函数图像的变化与其解析式的变化之间的关系
初等函数的性质与像变化规律总结
初等函数的性质与像变化规律总结初等函数是数学中常见且重要的函数形式，它们具备一些特殊的性质和变化规律。
本文将对初等函数的性质与像变化规律进行总结，以帮助读者更好地理解和应用初等函数。
一、初等函数的特性1. 定义域与值域：初等函数的定义域通常由其函数定义决定，而初等函数的值域则受到定义域和函数形式的限制。
例如，多项式函数的定义域为全体实数，而三角函数的定义域为实数集合，其值域则分别由多项式函数和三角函数的特性决定。
2. 奇偶性：初等函数的奇偶性可以方便地通过函数的解析式来判断。
例如，偶函数满足$f(x)=f(-x)$，而奇函数满足$f(x)=-f(-x)$。
常见的偶函数有多项式函数中的偶次幂项，如$x^2$；而常见的奇函数则包括多项式函数中的奇次幂项，如$x^3$。
3. 连续性与可导性：初等函数通常在其定义域内是连续的，并且多数初等函数还是可导的。
例如，多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等在其定义域内都是连续且可导的。
二、初等函数的像变化规律1. 多项式函数：多项式函数在整个实数集上都有定义，其像的变化规律受到最高次项的正负性质和次数的影响。
当最高次项为奇数时，多项式函数的图像会以不同幅度的上升或下降趋势逼近正负无穷；而当最高次项为偶数时，多项式函数的图像则会在两个方向上逼近无穷。
2. 指数函数与对数函数：指数函数和对数函数在实数集上的定义域和值域存在一定的差异。
指数函数的图像呈现出上升或下降的指数增长趋势，而对数函数则呈现出上升或下降的指数衰减趋势。
两者在函数间存在着互为逆函数的关系。
3. 三角函数：三角函数是初等函数中的重要一类，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
它们的周期性和振荡特性使得其图像具有规律性的波动。
通过改变函数的振幅、周期、相位等参数，可以得到不同形态的三角函数图像。
4. 反比例函数：反比例函数的特殊性在于其定义域不包括使分母为零的值。
反比例函数的图像呈现出一种“开口”朝上或朝下的形态，其变化规律与分子与分母的幂数及系数密切相关。
(完整版)一次函数图象的平移及解析式的变化规律
一次函数图象的平移及解析式的变化规律我们在研究两个一次函数的图象平行的条件时,曾得出“其中一条直线可以由另外一条直线通过平移得到”的结论,这就涉及到一次函数图象平移的问题. 函数的图象及其解析式,是从“形”和“数”两个方面反映函数的性质,也是初中数学中数形结合思想的重要体现.在平面直角坐标系中,当一次函数的图象发生平移（平行移动）时,与之对应的函数解析式也随之发生改变,并且函数解析式的变化呈现出如下的变化规律:一次函数()0≠+=k b kx y 的图象平移后其解析式的变化遵循“上加下减，左加右减”的规律:（1）上下平移,k 值不变,b 值“上加下减”:将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向上平移m 个单位长度,解析式变为()0≠++=k m b kx y ;将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向下平移m 个单位长度,解析式变为()0≠-+=k m b kx y .（2）左右平移,k 值不变,自变量x “左加右减”:将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向左平移n 个单位长度,解析式变为()()0≠++=k b n x k y ,展开得()0≠++=k b kn kx y ;将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向右平移n 个单位长度,解析式变为()()0≠+-=k b n x k y ,展开得()0≠+-=k b kn kx y .注意:（1）无论一次函数的图象作何种平移,平移前后,k 值不变,b 值改变.设上下平移的单位长度为m ,则b 值变为m b ±;设左右平移的单位长度为n ,则b 值变为kn b ±.（2）上面的规律如下页图（51）所示.图（51）一次函数图象的平移及其解析式的变化规律1. 将直线x y 3=向下平移2个单位,得到直线________________.2. 将直线5--=x y 向上平移5个单位,得到直线________________.3. 将直线32+=x y 向下平移5个单位,得到直线________________.4. 将直线23-=x y 向左平移1个单位,得到直线________________.5. 将直线12--=x y 向上平移3个单位,得到的直线是________________.6. 