50人生日相同的概率
一些很有趣的概率学问题
一些很有趣的概率学问题说到概率，有些好玩的东西不得不提。
比如，你知道吗，23个人中至少两个人生日相同的概率竟然超过了1/2；假如你们班上有50个人的话，那更不得了，至少两人生日相同的概率达到97% ！如果你会计算这个概率问题的话，你可以亲自证实这一点。
本文适宜的读者是知道上述问题怎么算的高中朋友，上述问题也是高中阶段学的一些基本概率知识。
上面的问题都是简单概率，它包含了一个最基本的原则，即使没有系统地学习过，平常人们也都在无形之中使用它：概率等于你要算的东西除以总的数目。
比如。
我们要计算23个人中任何两个人都不在同一天生的概率。
假设2月29日与其它日期出现概率相同的话（这是为了便于计算我们做出的假设，它有悖于常理），那么它的概率为A(366,23)/366^23。
它约为0.493677。
因此，至少两人在同一天生的概率为1-0.493677=0.506323。
当然，对于“你要算的东西除以总的数目”的认识是片面的，比如“投两个骰子出现的数字和从2到12共有11种可能，问数字和大于10的概率”这一问题的答案并不是2/11，因为这11个点数和出现的概率不是相等的，我们只能从投出的两个数字共6*6=36种情况中进行统计，可能的情况只有(5,6)、(6,5)和(6,6) （不会有人说还有(6,7)之类的吧），答案应该是3/36=1/12。
这些都是废话，我不细说了。
但是，你有想过这个问题吗：要是这些数目是无穷的怎么办？换句话说，统计的东西不是“离散”的怎么办？比如看这样一个问题。
明天早上我要和MM 约会，但是具体见面时间我忘了，好像是8:00-9:00的某个时候。
那么我随便在这个时段中选一个时间去等MM，最多等她半个小时，正好能见到MM的概率是多少（假设MM先到的话不会等我）。
这个问题和我们平时见到的问题不同的地方在于，它的“情况”是连续的，不是离散的，不能逐一统计数目。
咋办呢？我们注意到，我的时间随机取一个，MM的时间随机取一个，对于某些组合我们是有缘分的（这些组合无穷多）。
生日相同的概率
“生日相同的概率”教案北师大版《义务教育课程标准实验教科书数学》九年级上册第六章“频率”与“概率”第三节“生日相同的概率”（第二课时）。
教材分析：学生已经了解了可以通过试验，用试验频率来估计随即事件发生的概率，上节课提出了求：50个同学中有2个同学生日相同“的概率，用的是真实试验的方法，即让学生进行大量的抽样调查。
本节课紧随上节课，是学生已经体会到用调查的方法既麻烦又费时，有时甚至难以实施的前提下提出问题：是否可以用替他方法代替试验（调查）？从而引入“模拟试验”。
教材首先给出了一种模拟方案，并引导学生通过对模拟试验的设计和操作强化对概率意义的理解。
随后，根据计算器可以产生随机数的功能，教材提出了以计算器为工具的模拟试验，这为学生较大量地收集和分析数据提供了可能性，使学生进一步体会到只有大量的实验数据才能更接近于真实结果。
同时计算器和计算机的使用，让学生从对具体的随即机实验的形象思维提高到可以用“数”来代替的抽象思维水平。
教学目标1.理解用模拟试验代替实际实验的意义，认识几种简单常用的模拟试验方法。
能运用计算器或计算机产生随机整数的方法进行模拟试验，并会由模拟试验的结果估计随机事件发生的概率。
2.经历从实际问题出发，探索解决问题方法和策略的过程，进一步理解概率的意义，发展随机观念。
3.通过让学生设计模拟试验方案并实施操作等教学，进一步发展自主学习与合作交流的意识和能力。
4.体会教学思想方法的魅力，体验科学探索的艰苦和乐趣，培养刻苦钻研的精神。
