中考专题复习(一)——三角函数、含参分式方程与不等式(附详细答案)
2024年新高一数学初升高衔接《三角函数的概念》含答案解析
第23讲 三角函数的概念模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三模块四 小试牛刀过关测1．借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；2．掌握任意角的三角函数值在各象限的符号；3．会利用任意角的三角函数的定义求值；4．掌握公式一并会应用.知识点 1 任意角的三角函数的定义1、利用单位圆定义任意角的三角函数设α是一个任意角，它的终边OP 与单位圆交于点()y x P ,．三角函数定义记作符号表示正弦函数点P 的纵坐标sin αsin y α=余弦函数点P的横坐标cosαcos x α=正切函数点P 的纵坐标与横坐标的比值tan αtan (0)yx xα=≠我们将正弦函数、余弦函数、和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：正弦函数sin ,y x x R=∈余弦函数cos ,y x x R=∈正切函数()tan ,2y x x k k Z ππ=≠+∈2、用角的终边上点的坐标表示三角函数如图，设若α是一个任意角，它的终边上任意一点P （不与原点重合）的坐标为(),x y ，点P 到原点的距离为(r r =，则sin y rα=，cos x r α=，tan y x α=．【注意】三角函数值的大小只与角的大小有关，与终边上点P 的位置无关．知识点 2 三角函数的定义域和函数值的符号1、三角函数的定义域三角函数定义域sin α{}R αα∈cos α{}R αα∈tan α,2k k Z πααπ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【说明】单位圆上,x y 的取值范围是[1,1]-，根据正弦函数、余弦函数的定义，我们可以得到正弦函数、余弦函数的值域．2、三角函数值在各象限的符号根据三角函数的定义以及单位圆上点的位置（在哪个象限），可以得到正弦函数、余弦函数、正切函数的值在各个象限的符号，如下图．由于原点到角的终边上任意一点的距离r 是正值，根据三角函数的定义，值（1）正弦函数值的符号取决于纵坐标y 的符号；（2）余弦函数值的符号取决于横坐标x 的符号；（3）正切函数值的符号取决于由,x y 的符号共同决定，即,x y 同号为正，异号为负．【三角函数值的符号记忆】“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．其含义是：第一象限中各三角函数值全是正数，第二象限中只有正弦值为正数，第三象限中只有正切值为正，第四象限中只有余弦值为正．知识点 3 终边相同的角的三角函数值1、公式一：由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到诱导公式一：απαsin )2sin(=+k απαcos )2cos(=+k απαtan )2(tan =+k 其中Zk ∈注意：（1）利用诱导公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求0～2π(或0°～360°)范围内角的三角函数值．（2公式一统一概括为f (k ·2π＋α)＝f (α)(k ∈Z)，或f (k ·360°＋α)＝f (α)(k ∈Z)．其特征是：等号两边是同名函数，且符号相同，即同名同号．2、特殊角的三角函数值0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°6π4π3π2π32π43π65ππ23πsin α21222312322210－1cos α12322210-21-22-23－10tan α33133-－133-知识点 4 三角函数定义的应用1、已知角α的终边上一点P 的坐标，求角α的三角函数值方法：先求出点P 到原点的距离，再利用三角函数的定义求解；2、已知角α的一个三角函数值和终边上的点P 的横坐标或纵坐标，求与角α有关的三角函数值方法：先求出点P 到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题；3、已知角α的终边所在的直线方程（y kx =，0k ≠），求角α的三角函数值方法：先设出终边上的一点()(),0P a ka a ≠，求出点P 到原点的距离，再利用三角函数的定义求解（注意α的符号，对α分类讨论）考点一：由终边上的点求三角函数值例1．（23-24高一下·河南洛阳·期末）已知角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴非负半轴上，点()6,8P --为角α终边上一点，则cos α=（ ）A ．45B ．45-C ．35D ．35-【变式1-1】（23-24高一下·辽宁·月考）若角α的终边经过点()1,2-，则3232sin 3cos sin 6cos 2sin cos αααααα++=-（ ）A ．BC ．12D ．110【变式1-2】（23-24高一下·上海奉贤·期中）已知钝角α的终边上的一点()4,3k k -，则sin α=.【变式1-3】（23-24高一下·河北张家口·月考）已知角α的终边落在直线12y x =-上，求sin α，cos α，tan α的值．考点二：由三角函数值求终边上点的参数例2.（23-24高一上·广东揭阳·月考）在平面直角坐标系中，点M (3,)m 在角α的终边上，若sin α=m =（ ）A ．6-或1B ．1-或6C ．6D ．1【变式2-1】（23-24高一下·河南南阳·期中）已知角θ的终边经过点(,1)P m -，且3cos 5θ=-，则m =（ ）A ．43-B ．34-C ．43±D ．34±【变式2-2】（23-24高一下·江西抚州·期中）已知角α的终边经过点()3,m -，若2tan 3α=，则sin α=（ ）A ．BC ．D 【变式2-3】（23-24高一上·广东肇庆·期末）已知角α的终边经过点(5,)P t ，且12sin 13α=-，则tan α=.考点三：判断三角函数值的符号例3.（23-24高一下·云南保山·期中）（多选）下列选项中，符号为负的是（ ）A ．3πsin2B ．3πcos2C ．tan 2D ．cos2【变式3-1】（23-24高一下·辽宁大连·月考）已知()cos2,tan1P ，则点P 所在象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【变式3-2】（23-24高一下·江西南昌·月考）已知角,A B 是三角形ABC 的两个内角，则点()cos ,cos P A B （ ）A ．不可能在第一象限B ．不可能在第二象限C ．不可能在第三象限D ．不可能在第四象限【变式3-3】（23-24高一下·贵州遵义·月考）（多选）若角α的终边在第三象限，则sin 2cos 3tan 222sincostan222αααααα+-的值可能为（ ）A ．0B ．2C ．4D ．4-考点四：由符号确定角所在的象限例4.（23-24高一上·宁夏吴忠·期末）若cos tan 0θθ<，则θ是第象限角．【变式4-1】（23-24高一下·北京·期中）若θ满足sin 0,tan 0θθ<>，则θ的终边在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【变式4-2】（22-23高一下·山西大同·月考）已知 sin cos 0αα<，且cos 0α>，则角α的终边位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【变式4-3】（23-24高一下·上海·月考）若θ终边不在坐标轴上，且cos cos sin sin 1θθθθ+=-，则θ在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限考点五：圆上的动点与旋转点例5.（23-24高一上·安徽六安·期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，动点P 、Q 从点()1,0A 出发在单位圆上运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π12弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转11π12弧度，则P 、Q 两点在第4次相遇时，点P 的坐标是（）A ．1,2⎛ ⎝B ．12⎛ ⎝C ．12⎛- ⎝D ．12⎛- ⎝【变式5-1】（23-24高一上·湖北荆州·期末）单位圆上一点P 从()0,1出发，逆时针方向运动π6弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为（ ）A ．12⎛- ⎝B ．12⎫⎪⎪⎭C ．21⎫-⎪⎪⎭D ．21⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【变式5-2】（23-24高一上·福建莆田·期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，动点P 、Q 从点()1,0A 出发在单位圆上运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π12弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转11π12弧度，则P 、Q 两点在第1804次相遇时，点P 的坐标是 .【变式5-3】（22-23高一下·山西忻州·开学考试）在直角坐标系xOy 中，若点P 从点()3,0出发，沿圆心在原点，半径为3的圆按逆时针方向运动11π6到达点Q ，则点Q 的坐标为（ ）A ．32⎛⎫⎪⎝⎭B ．32⎛- ⎝C ．32⎫-⎪⎪⎭D ．3,2⎛ ⎝考点六：诱导公式一的应用例6.（23-24高一下·江西吉安·月考）sin300cos0︒︒的值为（ ）A ．0B ．12C ．12-D ．【变式6-1】（23-24高一下·黑龙江绥化·月考）()sin 1050-︒=（ ）A ．12B C ．12-D ．【变式6-2】（22-23高一下·辽宁葫芦岛·期末）17sin4π的值为（ ）A ．BC ．D 【变式6-3】（23-24高一下·河南南阳·月考）29πsin 3⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．B ．12-C D ．12一、单选题1．（23-24高一下·河南·月考）若角α的终边经过点(P -，则sin α=（ ）A B ．C D ．2．（23-24高一下·贵州仁怀·月考）()cos 300-︒的值（ ）A ．12-B ．CD ．123．（23-24高一下·河南南阳·期末）已知角α的终边经过点()()4,0m m ≠，且sin 5mα=，则m =（ ）A ．3B ．3±C ．5D ．5±4．（23-24高一下·广西桂林·月考）若角α的终边经过点()1,2sin A α-，且()0,πα∈，则α=（ ）A ．π6B ．π3C ．5π6D ．2π35．（23-24高一下·北京·月考）已知角α终边上有一点(2sin 3,2cos3)P -，则α为（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角6．