2.1函数及其表示,( 高三理科)
2020年高考浙江版高考理科数学 2.1 函数及其表示
专题二 函数概念与基本初等函数【真题典例】2.1 函数及其表示挖命题【考情探究】5年考情考点内容解读考题示例考向关联考点预测热度函数的概念及其 表 示1.了解函数、映射的概念,会求一些简单的函数定义域和值域.2.理解函数的三种表示法:解析法、图象法和列表法.2015浙江,7函数的概念★★★2018浙江,15分段函数及其应用函数的零点、不等式的解法2015浙江文,12分段函数及其应用函数的最值分段函数及其应 用了解简单的分段函数,并能简单应用.2014浙江,15分段函数及其应用复合函数★★★分析解读 1.考查重点仍为函数的表示法,分段函数等基本知识点,考查形式有两种,一种是给出分段函数表达式,求相应的函数值或相应的参数值(例: 2014浙江15题);另一种是定义一种运算,给出函数关系式考查相关的数学知识(例: 2015浙江7题).2.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域,能运用求值域的方法解决最值问题.3.函数值域和最值是高考考查的重点,常以本节内容为背景结合其他知识进行考查,如解析式与函数最值相结合(例:2015浙江7题).4.函数的零点也是常考的知识点,常常与不等式结合在一起考查(例:2018浙江15题).5.预计2020年高考试题中,考查分段函数及其应用、函数值域与最值的可能性很大,特别是对与不等式、函数单调性相结合的考查,复习时应重视.破考点【考点集训】考点一 函数的概念及其表示1.(2017浙江温州模拟(2月),10)已知定义在实数集R 上的函数f(x)满足f(x+1)=+,则12f (x )-f 2(x)f(0)+f(2 017)的最大值为( )A.1-B.1+C.D.22221232答案 B 2.(2018浙江绍兴高三3月适应性模拟,17)已知a>0,函数f(x)=|x 2+|x-a|-3|在区间[-1,1]上的最大值是2,则a= . 答案 3或54考点二 分段函数及其应用1.(2017浙江宁波二模(5月),6)设f(x)=则函数y=f(f(x))的零点之和为( ){-x ,x ≤0,log 2x,x >0,A.0 B.1 C.2 D.4答案 C 2.(2018浙江台州高三期末质检,8)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-k(x+1)在(-∞,1]上{x +1x ,x >0,-x 2+3,x ≤0,恰有两个不同的零点,则实数k 的取值范围是( )A.[1,3) B.(1,3]C.[2,3)D.(3,+∞)答案 A 炼技法【方法集训】方法1 求函数定义域的方法1.(2015湖北,6,5分)函数f(x)=+lg 的定义域为( ) 4-|x |x 2-5x +6x -3A.(2,3) B.(2,4]C.(2,3)∪(3,4]D.(-1,3)∪(3,6]答案 C 2.已知函数f(x)的定义域为[-8,1],则函数g(x)=的定义域是( )f (2x +1)x +2A.(-∞,-2)∪(-2,3]B.[-8,-2)∪(-2,1]C.∪(-2,0] D.[-92,-2)[-92,-2]答案 C 方法2 求函数解析式的方法 (2017浙江名校(镇海中学)交流卷二,16)已知定义域和值域都为R 的函数f(x)满足f(f(x)+f(y))=2f(x)+4y-3,则当x>0时,函数f(x)的取值范围是 . 答案 (-1,+∞)方法3 求函数值域的方法1.(2018浙江杭州重点中学第一学期期中,16)若函数f(x)=(-x 2-2x+3)(x 2+ax+b)的图象关于直线x=-2对称,则f(x)的值域为 . 答案 (-∞,16]2.(2017浙江宁波二模(5月),14)定义:max{a,b}= 已知函数f(x)=max{|2x-1|,ax 2+b},其中{a ,a ≥b ,b ,a <b .a<0,b ∈R .若f(0)=b,则实数b 的取值范围为 ;若f(x)的最小值为1,则a+b= . 答案 [1,+∞);1方法4 分段函数的相关处理方法1.(2017浙江模拟训练冲刺卷五,11)设函数f(x)=若f(-4)=f(0), f(-2)=-2,则{x 2+bx +c,x ≤0,2,x >0,b+c= ;方程f(x)=x 的所有实根的和为 . 答案 6;-12.(2018浙江新高考调研卷二(镇海中学),12)已知函数f(x)=则f()+f {log 3(x 2-1)(|x|>1),3x (|x|≤1),10(cos600°4)= ,若f(x)=-1,则x= . 答案 ;-1或±32233过专题【五年高考】A 组 自主命题·浙江卷题组考点一 函数的概念及其表示 (2015浙江,7,5分)存在函数f(x)满足:对于任意x ∈R 都有( ) A.f(sin 2x)=sin x B.f(sin 2x)=x 2+x C.f(x 2+1)=|x+1| D.f(x 2+2x)=|x+1|答案 D 考点二 分段函数及其应用1.(2018浙江,15,6分)已知λ∈R ,函数f(x)=当λ=2时,不等式f(x)<0的解集{x -4, x ≥λ,x 2-4x +3,x <λ.是 .若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是 . 答案 (1,4);(1,3]∪(4,+∞)2.(2015浙江文,12,6分)已知函数f(x)=则f(f(-2))= , f(x)的最小值{x 2,x ≤1,x +6x -6,x >1,是 . 答案 -;2-61263.(2014浙江文,15,4分)设函数f(x)=若f(f(a))=2,则a= . {x 2+2x +2,x ≤0,-x 2,x >0.答案 24.(2014浙江,15,4分)设函数f(x)=若f(f(a))≤2,则实数a 的取值范围是 . {x 2+x,x <0,-x 2,x ≥0.答案 (-∞,]25.(2016浙江,18,15分)已知a ≥3,函数F(x)=min{2|x-1|,x 2-2ax+4a-2},其中min{p,q}={p ,p ≤q ,q ,p >q .(1)求使得等式F(x)=x 2-2ax+4a-2成立的x 的取值范围;(2)(i)求F(x)的最小值m(a);(ii)求F(x)在区间[0,6]上的最大值M(a).解析 (1)由于a ≥3,故当x ≤1时,(x 2-2ax+4a-2)-2|x-1|=x 2+2(a-1)(2-x)>0,当x>1时,(x 2-2ax+4a-2)-2|x-1|=(x-2)(x-2a).所以,使得等式F(x)=x 2-2ax+4a-2成立的x 的取值范围为[2,2a].(2)(i)设函数f(x)=2|x-1|,g(x)=x 2-2ax+4a-2,则f(x)min =f(1)=0,g(x)min =g(a)=-a 2+4a-2,所以,由F(x)的定义知m(a)=min{f(1),g(a)},即m(a)={0,3≤a ≤2+2,-a 2+4a -2,a >2+2.(ii)当0≤x ≤2时,F(x)≤f(x)≤max{f(0), f(2)}=2=F(2),当2≤x ≤6时,F(x)≤g(x)≤max{g(2),g(6)}=max{2,34-8a}=max{F(2),F(6)}.所以,M(a)={34-8a ,3≤a <4,2,a ≥4.思路分析 (1)先分类讨论去掉绝对值符号,再利用作差法求解;(2)分段函数求最值的方法是分别求出各段上的最值,较大(小)的值就是这个函数的最大(小)值.6.(2015浙江,18,15分)已知函数f(x)=x 2+ax+b(a,b ∈R ),记M(a,b)是|f(x)|在区间[-1,1]上的最大值.(1)证明:当|a|≥2时,M(a,b)≥2;(2)当a,b 满足M(a,b)≤2时,求|a|+|b|的最大值.解析 (1)证明:由f(x)=+b-,得对称轴为直线x=-.(x +a 2)2a 24a 2由|a|≥2,得≥1,故f(x)在[-1,1]上单调,|-a2|所以M(a,b)=max{|f(1)|,|f(-1)|}.当a ≥2时,由f(1)-f(-1)=2a ≥4,得max{f(1),-f(-1)}≥2,即M(a,b)≥2.当a ≤-2时,由f(-1)-f(1)=-2a ≥4,得max{f(-1),-f(1)}≥2,即M(a,b)≥2.综上,当|a|≥2时,M(a,b)≥2.(2)由M(a,b)≤2得|1+a+b|=|f(1)|≤2,|1-a+b|=|f(-1)|≤2,故|a+b|≤3,|a-b|≤3,由|a|+|b|=得|a|+|b|≤3.{|a +b |,ab ≥0,|a -b |,ab <0,当a=2,b=-1时,|a|+|b|=3,且|x 2+2x-1|在[-1,1]上的最大值为2,即M(2,-1)=2.所以|a|+|b|的最大值为3.评析 本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数、不等式性质等基础知识,同时考查推理论证能力,分析问题和解决问题的能力.B 组 统一命题、省(区、市)卷题组考点一 函数的概念及其表示1.(2014山东,3,5分)函数f(x)=的定义域为( ) 1(log 2x)2-1A. B.(2,+∞)(0,12)C.∪(2,+∞)D.∪[2,+∞)(0,12)(0,12]答案 C 2.(2014江西,3,5分)已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax 2-x(a ∈R ).若f[g(1)]=1,则a=( )A.1 B.2 C.3 D.-1答案 A 3.(2018江苏,5,5分)函数f(x)=的定义域为 . log 2x -1答案 [2,+∞)4.(2016江苏,5,5分)函数y=的定义域是 . 3-2x -x 2答案 [-3,1]5.