随机振动及试验技术(第三讲)-单自由度与多自由度随机振动
合集下载
机械振动 第3章-单自由度系统的振动
kx H sin(t ) m x
2 令 n k , h H 则 m m 2 x x h sin(t ) n
无阻尼受迫振动微分方程的标准形式 ，二阶常系数非齐次线性微分方程。
x x1 x2
x1 A sin( n t ) 为对应齐次方程的通解 x2 b sin(t ) 为特解 h h b 2 , x sin(t ) 2 2 2 2 n n h x A sin( t ) sin(t ) 全解为 n 2 2 n ：
——初相位，决定振体运动的起始位置。
T ——周期，每振动一次所经历的时间。
2 f —— 频率，每秒钟振动的次数， f = 1 / T，T 。 n n —— 固有频率，振体在2秒内振动的次数。
n 1 c fn 2 2 a
n反映振动系统的动力学特性，只与系统本身的固有参数有关。
则自由振动的微分方程的标准形式 ： 2
q q 0
其解为 也可以写成 有
q A sin(nt ) q C1 cos nt C2 sin nt
2 1 2 2
A C C
C1 tg C2
1
6
对于初始扰动引起的自由运动
=q 0 设 t = 0 时， q = q0 , q
单自由度系统无阻尼自由振动
一、自由振动的例子
J
k
实验确定转动惯量装置
5
二、单自由度系统无阻尼自由振动微分方程及其解 对于任何一个单自由度系统，以q 为广义坐标（从平衡位 置开始量取 ），则自由振动的运动微分方程必将是：
c a, c是与系统的物理参数有关的常数，令 a
2 n
振动理论讲义第3章 单自由度系统自由振动
3.1.2 几个概念和定义
图 3.1 弹簧连 接 的两个物体
研究系统的振动问题时，常常把它简化成由若干个“无质量”的弹簧和“无弹性”
3-2
的质量所组成的模型，称为弹簧－质量系统（spring mass system）。如图 3.2，就是最简 单的振动系统，只包含一个弹簧 和一个质量 。
图 3.2 弹簧－质量体系
如果要取 个数字才能确定一个机械系统的位置，这个机械系统就叫做具有 个自由 度的系统。例如：在自身平面无约束地运动的一个圆盘具有三个自由度：重心的 位移 和 位移，以及绕重心的转动角。
一个系统究竟有多少个自由度，常常是很复杂的问题，这不仅取决于系统本身的结 构特性，还要根据所研究问题的性质、要求的精度以及振动的实际情况来确定。简化的 结果是否正确，还要经过实验来检验。
用一根弹簧把一个质量 悬挂在刚性天花板上。弹簧的刚度由弹性系数 表示。在质 量和刚性天花板之间有油或者空气缓冲器机构。质量静止时，缓冲器不传递力，质量运 动时，缓冲器的阻尼力与速度成正比，即 。 叫做阻尼常数或粘性阻尼常数。
在实际机械系统中所发生的阻尼常数并不按照 这个关系这样简单，而往往是非常 复杂的情况，但是使用这个关系进行分析是很简单的，因此得到大量的应用。
Contents
第 3 章 单自由度系统自由振动 ........................................................................................... 3-2 3.1 引言 .......................................................................................................................... 3-2 3.1.1 自由度 ........................................................................................................... 3-2 3.1.2 几个概念和定义 ........................................................................................... 3-2 3.2 振动微分方程的推导 .............................................................................................. 3-3 3.2.1 单自由度弹簧线振动 ................................................................................... 3-3 3.2.2 单自由度扭转系统 ....................................................................................... 