09刚体的平面运动
第9章刚体的平面运动
第九章 刚体的平面运动§ 9-1刚体平面运动的概述和运动分解刚体的平面运动在工程中是常见的。
例如 （1）行星齿轮机构中动齿轮B 的运动（2） 曲柄连杆机构中连杆的运动； （3）车轮沿直线轨道滚动。
CV C*■(c)它们的共同运动特点是：在运动时，冈I 」体上的任意一点与某一固定平面 始终保持相等的距离。
刚体的这种运动称为平面运动。
根据刚体作平面运动的上述特点，可以将刚体的平面运动简化为平面图 形S 在其自身平面内的运动。
设刚体作平面运动，某一固定平面为 P o ，如图2所示，过刚体上M 点作 一个与固定平面P o 相平行的平面P ，在刚体上截出一个平面图形S ，平面图 形S 内各点的运动由平面运动的定义知，均在平面 P 内运动。
过M 点作与固 定平面P o 相垂直的直线段M i M 2，直线段MiM 2的运动为平移，其上各点的运 动均与M 点的运动相同。
因此刚体作平面运动时，只需研究平面图形S 在其自身平面P 内的运动即可。
如图3所示，在平面图形S 内建立平面直角坐标系oxy ，来确定平面图形S 的位置。
为(a) (b)图1确定平面图形S的位置只需确定其上任意直线段AB的位置，x线段AB 的位置可由点A 的坐标和线段AB 与x 轴或者与y 轴的夹角来确定。
即有X A f i （t ）旳A f 2（t ）f 3（t ）上式称为平面图形S 的运动方程，即刚体平面运动的运动方程。
点A 称为基点，一般选为已知点，若已知刚体的运动方程，冈H 体在任一瞬时的位置 和运动规律就可以确定了。
S 的运动。
平面图形在其自身平面内的位置，完全 O M 的位置来确定。
平面图形的运动，可以分解为随同基点的平动 （牵连速度）和绕基点的转 动（相对运动）。
即平面图形的运动可以看成是这两部分运动的合成。
应该注意的是，图形内基点的选取是任意的。
但是，选取不同的基点A或B,则平动的位移是不同的，从而，图形随A 点或B 点平动的速度和加速度 也不相同。
理论力学9—刚体的平面运动资料
C2
vD
A vA
AB圆柱作平面运动，其瞬心在 C2 点，则 vD vA 3r 3 w AB 即 vD vA vA DC2 AC2 3r 3 亦即 3rw 3 v 故 w v A 60 2 rad s A 3 3r 3 10
vD DC w 3rw
C
vA
w
wAB
A
O
vB
B
9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法
(3) 已知图形上两点 A和B的速度相互平行，并 且速度的方向垂直于两点的连线AB，则速度瞬 心必定在连线 AB 与速度矢 vA 和 vB 端点连线的 交点C上。
A B C
vA vB
A C
vA
vB
B
9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法
(4) 某瞬时，图形上 A 、 B 两点的速度相等 , 如图 所示，图形的速度瞬心在无限远处。(瞬时平动： 此时物体上各点速度相同，但加速度不一定相 等)
vB vA cot 30 10 3 cm/s vA vBA 20 cm/s sin 30
w AB
vBA 1rad s l
方向如图所示。
vA
A
以A为基点，则M点的速度为
vM v A vMA
将各矢量投影到坐标轴上得：
y
B vM
x : vM cos vA vMA sin30 y : vM sin vMA cos30
w
A4
A3
v A3
A2
vA1 0 vo rw v
各点的速度方向分别为各 点与A点连线的垂线方向，转向 与w相同，由此可见车轮顶点的 速度最快，最下面点的速度为 零。
第9章 刚体的平面运动
VB┴AB，则速度瞬心如图。
I I (a) (b)
v A vB 对③和④均有： AI BI
⑤ 已知某瞬时图形上A，B两点的速度方向相 同，且不与AB连线垂直。
此时，图形的瞬心在无穷远处，图形的角
速度 =0，图形上各点速度相等， 这种情况 称为瞬时平动(此时各点的加速度不相等)。 对于④(a)的情况，若VA＝VB，也是瞬时平动。