(2014四川,15,5分)以A 表示值域为R 的函数组成的集合,B 表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合:对于函数φ(x),存在一个正数M,使得函数φ(x)的值域包含于区间[-M,M].例如,当φ1(x)=x 3,φ2(x)=sin x 时,φ1(x)∈A,φ2(x)∈B.现有如下命题:①设函数f(x)的定义域为D,则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b ∈R ,∃a ∈D,f(a)=b”;②函数f(x)∈B 的充要条件是f(x)有最大值和最小值;③若函数f(x),g(x)的定义域相同,且f(x)∈A,g(x)∈B,则f(x)+g(x)∉B;④若函数f(x)=aln(x+2)+(x>-2,a ∈R )有最大值,则f(x)∈B.x x 2+1其中的真命题有 .(写出所有真命题的序号) 答案 ①③④考点二 分段函数及其应用1.(2018课标全国Ⅰ文,12,5分)设函数f(x)=则满足f(x+1)<f(2x)的x 的取值范围是( ){2-x,x ≤0,1,x >0,A.(-∞,-1]B.(0,+∞)C.(-1,0)D.(-∞,0)答案 D2.(2017山东文,9,5分)设f(x)=若f(a)=f(a+1),则f =( ){x ,0<x <1,x -1),x ≥1.(1a )A.2B.4C.6D.8答案 C3.(2015湖北,6,5分)已知符号函数sgn x=f(x)是R 上的增函数,g(x)=f(x)-f(ax)(a>1),则{1,x >0,0,x =0,-1,x <0.( )A.sgn[g(x)]=sgn xB.sgn[g(x)]=-sgn xC.sgn[g(x)]=sgn[f(x)]D.sgn[g(x)]=-sgn[f(x)]答案 B 4.(2018江苏,9,5分)函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(x ∈R ),且在区间(-2,2]上,f(x)={cos πx2,0<x ≤2,|x +12|,-2<x ≤0,则f(f(15))的值为 . 答案 225.(2017课标全国Ⅲ文,16,5分)设函数f(x)=则满足f(x)+f >1的x 的取值范围{x +1,x ≤0,2x ,x >0,(x -12)是 .答案 (-14,+∞)C 组 教师专用题组考点一 函数的概念及其表示 (2014江西,2,5分)函数f(x)=ln(x 2-x)的定义域为( ) A.(0,1)B.[0,1]C.(-∞,0)∪(1,+∞)D.(-∞,0]∪[1,+∞)答案 C考点二 分段函数及其应用1.(2015课标Ⅱ,5,5分)设函数f(x)=则f(-2)+f(log 212)=( ){1+log 2(2-x),x <1,2x -1,x ≥1,A.3 B.6 C.9 D.12答案 C 2.(2015山东,10,5分)设函数f(x)=则满足f(f(a))=2f(a)的a 的取值范围是( ){3x -1,x <1,2x,x ≥1.A. B.[0,1]C. D.[1,+∞)[23,1][23,+∞)答案 C 3.(2014福建,7,5分)已知函数f(x)=则下列结论正确的是( ){x 2+1,x >0,cos x ,x ≤0,A.f(x)是偶函数 B.f(x)是增函数C.f(x)是周期函数 D.f(x)的值域为[-1,+∞)答案 D 【三年模拟】一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2019届金丽衢十二校高三第一次联考,7)设函数f(x)的定义域为D,如果对任意的x ∈D,存在y ∈D,使得f(x)=-f(y)成立,则称函数f(x)为“H 函数”.下列为“H 函数”的是( ) A.y=sin xcos x+cos 2x B.y=ln x+e xC.y=2xD.y=x 2-2x答案 B 2.(2019届浙江“七彩阳光”联盟期中,7)已知函数f(x)=且f =0,则不等式f(x)>m 的{2x+1,x ≤0,log 12x,x >0,(m -12)解集为( )A. B.(0,22)(0,24)C. D.(-1,+∞)(-1,24)答案 C 3.(2018浙江新高考调研卷二(镇海中学),8)已知函数f(x)=+bcos x+x,且满足f(1-)=3,则f(1+a 1-x π222)=( )A.2B.-3C.-4D.-1答案 D4.(2018浙江宁波模拟,9)已知a 为正常数, f(x)=若存在θ∈,满足f(sin {x 2-ax +1,x ≥a,x 2-3ax +2a 2+1,x <a,(π4,π2)θ)=f(cos θ),则实数a 的取值范围是( )A. B.(12,1)(22,1)C.(1,)D.2(12,22)答案 D 二、填空题(单空题4分,多空题6分,共14分)5.(2019届浙江温州高三适应性检测,15)已知函数f(x)=当λ=5时,不等式f(x)<-1的{x 2+λx +3,x ≤2,2-log 2x,x >2.解集是 ;若函数f(x)的值域是R ,则实数λ的取值范围是 . 答案 (-4,-1)∪(8,+∞);(-∞,-2]∪[2,+∞)226.(2018浙江金华十校第一学期期末调研,16)已知函数f(x)=的最小值为a+1,则实{|x +a |+|x -1|,x >0,x 2-ax +2,x ≤0数a 的取值范围为 . 答案 {-2-2}∪[-1,1]27.(2018浙江诸暨高三上学期期末,17)已知a,b ∈R ,f(x)=|2+ax+b|,若对于任意的x ∈[0,4], f(x)≤x 12恒成立,则a+2b= . 答案 -2三、解答题(共30分)8.(2017浙江金华十校调研,20)已知函数f(x)={x -x 2,x ∈[0,1],-55f(x -1),x ∈[1,3].(1)求f 及x ∈[2,3]时函数f(x)的解析式;(52)(2)若f(x)≤对任意的x ∈(0,3]恒成立,求实数k 的最小值.kx 解析 (1)f =-f =f =×=.(52)55(32)15(12)1514120当x ∈[2,3]时,x-2∈[0,1],所以f(x)=[(x-2)-(x-2)2]=(x-2)(3-x).1515(2)要使f(x)≤,x ∈(0,3]恒成立,只需k ≥[xf(x)]max ,x ∈(0,3]即可.kx 当x ∈(0,1]时,f(x)=x-x 2,则对任意的x ∈(0,1],xf(x)=x 2-x 3.令h(x)=x 2-x 3,则h(x)max =h =;(23)427当x ∈(1,2]时,xf(x)=-x[(x-1)-(x-1)2]=x(x-1)·(x-2)≤0;5555当x ∈(2,3]时,xf(x)=x[(x-2)-(x-2)2],令x-2=t,则t ∈(0,1],15记g(t)=(t+2)(t-t 2),t ∈(0,1].15则g'(t)=-(3t 2+2t-2),令g'(t)=0,15得t 0=(负值舍去),-1+73故存在t 0=使得函数g(t)在t=t 0处取得最大值,为.-1+73147-20135又>,所以当k ≥时, f(x)≤对任意的x ∈(0,3]恒成立,427147-20135427kx 故实数k 的最小值为.4279.(2018浙江镇海中学阶段性测试,20)已知函数f(x)=2x+b,g(x)=x 2+bx+c(b,c ∈R ),对任意的x ∈R 恒有f(x)≤g(x)成立.(1)求证:g(x)>0恒成立;(2)设b=0时,记h(x)=(x ∈[2,+∞)),求函数h(x)的值域;g (x )f (x )(3)若对满足条件的任意实数b,c,不等式g(c)-g(b)≤M(c 2-b 2)恒成立,求M 的最小值.解析 (1)证明:f(x)≤g(x)恒成立,即x 2+(b-2)x+c-b ≥0,∴Δ=(b-2)2-4(c-b)≤0,∴b 2-4c+4≤0,∴b 2-4c ≤-4<0,∴g(x)>0恒成立.(2)∵b=0,∴h(x)=,由(1)知c ≥1.12(x +cx )当1≤c ≤4时,h(x)在[2,+∞)上为增函数,∴h(x)的值域为;[1+c4,+∞)当c>4时,h(x)在[2,]上为减函数,在[,+∞)上为增函数,c c∴h(x)的值域为[,+∞).c 综上,1≤c ≤4时,h(x)的值域为,c>4时,h(x)的值域为[,+∞).[1+c4,+∞)c (3)由(1)推得b 2-4c+4≤0,∴4c-4b≥b 2-4b+4=(b-2)2≥0,∴c-b≥0,同理,c+b ≥0,又g(c)-g(b)≤M(c 2-b 2),即(c+2b)(c-b)≤M(c 2-b 2),当c 2=b 2时,(c+2b)(c-b)=0或-2b 2,∴M∈R ;当c-b>0且c+b>0时,M ≥=1+恒成立,c +2bc +b bc +b ∴只需求当c>b>0时,的最大值即可,而=,b c +b bc +b1c b+1∵>1,∴<,c b b c +b 12∴M≥,即M 的最小值为.3232。
高考数学(理科)总复习 2.1 函数及其表示
∴a=2,b=7,故f(x)=2x+7.
(3)当x∈(-1,1)时,有2f(x)-f(-x)=lg(x+1). ①
以-x代x,得2f(-x)-f(x)=lg(-x+1). ②
由①×2+②消去f(-x)得
f(x)= 2 lg(x+1)+ 1 lg(1-x),x∈(-1,1).
3
3
方法2 分段西安八校第一次联考,16)设函数f(x)= 2x , x 0, 则满足
f(x)+f(x-1)>1的x的取值范围是
.
解析 ①当x≤0时,x-1≤-1, ∴f(x)+f(x-1)=x+1+(x-1)+1=2x+1>1,即x>0,此时无解. ②当0<x≤1时,x-1≤0, ∴f(x)+f(x-1)=2x+(x-1)+1=2x+x, ∵2x>20=1,∴此时f(x)+f(x-1)>1恒成立. ③当x>1时,x-1>0, ∴f(x)+f(x-1)=2x+2x-1=3·2x-1, ∵2x-1>20=1, ∴此时f(x)+f(x-1)>1恒成立. 综上所述,满足f(x)+f(x-1)>1的x的取值范围是(0,+∞).