3-4 3.2.3 单自由度电路的微分方程 ........................................................................... 3-5 3.2.4 直线、扭转和电路的比拟关系 ................................................................... 3-5 3.2.5 弹簧顶部运动导致的振动 ........................................................................... 3-7 3.3 单自由度无阻尼自由振动 ...................................................................................... 3-9 3.3.1 一般解 ........................................................................................................... 3-9 3.3.2 静变形法 ..................................................................................................... 3-10 3.3.3 能量法 ......................................................................................................... 3-10 3.3.4 瑞利法 ......................................................................................................... 3-12 3.3.5 等效刚度 ..................................................................................................... 3-13 3.3.6 单摆和复摆 ................................................................................................. 3-16 3.4 有粘性阻尼的自由振动 ........................................................................................ 3-17 3.4.1 阻尼 ............................................................................................................. 3-17 3.4.2 有阻尼的自由振动 ..................................................................................... 3-18 3.5 对数衰减 ................................................................................................................ 3-21 3.6 习题 ........................................................................................................................ 3-25
振动单自由度系统的振动 PPT课件
1
例3 品質彈簧系統，W=150N，st=1cm , A1=0.8cm,
A21=0.16cm。 求阻尼係數μ 。
解：n
g
st
9.8 31.3rad / s 0.01
A21 A2 A3 A21 (e ) nT1 20
A1 A1 A2
A20
0.16 (enT1 )20 0.8
ln( 0.16) 0.8
由 dHI
dt
mI (F )
，
有
(
3 2
M
m)Rx
4k xR
振動微分方程：
x
8k 3M
2m
x
0
固有頻率：
n
8k 3M 2m
1
解2 ： 用機械能守恆定律 以x為廣義座標（取靜平衡位置為 原點）
T 1 Mx2 1 MR2 ( x )2 1 mx2
2
22 R 2
1 ( 3 M m)x2 22
1
