结构力学 7.位移法
结构力学二7-矩阵位移法
e e
e
1
4ie
1
e
1e 2ie 2e 4ie
F k
2ie
---单元刚度方程 其中
k e称作单元刚度矩阵(简称作单刚)
1
ie
e 1
e
F2e
单元刚度矩阵中元素的物理意义
e e 4ie 2ie k k e 11 12 k e e 2 i 4 i k k e 21 22 e
F 4i 2ie
e 1 e e 1
e 2
ie
e 1
e
F2e
F
e 1
e 2
2
e F2e 2ie1e 4ie 2
1e
F
e
2e
F2e
e 1
F1 4ie 2ie 1 2 i 4 i F e 2 2 e
1
1/2
2
M-图(kN· m)
(2)乘大数法 若 i 0 ,则将总刚主对角 元素 kii 乘以大数N.
6kN.m
3kN.m
i1 1 i2 2
2 3
P3
1
4 2 0 1 6 2 12 4 3 2 P 0 4 8 3 3
4 2 0 1 / 2 1 0 F 2 4 1 / 4 1 2 1 / 4 0 8 4 1 / 4 2 3 2 F 4 8 0 1 1 1
q
练习: 求图示结构的等效结点荷载. q
1 2 3 4
1
2
结构力学-第7章-位移法习题答案
1 2
ql
1 12
ql 2
/ l
7 12
ql
由位移法方程得出：
r11Z1
R1 p
0
Z1
7ql 4 348EI
作出最终 M 图
7-9 试不经计算迅速画出图示结构的弯矩图形。
(a)
B
θA A
(b)
C B
yB
B′
A
C
题 7-9 图 7-10 试计算图示有剪力静定杆的刚架，并绘出 M 图。
13EI l
, r12
r21
3EI l2
r22
18EI l2
R1 p
1 16
ql 2 , R2 p
ql
代入，解得
Z1
66 3600
ql3 EI
,
Z2
211 3600
ql 4 EI
（4）求最终弯矩图
(e)
50kN·m
80kN·m 10kN·m 20kN
A 2EI B EI C
EI
(b)
B
3EI
C
EI
EI
A
D
Δ l
l
解：（1）求 M1, M 2 , M 3, M p 图。
（2）由图可知：
r11
16i, r12
r21
6i, r23
r32
6i l
, r22
16i, r33
24i l
R1 p
0, R2 p
结构力学 位移法典型方程、计算举例
r21 B r22 CH R2
满足此方程，就消去了施加的2个约束
即，
r11 B r12 CH R1P 0 r21 B r22 CH R2 P 0
4）弯矩图的作法----消去最先附加的刚臂 P R1P R2P + MP图 R2
r
j 1
n
ij
Zj
，为消去该处的约束力，令： R iP
r
j 1
n
ij
Z j =0 即可。写成方程组的形式为：
r11 Z1 r12 Z 2 r1n Z n R1P 0 r Z r Z r Z R 0 21 1 22 2 2n n 2P rn1 Z1 rn 2 Z 2 rnn Z n RnP 0
R1P
R2P
+ +
r11 R A
1
r21R 2A
MP图 +
r12 B
r22 B
或
P
qL2/12
PL/8
4i
2i
q
R1P
R2P
+ A•
r11 8i r21 2i
2i
M 1图
MP图
4i
+
B•
4i r22 11i 2i r12 2i 3i 2i
M 2图
M M P M 1 A M 2 B
叠加右侧2个图，意味着结点B转动 及结点C侧移都发生。
叠加后B处的转角和C处的位移
分别为：B CH 则两处的约 束力必为R1，R2
r12 CH
结构力学I第7章 位移法
2015-12-21
Page 25
LOGO §7-2单跨超静定梁的形常数与载常数
2015-12-21
Page 26
LOGO
§7-3 位移法解无侧移刚架
如果刚架的各结点只有角位移而没有线位移，这种刚架 称为无侧移刚架。
位移法计算：
为什么不选结点C？
取结点角位移 ������������ 作为基本位置量。 C为支座结点！
6i 6i
/ /
l l
2015-12-21
A
=
1 3i
M
AB
1 6i
M
BA
l
M BA =0
B
=
1 6i
M
AB
+
1 3i
M
BA
l
M AB 3iA 3i / l
B 0
FQAB FQBA 0
M AB M BA
第七章 位移法
结构力学 I
浙江大学海洋学院 Tel : Email：
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§7-1 位移法基本概念
位移法是计算超静定结构的基本方法之一。
P
力法计算太困难了！
用力法计算，9个未知量 如果用位移法计算, 1个基本未知量
1个什么样的基本未知量?