解析 (1)解法一(换元法):设t= x +1(t≥1),则x=(t-1)2, ∴f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1, ∴f(x)=x2-1(x≥1). 解法二(配凑法):∵x+2 x =( x )2+2 x +1-1=( x +1)2-1,∴f( x +1)=( x + 1)2-1, ∴f(x)=x2-1(x≥1). (2)(待定系数法):设f(x)=ax+b(a≠0),则 3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b =ax+b+5a=2x+17,
2.1 函数及其表示(新授学生版)
1.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．2．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．【知识拓展】求函数定义域常见结论：(1)分式的分母不为零；(2)偶次根式的被开方数不小于零；(3)对数函数的真数必须大于零；(4)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；(k∈Z)；(5)正切函数y＝tan x，x≠kπ＋π2(6)零次幂的底数不能为零；(7)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)对于函数f：A→B，其值域是集合B.()(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．()(3)映射是特殊的函数．()(4)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射．()(5)分段函数是由两个或几个函数组成的．()1．函数y ＝2x －3＋1x －3的定义域为()A ．[32，＋∞)B ．(－∞，3)∪(3，＋∞)C ．[32，3)∪(3，＋∞)D ．(3，＋∞)2．(教材改编)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是()3．下列函数中，与函数y ＝x ＋1是相等函数的是()A ．y ＝(x ＋1)2B ．y ＝3x3＋1C ．y ＝x2x＋1D ．y ＝x2＋14．已知f (1x)＝x 2＋5x ，则f (x )＝________.5．已知函数f (x )＝2x ＋1，若f (a )＝5，则实数a 的值为________．题型一函数的概念例1有以下判断：①f (x )＝|x |x 与g (x )＝1(x ≥0)－1(x <0)表示同一函数；②函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个；③f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；④若f (x )＝|x －1|－|x |，则0))21((=f f 其中正确判断的序号是________．(1)下列所给图象是函数图象的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4(2)下列各组函数中，表示同一个函数的是()A ．y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1B ．y ＝x 0和y ＝1C ．f (x )＝x 2和g (x )＝(x ＋1)2D ．f (x )＝(x )2x 和g (x )＝x (x )2题型二函数的定义域问题命题点1求函数的定义域例2(1)函数f(x)＝1－2x＋1x＋3的定义域为()A．(－3,0]B．(－3,1]C．(－∞，－3)∪(－3,0]D．(－∞，－3)∪(－3,1](2)若函数y＝f(x)的定义域为[0,2]，则函数g(x)＝f(2x)x－1的定义域是________引申探究本例(2)中，若将“函数y＝f(x)的定义域为[0,2]”改为“函数y＝f(x＋1)的定义域为[0,2]”，则函数g(x)＝f(2x)x－1的定义域为________________．命题点2已知函数的定义域求参数范围例3(1)若函数f (x )＝2221x ax a +--的定义域为R ，则a 的取值范围为________．(2)若函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________．(1)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为()A ．(－1,1)B ．(－1，－12)C ．(－1,0)D ．(12，1)(2)若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是()A ．(0，34]B ．(0，34)C ．[0，34]D ．[0，34)题型三求函数解析式例4(1)已知函数f (x －1)＝11x ，则函数f (x )的解析式为.(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________.(3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f (1x)·x －1，则f (x )＝________.(1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式；(2)已知一次函数f (x )满足f (f (x ))＝4x －1，求f (x )；(3)已知f (x )＋3f (－x )＝2x ＋1，求f (x )．2．分类讨论思想在函数中的应用典例(1)已知实数a≠0，函数f(x)＝2x＋a，x<1，－x－2a，x≥1，若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________________．(2)(2019·长春模拟)已知函数f(x)＝2x，x>0，x＋1，x≤0.若f(a)＋f(1)＝0，则实数a＝________.1．下列各组函数中，表示同一函数的是()A．y＝x2－9x－3与y＝x＋3B．y＝2x－1与y＝x－1C．y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0)D．y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1，x∈Z2．(2015·重庆)函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定义域是()A．[－3,1]B．(－3,1)C．(－∞，－3]∪[1，＋∞)D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)3．若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为() A．g(x)＝2x2－3x B．g(x)＝3x2－2xC ．g (x )＝3x 2＋2xD ．g (x )＝－3x 2－2x4．(2015·陕西)设f (x )＝1－x ，x ≥0，2x，x ＜0，则f (f (－2))等于()A ．－1 B.14C.12D.325．(2016·安徽六校联考)已知函数f (x )＝x |x |，若f (x 0)＝4，则x 0的值为()A ．－2B ．2C ．－2或2D.2*6.(2016·唐山期末)已知f (x )＝(1－2a )x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是()A ．(－∞，－1]B ．(－1，12)C ．[－1，12)D ．(0，12)7．(2016·济南模拟)已知函数f(1－x1＋x)＝x，则f(2)＝________.8．设函数f(x)＝113e,1,,1,x xx x-⎧<⎪⎨⎪⎩≥则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________________．9．(2015·浙江)已知函数f(x)＝x＋2x－3，x≥1，lg(x2＋1)，x＜1，则f(f(－3))＝________，f(x)的最小值是________．*10.设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，下列关于高斯函数的说法正确的有________．①[－x ]＝－[x ]；②x －1<[x ]≤x ；③∀x ，y ∈R ，[x ]＋[y ]≤[x ＋y ]；④∀x ≥0，y ≥0，[xy ]≤[x ][y ]；⑤离实数x 最近的整数是－[－x ＋12]．11．已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求函数f (x )的解析式．12．已知f(x)＝f(x＋1)，－2<x<0，2x＋1，0≤x＜2，x2－1，x≥2.(1)求f(－32)的值；(2)若f(a)＝4且a>0，求实数a的值．。
高中数学课件-2 1 函数及其表示
第二章
2.1
函数及其表示
知识梳理 知识梳理 双击自测 核心考点 学科素养
考纲要求
-6-
3.映射的概念 两个非空集合A和B间存在着对应关系f,而且对于A中的每一个元 素x,B中总有唯一的一个元素y与它对应,就称这种对应为从A到B的 映射,记作f:A→B.A中的元素x称为原像,B中的对应元素y称为x的像, 记作f:x→y. 4.映射与函数的关系 函数是从非空数集到非空数集的映射,该映射中的原像的集合称 为定义域,像的集合称为值域.
(2)函数 f(x)= A.(2,3) C.(2,3)∪(3,4]
������2 -5������+6 4-|������| +lg ������-3
的定义域为(
)
B.(2,4] D.(-1,3)∪(3,6]
关闭
要使函数有意义,须 即 -4 ≤ ������ ≤ 4,
4-|������| ≥ 0,
������ 2 -5������ +6 ������ -3
函数及其表示
知识梳理 双击自测 核心考点 核心考点 学科素养
考纲要求
-14-
考点4
知识方法
易错易混
思考:怎样判断两个函数相等? 解题心得:两个函数是否相等,取决于它们的定义域和对应关系 是否相同,只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时,才相 等.另外,函数的自变量习惯上用x表示,但也可用其他字母表示, 如:f(x)=2x-1,g(t)=2t-1,h(m)=2m-1均相等.
第二章
2.1
函数及其表示
知识梳理 知识梳理 双击自测 核心考点 学科素养
考纲要求
-4-
1.函数的基本概念 (1)函数的定义:给定两个非空数集A和B,如果按照某个对应关系f, 对于集合A中的任何一个数x,在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与 之对应,那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数,记作f:A→B 或y=f(x),x∈A,此时x叫作自变量,集合A叫作函数的定义域,集合 {f(x)|x∈A}叫作函数的值域. (2)函数的三要素是:定义域、值域和对应关系. (3)相等函数:如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一 致,我们就称这两个函数相等. (4)表示函数的常用方法有:解析法、列表法和图像法. (5)分段函数:若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区 间,有着不同的对应关系,这样的函数通常叫作分段函数.分段函数 的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.