§12-2 單自由度系統的有阻尼自由振動
自由振動是簡諧運動，振幅不隨時間而變。但實際中振 動的振幅幾乎都是隨時間逐漸減小的（也稱為衰減振動）， 這是因為有阻尼。 一、阻尼的概念：
阻尼：振動過程中，系統所受的阻力。
粘性阻尼：在很多情況下，振體速度不大時，介質粘性引起 的阻尼力與速度的一次方成正比，這種阻尼稱為粘性阻尼。
mg F mx
F k(x st ) st — 振体静止平衡时弹簧的 变形：mg k st
1
mx mg F mg k(x st ) kx
令
2 n
k m
则：x
2 n
x
0
這就是品質——彈簧系統無阻尼自由振動的
微分方程。
對於其他類型，同理可得。如
例3 品質彈簧系統，W=150N，st=1cm , A1=0.8cm,
A21=0.16cm。 求阻尼係數μ 。
解：n
g
st
9.8 31.3rad / s 0.01
A21 A2 A3 A21 (e ) nT1 20
A1 A1 A2
A20
0.16 (enT1 )20 0.8
ln( 0.16) 0.8
由 dHI
dt
mI (F )
，
有
(
3 2
M
m)Rx
4k xR
振動微分方程：
x
8k 3M
2m
x
0
固有頻率：
n
8k 3M 2m
1
解2 ： 用機械能守恆定律 以x為廣義座標（取靜平衡位置為 原點）
T 1 Mx2 1 MR2 ( x )2 1 mx2
2
22 R 2
1 ( 3 M m)x2 22
1
§12-2 單自由度系統的有阻尼自由振動
自由振動是簡諧運動，振幅不隨時間而變。但實際中振 動的振幅幾乎都是隨時間逐漸減小的（也稱為衰減振動）， 這是因為有阻尼。 一、阻尼的概念：
阻尼：振動過程中，系統所受的阻力。
粘性阻尼：在很多情況下，振體速度不大時，介質粘性引起 的阻尼力與速度的一次方成正比，這種阻尼稱為粘性阻尼。
mg F mx
F k(x st ) st — 振体静止平衡时弹簧的 变形：mg k st
1
mx mg F mg k(x st ) kx
令
2 n
k m
则：x
2 n
x
0
這就是品質——彈簧系統無阻尼自由振動的
微分方程。
對於其他類型，同理可得。如
12.3 单自由度体系的自由振动
各杆EI＝ 。 【例12-5】试求图示结构的ω。各杆 ＝C。 】
3l 4 B C D m B y A l l l 4 A l C D l
1
M1 图
解：
δ 11
7l 3 = 12 EI
1 12 EI EI = = 1.309 ω= 3 mδ11 7ml ml 3
All Rights Reserved 重庆大学土木工程学院®
【注二】惯性力 FI = −m&& = maω 2 sin(ωt + α ) = mω 2 y ， 注二】 y FI 永远与位移方向一致，在数值上与位移成比例， 永远与位移方向一致，在数值上与位移成比例，其比例系 数为 mω 2 。
All Rights Reserved
重庆大学土木工程学院®
12.3.4 自振周期与自振频率
1.自振周期 自振周期 因
y = a sin (ωt + α ) = a sin (ωt + α + 2 π ) 2π = a sin ω t + + α = a sin[ω (t + T ) + α ] ω
所以自振周期
T =
2π
ω
表示体系振动一次所需要的时间，其单位为 （ 表示体系振动一次所需要的时间，其单位为s（秒） 。
式中， 为重力加速度 为重力加速度； 式中，g为重力加速度；W=mg为质点 为质点 的重力； 表示将重力W=mg 的重力；∆st=Wk11，表示将重力 施加于振动方向所产生的静位移。 施加于振动方向所产生的静位移。
All Rights Reserved 重庆大学土木工程学院®
T = 2π ∆st g
All Rights Reserved 重庆大学土木工程学院®
第三讲单自由度系统振动
ent D1d sin d t D2d cos d t
35
关于解的讨论——小阻尼振动系统
在t=0时有 x0 D1, 解得
x0 n x0 D2d
D2 x0 n x0
D1 x0 ,
d
经 D1与D2代入式(2.4-17)即得系统对于初始条件x0 0 的响应。 与x
另一方面使系统振动的振幅按几何级数衰减。 相邻两个振幅之比
A1 Ae nTd n (t1 T d ) e A2 Ae
n d
nt1
(2.4-21)
式中称为减幅系数。可见在一个周期内，振幅 T 1 e 减缩到初值的 。 在ζ=0.05时， =1.366，A2=A1/1.366=0.73A1 亦即在每一个周期内振幅减小27%，振幅按几何 41 级数缩减，衰减是显著的。
x0 A1 cosn 0 A2 sinn 0 0 A1n sinn 0 A2n cosn 0 x
A1 x0 0 n A2 x
22
0 x0 , x
x (t ) x0 cos n t
n
0 x
sin n t