Page 2
LOGO
§7-1位移法基本概念
一、位移法的提出（Displacement Method）
Page 20
LOGO §7-2单跨超静定梁的形常数与载常数
用位移法进行结构分析的基础是杆件分析。位移法的基 本结构为以下三种单跨超静定梁:
结构力学第七章位移法
10
§7-3 位移法基本结构与未知量数目
二 位移法基本结构 1 附加刚臂 控制结点转动 2 附加链杆 控制结点线位移
ΔC C θC
ΔD θD
D
基本结构
将原结构结点位移锁住，所得单跨梁的组合体
11
三 位移法基本结构与未知量数目
ΔC
ΔD
Z1
θD
C θC
D
Z2 Z3
基本结构
结点角位移的数目=刚结点的数目=附加刚臂的数目 独立结点线位移的数目=附加链杆的数目
B
15i 16
6
0(2)
位移法方程实质上平衡方程 33
2i
3i/2Z2=1
A
D
2i
k 21
FQ BA
FQ CD
3i 2
B
C k22
FQBA
FQCD
3i
i2
3i/2
k 22
i
3i 4
3i 16
15i 16
B i
0
FQ BA
3i 4
C FQCD i
3i 2
M1
3i 4
A
FQ CD
3i 16
3i/2
D 3i/4 26
4
B
C F2P
3kN/m 3kN/m
16
皮肌炎图片——皮肌炎的症状表现
▪ 皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉、 心、肺、肾等多脏器严重损害的， 全身性疾病，而且不少患者同时 伴有恶性肿瘤。它的1症状表现如 下：
▪ 1、早期皮肌炎患者，还往往伴 有全身不适症状，如-全身肌肉酸 痛，软弱无力，上楼梯时感觉两 腿费力；举手梳理头发时，举高 手臂很吃力；抬头转头缓慢而费 力。
结构力学第07章 位移法-3
基本体系转化为原结构的条件是： 基本结构在给定荷载以及结点位移的共同 作用下，在附加约束中产生的总约束力应该等 于零。
（变形协调） （平衡条件） 原结构 若干根单跨杆 整体结构 放松 件的组合体 锁住 (还原)
以两个基本未知量的结构为例。 基本体系转化为原结构的条件： 基本结构在给定荷载和结点位 移Δ 1， Δ 2共同作用下，在附加约 束中产生的总约束反力F1，F2应等 于零。 即： F1 =0 F2 =0
B FP l/2
l/2
Δ1
Δ1
EI=常数 A
l
C
Δ2
D
（7-15）
B 基本结构 A
C
D
FP
B l/2 l/2
Δ1 Δ1
C
Δ2 B 基本结构
C
A
EI=常数
D
A
D
l
F1 =0
FP B Δ1
C
Δ2
F2 =0
B
F1=0 MBC MBA F2=0
FQCD
A
D
基本体系
FQBA
F11 B
F21 C
F12
B
CΔ2 F22
X 0
解方程求多余未知力; 迭加作内力图; 用变形条件进行校核; 只用来求解超静定结构。
K F 0
解方程求独立结点位移; 迭加作内力图; 用平衡条件进行校核; 静定、超静定结构均可。
2、位移法典型方程（n个基本未知量） k11 Δ1+k12 Δ2+…+ k1n Δn+F1P= 0 k21 Δ1+k22 Δ2+…+ k2n Δn+F2P= 0 … +…+ … kn1 Δ1+kn2 Δ2+…+ knn Δn+FnP= 0 可写成矩阵形式
7.位移法.结构力学
第八章位移法P12345iαB B '∆BB ''iu iN iαii l ,A A∆BB 'i αB ''ii sin u α∆=选择基本未知量∆iiii u l EA N =ii sin u α∆=iiii sin l EA N α∆=Psin N i i =∑αP sin l EA i 2ii =⋅∑∆αi2ii sin l EA P α∆∑=Psin l EA sin l EA N i2ii i iii αα∑=物理条件几何条件平衡条件变形条件§8-1 位移法的基本概念ABCPθAθA荷载效应包括：内力效应：M 、Q 、N ；结点位移效应：θAA BAθABM AθACM CPAAB AB AM i θ=4ACAC A M i Plθ=-3316AACM ABM AB AC M M +=0AB A AC A i i Pl θθ+-=343016ABCPθAθA实现位移状态可分两步完成：分析：1）叠加两步作用效应，约束结构与原结构的荷载特征及位移特征完全一致，则其内力状态也完全相等；2）结点位移计算方法：对比两结构可发现，附加约束上的附加内力应等于0，按此可列出基本方程。
