平面立体讲义及平面截割体
合集下载
第三章 平面与立体的截切
第 三 章 平面与立体的截切
昆明理工大学工程图学教研室
第三章
平面与立体的截交
截交：用一个平面与立体相截切，截去立体 的一部分，如图P与三棱锥S-ABC相截交。 截平面 —— 用以截 切立体的平面，如P平 面。 截交线 —— 截平 面与立体表面的交线， 如：KN，NL，KL。
S p
L
K A B N
★找特殊点 ★补充一般点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓线的 投影
昆明理工大学工程图学教研室
例: 圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。
昆明理工大学工程图学教研室
㈢ 球体的截切
平面与圆球相交，截交线的空
间形状都是圆，但根据截平面与投
影面的相对位置不同，其截交线的
投影可能为圆、椭圆或积聚成一条
直线。
平行 两平行直线
例1：已知主、俯视图，求左视图 同一立体被多 个平面截切，要逐 个截平面进行截交 线的分析和作图。
●
解题步骤：
★空间及投影分析 截平面与体的相对位置 截平面与投影面的相对位置 ★求截交线 ★分析圆柱体轮廓素线的投影
●
●
●
昆明理工大学工程图学教研室
例1：已知主、俯视图，求左视图
解题步骤：
㈡ 圆锥体的截切
根据截平面与圆锥轴线的相 对位置不同，截交线的空间形状 有五种情况：
PV θ PV PV θ
PV
α
α
θ PV
α
θ = 90° 圆
过锥顶 两相交直线
θ ＞α 椭圆
θ =α 抛物线
θ = 0°＜α 双曲线
昆明理工大学工程图学教研室
例: 圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。
截交线 截交线 的空间 的投影 如何找椭圆另 形状？ 特性？ 一根轴的端点？
昆明理工大学工程图学教研室
第三章
平面与立体的截交
截交：用一个平面与立体相截切，截去立体 的一部分，如图P与三棱锥S-ABC相截交。 截平面 —— 用以截 切立体的平面，如P平 面。 截交线 —— 截平 面与立体表面的交线， 如：KN，NL，KL。
S p
L
K A B N
★找特殊点 ★补充一般点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓线的 投影
昆明理工大学工程图学教研室
例: 圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。
昆明理工大学工程图学教研室
㈢ 球体的截切
平面与圆球相交，截交线的空
间形状都是圆，但根据截平面与投
影面的相对位置不同，其截交线的
投影可能为圆、椭圆或积聚成一条
直线。
平行 两平行直线
例1：已知主、俯视图，求左视图 同一立体被多 个平面截切，要逐 个截平面进行截交 线的分析和作图。
●
解题步骤：
★空间及投影分析 截平面与体的相对位置 截平面与投影面的相对位置 ★求截交线 ★分析圆柱体轮廓素线的投影
●
●
●
昆明理工大学工程图学教研室
例1：已知主、俯视图，求左视图
解题步骤：
㈡ 圆锥体的截切
根据截平面与圆锥轴线的相 对位置不同，截交线的空间形状 有五种情况：
PV θ PV PV θ
PV
α
α
θ PV
α
θ = 90° 圆
过锥顶 两相交直线
θ ＞α 椭圆
θ =α 抛物线
θ = 0°＜α 双曲线
昆明理工大学工程图学教研室
例: 圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。
截交线 截交线 的空间 的投影 如何找椭圆另 形状？ 特性？ 一根轴的端点？
平面立体及截切1
例2：六棱柱被切割
5
4
6
3
1
2
3’(5’) 4’ 5” 4”
3”
2’(6’)
1’
6”
Hale Waihona Puke 2”1”65
54
6
3
1
4
12
23
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1 (4) 2 3
1
4 2 ●
●
●
● 3
4 ●
3
1
●
●
2●
★ 空间分析 ★几交★截求个线截左平棱截投的交视面面形交影 线图与相状在上线分体交？俯的的析？、形 ★ 分析棱线状的？投影