教学重点：理解模拟试验的意义和方法，会用模拟试验的方法估计随机事件发生的概率。
教学难点：对模拟试验合理性的理解。
教学过程：一、引入（1）上节课我们提出了这样一个问题：估计6个人中有2个人生肖相容的概率。
请同学们说一说，对这个问题你们是用什么方法调查、收集数据的？求得的概率估计值是多少？（2）提出问题：能不能找出一种替代方法，不用进行实际调查也可以估计这个问题的概率？【设计意图】让学生通过回忆实际调查收集数据的过程，感受到这种方法既费时又费力，意识到引入模拟试验的必要性。
九年级数学第六章 第3-4节 生日相同的概率;池塘里有多少鱼北师大版(精品)知识精讲
初三数学第六章第3－4节生日相同的概率；池塘里有多少鱼北师大版【本讲教育信息】一、教学内容第六章第3~4节及本章的知识回顾二、教学目标1、能用实验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率2、进一步体会概率与统计之间的联系，用样本去估计总体的统一思想。
3、经历试验、统计等活动，在活动中进一步提高学生合作交流的意识和能力。
三、知识要点1、生日相同的概率的认识（1）此问题不能用树状图或列表法求解，只能通过试验的方法估计其概率。
（2）50个同学中有两个同学的生日相同，并不能说明50个同学中有两个同学生日相同的概率是1，而50个同学中没有两个同学生日相同，也不能说明其相应的概率为0。
2、模拟试验的两种方法：（1）用替代的实物模拟试验：替代物与被替代物形状、大小、质地可以差别很大，但是作为试验时考察的试验对象，其出现的概率应该是相同的，这样才不会影响试验结果；（2）用计算器产生随机数来模拟试验：当找不到合适的实物时，用实物替代比较麻烦，可以用计算器来模拟。
3、设计模拟试验估算概率需要注意以下几点：（1）清楚事件发生的可能性；（2）准备的替代物一定要完全相同；（3）要保证试验的随机性，摸牌或摸球放回时一定要注意摇匀；（4）要清楚地记录每一次试验（5）要重复多次试验4、已知袋中的一种颜色的球的数目，估算另一种颜色的球的数目，此问题有两种解法：（1）从袋中随意摸出一种球，记下颜色，然后将其放回袋中，重复这一过程，摸一定的次数，记录其中某颜色的球出现的次数，利用频率估算另一颜色的球的数目。
（2）利用抽样调查，从袋中一次摸出10个球，求出其中某一颜色的球数与10的比值，再把球放回袋中，重复上述过程，摸一定的次数，求出这一颜色的球数与10的比值的平均数，即平均概率，利用平均概率来估算另一颜色的球的数目。
5、估算袋中单一色球的数目向口袋中再放另一种颜色相同的球若干个，也可以从口袋中取出几个并将它们染成一样的其他颜色或作上标记，方法与4相同6、如何估计池塘有多少条鱼可设计如下方案：一次从鱼塘中捞出100条鱼，作上记号，然后放回去，待鱼完全混合于鱼群后，再一次从鱼塘中捕捞100条鱼，数出有记号的鱼的数目，利用，100100鱼的总数有记号的鱼的数目 即可得出鱼塘里鱼的数量。
概率论与数理统计 生日相同的概率
要想使这种估计尽可能精确, 要想使这种估计尽可能精确,就需要尽可能多 地增加调查对象,而这样做既费时又费力. 地增加调查对象,而这样做既费时又费力.
有没有更为简洁的方法呢？ 有没有更为简洁的方法呢？ 能不能不用调查即可估计出这一 概率呢? 概率呢?
常见方法
1.会用替代实物模拟实验 会用替代实物模拟实验. 会用替代实物模拟实验 2.用计算器或计算机进行模拟试验 用计算器或计算机进行模拟试验, 用计算器或计算机进行模拟试验 估计一些复杂的随机事件发生的概 率.