将一次函数32-=x y 的图象沿y 轴向上平移8个单位长度,所得直线的函数表达式为 【 】（A ）52-=x y （B ）52+=x y（C ）82+=x y （D ）82-=x y7. 将直线x y 2=向右平移2个单位所得的直线是 【 】（A ）22+=x y （B ）22-=x y（C ）()22-=x y （D ）()22+=x y8. 将函数x y 3-=的图象沿y 轴向上平移2个单位后,所得图象对应的函数表达式为 【 】（A ）23+-=x y （B ）23--=x y（C ）()23+-=x y （D ）()23--=x y9. 直线43+=x y 向下平移4个单位,得到直线________________.10. 函数32-=x y 的图象可以看作由函数72+=x y 的图象向_________平移_________个单位得到.11. 把函数32+-=x y 的图象向下平移4个单位后的函数图象的表达式为 【 】 （A ）72+-=x y （B ）36+-=x y（C ）12--=x y （D ）52--=x y12. 将直线42-=x y 向上平移5个单位后,所得直线的表达式是_____________. 13. 直线23+=x y 沿y 轴向下平移5个单位,则平移后直线与y 轴的交点坐标为_________.14. 若直线b kx y +=平行于直线43-=x y ,且过点()2,1-,则该直线对应的函数表达式是 【 】（A ）23-=x y （B ）63--=x y（C ）53-=x y （D ）53+=x y15. 将直线x y 2=先向右平移2个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得直线的表达式是________________.16. 直线12-=x y 向上平移3个单位长度后,所得直线与y 轴的交点坐标为_________.17. 已知直线()3252-+-=k x k y ,若该直线经过原点,则=k _________;若该直线与直线53--=x y 平行,则=k _________.18. 若把直线32-=x y 向上平移3个单位长度,得到的图象的表达式是 【 】 （A ）x y 2= （B ）62-=x y（C ）35-=x y （D ）3--=x y19. 要从直线x y 34=的图象得到直线324-=x y ,就要将直线x y 34= 【 】 （A ）向上平移32个单位 （B ）向下平移32个单位 （C ）向上平移2个单位 （D ）向下平移2个单位20. 函数4-=kx y 的图象平行于直线x y 2-=,求函数的表达式.21. 已知一次函数4-=kx y ,当2=x 时,3-=y .（1）求一次函数的关系式;（2）将该函数的图象向上平移6个单位,求平移后的图象与x 轴的交点的坐标.22. 一次函数b kx y +=的图象与y 轴交于点)2,0(-,且与直线213-=x y 平行,求它的函数关系式.23. 在直线321+-=x y 上分别找出满足下列条件的点,并写出它的坐标: （1）横坐标是4-;（2）和x 轴的距离是2个单位.图（52）分析:若不借助于图象,只通过计算,你能确定上面问题的答案吗?。
一次函数图象的平移及解析式的变化规律
一次函数图象的平移及解析式的变化规律我们在研究两个一次函数的图象平行的条件时,曾得出“其中一条直线可以由另外一条直线通过平移得到”的结论,这就涉及到一次函数图象平移的问题. 函数的图象及其解析式,是从“形”和“数”两个方面反映函数的性质,也是初中数学中数形结合思想的重要体现.在平面直角坐标系中,当一次函数的图象发生平移（平行移动）时,与之对应的函数解析式也随之发生改变,并且函数解析式的变化呈现出如下的变化规律:一次函数()0≠+=k b kx y 的图象平移后其解析式的变化遵循“上加下减，左加右减”的规律:（1）上下平移,k 值不变,b 值“上加下减”:将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向上平移m 个单位长度,解析式变为()0≠++=k m b kx y ;将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向下平移m 个单位长度,解析式变为()0≠-+=k m b kx y .（2）左右平移,k 值不变,自变量x “左加右减”:将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向左平移n 个单位长度,解析式变为()()0≠++=k b n x k y ,展开得()0≠++=k b kn kx y ;将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向右平移n 个单位长度,解析式变为()()0≠+-=k b n x k y ,展开得()0≠+-=k b kn kx y .