（23-24高一上·浙江杭州·月考）点P 从()0,1-出发，沿着单位圆的边界顺时针运动8π3弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为（ ）A ．12⎫⎪⎪⎭B ．12⎛ ⎝C ．12⎛- ⎝D ．21⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭二、多选题7．（23-24高一下·江西吉安·月考）下列函数值中，符号为负的为（ ）A ．7sin π3B ．πcos 4⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．2π2πsincos 33D ．tan28．（23-24高一上·福建泉州·月考）若角α的终边经过点()3,4(0)P t t t ->，则下列结论正确的是（ ）A ．α是第二象限角B ．α是钝角C ．4tan 3α=-D ．点()cos ,sin αα在第二象限三、填空题9．（23-24高一上·陕西咸阳·月考）已知角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴的正半轴上，终边与单位圆交于第四象限的点P ，且点P 的横坐标为12，则sin α= ．10．（23-24高一下·河南·月考）已知角θ的终边经过点(4,)P m ，若sin θ=，则实数m =．11．（23-24高一上·内蒙古兴安盟·期末）已知tan 0x <且cos 0x <，则x 的终边在第 象限.四、解答题12．（23-24高一下·江西宜春·月考）已知角α的终边在直线y x =上，求sin cos αα+的值．13．（23-24高一上·云南昆明·月考）在平面直角坐标系xOy 中，单位圆221x y +=与x 轴的正半轴及负半轴分别交于点A ，B ，角α的始边为x 轴的非负半轴，终边与单位圆交于x 轴下方一点P ．(1)如图，若120POB ∠=︒，求点P 的坐标；(2)若点P 的横坐标为sin α的值．第23讲 三角函数的概念模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三模块四 小试牛刀过关测1．借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；2．掌握任意角的三角函数值在各象限的符号；3．会利用任意角的三角函数的定义求值；4．掌握公式一并会应用.知识点 1 任意角的三角函数的定义1、利用单位圆定义任意角的三角函数设α是一个任意角，它的终边OP 与单位圆交于点()y x P ,．三角函数定义记作符号表示正弦函数点P 的纵坐标sin αsin y α=余弦函数点P 的横坐标cos αcos x α=正切函数点P 的纵坐标与横坐标的比值tan αtan (0)yx xα=≠我们将正弦函数、余弦函数、和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：正弦函数sin ,y x x R=∈余弦函数cos ,y x x R=∈正切函数()tan ,2y x x k k Z ππ=≠+∈2、用角的终边上点的坐标表示三角函数如图，设若α是一个任意角，它的终边上任意一点P （不与原点重合）的坐标为(),x y ，点P 到原点的距离为(r r =，则sin y rα=，cos x r α=，tan y x α=．【注意】三角函数值的大小只与角的大小有关，与终边上点P 的位置无关．知识点 2 三角函数的定义域和函数值的符号1、三角函数的定义域三角函数定义域sin α{}R αα∈cos α{}R αα∈tan α,2k k Z πααπ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【说明】单位圆上,x y 的取值范围是[1,1]-，根据正弦函数、余弦函数的定义，我们可以得到正弦函数、余弦函数的值域．2、三角函数值在各象限的符号根据三角函数的定义以及单位圆上点的位置（在哪个象限），可以得到正弦函数、余弦函数、正切函数的值在各个象限的符号，如下图．由于原点到角的终边上任意一点的距离r 是正值，根据三角函数的定义，值（1）正弦函数值的符号取决于纵坐标y 的符号；（2）余弦函数值的符号取决于横坐标x 的符号；（3）正切函数值的符号取决于由,x y 的符号共同决定，即,x y 同号为正，异号为负．【三角函数值的符号记忆】“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．其含义是：第一象限中各三角函数值全是正数，第二象限中只有正弦值为正数，第三象限中只有正切值为正，第四象限中只有余弦值为正．知识点 3 终边相同的角的三角函数值1、公式一：由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到诱导公式一：απαsin )2sin(=+k απαcos )2cos(=+k απαtan )2(tan =+k 其中Zk ∈注意：（1）利用诱导公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求0～2π(或0°～360°)范围内角的三角函数值．（2公式一统一概括为f (k ·2π＋α)＝f (α)(k ∈Z)，或f (k ·360°＋α)＝f (α)(k ∈Z)．其特征是：等号两边是同名函数，且符号相同，即同名同号．2、特殊角的三角函数值0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°6π4π3π2π32π43π65ππ23πsin α021222312322210－1cos α12322210-21-22-23－10tan α33133-－133-知识点 4 三角函数定义的应用1、已知角α的终边上一点P 的坐标，求角α的三角函数值方法：先求出点P 到原点的距离，再利用三角函数的定义求解；2、已知角α的一个三角函数值和终边上的点P 的横坐标或纵坐标，求与角α有关的三角函数值方法：先求出点P 到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题；3、已知角α的终边所在的直线方程（y kx =，0k ≠），求角α的三角函数值方法：先设出终边上的一点()(),0P a ka a ≠，求出点P 到原点的距离，再利用三角函数的定义求解（注意α的符号，对α分类讨论）考点一：由终边上的点求三角函数值例1．（23-24高一下·河南洛阳·期末）已知角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴非负半轴上，点()6,8P --为角α终边上一点，则cos α=（ ）A ．45B ．45-C ．35D ．35-【答案】D【解析】因为点()6,8P --为角α终边上，故3cos 5α==-，故选：D.【变式1-1】（23-24高一下·辽宁·月考）若角α的终边经过点()1,2-，则3232sin 3cos sin 6cos 2sin cos αααααα++=-（ ）A．BC ．12D ．110【答案】D【解析】因为角α的终边经过点()1,2-，所以sin α==cos α==所以3232sin 3cos sin 6cos 2sin cos αααααα++-3232311065525⎛⎝⎭=+ ⎛⎫⎝⎭-⨯ ⎪⎝⎭⎝⎝⎭=-⎭.故选：D【变式1-2】（23-24高一下·上海奉贤·期中）已知钝角α的终边上的一点()4,3k k -，则sin α= .【答案】35/0.6【解析】因为钝角α的终边上的一点()4,3P k k -，所以0k <，则5OP k =-，故33sin 55k k α-==-，故答案为：35【变式1-3】（23-24高一下·河北张家口·月考）已知角α的终边落在直线12y x =-上，求sin α，cos α，tan α的值．【答案】答案见解析【解析】因为角α的终边落在直线12y x =-上，而直线即过第二象限也过第四象限，当角α的终边在第二象限时，在直线上取一点()2,1-，则11sin tan 22ααα======--，当角α的终边在第四象限时，在直线上取一点()2,1-，则11sin tan22ααα-======-.考点二：由三角函数值求终边上点的参数例2.（23-24高一上·广东揭阳·月考）在平面直角坐标系中，点M (3,)m 在角α的终边上，若sin α=m =（ ）A ．6-或1B ．1-或6C ．6D ．1【答案】C【解析】因点M (3,)m 在角α的终边上，则sin α==0m >，解得，6m =.故选：C.【变式2-1】（23-24高一下·河南南阳·期中）已知角θ的终边经过点(,1)P m -，且3cos 5θ=-，则m =（ ）A ．43-B ．34-C ．43±D ．34±【答案】B【解析】由题知3cos 5θ==-，解得34m =-．故选：B.【变式2-2】（23-24高一下·江西抚州·期中）已知角α的终边经过点()3,m -，若2tan 3α=，则sin α=（ ）A ．BC ．D 【答案】A【解析】因为角α的终边经过点()3,m -，且2tan 3α=，所以2tan 33m α=-=，解得2m =-，所以sin α=故选：A.【变式2-3】（23-24高一上·广东肇庆·期末）已知角α的终边经过点(5,)P t ，且12sin 13α=-，则tan α= .【答案】125-【解析】由角α的终边经过点(5,)P t ，可得r OP ==因为12sin 13α=-1213=-，所以12t =-，所以12tan 5α=-.故答案为：125-.考点三：判断三角函数值的符号例3.（23-24高一下·云南保山·期中）（多选）下列选项中，符号为负的是（ ）A ．3πsin2B ．3πcos2C ．tan 2D ．cos2【答案】ACD 【解析】3πsin12=-，3πcos 02=，故A 正确，B 错误；因为π2π2<<，是第二象限角，所以tan 20<，cos 20<，故C 、D 正确.故选：ACD ．【变式3-1】（23-24高一下·辽宁大连·月考）已知()cos2,tan1P ，则点P 所在象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】180157.3π=≈，故tan10>；18022114.6π=⨯≈，故cos2<0.故点P 在第二象限.故选：B【变式3-2】（23-24高一下·江西南昌·月考）已知角,A B 是三角形ABC 的两个内角，则点()cos ,cos P A B （ ）A ．不可能在第一象限B ．不可能在第二象限C ．不可能在第三象限D ．不可能在第四象限【答案】C【解析】对于A ，当角,A B 是锐角时，cos 0,cos 0A B >>，点P 在第一象限，错误；对于B ，当角A 是钝角，角B 是锐角时，cos 0,cos 0A B <>，点P 在第二象限，错误；对于C ，因三角形最多有一个钝角，故cos A 与cos B 不可能同时小于0，即点P 不可能在第三象限，正确；对于D ，当角A 是锐角，角B 是钝角时，cos 0,cos 0A B ><，点P 在第四象限，错误.故选：C【变式3-3】（23-24高一下·贵州遵义·月考）（多选）若角α的终边在第三象限，则sin 2cos 3tan 222sincostan222αααααα+-的值可能为（ ）A ．0B ．2C ．4D ．4-【答案】BC【解析】由角α的终边在第三象限，得ππ2π2π,Z 2k k k α-+<<-+∈，则ππππ,Z 224k k k α-+<<-+∈，因此2α是第二象限角或第四象限角，当2α是第二象限角时，sin2cos 3tan 22212(3)2sincostan222αααααα+-=---=，当2α是第四象限角时，sin2cos 3tan 22212(3)4sincostan222αααααα+-=-+--=.