2.1函数及表示
2017年高考专题辅导二 函数及其表示1． 函数的基本概念(1)函数的定义设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f(x)，x ∈A. (2)函数的定义域、值域在函数y ＝f(x)，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x ∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(3)函数的三要素：定义域、对应关系和值域． (4)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法、列表法． 2． 映射的概念设A 、B 是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一 个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射． 3． 函数解析式的求法求函数解析式常用方法有待定系数法、换元法、配凑法、消去法． 4． 常见函数定义域的求法(1)分式函数中分母不等于零． (2)偶次根式函数被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域为R.(4)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x ，定义域均为R. (5)y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z .(6)函数f (x )＝x a 的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}．题型一 函数与映射 例1 有以下判断：(1)f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (x ≥0)－1 (x <0)表示同一函数；(2)函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个； (3)f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；(4)若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝0. 其中正确判断的序号是________．已知a ，b 为两个不相等的实数，集合M ＝{a 2－4a ，－1}，N ＝{b 2－4b ＋1，－2}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4 题型二 求函数的解析式【例2】 (1)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )；(2)定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求函数f (x )的解析式．(2012·武汉模拟)给出下列两个条件：(1)f (x ＋1)＝x ＋2x ；(2)f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2.试分别求出f (x )的解析式．题型三 函数的定义域 【例3】 (1)函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为______________．(2)若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是 ( )A ．[0,1]B ．[0,1)C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1)(1)若函数f (x )＝x －4mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是__________．(2)已知f (x )的定义域是[0,4]，则f (x ＋1)＋f (x －1)的定义域是__________． 题型四 分段函数【例4】设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤2，log 81x ，x >2，则满足f (x )＝14的x 值为 ( )A ．2B ．3C ．2或3D ．－2A 组 课堂知识过手一、选择题1．(2014·广州调研)若函数y ＝f(x)的定义域为M ＝{x|－2≤x≤2}，值域为N ＝{y|0≤y≤2}，则函数y ＝f(x)的图象可能是( )2．(2014·郑州模拟)函数f(x)＝3x21－x＋lg(3x ＋1)的定义域是 ( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－133．设函数f(x)＝2x ＋3，g(x ＋2)＝f(x)，则g(x)的表达式是( )A ．2x ＋1B ．2x －1C ．2x －3D ．2x ＋74．(2015·合肥检测)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＜0，f （x －1）＋1，x ≥0，则f(2 014)＝ ( )A ．2 014 B.4 0292C ．2 015 D.4 0312二、填空题5．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－x 21＋x 2，则f(x)的解析式为________．6．(2015·武汉一模)若函数f(x)＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围是________．三、解答题7．已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x ＋1)＝f(x)＋x ＋1.求函数f(x)的解析式． 8．设f(x)＝lg2＋x 2－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 的定义域为 ( ) A ．(－4，0)∪(0，4)B ．(－4，－1)∪(1，4)C ．(－2，－1)∪(1，2)D ．(－4，－2)∪(2，4)9．(2014·包头测试与评估)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧31－x，x ≤1，1－log 3x ，x ＞1，则满足f(x)≤3的x 的取值范围是 ( )A ．[0，＋∞)B ．[－1，3]C ．[0，3]D ．[1，＋∞)10．(2015·杭州质检)函数f(x)＝ln1|x|＋1的值域是________． B 组 课后强化训练一、选择题1．下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为 ( )．A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln xxC ．y ＝x e xD ．y ＝sin xx2．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b ＞1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －x 2)，x ∈R.若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )．A ．(－∞，－2]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32B ．(－∞，－2]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－34C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，14∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞二、解答题3．求下列函数的定义域： (1)f (x )＝－xx －3； (2)y ＝lg(x －1)＋lgx ＋1x －1＋19－x.2017年高考专题辅导二 函数及其表示1． 函数的基本概念(1)函数的定义设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f(x)，x ∈A. (2)函数的定义域、值域在函数y ＝f(x)，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x ∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(3)函数的三要素：定义域、对应关系和值域． (4)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法、列表法． 2． 映射的概念设A 、B 是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一 个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射． 3． 函数解析式的求法求函数解析式常用方法有待定系数法、换元法、配凑法、消去法． 4． 常见函数定义域的求法(1)分式函数中分母不等于零． (2)偶次根式函数被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域为R.(4)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x ，定义域均为R. (5)y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z .(6)函数f (x )＝x a 的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}．题型一 函数与映射 例1 有以下判断：(1)f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (x ≥0)－1 (x <0)表示同一函数；(2)函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个； (3)f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；(4)若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝0. 其中正确判断的序号是________．思维启迪：可从函数的定义、定义域和值域等方面对所给结论进行逐一分析判断． 答案 (2)(3)解析 对于(1)，由于函数f (x )＝|x |x 的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎨⎧1 (x ≥0)－1 (x <0)的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于(2)，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图象没有交点，如果x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图象只有一个交点，即y ＝f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点；对于(3)，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x ) 和g (t )表示同一函数；对于(4)，由于f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f (0)＝1. 综上可知，正确的判断是(2)(3)．已知a ，b 为两个不相等的实数，集合M ＝{a 2－4a ，－1}，N ＝{b 2－4b ＋1，－2}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 D解析 由已知可得M ＝N ，故⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－4a ＝－2，b 2－4b ＋1＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a ＋2＝0，b 2－4b ＋2＝0，所以a ，b 是方程x 2－4x ＋2＝0的两根，故a ＋b ＝4. 题型二 求函数的解析式【例2】 (1)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )；(2)定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求函数f (x )的解析式． 思维启迪：求函数的解析式，要在理解函数概念的基础上，寻求变量之间的关系． 解 (1)令t ＝2x ＋1，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1. (2)当x ∈(－1,1)时，有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)．① 以－x 代替x 得，2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)．② 由①②消去f (－x )得，f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1,1)．