中位数是A ．24B ．25C ．26D ．277．如图，A ，B ，P 是半径为2的⊙O 上的三点，∠APB ＝45°，则弦AB 的长为案你别怪我铁A ．2B ． 4C 2D ． 228．小明在学习之余去买文具，打算购买5 支单价相同的签字笔和3 本单价相同的笔记本，期间他与售货员对话如下： 请你判断在单价没有弄反的情况下，购买1支签字笔和1本笔记本应付小明：您好，我要买5支签字笔和3本笔记本．售货员：好的，那你应该付52元．小明：刚才我把两种文具的单价弄反了，以为要付44元．MCABD NA B CE FA ．10元B ．11元C ．12元D ．13元9．如图，在已知的△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以B ，C 为圆心，以大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于 两点M ，N ；②作直线MN 交AB 于点D ，连接CD ． 若CD =AC ，∠A =50°，则∠ACB 的度数为 A ．90°B ． 95°C ．100°D ． 105°10.如图，正方形ABCD 的边长为5，动点P 的运动路线为AB →BC ，动点Q 的运动路线为BD ．点P 与Q 以相同的均匀速度分别从A ，B 两点同时出发，当一个点到达终点停止运动时另一个点也随之停止．设点P 运动的路程为x ，△BPQ 的面积为y ，则下列能大致表示y 与x 的函数关系的图象为二、填空题（共6道小题，每小题3分，共18分）11．分解因式：29my m -= .12．若关于x 的一元二次方程2210kx x -+=有实数根，则k 的取值范围是 ．13．已知：如图，在△ABC 中，点D 为BC 上一点，CA =CD ，CF 平分∠ACB ，交AD 于点F ，点E 为AB 的中点．若EF =2，则BD = ．14．把方程2630x x ++=变形为()2x h k +=的形式，其中h ，k 为常数，则k = ．EDCBA15．在阳光体育课上，小腾在打网球，如图所示，网高0.9m ，球刚好打过网，而且落在离网6 m 的位置上，则球拍击球的高度h = m ．16. 如图所示，是一张直角三角形纸片，其中有一个内角为30︒，最小边长为2，点D 、E 分别是一条直角边和斜边的中点，先将纸片沿DE 剪开，然后再将两部分拼成一个四边形，则所得四边形的周长是 ．三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）17．计算：111)3tan 303-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭．18．如图，AB AD ⊥，AE AC ⊥，E C ∠=∠，DE BC =． 求证：AD AB =．19．求不等式432x+-≤x 的负整数解．20. 已知0142=--x x ，求代数式3)1()3(22+---x x x 的值．21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y kx b =+与反比例函数6y x=-的图象()1A m -，，()3B n -，两点，一次函数y kx b =+的图象与y 轴交于点C ．（1）求一次函数的解析式；（2）点P 是x 轴上一点，且BOP △的面积是BOC △面积的2倍，求点P 的坐标．22. 自从2012年9月1日昌平区首批50辆纯电动出租车正式运营以来，电动出租车以绿色环保受到市民的广泛欢迎，给市民的生活带来了很大方便．下表是行驶15公里以内普通燃油出租车和纯电动出租车的运营价格：老张每天从家去单位打出租车上班（路程在15公里以内），结果发现正常情况下乘坐纯电动出租车比燃油出租车平均每公里节省0.8元，求老张家到单位的路程是多少公里？四、解答题（共4道小题，每小题5分，共20分）23．如图，在矩形ABCD 中，AB =3，BC =6，对角线交于点O ．将△BCD 沿直线BD 翻折，得到△BED ．（1）画出△BED ，连接AE ； （2）求AE 的长．24．我区某学校为了提升学生的体艺素养，准备开设空手道、素描、剪纸三项活动课程，为了解学生对各项活动的兴趣，随机抽取了部分学生进行调查（每人从中必须选取一项，且只能选一项），将调查结果绘制成下面两个统计图，请你结合图中信息解答问题.OABCDOAD CBEF（1）将条形统计图补充完整；（2）本次抽样调查的样本容量是____________；（3）已知该校有1200名学生，请你根据样本估计全校学生中喜欢剪纸的人数.25．如图，AB 是⊙O 的直径．半径OD 垂直弦AC 于点E ．F 是BA 延长线上一点，CDB BFD ∠=∠．（1）判断DF 与⊙O 的位置关系，并证明； （2）若AB =10，AC =8，求DF 的长．26.【阅读学习】 刘老师提出这样一个问题：已知α为锐角，且tan α=13，求sin2α的值．小娟是这样解决的：如图1，在⊙O 中，AB 是直径，点C 在⊙O 上，∠BAC =α，所以∠ACB =90°，tan α=BC AC =13．易得∠BOC =2α．设BC =x ，则AC =3x ，则AB．作CD ⊥AB 于D ，求出CD = （用含x 的式子表示），可求得sin2α=CDOC= ．【问题解决】已知，如图2，点M 、N 、P 为圆O 上的三点，且∠P =β，tan β =12，求sin2β的值.图1图2五、解答题（共3道小题，第23，24小题各7分，第25小题8分，共22分）27．已知抛物线2y ax bx c =++经过原点O 及点A （-4，0）和点B （-6，3）．（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）如图1，将直线2y x =沿y 轴向下平移后与（1）中所求抛物线只有一个交点C ，平移后的直线与y 轴交于点D ，求直线CD 的解析式；（3）如图2，将（1）中所求抛物线向上平移4个单位得到新抛物线，请直接写出新抛物线上到直线CD 距离最短的点的坐标及该最短距离．图1图2F OAB C D28.如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=12，对角线交于点O，∠BAD的平分线交BC于E、交BD 于F，分别过顶点B、D作AE的垂线，垂足为G、H，连接OG、OH．（1）补全图形；（2）求证：OG=OH；（3）若OG⊥OH，直接写出∠OAF的正切值．E29. 在平面直角坐标系xOy 中，给出如下定义：形如()()2y a x m a x m =-+-与()()2y a x m a x m =---的两个二次函数的图象叫做“兄弟抛物线”．（1）试写出一对兄弟抛物线的解析式 与 ；（2）判断二次函数2y x x =-与232y x x =-+的图象是否为兄弟抛物线，如果是，求出a 与m 的值，如果不是，请说明理由；（3）若一对兄弟抛物线各自与x 轴的两个交点和其顶点构成直角三角形，其中一个抛物线的对称轴为直线2x =且开口向上，请直接写出这对兄弟抛物线的解析式．备用图昌平区2015年初三年级第二次统一练习 数 学 参考答案及评分标准 2015. 6一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分）二、填空题（共6道小题，每小题3分，共18分）三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）17．解：1011)3tan 303-⎛⎫++ ⎪⎝⎭=133+………………………………………………………… 4分EDCBA=13+=4+ ………………………………………………………………… 5分18．证明：∵ AB AD ⊥，AE AC ⊥，∴90,EAC DAB ∠=∠=︒即 EAD DAC CAB DAC ∠+∠=∠+∠．∴∠EAD =∠CAB ． …………………………………… 1分化在△ADE 和△ABC 中，E C EAD CAB DE BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，∴△ADE ≌△ABC ．……………………………………… 4分∴ AD = AB ． ………………………………………… 5分19．解：去分母，得 46x +-≤2x .………………………………………………… 2分移项，合并，得 x -≤2．系数化1，得 x ≥-2． ………………………………………………………… 4分 所以原不等式的负整数解为21--，． …………………………………………5分20．解： 3)1()3(22+---x x x2226x 2x 13x x =--+-+ ……………………………………………………2分24x 2x =-+． ………………………………………………………………………3分∵ 0142=--x x ， ∴ 241x x -=，∴ 原式=1+2=3. ………………………………………………………………………… 5分21．解：（1）∵ 点()1A m -，，()3B n -，在反比例函数6y x=-的图象上， ∴ m =6,n =2.∴ ()16A -，，()23B -， ……………………………………………………………………… 1分∵ 一次函数y kx b =+的图象过()16A -，，()23B -，两点， ∴ 632.k b k b =-+⎧⎨-=+⎩，…………………………………………………………………… 2分解方程组，得3,3.k b =-⎧⎨=⎩∴ 一次函数的解析式为y =-3x +3. ……………………………………… 3分（2）∵ 一次函数y =-3x +3与y 轴交点C (0，3), 且B (2，-3)∴ BOC △面积为3. ……………………………………………………………………… 4分 ∵ P 是x 轴上一点，且BOP △的面积是BOC △面积的2倍， ∴ 设P (a ,0), ∴1362a ⨯=，解得，4a =±. ∴ 点P 的坐标为（4,0）或（-4,0）. …………………………………………… 5分22．解：设小明家到单位的路程是x 千米． ……………………………… 1分依题意，得 13 2.3(3)82(3)0.8x x x +-=+-+． ………………………………………… 3分解这个方程，得 8.2x =． ……………………………………………………… 4分答：小明家到单位的路程是8.2千米． ………………………………………………… 5分四、解答题（共4道小题，每小题5分，共20分）23．（1）如图，补全图形． …………………………… 1分E（2）解：连接CE 交BD 于点F ． …………………………… 2分∵ 将△BCD 沿直线BD 翻折，得到△BED ， ∴ BD 垂直平分CE ．