注意:（1）无论一次函数的图象作何种平移,平移前后,k 值不变,b 值改变.设上下平移的单位长度为m ,则b 值变为m b ±;设左右平移的单位长度为n ,则b 值变为kn b ±.（2）上面的规律如下页图（51）所示.图（51）一次函数图象的平移及其解析式的变化规律1. 将直线x y 3=向下平移2个单位,得到直线________________.2. 将直线5--=x y 向上平移5个单位,得到直线________________.3. 将直线32+=x y 向下平移5个单位,得到直线________________.4. 将直线23-=x y 向左平移1个单位,得到直线________________.5. 将直线12--=x y 向上平移3个单位,得到的直线是________________.6. 将一次函数32-=x y 的图象沿y 轴向上平移8个单位长度,所得直线的函数表达式为 【 】（A ）52-=x y （B ）52+=x y（C ）82+=x y （D ）82-=x y7. 将直线x y 2=向右平移2个单位所得的直线是 【 】（A ）22+=x y （B ）22-=x y（C ）()22-=x y （D ）()22+=x y8. 将函数x y 3-=的图象沿y 轴向上平移2个单位后,所得图象对应的函数表达式为 【 】（A ）23+-=x y （B ）23--=x y（C ）()23+-=x y （D ）()23--=x y9. 直线43+=x y 向下平移4个单位,得到直线________________.10. 函数32-=x y 的图象可以看作由函数72+=x y 的图象向_________平移_________个单位得到.11. 把函数32+-=x y 的图象向下平移4个单位后的函数图象的表达式为 【 】 （A ）72+-=x y （B ）36+-=x y（C ）12--=x y （D ）52--=x y12. 将直线42-=x y 向上平移5个单位后,所得直线的表达式是_____________. 13. 直线23+=x y 沿y 轴向下平移5个单位,则平移后直线与y 轴的交点坐标为_________.14. 若直线b kx y +=平行于直线43-=x y ,且过点()2,1-,则该直线对应的函数表达式是 【 】（A ）23-=x y （B ）63--=x y（C ）53-=x y （D ）53+=x y15. 将直线x y 2=先向右平移2个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得直线的表达式是________________.16. 直线12-=x y 向上平移3个单位长度后,所得直线与y 轴的交点坐标为_________.17. 已知直线()3252-+-=k x k y ,若该直线经过原点,则=k _________;若该直线与直线53--=x y 平行,则=k _________.18. 若把直线32-=x y 向上平移3个单位长度,得到的图象的表达式是 【 】 （A ）x y 2= （B ）62-=x y（C ）35-=x y （D ）3--=x y19. 要从直线x y 34=的图象得到直线324-=x y ,就要将直线x y 34= 【 】 （A ）向上平移32个单位 （B ）向下平移32个单位 （C ）向上平移2个单位 （D ）向下平移2个单位20. 函数4-=kx y 的图象平行于直线x y 2-=,求函数的表达式.21. 已知一次函数4-=kx y ,当2=x 时,3-=y .（1）求一次函数的关系式;（2）将该函数的图象向上平移6个单位,求平移后的图象与x 轴的交点的坐标.22. 一次函数b kx y +=的图象与y 轴交于点)2,0(-,且与直线213-=x y 平行,求它的函数关系式.23. 在直线321+-=x y 上分别找出满足下列条件的点,并写出它的坐标: （1）横坐标是4-;（2）和x 轴的距离是2个单位.图（52）分析:若不借助于图象,只通过计算,你能确定上面问题的答案吗?。
函数的概念和函数值
函数的概念和函数值一、函数的概念和函数值1、函数一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量$x$与$y$，并且对于$x$的每一个确定的值，$y$都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说$x$是自变量，$y$是$x$的函数。
对函数概念的理解主要抓住以下三点：（1）有两个变量；（2）一个变量的数值随着另一个变量数值的变化而变化；（3）对于自变量，每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应。