故选：BC考点四：由符号确定角所在的象限例4.（23-24高一上·宁夏吴忠·期末）若cos tan 0θθ<，则θ是第象限角．【答案】三或四【解析】由于cos tan 0θθ<，所以cos tan θθ，一正一负，当θ是第一象限角时，cos tan θθ，均为正数，不符合，当θ是第二象限角时，cos tan θθ，均为负数，不符合，当θ是第三，或者第四象限角时，cos tan θθ，一正一负，符合，故答案为：三或四【变式4-1】（23-24高一下·北京·期中）若θ满足sin 0,tan 0θθ<>，则θ的终边在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】由sin 0θ<可知θ的终边在第三象限或第四象限或y 轴负半轴上，由tan 0θ>，可知θ的终边在第一象限或在第三象限，则θ的终边在第三象限，故选：C.【变式4-2】（22-23高一下·山西大同·月考）已知 sin cos 0αα<，且cos 0α>，则角α的终边位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】因为sin cos 0αα<，且cos 0α>,所以sin 0α<，即角α的终边位于第四象限.故选:D.【变式4-3】（23-24高一下·上海·月考）若θ终边不在坐标轴上，且cos cos sin sin 1θθθθ+=-，则θ在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】因为()22cos cos sin sin 1sin cos θθθθθθ+=-=-+,所以sin sin cos cos ,θθθθ=--=，所以cos 0,sin 0θθθ≤≤，终边不在坐标轴上所以θ在第三象限.故选：C.考点五：圆上的动点与旋转点例5.（23-24高一上·安徽六安·期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，动点P 、Q 从点()1,0A 出发在单位圆上运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π12弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转11π12弧度，则P 、Q 两点在第4次相遇时，点P 的坐标是（ ）A ．1,2⎛ ⎝B ．12⎛ ⎝C ．12⎛- ⎝D ．12⎛- ⎝【答案】C【解析】相遇时间为π11π42π81212t ⎛⎫=⨯÷+= ⎪⎝⎭秒，故P 转过的角度为π2π8123⨯=，其对应的坐标为2π2πcos ,sin 33⎛⎫ ⎪⎝⎭，即12⎛- ⎝.故选：C【变式5-1】（23-24高一上·湖北荆州·期末）单位圆上一点P 从()0,1出发，逆时针方向运动π6弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为（ ）A ．12⎛- ⎝B ．12⎫⎪⎪⎭C ．21⎫-⎪⎪⎭D ．21⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】点P 从()0,1出发，沿单位圆逆时针方向运动π6弧长到达Q 点，所以π23π2π6QOx ∠=+=， 所以cos ,sin 32π32πQ ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其中1cos,sin 3232π2π=-=Q 点的坐标为12⎛- ⎝.故选：A.【变式5-2】（23-24高一上·福建莆田·期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，动点P 、Q 从点()1,0A 出发在单位圆上运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π12弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转11π12弧度，则P 、Q 两点在第1804次相遇时，点P 的坐标是 .【答案】12⎛- ⎝【解析】相遇时间为π11π18042π36081212t ⎛⎫=⨯÷+= ⎪⎝⎭秒，故P 转过的角度为π2π3608300π123⨯=+，故对应坐标为2π2πcos ,sin 33⎛⎫ ⎪⎝⎭，即12⎛- ⎝.故答案为：12⎛- ⎝【变式5-3】（22-23高一下·山西忻州·开学考试）在直角坐标系xOy 中，若点P 从点()3,0出发，沿圆心在原点，半径为3的圆按逆时针方向运动11π6到达点Q ，则点Q 的坐标为（ ）A ．32⎛⎫⎪⎝⎭B ．32⎛- ⎝C ．32⎫-⎪⎪⎭D ．3,2⎛ ⎝【答案】C【解析】根据题意可知，作出图示如下：根据题意可得3OP =，π6POQ ∠=，作1Q Q x ⊥轴且垂足为1Q ；利用三角函数定义可得13cos OQ POQ =⨯∠=133sin 2QQ POQ =⨯∠=；又Q 点在第四象限，所以点Q 的坐标为32⎫-⎪⎪⎭.故选：C考点六：诱导公式一的应用例6.（23-24高一下·江西吉安·月考）sin300cos0︒︒的值为（ ）A ．0B ．12C ．12-D ．【答案】D【解析】()()sin300cos0sin 300360sin 60sin60︒︒=︒-︒=-︒=-︒=.故选：D ．【变式6-1】（23-24高一下·黑龙江绥化·月考）()sin 1050-︒=（ ）A ．12B C ．12-D ．【答案】A【解析】()()1sin 1050sin1050sin 336030sin 302-︒=-︒=-⨯︒-︒=︒=.故选：A 【变式6-2】（22-23高一下·辽宁葫芦岛·期末）17sin4π的值为（ ）A ．BC ．D 【答案】D【解析】17ππsinsin 4πsin 444π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭故选：D.【变式6-3】（23-24高一下·河南南阳·月考）29πsin 3⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．B ．12-C D ．12【答案】C【解析】29πππsin sin 10πsin 333⎛⎫⎛⎫-=-+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：C一、单选题1．（23-24高一下·河南·月考）若角α的终边经过点(P -，则sin α=（ ）A B ．C D ．【答案】C【解析】因为角α的终边经过点(P -，所以sin y r α===．故选：C ．2．（23-24高一下·贵州仁怀·月考）()cos 300-︒的值（ ）A ．12-B ．CD ．12【答案】D【解析】()()1cos 300cos 36060cos 602-︒=-︒+︒=︒=，故选：D 3．（23-24高一下·河南南阳·期末）已知角α的终边经过点()()4,0m m ≠，且sin 5m α=，则m =（ ）A ．3B ．3±C ．5D ．5±【答案】B【解析】因为已知角α的终边经过点()()4,0m m ≠，且sin 5m α=，所以sin 5mα==，解得3m =±，故选：B.4．（23-24高一下·广西桂林·月考）若角α的终边经过点()1,2sin A α-，且()0,πα∈，则α=（ ）A ．π6B ．π3C ．5π6D ．2π3【答案】D【解析】由三角函数定义可得sin α=因为()0,π,sin 0αα∈>，所以1=sin α=，易知，点A 在第二象限，所以2π3α=.故选：D 5．（23-24高一下·北京·月考）已知角α终边上有一点(2sin 3,2cos3)P -，则α为（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】A 【解析】依题意，π3π2<<，则sin 30,cos30><，即2sin 30,2cos30>->，所以点P 在第一象限，即α为第一象限角.故选：A6．（23-24高一上·浙江杭州·月考）点P 从()0,1-出发，沿着单位圆的边界顺时针运动8π3弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为（ ）A ．12⎫⎪⎪⎭B ．12⎛ ⎝C ．12⎛- ⎝D ．21⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由题意，以x 轴的非负半轴为始边，以Q 所在的射线OQ 为终边的最小正角为5π6，由任意角的三角函数的定义可得，Q 的坐标为5π5π(cos,sin )66，即1()2，故选：D.二、多选题7．（23-24高一下·江西吉安·月考）下列函数值中，符号为负的为（ ）A ．7sin π3B ．πcos 4⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．2π2πsincos 33D ．tan2【答案】CD【解析】7ππ2π33=+ ,7π3∴是第一象限角，7sin π03>∴，∵π4-是第四象限角，∴πcos 04⎛⎫-> ⎪⎝⎭；∵2π3是第二象限角，∴2π2πsin0,cos 033><，∴2π2πsin cos 033<；∵π2π2<<，∴2是第二象限角，∴tan20<．故选：CD.8．（23-24高一上·福建泉州·月考）若角α的终边经过点()3,4(0)P t t t ->，则下列结论正确的是（ ）A ．α是第二象限角B ．α是钝角C ．4tan 3α=-D ．点()cos ,sin αα在第二象限【答案】ACD【解析】由点()3,4(0)P t t t ->在第二象限，可得α是第二象限角，但不一定是钝角，A 正确，B 错误；44tan 33t t α==--，C 正确；由sin 0α>，cos 0α<，则点()cos ,sin αα在第二象限，D 正确.故选：ACD.三、填空题9．（23-24高一上·陕西咸阳·月考）已知角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴的正半轴上，终边与单位圆交于第四象限的点P ，且点P 的横坐标为12，则sin α= ．【答案】【解析】依题意，设点1(,),02P y y <，由221(12y +=，得y =sin α=故答案为：10．（23-24高一下·河南·月考）已知角θ的终边经过点(4,)P m ，若sin θ=，则实数m =．【答案】2-【解析】由于角θ的终边经过点(4,)P m ，由角θ正弦的定义得：sin θ=sin θ=，=，解方程得：2254m m =+，即24m =，得2m =±，0=<，则0m <，所以2m =-．故答案是：2-.11．（23-24高一上·内蒙古兴安盟·期末）已知tan 0x <且cos 0x <，则x 的终边在第 象限.【答案】二【解析】由tan 0x <，得角x 的终边所在的象限是第二、四象限，因为cos 0x <，所以角x 的终边在第二、三象限或x 轴非正半轴上，由于上述条件要同时成立，所以x 的终边在第二象限；故答案为：二四、解答题12．（23-24高一下·江西宜春·月考）已知角α的终边在直线y x =上，求sin cos αα+的值．【解析】由题意可设角α的终边上任意一点(),A x x ，则由三角函数的定义有sin cos αα===，当0x >时，sin cosαα+==当0x <时，sin cosαα⎛+=+= ⎝.故sin cos αα+=13．（23-24高一上·云南昆明·月考）在平面直角坐标系xOy 中，单位圆221x y +=与x 轴的正半轴及负半轴分别交于点A ，B ，角α的始边为x 轴的非负半轴，终边与单位圆交于x 轴下方一点P ．(1)如图，若120POB ∠=︒，求点P 的坐标；(2)若点P 的横坐标为sin α的值．【答案】(1)1,2⎛ ⎝；(2)【解析】（1）过P 点作PC OA ⊥于C 点，若120POB ∠=︒，则60POC ∠=︒，又1OP =，则1,2OC CP ==由题意点P 在第四象限，所以P 的坐标为1,2⎛ ⎝.（2）由题意设P y ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，∵点P 在单位圆221x y +=上，且在x 轴下方，∴221y ⎛+= ⎝，且0y <，解得y =∴sin y α==。