∵ 矩形ABCD ，AB =3，BC =6，∴ ︒=∠=∠90BCD BED ， 3 6.DE DC AB EB BC =====， ∴ 53362222=+=+=DE BE BD ． ………………………………………………………… 3分∴ 52321==BD OD . ∵ BDDEDE DF EDB ==∠cos ， ∴5333=DF ． ∴ 553=DF ． ……………………………………………………………………… 4分∴5109=-=DF OD OF ． ∵BD 垂直平分CE ，O 为AC 中点， ∴AE =2OF =559． ………………………………………………………………………5分24．解：（1） 补全条形统计图，如图所示．…………………………………………………… 2分（2）100． ……………………………………………………………………… 3分（3）∵样本中喜欢剪纸的人数为30人，样本容量为100，∴估计全校学生中喜欢剪纸的人数：1200×30100=360人．答：全校学生中喜欢剪纸的有360人． ………………………………………………… 5分25．解：（1）DF 与⊙O 相切． ………………………………… 1分∵CAB CDB ∠=∠， 又∵CDB BFD ∠=∠， ∴BFD CAB ∠=∠．∴AC ∥DF ． ………………………………… 2分∵半径OD 垂直于弦AC 于点E ， ∴DF OD ⊥．∴DF 与⊙O 相切． ………………………………… 3分 （2）∵半径OD 垂直于弦AC 于点E ，AC =8， ∴482121=⨯==AC AE ． ∵AB 是⊙O 的直径， ∴5102121=⨯===AB OD OA ． 在AEO Rt ∆中，3452222=-=-=AE OA OE ． ……………………………………… 4分 ∵AC ∥DF ， ∴OAE ∆∽OFD ∆．∴DF AE OD OE =． ∴DF453=． ∴320=DF ． ………………………………………………… 5分26．解：10103xCD =． ……………………………………………………………………… 1分Sin2α=CD OC =53． ……………………………………………………………………… 2分如图，连接NO ，并延长交⊙O 于Q ,连接MQ ，MO ，作NO MH ⊥于H ． 在⊙O 中，∠NMQ =90°． ∵ ∠Q=∠P =β，ＯＭ＝ＯＮ，∴ ∠MON=2∠Q=2β． …………………………………………3分∵ tan β=21， ∴ 设MN =k ，则MQ =2k ， ∴ NQ =k MQ MN 522=+．∴ OM=21NQ=k 25． ∵ MH NQ MQ MN S NMQ ⋅=⋅=∆2121， ∴ MH k k k ⋅=⋅52 ．∴ MH=k 552． ………………………………………………………………………………… 4分 在MHO Rt ∆中，sin2β=sin ∠MON =5425552==kkOM MH ． …………………………………… 5分五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）27．解：（1）∵ 抛物线经过()0,0，()4,0- ，()6,3-三点，∴ 01640,366 3.c a b a b =⎧⎪-=⎨⎪-=⎩…………………………………………………………………… 1分 解得 1410a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，，． ………………………………………………………………………… 2分 ∴ 抛物线的解析式为214y x x =+． ∵()()22211144421444y x x x x x =+=++-=+- ∴抛物线的顶点坐标为()2,1-- …………………………………………………… 3分（2）设直线CD 的解析式为2y x m =+，根据题意，得2124x x x m +=+，…………………………………………………… 4分 化简整理，得2440x x m --=，由16160m ∆=+=，解得1m =-， ………………………………………………… 5分∴直线CD 的解析式为21y x =- ．（3）点的坐标为()2,7， …………………………………………………………… 6分． ……………………………………………………………… 7分28．解：（1）B………………………………………… 1分（2）B证明：如图，延长AE 、DC 交于点P ．∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AD //BC ，AB //CD ．∴ ∠ DAE =∠ AEB ，∠ BAE =∠ DP A ． ……………………………………… 2分∵ AE 平分∠ BAD ， ∴ ∠ DAE =∠ BAE ，∴ ∠ BAE =∠ AEB ，∠ DAE =∠ DP A ．∴ BA =BE ，DA =DP ， ……………………………………………………… 3分又 ∵ BG ⊥ AE ，DH ⊥ AE ，∴ G 为AE 中点，H 为AP 中点． …………………………………………… 4分又 ∵O 为AC 中点，AD =BC ， ∴ ()()111222OG CE BC BE AD AB ==-=-，()()111222OH CP DP CD AD AB ==-=- ． …………………………… 5分∴ OG =OH ． ………………………………………………………………… 6分 （3）717． ……………………………………………………………………………… 7分29．解：（1）答案不唯一，只要两个解析式给出相同的a 值和相同的m 值即可（每空各1分）…… 2分（2）是兄弟抛物线，理由如下． ………………………………………………………… 3分∵ ()()2211y x x x x =-=-+-， ……………………………………………………… 4分()()223211y x x x x =-+=---， …………………………………………………… 5分∴ 二次函数2y x x =-与232y x x =-+的图象是兄弟抛物线．此时 1a =，1m =． …………………………………………………………………… 6分（3） 132()()22y x x =--，352()()22y x x =-- ； ………………………………… 7分 或 352()()22y x x =--，572()()22y x x =--． ………………………………………… 8分。
1.2015-2016第1学期初2数学期末考试题答案 昌平
2015-2016学年第一学期初二年级期末质量抽测 数学试卷参考答案及评分标准 2016．1一、选择题（本题共10道小题，每小题3分，共30分）二、填空题（本题共6道小题，每小题3分，共18分）三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）17．解：原式= 3分= 4分=………………………… 5分18．解: 原式=22(1)(1)12x x x x x x x +--⋅+---1…………………………2分=2(1)(1)1x xx x x +-+--1…………………………3分=2(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x ++-+--+1………………………… 4分=111-()()xx x +-=.1x -+1…………………………5分19．解：方程两边同乘以x （x -1），得31221x x x x ----=2（)（)．………………………… 1分去括号，得2233222x x x x ---=+．………………………… 2分移项，得2232223x x x x =+--．………………………… 3分所以x =3． ………………………… 4分经检验，x =3是原方程的解．………………………… 5分20．证明：∵AB ∥DE ，∴∠B =∠DEF ．………………………… 1分 ∵BE =FC ，∴BC =EF ． ………………………… 2分 在△ABC 和△DEF 中，，，，A D B DEF BC EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△DEF ．………………………… 4分 ∴AC = DF ．………………………… 5分21．解: 原式=321111()a a a ⎛⎫÷+ ⎪--⎝⎭ =3211111()a a a a a -⎛⎫÷+ ⎪---⎝⎭=3211()a aa a ÷--………………………… 2分=321-1()a a a a⋅-=21a a -………………………… 4分 ∵210a a +-=，∴12a a -=-．∴原式=22211a a a a ==---．………………………… 5分22．解：设同学们的速度为x 千米/时．………………………… 1分小明的速度为2x 千米/时，15分钟=14小时． 依题意，列方程得202024x x =+1．………………………… 3分 解得x =40．………………………… 4分经检验x =40是所列方程的解，并且符合题意．答：同学们的速度为40千米/时．………………………… 5分A BDE四、解答题（本题共4道小题，每小题5分，共20分） 23．解：∵AB =AC ，∴∠B =∠C ． ∵∠B=50°，∴∠C =50°．………………………… 1分∴∠BAC=180°-50°-50°=80°．………………………… 2分 ∵∠BAD=55°，∴∠DAE=25°．………………………… 3分 ∵DE ⊥AD ，∴∠ADE=90°．………………………… 4分∴∠DEC=∠DAE +∠ADE =115°．………………… 5分24．画图:（1）作线段AB 的垂直平分线；…………………………2分（2）作∠CAB 的平分线，与AB 的垂直平分线交于点E ；…… 4分 （3）作射线BE 交AC 于点D ．………………………… 5分 ∠ABD 即为所求．25．解：∵ ∠ACB =90°，AC =BC∴ 由勾股定理，得AB =2．………………………… 1分 ∠CAB =∠CBA =45°． ∵ △ABD 是等边三角形，∴ AB=AD=BD =2，∠DAB=∠ABD=60°． ∵ AC =BC ，AD=BD ，∴AB ⊥CD 于E ，且AE=BE =1．……………………………………………… 2分 在Rt △AEC 中，∠AEC = 90°，∠EAC = 45°， ∴∠EAC=∠ACE = 45°．∴AE=CE =1．………………………………………………………… 3分 在Rt △AED 中，∠AED=90°，AD=2，AE=1，∴4分 ∴1．…………………………………………………………………… 5分26．解：如图，作点P 关于直线l 的对称点P ’，连接P ’Q ，交直线l 与点M ，点M 即为所求．…… 2分 如图，由题意，∠QNM=45°，∠PON=90°，∴∠OPN=∠QNM=45°． ∴∴ PN=3．