第9章 刚体的平面运动
• 平面刚体运动的概念 • 平面运动分解为平动和转动 • 平面图形内各点的速度
9.1 刚体平面运动的概念
在工程实际中．经常要遇到构件做较为复杂的平 面运动。例如图(a)曲柄连杆机构中连杆AB的运动， 以及图(b)中车轮沿直线轨道的滚动等，它们既不是 平动，也不是绕定轴转动。
这些运动具有一个共同的特征：在运动过程中。 刚体上任一点与某一固定平面的距离始终保持不变。 这样的运动称为刚体的平面运动。
ω 即 VA大小：vA=AI· 方向：⊥AI与一致 同理： VM VMI
即平面图形上任一点的速度，就是该点随图形绕该瞬时图形的
速度瞬心转动的速度。
4．确定速度瞬心位臵的方法 ① 已知图形上一点的速度VA和图形角速
度ω，则速度瞬心为：
AI v A / , AI V A 且I在VA顺ω转向绕A点转90º 的方向一侧。
将上式分别向x、y轴投影：
I
n IO
aO
x
aIx aO a 0 IO
2 a I vO / R,
a Iy a
v /R
2 O
方向：I O
由此看出，速度瞬心I的加速度并不等于零，即它不是加
速度瞬心。当车轮沿固定的直线轨道作纯滚动时，其速度瞬 心I的加速度指向轮心。
《理论力学》第八章刚体的平面运动
刚体的平面运动特点
刚体的平面运动具有 连续性，即刚体上任 意一点的运动轨迹都 是连续的。
刚体的平面运动具有 周期性，即刚体的运 动轨迹可以是周期性 的。
刚体的平面运动具有 对称性，即刚体的运 动轨迹可以是对称的。
02
刚体的平面运动分析
刚体的平动分析
平动定义
刚体在平面内沿着某一确定方向作等速直线运动。
详细描述
通过综合分析动能和势能的变化，可以深入理解刚体在平面运动中的能量转换过程。例 如，当刚体克服重力做功时，重力势能转化为动能；当刚体克服摩擦力做功时，机械能 转化为内能。这种能量转换过程遵循能量守恒定律，即系统总能量的变化等于外界对系
统所做的功与系统内能变化之和。
06
刚体的平面运动的实例分析
刚体的平面运动通常可以分为两种类型：纯滚动和滑动。在 纯滚动中，刚体只滚不滑，刚体上任意一点在任意时刻都位 于一个固定的圆周上。在滑动中，刚体既滚又滑，刚体上任 意一点在任意时刻都位于一个变化的圆周上。
刚体的平面运动分类
纯滚动
刚体只滚不滑，刚体上任意一点 在任意时刻都位于一个固定的圆 周上。
滑动
刚体既滚又滑，刚体上任意一点 在任意时刻都位于一个变化的圆 周上。
势能定理
总结词
势能定理描述了势能与其他形式的能量转换的关系。
详细描述
势能定理指出，在刚体的平面运动过程中，非保守力（如摩擦力、空气阻力等）对刚体所做的功等于系统势能的 减少量。非保守力做正功时，系统势能减少；非保守力做负功时，系统势能增加。
动能和势能的综合分析
总结词
在刚体的平面运动中，动能和势能的综合分析有助于理解运动过程中能量的转换和守恒。
做平动，这种运动也是复合运动。
09 刚体的平面运动--基点法
基点法：用速度合成定理来求平面图形内任一点的速度的方法。
PAG 13
基点法题目： 用速度合成定理
vB v A vBA
PAG 14
基点法求平面图形内各点速度的解题步骤：
1、分析题中各物体的运动：平移，转动，平面运动； 2、分析已知要素：研究作平面运动的物体，分析点的 速度大小和方向；
大小 方向 ？ √ √ √ ？ √
vA
x
A
vBx vAx vBAx
O
vA r
vB vA r
vA vB
vBA
B
vBA 0
当ψ=0°
vA vB
x
B
vBx vAx vBAx
vB 0
PAG 23
vBA
例8-4 图示行星轮系中，半径为r1的齿轮Ⅰ固定，半径为r2的 行星齿轮Ⅱ沿轮Ⅰ只滚不滑，杆OA角速度为ω0。求轮Ⅱ的角 速度ωⅡ及其上B，C 两点的速度。
vDA vA (r1 r2 )0
vDA 2 DA
(r1 r2 )0 r2
PAG 25
( r1 r2 ) 0 v A ( r1 r2 ) 0 ; 2 r2
vB v A vBA
? ? √ √ √ √
大小 方向
vA B C vB vBA v A A 11 vA Ⅱ 0 D vDA
O Ⅰ