(2012·武汉模拟)给出下列两个条件：(1)f (x ＋1)＝x ＋2x ；(2)f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2.试分别求出f (x )的解析式． 解 (1)令t ＝x ＋1，∴t ≥1，x ＝(t －1)2. 则f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1， ∴f (x )＝x 2－1 (x ≥1)．(2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又f (0)＝c ＝3. ∴f (x )＝ax 2＋bx ＋3，∴f (x ＋2)－f (x )＝a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋3－(ax 2＋bx ＋3)＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＝44a ＋2b ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－1， ∴f (x )＝x 2－x ＋3. 题型三 函数的定义域 【例3】 (1)函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为______________．(2)若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是 ( )A ．[0,1]B ．[0,1)C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1)解析 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0－x 2－3x ＋4>0，得－1<x <1.(2)依已知有⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，x －1≠0，解之得0≤x <1，定义域为[0,1)．故选B.探究提高 (1)求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集．(2)已知f (x )的定义域是[a ，b ]，求f [g (x )]的定义域，是指满足a ≤g (x )≤b 的x 的取值范围，而已知f [g (x )]的定义域是[a ，b ]，指的是x ∈[a ，b ]．(1)若函数f (x )＝x －4mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是__________． 答案 ⎣⎡⎭⎫0，34 解析 f (x )的定义域为R ，即mx 2＋4mx ＋3≠0恒成立． ①当m ＝0时，符合条件．②当m ≠0时，Δ＝(4m )2－4×m ×3<0， 即m (4m －3)<0，∴0<m <34.综上所述，m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫0，34. (2)已知f (x )的定义域是[0,4]，则f (x ＋1)＋f (x －1)的定义域是__________． 答案 [1,3]解析 由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋1≤40≤x －1≤4，得1≤x ≤3.故f (x ＋1)＋f (x －1)的定义域为[1,3]． 题型四 分段函数【例4】设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤2，log 81x ，x >2，则满足f (x )＝14的x 值为 ( )A ．2B ．3C ．2或3D ．－2 答案 C解析 当x ≤2时，由f (x )＝14，得2－x ＝14.解得x ＝2.当x >2时，由f (x )＝14，得log 81x ＝14，解得x ＝3.A 组 课堂知识过手一、选择题1．(2014·广州调研)若函数y ＝f(x)的定义域为M ＝{x|－2≤x≤2}，值域为N ＝{y|0≤y≤2}，则函数y ＝f(x)的图象可能是( )解析 可以根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案． 答案 B2．(2014·郑州模拟)函数f(x)＝3x21－x＋lg(3x ＋1)的定义域是 ( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13解析 由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，3x ＋1＞0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，x ＞－13，所以定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1.答案 A3．设函数f(x)＝2x ＋3，g(x ＋2)＝f(x)，则g(x)的表达式是( )A ．2x ＋1B ．2x －1C ．2x －3D ．2x ＋7解析 ∵g(x＋2)＝f(x)＝2x ＋3＝2(x ＋2)－1， ∴g(x)＝2x －1. 答案 B4．(2015·合肥检测)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＜0，f （x －1）＋1，x ≥0，则f(2 014)＝ ( )A ．2 014B.4 0292C ．2 015 D.4 0312解析 f(2 014)＝f(2 013)＋1＝…＝f(0)＋2 014＝f(－1)＋2 015＝2－1＋2 015＝4 0312. 答案 D5．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－x 21＋x 2，则f(x)的解析式为________．解析 令t ＝1－x 1＋x ，由此得x ＝1－t1＋t(t≠－1)，所以f(t)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 1＋t 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 1＋t 2＝2t 1＋t 2， 从而f(x)的解析式为f(x)＝2x1＋x2(x≠－1)． 答案 f(x)＝2x1＋x2(x≠－1)6．(2015·武汉一模)若函数f(x)＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围是________．解析 由题意知2x 2＋2ax －a －1≥0恒成立． ∴x 2＋2ax －a≥0恒成立， ∴Δ＝4a 2＋4a≤0，∴－1≤a≤0. 答案 [－1，0]三、解答题7．已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x ＋1)＝f(x)＋x ＋1.求函数f(x)的解析式． 解 设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)，又f(0)＝0，∴c ＝0，即f(x)＝ax 2＋bx.又f(x ＋1)＝f(x)＋x ＋1.∴a(x ＋1)2＋b(x ＋1)＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1.∴(2a ＋b)x ＋a ＋b ＝(b ＋1)x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝12.∴f(x)＝12x 2＋12x.8．设f(x)＝lg 2＋x 2－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 的定义域为 ( ) A ．(－4，0)∪(0，4)B ．(－4，－1)∪(1，4)C ．(－2，－1)∪(1，2)D ．(－4，－2)∪(2，4)解析 ∵2＋x 2－x＞0，∴－2＜x ＜2， ∴－2＜x 2＜2且－2＜2x＜2， 取x ＝1，则2x＝2不合题意(舍去)， 故排除A ，取x ＝2，满足题意，排除C ，D ，故选B.答案 B9．(2014·包头测试与评估)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧31－x，x ≤1，1－log 3x ，x ＞1，则满足f(x)≤3的x 的取值范围是( ) A ．[0，＋∞)B ．[－1，3]C ．[0，3]D ．[1，＋∞)解析 依题意，不等式f(x)≤3等价于①⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，31－x ≤3或 ②⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，1－log 3x ≤3.解①得0≤x≤1，解②得x ＞1.因此，满足f(x)≤3的x 的取值范围是[0，1]∪(1，＋∞)＝[0，＋∞)．答案 A10．(2015·杭州质检)函数f(x)＝ln 1|x|＋1的值域是________． 解析 依题意，因为 |x|＋1≥1，则0＜1|x|＋1≤1， ln 1|x|＋1≤ln 1＝0，即函数的值域是(－∞，0]． 答案 (－∞，0]B 组 课后强化训练一、选择题1．下列函数中，与函数y ＝13x 定义域相同的函数为 ( )． A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln x xC ．y ＝x e xD ．y ＝sin x x 解析 函数y ＝13x的定义域为{x |x ≠0，x ∈R}与函数y ＝sin x x 的定义域相同，故选D. 答案 D 2．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，a －b ≤1，b ，a －b ＞1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －x 2)，x ∈R.若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )．A ．(－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎪⎫－1，32 B ．(－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎪⎫－1，－34 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，14∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ 解析 当(x 2－2)－(x －x 2)≤1，即－1≤x ≤32时，f (x )＝x 2－2； 当x 2－2－(x －x 2)＞1，即x ＜－1或x ＞32时，f (x )＝x －x 2， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1≤x ≤32，x －x 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＜－1或x ＞32，f (x )的图象如图所示，c ≤－2或－1＜c ＜－34.答案 B二、解答题3．求下列函数的定义域：(1)f (x )＝－xx －3；(2)y ＝lg(x －1)＋lgx ＋1x －1＋19－x . 解 (1)⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x ＞0x －3≠0，⇒x ＜4且x ≠3，故该函数的定义域为(－∞，3)∪(3,4)．(2)⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＞0，x ＋1x －1＞0，9－x ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞1，x ＞1，x ＜9或x ＜－1，解得1＜x ＜9.故该函数的定义域为(1,9)．。