不合理.因为图钉落地后钉尖朝上和钉尖朝下的 解:(1)不合理 因为图钉落地后钉尖朝上和钉尖朝下的 不合理 概率不均等,概率不一样 所以这个模拟试验不合理. 概率不一样.所以这个模拟试验不合理 概率不均等 概率不一样 所以这个模拟试验不合理 新的方法: 新的方法
表(2) 需研究的问题 用替代物模拟试 新的 方法 验的方法 用什么实物 抽 2副白手 副白手 副黑 屉 套,1副黑 中 手套 黑暗中摸出2 怎样试验 黑暗中摸出 只 双白袜 不透 2双白袜 双黑 明袋 子,1双黑 中 袜子 闭上眼睛摸出2 闭上眼睛摸出 只
试一试
替代实物实验操作2 替代实物实验操作
步骤: 步骤
1、可以用 个编有号码 大小相同的球代替 种不 、可以用12个编有号码 大小相同的球代替12种不 个编有号码,大小相同的球代替 同的生肖,这样每个人的生肖就有对应着一个球 个 这样每个人的生肖就有对应着一个球. 同的生肖 这样每个人的生肖就有对应着一个球 6个 人中有两个人的生肖相同,就意味着 就意味着6个球中有两个球 人中有两个人的生肖相同 就意味着 个球中有两个球 的号码相同。 的号码相同。 2、可在口袋中放入这样的 个球 从中摸出 个球 、可在口袋中放入这样的12个球 从中摸出1个球 个球,从中摸出 个球, 记下它的号码,放回去 再从中摸出1个球 放回去;再从中摸出 个球,记下它的号 记下它的号码 放回去 再从中摸出 个球 记下它的号 放回去; 直至摸出第6个球 记下第6个球的号 码,放回去 ……直至摸出第 个球 记下第 个球的号 放回去 直至摸出第 个球,记下第 为一次试验. 码,为一次试验 为一次试验 3、重复多次试验 即可估计 个人中有 个人生肖 、重复多次试验,即可估计 个人中有2个人生肖 即可估计6个人中有 相同的概率. 相同的概率
生日概率的准确计算
生日概率的准确计算在我们的日常生活中，生日是一个非常重要的日子。
无论是家庭聚会、朋友聚会还是公司庆祝，生日都是一个值得庆祝的特殊时刻。
然而，你有没有想过在一群人中，生日相同的概率有多大呢？本文将介绍如何准确计算生日概率，以及一些有趣的生日统计数据。
我们来看一下生日概率的计算方法。
假设有n个人，我们想知道至少有两人生日相同的概率。
为了简化计算，我们可以先计算没有两人生日相同的概率，然后用1减去这个概率就是我们所要求的。
假设第一个人的生日是任意一天，那么第二个人的生日就不能和第一个人相同，有365种选择。
同理，第三个人的生日不能和前两个人相同，有364种选择。
以此类推，第n个人的生日不能和前n-1个人相同，有(365-(n-1))种选择。
所以，没有两人生日相同的概率为：P(n) = (365/365) * (364/365) * (363/365) * ... * (365-(n-1))/365接下来，我们可以使用这个公式计算不同人数下的生日概率。
下面是一些有趣的数据：1. 当有23个人时，至少有两人生日相同的概率超过一半，为50.73%。
这个结果可能有些出人意料，因为23个人实际上并不多。
2. 当有70个人时，至少有两人生日相同的概率超过99%，为99.41%。
这个结果也很有趣，因为70个人看起来也不算很多。
3. 当有365个人时，即每天都有一个人生日，必定会有至少两人生日相同。
这是因为365个人中的每个人都只有365种选择，所以生日相同的概率为100%。
通过这些数据，我们可以看出生日概率与人数之间的关系。
随着人数的增加，生日相同的概率也会增加。
这是因为随着人数的增加，生日的选择范围减小，导致生日相同的可能性增加。
除了计算生日概率，我们还可以通过生日统计数据来了解更多有趣的信息。
例如，美国的生日分布显示，9月份是全年中最多人出生的月份，而2月份是最少人出生的月份。
这可能与9个月前的圣诞节和新年的庆祝活动有关。
总结同一天过生日的概率
总结同一天过生日的概率总结同一天过生日的概率总结同一天过生日的概率假设你在参加一个由50人组成的婚礼，有人或许会问：“我想知道这里两个人的生日一样的概率是多少?此处的一样指的是同一天生日，如5月5日，并非指出生时间完全相同。
”也许大部分人都认为这个概率非常小，他们可能会设法进行计算，猜想这个概率可能是七分之一。
然而正确答案是，大约有两名生日是同一天的客人参加这个婚礼。
如果这群人的`生日均匀地分布在日历的任何时候，两个人拥有相同生日的概率是97%。