…………………………………………………… 3分ECBAlECDBAEDCBA由对称的性质，得 P ’N= PN=3，∠MNP ’=45°． ∴ ∠QNP ’=90°． ∵ PQ=1， ∴ NQ=4．∴ P ’Q=5．…………………………………… 4分 ∵ P ’M=PM ，∴m=PM+QM=P ’M + QM=P ’Q =5． …………… 5分五、解答题（共3道小题，第27，28小题各7分，第29小题8分，共22分） 27．解：（1）小惠的做法正确． 理由如下：如图1，过O 点作OC ⊥PM 于C ，OD ⊥PN 于D ． ∴∠C=∠D=90°．由题意，∠PMA=∠PNB=60°，∴ ∠OMC=∠PMA=60°，∠OND=∠PNB=60°． ∴∠OMC=∠OND ． ∵OM=ON ， ∴△OMC ≌△OND ．∴OC=OD ，∠COM=∠DON ． ∵OC ⊥PM 于C ，OD ⊥PN 于D ． ∴点O 在∠CPD 的平分线上． ∴∠CPO=∠DPO ． ∴∠COP=∠DOP ． ∴∠MOP=∠NOP ．即射线OP 是∠AOB 的平分线．…………… 3分（2）如图．射线RX 是∠QRS 的平分线．…………… 5分 简述画图过程：如图2． 用刻度尺作RV =RW ，RT =RU ； 连接TW ，UV 交于点X ；射线RX 即为所求∠QRS 的平分线．…………… 7分 28．解：连接CD ．（1）∵MN 垂直平分AD ，点C ，E 在MN 上，∴根据点A ，D 关于MN 的对称性，得 CA =CD ，∠MCD =∠MCA ，∠CAE=∠CDE ． ∵CA =CB ，∴CB =CD ．………………………………………… 2分 ∴∠CBE =∠CDB ，DC PNMO BA图1图2∴∠CBE =∠CAE ， ∵∠MCA =20°， ∴∠MCD =20°． ∵∠ACB =90°， ∴∠BCD =130°．∴∠CBE =∠CDB =25°， ………………………………………… 3分 ∠CAE=∠CDB=∠CBE =25°． ………………………………………… 4分 （2）∵∠CFE 既是△AEF 的外角又是△BCF 的外角， ∴∠CFE=∠CAE+∠AEF=∠CBF+∠FCB ． ∵∠CAE=∠CBE ，∴∠AEB=∠ACB =90°．………………………………………… 5分 ∴ AE 2+BE 2= AB 2．∵∠ACB =90°，CA =CB ， AC =5， ∴AB 2=AC 2+BC 2=50．∴AE 2+BE 2= AB 2=AC 2+BC 2=50．………………………………………… 7分 29．解：（1）把A (3,0)代入y x b =-+，得b =3．∴ B （0，3）． …………………………………………１分 ∴ OB =3， ∵OB :OC =3:1， ∴OC =1，∵点C 在x 轴负半轴上， ∴ C （-1，0）．设直线BC 的解析式为y =mx +n ．把B （0，3）及C （-1，0）代入，得 30n m n =⎧⎨-+=⎩，．解得33m n =⎧⎨=⎩，． ∴直线BC 的解析式为：y =3x +3．………………………………………… 3分 （2）画图正确． ………………………………………… 4分 D 1（4，3），D 2（3，4）． …………………………………… 6分 （3）由题意，PB =PC ． 设PB =PC =x ,则OP =3-x ． 在Rt △POC 中，∠POC = 90°， ∴ OP 2+OC 2=PC 2． ∴(3-x )2+12=x 2．FEDCBA NM解得，x=53．∴OP=3-x=43．∴点P的坐标(0,43)．…………………………………………8分。
北京2015初中二模几何汇总及答案
EF OA BCD1昌平.如图，在平行四边形ABCD 中，AB =5，BC =12，对角线交于点O ，∠BAD 的平分线交BC 于E 、交BD 于F ，分别过顶点B 、D 作AE 的垂线，垂足为G 、H ，连接OG 、OH ． （1）补全图形； （2）求证：OG =OH ；（3）若OG ⊥OH ，直接写出∠OAF 的正切值．2朝阳．数学活动课上，老师提出这样一个问题:如果AB =BC ,∠ABC =60°,∠APC =30°,连接PB ，那么P A 、PB 、PC 之间会有怎样的等量关系呢？ 经过思考后，部分同学进行了如下的交流：小蕾：我将图形进行了特殊化，让点P 在BA 延长线上（如图1），得到了一个猜想: P A 2+PC 2=PB 2 .小东：我假设点P 在∠ABC 的内部，根据题目条件，这个图形具有“共端点等线段”的特点，可以利用旋转解决问题，旋转△P AB 错误！未找到引用源。
后得到△P′CB ,并且可推出△PBP′ ,△PCP ′ 错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
分别是等边三角形、直角三角形，就能得到猜想和证明方法. 这时老师对同学们说，请大家完成以下问题： （1）如图2，点P 在∠ABC 的内部，①P A =4，PC =23，PB= .②用等式表示P A 、PB 、PC 之间的数量关系，并证明.（2）对于点P 的其他位置，是否始终具有②中的结论？若是，请证明；若不是，请举例说明.图1图23东城. 如图1，在ABC Rt △中，90ACB ∠=︒，E 是边AC 上任意一点(点E 与点A ，C 不重合)，以CE 为一直角边作ECD Rt △，90ECD ∠=︒，连接BE ，AD . (1) 若CA CB =，CE CD =，①猜想线段BE ，AD 之间的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论； ②现将图1中的ECD Rt △绕着点C 顺时针旋转锐角α，得到图2，请判断①中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；若8CA =，6CB =，3CE =，4CD =，ECD Rt △绕着点C 顺时针旋转锐角α，(2) 如图3，连接BD ，AE ，计算22BD AE +的值.4海淀．如图1，在△ABC 中，AB =AC ，∠ABC =α，D 是BC 边上一点，以AD 为边作△ADE ，使AE =AD ，DAE ∠+BAC ∠=180°． （1）直接写出∠ADE 的度数（用含α的式子表示）； （2）以AB ，AE 为边作平行四边形ABFE ，①如图2，若点F 恰好落在DE 上，求证：BD =CD ； ②如图3，若点F 恰好落在BC 上，求证：BD =CF ．ECAB DFEBCAD图3DEBACFEBCA D图1 图2 图35门头沟 ．如图1，在△ABC 中，CA =CB ，∠ACB =90°，D 是△ABC 内部一点，∠ADC =135°，将线段CD 绕点C 逆时针旋转90°得到线段CE ，连接DE ． （1）① 依题意补全图形；② 请判断∠ADC 和∠CDE 之间的数量关系，并直接写出答案．（2）在（1）的条件下，连接BE ，过点C 作CM ⊥DE ，请判断线段CM ，AE 和BE 之间的数量关系，并说明理由．（3）如图2，在正方形ABCD 中，AB =2，如果PD =1，∠BPD =90°，请直接写出点A 到BP 的距离．DAB CPDC AB图1 图26顺义．如图，△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，边BA 绕点B 顺时针旋转α角得到线段BP ，连结P A ，PC ，过点P 作PD ⊥AC 于点D ． （1）如图1，若α=60°，求∠DPC 的度数； （2）如图2，若α=30°，直接写出∠DPC 的度数；（3）如图3，若α=150°，依题意补全图，并求∠DPC 的度数．图3PCABDD图2图1ABPC B CPA7西城．正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE=DF．连接BF，作EH⊥BF所在直线于点H，连接CH.（1）如图1，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是；（2）如图2，当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立给出证明；若不成立，说明理由；（3）如图3，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂线，交直线BF于点K，连接CK，请直接写出线段CK长的最大值．8丰台．已知△ABC是锐角三角形，BA=BC，点E为AC边的中点，点D为AB边上一点，且∠ABC=∠AED=α．（1）如图1，当α=40°时，∠ADE= °；（2）如图2，取BC边的中点F，联结FD，将∠AED绕点E顺时针旋转适当的角度β(β<α)，得到∠MEN，EM与BA的延长线交于点M，EN与FD的延长线交于点N．①依题意补全图形；②猜想线段EM与EN之间的数量关系，并证明你的结论．A BECD DCEBA9石景山．如图1，点O 为正方形ABCD 的中心． （1）将线段OE 绕点O 逆时针方向旋转︒90，点E 的对应点为点F ，连结EF ，AE ，BF ，请依题意补全图1；（2）根据图1中补全的图形，猜想并证明AE 与BF 的关系；（3）如图2，点G 是OA 中点，△EGF 是等腰直角三角形，H 是EF 的中点，︒=∠90EGF ，22AB =，2=GE ，△EGF 绕G 点逆时针方向旋转α角度，请直接写出旋转过程中BH 的最大值．10平谷．对某一种四边形给出如下定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．（1）已知：如图1，四边形ABCD 是“等对角四边形”，∠A ≠∠C ，∠A =70°，∠B =80°．则∠C = 度，∠D = 度． （2）在探究“等对角四边形”性质时：小红画了一个“等对角四边形ABCD ”（如图2），其中∠ABC =∠ADC ，AB =AD ，此时她发现CB =CD 成立．请你证明此结论；（3）已知：在“等对角四边形ABCD ”中，∠DAB =60°，∠ABC =90°，AB =5，AD =4．求对角线AC 的长．11怀柔．在△ABC 内侧作射线AP ，自B ，C 分别向射线AP 引垂线，垂足分别为D ，E,M 为BC 边中点，连接MD ，ME. （1）依题意补全图1； （2）求证：MD=ME ； （3）如图2，若射线AP 平分∠BAC ，且AC>AB ，求证：MD=1()2AC AB -.OBDC AEC B H EFGODA图1ACDB图2B DA CPC BA M 图1图2P CBAMa HFEDABC12房山.在△ABC 中，AB ＝BC=2，∠ABC ＝90°，BD 为斜边AC 上的中线，将△ABD 绕点D 顺时针旋转α(0°＜α＜180°)得到△EFD ，其中点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F . BE 与FC 相交于点H .