关于解的讨论——小阻尼振动系统
为了避免取指数值的不方便，常用对数减幅 来代替减幅系数，即 A1 2 T ln ln e nTd (2.4-22) A2 1 2 即对数缩减表示为唯一的变量ζ的函数。
n d
同样相对阻尼系数可以确定 为 2 (2） 2 当ζ <<1时
20
单自由度振动系统自由振动微分方程：
kx 0 m x
改写为标准方程：
x x 0
2 n
从数学上看，这是二阶常系数线性齐次常微分方程。
35
关于解的讨论——小阻尼振动系统
在t=0时有 x0 D1, 解得
x0 n x0 D2d
D2 x0 n x0
D1 x0 ,
d
经 D1与D2代入式(2.4-17)即得系统对于初始条件x0 0 的响应。 与x
另一方面使系统振动的振幅按几何级数衰减。 相邻两个振幅之比
A1 Ae nTd n (t1 T d ) e A2 Ae
n d
nt1
(2.4-21)
式中称为减幅系数。可见在一个周期内，振幅 T 1 e 减缩到初值的 。 在ζ=0.05时， =1.366，A2=A1/1.366=0.73A1 亦即在每一个周期内振幅减小27%，振幅按几何 41 级数缩减，衰减是显著的。
x0 A1 cosn 0 A2 sinn 0 0 A1n sinn 0 A2n cosn 0 x
A1 x0 0 n A2 x
22
0 x0 , x
x (t ) x0 cos n t
n
0 x
sin n t
关于解的讨论——小阻尼振动系统
为了避免取指数值的不方便，常用对数减幅 来代替减幅系数，即 A1 2 T ln ln e nTd (2.4-22) A2 1 2 即对数缩减表示为唯一的变量ζ的函数。
n d
同样相对阻尼系数可以确定 为 2 (2） 2 当ζ <<1时
20
单自由度振动系统自由振动微分方程：
kx 0 m x
改写为标准方程：
x x 0
2 n
从数学上看，这是二阶常系数线性齐次常微分方程。
第三节单自由度体系的自由振动
v0 ω
代入上式， 代入上式，得到质点位移
v y (t ) = y 0 cos ωt + 0 sin ωt ω
由上式可知，自由振动由两部分 由上式可知， 组成：一部分是由初始位移y 组成：一部分是由初始位移 0引 起的，质点按余弦规律振动， 起的，质点按余弦规律振动，如 所示； 图 a所示；另一部分是由初始速 所示 引起的， 度v0引起的，质点按正弦规律振 如图b所示 动，如图 所示。两项均为简谐 函数，其合成运动仍为简谐运动, 函数，其合成运动仍为简谐运动, 如图C所示 如图 所示。
& y (t ) = −ωC1 sin ωt + ωC 2 cos ωt
C1和C2可由自由振动初始条件确定。设在初始时刻 时，质点有初始位移和 可由自由振动初始条件确定。设在初始时刻t=0时 初始速度v 初始速度 0，即
y (0) = y 0 ,
& y (0) = v0
可求出
C1 = y0 , C2 =
●
一、无阻尼自由振动 1.运动方程 的建立和求解 运动方程
如果不考虑阻尼， 如果不考虑阻尼，单自由度体系或其它单自由度体系的自由振动都可以 用下图所示的弹簧质点模型来描述。 用下图所示的弹簧质点模型来描述。
图11-14
单自由度体系无阻尼自由振动的运动方程为
m&&(t ) + k11 y (t ) = 0 y
24 EI k11 = 3 h
ω=
k11 = m
24 EI mh 3
求图11-17a所示体系中质点 竖向振动的自振频率和自振周期。图中 所示体系中质点m竖向振动的自振频率和自振周期 例11-4 求图 所示体系中质点 竖向振动的自振频率和自振周期。 弹簧的刚度系数 k 1 = 2 EI 。 3
单自由度系统的自由振动
固有频率的计算方法
1. 建立微分方程求固有频率 2. 静位移法 3. 能量法
单自由度系统的自由振动 / 无阻尼自由振动
静位移法——求解固有频率
单自由度系统的自由振动 / 无阻尼自由振动 能量法——求解固有频率
单自由度系统的自由振动 / 无阻尼自由振动
特征方程及特征根为
2 s 2 0 0
s1, 2 i0
则式（1-1）的通解为
y e x (c1 cos x c2 sin x)
x C1 cos 0t C2 sin 0t
C1 / C2 为任意积分常数，由运动的初始条件确定。
单自由度系统的自由振动 / 无阻尼自由振动
临界阻尼系数 cc
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
2 0 x x0
当作微幅振动时，可认为sin , cos 1。再由静平衡条件 mgl st ka 则上式可简化为
a 2k 引入符号 2 ，则上式变为 ml
2 0
（1-2）
此为单自由度系统无阻尼自由扭振的微分方程，其解同例（1）。