vC v vCA A
vBA r211 (r1 r2 )0
vB
2vA 2 (r1 r2 )0
vC v A vCA
大小 方向 ? ? √ √ √ √
vCA r211 (r1 r2 )0
理论力学第章刚体的平面运动
E
30
B vB
A vA
vD
vB CD CB
3vB
0.693
m s－1
vE60
CO
ω
轮E沿水平面滚动，轮心E的速度 水平，由速度投影定理，D，E 两
点的速度关系为
vE cos 30 vD
求得 vE 0.8 m s－1
§9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法
一、问题的提出
B
vA vA
C
vD vA vDA
A Ⅱ
由于齿轮Ⅰ固定不动，接触点D不滑动，所以
ωO O
D
vDA ωⅡ
vD=0 ，因而有 vDA v A O r1 r2
Ⅰ
vDA为D点绕基点A的转动速度，应有
vDA Ⅱ DA
因此
Ⅱ
vDA DA
O (r1
r2
r2 )
（逆时针）
y
SM
O
o
x
§9.1 刚体平面运动的概述和运动分解
刚体平面运动方程
xo xo (t )
yo
yo (t )
(t)
刚体的平面运动可以看成是平动和转动的合成运动。
四、刚体的平面运动分解为平动和转动
刚体平面运动可以分解为随同基点的平动和绕基点
的转动，平面图形随同基点平动的速度和加速度与基点 的选取的有关。绕基点转动的角速度和角加速度则与基 点的选择无关。
动画
刚体平面运动分解
动画
平面运动
动画
平面运动
动画
平面运动分解
动画
平面运动
动画
9、第九章刚体的平面运动
① 图示平行四连杆机构O1 AB O2 ，ABC为一刚性三角形板， 则C点的速度为: 1) Vc=AC·ω
C 2) Vc=CO1·ω
3) Vc=AO1·ω
B
4) Vc=BC·ω
A
C点的切线加速度为: 1)aτ= AO1ε ω 2) aτ= ACε ε
3) aτ= CO1ε
4) aτ= BCε ②.平动刚体上的( 任一条直线的方位 )始终保持不变
刚体平面运动实例
第九章 刚体的平面运动
§9-1 刚体平面运动的概念
在运动中，刚体上的任意一点与某一固定 平面始终保持相等的距离。即：平面图形上 各点都在该平面内运动。
所以，刚体的平面运动可简化为平面图 形在它自身平面内的运动来研究。
§9-2 刚体的平面运动分解为平动和转动
平面图形上各点的运动可以代表刚体内所有点 的运动。因此，刚体的平面运动可简化为平面图形 在它自身平面内的运动来研究。
2
ω0
vA
加速度分析：
aB aA aBnA aBA O
a
n A
A
aB B
a
n BA
a
BA
vB
向虚线方向投影：
aB cos 30 aA cos 30 aBnA
aB
aA
aBnA cos 30
r
2 0
2
2r
2 0
33
aB
r
2 0
(1
4) 33
1.77
r
2 0
B
1.77
2 0
练习题:曲柄OA以匀角速ω0 绕O转动，OA=r，AB=2r，磙子半径r，
P为BCA杆的瞬心
B
所以AB上C点的速度如图：
《刚体的平面运动 》课件
鲁棒性分析
分析控制系统对参数变化和外部干扰的鲁棒 性表现。
05
刚体的平面运动的展望
刚体的平面运动的发展趋势
理论研究的深入
随着数学和物理学理论的不断发展，人们对刚体的平面运动的理 解将更加深入，这有助于推动相关领域的研究和应用。
航空航天领域
在航空航天领域，刚体的平面运动对于飞行器的姿态调整和机动性有着 至关重要的作用，未来随着空间探索的深入，其应用前景将更加广阔。
03
医疗器械
刚体的平面运动在医疗器械领域也有着广泛的应用，例如在手术机器人
中用于精确控制手术器械的动作，提高手术的精度和安全性。
刚体的平面运动的挑战与机遇
挑战
刚体的平面运动的研究和应用面临着 一些挑战，如精确控制、稳定性、复 杂环境下的适应性等问题，需要不断 探索和创新来解决。
自动化生产线
刚体的平面运动在自动化生产线中起到关键作用， 如传送带、机器人手臂等。
机械设备的维护和检修
刚体的平面运动在机械设备的维护和检修中也有应 用，如对机械设备进行定位和调整。