初三数学三角函数(含答案)
初中数学三角函数1、勾股定理：直角三角形两直角边 a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
a 2b 2c 24、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值； 任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。
tan A cot B cot A tan Bcot-1 ~3~6、 正弦、余弦的增减性：当0°w < 90°时，sin 随 的增大而增大，cos 随 的增大而减小7、 正切、余切的增减性：当0° < <90°时，tan 随 的增大而增大，cot 随 的增大而减小。
1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）一所有未知的 边和角。
依据：①边的关系： a 2b 2c 2;②角的关系：A+B=90 °；③边角关系：三角函数的定义。
（注意：尽量避免使用中间数据和除法）2、应用举例：（1）仰角：视线在水平线上方的角； 俯角：视线在水平线下方的角（2）坡面的铅直高度 h 和水平宽度I 的比叫做坡度（坡比）。
用字母i 表示，即i y 。
坡度一 般写成1: m 的形式，如i 1:5等。
把坡面与水平面的夹角记作 （叫做坡角），那么h + i tan 。
l3、 从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。
如图 3, OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。
4、 指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。
如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30° （东北方向）， 南 偏东45° （东南方向），南偏西60° （西南方向）， 北偏西60° （西北方向）。
铅垂线*视线 ‘ 仰角水平线俯角1*视线初三数学三角函数综合试题一、填空题： 1、在 Rt △ ABC 中/C = 90°, a = 2, b = 3,则 cosA =_, sinB =_ , tanB = ___ 2、直角三角形 3、已知tan ABC 的面积为24cm 2，直角边AB 为6cm , / A 是锐角，则sinA = =—, 是锐角，贝U sin 12 + ) + cos 2(40 ° 4、 cos 2(50° — _______ ? 5、 如图1,机器人从A 点，沿着西南方向，行了个4,：2单位，至U 达 60°的方向上，贝U 原来 )—tan(30)tan(60 ° + 到原点O 在它的南偏东 保留根号).A 的坐标为B 点后观察 _ (结果 NMNC 0(2)10cm 周长为36cm 则一底角的正切值为_、3的山坡走了 50米，则他离地面 米高。
中考数学11题 含参不等式组与分式方程(含参考答案)
A．﹣4
B．0
C．16
D．64
{ 9．使得关于 x的不等式组 -2x≤-m2+1有解，且使得关于 y的分式方程 y1-2-m2--yy= 2有非负整数解的 -2x+1≥4m-1 所有的 m的和是（ ）
A．﹣7
B．﹣1
C．0
D．2
3
{ 10．若关于 x的不等式组
x+34-1≥x2-2有解，且关于
x+2≤2(x-a)
x的不等式组
4x≥3(x-1)
2x-x2-1＜a有且只有
4
个整数解，则符合条件的所有整数 a的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
{ 22．若整数 a是使得关于 x的不等式组 x6-1＞4x-12有且只有 2个整数解，且使得且关于 y的分式方程 6x-a≥5
2yy-+13+ a1+-y1=a有非负数解，则所有满足条件的整数 a的个数为（
）
A．0
B．﹣3
C．﹣5
D．﹣8
{ 13．已知关于
x的一元一次不等式组
4(3-xx+)+a≥2＜2-2x的解集为
x＞7，且关于
y的分式方程 ayy-+35-1=
4 3-y
的解为正整数，则满足条件的所有整数 a的和为（ ）
A．﹣3
B．﹣6
C．﹣8
D．﹣11
{ 14．若关于 x的一元一次不等式组 3x4+1＞x-1的解集为 x≤a，且关于 y的分式方程 yy--2a+ 52--2yy=1 x-a≤0 有正整数解，则所有满足条件的整数 a的和为（ ）
C．1
D．2
{ 20．若数
初中中考复习之方程、不等式和函数的综合(精编含答案)
中考复习之方程、不等式和函数的综合一、选择题：1.下列函数中，当x ＜0时，函数值y 随x 的增大而增大的有【 】 ①y=x ②y=－2x ＋1 ③1y=x- ④2y=3x A ．1个B ．2个C ．3个D ． 4个2.已知关于x 的方程22(x 1)(x b)2++-=有唯一实数解，且反比例函数1by x+=的图象在每个象限内y 随x 的增大而增大，那么反比例函数的关系式为【 】 A. 3y x =-B. 1y x =C. 2y x =D. 2y x=- 3.已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么一次函数y bx c =+和反比例函数ay x=在同一平面直角坐标系中的图象大致是【 】A ．B ．C ． D4.二次函数2()y a x m n =++的图象如图，则一次函数y mx n =+的图象经过【 】 A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第二、三、四象限 D ．第一、三、四象限 5. 已知：M ，N 两点关于y 轴对称，且点M 在双曲线1y=2x上，点N 在直线y=x+3上，设点M 的坐标为（a ，b ），则二次函数y=﹣abx 2+（a+b ）x 【 】A ．有最大值，最大值为92-B ．有最大值，最大值为92C ．有最小值，最小值为92D ．有最小值，最小值为92-二、解答题1.一辆警车在高速公路的A 处加满油，以每小时60千米的速度匀速行驶．已知警车一次加满油后，油箱内的余油量y （升）与行驶时间x （小时）的函数关系的图象如图所示的直线l 上的一部分． （1）求直线l 的函数关系式；（2）如果警车要回到A 处，且要求警车中的余油量不能少于10升，那么警车可2.“节能环保，低碳生活”是我们倡导的一种生活方式，某家电商场计划用11.8万元购进节能型电视机、洗衣机和空调共40台，三种家电的进价和售价如下表所示：（1）在不超出现有资金前提下，若购进电视机的数量和洗衣机的数量相同，空调的数量不超过电视机的数量的3倍．请问商场有哪几种进货方案？（2）在“2012年消费促进月”促销活动期问，商家针对这三种节能型)品推出“现金每购满1000元送50元家电消费券一张、多买多送”的活动．在(1)的条件下若三种电器在活动期间全部售出，商家预估最多送出消费券多少张？3.在社会主义新农村建设中，衢州某乡镇决定对A、B两村之间的公路进行改造，并有甲工程队从A村向B 村方向修筑，乙工程队从B村向A村方向修筑．已知甲工程队先施工3天，乙工程队再开始施工．乙工程队施工几天后因另有任务提前离开，余下的任务有甲工程队单独完成，直到公路修通．下图是甲乙两个工程队修公路的长度y（米）与施工时间x（天）之间的函数图象，请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）乙工程队每天修公路多少米？（2）分别求甲、乙工程队修公路的长度y（米）与施工时间x（天）之间的函数关系式．（3）若该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需几天完成？4.温州享有“中国笔都”之称，其产品畅销全球，某制笔企业欲将n件产品运往A，B，C三地销售，要求运往C地的件数是运往A地件数的2倍，各地的运费如图所示。
中考数学《方程与不等式》专题知识训练50题(含参考答案)
中考数学《方程与不等式》专题知识训练50题含答案 （有理数、实数、代数、因式分解、二次根式）一、单选题1．若3x ＞﹣3y ，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．x ＞yB ．x ＜yC ．x ﹣y ＞0D ．x +y ＞02．如果1x -大于0，那么x 的取值范围是（ ） A ．1x >B ．1x <C ．0x <D ．0x >3．一元一次不等式x +1＜2的解集在数轴上表示为（ ） A ． B ． C ．D ．4．不等式﹣3x≤9的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．5．用配方法解方程22990x x --=，配方后得（ ） A ．2(1)99x -=B ．2(1)100x +=C ．2(1)98x -=D ．2(1)100x -=6．若关于x 的分式方程43233m xx x +=+--有增根，则m 的值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．57．一项工程，A 独做10天完成，B 独做15天完成，若A 先做5天，再A 、B 合做，完成全部工程的23，共需（ ） A ．8天B ．7天C ．6天D ．5天8．若关于x 的方程534x kx -=+有整数解，那么满足条件的所有整数k 的和为（ ） A ．20B ．6C ．4D ．29．不等式组372378x x -≥⎧⎨-<⎩的所有整数解共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．下列运用等式性质进行的变形中，正确的是（ ） A ．如果a b =，那么23a b +=+ B ．如果a b =，那么23a b -=- C ．如果2a a =，那么1a =D ．如果a bc c=，那么a b = 11．下列是一元一次方程的是（ ） A ．231x y +=B ．20x -=C ．3x +D ．11x= 12．为了践行“绿色生活”的理念，甲、乙两人每天骑自行车出行，甲匀速骑行30公里的时间与乙匀速骑行25公里的时间相同，已知甲每小时比乙多骑行2公里，设甲每小时骑行x 公里，根据题意列出的方程正确的是( ) A ．30252=+x x B ．30252=+x x C ．30252=-x x D ．30252=-x x13．某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，一季度共获利36.4万元，已知2月份和3月份利润的月增长率相同. 设2，3月份利润的月增长率为x ，那么x 满足的方程为( ) A ．