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高三数学一轮总结复习目录理科数学 -模拟试题分类目录1第一章会合与常用逻辑用语1.1 会合的观点与运算专题 1 会合的含义与表示、会合间的基本关系专题 2 会合的基本运算专题 3 与会合有关的新观点问题1.2 命题及其关系、充要条件专题 1 四种命题及其关系、命题真假的判断专题 2 充足条件和必需条件专题 3 充足、必需条件的应用与研究（利用关系或条件求解参数范围问题）1.3 简单的逻辑联络词、全称量词与存在量词专题 1 含有简单逻辑联络词的命题的真假专题 2 全称命题、特称命题的真假判断专题 3 含有一个量词的命题的否认专题 4 利用逻辑联络词求参数范围第二章函数2.1 函数及其表示专题 1 函数的定义域专题 2 函数的值域专题 3 函数的分析式专题 4 分段函数2.2 函数的单一性与最值专题 1 确立函数的单一性（或单一区间）专题 2 函数的最值专题 3 单一性的应用2.3 函数的奇偶性与周期性专题 1 奇偶性的判断专题 2 奇偶性的应用专题 3 周期性及其应用2.4 指数与指数函数专题 1 指数幂的运算专题 2 指数函数的图象及应用专题 3 指数函数的性质及应用2.5 对数与对数函数专题 1 对数的运算专题 2 对数函数的图象及应用专题 3 对数函数的性质及应用2.6 幂函数与二次函数专题 1 幂函数的图象与性质专题 2 二次函数的图象与性质2.7 函数的图像专题 1 函数图象的辨别专题 2 函数图象的变换专题 3 函数图象的应用2.8 函数与方程专题 1 函数零点所在区间的判断专题 2 函数零点、方程根的个数专题 3 函数零点的综合应用2.9 函数的应用专题 1 一次函数与二次函数模型专题 2 分段函数模型2专题 3 指数型、对数型函数模型第三章导数及其应用3.1 导数的观点及运算专题 1 导数的观点与几何意义专题 2 导数的运算3.2 导数与函数的单一性、极值、最值专题 1 导数与函数的单一性专题 2 导数与函数的极值专题 3 导数与函数的最值3.3 导数的综合应用专题 1 利用导数解决生活中的优化问题专题 2 利用导数研究函数的零点或方程的根专题 3 利用导数解决不等式的有关问题3.4 定积分与微积分基本定理专题 1 定积分的计算专题 2 利用定积分求平面图形的面积专题 4 定积分在物理中的应用第四章三角函数、解三角形4.1 三角函数的观点、同角三角函数的基本关系及引诱公式专题 1 三角函数的观点专题 2 同角三角函数的基本关系专题 3 引诱公式4.2 三角函数的图像与性质专题 1 三角函数的定义域、值域、最值专题 2 三角函数的单一性专题 3 三角函数的奇偶性、周期性和对称性4.3 函数 y = A sin(wx +j ) 的图像及应用专题 1 三角函数的图象与变换专题 2 函数 y=Asin( ωx+φ ) 图象及性质的应用4.4 两角和与差的正弦、余弦与正切公式专题 1 非特别角的三角函数式的化简、求值专题 2 含条件的求值、求角问题专题 3 两角和与差公式的应用4.5 三角恒等变换专题 1 三角函数式的化简、求值专题 2 给角求值与给值求角专题 3 三角变换的综合问题4.6 解三角形专题 1 利用正弦定理、余弦定理解三角形专题 2 判断三角形的形状专题 3 丈量距离、高度及角度问题专题 4 与平面向量、不等式等综合的三角形问题第五章平面向量5.1 平面向量的观点及线性运算专题 1 平面向量的线性运算及几何意义专题 2 向量共线定理及应用专题 3 平面向量基本定理的应用5.2 平面向量基本定理及向量的坐标表示专题 1 平面向量基本定理的应用3专题 2 平面向量的坐标运算专题 3 平面向量共线的坐标表示5.3 平面向量的数目积专题 1 平面向量数目积的运算专题 2 平面向量数目积的性质专题 3 平面向量数目积的应用5.4 平面向量的应用专题 1 平面向量在几何中的应用专题 2 平面向量在物理中的应用专题 3 平面向量在三角函数中的应用专题 4 平面向量在分析几何中的应用第六章数列6.1 数列的观点与表示专题 1 数列的观点专题 2 数列的通项公式6.2 等差数列及其前 n 项和专题 1 等差数列的观点与运算专题 2 等差数列的性质专题 3 等差数列前 n 项和公式与最值6.3 等比数列及其前 n 项和专题 1 等比数列的观点与运算专题 2 等比数列的性质专题 3 等比数列前 n 项和公式6.4 数列乞降专题 1 分组乞降与并项乞降专题 2 错位相减乞降专题 3 裂项相消乞降6.5 数列的综合应用专题 1 数列与不等式相联合问题专题 2 数列与函数相联合问题专题 3 数列中的研究性问题第七章不等式推理与证明7.1 不等关系与一元二次不等式专题 1 不等式的性质及应用专题 2 一元二次不等式的解法专题 3 一元二次不等式恒建立问题7.2 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题专题 1 二元一次不等式（组）表示的平面地区问题专题 2 与目标函数有关的最值问题专题 3 线性规划的实质应用7.3 基本不等式及其应用专题 1 利用基本不等式求最值专题 2 利用基本不等式证明不等式专题 3 基本不等式的实质应用7.4 合情推理与演绎推理专题 1 概括推理专题 2 类比推理专题 3 演绎推理7.5 直接证明与间接证明专题 1 综合法4专题 2 剖析法专题 3 反证法7.6 数学概括法专题 1 用数学概括法证明等式专题 2 用数学概括法证明不等式专题 3 概括－猜想－证明第八章立体几何8.1 空间几何体的构造及其三视图和直观图专题 1 空间几何体的构造专题 2 三视图与直观图8.2 空间几何体的表面积与体积专题 1 空间几何体的表面积专题 2 空间几何体的体积专题 3 组合体的“接”“切”综合问题8.3 空间点、直线、平面之间的地点关系专题 1 平面的基天性质及应用专题 2 空间两条直线的地点关系专题 3 异面直线所成的角8.4 直线、平面平行的判断与性质专题 1 线面平行、面面平行基本问题专题 2 直线与平面平行的判断与性质专题 3 平面与平面平行的判断与性质8.5 直线、平面垂直的判断与性质专题 1 垂直关系的基本问题专题 2 直线与平面垂直的判断与性质专题 3 平面与平面垂直的判断与性质专题 4 空间中的距离问题专题 5 平行与垂直的综合问题（折叠、研究类）8.6 空间向量及其运算专题 1 空间向量的线性运算专题 2 共线定理、共面定理的应用专题 3 空间向量的数目积及其应用8.7 空间几何中的向量方法专题 1 利用空间向量证明平行、垂直专题 2 利用空间向量解决研究性问题专题 3 利用空间向量求空间角第九章分析几何9.1 直线的倾斜角、斜率与直线的方程专题 1 直线的倾斜角与斜率专题 2 直线的方程9.2 点与直线、两条直线的地点关系专题 1 两条直线的平行与垂直专题 2 直线的交点问题专题 3 距离公式专题 4 对称问题9.3 圆的方程专题 1 求圆的方程专题 2 与圆有关的轨迹问题专题 3 与圆有关的最值问题59.4 直线与圆、圆与圆的地点关系专题 1 直线与圆的地点关系专题 2 圆与圆的地点关系专题 3 圆的切线与弦长问题专题 4 空间直角坐标系9.5 椭圆专题 1 椭圆的定义及标准方程专题 2 椭圆的几何性质专题 3 直线与椭圆的地点关系9.6 双曲线专题 1 双曲线的定义与标准方程专题 2 双曲线的几何性质9.7 抛物线专题 1 抛物线的定义与标准方程专题 2 抛物线的几何性质专题 3 直线与抛物线的地点关系9.8 直线与圆锥曲线专题 1 轨迹与轨迹方程专题 2 圆锥曲线中的范围、最值问题专题 3 圆锥曲线中的定值、定点问题专题 4 圆锥曲线中的存在、研究性问题第十章统计与统计事例10.1 随机抽样专题 1 简单随机抽样专题 2 系统抽样专题 3 分层抽样10.2 用样本预计整体专题 1 频次散布直方图专题 2 茎叶图专题 3 样本的数字特点专题 4 用样本预计整体10.3 变量间的有关关系、统计事例专题 1 有关关系的判断专题 2 回归方程的求法及回归剖析专题 3 独立性查验第十一章计数原理11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理专题 1 分类加法计数原理专题 2 分步乘法计数原理专题 3 两个计数原理的综合应用11.2 摆列与组合专题 1 摆列问题专题 2 组合问题专题 3 摆列、组合的综合应用11.3 二项式定理专题 1 通项及其应用专题 2 二项式系数的性质与各项系数和专题 3 二项式定理的应用第十二章概率与统计612.1 随机事件的概率专题 1 事件的关系专题 2 随机事件的频次与概率专题 3 互斥事件、对峙事件12.2 古典概型与几何概型专题 1 古典概型的概率专题 2 古典概型与其余知识的交汇（平面向量、直线、圆、函数等）专题 3 几何概型在不一样测度中的概率专题 4 生活中的几何概型问题12.3 失散型随机变量及其散布列专题 1 失散型随机变量的散布列的性质专题 2 求失散型随机变量的散布列专题 3 超几何散布12.4 失散型随机变量的均值与方差专题 1 简单的均值、方差问题专题 2 失散型随机变量的均值与方差专题 3 均值与方差在决议中的应用12.5 二项散布与正态散布专题 1 条件概率专题 2 互相独立事件同时发生的概率专题 3 独立重复试验与二项散布专题 4 正态散布下的概率第十三章算法初步、复数13.1 算法与程序框图专题 1 次序构造专题 2 条件构造专题 3 循环构造13.2 基本算法语句专题 1 输入、输出和赋值语句专题 2 条件语句专题 3 循环语句13.3 复数专题 1 复数的有关观点专题 2 复数的几何意义专题 3 复数的代数运算第十四章选修模块14.1 几何证明选讲专题 1 平行线分线段成比率定理专题 2 相像三角形的判断与性质专题 3 直角三角形的射影定理专题 4 圆周角、弦切角及圆的切线专题 5 圆内接四边形的判断及性质专题 6 圆的切线的性质与判断专题 7 与圆有关的比率线段14.2 坐标系与参数方程专题 1 极坐标与直角坐标的互化专题 2 直角坐标方程与极坐标方程的互化专题 3 曲线的极坐标方程的求解专题 4 曲线的参数方程的求解专题 5 参数方程与一般方程的互化7专题 6 极坐标方程与参数方程的应用14.3 不等式选讲专题 1 含绝对值不等式的解法专题 2 绝对值三角不等式的应用专题 3 含绝对值不等式的问题专题 4 不等式的证明8。
2018年高考数学一轮总复习 专题2.1 函数及其表示练习(含解析)理
专题.1 函数及其表示真题回放1. 【2017高考天津理第1题】设函数y =A ，函数ln(1)y x =-的定义域B ，则A B =（ ）（A ）()1,2 （B ）(]1,2 （C ）()2,1- （D ）[)2,1- 【答案】D【解析】：由240x -≥得22x -≤≤，由10x ->得1x <，故AB ={}|21x x -≤≤，选D【考点解读】1.集合的运算 2.函数定义域 3.简单不等式的解法，集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再运算，常常借助数轴或韦恩图来处理2. 【2015高考湖北文第6题】函数256()lg 3x x f x x -+=-的定义域为（ ）（A ）()2,3 （B ）(]2,4 （C ）()(]2,33,4 （D ）()(]1,33,6-【答案】C【考点解读】本题考察函数的定义域，涉及根式、绝对值、对数和分式、交集等内容 3. 【2015高考福建理第14题】若函数64,2()(01)3log ,2a x x f x a a x x -+≥≥⎧=>≠⎨+<⎩且的值域是[)4+∞，，则实数的取值范围是______ 【答案】(]12，【解析】：当2x ≤，故64x -+≥，要使得函数()f x 的值域为[)4+∞，，只需()1()3l o g2a f x x x =+>的值域包含于[)4+∞，，故1a >，所以1()3log 2a f x >+，所以3log 24a +≥，解得12a <≤，所以实数的取值范围是(]12，【考点解读】本题考查分段函数的值域问题，分段函数是一个函数，其值域是各段函数值取值范围的并集，将分段函数的值域问题转化为集合之间的包含关系，是本题的两点，要注意分类讨论思想的运用 考点分析1.函数及其表示了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域 了解映射的概念在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数 2.了解简单的分段函数并能简单的应用3.函数的概念、解析式、图像、分段函数的应用为高考主要考点，重点考查数形结合、分类讨论思想及逻辑推理能力，2018年复习时应予以高度关注. 融会贯通题型一 映射与函数的概念【例1】给出四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②()f x =③函数2(N)y x x ∈＝的图象是一条直线；④2()x f x x=与()g x x ＝是同一个函数．其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】A知识链接1.符号:f A B →表示集合A 到集合B 的一个映射，它有以下特点： (1)对应法则有方向性, :f A B →与:f B A →不同;(2)集合A 中任何一个元素,在f 下在集合B 中都有唯一的元素与对应; (3)象不一定有原象,象集C 与B 间关系是C B ⊆.2.函数是特殊的映射,它特殊在要求集合A 和B 都是非空数集.函数三要素是指定义域、值域、对应法则.同一函数必须满足:定义域相同、对应法则相同.3.要注意()f a 与()f x 的区别与联系，()f a 表示x a =时，函数()f x 的值，它是一个常数，而()f x 是自变量的函数，对于非常数函数，它是一个变量，()f a 是()f x 的一个特殊值.4.区间是某些数集的一种重要表示形式，具有简单直观的优点.应注意理解其含义并准确使用.5.函数的表示方法有三种：解析法、图象法、列表法. 【变式训练】1.下列四组函数中，表示为同一函数的是（ ）A ．(),()f x x g x ==B ．x x f -=2)(与2)(-=x x gC ．21(),()11x f x g x x x -==+- D ．()()f x g x ==【答案】A2.已知函数()23,f x x x A =-∈的值域为{1,1,3}-，则定义域A 为 . 【答案】{1,2,3}【解析】由函数定义，令()f x 分别等于1,1,3-，求对应自变量的值，即得定义域为{1,2,3}. 解题技巧与方法总结1.判断一个对应是否为映射，关键看是否满足“集合A 中元素的任意性，集合B 中元素的唯一性”．2. 判断一个对应f ：A →B 是否为函数，一看是否为映射；二看A ，B 是否为非空数集．若是函数，则A 是定义域，而值域是B 的子集．3. 函数的三要素中，若定义域和对应关系相同，则值域一定相同．因此判断两个函数是否相同，只需判断定义域、对应关系是否分别相同． 题型二 函数的定义域问题典例1. (2017·南师大考前模拟)函数()f x =的定义域为 ▲ ．