2、函数自变量的取值范围函数自变量的取值范围是指使函数有意义的自变量的全体。
（1）求自变量的取值范围通常从两个方面考虑：一是要使函数的解析式有意义；二是符合实际意义。
（2）自变量的取值范围可以是无限的，也可以是有限的，还可以是单独一个（或几个）数。
在一个函数关系式中，同时有分式、根式等，函数自变量的取值范围应是各个式子中自变量取值范围的公共部分。
3、函数值如果在自变量取值范围内给定一个值$a$，函数对应的值为$b$，那么$b$叫做当自变量取值为$a$时的函数值。
对函数值的理解（1）函数是表示两个变量之间的一种关系，函数值是一个数值；（2）一个函数的函数值是随着自变量的变化而变化的，故在求函数值时，一定要指明自变量为多少。
4、函数的解析式像$y=50-0.1x$这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式。
（1）确定实际问题中的函数解析式与列方程解应用题类似，设$x$是自变量，$y$是$x$的函数，先列出关于$x$，$y$的二元方程，再用含$x$的代数式表示$y$，最后写出自变量$x$的取值范围。
（2）在确定实际问题中的函数解析式时，不要忽略自变量的取值范围。
5、函数的图象（1）画函数图象的一般步骤①列表：表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。
②描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点。
③连线：按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑的曲线连接起来。
5.6 函数y=Asin(ωx+φ) 教学设计 高中数学人教A版
理．师问：假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．你能用一个合适的函数模型来刻画盛水筒（视为质点）距离水面的相对高度与时间的关系吗？师生讨论：因筒车上盛水筒的运动周而复始，具有周期性，可以考虑用三角函数模型刻画它的运动规律．设计意图：首先提出研究一般匀速圆周运动如何用数学模型刻画的问题，引导从特殊到一般进行提问，渗透了数学源于生活的本质．通过筒车模型引入，体现数学的实际价值，使学生感受发现问题、提出问题的过程，并尝试分析问题和解决问题．抽象简化问题建立函数模型追问：如果将筒车抽象为圆，盛水筒抽象为圆上的点，经过时间t s后，盛水筒距离水面的高度H与哪些量有关？它们之间有怎样的关系呢？师生分析：如图，盛水筒距离水面的高度H，由以下量所决定：筒车转轮的中心O到水面的距离h，筒车的半径r，筒车转动的角速度ω，盛水筒的初始位置P以及所经过的时间t．怎样建系比较好？转轮中心为原点。
以O为原点，以与水面平行的直线为x轴建立直角坐标系．设0t=时，盛水筒M位于P0，以Ox为始边，OP0为终边的角为φ，经过时间t后运动到点P x y（,）．于是，以Ox为始边，OP为终边的角为tωϕ+，并且有sin()y r tωϕ=+．①所以，盛水筒M距离水面的高度H与时间t的关系是sin()H r t hωϕ=++．②通过筒车运动的研究，我们得到了形如y=A sin(ωx+φ)（其中0,0Aω>>）的函数，实际生活中的很多现象，例如：摩天轮，物理中的单摆等都可以用三角函数刻画，现代依然有研究的价值．设计意图：结合筒车问题，建立三角函数的数学模型，表示其上质点的匀速圆周运动，引出本单元的核心内容；明确参数的实际意义，突出学习函数y=A sin(ωx+φ)的必要性；让学生经在单位圆上的，设两个动点分别以0Q ，1Q 为起点同时开始运动．到点P 的时间 图象上点 函数 0Q 到Px(,)F x yy =sin x1Q 到P6x π-(,)6G x y π- sin()6y x π=+这说明，把正弦曲线y =sin x 上的所有点向左平移6π个单位，就得到sin()6y x π=+的图象．（4）如果φ的值取,,633πππ--，说一说你的发现，并给出合理的解释． （5）旋转一个任意角φ呢？通过实验结果，你能归纳出φ对函y =A sin(ωx +φ)的图象的影响的一般化结论吗？一般地，当动点M 的起点位置Q 所对应的角是φ时，对应的函数是y =sin(x +φ) (0)ϕ≠，把正弦曲线上的所有点向左(0)ϕ>当时或向右(0)ϕ<当时平移ϕ个单位长度，就得到函数y =sin(x +φ)的图象． 跟踪训练1：1. 为了得到函数y =sin(x −π3)的图象，只需要将正弦曲线上的所有点（ ）．（A ）向右平行移动π3个单位长度 （B ）向左平行移动π3个单位长度 （C ）向右平行移动2π3个单位长度 （D ）向左平行移动2π3个单位长度设计意图:借助信息技术，探究参数出φ对函数y =A sin(ωx +φ)的影响.