单自由度系统的自由振动 / 无阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 无阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度体系的振动
1 ，频 k
率f f
2
（或
k m ）就越大，亦即振动越快；反之，质量 m 越大，亦即运
）越大，振动频率 f （或 ）就越小，亦即振动越慢，这是一个十分重要的 动惯性（ my
特性， 它表明一个结构体系的自由振动频率值的大小与该结构体系的外部条件无关， 只与反 映该结构的内部固有属性的质量、刚度有关，故通常称为自振频率或固有频率。 注意： ①自振周期 T （自振频率 ）只与结构的质量和刚度（或柔度）有关，与外界干扰因素无 关， （干扰力的大小只能影响振幅，是初始条件） ，改变结构的自振周期，只有从改变结构的 质量或刚度入手； ② T （或 ）是结构动力特性的重要数量标志，两个外表相似的结构，如 T （或 ）不同， 则动力性能相差很大；两个外表相差很大的结构，如 T （或 ）相同，则动力性能基本一 致。 例 3.1 图示各梁 EI 常数,跨中有集中质量 m ,忽略梁本身的质量,求各梁的自振周期 T 和 自振频率 。 解：本题用柔度法比较方便。 ①先求出各梁的 、 T 、 ，再进行比较。 所示。 （a） 1 各图在单位荷载 P 1 作用下的弯矩如图 3.3
设：
（3.1）
式中:
k m
（3.2）
——质点振动圆频率
(a)
(b)
图 3.1 无阻尼单自由度体系
将式（3.2）代入式（3.1） ，得：
2 my 0 my
整理得：
y 2 y 0
式（3.3）为齐次微分方程，其通解为:
（3.3）
y (t ) C1 cos t C 2 sin t
④单质点体系一般振动形式：
cy ky P (t ) my 和外力 P (t ) 影响，即可得到无阻尼体系自由振动。 去掉阻尼 cy y y P (t ) 的解为 y y 0 的通解，加上 y y P (t ) 的特解组成。 ⑤
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
沈 阳 航 空 工 业 学 院
令 t1 t2 t 则有, ( 5.10 ) 由（1）（2）及（3）可见均与t有关，说明初始 条件量随机时，引起的响应是非平稳随机过程。
2013-3-12 5
Dy ( t ) Dy0 F12 2C y0 y0 F1F2 Dy0 F22
随 第5章 单自由度线性系统的平稳随机振动 机 振 5.3系统受基础运动随机激励 动 如图5.3所示。 及 x mx c( y ) k( z x ) 0 试 y x 验 m( ) cy ky 0 技 my cy ky mx 术 2 2n y n y (5.11) y x
12 11
阳 航 空 工 业 学 院
A11 A12 1 y y （7.1）+（7.2）得 ： m( 1 2 ) k ( y1 y2 ) x1 ( t ) x2 ( t ) y y （7.1）-（7.2）得 ：m( 1 2 ) 3k ( y1 y2 ) x1 ( t ) x2 ( t )
(5.13)
(5.12)模的平方
1 H ( ) 2 (n 2 ) 2 4 2n2 2
2
(5.14)
对于欠阻尼情 况,(5.14)可以用图 5.4表示。
H ( )
1
2 n
2
n
图
n
５.4ຫໍສະໝຸດ 2013-3-127
随 机 振 动 及 试 验 技 术
沈 阳 航 空 工 业 学 院
沈 阳 航 空 工 业 学 院
(1/ 2 k )
(1/ 2 k ) 2 S0
2kc (1/ 2 k )
d —均方带宽
故：
E[Y 2 ] 2
作业6.2
2013-3-12
| H ( ) |2 的峰值 均方带宽d (5.31)
14
随 第6章 多自由度线性系统的平稳随机振动 机 振 6.1 两自由度线性系统的平稳随机振动 动 6.1.1 两自由度无阻尼系统的确定性振动 及 试 列出方程 （6.1）式（6.2）式 验 my1 2ky1 ky2 x1 ( t ) (6.1) 技 (6.2) my2 2ky2 ky1 x2 ( t ) 术
随 机 振 动 及 试 验 技 术
沈 阳 航 空 工 业 学 院
随机振动及试验技术
授课教师：艾延廷
飞行器动力与能源工程学院
随 第5章 单自由度线性系统的平稳随机振动 机 振 5.1 引言 单自由模型c，k，m 动 及 问题：初始条件是随机的; 试 基础运动是随机的; 验 质量块上作用力是随机的。 技 术
6.5 单自由度小阻尼系统共振时响应的近似算法
例5.1单自由度、白噪声激励
E[Y ]
2
S0
kc
(5.28)
1 2 k
小阻尼时， d n (d 1 2 n )
H (d ) 2
(5.29)
由(4.23)式知：
2013-3-12 13
