高一数学函数模型的应用实例3

(1)问题中给出函数解析式，且解析式中带有需要确定的参数，这
些参数需要根据问题的内容或性质来确定，然后再通过运用函数使
问题本身获解；(2)在建立函数模型时，对同一实际问题可选取不 同的模型，通过比较，选出比较接近实际的模型．
3.某地西红柿从2月1日起开始上市．通过市场调查，得到西红
柿种植成本Q(单位为：元/102 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如
【解析】 (1)由表中数据知，当时间 t 变化 时，种植成本并不是单调的，故只能选取 Q＝at2 ＋bt＋c. 150＝a×50 ＋b×50＋c 2 即108＝a×110 ＋b×110＋c， 150＝a×2502＋b×250＋c 1 2 3 425 解得 Q＝ t － t＋ . 200 2 2 1 (2)Q＝ (t－150)2＋100， 200 ∴当 t＝150 天时，西红柿种植成本最低为 100 元/102kg.
由于“递增率”问题多抽象为指数函数形式，而由指数函 数形式来确定相关的量的值多需要使用计算器计算，如果问题
要求不严格，就可以通过图象近似求解．用函数的图象求解未
知量的值或确定变量的取值范围，是数学常用的方法之一．这 种将“数”与“形”结合解决问题的思想方法即“数形结合方
法”，能使抽象的问题直观化，对人的数学思维发展有深刻的
【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息：
①此工厂前三个月的产量已知； ②题中给出了两个函数模型，选择其中一个．
解答本题先由条件确定函数解析式中的待定系数的值，再研究x＝4
时，哪个函数值更接近1.37.
【解析】 (1)设二次函数 y1＝f(x)＝px2＋qx＋r(p≠0)； f(1)＝p＋q＋r＝1， f(2)＝4p＋2q＋r＝1.2， f(3)＝9p＋3q＋r＝1.3.
＝－0.15(x－10.2)2＋45.606.
根据二次函数图象和x∈N*， ∴当x＝10时，获得最大利润
L＝－0.15×102＋3.06×10＋30＝45.6万元．
【答案】 B
课时作业 点击进入链接
九州娱乐网 www.jiuzhouyule.me 九州娱乐网
uyd31vau
个价格可合适？”乔氏说：“不会错的，他们在这一带的口碑很好，已经做了好多年了。”耿老爹说：“我看那头儿是 一个很实在的人，不但吩咐刚走的那俩伢子要把大木桶装满当装结实，还借给了咱们这把据他说很好用的泥叶子，还有 这泥托子、翻动搅拌石灰泥用的小铲子和木棍儿；喏，还送了这包上好的榆皮毛拉絮，我正在考虑上哪里去买呢！”耿 英说：“我看也是，这个人很不错！”耿正则高兴地说：“正好我也有泥叶子和泥托子使用了！”小青说：“姆妈你是 没有看见，我耿伯伯可会和人谈生意啦。依我看啊，这样的谈法，即使他们多给了咱们石灰膏，并且又借工具又送榆皮 毛拉絮的，心里也是非常高兴的。看得出来，我耿伯伯可真正是一个做生意的好手啊！”耿直挺了挺脖子骄傲地说： “嗬，这算什么啊。小青姐姐你是没有看见我爹在汉口镇上是怎样开我们的“耿记粮油零售店”的，那才叫带劲儿哪！” 耿老爹笑着说：“小直子，你就夸你爹吧！我有多大的本事，难道自己还不知道嘛。学着干呗。依我说这人哪，只要想 做一件事情，不管是大事情还是小事情，都必须得想办法做到最好才行。这实际上啊，我们做事的过程，也就是学习的 过程；而其中最重要的是，一定要学会总结经验，知道汲取教训，并且还要将心比心，理解人心。我们大家一辈子都在 学习呢。”乔氏听了耿老爹这一番话，心里说：要不这耿家仨兄妹一个比一个有出息呢，感情这耿大哥教子有方耶！如 果这正伢子真能成为我家女婿的话，那我可得把菩萨请到家，早晚三柱香了呢！这样想着，乔氏高兴地回屋准备午饭去 了。耿老爹对小青和耿正兄妹三人说：“我们必须给这些大桶里的石灰膏少量地淋洒一些清水，然后用湿布盖起来，不 能让表面上的石灰膏风干了！”耿英赶快端来一盆清水，耿正和耿直用手攫着淋在石灰膏的表面上。小青拿来一些布片， 泡在水盆里弄湿了，和耿英一起，把八大桶石灰膏蒙得严严实实的。耿老爹把那包榆皮毛拉絮等分成八份，将其中的一 份泡在水盆里，剩下的七份用七块儿布片包起来。然后对小青和耿英说：“没有你俩的事情了，帮着做饭去吧。我们三 个再收拾一下屋子，摆好高架凳子，咱们下午就开始亮家！”111第三十一回 船老大看好耿老爹|（船老大看好耿老爹， 有意充当月下老；乔氏不忘亡夫情，耿大哥可敬永为兄。）白百大的“百日”祭就要到了，乔氏母女俩早早就准备好了 各种祭品。那日早饭后，大家都待在家里，静等船老大派马车来接。不一会儿，一阵轻轻的叩门声，耿正赶快去打开院 门。出乎意料的是，敲门的竟然是船老大。耿正奇怪地问：“老大伯，您怎么亲自来啦？”船老大说：“我想过来看看 啊！你爹也在吗？”耿正赶快往里让，说：“在，都在
数为R(x)＝3 000x－20x2(单位：元)，其成本函数C(x)＝500x＋4 000(单
位：元)，利润为收入与成本之差． (1)求利润函数P(x)及其边际利润函数MP(x)； (2)利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否具有相等的最大值？
【解析】 由题意知，x∈[1,100]，且x∈N＋. (1)P(x)＝R(x)－C(x)＝(3 000x－20x2)－(500x＋4 000) ＝－20x2＋2 500x－4 000，x∈[1,100]，x∈N＋， MP(x)＝P(x＋1)－P(x)＝－20(x＋1)2＋2 500(x＋1)－4 000－ (－20x2＋2 500x－4 000)＝2 480－40x，x∈[1,100]，x∈N＋.
400x－1x2 (0≤x≤400) 2 R(x)＝ .其中 x 80 000 (x>400)
是仪器的月产量．
(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？( 总收益＝总成本＋利润)
【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息：①总成本＝固定 成本＋100x；②收益函数为一分段函数． 解答本题可由已知总收益＝总成本＋利润， 知利润＝总收益－总成本．由于R(x)为分段函数，所以f(x)也 要分段求出，将问题转化为分段函数求最值问题． 【解析】 (1)设每月产量为x台，则总成本为20 000＋100x， 从而f(x)＝
(4)将数学问题的解代入实际问题进行核查，舍去不合题意的解， 并作答．这些步骤用框图表示如下：