1）在可动结点上附加约束，限制其位移，在荷载作用下，附加约束上产生附加约束力；2）在附加约束上施加外力，使结构发生与原结构一致的结点位移。
位移法基本作法小结:（1）基本未知量是结点位移；（2）基本方程的实质含义是静力平衡条件；（3）建立基本方程分两步——单元分析（拆分）求得单元刚度方程，整体分析（组合）建立位移法基本方程，解方程求出基本未知量;（4）由杆件的刚度方程求出杆件内力，画弯矩图。
∆Aθ∆AθABABM ABC qPAθABM CPA关于刚架的结点位移未知量：角位移、和线位移2、线位移：（1）忽略轴向力产生的轴向变形---变形后的曲杆与原直杆等长；（2）变形后的曲杆长度与其弦等长。
结构力学-第7章 位移法
第7章位移法一. 教学目的掌握位移法的基本概念；正确的判断位移法基本未知量的个数；熟悉等截面杆件的转角位移方程；熟练掌握用位移法计算荷载作用下的刚架的方法了解位移法基本体系与典型方程的物理概念和解法。
二. 主要章节§7-1 位移法的基本概念§7-2 杆件单元的形常数和载常数—位移法的前期工作§7-3 位移法解无侧移刚架§7-4 位移法解有侧移刚架§7-5 位移法的基本体系§7-6 对称结构的计算＊§7-7支座位移和温度改变时的位移法分析（选学内容）§7-8小结§7-9思考与讨论三. 学习指导位移法解超静定结构的基础是确定结构的基本未知量以及各个杆件的转角位移方程，它不仅可以解超静定结构，同时还可以求解静定结构，另外，要注意杆端弯矩的正负号有新规定。
四. 参考资料《结构力学(Ⅰ)-基本教程第3版》P224～P257第六章我们学习了力法，力法和位移法是计算超静定结构的两个基本方法，力法发展较早，位移法稍晚一些。
力法把结构的多余力作为基本未知量，将超静定结构转变为将定结构，按照位移条件建立力法方程求解的；而我们今天开始学的这一章位移法则是以结构的某些位移作为未知量，先设法求出他们，在据以求出结构的内力和其他位移。
由位移法的基本原理可以衍生出其他几种在工程实际中应用十分普遍的计算方法，例如力矩分配法和迭代法等。
因此学习本章内容，不仅为了掌握位移法的基本原理，还未以后学习其他的计算方法打下良好的基础。
此外，应用微机计算所用的直接刚度法也是由位移法而来的，所以本章的内容也是学习电算应用的一个基础。
本章讨论位移法的原理和应用位移法计算刚架，取刚架的结点位移做为基本未知量，由结点的平衡条件建立位移法方程。
位移法方程有两种表现形式：①直接写平衡返程的形式（便于了解和计算）② 基本体系典型方程的形式（利于与力法及后面的计算机计算为基础的矩阵位移法相对比，加深理解）§7-1 位移法的基本概念1.关于位移法的简例为了具体的了解位移法的基本思路，我们先看一个简单的桁架的例子：课本P225。
龙驭球《结构力学Ⅰ》(第4版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(位移法)【圣才出品】
第7章位移法7.1 复习笔记本章重点介绍了位移法的原理以及如何运用位移对超静定结构在各种荷载作用下的内力和位移进行求解。
位移法和力法像一幅对联，是超静定结构分析中的两个基本方法。
力法通过撤除多余约束达到简化计算的目的，而位移法通过添加约束达到此目的。
此外，二者对偶关系总结如下：力法：虚设单位力——求结构柔度——利用变形协调——求解未知约束力——算出结构内力。
位移法：虚设单位位移——求结构刚度——利用受力平衡——求解未知位移——算出结构内力。
两种方法殊途同归，在结构计算中应该综合考虑结构特点和求解目标选取合理的手法，使结构计算更加方便、快捷、准确。
一、位移法的基本概念（见表7-1-1）表7-1-1 位移法的基本概念二、杆件单元的形常数和载常数——位移法的前期工作采用位移法对刚架的等截面杆件进行分析时，杆件端部弯矩受两方面影响：①杆端位移产生的杆端弯矩——形常数；②外荷载产生的固端弯矩——载常数。
1．由杆端位移求杆端内力——形常数（见表7-1-2）表7-1-2 由杆端位移求杆端内力——形常数图7-1-12．由荷载求固端内力——载常数荷载作用下的杆端弯矩和杆端剪力，称为固端弯矩和固端剪力。
由于它们是只与荷载形式有关的常数，所以又称载常数，不同支座形式下杆件的固端弯矩和剪力值见表7-1-3。