1．先进行空间分析
要分析明确所画对象的基本体是什么平面立体； 用什么位置的截平面在立体的哪个位置切割立体；切 割后的立体出现了哪些新的面和线等。 2．画切割体视图
先画基本体三视图；再分别在其投影上画出截平 面的投影（特别是截平面的积聚性投影）；逐个画出
切割产生的新面和线的投影；修改描深完成切割体的三视图。
基本体的形成及其三视图
常见的基本几何体
平面基本体
曲面基本体
立体表面是由若干面所组成。平面围成的
立体称为平面立体；曲面或平面与曲面围成的 立体称为曲面立体。
平面基本体
平面立体的投影实质是关于其表面上点、线、面投影的集 合，且以棱边的投影为主要特征，对于可见的棱边，其投影以 粗实线表示，反之，则以虚线示之。在投影图中，当多种图线 发生重叠时，应以粗实线、虚线、点画线等顺序优Z 先绘制。
根据其它投影规律画出其它的两个投影。如图3-2所示。
Z
a’ d’ e’
a” d”
b’ c’
机械制图-平面截切立体
感谢聆听
平面截切立体
例1：已知三棱锥S-ABC和截平面P，P为正垂面，求作截交线的三面投影。
3'
●
●
2' 1' ●
3"
●ห้องสมุดไป่ตู้
● 2"
●
1"
P
●3
1● ●2
3
●
●
1 2●
1.空间和投影分析 2.用找点法绘图
平面截切立体
二、平面截切曲面立体
截交线是截平面与回转体表面的共有线。 截交线的形状取决于回转体表面的形状及截平 面与回转体轴线的相对位置。 截交线的投影的形状取决于截平面与投影面的 相对位置。 ⒈ 求截交线的方法： 求截平面与回转体表面的共有点。
平面与圆球相交，截交线的形状都是圆，但根据截平面与投影面的相对位置 不同，其截交线的投影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线。 例：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两水个平侧面平与面圆与球圆面球的面交 的线交的线投的影投，影在，俯在视左图视上上为 为部部分分圆圆弧弧，，在在左俯视视图图上上积 积聚聚为为直直线线。。
●3" 1.找特殊点
●
2"
●
1"
2.找中间点
3.光滑连接各点
4.分析轮廓素线的投影
7
●
●
●
8
6
1●
5
●
2
●
4●
●
3
平面截切立体
45°
椭圆的长、短轴 随截平面与圆柱轴线 夹角的变化而改变。
什么情况下 投影为圆呢？
截平面与圆柱轴线 成45°时。
平面截切立体
㈡ 圆锥体表面的截交线 根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截交线有五种形状。
第5章(3)平面立体截切
◐加深
例7 已知一光学三棱镜ABCD被两个正平面P1、P2、一个正垂面Q、一个侧平面S 和一个水平面T所截切而成，试完成棱镜的三视图。 a b ≡c c b a
SV
QV
TV
d c P1H
a
d P2H
SH
b
◐未截切前 三棱锥 ◐画未截切前 三棱锥侧视图 ◐侧平面S截切 三角形 ◐画侧视图三角形
◐加深
SH
b
本次课重点 ◐平面立体截切 ◆截交线性质 ◆求截交线方法 棱线法、棱面法 ◆求截交线的步骤 ◎分析——形状、相对位置 ◎求作截平面与棱线交点 平面与平面交线的端点 ◎连接各点 ◎分析棱线投影
作业: 习题集P40、41——13～16 17、18（预做）
下次课内容——曲面立体截切
习题集P40 14.(c)
◐ 未截切前 ——五棱柱 ◐ 画五棱柱俯视图
例5 求立体被平面截切后的俯视图。
◐ 左、右上角 两正垂面截切 ——三角形
◐ 画俯视图 ——类似三角形
例5 求立体被平面截切后的俯视图。
◐ 左右下角 两正垂面截切 ——六边形
◐ 画俯视图 ——类似六边形
例5 求立体被平面截切后的俯视图。
◐ 加深轮廓线
例6 完成梯形棱柱被平面截切后的三视图。
习题集P41、16
◐未截切前 梯形棱柱 ◐截平面 一正垂面 两铅垂面 ◐正垂面截切 四边形（梯形） ◐画侧、俯视图 类似四边形
例6 完成梯形棱柱被平面截切后的三视图。
◐两铅垂面截切 四边形
◐完成主、侧视图 类似四边形
例6 完成梯形棱柱被平面截切后的三视图。
SV
QV
TV
d c P1H
d
a
d P2H
平面立体的截切.ppt