（1）如图1，直接写出BE 与FC 的数量关系：____________; （2）如图2，M 、N 分别为EF 、BC 的中点.求证：MN =22FC ; （3）连接BF ，CE ，如图3，直接写出在此旋转过程中，线段BF 、CE 与AC 之间的数量关系： .13通州．如图①，∠MON =60°，点A ，B 为射线OM ，ON 上的动点（点A ，B 不与点O 重合），且AB =34，在∠MON 的内部、△AOB 的外部有一点P ，且AP =BP ，∠APB =120°． （1）求AP 的长；（2）求证：点P 在∠MON 的平分线上；（3）如图②，点C ，D ，E ，F 分别是四边形AOBP 的边AO ，OB ，BP ，P A 的中点，连接CD ，DE ，EF ，FC ，OP ． 当AB ⊥OP 时，请直接．．写出四边形CDEF 周长的值．图① 图②图2a H FEMNDA BC图1aH FEDABC图 3N MO A BP EFDC NOMA BP1昌平．解：（1）HG E FODCBA……………………… 1分（2）PHG E FODCBA证明：如图，延长AE 、DC 交于点P ．∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AD //BC ，AB //CD ．∴ ∠ DAE =∠ AEB ，∠ BAE =∠ DP A ． …………… 2分 ∵ AE 平分∠ BAD ， ∴ ∠ DAE =∠ BAE ，∴ ∠ BAE =∠ AEB ，∠ DAE =∠ DP A ．∴ BA =BE ，DA =DP ， …………………… 3分 又 ∵ BG ⊥ AE ，DH ⊥ AE ，∴ G 为AE 中点，H 为AP 中点． …………… 4分 又 ∵O 为AC 中点，AD =BC ， ∴ ()()111222OG CE BC BE AD AB ==-=-，()()111222OH CP DP CD AD AB ==-=- ． ……… 5分∴ OG =OH ． ………………… 6分（3）717． ……………………………………………………… 7分2朝阳. （1）①72；……………………………………………………………………………1分图1CGF EBAD②222PB PC PA =+. …………………………………………………………2分 证明：作∠PBP ′＝∠ABC ＝60°，且使BP ′＝BP ，连接P ′C 、P ′P . ……………3分 ∴∠1＝∠2. ∵AB ＝CB ，∴△ABP ≌△CBP′. …………………………4分 ∴P A ＝P ′C ，∠A ＝∠BCP ′. 在四边形ABCP 中，∵∠ABC ＝60°，∠APC ＝30°， ∴∠A ＋∠BCP ＝270°. ∴∠BCP ′＋∠BCP ＝270°.∴∠PCP ′＝360°－(∠BCP ′＋∠BCP )＝90°. ……………………………………5分 ∵△PBP ′是等边三角形. ∴PP ′＝PB .在Rt △PCP ′中，222''P P PC C P =+.……………………………………………6分 ∴222PB PC PA =+.（2）点P 在其他位置时，不是始终具有②中猜想的结论，举例： 如图，当点P 在CB 的延长线上时，结论为222PC PB PA =+. （说明：答案不惟一）……………………………………………………………………………………………7分3东城①解BE AD =，BE AD ⊥；……2分②∴BE AD ⊥.……4分BE AD =，BE AD ⊥仍然成立；证明：设BE 与AC 的交点为点F ，BE 与AD 的交点为点G ，如图1.∵90ACB ECD ∠=∠=︒， ∴ACD BCE ∠=∠. 在ACD △和BCE △中，,,,AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ACD BCE △≌△.∴AD BE =，CAD CBE ∠=∠.……3分 ∵BFC AFG ∠=∠，90BFC CBE ∠+∠=︒， ∴90AFG CAD ∠+∠=︒. ∴90AGF ∠=︒.（2）证明：设BE 与AC 的交点为点F ，BE 的延长线与AD 的交点为点G ，如图2. ∵90ACB ECD ∠=∠=︒， ∴ACD BCE ∠=∠.∵8CA =，6CB =，3CE =，4CD =，∴43CA CD CB CE ==. ∴ACD BCE △∽△.……5分∴CAD CBE ∠=∠.∵BFC AFG ∠=∠，90BFC CBE ∠+∠=︒， ∴90AFG CAD ∠+∠=︒. ∴90AGF ∠=︒. ∴BG AD ⊥.……6分 ∴90AGE BGD ∠=∠=︒.∴222AE AG EG =+，222BD BG DG =+. ∴222222BD AE AG EG BG DG +=+++.∵222AG BG AB +=，222EG DG ED +=，∴22222222125BD AE AB ED CA CB CD CE +=+=+++=.……4海淀（1）∠ADE =90α︒-．………………………………………………………….…1分 （2）①证明：∵四边形ABFE 是平行四边形， ∴AB ∥EF ．∴EDC ABC α∠=∠=．…………………………….……2分 由（1）知，∠ADE =90α︒-，∴90ADC ADE EDC ∠=∠+∠=︒．…………………...……3分 ∴AD ⊥BC ． ∵AB =AC ， ∴BD =CD ．………………………………………………..……………4分②证明：∵AB =AC ，∠ABC =α， ∴C B α∠=∠=．∵四边形ABFE 是平行四边形， ∴AE ∥BF , AE =BF ． ∴EAC C α∠=∠=．……………………………………………………………5分由（1）知，2DAE α∠=，∴DAC α∠=．…………………………………………………………………………6分 ∴DAC C ∠=∠． ∴AD =CD ． ∵AD =AE =BF ， ∴BF =CD ．∴BD =CF ．…………………………………………………………………7分5门头沟解：（1）① 依题意补全图形（如图）；…………………………………………1分② ∠ADC +∠CDE =180°．……………………………………………2分 （2）线段CM ，AE 和BE 之间的数量关系是AE =BE +2CM ，理由如下： ∵ 线段CD 绕点C 逆时针旋转90°得到线段CE ，∴ CD =CE ，∠DCE =90°．∴ ∠CDE =∠CED =45°． 又∵ ∠ADC =135°， ∴ ∠ADC +∠CDE =180°，∴ A 、D 、E 三点在同一条直线上.∴ AE =AD +DE .…………………………………………………………3分 又∵ ∠ACB =90°，∴ ∠ACB －∠DCB =∠DCE －∠DCB ，F EB CADF EBCA D MD A B C E即∠ACD=∠BCE．又∵AC=BC，CD=CE，∴△ACD≌△BCE．∴AD=BE．………………………………………………………………4分∵CD=CE，∠DCE=90°，CM⊥DE．∴DE=2CM．…………………………………………………………5分∴AE=BE+2CM．……………………………………………………6分（3）点A到BP 的距离为312-．…………………………………………7分6顺义（1）∵边BA绕点B顺时针旋转α角得到线段BP，∴BA= BP，∵α=60°，∴△ABP是等边三角形，..................................1分∴∠BAP=60º，AP= AC，又∵∠BAC=90°，∴∠P AC=30º，∠ACP=75º，∵PD⊥AC于点D，∴∠DPC=15º．....................................................................2分（2）结论：∠DPC=75º．..................................................3分（3）画图.............................................................................4分过点A作AE⊥BP于E．∴∠AEB=90º，∵∠ABP=150°，∴∠1=30º，∠BAE=60º，又∵BA= BP，∴∠2=∠3=15º，∴∠P AE=75º，∵∠BAC=90°，∴∠4=75º，∴∠P AE=∠4，∵PD⊥AC于点D，∴∠AEP=∠ADP =90º，∴△APE≌△APD，..............................................................5分∴AE= AD，在Rt△ABE中，∠1=30º，∴12AE AB=，又∵AB=AC，∴1122AE AD AB AC ===，∴AD=CD，又∵∠ADP=∠CDP=90º，4123EDBAC P321EAPCBD∴△ ADP ≌△CDP ，.............................................................6分 ∴∠DCP =∠4=75º， ∴∠DPC =15º．.......................................................................7分 另法：作平行，构造平行四边形．7西城．解：（1）CH=AB ． ………………………………… 1分 （2）结论成立．………………………………… 2分证明：如图11，连接BE ． 在正方形ABCD 中，AB=BC=CD=AD ，∠A=∠BCD=∠ABC=90°． ∵ DE=DF ， ∴ AF=CE ．在△ABF 和△CBE 中，,,,AB CB A BCE AF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △ABF ≌△CBE ．∴ ∠1=∠2．……………………………………3分 ∵ EH ⊥BF ，∠BCE =90°，∴ H ，C 两点都在以BE 为直径的圆上． ∴ ∠3=∠2． ∴ ∠3=∠1． ∵ ∠3+∠4=90°，∠1+∠HBC =90°， ∴ ∠4=∠HBC ．∴ CH=CB ．……………………………………… 5分 ∴ CH=AB ．…………………………………… 6分（3）323+．………………………………………………7分8丰台. 解：（1）°70ADE ∠=；…….1分 （2）①见右图；…….2分 ②EM EN =．…….3分证明：∵ABC AED α∠=∠=，BAC BAC ∠=∠．∴°902EDA ACB α∠=∠=-．