质点运动微分方程中加速度的方向如何确定
用Lagrange方程求自由质点在球坐标系中运动微分方程
用Lagrange方程求自由质点在球坐标系中运动微分方程1. 引言1.1 研究背景当我们研究物体的运动时，通常会采用拉格朗日方程这一数学工具。
拉格朗日方程是描述多自由度动力学系统的重要工具，它可以方便地推导出物体的运动方程，帮助我们更好地理解物体在运动过程中的行为。
在多种坐标系中，我们可以用拉格朗日方程来描述物体的运动，包括直角坐标系、柱坐标系和球坐标系。
在球坐标系中，物体的运动可以更自然地描述出来，特别是对于涉及到球对称性的运动问题。
通过拉格朗日方程，我们可以推导出物体在球坐标系中的运动微分方程，从而更深入地研究物体的运动规律。
这对于研究天体运动、分子运动等问题都具有重要的意义。
通过对自由质点在球坐标系中的运动微分方程进行研究，可以帮助我们更好地理解物体的运动规律，为解决实际问题提供有力的数学工具。
在本文中，我们将介绍拉格朗日方程的基本概念和推导过程，以及自由质点在球坐标系中的运动微分方程，同时给出一些实际应用的举例，希望能为读者带来一定的启发和帮助。
1.2 研究意义研究自由质点在球坐标系中运动微分方程的意义在于可以帮助我们更好地理解物体在空间中的运动规律。
通过求解这些微分方程，我们可以得到质点在球坐标系中的位置、速度和加速度随时间的变化关系，从而揭示质点在球坐标系内的轨迹和轨迹方程，以及质点受到的力和力矩等信息。
这对于研究空间运动系统的动力学特性、分析系统的稳定性和控制系统的设计等方面都具有重要的意义。
研究自由质点在球坐标系中运动微分方程还可以为实际工程和科学问题的求解提供重要的参考。
在机械工程、航空航天、物理学等领域，往往需要对运动系统进行建模和仿真，以便对系统进行分析和优化。
而球坐标系是描述空间中天体运动和球形机构运动的常用坐标系，因此掌握球坐标系中质点的运动微分方程对于这些领域的研究具有重要的指导意义。
深入研究自由质点在球坐标系中运动微分方程的意义在于提高我们对物体运动规律的理解，为实际问题的数值模拟和分析提供参考，以及指导工程设计和科学研究的开展。
理论力学 第11章 质点运动微分方程
2 d 2ρ dϕ m 2 −ρ = Fρ dt dt 2 d ρ dϕ d ϕ m 2 + ρ 2 = Fϕ dt dt dt
（11.6）
这就是极坐标形式的质点运动微分方程。
11.3 质点动力学的两类基本问题
应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两 类基本问题。 第一类基本问题 已知质点的运动规律，即已知质点 的运动方程或质点在任意瞬时的速度或加速度，求作用 在质点上的未知力。这一类问题可归结为数学中的微分 问题。 求解该问题比较简单。若已知质点的运动方程，则 只须将它对时间求两次导数即可得到质点的加速度，代 入适当形式的质点运动微分方程，得到一个代数方程组， 求解这个方程组即可得到所求的未知力。
11.1 动力学基本定律
质点动力学的基本定律是牛顿在总结前人特别是伽 利略的研究成果的基础上，1687年在其著作《自然哲学 的数学原理》中提出来的，通常称为牛顿三定律 牛顿三定律。这些 牛顿三定律 定律是动力学的基础。
11.1 动力学基本定律
第一定律 任何质点都保持其静止的或作匀速直线运 动的状态， 动的状态，直到它受到其他物体的作用而被迫改变这 种状态为止。 种状态为止 质点保持静止或匀速直线运动状态的属性称为惯性 惯性， 惯性 质点作匀速直线运动称为惯性运动，因此第一定律又称 惯性运动， 惯性运动 惯性定律。此定律表明：质点必须受到其他物体的作用 惯性定律 时，也就是受到外力的作用时，才会改变其运动状态， 即外力是改变质点运动状态的原因 外力是改变质点运动状态的原因。 外力是改变质点运动状态的原因
《理论力学 动力学》 第十六讲 变质量质点的运动微分方程