B ．C ．D ．14．如图所示两个天平都平衡，则3个球体的质量等于（ ）个正方体的质量，括号内应填A ．2B ．3C ．4D ．515．若﹣3＜a ≤3，则关于x 的方程x ＋a ＝2解的取值范围为（ ） A ．﹣1≤x ＜5B ．﹣1＜x ≤1C ．﹣1≤x ＜1D ．﹣1＜x ≤516．下列变形中，正确的是（ ） A ．若a b =，则11a b +=-B ．若32a b =，则a b =C ．若2a b -=，则2a b =-D ．若44b a -=-，则a b =17．在2019年女排世界杯比赛中，中国队以11场全胜积32分的成绩成为女排世界杯五冠王、女排世界杯比赛积分规则如表所示，若中国队以大比分3：2取胜的场次有x 场，则根据以上信息所列方程正确的是（ ）A ．3x+2x ＝32B ．3（11﹣x ）+3（11﹣x ）+2x ＝32C ．3（11﹣x ）+2x ＝32D ．3x+2（11﹣x ）＝3218．三元一次方程组10318x y z x y x y z ++=⎧⎪+=⎨⎪=+⎩的解是（ ）A ．532x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩B ．352x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩C ．542x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩D ．431x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩19．已知4个矿泉水空瓶可以换矿泉水一瓶，现有15个矿泉水空瓶，若不交钱，最多可以喝矿泉水（ ） A ．3瓶B ．4瓶C ．5瓶D ．6瓶20．甲、乙、丙三名打字员承担一项打字任务，已知如下信息：如果每小时只安排1名打字员，那么按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务，共需（ ）A ．1316小时B ．1312小时C ．1416小时D ．1412小时二、填空题21．一罐饮料净重500克，罐上注有“蛋白质含量≥0.4%”，则这罐饮料中蛋白质的含量至少为____克． 22．如果方程23252x x -+=-的解与方程72x b -=的解相同，则b =________. 23．由4x ﹣3y +6=0，可以得到用y 表示x 的式子为x =__．24．已知不等式组212(1)43x x x+>⎧⎨-+>⎩，请写出一个该不等式组的整数解___________．25．已知关于x 的一元二次方程x 2+x+m ＝0有实数根，则m 的取值范围是_____．26．若关于x 的方程()21410k x x ---=是一元二次方程，则k 的取值范围是______．27．当a ＝_____时，分式32a a +-的值为－4． 28．三角形的三边长分别为7，1+2x ，13，则x 的取值范围是___ 29．25y x +=用含x 的式子表示y 为________________________．30．若关于x ，y 的二元一次方程组2630x my x y -=⎧⎨-=⎩的解是正整数，则整数m =_______．31．某种服装打折销售，如果每件服装按标价的5折出售将亏35元，而按标价的8折出售将赚55元，则成本价为______元．32．已知A ∠与的B ∠两边分别平行，且A ∠比B ∠的3倍少20°，则A ∠的大小是__________．33．已知x ，y 满足方程组22223212472836x xy y x xy y ⎧-+=⎨++=⎩， （1）代数式224x y +的值是_____． （2）代数式112x y+的值是______．34．已知关于x ，y 的方程组225,234x y m x y m +=-⎧⎨-=-⎩的解满足1x <，2y <，则m 的取值范围为______．35．已知关于x ，y 的不等式组100x x a ->⎧⎨-⎩有以下说法：①若它的解集是1＜x ≤4，则a ＝4；①当a ＝1时，它无解；①若它的整数解只有2，3，4，则4≤a ＜5；①若它有解，则a ≥2．其中所有正确说法的序号是_____．36．若关于x ，y 的二元一次方程组221x y x y k +=⎧⎨+=+⎩的解为正数，则k 的取值范围为__．37．不等式组的解集为23113x x -<⎧⎨-≤⎩的解集为______．38．如果关于x 的方程x2+2ax ﹣b2+2=0有两个相等的实数根，且常数a 与b 互为倒数，那么a +b=_____．39．某车间 56 名工人，每人每天能生产螺栓 16 个或螺母 24 个，设有 x 名工人生产螺栓， 有 y 名工人生产螺母，每天生产的螺栓和螺母按 1：2 配套，所列方程组是________. 40．若分式方程2211x m x x x x x+-=++有增根，则m 的值是______.三、解答题 41．解下列方程： （1）3x +7＝32﹣2x ； （2）121224x x +--=+． 42．解方程：242111x x x++=---． 43．解方程组：（1）32528x y x y +=⎧⎨-=⎩；（2）234347x y x y ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩．44．某商场进货员预测某商品能畅销市场，就用8万元购进该商品，上市后果然供不应求．商场又用17.6万购进了第二批这种商品，所购数量是第一批购进量的2倍，但进货的单价贵了4元，商场销售该商品时每件定价都是58元，最后剩下150件按八折销售，很快售完．在这两笔生意中，商场共盈利多少元？ 45．当k 为何值时，方程x 2﹣6x+k ﹣1＝0， （1）两根相等； （2）有一根为0． 46．解方程组或不等式组：（1）20346x y x y +=⎧⎨+=⎩；（2）53231204x x x +≥⎧⎪⎨--<⎪⎩ 47．已知一个四位自然数N ，它的各个数位上的数字均不为0，且满足千位数字与百位数字的和等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“和对称数”，将这个四位自然数N 的千位数字和百位数字互换，十位数字和个位数字互换，得到N '，规定()101N N F N '+=． 例如：4536N =，①4536+=+，①4536是“和对称数”，()45365463453699101F +==．2346N =，①2346+≠+，①2346不是“和对称数”．(1)请判断2451、3972是不是“和对称数”，并说明理由．若是，请求出对应的()F N 的值．(2)已知A ，B 均为“和对称数”，其中100010746A a b =++，1002026B m n =++（其38a ≤≤，05b ≤≤，29m ≤≤，512n ≤≤，且均为整数），令()()32k F A F B =+，当k能被77整除时，求出所有符合条件的A 的值． 48．解决以下问题:(1)221x y ±++，的算术平方根是5，求2318x y -+的立方根； (2)的值互为相反数,求a b c 、、的值. 49．为了促进学生加强体育锻炼，某中学从去年开始，每周除体育课外，又开展了“足球俱乐部1小时”活动．去年学校通过采购平台在某体育用品店购买A 品牌足球共花费2880元，B 品牌足球共花费2400元，且购买A 品牌足球数量是B 品牌数量的1.5倍，每个足球的售价，A 品牌比B 品牌便宜12元． (1)求去年A ，B 两种足球的售价；(2)今年由于参加俱乐部人数增加，需要从该店再购买A ，B 两种足球共50个，已知该店对每个足球的售价，今年进行了调整，A 品牌比去年提高了5%，B 品牌比去年降低了10%，如果今年购买A ，B 两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，那么学校最多可购买多少个B 品牌足球?50．某生态柑橘园现有柑橘31吨，租用9辆A 和B 两种型号的货车将柑橘一次性运往外地销售．已知每辆车满载时，A 型货车的总费用500元，B 型货车的总费用480元，每辆B型货车的运费是每辆A型货车的运费的1.2倍．（1）每辆A型货车和B型货车的运费各多少元？（2）若每辆车满载时，租用1辆A型车和7辆B型车也能一次性将柑橘运往外地销售，则每辆A型货车和B型车货各运多少吨？参考答案：1．D【分析】利用不等式的性质由已知条件可得到x+y＞0，从而得到正确选项．【详解】①3x＞﹣3y，①3x+3y＞0，①x+y＞0．故选D．【点睛】本题考查了不等式的性质：应用不等式的性质应注意的问题，在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．2．Ax->，即可求得x的取值范围．【分析】1x-大于0即10【详解】根据题意得：x->10x>解得：1故选A．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用，把判断一个式子的值的取值范围的问题掌握不等式的问题，这是解本题的关键．3．B【分析】求出不等式的解集，表示出数轴上即可．【详解】解：不等式x+1＜2，解得：x＜1，如图所示：故选B．【点睛】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．A【详解】试题分析：本题考查了在数轴上表示不等式的解集：利用数轴表示不等式的解集体现了数形结合的思想．也考查了解一元一次不等式．先解不等式得到x≥﹣3，在数轴上表示为﹣3的右侧部分且含﹣3，这样易得到正确选项. 考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式 5．D【分析】把常数项-99移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数-2的一半的平方． 【详解】把方程x 2-2x -99=0的常数项移到等号的右边，得到x 2-2x =99 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x 2-2x +1=100 配方得（x -1）2=100． 故选D ．【点睛】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 6．D【分析】根据分式方程有增根可求出3x =，方程去分母后将3x =代入求解即可. 【详解】解：①分式方程43233m xx x +=+--有增根， ①3x =，去分母，得()4323m x x +=+-， 将3x =代入，得49m +=， 解得5m =． 故选：D ．【点睛】本题考查了分式方程的无解问题，掌握分式方程中增根的定义及增根产生的原因是解题的关键． 7．C【分析】此题是工程问题，它的等量关系是A 独做的加上A 、B 合做的是总工程的23，此题可以分段考虑，A 独做了5天，合作了（x -5）天，利用等量关系列方程即可解得． 【详解】设共需x 天． 根据题意得：5112(5)()1010153x +-+= 解得：x =6． 故选C ．8．A【分析】先解方程可得75x k=-，再根据关于x 的方程534x kx -=+有整数解，k 为整数，可得51k -=±或57k -=±，从而可得答案． 【详解】解：①534x kx -=+， ①57x kx -=，即()57k x -=， 当50k -≠时， ①75x k=-， ①关于x 的方程534x kx -=+有整数解，k 为整数， ①51k -=±或57k -=±，解得：4k =或6k =或2k =-或12k =， ①()4621220++-+=，①满足条件的所有整数k 的和为20. 