航空航天中的应用
飞机起降系统
刚体的平面运动在飞机起降系统中起 到关键作用，如飞机滑行、转向等。
航天器对接
航空航天器的制造和测试
刚体的平面运动的重要性
实际应用
刚体的平面运动在实际生活中广泛存 在，如机械设备的运作、车辆的行驶 等。
理论意义
刚体的平面运动是刚体运动的基础， 对于理解更复杂的刚体运动形式具有 重要意义。
刚体的平面运动的基本原理
平移原理
刚体在平面内沿直线进行平移时，其上任意一点都沿着该直线进行等距离的移 动。
旋转原理
详细描述
在实际的物理问题中，刚体往往不会只进行平动或转动，而是同时进行这两种运动。这种复杂的平面运动形式通 常包括椭圆运动、抛物线运动等。这种复杂的运动形式通常需要综合考虑平动和转动的共同作用，以确定刚体的 最终运动轨迹。
《刚体的平面运动 》课件
刚体的平面运动速度和加速度是描述 刚体在平面内运动的物理量，分别表 示刚体在单位时间内移动的距离和速 度的变化率。
刚体的平面运动速度和加速度对于分 析刚体的动力学特性和稳定性具有重 要意义。
刚体的平面运动速度和加速度可以通 过求解平面运动方程得到，也可以通 过测量或实验获得。
03
刚体的平面运动中的力与力矩
的转动惯量不同。
转动惯量的应用
在刚体的平面运动中，转动惯量 用于描述刚体的转动状态，是计 算角速度、角加速度等物理量的
基础。
04
刚体的平面运动的实例分析
滑轮的运动分析
滑轮的转动惯量
计算滑轮的转动惯量，了解其与刚体平面运动的关系。
滑轮的角速度和角加速度
分析滑轮的角速度和角加速度，理解刚体平面运动的动态特性。
4. 使用摄像机记录运动轨迹时，注意 调整拍摄角度和光线条件。
实验结果与数据分析
实验结果
通过摄像机记录的刚体运动轨迹，可以观察到刚体的平面运动规律。例如，当施加的外力矩恒定时，刚体会绕固 定点做圆周运动；当外力矩变化时，刚体的运动轨迹也会发生变化。
数据分析
根据实验结果，可以计算出刚体的运动轨迹方程、角速度、线速度等参数，并分析这些参数与外力矩之间的关系 。通过对比理论值与实验值，可以验证刚体平面运动的规律。同时，还可以分析实验误差产生的原因，提高实验 的精度和可靠性。
力对刚体平面运动的影响
力的定义
力是物体之间的相互作用，表示为矢量，具有大小和方向。
力的作用效果
力可以改变物体的运动状态，包括速度大小、方向和加速度大小 、方向。
力的分解与合成
力在平面内可以分解为水平和垂直两个分量，两个力等效于它们 的合力。
力矩对刚体平面运动的影响
9 理论力学--刚体的平面运动
ω
O
解：（1）运动分析：杆 OA、CD 作定轴转动， 杆 AB、DE 以及轮 E 作平面运动。
v A = ω ⋅ OA = 20 cm/s
（2）应用速度投影法求解
vB cos 30o = v A vA vB = = 23.1 cm/s o cos 30
摇杆CD作定轴转动
vB vD = ⋅ DC = 69.3 cm/s CB o vE cos 30 = vD vD vE = = 80 cm/s o cos 30
例9-5 如图9-10所示机构中，已知曲柄 OA = 10 cm，以角速度 ω = 2 rad/s 转动，CD = 3 CB，在图 9-10所示位置时，A、B、E 三点恰在同一水平线上， 且 CD ⊥ ED 。试求此瞬时点 E 的速度。
vD D
E
30º vE
vB B 60° C 图 9-10
A
vA
v A = vO + v AO = 2vO
vB = vO 2 + vBO 2 = 2vO B的速度为
同理，可得D的速度为 vD = 2vO 各速度方向如图9-9所示。
9.3.2 速度投影法 应用矢量投影定理，将该矢量式 v B = v A + vBA 向 AB连线投影 ，如图9-6所示。
v A cos α = vB cos β
[v B ] AB = [v A ] AB
vB cos(90o − ϕ ) = v A cos ϕ
vB = v A cot ϕ
比较基点法和速度投影法可知，当已知平面图 形上一点速度的大小和方向以及另一点速度的方位 时，应用速度投影法求该点速度的大小和指向是很 方便的，但用速度投影法不能求出平面图形的角速 度。