变质量动力学曾凡林哈尔滨工业大学理论力学教研组本讲主要内容1、变质量质点的运动微分方程2、变质量动力学在火箭发射中的应用3、变质量质点的动力学普遍定理1、变质量质点的运动微分方程(1) 变质量质点的运动微分方程m 在时刻t ，质点的质量为m ，速度为vv 1在时刻t+d t ，并入速度为v 1的微小质量d mm +d m v 并入后，系统质量变为m +d m ，速度变为v +质点系在t 瞬时的动量：11d m m =+×p v v t +d t 质点系在t+d t 瞬时的动量：2(d )(d )m m =++p v v 根据动量定理有：(e)21d d t=-=p p p F (e)1d d d d d d m m m m t+×+×-×=v v v v F 略去高阶微量d m ·d v ，并在等式两边同时除以d t , 得：(e)1d d ()d d m m t t --=v v v F 式中v 1-v=v r 为微小质量在并入前相对于质点m 的相对速度, 令d d r m t f =F v 则有：(e)d d m tf =+v F F —变质量质点的运动微分方程方程形式与常质量质点运动微分方程相似，仅在右端多了一项F ϕ，它具有力的量纲，常称为反推力。
当d m /d t >0 时，F ϕ与v r 同向；当d m /d t <0 时，F ϕ与v r 反向。
1、变质量质点的运动微分方程(2) 常用的几种质量变化规律i 质量按线性规律变化1)1(0<-=t t m m b b ，由知，其反推力为：b 0d d m t m-=r 0rd d mm t f b ==-F v v 当v r 为常量时，反推力也为常量，且与v r 方向相反。
ii 质量按指数规律变化tm m b -=e 0由知，其反推力为：0d d t m m e t b b -=-r 0rd d tmm e t b f b -==-F v v 令a ϕ表示仅在反推力F ϕ作用下变质量质点的加速度，则：0rrtt m e m m e b f f b b b ---===-F v a v 当v r 为常量时，a ϕ也为常量，即由反推力引起的加速度为常量。
《工程力学 》课件第14章
14.2.3 点的加速度
同直角坐标法求速度的方法一样， 动点的加速度在直角 坐标轴上的投影为
ax
lim vx Δt0 t
dv x dt
d2x dt 2
ay
lim v y Δt0 t
dv y dt
d2 y dt 2
（14-19）
即动点的加速度在直角坐标轴上的投影等于其相应的速度
投影对时间的一阶导数，也等于其相应的坐标对时间的二阶导
当点M沿已知轨迹运动时， 弧坐标s是时间t的单值连续函
数， 即
s f (t)
（14-1）
上式称为动点沿已知轨迹的运动方程。当函数已知时，任一瞬 时点在轨迹上的位置即可确定。
图14-1
例14-1 点M沿已知曲线轨迹运动，如图14-2所示。其运 动方程为s=t2-2t-1(s的单位为cm，t的单位为s)。试求当t=0、1、 2、3s时，点的弧坐标s以及0～3s内动点所走过的路程。
如图14-4所示，动点M沿已知轨迹运动。以动点M为坐标 原点， 以轨迹上M点的切线和法线为坐标轴，并规定切线坐标 轴（切向轴）τ以指向弧坐标正的方向为正向，法线坐标轴 （法向轴）n以指向轨迹曲率中心为正向。 此正交坐标系称为 自然坐标系，简称自然轴系。可见, 自然轴系随动点M沿已知 轨迹运动。
图14-4图
a an 4R 2
其方向沿MO且指向O，可知套环M沿固定圆环作匀速圆周运动。
14.2 直角坐标法求点的速度和加速度
14.2.1 点的运动方程
设一动点M相对于直角坐标系Oxy作平面曲线运动，如图 14-8所示，某瞬时它的位置可用直角坐标系的两个坐标x、y确 定。点运动时，两个坐标x、y都是时间t的单值连续函数，即
数。 有了加速度的两个投影，即可求得加速度a的大小和方向
质点的位移、速度和加速度
t
2. 瞬时速度
(1) 匀速直线运动
瞬时速度
v =
_
v
Δr
t
瞬时速度 = 平均速度
(2)变速曲线运动
瞬时速度
v
lim
r
dr
t0 t dt
说明
(1) 速度是位矢的一阶导数
r
v2
Δ r2 t2
r2
B
A
C
r1 v1
Δ r1 t1
vA
接近匀速直线运动
(2) 速度 与 r ( t 0时 ) 方向相同 ，沿轨迹切线方向
1.2 质点的位移、速度和加速度
一、 位移 (t t) r (t)
位移
位矢
r
在t
时间内的增量
说明
s
r(t)
r
P
O• r (t t)
(1) r是矢量， s 是标量，且大小一般不等
Δr
(2) 分清
r
r s
与Δr ( r)的区别
二、 速度
1. 平均速度
v
r
v
P•r
趋向切线方向
Q
L
(3) 根据运动方程
r
r (t)
，可确定任意时刻的速度
v
三、 加速度
1. 速度增量
v v(t t) v(t)
2 . 平均加速度
a
v
t
3. 瞬时加速度
a
v lim t0 t
dv dt
d
2
r
dt 2
讨论
v (t )
A •
v(t t)
•
B
r(t)
r(t t)
O•
v