老师通过追问引导学生在观察发现的基础上进行理性的思考，从形和数两个方面解释φ对函数y =sin(x +φ)图象的影探究2探索参数ωω（＞0）对函数=sin +y ωx φ（）图象的影响． 类比参数ϕ对函数=sin +y x φ（）图象影响的研究过程，你计划怎样研究参数ωω（＞0）对函数=sin +y ωx φ（）图象的影响？师生分析：明确研究思路，仍然可以用从特殊到一般的研究方法探索参数ωω（＞0）对函数=sin +y ωx φ（）图象的影响．追问：结合筒车模型，分析ω的实际意义．师生分析：结合筒车模型，ω代表角速度，ω取不同值表示质点以不同的角速度做匀速圆周运动．前面我们研究了π=6ϕ时的函数π=sin +6y x （）的图象，所以不妨设π=6ϕ，固定ϕ的值，改变参数ωω（＞0），研究函数π=sin +6y ωx （）与π=sin +6y x （）图象之间的变换关系． 设计意图：引导学生类比参数ϕ对函数=sin +y x φ（）图象影响的研究过程，明确参数ωω（＞0）对函数=sin +y ωx φ（）图象影响的研究思路．结合筒车模型，引导学生理解ω的实际意义，为后面的探索做好准备．下面我们继续借助信息技术进行实验探究．师：结合信息技术动态演示=1ω时，动点G 的轨迹以及动点G 对应的函数解析式．我们知道，动点M 在单位圆1O 上以单位角速度（即=1ω）按逆时针方向运动，如果动点M 以1Q 为起点（此时π=6ϕ），经过x s 后运动到点P ，那么点P 的纵坐标就等于πsin +6x （），所以以,x y （）为坐标描点G ，点G 的轨迹对应的函数解析式是π=sin +6y x （）． 若取=2ω，动点1M 以1Q 为起点，在单位圆1O 上以角速度=2ω按逆时针方向运动，经过xs 后运动到点1P ，那么点1P 的纵坐标是什么？追问：此时，以,x y （）为坐标描点H ，点H 的轨迹对应的函数解析式是什么？师：结合信息技术动态演示=2ω时，动点H 的轨迹．追问：函数π=sin 2+6y x （）与π=sin +6y x （）的图象之间存在怎样的变换关系？你能从质点的匀速圆周运动规律和函数图象上点的坐标变化的角度进行解释吗？师生分析：如图，从匀速圆周运动的变化规律看，在单位圆上，两个动点都以1Q 为起点，以=1ω和=2ω的不同角速度绕单位圆逆时针方向运动，到达同一位置P 时，=2ω时的运动时间始终是=1ω时运动时间的12．对应地，设,G x y （）是函数π=sin +6y x （）图象上的一点，那么1,2K x y （）就是函数π=sin 2+6y x （）图象上的相应点．如上我们找到了两个函数图象上任意点的变化，那么如何从函数π=sin +6y x （）的图象得到函数π=sin 2+6y x （）的图象？ 总结：函数π=sin 2+6y x （）的图象是把函数πsin()6y x =+的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）得到的．并且π=sin 2+6y x （）的周期为π，是π=sin +6y x （）的周期的师生分析：结合筒车模型，A 代表质点做匀速圆周运动的运动半径，A 取不同值表示质点以不同的运动半径做匀速圆周运动．同样地，为了研究方便，不妨设π=6ϕ，=2ω，固定ϕ，ω的值，改变参数0A A （＞），研究函数π=sin 2+6y A x （）与π=sin 2+6y x （）的图象之间的变换关系．设计意图：引导学生类比参数ϕ，ω对函数=sin +y ωx φ（）图象影响的研究过程，明确参数0A A （＞）对函数=sin +y A ωx φ（）图象影响的研究思路．结合筒车模型，引导学生理解A 的实际意义，为后面的探索做好准备．问题：若取=2A ，设射线1OQ 与以1O 为圆心、2为半径的圆交于点1T ，如果单位圆上以1Q 为起点的动点M ，以=2ω的转速经过x s 后到达圆周上的点P ，那么点P 的纵坐标是πsin 2+6x （），相应地，动点1M 在以1O 为圆心、2为半径的圆上，以1T 为起点，=2ω的转速经过x s 后到达圆周上的点T ，那么点T 的纵坐标是什么？追问：此时，以,x y （）为坐标描点H ，点H 的轨迹对应的函数解析式是什么？问题：函数π=2sin 2+6y x （）与π=sin 2+6y x （）的图象之间存在怎样的变换关系？你能从质点的匀速圆周运动规律和函数图象上点的坐标变化的角度进行解释吗？师生分析：如图，从匀速圆周运动的变化规律看，在以1O 为圆心，半径分别为1和2的圆上，两个动点分别以1Q 和1T 为起点，=2ω的转速经过x s 后分别到达圆周上的点P 和点T ，易得点T 的纵坐标是点P 的纵坐标的2倍．对应地，设,K x y （）是函数π=sin 2+6y x （）图象上的一点，那么,2N x y （）就是函数π=2sin 2+6y x （）图象上的相应点．