换句话说就是，你必须参加30场这种规模的聚会，才能发现一场没有宾客出生日期相同的聚会。
人们对此感到吃惊的原因之一是，他们对两个特定的人拥有相同的出生时间和任意两个人拥有相同生日的概率问题感到困惑不解。
两个特定的人拥有相同出生时间的概率是三百六十五分之一。
回答这个问题的关键是该群体的大小。
随着人数增加，两个人拥有相同生日的概率会更高。
因此在10人一组的团队中，两个人拥有相同生日的概率大约是12%。
在50人的聚会中，这个概率大约是97%。
然而，只有人数升至366人(其中有一人可能在2月29日出生)时，你才能确定这个群体中一定有两个人的生日是同一天。
多少只袜子才能配成一对?关于多少只袜子能配成对的问题，答案并非两只。
而且这种情况并非只在我家发生。
为什么会这样呢?那是因为我敢担保在冬季黑蒙蒙的早上，如果我从装着黑色和蓝色袜子的抽屉里拿出两只，它们或许始终都无法配成一对。
虽然我不是太幸运，但是如果我从抽屉里拿出3只袜子，我敢说肯定会有一双颜色是一样的。
不管成对的那双袜子是黑色还是蓝色，最终都会有一双颜色一样的。
如此说来，只要借助一只额外的袜子，数学规则就能战胜墨菲法则。
通过上述情况可以得出，“多少只袜子能配成一对”的答案是3只。
当然只有当袜子是两种颜色时，这种情况才成立。
如果抽屉里有3种颜色的袜子，例如蓝色、黑色和白色袜子，你要想拿出一双颜色一样的，至少必须取出4只袜子。
生日悖论与生日攻击
生日悖论与生日攻击每个人都有生日，偶尔会遇到与自己同一天过生日的人，但在生活中，这种缘分似乎并不常有。
我们猜猜看，在50个人当中，出现这种缘分的概率有多大，是10%，20%，还是50%？有人告诉我，在文章开头插入公式十分倒胃，所以我就不写计算过程，直接给出结果（除了传统的排列组合方法外，Paul Halmos[1]还给出了一个巧妙的解法）。
在50个人中有相同生日的概率，高达97%，这个数字，恐怕高出了绝大多数人的意料。
我们没有算错，是我们的直觉错了，科学与生活，又开了个玩笑。
正因为计算结果与日常经验产生了如此明显的矛盾，该问题被称为―生日悖论(Birthday Paradox)‖[2]。
它体现的，是理性计算与感性认识的矛盾，并不引起逻辑矛盾，所以倒也算不上严格意义上的悖论。
它的原始表述是：在23个人当中出现相同生日的概率大于50%[2]。
为了让矛盾更突出，我把人数换成了50，如果事先不知道答案，猜测的结果一般远远小于97%。
也许有人质疑，我们在计算时，假定人们的生日均匀而随机地分布，但生活中却未必如此——别担心，不平均分布的情形也已解决[3]，而且更进一步的证明是，不平均分布时，概率只会更高[4]。
此外，Knuth在TAOCPv3中还计算了，平均在多少人中才能找到一对相同生日，答案是25人[5]，这看起来实在不可思议。
对于为何出现这种矛盾，我没有看到专门的研究。
我的想法是，首先，当只有1个人时，概率为0%，当人数大于365时，根据鸽巢原理，概率是100%。
于是，在1到365这个区间内，我们直觉地认为，对应的概率是线性地从0％增长到100%，哪怕不线性，也不会陡峭得太离谱，所以对于57人来说，该概率应该在57/365，即七分之一左右。
但事实上，这条曲线的增长劲头却是十分可怕：[6]绿色的曲线，就是在不同的人数时，对应的存在相同生日的概率，它就像坐了直升机一样迅猛窜升，在50人时就已相当接近100%，与我们幻想的线性曲线有天壤之别。
(最新)生日相同的概率(2)1
15 ________范围中产生5个随机数为一次实 验,若5个数中有两个与1,2,6,8,8相同，即 可获得四等奖。多次重复实验，获得四等 奖的概率。
课本192页问题解决2题;
老师要求化学小组的8名同学每人在化学元 素周期表中的前20号元素中随机选取一种元素 了解其化学性质，利用模拟实验的方法估计两 人或两人以上选择同一化学元素的概率. 用计算机摸拟试验,则要在_______到 1 20 ________范围中产生8个随机数为一次实 验,若5个数中有两个与1,2,6,8,8相同，即 可获得四等奖。多次重复实验，获得四等 奖的概率。
回顾与思考:
1.下列事件,是确实事件的是(
D )
A.投掷一枚图钉,针尖朝上、朝下的概率一样. B.从一幅扑克中任意抽出一张牌,花色是红桃. C.任意选择电视的某一频道,正在播放动画片.
D.在同一年出生的367名学生中,至少有两人的生日是同一天.