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第9章
刚体的平面运动
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φ
φ
所示得知，选择不同的基点，转动部分的角位移是相同的，即
φ2
φ1
OM 连线上投影，如图9.7所示，得9.2 用基点法求平面图形内各点的速度
OM OM [][]M O v v (9.3)
上式表明，平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影相等，这称为速度投影定理。
利用速度投影定理求平面图形上任一点速度的方法称为速度投影法。
当平面图形上某一点速度的大小和方向均已知，另一点的速度方向已知，欲求该点速度大小时，应用速度投影法可以迅速得到结果。
ω
ω
用瞬心法求平面图形内各点的速度
ω
ω
用瞬心法求平面图形内各点的速度
二、速度瞬心的确定
瞬心法是求平面图形内任一点速度的一种较简便的方法，应用这种方法的关键在于确定速度瞬心的位置。
下面介绍几种确定速度瞬心的方法。
(1) 已知某图形上某瞬时A、B两点的速度方向，且互不平行。
分别作两点的速度矢量的垂线，两线的交点C即为此瞬时图形的速度瞬心，如图9.11所示。
(2) 已知某瞬时图形上A、B两点的速度方向互相平行且垂直于AB连线，并已知这两点的速度大小。
由速度分布规律可知，当两速度大小不等而方向相同时，AB连线与两速度矢端连线的延长线的交点C就是速度瞬心，如图9.12所示。
当两速度方向相反时，AB连线与两速度矢端连线的交点C就是速度瞬心，如图9.13所示。
用瞬心法求平面图形内各点的速度若两点的速度互相平行，但两点连线不与两点速度矢量垂直，如图
9.14(b)所示的四连杆机构的连杆AB 在图示位置就处于这种状态。
此时速度瞬心在无穷远处。
因此该瞬时图形的角速度等于零，图形内各点速度都相同，好像图形作平动一样，称为瞬时平动。
但应注意，一般来说在该瞬时各点加速度并不相同。
在该瞬时之后，各点速度也不再相同。
因此，瞬时平动与持续平动有本质的区别。
(3) 当平面图形在另一固定面上只滚动而不滑动时，由于固定面的速度为零，因此，图形上与固定面的接触点即为图形的速度瞬心，如图9.15所示。
最后还须说明的是，在研究某一物体系统的运动过程中，每一作平面运动的物体都有其自己的瞬心和角速度，不能把几个图形放在一起确定它们的瞬心和角速度。
用瞬心法求平面图形内各点的速度【例9.3】图9.16所示滚压机构的滚子沿水平方向作无滑动的滚动。
已知曲柄
OA长15cm，绕O轴的转速n = 60 r/min；滚子的半径R = 15 cm。
求当曲柄与水
平面的夹角为60°，且曲柄与连杆AB垂直时，滚子的角速度和滚子前进的速度。
解：此机构中，曲柄OA作定轴转动，连杆AB和滚子均作
平面运动。
根据已知条件可求得曲柄与连杆的连接点A的
速度v A的大小与方向。
滚子与AB杆通过B点连接，故欲求
滚子前进的速度，可通过分析AB杆的运动来求得。
由于B
点速度v B沿水平线OB，因此过A、B两点分别作v A、v B的
垂线，两垂线的交点C1就是连杆AB在图示位置时的速度
瞬心。
曲柄的角速度为
则A点的速度大小为而连杆AB的角速度
π60π
2π rad/s
3030
n
ω===
152π30π cm/s A
v OAω
=⋅=⨯=
1
A
AB
v
ω
AC
=
φ
a MOτ M a O a MO a M a MOn a O O α ω α
ωO
以速度瞬心的加速度也为零。
这种说法对吗？为什么？
ω1
ω
v
v
θ
O B
O A
O 1 ω ω O A
B C 30° 30° 1v v 2v v
ω
A
I
II
B
O
r1
O1
r2
γ
ωO1
β
O A
D
C
B
ω
E
30°
ω
ω0
θ
33
BC r
ω0
ω
的速度。
ω1
ω β
γ
O 1
图9.34 第14题图
图9.35 插齿机传动机构
ω0ω0
α0。