师：如上我们找到了两个函数图象上任意点的变化，那么如何从函数π=sin 2+6y x （）的图象得到函数π=2sin 2+6y x （）的图象？ 总结：函数π=2sin 2+6y x （）的图象是把函数π=sin 2+6y x （）的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到的．追问：如果A 取12，3，13时，对应的函数π=sin 2+6y A x （）的图象与π=sin 2+6y x （）的图象之间存在怎样的变换关系？你能给出0A A （＞）的变化对函数=sin +y A ωx φ（）图象影响的一般化结论吗？师：借助信息技术动态演示，引导学生总结一般性的论．师生总结：以1=2A 为例，把函数π=sin 2+6y x （）的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12（横坐标不变），就得到1π=sin 2+26y x （）的图象． 一般地，函数=sin +y A ωx φ（）的图象，可以看作是把函数=sin +y ωx φ（）的图象上所有点的纵坐标伸长（当1A ＞时）或缩短（当01A ＜＜时）为原来的A 倍（横坐标不变）而得到．从而，函数=sin +y A ωx φ（）的值域是[]A A －，，最大值是A ，最小值是A －．设计意图：通过探究参数A 的变化对函数=sin +y A ωx φ（）的图象的影响，学生进一步体会由特殊到一般的思想方法，借助信息技术直观地观察图象的变换关系，最后得出一般性的结论，在研究过程中，发展数学抽象、逻辑推理与直观想象的学科素养．。
一次函数图象“平移”规律
适用八年级一次函数图象“平移”规律函数的图象及其解析式，是从“形”与“数”两个方面反映函数的性质，也是初中数学中数形结合思想方法的重要体现．在平面直角坐标系内，当一次函数图象发生平移（平行移动）时与之相对应的解析式也随之会改变，本文就其变化规律归纳如下，仅供同学们学习时参考．直线的平移与其解析式y kx b k =+≠()0的关系：① 直线y kx b k =+≠()0平移时，系数k 的值保持不变．② 直线y kx b k =+≠()0向上或向下平移m （m >0）个单位时，解析式变为y kx b m =++或y kx b m =+-，这时可简记为“上加（＋），下减（－）”． ③ 直线y kx b k =+≠()0向左或向右平移m （m >0）个单位时，解析式变为y k x m b =++()或y k x m b =-+()，这时可简记为“左加（＋），右减（－）”． 例1．（2008年上海市）在图1，将直线OA 向上平移1个单位，得到一个一次函数的图像，那么这个一次函数的解析式是 ．【分析】通过观察图象可求出直线OA 的解析式，再根据上面平移与解析式之间的关系进行解答．解：设OA 的解析式为：y kx =，因OA 过A （2，4），所以4＝2k ,解得k ＝2，所以OA 的解析式为：2y x =，上移一个单位后，解析式为：21y x =+．例2．把直线y x =-+21平行移动后过点A ()-42，，求平移后的直线解析式，并说明是向上还是向下平移几个单位得到的．【分析】因知道直线平移过点A ()-42，，而平移系数k 不改变．所以可设解析式为：y x b =-+2，进而求b ．解析：根据题意可设所求的直线为：y x b =-+2；由A ()-42，在此直线上，得 2＝－2×(－4)＋b ，解得b ＝－6．故所求直线为y x =--26，由y x =-+21得y x =-+-217知可将原直线向下平移7个单位得到．请同学们再思考一下：若直线y x =-+21左右平行移动后能否过点A ()-42，呢？请说明理由．参考答案：设y x m =-++21()，由A ()-42，，求得m ＝72．所以由y x =-+21得26y x =--知可将原直线向左平移72个单位．。
高中数学_三角函数的图象与性质教学设计学情分析教材分析课后反思
《三角函数的图象与性质》教学设计设计理念新课程的教学中，注重信息技术与数学课程的整合，注重以学生为主体，教师为主导的教学理念。
本节课通过精心设计数学实验，创设实验情境，引导学生通过实验手段，经历数学知识的建构过程，体验数学发现的喜悦，发展他们的创新意识。
倡导自主探究、动手实践等学习数学的方式，将传统意义下的“学习”数学改变为“研究数学”，使学生的数学学习活动变的主动而富有个性。
教学分析本节倡导学生自主探究，在教师的引导下，通过图像变换和“五点作图法”来揭示参数φ、ω、A 变化时对函数图象的形状和位置的影响，正确找出函数y=Asin(ωx+φ)的图象与正弦曲线的图象变换规律，并通过图象的变化过程，进一步理解正、余弦函数的性质，它是研究函数图像变换的一个延伸，也是研究函数性质的一个直观反映。