【答案】3,22⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】由题意得123log (23)0023122x x x -≥⇒<-≤⇒<≤，即定义域是3,22⎛⎤ ⎥⎝⎦【变式训练】(2017届河南南阳一中高三文月考)函数()lg(1)f x x =+的定义域为（ ）（A ）(1,0)(0,1]- （B ）(1,1]- （C ）(4,1]-- （D ）(4,0)(0,1]-【答案】A【解析】要使函数有意义，应有⎪⎩⎪⎨⎧≠+>+≥+--11,01,0432x x x x 解得01<<-x 或10≤<x ，故选A.解题技巧与方法总结已知解析式求函数定义域问题列式主要从分母不为零、偶次根式下被开方数非负、对数中真数大于零等角度出发，而解则与一元二次不等式、指对数不等式、三角不等式等联系在一起 典例2. (2016·福建福州五校联考理)已知函数(2)y f x =-定义域是[]0,4，则(1)1f x y x +=-的定义域是_________ 【答案】[)3,1-【变式训练1】已知函数()f x 的定义域为[]1,2-，求函数2(1)(1)y f x f x =+--的定义域【答案】由题意2112112x x -≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，1x ≤ 【解析】求函数()()y f x g x =+的定义域，一般先分别求函数()y f x =和函数()y g x =的定义域A 、B ，再求A B I ，即为所求函数的定义域【变式训练2】(2016~2017学年广西陆川县中学月考)已知函数12(log )y f x =的定义域为11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则函数(2)x y f =的定义域为（ ）A ．[]1,0-B ．[]0,2C ．[]1,2-D ．[]0,1 【答案】D解题技巧与方法总结（1）已知原函数()[](),f x a b f a x b << ()f x 的定义域为(),a b ，求复合函数[]()f g x 的定义域：只需解不等式()a g x b <<，不等式的解集即为所求函数的定义域；（2）已知复合函数[]()f g x 的定义域为(),a b ，求原函数()f x 的定义域：只需根据a x b <<求出函数()g x 的值域，即得原函数()f x 的定义域；（3）求函数()()y f x g x =+的定义域，一般先分别求函数()y f x =和函数()y g x =的定义域A 、B ，再求A B I ，即为所求函数的定义域典例3.已知函数()f x =R ，则实数的取值范围是（ ）（A ）120a -<≤ （B ）120a -<< （C ）13a > （D ）13a ≤ 【答案】A【解析】函数()f x =R ，只需分母不为即为，所以0a =或24(3)0a a a ≠⎧⎨∆=-⨯-<⎩，可得120a -<≤ 【变式训练】已知函数4()12f x x =-+的定义域是[],a b （,a b 为整数），值域是[]0,1，则所有满足条件的整数数对(),a b 所组成的集合为_____________ 【答案】()()()()(){}2,0,2,1,2,2,1,2,0,2----题型三 函数的值域问题 命题点1 求函数的值域 典例1.函数()=x f 25243x x -+的值域是 . 【答案】 (0，5]【解析】因为2x 2-4x+3=2(x-1)2+1≥1，所以0<212-43x x +≤1，所以0<y ≤5，所以值域为(0，5].典例2 求函数253)(-+=x x x f 的值域. 【答案】{}|3y y ≠【变式训练1】(2016·江苏省扬州市期末统考)函数221xx y =+()0x ≥的值域为 ． 【答案】1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】函数221111212121x x x x x y +-===-+++110,21,212,0212x x x x ≥∴≥∴+≥∴<≤+Q 1111221x ∴≤-<+【变式训练2】(2016-2017学年黑龙江哈师大附中)函数()f x 的值域为 ． 【答案】[)1,1-解题技巧与方法总结分离常数法求值域步骤：第一步 观察函数()f x 类型，型如()ax bf x cx d +=+； 第二步 对函数()f x 变形成()a ef x c cx d=++形式；第三步 求出函数ey cx d=+在()f x 定义域范围内的值域，进而求函数()f x 的值域.典例3 求函数y x =+. 【答案】(,1]-∞【解析】令210,2t t x -=≥=，原函数化为()211022y t t t =-++≥，其开口向下，并且对称轴是1t =，故当1t =时取得最大值为，没有最小值，故值域为(,1]-∞. 解题技巧与方法总结换元法求值域：第一步 观察函数解析式的形式，函数变量较多且相互关联；第二步 另新元代换整体，得一新函数，求出新函数的值域即为原函数的值域. 典例4 (2016人教A 版双基双测)函数21xy x =+的值域为__________ 【答案】11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】法一：当0x =时，0y =当0x >时，21112,x x y x x +==+≥=当且仅当1x x =即1x =时取“=”，所以102y <≤当0x <时，211112,x x x y x x x +⎛⎫⎫==+=----=- ⎪⎪⎝⎭⎭当且仅当1x x -=-即1x =-时取“=”，所以102y -≤<综上1122y -≤≤法二：21x y x =+，所以20yx x y -+=有解当0y =时方程有解；当0y ≠时，由0≥V 可得2140y -≥，∴1122y -≤≤且0y ≠综上可知1122y -≤≤ 【变式训练1】已知52x ≥，求函数245()24x x f x x -+=- 的最小值.【答案】最小值为1【变式训练2】 若函数()y f x =的值域为1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则函数()()()1F x f x f x =+的值域是（ ）A ．1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．510,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【变式训练3】(2016届浙江省杭州市学军中学高三5月模拟，理16)已知实数,a b R ∈,若223a ab b -+=, 则()22211ab a b +++的值域为 ．【答案】160,7⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：222233233a ab b a b ab ab ab -+=⇒+=+≥⇒-≤≤()()2222211(3)9614ab ab t t a b ab t t++-===+-+++，其中4[1,7]t ab =+∈，所以9660t t +-≥=，当且仅当3t =时取等号，又当7t =时96t t +-取最大值167， 故值域为160,7⎡⎤⎢⎥⎣⎦考点：函数值域典例5求函数3274222++-+=x x x x y 的值域.【答案】9,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】 2223(1)20x x x ++=++>Q ，所以函数的定义域为R原函数可以化为2223247x y xy y x x ++=+-，整理得：()222(2)370y x y x y -+-++=当2y ≠时，上式可以看成关于的二次方程，该方程的范围应该满足解题技巧与方法总结判别式法求函数值域：观察函数解析式的形式，型如22dx ex fy ax bx c++=++的函数，将函数式化成关于的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数y 的取值范围，即得函数的值域. 【精要点评】配方法、分离常数法和换元法是求常见函数值域的有效方法，但要注意各种方法所适用的函数形式，还要注意函数定义域的限制.换元法多用于无理函数，换元的目的是进行化归，把无理式转化为有理式来解；二次分式型函数求值域，多采用分离出整式利用基本不等式法求解. 命题点2 已知函数定义域(值域)求参数的取值范围典例1 (2016-2017学年河北卓越联盟高一上学期月考三数学试卷)若函数244y x x =--的定义域为[]0,m ，值域为[]8,4--，则m 的取值范围是（ ）A ．()2,4B ．[)2,4 C ．(]2,4 D ．[]2,4【答案】D【解析】二次函数对称轴为2x =，当2x =时取得最小值8-，当0x =时函数值为4-，由对称性可知4x =时函数值为4-，所以m 的取值范围是[]2,4【变式训练】(2014届陕西省考前保温训练)函数2()46f x x x =--的定义域为[0]m ，，值域为[10,6]﹣﹣，则m 的取值范围是（ ）A ．0，4]B ．2，4]C ．2，6]D ．4，6]【答案】B典例2(江苏省南京师范大学附属中学2015-2016学年期中)已知函数()f x =的定义域是一切实数，则m 的取值范围是__________． 【答案】[]04，【解析】当0m =时，显然函数有意义，当0m ≠，则210mx mx ++≥对一切实数恒成立，所以0{m >∆≤，得04m <≤，综合得04m ≤≤点睛：本题在解题时尤其要注意对0m =时的这种情况的检验，然后根据二次函数大于等于零恒成立，只需开口向上0∆≤即可.【变式训练】(2015-2016浙江湖州中学高二期中，理14)已知函数2()lg(1)f x mx mx =++，若此函数的定义域为R ，则实数m 的取值范围是 ；若此函数的值域为R ，则实数m 的取值范围是 ．【答案】04m ≤< 4m ≥考点：对数函数定义域、值域.典例3 (2015-2016学年广西南宁八中高一上期末)若函数21242y x x =-+的定义域、值域都是闭区间[2]2b ，，则的取值为 ． 【答案】2；【解析】联系二次函数图象特点，注意函数在闭区间[2]2b ，是单调增函数． 解：函数21242y x x =-+的图象是开口向上的抛物线，对称轴是2x =，∴函数在闭区间[2]2b ，上是单调增函数， 函数的定义域、值域都是闭区间[2]2b ， ∴2x b =时，函数有最大值2b ， ∴21422422b b b ⨯⨯+=﹣，∴1b =（舍去） 或2b =， ∴的取值为 2．考点：函数的值域；函数的定义域及其求法．【变式训练】(2017届江苏如东高级中学等四校高三12月联考)已知函数()224f x x x =-+定义域为[],a b ，其中a b <，值域[]3,3a b ，则满足条件的数组(),a b 为__________． 【答案】()1,4题型四 求函数的解析式典例1 (江西新余四中2016~2017月考)已知2(1)2f x x x +=-，求函数()f x 的解析式 【答案】2()43f x x x =-+【解析】令1x t +=，则1x t =-，求得()f t 的表达式，从而求得()f x 的解析式 考点：换元法求函数解析式【变式训练】(天津南大附中高一同步练习)已知，则的表达式是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】A【解析】令1x t -=，得1x t =+ 因为2(1)45f x x x -=+-所以22()(1)4(1)56f t t t t t =+++-=+ 由此可得2()6f x x x =+典例2 (辽宁省阜新市2016~2017第一次月考)已知2(1)27f x x x -=-+，求()f x 的解析式【答案】2()6f x x =+【解析】由题意得2227(1)6x x x -+=-+，所以2(1)(1)6f x x -=-+，即2()6f t t =+ 【变式训练】(甘肃省武威第六中学2016~2017第一次月考)若函数()f x 满足(32)9+8f x x +=，则()f x 的解析式是（ ）（A ）()9+8f x x = （B ）()3+2f x x = （C ）()34f x x =-- （D ）()3234f x x x =+--或【答案】B【解析】由题意得(32)983(32)2f x x x +=+=++，所以()32f t t =+，即()32f x x =+ 考点：配凑法求函数解析式典例 3 (河南南阳一中2016级第一次月考)已知函数()y f x =满足1()2()3f x f x x=+，则()f x 的解析式为___________【答案】2()(0)f x x x x=--≠考点：解方程组法求函数解析式【变式训练】定义在(-1,1)内的函数()f x 满足()(-)()21f x f x lg x -＝＋，求函数()f x 的解析式． 【答案】21()lg(1)+lg(1-),(-11)33f x x x x =+∈, 【解析】当(-11)x ∈,时，有()(-)()21f x f x lg x -＝＋①以x -代，得2(-)()lg(1)f x f x x -=-+②由①②消去f (－x )，得21()lg(1)+lg(1-),(-11)33f x x x x =+∈,典例4 (山东蒙阴一中2016级高一开学考)已知函数()f x 是一次函数，若(())48f f x x =+，求()f x 的解析式【答案】8()2()283f x x f x x =+=--或【分析】设一次函数()(0)f x ax b a =+≠，利用(())48f f x x =+，得出关于,a b 的关系式，即可求解,a b 的值，得出函数的解析式考点：待定系数法求函数解析式 【变式训练】已知[]{}()2713ff f x x =+，且()f x 是一次式，求()f x 的解析式【答案】()31f x x =+【分析】由题意可得，设()(0)f x kx b k =+≠ []2()()f f x k kx b b k x kb b ∴=++=++[]{}232()()2713ff f x k kx kb b b k x k b kb b x ∴=+++=+++=+32273113k k b k b kb b ⎧==⎧⎪∴⎨⎨=++=⎪⎩⎩ ∴()31f x x =+ 解题技巧与方法总结1.