随 第5章 单自由度线性系统的平稳随机振动 机 频率响应模下面的面积： 振 E[Y 2 ] 动 | H ( ) |2 d (5.30) 及 2 S0 2kc 试 S0 2 E[Y ] 验 kc 技 | H ( ) 2 d | E[Y 2 ] 0 术 d 2 2 2
沈 阳 航 空 工 业 学 院
y0 F1 ( t ) y0 F2 ( t ) y
(5.7)
（1）数学期望
m y ( t ) E[Y ] m y0 F1 ( t ) m y0 F2 ( t )
2013-3-12
(5.8)
4
随 第5章 单自由度线性系统的平稳随机振动 机 振 （2）自相关函数 Ry ( t1 , t2 ) E[Y ( t1 )Y ( t2 )] 动 及 E[( y0 F1 ( t1 ) y0 F2 ( t1 ))( y0 F1 ( t2 ) y0 F2 ( t2 ))] 试 E[ y2F ( t )F ( t ) y y F ( t )F ( t ) y y F ( t )F ( t ) y 2F ( t )F ( t )] 0 2 1 2 2 0 1 1 2 2 0 0 1 1 2 2 0 0 2 1 1 2 验 D * F ( t )F ( t ) 2C F ( t )F ( t ) D F ( t )F ( t ) y0 1 1 2 2 y0 y0 1 1 2 2 y0 2 1 2 2 技 (5.9) 术 （3）方差
图6.6测量沿海堤岸所受风力的概率特征
F F0 F y y0 y
沈 阳 航 空 工 业 学 院
2013-3-12
m cy ky F (5.20) y
F —平稳随机过程
10
随 第5章 单自由度线性系统的平稳随机振动 机 Sy( ) 可用分析仪测量得到，表示成（5.21）式 振 动 4 B ( 2 2 ) Sy ( ) 及 [( k m 2 ) 2 c 2 ][( 2 2 2 ) 2 4 2 2 ]m 2 试 (5.21) 验 技 单自由度系统频率响应： 1 术 H ( ) (5.22) 2 m ic k
沈 阳 航 空 工 业 学 院
或： 而：
2013-3-12
H ( )
2
1 ( k m 2 )2 c2 2
(5.23)
SF ( ) Sy( ) / | H ( ) | 2
11
随 第5章 单自由度线性系统的平稳随机振动 机 振 4 B ( 2 2 ) (5.24) 2 2 2 2 2 动 ( ) 4 及 试 上式两边做傅立叶逆变换，得： | | 验 (5.25) RF ( ) 2 Be (cos sin | |) 技 术 令 0 ，则 (5.26) E[ F 2 ] RF (0) 2 B 沈
沈 阳 航 空 工 业 学 院
令：
y1 ( t ) A1 sin t y2 ( t ) A2 sin t
4 k 2 3k 2 4 2 0 m m
(6.3)
将(6.3)代入(6.1)式和(6.2)式,得 ： (6.4)
15
2013-3-12
随 第6章 多自由度线性系统的平稳随机振动 机 振 有两个固有频率： 动 n1 k / m n 2 3k / m (6.5) 及 试 和两阶振型： 验 A11 A12 (6.6) 1 1 A技 ＝＝1 A21 A22 术 设： q1 A11 y1 A12 y2 y1 y2 (6.7) 沈 q2 A21 y1 A22 y2 y1 y2
(5.16) (5.17)
或
my
m h( )d x
( t )为平稳随机过程时，y( t ) 亦为平稳的。 x
2013-3-12
8
随 第5章 单自由度线性系统的平稳随机振动 机 振 （2）相应的自相关函数（由4.10式可知） 动 RY ( ) E[Y ( t ) Y ( t )] 及 h(1 ) h( 2 ) E[ X ( t 1 ) X ( t 2 ]d1d 2 试 验 h(1 ) h( 2 ) R ( 1 2 ]d1d 2 (5.18) x 技 术 （3）响应的自功率谱密度函数
1 2 )e i ( 1 2 ) d ( 1 2 )
9
随 第5章 单自由度线性系统的平稳随机振动 机 H ( ) H ( ) S ( ) 振 x 动 | H ( ) |2 S ( ) (5.19) x 及 单自由度系统受一个基础的运动激励是一个单输 试 验 入单输出系统。 技 6.4系统受随机激励时的受迫振动 术
2013-3-12 16
随 机 振 动 及 试 验 技 术
沈 阳 航 空 工 业 学 院
第6章 多自由度线性系统的平稳随机振动
mq1 kq1 x1 ( t ) x2 ( t ) mq2 3kq2 x1 ( t ) x2 ( t )
和两阶振型：
1 x1 x2 q1 ( t ) m 1 2 q2 n2q2 x1 x2 q2 ( t ) m g1 ( t ) 、 g2 ( t ) 是广义坐标里力。
沈 阳 航 空 工 业 学 院
2013-3-12 2