2.大千世界,无奇不有,美国的弗吉尼州拉尔夫和卡 罗琳夫妇的五个子女虽然不同,但生日都在同一天 2月20日,同一父母所生的五个子女生日全相同的 概率是___________ 3654 Nhomakorabea1
投针试验
针与平行线相交概率的理
论计算公式:
P 2l
a
, 它与 有关 .
即
2l pa
.
设计一个方案,估计50个人中有2个同学的生日 相同的概率.
模拟实验一：
模拟实验1：
每位同学各写一个四位数，前两位代表月份，后两 位代表日期，看50个数据中有没有2个生日相同的？ 整个算一次试验。 进行重复的实验次，求出其实验的结果。
6.(1)我们常会收到朋友寄来的贺年片,其中有一种 “邮政贺年明信片”,每张明信片附有一个六位数 号码(000000~999999),2003年2月22日公布的获 奖号码尾数为:一等奖035718,二等奖:19492,三等 奖:2401,8672,3397,6241,9021,四等奖:289,739.五 等奖3.请用实验的方法估计中五等奖的概率.若用 9 0 计算器模拟试验,要在______到____范围中产生随 3 机数,若产生随机数是_____,表示贺年片中五等奖, 否则就没中. (2)掷两枚骰子,随机事件“两次和为偶数”，“两 次积为奇数”也可以用计算器进行模拟,用计算器 6 2 1 进行模拟则要在____到______范围中产生_____ 次随机数.
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（3）、50个人呢？（能列出算式即可）
球盒模型二：不放回抽样
一个盒子中有365个分别标有数字1,2,3，…，364,365的小球，球的形状，大小，质地都相同，要求摸球后不放回盒中。
（1）、两个人各自摸一次球，共有多少种结果？
（2）、三个人呢?四个人呢？
（3）、50个人呢？（能列出算式即可）
（2）、三个人呢?四个人呢？
（3）、50个人呢？（能列出算式即可）
二、知识笔记
球盒模型的分类及各自的特点
三、应用巩固
例3，设一年中有365天，随机选取50人的生日
（1）、这50人生日不相同的概率是多少?
(2)、这50人生日不相同的概率是多少?
（以上两题能列出算式即可）
请同学们用类比的方法
初步体会模型在解决问题中的作用
黑城子初中九年级数学上册学案
课题
数学模型与概率
课型
新授
学习目标
知识与技能:
通过概率模型知道放回抽样和不放回抽样这两种抽样及各自特点
过程与方法：
经历在建立数学模型的过程中，探索得出并理解概率的计算过程。
情感态度与价值观：
在学习中学生初步体会建模的思想，培养学生初步的建模意识和应用意识。
重难点
重点：
在建立数学模型的过程中，探索得出并理解概率的计算过程
（1）、两个人各自摸一次球，共有多少种结果？
（2）、三个人呢?四个人呢？
（3）、50个人呢？（能列出算式即可）
尝试用用树状图来表示吗？
尝试用树状图来理解，会用自己的语言说理。
进行找规律式的猜想
学
教
内
容
内容
学法指导
例1设一年中有365天，每天分别用数字1,2,3，…，364,365来记作。
（1）、两个人的生日共有多少种结果？
难点：
学生初步的建模意识和应用意识。
学教内容
内容
学法指导
温故知新
一个盒子中有6个分别标有数字1,2,3，4,5,6的6个小球，形状大小质地都相同，小明和小颖各摸一次球。
1、两人摸球后放回，那么共有多少种结果?
2、两人摸球后不放回，则共有少种结果?
学习一个盒子中有365个分别标有数字1,2,3，…，364,365的小球，球的形状，大小，质地都相同，要求摸球后放回。
生日不相同的概率与生日相同的概率有什么关系？
学
教
内
容
内容
学法指导
练习
大家知道有12生肖，
1、求6个人生肖不相同的概率。
2、求6个人生肖相同的概率。
（以上两题能列出算式即可）
你能否建立相应的模型
模型1
模型2
1、盒中设计多少个球？
2、分两种抽样
总结
反思
思考：放回抽样和不放回抽样各有什么特点？
请同学们用类比的方法
初步体会模型在解决问题中的作用
1.尝试用树状图来理解，会用自己的语言说理。
2.进行找规律式的猜想。
3.议一议：这50个人的摸的球有相同的吗？
学
教
内
容
内容
学法指导
例2设一年中有365天，每天分别用数字1,2,3，…，364,365来记作。
（1）、两个人的生日不相同共有多少种结果？