∵BA BC =，E APCBD EDBACP图10图11∴ACB BAC ∠=∠，即EDA BAC ∠=∠． ∴EA ED = . …….4分∵E 是AC 中点，∴EA EC =． ∴EA EC ED ==．∴点,,A D C 在以AC 为直径的圆上．∴°90ADC ∠=．. …….5分 而°°°°180180(90)9022EAM EAD αα∠=-∠=--=+．∵点F 是BC 中点，∴FD FB =．∴FDB ABC α∠=∠=．∴°°909022EDN EDA ADN EDA FDB ααα∠=∠+∠=∠+∠=-+=+.∴EAM EDN ∠=∠．…….6分 ∵ ∠AED 绕点E 顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN ， ∴ ∠AED=∠MEN ， ∴∠AED - ∠AEN=∠MEN -∠AEN ，即 ∠MEA=∠NED ． ∴ ΔEAM ≌ΔEPN ． ∴ EM=EN ．…….7分9石景山．解：（1）正确画出图形；………………1分（2）延长EA 交OF 于点H ，交BF 于点G …2分 ∵O 为正方形ABCD 的中心， ∴OB OA =，∠AOB ＝90……3分 ∵OE 绕点O 逆时针旋转90角得到OF ∴OF OE =∴∠AOB ＝∠EOF ＝90∴∠EOA ＝∠FOB ……4分 在△EOA 和△FOB 中，OF OE =，OB OA =，∠EOA ＝∠FOB ， ∴△EOA ≌△FOB ∴BF AE =.……5分 ∴∠OEA ＝∠OFB∵∠OEA +∠OHA ∴∠OFB +∠FHG =90 ∴AE ⊥BF ……6分 （3）BH 的最大值为25+……8分10平谷．解：（1）∠D=80°， (1)∠C=130°； (2)（2）①如图2，连接BD，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB． (3)∵∠ABC=∠ADC，∴∠ABC﹣∠ABD=∠ADC﹣∠ADB．∴∠CBD=∠CDB．∴CB=CD． (4)（3）（Ⅰ）如图，当∠ADC=∠ABC=90°时，延长AD，BC相交于点E，∵∠ABC=90°，∠DAB=60°，AB=5，∴AE=10．∴DE=AE﹣AD=10﹣4═6． (5)∵∠EDC=90°，∠E=30°，∴CD =23．∴AC =27． (6)（Ⅱ）如图，当∠BCD=∠DAB=60°时，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，∵DM⊥AB，∠DAB=60°，AD=4，∴AM=2，DM =23．∴BM=AB﹣AM=5﹣2=3． (7)∵四边形BNDM是矩形，∴DN=BM=3，BN=DM =23．∵∠BCD=60°，∴CN =3．∴BC=CN+BN =33．∴AC =213． (8)即AC =27或213．11怀柔．解：（1）补全图形，如图1所示.………1分（2）延长DM交CE于点F.∵BD、CE分别垂直AP于点D、E.∴BD∥CE.，∴∠1= ∠2.∵M为BC边中点，∴BM=CM, 又∵∠DMB= ∠FMC,∴△DMB≌△FMC (ASA)，∴DM=FM.∵∠DEF=90°.∴EM=12 DF,∴MD=ME.……………………………4分（3）延长BD交AC于点G.………………… 5分∵BD⊥AP于点D，射线AP平分∠BAC,∴△A DB≌△ADG (ASA)，ECDBANMCDA B21FEDCBAPM图1图1PEDMAB C∴BD=DG,AB=AG.又∵△DMB ≌△FMC, ∴BD=CF ，DM=MF, ∴CF=DG, 又∵BG ∥CF,∴四边形DFCG 为平行四边形. ∴DF=CG, ∴2MD=CG, ∴2MD=AC-AB, ∴MD=12(AC-AB). ……………………………7分 12房山.（1）=BE CF ． ………………………………………………………………2分（2）证明：如图2，∵AB =BC ，∠ABC =90°，BD 为斜边中线 ∴BD =AD =CD =12AC ，BD ⊥AC∵ △EFD 是由△ABD 旋转得到的，∴DE =DF =DB =DC ，∠EDF =∠ADB =∠BDC =90° ∴∠EDF +∠BDF =∠BDC +∠BDF ，即∠BDE =∠FDC ∴△BDE ≌△FDC ∴BE =FC 且∠1=∠2 又∵∠3=∠4∴FHE FDE ︒==90∠∠ ,即BE CF ⊥…………………………………………3分 连接BF ，取BF 中点G ，连接MG 、NG . ∵M 为EF 中点，G 为BF 中点，N 为BC 中点 ∴MG ∥BE ，MG =12BE ；NG ∥FC ，NG =12FC又∵EB =FC ，BE ⊥FC ∴MG =NG ，∠MGN =90° ∴△MGN 为等腰直角三角形 ∴MN =22FC …………………………………………………………………5分 （3）222BF CE AC += ……………………………………………………………7分13通州.解：⑴在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 上的中线， ∴12CD AB =， ∴CD =BD ．∴∠BCE ＝∠ABC ．……………………………….(1分) ∵BE ⊥CD ，P GME DCBAF∴∠BEC＝90°，∴∠BEC＝∠ACB．……………………………….(2分)∴△BCE∽△ABC．∴E是△ABC的自相似点．………………………….(3分)⑵①作图略．（方法不唯一）……………………….(5分)②连接PB、PC．∵P为△ABC的内心，∴12PBC ABC∠=∠，12PCB ACB∠=∠．∵P为△ABC的自相似点，∴△BCP∽△ABC．∴∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC=2∠PBC =2∠A，∠ACB＝2∠BCP=4∠A．∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°．∴∠A+2∠A+4∠A＝180°．∴1807A∠=．∴该三角形三个内角的度数分别为1807、3607、7207．…………….(6分)。
北京昌平区初三二模数学试题及答案
DC B A -3-2-13210圆矩形平行四边形直角三角形E DFB21CA AB C D2015年北京市昌平区初三二模数 学 2015．6一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．1．小超同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”，能搜索到与之相关结果的条数是1650000 ，这个数用科学记数法表示为A ．410165⨯ B ．51.6510⨯ C ．61065.1⨯ D ．710165.0⨯2．如图，数轴上有A ，B ，C ，D 四个点，其中表示 -3的相反数的点是A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D3．用5个完全相同的小正方体组合成如图所示的立方体图形，它的主视图为4.四张质地、大小相同的卡片上，分别画上如下图所示的四个图形，在看不到图形的情况下从中任意抽出一张卡片，则抽出的卡片上的图形是中心对称图形的概率为A . 12B . 14C . 345．如图，直线AB ∥CD ，Rt △DEF 如图放置，∠EDF =90°，若∠1+∠F =70°， 则∠2的度数为 A ．20°B ．25°C ．30°D ．40°ABP OMCABD NA BCQ6．五一期间（5月1日-7日），昌平区每天最高温度（单位：℃）情况如图所示，则表示最高温度的这组数据的中位数是A ．24B ．25C ．26D ．277．如图，A ，B ，P 是半径为2的⊙O 上的三点，∠APB ＝45°，则弦AB 的长为 A ．2B ． 4C 2D ． 228．小明在学习之余去买文具，打算购买5 支单价相同的签字笔和3 本单价相同的笔记本，期间他与售货员对话如下：请你判断在单价没有弄反的情况下，购买1支签字笔和1本笔记本应付 A ．10元 B ．11元 C ．12元 D ．13元9．如图，在已知的△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以B ，C 为圆心，以大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于 两点M ，N ；②作直线MN 交AB 于点D ，连接CD ． 若CD =AC ，∠A =50°，则∠ACB 的度数为 A ．90°B ． 95°C ．100°D ． 105°10.如图，正方形ABCD 的边长为5，动点P 的运动路线为AB →BC ，动点Q 的运动路线为BD ．点P 与Q 以相同的均匀速度分别从A ，B 两点同时出发，当一个点到达小明：您好，我要买5支签字笔和3本笔记本．售货员：好的，那你应该付52元．小明：刚才我把两种文具的单价弄反了，以为要付44元．EDCBAA BCE F终点停止运动时另一个点也随之停止．设点P 运动的路程为x ，△BPQ 的面积为y ，则下列能大致表示y 与x 的函数关系的图象为二、填空题（共6道小题，每小题3分，共18分）11．分解因式：29my m -= .12．若关于x 的一元二次方程2210kx x -+=有实数根，则k 的取值范围是 ． 13．已知：如图，在△ABC 中，点D 为BC 上一点，CA =CD ，CF 平分∠ACB ， 交AD 于点F ，点E 为AB 的中点．若EF =2，则BD = ．14．把方程2630x x ++=变形为()2x h k +=的形式，其中h ，k 为常数，则k = ． 15．在阳光体育课上，小腾在打网球，如图所示，网高，球刚好打过网，而且落在离网6 m 的位置上，则球拍击球的高度h = m ．16. 如图所示，是一张直角三角形纸片，其中有一个内角为30︒，最小边长为2， 点D 、E 分别是一条直角边和斜边的中点，先将纸片沿DE 剪开，然后再将两部 分拼成一个四边形，则所得四边形的周长是 ．三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）17．计算：111)3tan 303-⎛⎫+ ⎪⎝⎭o ．18．如图，AB AD ⊥，AE AC ⊥，E C ∠=∠，DE BC =． 求证：AD AB =．19．求不等式432x+-≤x 的负整数解．20. 已知0142=--x x ，求代数式3)1()3(22+---x x x 的值．21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y kx b =+与反比例函数6y x=-的图象交于()1A m -，，()3B n -，两点，一次函数y kx b =+的图象与y 轴交于点C ．（1）求一次函数的解析式；（2）点P 是x 轴上一点，且BOP △的面积是BOC △面积的2倍，求点P22. 