故选A ．【点睛】本题考查的是一元一次方程的解与方程的解法，掌握“方程的整数解的含义以及求解整数解的方法”是解本题的关键． 9．B【分析】解不等式组，得到关于x 的解集，再找出符合x 取值范围的整数解即可． 【详解】解：解不等式3x −7≥2得：x ≥3， 解不等式3x −7＜8得：x ＜5， 即不等式组的解集为：3≤x ＜5，符合3≤x ＜5的x 的整数解为：3，4共2个， 故选：B ．【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是掌握解一元一次不等式组的方法． 10．D【分析】根据等式的基本性质进行分析判断即可．【详解】解：A 选项中，“如果a b =，那么23a b +=+”是不成立的，故不能选A ； B 选项中，“如果a b =，那么23a b -=-”是不成立的，故不能选B ；C选项中，“如果2a a=，那么1a=”不一定成立，因为a的值可能为0，故不能选C；D选项中，“如果a bc c=，那么a b=”成立，故选D.故选：D.【点睛】本题考查等式的基本性质，熟记“等式的基本性质：（1）等式的两边都加上或者减去同一个整式，所得结果仍是等式；（2）等式的两边都乘以或者除以同一个数（除数不为零），所得结果仍是等式”是解答本题的关键．11．B【分析】根据一元一次方程的定义逐项分析判断即可求解．【详解】解：A、不是一元一次方程，故本选项错误；B、是一元一次方程，故本选项正确；C、不是等式，即不是一元一次方程，故本选项错误；D、不是整式方程，即不是一元一次方程，故本选项错误．故选B．【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义是解题的关键．只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b=0（a，b是常数且a≠0）．12．C【详解】解：设甲每小时骑行x公里，根据题意得：30252=-x x.故选C．13．D【详解】试题分析：一月份获利10万元，二月份获利10(1+x)万元，三月份获利10万元，然后根据一季度的总获利得出方程.考点：一元二次方程的应用14．D【分析】根据等式的性质求解即可．【详解】解：由图可知，2个球体的质量=5个圆柱的质量，2个正方体的质量=3个圆柱的质量，①6个球体的质量=15个圆柱的质量，10个正方体的质量=15个圆柱的质量，①6个球体的质量=10个正方体的质量，①3个球体的质量=5个正方体的质量，故选D ．【点睛】本题考查了等式的基本性质，正确掌握等式的性质是解题的关键．等式的基本性质1是等式的两边都加上（或减去）同一个整式，所得的结果仍是等式；等式的基本性质2是等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得的结果仍是等式． 15．A【分析】先求出方程的解，再根据﹣3＜a ≤3的范围，即可求解．【详解】解：由x ＋a ＝2，得：x ＝2-a ，①﹣3＜a ≤3，①﹣1≤2-a ＜5，即：﹣1≤x ＜5，故选A ．【点睛】本题主要考查解一元一次方程以及不等式的性质，用含a 的代数式表示x ，是解题的关键．16．D【分析】根据等式的性质逐个判断即可得到答案．【详解】解：由题意可得，若a b =，则111a b b +=+>-，故A 选项错误不符合题意；若32a b =，则23a b =，故B 选项错误不符合题意； 若2a b -=，则2a b =+，故C 选项错误不符合题意；若44b a -=-，则a b =，故D 选项正确符合题意；故选D ．【点睛】本题考查等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个数等式性质不变，等式两边同时乘以或除以同一个不为0的数等式性质不变．17．C【分析】设中国队以大比分3：2取胜的场次有x 场，则中国队以小比分3：1或3：0取胜的场次有（11﹣x ）场，根据总积分＝3×小比分获胜的场次数+2×大比分获胜场次数，即可得出关于x 的一元一次方程．【详解】解：设中国队以大比分3：2取胜的场次有x 场，则中国队以小比分3：1或3：0取胜的场次有（11﹣x）场，依题意，得：2x+3（11﹣x）＝32．故选：C．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键. 18．A【分析】由①代入①、①消去x，解二元一次方程组得出y、z的数值，再进一步求得x的数值解决问题．【详解】10318x y zx yx y z++=⎧⎪+=⎨⎪=+⎩①②③，把①代入①得：y+z=5①，把①代入①得：4y+3z=18①，①×4–①得：z=2，把z=2代入①得：y=3，把y=3，z=2代入①得：x=5，则方程组的解为532xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩，故选A．【点睛】此题考查三元一次方程组的解法，注意逐步消元是解决问题的关键．19．C【详解】试题分析：因为15÷4=3余3空瓶，所以可换3瓶喝完，还剩3+3=6空瓶，拿出4空瓶换一瓶，还剩3个空瓶子，找人借一个瓶子凑齐四个喝完还剩一个再把这个瓶子还给那个人，故最多可以喝五瓶矿泉水．故选C．考点：命题．20．C【分析】设甲单独完成任务需要x小时，则乙单独完成任务需要（x﹣5）小时；根据信息二提供的信息列出方程并解答；根据信息三得到丙的工作效率，易得按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务所需的时间．【详解】解：设甲单独完成任务需要x小时，则乙单独完成任务需要（x﹣5）小时，则5x x -解得x ＝20．经检验x ＝20是原方程的根，且符合题意．①x =20是所列方程的解．①x -5=15．①甲的工作效率是120，乙的工作效率是115， 则丙的工作效率是110． ①一轮的工作量为：1111320151060++=． ①4轮后剩余的工作量为：52216015-=． ①还需要甲、乙分别工作1小时后，丙需要的工作量为：211115201560--=． ①丙还需要工作16小时． 故一共需要的时间是：3×4+2+16＝14 16小时． 故选：C ． 【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 21．2【分析】根据题意直接列一元一次不等式，并求解即可．【详解】解：设蛋白质的含量至少应为x 克，依题意得：0.4%500x ≥， 解得x ≥2，则蛋白质的含量至少应为2克．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据题意正确列出不等式是解题的关键． 22．7 【分析】先解方程23252x x -+=-，得97x =，因为这个解也是方程72x b -=的解，根据方程的解的定义，把x 代入方程72x b -=中求出b 的值． 【详解】解：由23252x x -+=-，得2420(515),x x -=-+7所以可得97277b =⨯-= 故答案为：7．【点睛】本题考查了解一元一次方程和方程的解的定义，方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．23．364y - 【详解】方程4x −3y +6=0，解得：x =364y -， 故答案为364y -． 24．0##1【分析】分别求出两个不等式的解集，再求出两个解集的公共部分，即可得到答案．【详解】()212143x x x +>⎧⎪⎨-+>⎪⎩①② 解不等式①得：1x >-；解不等式①得：2x <；所以不等式组的解集为：12x -<<；则其整数解为0与1．故答案为：0（或1）．【点睛】本题考查了求一元一次不等式组的整数解，正确并熟练地解一元一次不等式是解题的关键．25．m≤14【分析】一元二次方程有实数根，则①≥0，建立关于m 的不等式，求出m 的取值范围．【详解】解：由题意知，①＝1﹣4m≥0， ①m≤14， 故答案为m≤14． 【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是明确当一元二次方程有实数根时，①≥0． 26．1k ≠【分析】根据一元二次方程的定义列式计算即可得解．【详解】①关于x 的方程()21410k x x ---=是一元二次方程，①10k -≠，①1k ≠，故答案为：1k ≠．【点睛】本题主要考查了一元二次方程定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．27．1【分析】根据题意列出方程即可求出答案． 【详解】解：由题意得：342a a +=--， 去分母得，()342a a +=-- ,解得，1a =，经检验1a =是分式方程的解，故答案为：1【点睛】本题考查分式方程，解题的关键是熟练运用分式方程的解法．28．3＜x ＜6【详解】试题分析：根据三角形三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得13-7＜ 1+2x ＜20，解得3＜x ＜6 .考点：三角形三边之间的关系点评：该题考查了三角形三边之间的关系，已知三角形的两边长，可以求第三边的范围，即两边之差＜第三边长＜两边之和.29．y=-2x+5【分析】把x 看做已知数求出y 即可．【详解】解：方程y+2x=5，解得：y=-2x+5．故答案为：y=-2x+5．【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x 看做已知数求出y ．30．0，3，4，5【分析】先解方程组2630x myx y-=⎧⎨-=⎩，用m表示出方程组的解，根据方程组有正整数解得出m的值．【详解】解：2630x myx y-=⎧⎨-=⎩①②由①得：x＝3y ①，把①代入①得：6y−my＝6，①y＝66-m，①x＝186-m，①方程组2630x myx y-=⎧⎨-=⎩的解是正整数，①6−m＞0，①m＜6，并且66-m和186-m是正整数，m是整数，①m的值为：0，3，4，5．故答案是：0，3，4，5．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．31．185【分析】设每件服装标价为x元，再根据无论亏本或盈利，其成本价相同，列出方程，求出x的解，最后根据成本价=服装标价×折扣，即可得出答案．【详解】解：设每件服装标价为x元，根据题意得：0.5x+35=0.8x-55，解得：x=300．则每件服装标价为300元，成本价是：300×50%+35=185（元），故答案为：185．【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，正确找出等量关系是解题的关键．32．10°或130°【分析】根据A ∠与B ∠两边分别平行，由A ∠比B ∠的3倍少20°列方程求解即可得到答案．【详解】①A ∠比B ∠的3倍少20°，①A ∠=3B ∠- 20°，①A ∠与B ∠两边分别平行，①①A 与①B 相等或互补，①当A ∠=B ∠时，得到①A =3①A - 20°，①①A =10°；①当①A +①B =180°时，得到①A =3(180°-①A )-20°，①①A =130°，故答案为：10°或130°．【点睛】此题考查平行线的性质，解一元一次方程，能正确理解两边分别平行的两个角的关系是解题的关键．33． 17 54± 【分析】（1）令224n x y m xy +==，，将原方程组可化为关于m 、n 的二元一次方程组，进行求解即可；（2）先根据完全平方公式求出25x y +=±，再将112x y+通分进行计算即可． 