如何经过变换由正弦曲线来获取函数y=Asin(ωx+φ)的图象呢？通过对参数φ、ω、A 的分类讨论，让学生深刻认识到图像变换与函数解析式变换之间的内在联系，通过引导学生对由函数x y sin 到y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律的探索，让学生体会到由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想。
三维目标一、知识与技能1.理解三个参数φ、ω、A 对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响；2.掌握函数y=Asin(ωx+φ)的图象与正弦曲线的变换关系。
二、过程与方法1、通过学生经历对函数x y sin =的图象到)sin(A ϕω+=x y 的图象变换规律的探索过程，体会由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想；2、培养学生全面分析、抽象、概括的能力；培养学生研究问题和解决问题的能力。
三、情感态度与价值观1.通过对问题的自主探究，培养学生的独立意识和独立思考能力；2. 在解决问题的难点时，培养学生解决问题抓主要矛盾的思维方式；3. 在问题逐步深入的研究中唤起学生追求真理，乐于创新的情感需求，引发学生渴求知识的强烈愿望，树立科学的人生观、价值观。
二次函数图像的变换及解析式的确定(必考)
2，解得a=2,∴抛物线的解析式为 = ሺ − ሻ − = − + .
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解法2：∵抛物线 = + + 的对称轴为x=2，且与x轴交于点(1,0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），∴抛物线的解析式为 = ሺ −
+ ሻሺ − ሻ，把(0,3)代入，得a·3×(-1)=3，解得a=-1，
∴该二次函数的表达式为 = −ሺ + ሻሺ − ሻ，
即 = − − + .
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类型8 利用平移变换求抛物线解析式
（人教九上P35例3改编）将二次函数 = 22 + 4 + 1 的图象向右平移2个
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续表
变换形式
图象关系
点坐标变化
横坐标 互
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关于 轴
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为相反数，
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系数关系
不变
______
本质
相同
开口方向______
相 − 值______，
变号
互为____
2
反数
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函数图像的变化与其解析式的变化之间的关系
学习目标：
重点： 难点：
学习过程： 一、知识回顾：
(1)请将解析式y ＝6x 、y ＝-1
x 标在图1中对应的位置，并填空：
函数y ＝6
x 的图像是______,在第______象限，它是______
函数y ＝-1
x 的图像是______,在第______象限，它是______反比例函数y ＝k x
(k ≠0)的图像是双曲线，
它是____对称图形，_________________， 对称轴是直线________，对称中心是________。
(2)将直线y =2x 沿y 轴向上平移3个单位长度，可得直线(3)将直线y =2x 沿y 轴向__平移__个单位长度，可得直线y =2一次函数y =kx +b (k ≠0)图像是一条直线； 当b >0时，它可由正比例函数y =kx 的图像沿y 轴向__平移__当b <0时，它可由正比例函数y =kx 的图像沿y 轴向__平移__ 二、探求新知：
探索1：
(1)操练起来：
请在同一直角坐标系中画出函y =2(x +1)、y =2(x +3)的图像。
(2)观察图像： 直线y =2(x +1)可由直线y =2x 沿x 轴向( )平移( )直线y =2(x +3)可由直线y =2x 沿x 轴向( )平移( )(3)有所发现：
当a >0时，直线y =2(x +a )可由直线y =2x 沿x 轴向____平移____个
单位长度得到；
(4)小小延伸：
猜想：将直线y =2x 沿x 轴向右平移2个单位长度，得到直线你会验证你的猜想吗？
(5)总结发现：