a、截平面与立体的相对位置
—— 确定截交线的形状
b、截平面、立体表面与投影面的相对位置
—— 确定截交线的投影特性
2) 画出截交线的投影
运用线面交点法或面面交线法，分别求出截平面 与棱面的交线，并连接成多边形。
3) 整理立体的棱线投影
平面立体截交线的求法
1. 从反映平面立体特征视图的多边形线框出发，想象出完整的平 面立体形状并画出其投影；
1)积聚投影法——当截平面或平面立体的棱面、棱线垂直于投 影面而有积聚投影时，则截交点及截交线段在这个投影面上的 投影，就位于这些积聚投影上而成为已知，其余投影可借助于 有关棱面或截平面上的直线来作出；当截平面和棱面分别垂直 于两个投影面时，则截交点及截交线的两个投影成为已知，于 是可求出截交点的第三投影来连得截交线的第三投影。
2. 想象出截交线的形状并画出其投影； 3. 利用平面特性中的类似形投影特征来作图和检查。
1 棱柱上截交线的求法
【例题1】完成棱柱体被截切后的水平投影和侧面投影。
6′7′ 4′5′
7″ 5″
6″ 4″
1. 画出棱柱的投影； 2. 画出截交线的投影；
截平面和棱柱表面均有积聚 性，利用积聚投影法来求。
2’
2”
1”
3” 4”
6” 5” 7”
1
2
7
6
3
5
4
例5：
1’
2’
5’
p’
6’
4’
3’
1”, 2”ห้องสมุดไป่ตู้
p”
5”, 6”
3”, 4”
1 5
p
2 6
4
3
[例题6] 求立体截割后的投影
1'（2'） 3'（4'）
—— 确定截交线的形状
b、截平面、立体表面与投影面的相对位置
—— 确定截交线的投影特性
2) 画出截交线的投影
运用线面交点法或面面交线法，分别求出截平面 与棱面的交线，并连接成多边形。
3) 整理立体的棱线投影
平面立体截交线的求法
1. 从反映平面立体特征视图的多边形线框出发，想象出完整的平 面立体形状并画出其投影；
1)积聚投影法——当截平面或平面立体的棱面、棱线垂直于投 影面而有积聚投影时，则截交点及截交线段在这个投影面上的 投影，就位于这些积聚投影上而成为已知，其余投影可借助于 有关棱面或截平面上的直线来作出；当截平面和棱面分别垂直 于两个投影面时，则截交点及截交线的两个投影成为已知，于 是可求出截交点的第三投影来连得截交线的第三投影。
2. 想象出截交线的形状并画出其投影； 3. 利用平面特性中的类似形投影特征来作图和检查。
1 棱柱上截交线的求法
【例题1】完成棱柱体被截切后的水平投影和侧面投影。
6′7′ 4′5′
7″ 5″
6″ 4″
1. 画出棱柱的投影； 2. 画出截交线的投影；
截平面和棱柱表面均有积聚 性，利用积聚投影法来求。
2’
2”
1”
3” 4”
6” 5” 7”
1
2
7
6
3
5
4
例5：
1’
2’
5’
p’
6’
4’
3’
1”, 2”ห้องสมุดไป่ตู้
p”
5”, 6”
3”, 4”
1 5
p
2 6
4
3
[例题6] 求立体截割后的投影
1'（2'） 3'（4'）
第三讲平面立体及其切割体三视图
2"
1"
a′
b′
c′ a ″(c ″) c
b″
a 2 S
1 回本节 回本讲
例2：
如图所示，已知三棱锥棱面(侧垂面）上点的V面投影(1′），求1″、1。
s′
s″
s′
s″
a′
b′
a s
c ′ a ″(c ″) c
b″
a′
b ′ c ′ a ″(c ″) b ″
a s
c
b
s s s
b
回本节 回本讲
例3 如图所示，已知六棱柱棱面(铅垂面）上点的V面投影1 ′， 求1″、1。
回本节 回本讲
例1
画出如图所示平面切割体的三视图
主要作图步骤： （1）分析形体：用铅垂面切去了长方体 左前角，正垂面切去了左上角，产生铅 垂面E和正垂面F（交线AB为倾斜线）。
（2）画基本体的三视图。
回本节 回本讲
例1
(3)画铅垂面E的三个投影。
（4）画正垂面F的三个 投影，并加深三视图。
回本节 回本讲
回本节 回本讲
例3
画出如图所示平面切割体的三视图
主要作图步骤： （1）分析形体：在长方体左上方切出E、 F两面角，右上方切出由G、H两侧垂面围 成的“V”形槽（交线AB、AC均为倾斜 线）。
（2）画基本体的三视图。
回本节 回本讲
本讲结束
例3
(3)画两面角的E、F平面投影。
（4）画“V”形槽的两侧垂面G、H投 影（交线AB、AC的投影），并加深 三视图。