【详解】（1）令224n x y m xy +==，，原方程组可化为3247236m n m n -=⎧⎨+=⎩， 解得172m n =⎧⎨=⎩， 即221724x y xy +==，，故答案为：17；（2）222(2)4178254x y x y xy +=+=+=+，25x y ∴+=±1125224x y x y xy +±∴+==，故答案为：54±． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，完全平方公式的变形，异分母分式相加等，熟练掌握知识点并运用整体代入法是解题的关键．34．823m -<< 【分析】先解出方程组的解，再根据解的情况列出关于m 的不等式组，解不等式组即可求解．【详解】解：225234x y m x y m +=-⎧⎨-=-⎩①② ①+①得：x =-1-m ，将x =-1-m 代入①中，得：y =342m -， ①该方程组的解满足1x <，2y <， ①113422m m --<⎧⎪⎨-<⎪⎩， 解得：823m -<<． 故答案为：823m -<<． 【点睛】本题考查解二元一次方程组的应用、解一元一次不等式组，熟练掌握二元一次方程组、一元一次不等式组的解法，正确解出x 、y 值是解答的关键．35．①①①【分析】先求出各不等式的解集，再根据各小题的结论解答即可．【详解】解：解不等式x ﹣1＞0得，x ＞1；解不等式x ﹣a ≤0得，x ≤a ，故不等式组的解集为：1＜x ≤a ．①①它的解集是1＜x ≤4，①a ＝4，故本小题正确；①①a ＝1，x ＞1，①不等式组无解，故本小题正确；①①它的整数解只有2，3，4，则4≤a ＜5，①4≤a ＜5，故本小题正确；①①它有解，①a ＞1，故本小题错误．故答案为：①①①．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组是解题的关键. 36．13k <<【分析】先求出方程组的解，根据题意得出关于k 的不等式组，再求出不等式组的解集即可．【详解】解：解方程组221x y x y k +=⎧⎨+=+⎩得：13x k y k=-⎧⎨=-⎩， 关于x ，y 的二元一次方程组221x y x y k +=⎧⎨+=+⎩的解为正数， ∴1030k k ->⎧⎨->⎩， 解得：13k <<，故答案为：13k <<．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组和解一元一次不等式组等知识点，能得出关于k 的不等式组是解此题的关键．37．22x -≤<【分析】分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分即可得到不等式组的解集．【详解】解：23113x x -<⎧⎨-≤⎩①② 解不等式①得，x ＜2，解不等式①得，x ≥-2所以，不等式组的解集为：22x -≤<故答案为：22x -≤<．【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，解不等式组时要注意解集的确定原则：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无法找（空集）．38．±2．【分析】根据根的判别式求出△=0，求出a 2+b 2=2，根据完全平方公式求出即可．【详解】解：①关于x 的方程x 2+2ax-b 2+2=0有两个相等的实数根，①①=（2a ）2-4×1×（-b 2+2）=0，即a 2+b 2=2，①常数a 与b 互为倒数，①ab=1，①（a+b ）2=a 2+b 2+2ab=2+2×1=4，①a+b=±2，故答案为±2．【点睛】本题考查了根的判别式和解高次方程，能得出等式a 2+b 2=2和ab=1是解此题的关键．39．5621624x y x y +=⎧⎨⨯=⎩【分析】此题中的等量关系有：①生产螺栓人数+生产螺母人数=56人；①每天生产的螺栓和螺母按1：2配套，那么螺栓要想与螺母的数量配套，则螺栓数量的2倍=螺母数量．【详解】解：根据生产螺栓人数+生产螺母人数=56人，得方程x+y=56；根据螺栓数量的2倍=螺母数量，得方程2×16x=24y ．列方程组为：5621624x y x y +=⎧⎨⨯=⎩故答案为5621624x y x y +=⎧⎨⨯=⎩【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，难点在于理解第二个等量关系：若要保证配套，则生产的螺母的数量是生产的螺栓数量的2倍，所以列方程的时候，应是螺栓数量的2倍=螺母数量．40．1-或2【分析】根据增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根，先把分式方程去分母化为整式方程，再通过使最简公分母不为0确定增根的可能值，将其代入整式方程即可算出m 的值.【详解】解：①2211x m x x x x x+-=++， ①()2221x m x -=+，①221m x x =--. ①2211x m x x x x x+-=++有增根， ①0x =或=1x -.当0x =时，2211m x x =--=-；当=1x -时，2212m x x =--=.①m 的值为1-或2.故答案为：1-或2【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；①化分式方程为整式方程；①把增根代入整式方程即可求得相关字母的值. 41．（1）x ＝5；（2）x ＝4．【分析】（1）移项，合并同类项，系数化成1即可;（2）去分母，然后移项，合并同类项，系数化成1即可.【详解】解：（1）移项合并得：5x ＝25，解得：x ＝5；（2）去分母得：2x +2﹣4＝8+2﹣x ，移项合并得：3x ＝12，解得：x ＝4．【点睛】本题考查一元一次方程的解法，掌握一元一次方程的解法是关键.42．13x = 【分析】观察可得最简公分母是（x +1）（x ﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 【详解】解：242111x x x ++=--- 整理，得：421(1)(1)1x x x x +-=-+-- 方程两边都乘以（x +1）（x ﹣1），得4﹣（x +1）（x +2）=﹣（x 2﹣1），整理，得，3x =1， 解得1x=3． 经检验，1x=3是原方程的根．①原方程的解是1x=3．【点睛】本题考查解分式方程，注意解分式方程，结果要检验.43．（1）32x y =⎧⎨=-⎩；（2）34x y =⎧⎨=⎩． 【分析】（1）利用加减消元法求出解即可．（2）去分母后，加减法消元解方程.【详解】解：（1）32528x yx y+=⎧⎨-=⎩①②，①×2得，4x﹣2y＝16①，①+①得，7x＝21，解得x＝3，把x＝3代入①得，2×3﹣y＝8，解得y＝﹣2，所以，方程组的解是32xy=⎧⎨=-⎩；（2）方程组可化为4324347x yx y+=⎧⎨-=-⎩①②，①×4得，16x+12y＝96①，①×3得，9x﹣12y＝﹣21①，①+①得，25x＝75，解得x＝3，把x＝3代入①得，3×3﹣4y＝﹣7，解得y＝4，所以，方程组的解是34xy=⎧⎨=⎩．【点睛】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．44．在这两笔生意中，商场共盈利90260元．【分析】盈利=总售价-总进价，应求出某商品的数量．总价明显，一定是根据单价来列等量关系．本题的关键描述语是：“单价贵了4元”；等量关系为：第一次的单价=第二次的单价-4．【详解】设商场第一次购进某商品x件，则第二次购进某商品2x件，根据题意得：8000017600042x x-＝．160000=176000-8x解这个方程得：x=2000．经检验：x=2000是原方程的根．商场利润：（2000+4000-150）×58+58×0.8×150-80000-176000=90260（元）．答：在这两笔生意中，商场共盈利90260元．【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．45．（1）k＝10；（2）k＝1．【分析】（1）方程由两个相等的根，则△＝0；（2）有一个根是0，则两根之积为0．【详解】解：（1）△＝36﹣4（k-1）＝40-4k，①两根相等，①①＝0，即k＝10；（2）①有一根为0，①0∆≥，即10k≤，由根与系数的关系可得，k﹣1＝0，①k＝1．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握是解题的关键．一元二次方程根的情况与判别式①的关系：（1）①＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）①=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）①＜0⇔方程没有实数根．46．（1）63xy=⎧⎨=-⎩；（2）13x-≤<【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分求出不等式组的解集，表示在数轴上即可．【详解】（1）解：20 346 x yx y+=⎧⎨+=⎩①②方程①可化为2x y=-①把①代入①，得解得y=-3把y=-3代入①，得x=()236-⨯-=所以原方程组的解为：63x y =⎧⎨=-⎩（2）53231204x x x +≥⎧⎪⎨--<⎪⎩①② 解不等式①得1x ≥-解不等式①得3x <所以不等式组的解集为13x -≤<将其在数轴上表示如下：【点睛】本题两个小题分别考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组，根据相关题目要求按步骤求解是解题的关键47．(1)3972不是“和对称数”，2451是“和对称数”，理由见解析，()F N 值为66(2)A 的值为3746，4756，6776，5766，7786，8796【分析】（1）根据“和对称数”的定义，即可求解；（2）根据题意分别表示出()(),F A F B ，再由()()32k F A F B =+，k 能被77整除，并结合a ，m 的取值范围进行分类讨论，即可求解．【详解】（1）解：3972不是“和对称数”，①3924+≠，①3972不是“和对称数”．2451是“和对称数”，①2451+=+，。
九年级数学中考复习专题——方程与不等式(附答案)
知识点一 一元一次方程及其解法1．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数为1，这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为0(0)ax b a +=≠．注意：x 前面的系数不为0．2．一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 3．一元一次方程0(0)ax b a +=≠的求解步骤知识点二 二元一次方程（组）及解法1．二元一次方程：含有2个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程． 2．二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解． 3．二元一次方程组由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量，其一般形式为111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩．4．二元一次方程组的解法（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．知识点三分式方程及其解法1．分式方程：分母中含有的方程叫做分式方程；2．分式方程的解法：（1）解分式方程的基本思路是把分式方程转化为整式方程。