自从2012年9月1日昌平区首批50辆纯电动出租车正式运营以来，电动出租车以绿色环保受到市民的广泛欢迎，给市民的生活带来了很大方便．下表是行驶15公里以内普通燃油出租车和纯电动出租车的运营价格：老张每天从家去单位打出租车上班（路程在15公里以内），结果发现正常情况下乘坐纯电动出租车比燃油出租车平均每公里节省元，求老张家到单位的路程是多少公里？四、解答题（共4道小题，每小题5分，共20分）23．如图，在矩形ABCD 中，AB =3，BC =6，对角线交于点O ．将△BCD 沿直线BD 翻折，得到△BED ．OADCBEF（1）画出△BED ，连接AE ； （2）求AE 的长．24．我区某学校为了提升学生的体艺素养，准备开设空手道、素描、剪纸三项活动课程，为了解学生对各项活动的兴趣，随机抽取了部分学生进行调查（每人从中必须选取一项，且只能选一项），将调查结果绘制成下面两个统计图，请你结合图中信息解答问题. （1）将条形统计图补充完整；（2）本次抽样调查的样本容量是____________；（3）已知该校有1200名学生，请你根据样本估计全校学生中喜欢剪纸的人数.25．如图，AB 是⊙O 的直径．半径OD 垂直弦AC 于点E ．F 是BA 延长线上一点，CDB BFD ∠=∠．（1）判断DF 与⊙O 的位置关系，并证明； （2）若AB =10，AC =8，求DF 的长．OABCD26.【阅读学习】 刘老师提出这样一个问题：已知α为锐角，且tan α=13，求sin2α的值．小娟是这样解决的：如图1，在⊙O 中，AB 是直径，点C 在⊙O 上，∠BAC =α，所以∠ACB =90°，tan α=BC AC =13． 易得∠BOC =2α．设BC =x ，则AC =3x ，则AB．作CD ⊥AB 于D ，求出CD = （用含x 的式子表示），可求得sin2α=CDOC= ． 【问题解决】已知，如图2，点M 、N 、P 为圆O 上的三点，且∠P =β，tan β =12，求sin2β的值.图1图2五、解答题（共3道小题，第23，24小题各7分，第25小题8分，共22分） 27．已知抛物线2y ax bx c =++经过原点O 及点A （-4，0）和点B （-6，3）． （1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）如图1，将直线2y x =沿y 轴向下平移后与（1）中所求抛物线只有一个交点C ，平移后的直线与y 轴交于点D ，求直线CD 的解析式；（3）如图2，将（1）中所求抛物线向上平移4个单位得到新抛物线，请直接写出新抛物线上到直线CD 距离最短的点的坐标及该最短距离．图1图2F OAB C D28.如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=12，对角线交于点O，∠BAD的平分线交BC于E、交BD 于F，分别过顶点B、D作AE的垂线，垂足为G、H，连接OG、OH．（1）补全图形；（2）求证：OG=OH；（3）若OG⊥OH，直接写出∠OAF的正切值．E29. 在平面直角坐标系xOy 中，给出如下定义：形如()()2y a x m a x m =-+-与()()2y a x m a x m =---的两个二次函数的图象叫做“兄弟抛物线”．（1）试写出一对兄弟抛物线的解析式 与 ；（2）判断二次函数2y x x =-与232y x x =-+的图象是否为兄弟抛物线，如果是，求出a 与m 的值，如果不是，请说明理由；（3）若一对兄弟抛物线各自与x 轴的两个交点和其顶点构成直角三角形，其中一个抛物线的对称轴为直线2x =且开口向上，请直接写出这对兄弟抛物线的解析式．备用图EDCBA昌平区2015年初三年级第二次统一练习 数 学 参考答案及评分标准 2015. 6一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分）二、填空题（共6道小题，每小题3分，共18分）三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）17．解：1011)3tan 303-⎛⎫+ ⎪⎝⎭o=133++………………………………………………………… 4分 =13+=4+． ………………………………………………………………… 5分 18．证明：∵ AB AD ⊥，AE AC ⊥，∴90,EAC DAB ∠=∠=︒即 EAD DAC CAB DAC ∠+∠=∠+∠．∴∠EAD =∠CAB ． …………………………………… 1分在△ADE 和△ABC 中，E C EAD CAB DE BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，∴△ADE ≌△ABC ．……………………………………… 4分 ∴ AD = AB ． ………………………………………… 5分 19．解：去分母，得 46x +-≤2x .………………………………………………… 2分移项，合并，得 x -≤2． 系数化1，得 x ≥-2． ………………………………………………………… 4分 所以原不等式的负整数解为21--，． …………………………………………5分 20．解： 3)1()3(22+---x x x2226x 2x 13x x =--+-+ ……………………………………………………2分24x 2x =-+． ………………………………………………………………………3分∵ 0142=--x x ， ∴ 241x x -=，∴ 原式=1+2=3. ………………………………………………………………………… 5分21．解：（1）∵ 点()1A m -，，()3B n -，在反比例函数6y x=-的图象上， ∴ m =6,n =2.∴ ()16A -，，()23B -， ……………………………………………………………………… 1分 ∵ 一次函数y kx b =+的图象过()16A -，，()23B -，两点， ∴ 632.k b k b =-+⎧⎨-=+⎩，…………………………………………………………………… 2分解方程组，得3,3.k b =-⎧⎨=⎩∴ 一次函数的解析式为y =-3x +3. ……………………………………… 3分 （2）∵ 一次函数y =-3x +3与y 轴交点C (0，3), 且B (2，-3)∴ BOC △面积为3. ……………………………………………………………………… 4分 ∵ P 是x 轴上一点，且BOP △的面积是BOC △面积的2倍， ∴ 设P (a ,0), ∴1362a ⨯=，解得，4a =±. ∴ 点P 的坐标为（4,0）或（-4,0）. …………………………………………… 5分 22．解：设小明家到单位的路程是x 千米． ……………………………… 1分依题意，得 13 2.3(3)82(3)0.8x x x +-=+-+． ………………………………………… 3分 解这个方程，得 8.2x =． ……………………………………………………… 4分 答：小明家到单位的路程是千米． ………………………………………………… 5分 四、解答题（共4道小题，每小题5分，共20分）23．（1）如图，补全图形． …………………………… 1分 （2）解：连接CE 交BD 于点F ． …………………………… 2分 ∵ 将△BCD 沿直线BD 翻折，得到△BED ， ∴ BD 垂直平分CE ．∵ 矩形ABCD ，AB =3，BC =6，∴ ︒=∠=∠90BCD BED ， 3 6.DE DC AB EB BC =====，DOCB AEF∴ 53362222=+=+=DE BE BD ． ………………………………………………………… 3分∴ 52321==BD OD . ∵ BDDEDE DF EDB ==∠cos ， ∴5333=DF ． ∴ 553=DF ． ……………………………………………………………………… 4分 ∴5109=-=DF OD OF ． ∵BD 垂直平分CE ，O 为AC 中点， ∴AE =2OF =559． ……………………………………………………………………… 5分 24．解：（1） 补全条形统计图，如图所示．…………………………………………………… 2分（2）100． ……………………………………………………………………… 3分 （3）∵样本中喜欢剪纸的人数为30人，样本容量为100，∴估计全校学生中喜欢剪纸的人数：1200×30100=360人．答：全校学生中喜欢剪纸的有360人． ………………………………………………… 5分25．解：（1）DF 与⊙O 相切． ………………………………… 1分 ∵CAB CDB ∠=∠， 又∵CDB BFD ∠=∠， ∴BFD CAB ∠=∠．∴AC ∥DF ． ………………………………… 2分 ∵半径OD 垂直于弦AC 于点E ， ∴DF OD ⊥．∴DF 与⊙O 相切． ………………………………… 3分 （2）∵半径OD 垂直于弦AC 于点E ，AC =8， ∴482121=⨯==AC AE ． ∵AB 是⊙O 的直径， ∴5102121=⨯===AB OD OA ． 在AEO Rt ∆中，3452222=-=-=AE OA OE ． ……………………………………… 4分 ∵AC ∥DF ， ∴OAE ∆∽OFD ∆．∴DF AE OD OE =． ∴DF453=． ∴320=DF ． ………………………………………………… 5分26．解：10103xCD =． ……………………………………………………………………… 1分 Sin2α=CD OC =53． ……………………………………………………………………… 2分 如图，连接NO ，并延长交⊙O 于Q ,连接MQ ，MO ，作NO MH ⊥于H ． 在⊙O 中，∠NMQ =90°． ∵ ∠Q=∠P =β，ＯＭ＝ＯＮ，∴ ∠MON=2∠Q=2β． ………………………………………… 3分∵ tan β=21，∴ 设MN =k ，则MQ =2k ， ∴ NQ =k MQ MN 522=+．∴ OM=21NQ=k 25． ∵ MH NQ MQ MN S NMQ ⋅=⋅=∆2121， ∴ MH k k k ⋅=⋅52 ．∴ MH=k 552． ………………………………………………………………………………… 4分 在MHO Rt ∆中，sin2β=sin ∠MON =5425552==kkOM MH ． …………………………………… 5分 五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27．解：（1）∵ 抛物线经过()0,0，()4,0- ，()6,3-三点，∴ 01640,366 3.c a b a b =⎧⎪-=⎨⎪-=⎩ …………………………………………………………………… 1分解得 1410a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，，． ………………………………………………………………………… 2分∴ 抛物线的解析式为214y x x =+．