人教版高中数学必修二 第2章 2.3 2.3.1 直线与平面垂直的判定

2.3直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1直线与平面垂直的判定
学习目标核心素养
1.了解直线与平面垂直的定义．(重点)
2.理解直线与平面垂直的判定定理，并会用
其判断直线与平面垂直．(难点)
3.理解直线与平面所成角的概念，并能解决
简单的线面角问题．(易错点)
1.通过学习直线与平面垂直的
判定，提升直观想象、逻辑推理
的数学素养.
2.通过学习直线与平面所成的
角，提升直观想象、数学运算的
数学素养.
1．直线与平面垂直
定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与
平面α互相垂直
记法l⊥α
有关
概念
直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．它们唯一的
公共点P叫做垂足
图示
画法
画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形
的一边垂直
文字
语言
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面
垂直
符号
语言
l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α
图形
语言
3.直线和平面所成的角
有关概念对应图形斜线与平面α相交，但不和平面α垂直，图中直线P A
斜足斜线和平面的交点，图中点A
射影
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和
斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影，图中斜
线P A在平面α上的射影为AO
直线与
平面所
成的角
定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角.
规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线和平
面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角
取值范
围
[0°，90°]
有直线”“无数条直线”？
[提示]定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是等效的，但是不可说成“无数条直线”，因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直，该直线与这个平面不一定垂直．
1．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于()
A．平面OAB B．平面OAC
C．平面OBC D．平面ABC
C[由线面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC.]
2．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是()
A．平行B．垂直
C．相交不垂直D．不确定
B[一条直线和三角形的两边同时垂直，则其垂直于三角形所在平面，从而
垂直第三边．]
3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于________．
45°[如图所示，因为正方体ABCD-A1B1C1D1中，
B1B⊥平面ABCD，所以AB即为AB1在平面ABCD中的射影，∠B1AB即为直线AB1与平面ABCD所成的角．由题意知，∠B1AB＝45°，故所求角为45°.]
直线与平面垂直的判定
【例1】如图，在三棱锥S-ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC.
(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
[证明](1)因为SA＝SC，D是AC的中点，
所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，
由已知SA＝SB，
所以△ADS≌△BDS，
所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC，BD⊂平面ABC，
所以SD⊥平面ABC.
(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，
所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD.
又因为SD∩AC＝D，SD，AC⊂平面SAC，所以BD⊥平面SAC.
证线面垂直的方法：
(1)线线垂直证明线面垂直：
①定义法(不常用，但由线面垂直可得出线线垂直)；②判定定理最常用：要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线)；结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直，也与另一条垂直等结论来论证线线垂直．
(2)平行转化法(利用推论)：
①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；
②α∥β，a⊥α⇒a⊥β.
如图，AB是圆O的直径，P A垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为N.
求证：AN⊥平面PBM.
[证明]设圆O所在的平面为α，
∵P A⊥α，且BM⊂α，
∴P A⊥BM.
又∵AB为⊙O的直径，点M为圆周上一点，
∴AM⊥BM. 由于直线P A∩AM＝A，
∴BM⊥平面P AM，而AN⊂平面P AM，
∴BM⊥AN.
∴AN与PM、BM两条相交直线互相垂直．
故A N⊥平面PBM.
直线与平面所成的角
[探究问题]
1．若图中的∠POA是斜线PO与平面α所成的角，则需具备哪些条件？
[提示]需要P A⊥α，A为垂足，OA为斜线PO的射影，这样∠POA就是斜线PO与平面α所成的角．
2．空间几何体中，确定线面角的关键是什么？
[提示]在空间几何体中确定线面角时，过斜线上一点向平面作垂线，确定垂足位置是关键，垂足确定，则射影确定，线面角确定．
【例2】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值；
(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角．
[证明](1)∵直线A1A⊥平面ABCD，
∴∠A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角，
设A1A＝1，则AC＝2，∴tan∠A1CA＝
2 2.
(2)连接A1C1交B1D1于O(见题图)，
在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，
∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1，
又BB1∩B1D1＝B1，
∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足为O.
∴∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角，
在Rt △A 1BO 中，A 1O ＝12A 1C 1＝1
2A 1B ， ∴∠A 1BO
＝30°，
即A 1B 与平面BDD 1B 1所成的角为30°.
在本例正方体中，若E 为棱AB 的中点，求直线B 1E 与平面BB 1D 1D
所成角的正切值．
[解] 连接AC 交BD 于点O ，过E 作EO 1∥AC 交BD 于点O 1，易证AC ⊥平面BB 1D 1D ，
∴EO 1⊥平面BB 1D 1D ，
∴B 1O 1是B 1E 在平面BB 1D 1D 内的射影， ∴∠EB 1O 1为B 1E 与平面BB 1D 1D 所成的角． 设正方体的棱长为a ， ∵E 是AB 的中点，EO 1∥AC ， ∴O 1是BO 的中点，
∴EO 1＝12AO ＝12×2a 2＝2a
4， B 1O 1＝
BO 21＋BB 2
1＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 42
＋a 2＝3a 22
， ∴tan ∠EB 1O 1＝EO 1B 1O 1
＝2a 43a 22
＝1
3.
求斜线与平面所成角的步骤：
(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．
(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．
(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．
1．线线垂直和线面垂直的相互转化：
2．证明线面垂直的方法：
(1)线面垂直的定义．
(2)线面垂直的判定定理．
(3)如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．
(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．
1．直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能()
A．平行B．相交C．异面D．垂直
A[若l∥m，l⊄α，m⊂α，则l∥α，这与已知l⊥α矛盾．所以直线l与m 不可能平行．]
2．垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是()
A．垂直B．相交但不垂直
C．平行D．不确定
A[因为梯形两腰所在直线为两条相交直线，所以由线面垂直的判定定理知，直线与平面垂直．选A.]
3．如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是()
A．60°B．45°C．30°D．120°
A[∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，
所以cos∠ABO＝1
2，即∠ABO＝60°. 故选A.]
4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1D. [证明]如图，连接AC，
∴AC⊥BD，
又∵BD⊥A1A，AC∩AA1＝A，
AC，A1A⊂平面A1AC，
∴BD⊥平面A1AC，
∵A1C⊂平面A1AC，
∴BD⊥A1C.
同理可证BC1⊥A1C.
又∵BD∩BC1＝B，BD，BC1⊂平面BC1D，
∴A1C⊥平面BC1D.。