当a >0时，直线y =k (x +a )可由直线y =kx 沿x 轴向____平移____个单位长度得到； 当a <0时，直线y =k (x +a )可由直线y =kx 沿x 轴向____平移____个单位长度得到。
探索2：
活动1：请画出函数y ＝6x ＋3的图像，将它与函数y ＝6x
的图像进行比较，再用有条理的语言描述
它们之间的位置关系？
(2)请在下面的直角坐标系中描出函数y ＝6
x ＋3图像上的点，并连成光滑的线。
(3)你看出函数y ＝6x ＋3的图像是怎样的图形呢？它与双曲线y ＝6
x 的图像有什么关系？
请描述如下：
函数y ＝6x ＋3的图像是______，它是由双曲线y ＝6
x 的图像沿___轴向___平移___个单位长度得到。
(4)双曲线y ＝6
x
＋3的对称轴是直线________________，对称中心是__________。
经验1：函数y ＝k ＋b 的图像是______；当b >0时，它可由双曲线y ＝k
沿____轴向_____平移____
活动2：请画出函数y ＝
6x +3的图像，将它与函数y ＝6
x
的图像进行比较，再用有条理的语言描述它们之间的位置关系？
(2)请在上页的直角坐标系中描出函数y ＝
6
x +3
图像上的点，并连成光滑的线。
(3)请描述函数y ＝6x +3图像以及它与函数y ＝6
x
图像之间的关系：
_______________________________________________________________________________。
(4) 函数y ＝6
x +3图像的对称轴、对称中心各是什么？它的自变量x 的取值范围是什么？
经验2：函数y ＝k x +a (x ≠__)的图像是__________；当a >0时，它可由双曲线y ＝k
x 沿____轴向____
平移_____个单位长度得到。
通过上面的活动，你能否猜测出当a <0、b <0时，函数y ＝k x ＋b 、y ＝k
x +a 的图像是怎样的图形，
以及它们与双曲线y ＝k
x
的图像之间的关系？试试看下面两个小题：
(1)函数y ＝6x -3的图像可由函数y ＝6
x 的图像沿____轴向____平移____个单位长度得到；
(2)将函数y ＝6
x 的图像沿y 轴向下平移5个单位长度，得到的图像的解析式是________。
重要发现：
(1)函数y ＝k
x
＋b 的图像是________；
当b >0时，双曲线y ＝k x ＋b 可由双曲线y ＝k
x 沿____轴向____平移____个单位长度得到；
当b <0时，双曲线y ＝k x ＋b 可由双曲线y ＝k
x 沿____轴向____平移____个单位长度得到；
(2)函数y ＝k
x +a
的图像是________；
当a >0时，双曲线y ＝k x +a 可由双曲线y ＝k
x 沿____轴向____平移____个单位长度得到；
当a <0时，双曲线y ＝k x +a 可由双曲线y ＝k
x
沿____轴向____平移____个单位长度得到；
三、小试牛刀：
请用在刚才的活动中得到的经验解决下面几个问题：
(1)直线y ＝-3x -3可由直线y =-3x 沿y 轴向____平移____个单位长度得到；因为-3x -3=-3______，所以直线y ＝-3x -3也可由直线y ＝-3x -3沿x 轴向____平移____单位长度得到。
(2)将直线y =x 沿x 轴向右平移1个单位长度，可得直线______；将直线y =x 沿y 轴向下平移1个单位长度，可得直线_________________；
(3) 将双曲线y ＝-2
x 沿y 轴向下平移5个单位长度，可得双曲线______，再沿x 轴向左平移4个
单位长，可得双曲线___________。
(4) 函数y ＝
-1x -1＋2的图像是__________，它是由函数y ＝-1
x
________________________，再__________________________得到。
四、大显身手：
从刚才的活动中我们可以看出，不管是直线还是双曲线，它们的图形变化与解析式之间的关系有着共同的特点，我们可以把这一特点推广到其它函数图像的变化中去。
(1)函数y =(x +2)2的图像是由函数y =x 2
函数y =x 2＋2x +1的图像是由函数y =x 2的图像如何平移得到
(2)已知函数y =x 2的图像如图5所示，将它沿x 轴向右平移 2个单位长度后，所得图像的解析式为_________；将它沿 y 轴向下平移3个单位长度后，所得图像的解析式为_____若是先沿x 轴向右平移2个单位长度，再沿y 轴向下平移 3个单位长度，所得图像的解析式为________。
(3)已知函数y =l x l 的图像如图6
所示，函数y =l x l -2
的图像与x 轴的交点坐标是______________。
五、谈谈收获：
学完这堂课，你有哪些收获？和同学们交流一下吧！。