∵()()22211144421444y x x x x x =+=++-=+-∴抛物线的顶点坐标为()2,1-- …………………………………………………… 3分 （2）设直线CD 的解析式为2y x m =+，根据题意，得2124x x x m +=+， …………………………………………………… 4分 化简整理，得2440x x m --=，由16160m ∆=+=，解得1m =-， ………………………………………………… 5分∴直线CD 的解析式为21y x =- ．（3）点的坐标为()2,7， …………………………………………………………… 6分． ……………………………………………………………… 7分 28．解：（1）B………………………………………… 1分（2）B证明：如图，延长AE 、DC 交于点P ．∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AD //BC ，AB //CD ．∴ ∠ DAE =∠ AEB ，∠ BAE =∠ DP A ． ……………………………………… 2分 ∵ AE 平分∠ BAD ， ∴ ∠ DAE =∠ BAE ，∴ ∠ BAE =∠ AEB ，∠ DAE =∠ DP A ．∴ BA =BE ，DA =DP ， ……………………………………………………… 3分 又 ∵ BG ⊥ AE ，DH ⊥ AE ，∴ G 为AE 中点，H 为AP 中点． …………………………………………… 4分 又 ∵O 为AC 中点，AD =BC ， ∴ ()()111222OG CE BC BE AD AB ==-=-，()()111222OH CP DP CD AD AB ==-=- ． …………………………… 5分∴ OG =OH ． ………………………………………………………………… 6分（3）717． ……………………………………………………………………………… 7分 29．解：（1）答案不唯一，只要两个解析式给出相同的a 值和相同的m 值即可（每空各1分）…… 2分（2）是兄弟抛物线，理由如下． ………………………………………………………… 3分∵ ()()2211y x x x x =-=-+-， ……………………………………………………… 4分()()223211y x x x x =-+=---， …………………………………………………… 5分∴ 二次函数2y x x =-与232y x x =-+的图象是兄弟抛物线．此时 1a =，1m =． …………………………………………………………………… 6分 （3） 132()()22y x x =--，352()()22y x x =-- ； ………………………………… 7分 或 352()()22y x x =--，572()()22y x x =--． ………………………………………… 8分。
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DC B A -3-2-13210圆矩形平行四边形直角三角形F北京市昌平区2015年初三年级第二次统一练习数 学 试 卷 2015．6一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．小超同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”，能搜索到与之相关结果的条数是1650000 ，这个数用科学记数法表示为A ．410165⨯ B ．51.6510⨯ C ．61065.1⨯ D ．710165.0⨯2．如图，数轴上有A ，B ，C ，D 四个点，其中表示 -3的相反数的点是A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D3．用5个完全相同的小正方体组合成如图所示的立方体图形，它的主视图为4.四张质地、大小相同的卡片上，分别画上如下图所示的四个图形，在看不到图形的情况下从中任意抽出一张卡片，则抽出的卡片上的图形是中心对称图形的概率为A . 12B . 14C . 34D .15．如图，直线AB ∥CD ，Rt △DEF 如图放置，∠EDF =90°，若∠1+∠F =70°，MCABD N则∠2的度数为 A ．20°B ．25°C ．30°D ．40°6．五一期间（5月1日-7日），昌平区每天最高温度（单位：℃）情况如图所示，则表示最高温度的这组数据的中位数是A ．24B ．25C ．26D ．277．如图，A ，B ，P 是半径为2的⊙O 上的三点，∠APB ＝45°，则弦AB 的长为 A ．2B ． 4CD ．8．小明在学习之余去买文具，打算购买5 支单价相同的签字笔和3 本单价相同的笔记本，期间他与售货员对话如下：请你判断在单价没有弄反的情况下，购买1支签字笔和1本笔记本应付 A ．10元 B ．11元 C ．12元 D ．13元9．如图，在已知的△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以B ，C 为圆心，以大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于 两点M ，N ；②作直线MN 交AB 于点D ，连接CD ． 若CD =AC ，∠A =50°，则∠ACB 的度数为 A ．90°B ． 95°C ．100°D ． 105°10.如图，正方形ABCD 的边长为5，动点P 的运动路线为AB →BC ，动点Q 的运动路线为BD ．点P 与Q 以相同的均匀速度分别从A ，B 两点同时出发，当一个点到达终点停止运动时另一个点也随之停止．设点P 运动的路程为x ，△BPQ 的面积为y ，则下列能大致表示y 与x 的函数关系的图象为EDCBAA BCDE F二、填空题（共6道小题，每小题3分，共18分）11．分解因式：29my m -= .12．若关于x 的一元二次方程2210kx x -+=有实数根，则k 的取值范围是 ． 13．已知：如图，在△ABC 中，点D 为BC 上一点，CA =CD ，CF 平分∠ACB ， 交AD 于点F ，点E 为AB 的中点．若EF =2，则BD = ．14．把方程2630x x ++=变形为()2x h k +=的形式，其中h ，k 为常数，则k = ．15．在阳光体育课上，小腾在打网球，如图所示，网高0.9m ，球刚好打过网，而且落在离网6 m 的位置上，则球拍击球的高度h = m ．16. 如图所示，是一张直角三角形纸片，其中有一个内角为30︒，最小边长为2，点D 、E 分别是一条直角边和斜边的中点，先将纸片沿DE 剪开，然后再将两部分拼成一个四边形，则所得四边形的周长是 ．三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）17．计算：111)3tan303-⎛⎫+ ⎪⎝⎭．18．如图，AB AD ⊥，AE AC ⊥，E C ∠=∠，DE BC =． 求证：AD AB =．19．求不等式432x+-≤x 的负整数解．20. 已知0142=--x x ，求代数式3)1()3(22+---x x x 的值．21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y kx b =+与反比例函数6y x=-的图象交于()1A m -，，()3B n -，两点，一次函数y kx b =+的图象与y 轴交于点C ．（1）求一次函数的解析式；（2）点P 是x 轴上一点，且BOP △的面积是BOC △面积的2倍，求点P22. 自从2012年9月1日昌平区首批50辆纯电动出租车正式运营以来，电动出租车以绿色环保受到市民的广泛欢迎，给市民的生活带来了很大方便．下表是行驶15公里以内普通燃油出租车和纯电动出租车的运营价格：老张每天从家去单位打出租车上班（路程在15公里以内），结果发现正常情况下乘坐纯电动出租车比燃油出租车平均每公里节省0.8元，求老张家到单位的路程是多少公里？四、解答题（共4道小题，每小题5分，共20分）23．如图，在矩形ABCD 中，AB =3，BC =6，对角线交于点O ．将△BCD 沿直线BD 翻折，得到△BED ．（1）画出△BED ，连接AE ； （2）求AE 的长．24．我区某学校为了提升学生的体艺素养，准备开设空手道、素描、剪纸三项活动课程，为了解学生对各项活动的兴趣，随机抽取了部分学生进行调查（每人从中必须选取一项，且只能选一项），将调查结果绘制成下面两个统计图，请你结合图中信息解答问题. （1）将条形统计图补充完整；（2）本次抽样调查的样本容量是____________；（3）已知该校有1200名学生，请你根据样本估计全校学生中喜欢剪纸的人数.25．如图，AB 是⊙O 的直径．半径OD 垂直弦AC 于点E ．F 是BA 延长线上一点，CDB BFD ∠=∠．（1）判断DF 与⊙O 的位置关系，并证明； （2）若AB =10，AC =8，求DF 的长．OABCD26.【阅读学习】 刘老师提出这样一个问题：已知α为锐角，且tan α=13，求sin2α的值．小娟是这样解决的：如图1，在⊙O 中，AB 是直径，点C 在⊙O 上，∠BAC =α，所以∠ACB =90°，tan α=BC AC =13． 易得∠BOC =2α．设BC =x ，则AC =3x ，则AB．作CD ⊥AB 于D ，求出CD = （用含x 的式子表示），可求得sin2α=CDOC= ． 【问题解决】已知，如图2，点M 、N 、P 为圆O 上的三点，且∠P =β，tan β =12，求sin2β的值.图1图2五、解答题（共3道小题，第23，24小题各7分，第25小题8分，共22分） 27．已知抛物线2y ax bx c =++经过原点O 及点A （-4，0）和点B （-6，3）． （1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）如图1，将直线2y x =沿y 轴向下平移后与（1）中所求抛物线只有一个交点C ，平移后的直线与y 轴交于点D ，求直线CD 的解析式；（3）如图2，将（1）中所求抛物线向上平移4个单位得到新抛物线，请直接写出新抛物线上到直线CD 距离最短的点的坐标及该最短距离．图1图2EF OA BCD28.如图，在平行四边形ABCD 中，AB =5，BC =12，对角线交于点O ，∠BAD 的平分线交BC 于E 、交BD 于F ，分别过顶点B 、D 作AE 的垂线，垂足为G 、H ，连接OG 、OH ． （1）补全图形； （2）求证：OG =OH ；（3）若OG ⊥OH ，直接写出∠OAF 的正切值．29. 