表7-1-3 等截面杆件的固端弯矩和剪力三、位移法解无侧移刚架（见表7-1-4）表7-1-4 位移法解无侧移刚架四、位移法解有侧移刚架（表7-1-5）表7-1-5 位移法解有侧移刚架图7-1-2五、位移法的基本体系（见表7-1-6）表7-1-6 位移法的基本体系图7-1-3图7-1-4图7-1-5图7-1-6六、位移法解对称结构（见表7-1-7）表7-1-7 位移法解对称结构。
07★结构力学A上★第七章★位移法
例：作图示刚架弯矩图。忽略横梁的 轴向变形。 解:（1）基本未知量：各柱顶水平 位移相等，只有一个独立线位移Δ。 （2）各柱的杆端弯矩和剪力为：
EI1 i1 h1 EI 2 i2 h2 EI 3 i3 h3
32
M BA 3i1 M DC 3i2 M FE 3i3
FP i1 i2 i3 3 2 2 2 h1 h2 h3 FP 3 i h2
列出水平投影方程：
X 0
33
（4）各柱最终杆端弯矩，画弯矩图：
i1 2 h1 FP i 2 h i3 2 h3 FP i 2 h i2 2 h2 i 2 h
转角位移方程。因此，不能利用刚性杆两端的刚结点力矩平
衡条件。应建立弹性杆端的剪力平衡方程。 刚性杆虽然没有变形，但是可存在内力。
30
2. 基本方程的建立
B= 0.737/ i (1) 基本未知量 B = 7.58/i
(2) 杆端弯矩
1 AB：M AB 2i B 6i 3 42 4 12 1 M BA 4iB 6i 3 42 4 12
M E 0, FQBE
M F 0, FQCF
1 (M EB M BE ) 4
1 M FC M CF 6
1 1 (M EB M BE ) M FC M CF 0 4 6
（4）解方程组
1.125 B 0.5C 0.728 0
得 B= 0.94 C= -4.94 = -1.94
10 B 2C 1.125 1.7 0 2 B 9C 0.5 41.7 0 1.125 B 0.5C 0.728 0
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§7-1 位移法的基本概念
2 位移法计算刚架的基本思路
（1）基本未知量——A 和。
（2）建立位移法基本方程 ■刚架拆成杆件，得出杆件的刚度方程。 ■杆件合成刚架，利用刚架平衡条件，建立位移法基本方程。
§7 – 2 等截面直杆的刚度方程 正负号规定
结点转角 A 、 B 、弦转角（ = / l ) 和杆端弯矩M AB
0
0
6
5ql
3ql
3l / 8
8
8
9ql2 / 128
（↑） （↑）
2ql
ql
7
5
10
（↑） （↑）
8
9ql
11ql
40
40
（↑） （↑）
§7-2 等截面杆件的刚度方程
表1：载常数表（续）
序号 计算图及挠度图
弯矩图及固端弯矩
9
10
5FPl / 32
11
12
固端剪力
FQAB
FQBA
FPb(3l 2 b2 ) 2l 3
M AB
4i A
2i B
6i
l
M BA
2i A
4i B
6i
l
（1）B端为固定支座 B 0
FQ AB FQ BA
6i l
A
6i l
B
12i l2
（2）B端为铰支座 MBA 0
M AB
4i A
6i
l
M BA
2i A
6i
l
M AB
3i A
3i
l
§7-2 等截面杆件的刚度方程
M AB
24
25
26
27
固端剪力
FQAB
FQBA
ql
0
2
（↑）
qa 2l 3
(2l 3
2la2 a3 )
qa3 2l 3
(2l
a)
（↑） （↑）
qa q 3 (4l a) 8
第 7 章 位 移 法(Displacement Method)
§7-1 位移法的基本概念 §7-2 等截面直杆的刚度方程 §7-3 无侧移刚架的计算 §7-4 有侧移刚架的计算 §7-5 位移法的基本体系 §7-6 对称性的应用 §7-7 支座移动和温度改变时的计算 §7-8 小结
§7-1 位移法的基本概念
FPa2 (3l a) 2l 3
（↑） （↑）
11 16
FP
5 16
FP
（↑） （↑）
3EIt 2hl
（↑）
3EIt 2hl
（↑）
ql
（↑）
0 （↑）
§7-2 等截面杆件的刚度方程
表1：载常数表（续）
序号 计算图及挠度图
弯矩图及固端弯矩
13
13补
14
15
固端剪力
FQAB
FQBA
FPΒιβλιοθήκη 0（↑）FP