回本讲
二、平面切割体三视图的一般画图步骤 1．先进行空间分析
明确四个问题：
要分析明确所画对象的基本体是什么平面立体； 用什么位置的截平面在立体的哪个位置切割立体； 切割后的立体出现了哪些新的面和线等。
06平面立体及其截切体的投影
如图所示 , 四棱柱中间的切槽是由两个侧平面和 一个水平面切割而成。 一个水平面切割而成。 平面Ⅰ为侧平面 它与四棱 平面Ⅰ为侧平面,它与四棱 柱侧面的交线为两条铅垂线 AA1,BB1。 。 平面Ⅱ为一水平面,它与 平面Ⅱ为一水平面 它与 四棱柱侧面和侧平面的交线共 同围成一六边形。 同围成一六边形。 作图时 , 先作反映切口特 征且具有积聚性的正面投影 , 然后补画其它两面投影。 然后补画其它两面投影。
作图: 作图
1
a) 直观图
b) 投影图
(2) 棱柱表面上点的投影
由于棱柱的表面都是平面， 由于棱柱的表面都是平面，所以在棱柱的表面上取点与在 表面都是平面 平面上取点的方法相同 的方法相同。 平面上取点的方法相同。
A M D
B
C
a) 直观图 图 正六棱柱表面取点
已知六棱柱表面上点M的正面投影 的正面投影m'，求其另两面投影， 例1 已知六棱柱表面上点 的正面投影 ，求其另两面投影， 并判别可见性。 并判别可见性。
采用什么 方法？ 方法？ 平面上作辅助线
作图方法1 作图方法
n″ N a' n′
s' m″ a" (c")
s"
n′
(m′) ′ b' c'
n″ b"
a n
m s n b
c
a) 直观图
b) 投影图 图 三棱锥表面取点
作图方法2: 作图方法
s' n′ n′ n″ N a' b' c' a" (c") n″ b" s"
四棱锥被正垂面切割， 四棱锥被正垂面切割， 截交线也应是平面多边 形，其正面投影积聚为 一条线， 一条线，水平投影侧面 投影小于实形的类似形 四棱锥被水平面切割， 四棱锥被水平面切割，截 交线应是平面多边形， 交线应是平面多边形，其 水平投影反映实形。 水平投影反映实形。侧面 投影是一条线。 投影是一条线。
平面立体及截切--的制图方法PPT课件
4基.1本基立本体体
.
1
平面立体
•平面立体：表面由平面围成的形体 •棱线：平面上相邻表面的交线
画平面体视图的实质：
画出所有棱线（或表面）的投 影，并根据可见与否，采用粗实 线或虚线表示。
.
2
一、棱柱
棱柱有直棱柱和斜棱柱。 顶面和底面为正多边形的直棱 柱，称为正棱柱。
1. 棱柱的三视图 W V
六棱柱 两底面为水平面，H面投 影具有实形性； 前后两侧面为正平面 其余四个侧面是铅垂面
棱锥的三面视图画图步骤：
s
s
a
b
c a(yc)
b
a
c
s
y
b
.
7
2. 在棱锥表面取点
已知棱柱表面的点M、N的投影m′、n′，求其它两面投影。
s
s
a
b
c a(yc)
b
a
c
s
y
b
.
8
4.平2 面平与面立与体立相体交相交
截断体：形体被平面截断后分成两部分，每 部分均称为截断体。
截断面
截交线
截断体
• 截交线 —— 截平面与立体表面的交线。 • 截平面 —— 用来截断形体的平面。 • 断面 —— 由截交线围成的平面图形。
1(2)
2" ●
● 1"
3(4)
2(4)
注意：
要逐个截平面分析和绘制
截交线。当平面体只有局
部被截切时，先假想为整
体被截切，求出截交线后
1(3)
. 再取局部。
15
二、棱锥的截断
例1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1 (4)2 3
4• •1 •2 •3
.
1
平面立体
•平面立体：表面由平面围成的形体 •棱线：平面上相邻表面的交线
画平面体视图的实质：
画出所有棱线（或表面）的投 影，并根据可见与否，采用粗实 线或虚线表示。
.
2
一、棱柱
棱柱有直棱柱和斜棱柱。 顶面和底面为正多边形的直棱 柱，称为正棱柱。
1. 棱柱的三视图 W V
六棱柱 两底面为水平面，H面投 影具有实形性； 前后两侧面为正平面 其余四个侧面是铅垂面
棱锥的三面视图画图步骤：
s
s
a
b
c a(yc)
b
a
c
s
y
b
.
7
2. 在棱锥表面取点
已知棱柱表面的点M、N的投影m′、n′，求其它两面投影。
s
s
a
b
c a(yc)
b
a
c
s
y
b
.