已知函数类型，用待定系数法求解析式．2.已知函数图象，用待定系数法求解析式，如果图象是分段的，要用分段函数表示．3.已知()f x 求[()]f g x ，或已知[()]f g x 求()f x ，用代入法、换元法或配凑法．4.若()f x 与1()f x或()f x -满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解． 5.应用题求解析式可用待定系数法求解．6.求函数解析式一定要注意函数的定义域，否则极易出错． 题型三 分段函数典例1.【河北枣强中学2016~2017第一次月考】已知21,1()23,1x x f x x x ⎧+<=⎨-+≥⎩，则((2))f f =（ ） (A) -7 (B) 2 (C) -1 (D) 5 【答案】B【解析】由题意得2((2))(1)(1)12f f f =-=-+= 考点：函数值的求解【变式训练】(山东鄄城一中2016~2017调研)设[]3,10()(5),10x x f x f f x x -≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，则(6)f 的值为_______ 【答案】7【分析】[](6)(65)((11))(8)f f f f f f =+==由(8)((85))(133)=(10)7f f f f f =+=-=典例2．(2015高考数学（理）一轮配套特训：2-1函数的概念、定义域和值域)设函数()f x ＝246,06,0x x x x x ⎧-+≥⎨+<⎩，则不等式()()1f x f >的解集是( ) A ．(),1,)3(3-∞U ＋ B ．()3,1,()2∞U －＋ C ．()1,1,()3∞U －＋ D ．(),3()1,3∞U －－ 【答案】A典例3.【2014上海,理18】⎪⎩⎪⎨⎧>++≤-=,0,1,0,)()(2x a x x x a x x f 若)0(f 是)(x f 的最小值，则的取值范围为（ ）.(A)-1,2] (B)-1，0] (C)1，2] (D) [0,2] 【答案】D【考点】分段函数的单调性与最值问题．典例4.【2014高考重庆理第16题】若不等式2212122++≥++-a a x x 对任意实数恒成立，则实数的取值范围是____________. 【答案】11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】令()()312121|2|3221312x x f x x x x x x x ⎧⎪--≤-⎪⎪⎛⎫=-++=--<≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫+>⎪ ⎪⎝⎭⎩，其图象如下所示（图中的实线部分）考点：1、分段函数；2、等价转换的思想；3、数形结合的思想. 典例 5.(安徽省六安市2016~2017第一中学)设函数31,1()2,1xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩，则满足()(())2f a f f a =的的取值范围是_________【答案】23a ≥解题技巧与方法总结1.因为分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值．2.“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则． 知识交汇1.（北京第四中学2016~2017期中）已知函数()log ()xa f x a ka =-，其中01,a k R <<∈（1） 若1k =，求函数()f x 的定义域 （2） 若12a =，且()f x 在[)1,+∞内总有意义，求的取值范围 【答案】（1）{}|1x x >（2）1k <【交汇技巧】将定义域问题与对数函数的性质进行结合，需要注意对数函数的单调性及真数大于0；本题求参数取值范围采用参数分离，参数分离法求取值范围的原则为分离后不等式另一边函数的单调性、最值、值域等易求2. (江苏连云港房山中学月考)已知函数2()25(1)f x x ax a =-+> （1） 若函数()f x 的定义域和值域均是[]1,a ，求实数的值（2） 若对任意的[]12,1,1x x a ∈+，总有12()()4f x f x -≤，求实数的取值范围 【答案】（1）=2 （2）13a <≤【解析】（1）Q 22()()5(1)f x x a a a =-+->∴()f x 在[]1,a 上是减函数，又定义域和值域均为[]1,a ∴(1),()1f a f a == 解得=2（2）若2a ≥，又[]1,1x a a =∈+，且(1)1a a a +-≤-∴2max min (1)62,()5f f a f f a a ==-==-∴对任意的[]12,1,1x x a ∈+，总有12()()4f x f x -≤∴max min 4f f -≤即2(62)(5)4a a ---≤，解得13a -≤≤∴23a ≤≤若12a <<，22max min (1)6,()5f f a a f f a a =+=-==-max min 4f f -≤显然成立综上13a <≤练习检测1.下列对应法则f 为A 上的函数的个数是( )①2Z N A B f x y x →＋＝，＝，：＝；②Z A B Z f x y →＝，＝，：； ③{}[11]00A B f x y →＝－，，＝，：＝ A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】B2.集合{}22M x x =-≤≤，{}02N y y =≤≤，给出下列四个图形，其中能表示以M 为定义域，N 为值域的函数关系的是（ ）．【答案】B【解析】选项A 中定义域为[]2,0-，选项C 的图像不是函数图像，选项D 中的值域不对，选B.3. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x，x ≥02－x，x ＜0(a ∈R )，若ff (－1)]＝1，则a ＝( )A.14B.12 C ．1 D ．2 【答案】A【解析】因为－1＜0，所以f (－1)＝2－(－1)＝2，又2＞0，所以ff (－1)]＝f (2)＝a ·22＝1，解得a ＝14。
2020高考数学一轮复习 2.1 函数及其表示课件 理
二、必明 3 个易误点 1．解决函数的一些问题时，易忽视“定义域优先”的原则． 2．易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射， 映射不一定是函数，从 A 到 B 的一个映射，A，B 若不是数集， 则这个映射便不是函数． 3．易误把分段函数理解为几种函数组成．
【小题热身】
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)． (1)f(x)＝ x1－4＋ 3－x是一个函数．( × ) (2)A＝R，B＝R，f：x→y＝x－1 1，表示从集合 A 到集合 B 的映射(也是函数)．( × ) (3)函数 f(x)的图象与直线 x＝1 的交点最多有 2 个．( × ) (4)y＝2x(x∈{1,2})的值域是 2,4.( × )
解析：(1)由于 fx＋1x＝x2＋x12＝x＋1x2－2， 所以 f(x)＝x2－2，x≥2 或 x≤－2， 故 f(x)的解析式是 f(x)＝x2－2(x≥2 或 x≤－2)．
(2)令2x＋1＝t 得 x＝t－2 1，代入得 f(t)＝lg t－2 1， 又 x>0，所以 t>1，
故 f(x)的解析式是 f(x)＝lg x－2 1(x>1)．
2．求函数定义域的注意点 (1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化． (2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的
形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集．
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函数、导数及应用
编制人：
第 1 课时
函数及其表示
【学习目标】 1.了解构成函数的要素；了解映射的概念． 2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数． 3.了解简单的分段函数，并能简单的应用 【基础系统】 1．函数与映射的概念 【思考探究】 1.映射与函数有什么区别？ 函数 两 集 合 设 A、B 是两个非空 A、B 映射
题型二 求函数的解析式 例 2、 .(1)已知 f(1－cos x)＝sin2x，求 f(x)； (2)已知 f(x)是二次函数，若 f(0)＝0，且 f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，试求 f(x)的表达式 1 (3)已知函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，且 f(x)＝2f x x－1，求 f(x)．
5.已知函数 f(x)=
2 x 1，x 1 2 x ax，x 1
若 f（f（0） ）=4a，则实数 a 等于【
】
1 A. 2
4 B. 5
C.2
D.9
6. 对 实 数 a 和 b ， 定 义 运 算 “ ” ： a b
a, a b 1, 设 函 数 b, a b 1.
2
，则 f ( x) 定义域为
1 ( ,0) 2 A.
1 ( ,0] B. 2
1 ( , ) 2 C.
D. (0,)
21-x ，x 1， 2. 设函数 f（x）= 则满足 f（x）≤2 的 x 的取值范围是 1 - log2 x，x＞1，
（A）[-1，2] （B）[0，2] （C）[1，+ ） （D）[0，+ ）
对应 f：A→B 是一个映射
2．函数的定义域、值域 在函数 y＝f(x)，x∈A 中，x 叫做自变量， 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应 的 y 值叫做函数值， 叫做函数的值域． 3．函数的构成要素为： 、 和 ． 由于值域是由定义域和对应关 系决定的，所以，如果两个函数的 相同，并且 完全一致，我 们就称这两个函数 ． 【思考探究】 2.若两个函数的定义域与值域相同，是否为相等函数？ 4．函数的表示法： 、 、 . 5．分段函数 函数在其定义域的不同子集上，因 不同而分别用几个不同的式子来表 示．称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是 函数．
题型三
分段函数
例 3、定义在 R 上的函数 f(x)满足 f x
log 2 (4 x), x 0 则 f(3)的值为 f ( x 1) f ( x 2), x 0
做 对 的 事 情 比 把 事 情 做 对 更 重 要
高三数学导学案
函数、导数及应用
编制人：
1 4
C.-4
D-
1 4
4.下列函数中，与函数 y A . f ( x) ln x
1 有相同定义域的是 x
1 x
C. f ( x) | x | D. f ( x) e x
B. f ( x)
（A，C 为常数） 。已知工人组装第 4 件产品用时 30 分 钟，组装第 A 件产品用时 15 分钟，那么 C 和 A 的值分别是 （A）75，25 （B）75，16 （C）60，25 （D）60，16
使用日期：2011
.
编号：
当堂检测
f ( x)
1. （江西理 3）若
巩固提升
2x＋1，x＜1， 1. (2010· 陕西卷)已知函数 f(x)＝ 2 若 f(f(0))＝4a，则实数 a 等于( x ＋ax，x≥1， 1 4 A． B． 2 5 C．2 D．9
师生补记 )
1 log 1 (2 x 1)
使用日期：2011 . 编号： 【典型例题】 题型一 求函数的定义域 例 1、求下列函数的定义域： x－10 (1)y＝ x＋1＋ ； lg2－x (2)已知函数 f(2x＋1)的定义域为(0,1)，求 f(x)的定义域． (3)已知 f(x)的定义域是[－2,4]，求①y=f(x2－3x)的定义域．②y=f(x+3)+ f(x－3) 的定义域
f x x 2 2 x x 2 ， x R ．若函数 y f x c 的图象与 x 轴恰有两个公共
点，则实数 c 的取值范围是( A． , 2 )． B． , 2
3 1, 2
3 1, 4
C． 1,
1 1 , 4 4
D． 1,
3 1 , 4 4
做 对 的 事 情 比 把 事 情 做 对 更 重 要
2.(2010· 山东卷)函数 f(x)＝log2(3x＋1)的值域为( A．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
3.已知函数 f ( x) A.4
)
log3 x, x 0 2 , x 0
x
，则 f ( f ( ))
1 9
B.
3.根据统计，一名工作组装第 4 件某产品所用的时间（单位：分钟）为
师生补记
Hale Waihona Puke 设 A、B 是两个非空如果按照某种确定的对应关系 f，使 如果按某一个确定的对应关系 f，使对 对于集合 A 中的 一个 ， 对应关系 于集合 A 中的 一个 ， 在集合 B 中 f：A→B 在集合 B 中 的 的 和 与之对应 它对应 名称 记法 称 到集合 B 的一个函数 y＝f(x)，x∈A 为从集合 A 称对应 到集合 B 的一个映射 为从集合 A