随 第5章 单自由度线性系统的平稳随机振动 机 振 5.2 初始条件是随机时的振动响应 动 (5.1) my cy ky 0 及 或 试 (5.2) 2n y 2 y 0 y 验 2 c / 2mn 式中 n k / m 技 术
沈 阳 航 空 工 业 学 院
SY ( )
把 RY ( ) 代入中 SY ( )
1 RY ( )e i d 2
SY ( ) h(1 )e i1 d1 h( 2 )e i 2 d 2 1 2
2013-3-12
Rx (
2 q1 n1q1
(6.8)
h1 ( )、 h2 ( ) 为新系统的脉冲响应函数。
阳 航 空 工 业 学 院
B的意义是均方值除以 2。 令 （5.25）式中 0 ，则
E[ F 2 ] RF (0) 2 B
2013-3-12
(5.27)
12
随 机 振 动 及 试 验 技 术
沈 阳 航 空 工 业 学 院
第5章 单自由度线性系统的平稳随机振动
讨论： (1)当时，激振力的周期性频率 (2)很大时，表示曲线衰减快，否则，曲线衰减慢。
第5章 单自由度线性系统的平稳随机振动
令 t1 t2 t 则有, ( 5.10 ) 由（1）（2）及（3）可见均与t有关，说明初始 条件量随机时，引起的响应是非平稳随机过程。
2013-3-12 5
Dy ( t ) Dy0 F12 2C y0 y0 F1F2 Dy0 F22
随 第5章 单自由度线性系统的平稳随机振动 机 振 5.3系统受基础运动随机激励 动 如图5.3所示。 及 x mx c( y ) k( z x ) 0 试 y x 验 m( ) cy ky 0 技 my cy ky mx 术 2 2n y n y (5.11) y x
12 11
阳 航 空 工 业 学 院
A11 A12 1 y y （7.1）+（7.2）得 ： m( 1 2 ) k ( y1 y2 ) x1 ( t ) x2 ( t ) y y （7.1）-（7.2）得 ：m( 1 2 ) 3k ( y1 y2 ) x1 ( t ) x2 ( t )
(5.13)
(5.12)模的平方
1 H ( ) 2 (n 2 ) 2 4 2n2 2
2
(5.14)
对于欠阻尼情 况,(5.14)可以用图 5.4表示。
H ( )
1
2 n
2
n
图
n
５.4ຫໍສະໝຸດ 2013-3-127
随 机 振 动 及 试 验 技 术
沈 阳 航 空 工 业 学 院
沈 阳 航 空 工 业 学 院
(1/ 2 k )
(1/ 2 k ) 2 S0
2kc (1/ 2 k )
d —均方带宽
故：
E[Y 2 ] 2
作业6.2
2013-3-12
| H ( ) |2 的峰值 均方带宽d (5.31)
14
随 第6章 多自由度线性系统的平稳随机振动 机 振 6.1 两自由度线性系统的平稳随机振动 动 6.1.1 两自由度无阻尼系统的确定性振动 及 试 列出方程 （6.1）式（6.2）式 验 my1 2ky1 ky2 x1 ( t ) (6.1) 技 (6.2) my2 2ky2 ky1 x2 ( t ) 术
随 机 振 动 及 试 验 技 术
沈 阳 航 空 工 业 学 院
随机振动及试验技术
授课教师：艾延廷
飞行器动力与能源工程学院
随 第5章 单自由度线性系统的平稳随机振动 机 振 5.1 引言 单自由模型c，k，m 动 及 问题：初始条件是随机的; 试 基础运动是随机的; 验 质量块上作用力是随机的。 技 术
6.5 单自由度小阻尼系统共振时响应的近似算法
例5.1单自由度、白噪声激励
E[Y ]
2
S0
kc
(5.28)
1 2 k
小阻尼时， d n (d 1 2 n )
H (d ) 2
(5.29)
由(4.23)式知：
2013-3-12 13
随 第5章 单自由度线性系统的平稳随机振动 机 频率响应模下面的面积： 振 E[Y 2 ] 动 | H ( ) |2 d (5.30) 及 2 S0 2kc 试 S0 2 E[Y ] 验 kc 技 | H ( ) 2 d | E[Y 2 ] 0 术 d 2 2 2
沈 阳 航 空 工 业 学 院
y0 F1 ( t ) y0 F2 ( t ) y
(5.7)
（1）数学期望
m y ( t ) E[Y ] m y0 F1 ( t ) m y0 F2 ( t )
2013-3-12
(5.8)
4
随 第5章 单自由度线性系统的平稳随机振动 机 振 （2）自相关函数 Ry ( t1 , t2 ) E[Y ( t1 )Y ( t2 )] 动 及 E[( y0 F1 ( t1 ) y0 F2 ( t1 ))( y0 F1 ( t2 ) y0 F2 ( t2 ))] 试 E[ y2F ( t )F ( t ) y y F ( t )F ( t ) y y F ( t )F ( t ) y 2F ( t )F ( t )] 0 2 1 2 2 0 1 1 2 2 0 0 1 1 2 2 0 0 2 1 1 2 验 D * F ( t )F ( t ) 2C F ( t )F ( t ) D F ( t )F ( t ) y0 1 1 2 2 y0 y0 1 1 2 2 y0 2 1 2 2 技 (5.9) 术 （3）方差