(1) 加速度是速度的一阶导数，是位矢的二阶导数
质点运动学问题的解
§3 质点运动学问题的解上两次课我们就如何描述质点的运动情况，定义了a v r,,和给出了轨道的表达式，以及a v r ,,这些矢量在各种坐标系中的分量表达式。
如果我们已知其中的某个量，那么根据上述这些量的关系，就可求出其余各个量。
这也就是对质点运动学问题的解。
虽然，质点运动学问题各种各样的很多。
但是，对于常见质点运动学问题加以分类的话，它可分为三种类型。
一、三种类型1、第一种类型：是已知运动方程)(t r r =，求速度v 和加速度a 。
这类问题比较简单。
基本上就是按照速度和加速度在各种坐标系中的分量式直接计算。
它的主要运算过程就是微分、导数。
所以比较简单，对大家来说不会有什么问题。
2、第二种类型：是已知)(t a a =或)(v a a =或)(r a a =求)(,t r r v =。
显然这一类问题是第一类问题的逆过程，它的基本计算方法是积分，有时也要解一些简单的微分方程。
对于已知)(t a a =这种情况，只要用积分公式可直接积分。
对于后两种情况，要通过适当的积分变换后才能积分。
例如在一维的情况下：（1）如果已知：)(v f a =则有：)(v f dtdv =在一维的情况下，不需要用矢量表示，它的方向完全可由正负来表示。
将上式变换为：dt v f dv =)(这种形式之后，方可两边同时进行积分：⎰⎰⎰⎰=→=t t v v dt v f dv dt v f dv 00)()(得到速度)()(t x t v →（2）如已知：)(x f a =，则)(v f dt dv =显然不能直接积分，需作一下数学变换，将⎰⎰→=→=→==dx x f vdv x f dxdv v dx dv v dt dx dx dv dt dv )()(由这个式子可以解出)(x v ϕ=，再变换一下就可以求出：)(t x x =。
对于这类简单的数学变换大家必须要熟悉，解决物理问题的过程是离不开数学运算技巧的。
第十章 质点及刚体的运动微分方程
§10－3 刚体绕定轴转动的微分方程及转动惯量
解 分别取圆轮和物块A为研究对象 设滑块A有向下加速度a，圆轮有角加速度ε。由运动学知 a=rε 即a =0.4ε 取物块A为研究对象，受力图如图所示，物块有向下的加速 度a做平移运动。列出动力学基本方程
再取圆轮为研究对象,受力图如 图所示, 列出动力学基本方程
F=ma
质点动力学 基本方程
F表示作用于质点上力系的合力，加速 度a的方向与质点合力F的方向相同。
第十章 质点及刚体的运动微分方程
§10－1 动力学基本定律
质点动力学基本方程具有下列几个方面的含义：
(1)作用在质点上的力与质点的加速度是 瞬时关系。两者同瞬时产生，同瞬时 消失；力变化时，加速度随着变化； 若合力为零，质点作惯性运动。
第十章 质点及刚体的运动微分方程
§10－3 刚体绕定轴转动的微分方程及转动惯量
转动惯量 I. 转动惯量的概念
mi代表各质点的质量，ri为各质点 到转动轴线的距离
飞轮
刚体的质量愈大，或质量分布离转轴愈 远，则转动惯量就愈大；反之，则愈小。
第3 刚体绕定轴转动的微分方程及转动惯量
式中,Fx表示作用于质点上的合力沿x轴方向的投影，Fy 表示合力沿y轴方向的投影, ax为加速度在x轴方向的投 影, ay为加速度在y轴方向的投影。 第十章 质点及刚体的运动微分方程
§10－2 质点运动微分方程及其应用
求解质点动力学的两类问题
1.质点动力学的第一类问题---已知运动 求作用力
已知质点的运动(运动方程、速度方程和 加速度),将运动方程或速度方程对时间求 导得到加速度,将加速度代入基本方程,可 求解出质点上的作用力。求解较容易。
理论力学课后答案-谢传峰、王琪-动力学部分
( x 2 R 2 ) 2 xx 3 2 2 R 2 xx 2x x
后，可求得： 将上式消去 2 x
x
2 R4 x
( x 2 R 2 )2
(d)
由上式可知滑块 A 的加速度方向向左，其大小为 取套筒 A 为研究对象，受力如图所示， 根据质点矢量形式的运动微分方程有：
0
a
av cos 2 45 0 av l 2l
v r1
1－15 解：动点：销子 M 动系 1：圆盘 动系 2：OA 杆 动系：机座； 运动分析： 绝对运动：曲线运动 相对运动：直线运动 牵连运动：定轴转动 根据速度合成定理有
ve1
ve2
v r2
x
va1 ve1 v r1 ，
va2 ve2 v r2
y’
va
vr
ve
O
x’