（↑）
§7-1 位移法的基本概念
位移法的要点
（1）位移法的基本未知量——结点位移。
（2）位移法的基本方程——平衡方程。
（3）建立基本方程的过程分为两步： ▲结构拆成杆件（先拆），进行杆件分析，得出杆件的刚度 方程。 ▲再把杆件综合成结构（后搭），进行整体分析，得出位移 法基本方程。 （4）杆件分析是结构分析的基础，杆件的刚度方程是位移 法基本方程的基础。因此位移法也叫做刚度法。位移法计算 时，计算方法并不因结构的静定或超静定而有所不同。
6i
M BA
l
B
1 6i
M AB
1 3i
M BA
l
§7-2 等截面杆件的刚度方程
M AB
4i A
2iB
6i
l
M BA
2i A
4iB
6i
l
转角位移方程
FQ AB FQ BA
1M
l
AB
M BA
6i l
A
6i l
B
12i l2
统称弯曲杆件的刚度方程
§7-2 等截面杆件的刚度方程
、M BA以顺时针转向为正；结点弯矩对结点以逆时针转向 为正。
杆端剪力FQAB、FQBA 以使隔离体顺时针转动为正。
§7-2 等截面杆件的刚度方程
1 由杆端位移求杆端弯矩
i EI 杆件的线刚度
若
l
A
B
l
A
1
1
3i M AB 6i M BA
B
1 6i
M AB
1 3i
M
BA
A
1
1
3i
M AB
FQAB
FQBA
ql 2
（↑）
ql 2
（↑）
3 ql 20
（↑）
7 ql 20
（↑）
FPb2 (l 2a) l3
FPa2 (l 2b) l3
（↑） （↑）
FP 2
（↑）
FP 2
（↑）
§7-2 等截面杆件的刚度方程
表1：载常数表（续）
序号 计算图及挠度图
弯矩图及固端弯矩
5
固端剪力
FQAB
FQBA
FP
（↑）
0
FL QBA
FP
（↓）
FQRBA 0
0
0
§7-2 等截面杆件的刚度方程
表1：载常数表（续）
序号 计算图及挠度图
弯矩图及固端弯矩
16
17
18
19
固端剪力
FQAB
FQBA
6ab l3
M
6ab l3
M
（↓） （↑）
3M 2l
（↓）
3(l 2 b2 )M 2l 3
（↓）
3M 2l
（↑）
3(l 2 b2 )M 2l 3
A
B
（2）一端固定、另一端简支的梁；
A
B
（3）一端固定、另一端滑动支承的梁。
A
B
■载常数：表7-1，今后就称为表1 (见后面，有补充）。
■形常数：今后就称为表2 (见后面）。
§7-2 等截面杆件的刚度方程
表1：载常数表
序号 计算图及挠度图
弯矩图及固端弯矩
1
ql2 / 24
2
3
4
FPl / 8
固端剪力
（↑）
9M 8l
（↓）
9M 8l
（↑）
§7-2 等截面杆件的刚度方程
表1：载常数表（续）
序号 计算图及挠度图
弯矩图及固端弯矩
20
21
固端剪力
FQAB
FQBA
3M 2l
（↓）
3M 2l
（↑）
0
0
22
0
0
ql
23
2
0
（↑）
§7-2 等截面杆件的刚度方程
表1：载常数表（续）
序号 计算图及挠度图
弯矩图及固端弯矩
ui
杆件的刚度方程
ui sini
变形协调条件
§7-1 位移法的基本概念
考虑结点B的平衡条件
5
FNi sini FP
i 1
5
i 1
EAi li
sin2 i
FP
位移法的基本方程
解方程，得
FP
5
i 1
EAi li
sin2 i
0.637 FPa EA
FN1 FN5 0.159FP FN2 FN4 0.225FP FN3 0.319FP
4i A
2i B
6i
l
M BA
2i A
4i B
6i
l
FQ AB FQ BA
6i l
A
6i l
B
12i l2
（3）B端为滑动支座
l
1 2
A
B 0
FQAB FQBA 0
M AB M BA
iA iA
§7-2 等截面杆件的刚度方程
2．由荷载求固端弯矩
■载常数：荷载作用下的固端弯矩和固端剪力。 ■三种基本杆件 （1）两端固定的梁；
1 关于位移法的简例
■ 对称结构承受对称荷载，结点B只发生竖向位移Δ。
■ 若求出位移Δ，则各杆件的变形和内力都可求出。 ■ 取位移Δ作为位移法基本未知量。
§7-1 位移法的基本概念
第一步，从结构中取 出一个杆件 进行分析。
第二步，把各杆综合成结构。
各杆的杆端位移与基本 位置量的关系为
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