2．数据拟合过程中的假设
就一般的数学建模来说，是离不开假设的，如果在问题的原始状 态下不作任何假设，将所有的变化因素全部考虑进去，对于稍复杂一
点的问题就无法下手了，假设的作用主要表现在以下几个方面：
(1)进一步明确模型中需要考虑的因素和它们在问题中的作用，通 常，初步接触一个问题，会觉得围绕它的因素非常多，经仔细分析筛
在函数应用题中，正确理解题意，养成良好的阅读习惯是成
功的一半．而二次函数模型常涉及顶点坐标、函数的单调性、区 间最值等问题，二次函数的配方是比较有效的解题手段．
1.在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)＝f(x＋1)－ f(x)，某公司每月最多生产100件产品，生产x(x∈N＋)件产品的收入函
影响．
2.某商店如果将进货为8元的商品按每件10元售出，每天可销售 200件，现在采用提高售价，减少进货量的方法增加利润，已知这 种商品每涨价0.5元，其销售量就减少10件，问应该将售价定为多少 时，才能使所赚利润最大，并求出最大利润． 【解析】 设每件售价提高x元， 则每件得利润(10－8＋x)元，即(2＋x)元． 每天销售量变为(200－x/0.5×10)件， 即(200－20x)件， 所获利润y＝(2＋x)·(200－20x) ＝－20(x－4)2＋720(0≤x<10)． 故当x＝4，即售价定为14元时，每天可获得最大利润720元．

51 ∴当 x＝ 5 时，获得最大利润 45.606 万元．
【错因】 上面解答中x＝51/5不为整数，在实际问题中是不可
能的，因此x应根据抛物线取与x＝51/5接近的整数才符合题意． 【正解】 设甲地销售x辆，则乙地销售(15－x)辆，
则总利润
L＝L1＋L2＝5.06x－0.15x2＋2(15－x) ＝－0.15x2＋3.06x＋30
某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3 万件．为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用
一个函数模拟该产品的月产量y与月份数x的关系．模拟函数可以选用二
次函数或函数y＝a·bx＋c(其中a，b，c为常数)，已知4月份该产品的产 量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由．
【解析】 (1)现有木材蓄积量200万立方米， 经过1年后木材蓄积量为200＋200×5%＝200(1＋5%)；
经过2年后木材蓄积量为200(1＋5%)＋200(1＋5%)×5%
＝200(1＋5%)2. „
经过x年后木材蓄积量为200(1＋5%)x.
∴y＝f(x)＝200(1＋5%)x. ∵x虽以年为单位，但木材每时每刻均在生长，
则
p＝－0.05， ⇒q＝0.35， r＝0.7. ∴y1＝f(x)＝－0.05x2＋0.35x＋0.7， f(4)＝－0.05×16＋0.35×4＋0.7＝1.3.
(2)设函数 y2＝g(x)＝abx＋c， ab＋c＝1 a＝－0.8 2 则ab ＋c＝1.2 ⇒b＝0.5 . ab3＋c＝1.3 c＝1.4 ∴y2＝－0.8×0.5x＋1.4， g(4)＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35. 经比较可知，用 y＝－0.8×0.5x＋1.4 作为模拟函 数较好.
∴x≥0，且x∈R.
∴函数的定义域为[0，＋∞)．
(2)作函数y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x≥0)图象，如图所示.
x y
0 200
1
2
3
„ „
210 220.5 231.5
年份0为1999年(附图)．作直线y=300，与函数y=200(1+5%)x的 图象交于A点，设A(x0,300)，则A点的横坐标x0的值就是函数值 y=300时(木材蓄积量为300万立方米时)所经过的时间x的值． ∵8<x0<9，则取x=9. ∴经过9年后林区的木材蓄积量能达到300万立方米．