在平面直角坐标系xOy 中，给出如下定义：形如()()2y a x m a x m =-+-与()()2y a x m a x m =---的两个二次函数的图象叫做“兄弟抛物线”．（1）试写出一对兄弟抛物线的解析式 与 ；（2）判断二次函数2y x x =-与232y x x =-+的图象是否为兄弟抛物线，如果是，求出a 与m 的值，如果不是，请说明理由；（3）若一对兄弟抛物线各自与x 轴的两个交点和其顶点构成直角三角形，其中一个抛物线的对称轴为直线2x =且开口向上，请直接写出这对兄弟抛物线的解析式．备用图EDCB北京市昌平区2015年初三年级第二次统一练习数学试卷参考答案及评分标准 2015. 6一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分）二、填空题（共6道小题，每小题3分，共18分）三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）17．解：111)3tan303-⎛⎫+ ⎪⎝⎭=133++………………………………………………………… 4分 =13+=4+ ………………………………………………………………… 5分 18．证明：∵ AB AD ⊥，AE AC ⊥，∴90,EAC DAB ∠=∠=︒即 EAD DAC CAB DAC ∠+∠=∠+∠．∴∠EAD =∠CAB ． …………………………………… 1分在△ADE 和△ABC 中，E C EAD CAB DE BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，∴△ADE ≌△ABC ．……………………………………… 4分 ∴ AD = AB ． ………………………………………… 5分 19．解：去分母，得 46x +-≤2x .………………………………………………… 2分移项，合并，得 x -≤2． 系数化1，得 x ≥-2． ………………………………………………………… 4分所以原不等式的负整数解为21--，． …………………………………………5分 20．解： 3)1()3(22+---x x x2226x 2x 13x x =--+-+ ……………………………………………………2分 24x 2x =-+． ………………………………………………………………………3分∵ 0142=--x x ， ∴ 241x x -=，∴ 原式=1+2=3. ………………………………………………………………………… 5分 21．解：（1）∵ 点()1A m -，，()3B n -，在反比例函数6y x=-的图象上， ∴ m =6,n =2.∴ ()16A -，，()23B -， ……………………………………………………………………… 1分 ∵ 一次函数y kx b =+的图象过()16A -，，()23B -，两点，∴ 632.k b k b =-+⎧⎨-=+⎩， …………………………………………………………………… 2分解方程组，得3,3.k b =-⎧⎨=⎩∴ 一次函数的解析式为y =-3x +3. ……………………………………… 3分 （2）∵ 一次函数y =-3x +3与y 轴交点C (0，3), 且B (2，-3)∴ BOC △面积为3. ……………………………………………………………………… 4分 ∵ P 是x 轴上一点，且BOP △的面积是BOC △面积的2倍， ∴ 设P (a ,0), ∴1362a ⨯=，解得，4a =±. ∴ 点P 的坐标为（4,0）或（-4,0）. …………………………………………… 5分 22．解：设小明家到单位的路程是x 千米． ……………………………… 1分依题意，得 13 2.3(3)82(3)0.8x x x +-=+-+． ………………………………………… 3分 解这个方程，得 8.2x =． ……………………………………………………… 4分 答：小明家到单位的路程是8.2千米． ………………………………………………… 5分 四、解答题（共4道小题，每小题5分，共20分）23．（1）如图，补全图形． …………………………… 1分 （2）解：连接CE 交BD 于点F ． …………………………… 2分 ∵ 将△BCD 沿直线BD 翻折，得到△BED ， ∴ BD 垂直平分CE ．∵ 矩形ABCD ，AB =3，BC =6，DOCB AEF∴ ︒=∠=∠90BCD BED ， 3 6.DE DC AB EB BC =====， ∴ 53362222=+=+=DE BE BD ． ………………………………………………………… 3分∴ 52321==BD OD . ∵ BDDEDE DF EDB ==∠cos ， ∴5333=DF ． ∴ 553=DF ． ……………………………………………………………………… 4分 ∴5109=-=DF OD OF ． ∵BD 垂直平分CE ，O 为AC 中点， ∴AE =2OF =559． ……………………………………………………………………… 5分 24．解：（1） 补全条形统计图，如图所示．…………………………………………………… 2分（2）100． ……………………………………………………………………… 3分 （3）∵样本中喜欢剪纸的人数为30人，样本容量为100，∴估计全校学生中喜欢剪纸的人数：1200×30100=360人．答：全校学生中喜欢剪纸的有360人． ………………………………………………… 5分25．解：（1）DF 与⊙O 相切． ………………………………… 1分 ∵CAB CDB ∠=∠， 又∵CDB BFD ∠=∠， ∴BFD CAB ∠=∠．∴AC ∥DF ． ………………………………… 2分 ∵半径OD 垂直于弦AC 于点E ， ∴DF OD ⊥．∴DF 与⊙O 相切． ………………………………… 3分 （2）∵半径OD 垂直于弦AC 于点E ，AC =8， ∴482121=⨯==AC AE ． ∵AB 是⊙O 的直径， ∴5102121=⨯===AB OD OA ． 在AEO Rt ∆中，3452222=-=-=AE OA OE ． ……………………………………… 4分 ∵AC ∥DF ， ∴OAE ∆∽OFD ∆．∴DF AEOD OE = ． ∴DF453=． ∴320=DF ． ………………………………………………… 5分26．解：10103xCD =． ……………………………………………………………………… 1分 Sin2α=CD OC =53． ……………………………………………………………………… 2分 如图，连接NO ，并延长交⊙O 于Q ,连接MQ ，MO ，作NO MH ⊥于H ． 在⊙O 中，∠NMQ =90°． ∵ ∠Q=∠P =β，ＯＭ＝ＯＮ，∴ ∠MON=2∠Q=2β． ………………………………………… 3分∵ tan β=21，∴ 设MN =k ，则MQ =2k ，∴ NQ =k MQ MN 522=+．∴ OM=21NQ=k 25． ∵ MH NQ MQ MN S NMQ ⋅=⋅=∆2121， ∴ MH k k k ⋅=⋅52 ．∴ MH=k 552． ………………………………………………………………………………… 4分 在MHO Rt ∆中，sin2β=sin ∠MON =5425552==kkOM MH ． …………………………………… 5分 五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27．解：（1）∵ 抛物线经过()0,0，()4,0- ，()6,3-三点，∴ 01640,366 3.c a b a b =⎧⎪-=⎨⎪-=⎩ …………………………………………………………………… 1分解得 1410a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，，． ………………………………………………………………………… 2分∴ 抛物线的解析式为214y x x =+．∵()()22211144421444y x x x x x =+=++-=+-∴抛物线的顶点坐标为()2,1-- …………………………………………………… 3分 （2）设直线CD 的解析式为2y x m =+，根据题意，得2124x x x m +=+， …………………………………………………… 4分 化简整理，得2440x x m --=，由16160m ∆=+=，解得1m =-， ………………………………………………… 5分∴直线CD 的解析式为21y x =- ．（3）点的坐标为()2,7， …………………………………………………………… 6分． ……………………………………………………………… 7分 28．解：（1）B………………………………………… 1分（2）B证明：如图，延长AE 、DC 交于点P ．∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AD //BC ，AB //CD ．∴ ∠ DAE =∠ AEB ，∠ BAE =∠ DP A ． ……………………………………… 2分 ∵ AE 平分∠ BAD ， ∴ ∠ DAE =∠ BAE ，∴ ∠ BAE =∠ AEB ，∠ DAE =∠ DP A ．∴ BA =BE ，DA =DP ， ……………………………………………………… 3分 又 ∵ BG ⊥ AE ，DH ⊥ AE ，∴ G 为AE 中点，H 为AP 中点． …………………………………………… 4分 又 ∵O 为AC 中点，AD =BC ， ∴ ()()111222OG CE BC BE AD AB ==-=-，()()111222OH CP DP CD AD AB ==-=- ． …………………………… 5分∴ OG =OH ． ………………………………………………………………… 6分（3）717． ……………………………………………………………………………… 7分29．解：（1）答案不唯一，只要两个解析式给出相同的a 值和相同的m 值即可（每空各1分）…… 2分（2）是兄弟抛物线，理由如下． ………………………………………………………… 3分∵ ()()2211y x x x x =-=-+-， ……………………………………………………… 4分()()223211y x x x x =-+=---， …………………………………………………… 5分∴ 二次函数2y x x =-与232y x x =-+的图象是兄弟抛物线．此时 1a =，1m =． …………………………………………………………………… 6分 （3） 132()()22y x x =--，352()()22y x x =-- ； ………………………………… 7分 或 352()()22y x x =--，572()()22y x x =--． ………………………………………… 8分。