va ve vr
将上式沿绝对速度方向投影可得：
v a v e v r
y’ 因此
vr ve va
v 其中： v a v B , v e R B , A ， RA
由此可得： v r
arn
RB 380 v A vB m/s RA 9
O1 A 2R
根据加速度合成定理有
a a a et a en a r aC
将（b）式在垂直于 O1A 杆的轴上投影得
（b）
aet aen
ar
aa
aC
a a sin 30 0 a et cos 30 0 a en sin 30 0 aC
其中： a a R ， a 2 R
ve
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待解决
质点运动微分方程中加速度的方向如何确定
回答:这里选择三维笛卡尔坐标系来讲解
质点运动微分方程公式： M dV F Ma dT →→→==，其中M ：质量，a →
：加速度，V T d d →：速度的一紒导数。
要判断加速度的方向即是求V T
d d →的方向。
一般物理中的动力学问题是： 1，知道动力学方程求物体的轨迹。
2，知道物体轨迹求动力学方程。
第一种情况加速度方向
已知，对第二种情况。
设运动轨迹方程：R X i Y j Z k →→→→=++，对其求导得：(/)(/)(/)V i dx dt j dy dt k dz dt →→→→
=++--（1），在对（1）式求导得
V T d d →=(/)/(/)/(/)/i d dx dt dt j d dy dt dt k d dz dt dt →
→→++，可知加速度的方向就可求的，加速度与x 轴夹角V V =arccos[*(/)/]/[(/)/]T T d d i d dx dt dt i d dx dt dt d d α→→
→→
加速度与y 轴夹角 V V =arccos[*(/)/]/[(/)/]T T d d j d dy dt dt j d dy dt dt d d β→→→→
加速度与z 轴夹角 V V =arccos[*(/)/]/[(/)/]T T d d k d dz dt dt k d dz dt dt d d θ→→
→→
注：在一或二维的笛卡尔坐标系的陈述略；在非笛卡尔坐标系中如曲线坐标系中他是可以把坐标转化成笛卡尔坐标故略。
如果排除解析几何这一数学工具，单纯用纯几何的方法求解，一般要用到三角形，立体几何，与向量性质，与作为参考系的不在同一平面的三条直线；一般的求解也是在寻找与已知的直线方位的关系。
但过程就十分复杂了，方法途径就显得多样没有规律。
故我们一般选择参考系的时候选择笛卡尔坐标系，这样解析几何的优势就被体现出来了。
物力加速度问题，答的好给50分！
悬赏分：20 - 离问题结束还有 16 天 20 小时
问题补充：
一个球以初速度20m/s 向上抛出，如果当球向上抛得过程中我们不忽略空气阻力，球得加速度是大于，等于还是小于由于重力造成得加速度？ 请说你的理由
不是理想情况，是不忽略空气阻力！！看清楚
回答：
在回答之前列出题中关键概念，（参见《大学物理手册》）
重力：地球对对其表面附近尺寸不大的物体的万有引力叫做重力。
万有引力：设有两质点，其质量m1，m2，相距r ；他们之间有万有引力F ，用公式表示212F=G (m *)/m r →→，F 的方向向着两质点连线。
参考系，质点概念略。
一般我们选地球为参考系，把地球看成标准的球体以球心为基点建立参考系，牛顿早已证明在标准球体的表面，质点对他的吸引力等同于把球体看成球心中一质点，质点质量等于球体质量，这里证明略。
而又地球在自转，故表面的物体也就有一个离心力大小f=mv*v/r*r ，方向，物体在地球表面纬线平面的法线方向；从这些可知道地球对一般物体的重力用仪器测得的大小是万有引力与离心力合力。
但是由重力定义可知道，理论上重力只与万有引力有关；而问题中物体是以速度大小为20m/s 向上抛出，由万有引力公式可知道重力在减少，重力加速度大小也就在减小。
而这时候物体的力是万有引力与离心力合力，易知合力的大小永远不可能大于二力的代数和与小于二力之差；而处于这两种极端情况是南北两极与赤道，更一般
的情况合力大小其中a 是向量f1与f2在同一起点二者
的最小夹角，a 00(90,180)∈；由公式可知道在上抛的过程中加速度是大于重力加速度的，
注意这里的重力加速度是上抛各位置点的重力加速度，而这时的重力加速度相对地面的重力加速度是减小的；而如果这时候与地面的重力加速度相比较这略。