（2）解分式方程的一般步骤：第一步：，将分式方程转化为整式方程；第二步：解整式方程；第三步：．（3）增根：在进行分式方程去分母的变形时，有时可能产生使原方程分母为的根，称为方程的增根。
因此，解分式方程时必须验根，验根的方法是代入最简公分母，使最简公分母为的根是增根应舍去。
（4）产生增根的原因：将分式方程化为整式方程时，在方程两边同乘以使最简公分母为的因式。
知识点四一元二次方程及其解法1．一元二次方程：只含有个未知数（一元），并且未知数最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
初中数学三角函数难题解题技巧,中考数学三角函数典型题型归纳与答案解析
【例2】某片绿地形〉图所示，其中匕4=60°,AB±BC f AD'CD,ng二200/n,CZ?=100/n.求8C的长.（精确到Is.73^1.732）解题思路：本题的解题关键是构造直角三角形，构造的原则是不能破环匕4所以连结NC不 行.延长和8C交于一点£（如图1）,这样既构造出了直角三角形，又保全了特殊街&；或过点Q作矩形ABEF（如图2）来求解.【例3】如图,已知正方形49口）中，£为8匚上一点.将正方形折叠起来，使京N和点£重合，折痕为M/V.若tanQ£N=?,£?C+（T=10.（1）求以他的面积；（2）求sin ZENB的值.解题思踣：将tan A4£V=|与DC Q=10结合起来，可求出相关线段的长，为解朝铺平道路.【例4】如图，容轮沿折线K—8—C从4出发经8田到C匀速航行，货轮从的中点Q出发沿某一方向匀i:线航行，将一批物品送达客轮.两船同时起航，并同时到达折度4—8—C上 的桌点£处，已知4g=8C=2O0海里，^ABC=90°,客?觥麋的2倍，(1)选择：两船相遇之处£点()〜/ZA.在象础上//ZB.在线段8C上c—-----------pnC.可以在线段上，也可以在线段8C上(2)求货轮从出发到两船相遥共航行了多少海里？(结果保留根号)(南宗市中考试题)解题思85:对于(2),过。
作DF'CB于£设DE=X,建立关于x的方程.【例5］若直角三角形的两个洗角A, B的正弦是方程x2+px+g=0的两个根.(1)那么，实数们g应海足哪些条｛牛？(2)如果日，q满足这些条件，方程/+哗+。
二0的两个根是否等于直角三角形的两个说角凡〃的正弦？(江苏肯竟葡国解题思路：解本例的关健是建立严密约束条件下的含不等式、等式的混合组，需综舍运用一元:次三角函数的知识与方法.【例6】设子，b,(■是直角三角形的三边，。
“三角函数”中考试题分类汇编(含答案)
1、锐角三角函数要点一：锐角三角函数的基本概念 一、选择题1.（2009·漳州中考）三角形在方格纸中的位置如图所示，则tan α的值是（ ）A ．35B ．43 C ．34 D ．452.（2008·威海中考）在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝13，则sin B ＝（ ）A ．1010 B ．23C ．34D ．310103.（2009·齐齐哈尔中考）如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为32，2AC =，则sin B 的值是（ ）A ．23 B ．32 C ．34 D ．434.（2009·湖州中考）如图，在Rt ABC △中，ACB ∠=Rt ∠，1BC =，2AB =，则下列结论正确的是（ ） A ．3sin A =B ．1tan 2A = C ．3cosB = D ．tan 3B =5.（2008·温州中考）如图，在Rt ABC △中，CD 是斜边AB 上的中线，已知2CD =，3AC =，则sin B 的值是（ ）A ．23B ．32C ．34D ．436.（2007·泰安中考）如图，在ABC △中，90ACB ∠=，CD AB ⊥于D ，若23AC =，32AB =，则tan BCD ∠的值为（ ）（A ）2 （B ）22 （C ）63（D ）33二、填空题7.（2009·梧州中考）在△ABC 中，∠C ＝90°， BC ＝6 cm ，53sin =A ，则AB 的长是 cm ． .（2009·孝感中考）如图，角α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点P （3，4），则 sin α= ．9.（2009·庆阳中考）如图，菱形ABCD 的边长为10cm ，DE ⊥AB ，3sin 5A =，则这个菱形ACBD的面积= cm 2．答案：60 三、解答题10.(2009·河北中考) 如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ，且CD = 24 m ，OE ⊥CD 于点E ．已测得sin ∠DOE =1213．（1）求半径OD ；（2）根据需要，水面要以每小时0.5 m 的速度下降， 则经过多长时间才能将水排干？ 【11.（2009·綦江中考）如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE BC =，DF AE ⊥，垂足为F ，连接DE ．（1）求证：ABE △DFA ≌△；（2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值．12.（2008·宁夏中考）如图，在△ABC 中，∠C =90°，sin A =54，AB =15，求△ABC 的周长和tan A 的值．DABCEFOEC D14.（2007·芜湖中考）如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，tan cos B DAC =∠，(1) 求证：AC=BD ； (2)若12sin 13C =，BC =12，求AD 的长．要点二、特殊角的三角函数值 一、选择题1.（2009·钦州中考）sin30°的值为（ ）A ．32B ．22C ．12D ．33答案：C2.（2009·长春中考）．菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，452AOC OC ∠==°，，则点B 的坐标为（ ）A ．2，B ．2)，C ．211)，D ．(121)，答案：C3.(2009·定西中考)某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（ ） A ．8米 B ．3 C 83米 D 43米4.（2008·宿迁中考）已知α为锐角，且23)10sin(=︒-α，则α等于（ ） Ａ．︒50 Ｂ．︒60 Ｃ．︒70 Ｄ．︒805.（2008·毕节中考） A （cos60°，－tan30°）关于原点对称的点A 1的坐标是（ ）A ．1323⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，B ．3323⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，C ．1323⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭， D ．1322⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 6.（2007·襄樊中考）计算：2cos 45tan 60cos30+等于（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）2 （D ）3 二、填空题7. （2009·荆门中考）104cos30sin 60(2)(20092008)-︒︒+---=______．答案：238.（2009·百色中考）如图，在一次数学课外活动中，测得电线杆底部B 与钢缆固定点C 的距离为4米，钢缆与地面的夹角为60º，则这条钢缆在电线杆上的固定点A 到地面的距离AB 是 米．（结果保留根号）．答案：439.（2008·江西中考）计算：（1）1sin 60cos302-= ． 答案：1410.（2007·济宁中考）计算sin 60tan 45cos30︒-︒︒的值是 。
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中考专题复习（一）
考点一、三角函数
1．市场上一款护眼灯（如图1），采用圆形面光源技术，忽略其旋转支架等的宽度，得到它的侧面简化结构图（如图2），底座AB⊥桌面AK，旋转支架BC可绕点B旋转，转接头CD∥桌面AK，圆形面光源在旋转支架所在平面捏可绕点D旋转，其直径DE为20c m，若旋转支架旋转至BC′处，圆形面光源DE旋转至D′E′处，此时圆形面光源中心M到桌面的距离M N=40c m，已知AB=20c m，∠CBC′=37°，∠E′D′F=24°，则旋转支架BC长为（）c m（结果精确到1c m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，t an37°≈0.75，sin24°≈0.40，cos24°≈0.91，t an24°≈0.45）
A．18 B．20 C．25 D．27
2．下表是小明填写实习报告的部分内容：已知：sin47°=0.7313，cos47°=0.6820，t an47°=1.0724，1
=，根据以上的条件，计算出铁塔顶端到山底的高度（）
0.9325
测量
目标
图示
A．64.87m B．74.07m C．84.08m D．88.78m
3．如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米（点C与点B在同一水平面上），某同学从点C出发，
沿同一剖面的斜坡CD 行走195米至坡顶D 处，斜坡CD 的坡度（或坡比）i=1：2.4，在D 处测得该建筑物顶端A 的俯角为20°，则建筑物AB 的高度约为（精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，t an20°≈0.364）（ ）
A ．29.1米
B ．31.9米
C ．45.9米
D ．95.9米
4．如图，某高楼OB 上有一旗杆CB ，我校数学兴趣小组的同学准备利用所学的三角函数知识估测该高楼的高度，由于有其他建筑物遮挡视线不便测量，所以测量员沿坡度i=1：的山坡从坡脚的A 处前行50米到达P 处，测得旗杆顶部C 的仰角为45°，旗杆底部B 的仰角为37°（测量员的身高忽略不计），已知旗杆高BC=15米，则该高楼OB 的高度为（ ）米．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，t an37°≈0.75）
A ．45
B ．60
C ．70
D ．85
5．如图，轮船在A 处观测灯塔C 位于北偏西70°方向上，轮船从A 处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1小时后到达码头B 处，此时，观测灯塔C 位于北偏西25°方向上，则灯塔C 与码头B 的距离是（ ）
A ．海里
B ．
C ．
D ．
考点二、方程与不等式综合
1.从2-，1-，12-，1，2这五个数中，随机抽取一个数，记为a ，若数a 使关于x 的不等式组2790x x a +≥⎧⎨-<⎩。