图6.6测量沿海堤岸所受风力的概率特征
F F0 F y y0 y
沈 阳 航 空 工 业 学 院
2013-3-12
m cy ky F (5.20) y
F —平稳随机过程
10
随 第5章 单自由度线性系统的平稳随机振动 机 Sy( ) 可用分析仪测量得到，表示成（5.21）式 振 动 4 B ( 2 2 ) Sy ( ) 及 [( k m 2 ) 2 c 2 ][( 2 2 2 ) 2 4 2 2 ]m 2 试 (5.21) 验 技 单自由度系统频率响应： 1 术 H ( ) (5.22) 2 m ic k
沈 阳 航 空 工 业 学 院
或： 而：
2013-3-12
H ( )
2
1 ( k m 2 )2 c2 2
(5.23)
SF ( ) Sy( ) / | H ( ) | 2
11
随 第5章 单自由度线性系统的平稳随机振动 机 振 4 B ( 2 2 ) (5.24) 2 2 2 2 2 动 ( ) 4 及 试 上式两边做傅立叶逆变换，得： | | 验 (5.25) RF ( ) 2 Be (cos sin | |) 技 术 令 0 ，则 (5.26) E[ F 2 ] RF (0) 2 B 沈
沈 阳 航 空 工 业 学 院
令：
y1 ( t ) A1 sin t y2 ( t ) A2 sin t
4 k 2 3k 2 4 2 0 m m
(6.3)
将(6.3)代入(6.1)式和(6.2)式,得 ： (6.4)
15
2013-3-12
随 第6章 多自由度线性系统的平稳随机振动 机 振 有两个固有频率： 动 n1 k / m n 2 3k / m (6.5) 及 试 和两阶振型： 验 A11 A12 (6.6) 1 1 A技 ＝＝1 A21 A22 术 设： q1 A11 y1 A12 y2 y1 y2 (6.7) 沈 q2 A21 y1 A22 y2 y1 y2
(5.16) (5.17)
或
my
m h( )d x
( t )为平稳随机过程时，y( t ) 亦为平稳的。 x
2013-3-12
8
随 第5章 单自由度线性系统的平稳随机振动 机 振 （2）相应的自相关函数（由4.10式可知） 动 RY ( ) E[Y ( t ) Y ( t )] 及 h(1 ) h( 2 ) E[ X ( t 1 ) X ( t 2 ]d1d 2 试 验 h(1 ) h( 2 ) R ( 1 2 ]d1d 2 (5.18) x 技 术 （3）响应的自功率谱密度函数
1 2 )e i ( 1 2 ) d ( 1 2 )
9
随 第5章 单自由度线性系统的平稳随机振动 机 H ( ) H ( ) S ( ) 振 x 动 | H ( ) |2 S ( ) (5.19) x 及 单自由度系统受一个基础的运动激励是一个单输 试 验 入单输出系统。 技 6.4系统受随机激励时的受迫振动 术
2013-3-12 16
随 机 振 动 及 试 验 技 术
沈 阳 航 空 工 业 学 院
第6章 多自由度线性系统的平稳随机振动
mq1 kq1 x1 ( t ) x2 ( t ) mq2 3kq2 x1 ( t ) x2 ( t )
和两阶振型：
1 x1 x2 q1 ( t ) m 1 2 q2 n2q2 x1 x2 q2 ( t ) m g1 ( t ) 、 g2 ( t ) 是广义坐标里力。
沈 阳 航 空 工 业 学 院
2013-3-12 2
随 第5章 单自由度线性系统的平稳随机振动 机 振 5.2 初始条件是随机时的振动响应 动 (5.1) my cy ky 0 及 或 试 (5.2) 2n y 2 y 0 y 验 2 c / 2mn 式中 n k / m 技 术
沈 阳 航 空 工 业 学 院
SY ( )
把 RY ( ) 代入中 SY ( )
1 RY ( )e i d 2
SY ( ) h(1 )e i1 d1 h( 2 )e i 2 d 2 1 2
2013-3-12
Rx (
2 q1 n1q1
(6.8)
h1 ( )、 h2 ( ) 为新系统的脉冲响应函数。
阳 航 空 工 业 学 院
B的意义是均方值除以 2。 令 （5.25）式中 0 ，则
E[ F 2 ] RF (0) 2 B
2013-3-12
(5.27)
12
随 机 振 动 及 试 验 技 术
沈 阳 航 空 工 业 学 院
第5章 单自由度线性系统的平稳随机振动
讨论： (1)当时，激振力的周期性频率 (2)很大时，表示曲线衰减快，否则，曲线衰减慢。
第5章 单自由度线性系统的平稳随机振动