8
4.平2 面平与面立与体立相体交相交
截断体：形体被平面截断后分成两部分，每 部分均称为截断体。
截断面
截交线
截断体
• 截交线 —— 截平面与立体表面的交线。 • 截平面 —— 用来截断形体的平面。 • 断面 —— 由截交线围成的平面图形。
1(2)
2" ●
● 1"
3(4)
2(4)
注意：
要逐个截平面分析和绘制
截交线。当平面体只有局
部被截切时，先假想为整
体被截切，求出截交线后
1(3)
. 再取局部。
15
二、棱锥的截断
例1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1 (4)2 3
4• •1 •2 •3
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三视图的位置关系和投影规律
上
上
左
右高
后
前
下
下
长
宽
后
左
右宽
前
主、俯视图 主、左视图 俯、左视图
长对正 高平齐 宽相等
北京工商大学材料与机械工程学院
工程图学教研室
பைடு நூலகம்
2 平面立体
棱柱
棱锥
表面均为平面构成的立体称为平面立体，平面 立体上相邻两表面的交线称为棱线。常见的平面立 体有棱柱、棱锥和棱台等。
北京工商大学材料与机械工程学院
c’ a(c) y
a
c
y
1 s3
Ⅰ
2
A
b
北京工商大学材料与机械工程学院
b Ⅲ
Ⅱ
B
工程图学教研室
平面截割体的投影
北京工商大学材料与机械工程学院
工程图学教研室
截交线的概念
截交线
截平面
平面与立体相交在立体表面产生交线称为截交线，该平 面称为截平面。截交线是截平面和立体表面的共有线，截交 线上的点是截平面与立体表面上的共有点，它既在截平面上 又在立体表面上。由于任何立体都有一定的空间范围，所以 截交线一定是封闭的线条，通常是一条平面曲线或者是由曲 线和直线组成的平面图形或多边形。
b
s
c’ b”(c”)
c
北京工商大a 学材料与机械工程学院
a”
B
C
A
工程图学教研室
(2) 棱锥表面上取点
s
s
2 r 1 (3)
2
3 1
b
a c
b(c)
a
br s3
c
1
2
北京工商大学材料与a 机械工程学院
工程图学教研室
已知三棱锥表面上三点正面投影，求其侧面投影并连线。
s’
s
3 2
1
3 2
1
a’
b’
精品jing
平面立体及平面截割体
基本体的投影
1 三面投影与三视图 2 平面立体
按照一定规则形成的简单立体称为基本体，基 本体分为平面立体和曲面立体两类。
北京工商大学材料与机械工程学院
工程图学教研室
1 三面投影与三视图
主视图 Z 左视图
O
X 俯视图
YW
北京工商大学材料与机械工程学院
YH
工程图学教研室
北京工商大学材料与机械工程学院
工程图学教研室
平面与平面立体相交
由于平面立体是由平面围成的,截交线是封闭的平面多边形， 多边形的边是截平面与平面立体表面的交线。求截交线的问题 可以简化为求平面与平面的交线问题，进而简化为求直线与平 面交点的问题。
北京工商大学材料与机械工程学院
工程图学教研室
例1 三棱锥被一正垂面所截切，求截交线的投影。
工程图学教研室
易水寒江雪敬奉 Thanks
Thanks
s’
s
3 2
1
3 2
1
a’
b’
c’ a(c) y
a
c
y
1 s3
Ⅰ
2
A
b
北京工商大学材料与机械工程学院
b Ⅲ
Ⅱ
B
工程图学教研室
例2 求带切口三棱锥的投影
s'
s"
4'
1' a'
4"
2' 3'
b'c' c"
c 3
3" y
1" 2" a" y
解题步骤
1 分析 截交线的正 面投影已知，水平投 影和侧面投影未知；
工程图学教研室
棱柱
北京工商大学材料与机械工程学院
工程图学教研室
(1) 棱柱的投影
北京工商大学材料与机械工程学院
工程图学教研室
(2) 棱柱表面上取点
a
(a)
(b)
b
b
a
北京工商大学材料与机械工程学院
工程图学教研室
棱锥
北京工商大学材料与机械工程学院
工程图学教研室
(1) 棱锥的投影
s
s
S
b’
a’
2 求出截交线上的折 点Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ、 Ⅳ
b" ；
3 顺次地连接各点， 作出截交线，并且判 别可见性；
4 整理轮廓线。
y
a1
4
s
y
北京工商大学材料与2机械工程学院
b
工程图学教研室
例3 求立体截切后的投影
6
（5）4
1
2 （3）
6
5
4
3 1 2 Ⅵ
35
1
6
24
Ⅴ Ⅳ
Ⅲ
ⅠⅡ
北京工商大学材料与机械工程学院