图论与网络最优化算法PPT
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《图与网络优化》PPT课件
• “充分性”：设图 G 中任两个点之间恰有一条链， 那么易见 G 是连通的。如果 G 中含有圈，那么这个 圈上的两个顶点之间有两条链，这与假设相矛盾， 故 G 不含圈，于是 G 是树。
• 由这个定理，很容易推出如下结论：
• （1）从一个树中去掉任意一条边，则余下的图是不 连通的。由此可知，在点集合相同的所有图中，树 是含边数最少的连通图。
么 G 本身就是一个树，从而 G 是它自身的一个支撑
树。现假设 G 含圈，任取一个圈，从圈中任意地去
掉一条边，得到图 G 的一个支撑子图 G1 。如果 G1 不含圈，那么 G1 就是 G 的一个支撑树（因为 G1 的 顶点数与 G 相同，且连通）；如果 G1 仍然含圈，那 么从 G1 中任取一个圈，从圈中再任意去掉一条边， 得到图 G 的一个支撑子图 G2 ，如此重复，最终可以 得到 G 的一个支撑子图 Gk ，它不含圈，于是 Gk 是 G 的一个支撑树。
• 以点 v 为端点的边的个数称为 v 的次。记为 dG(v) 或 d(v) 。称次为1的点为悬挂点，悬挂点的关联边称为
悬挂边，次为零的点称为孤立点。
• 定理1：图 G=(V , E) 中，所有点的次之和是边数的
两倍，即有： dv2q vV
• 次为奇数的点称为奇点，否则称为偶点。
• 定理2：任一个图中，奇点的个数为偶数。
精选ppt
4
• 如果一个图 G 是由点及边所构成的，则称之为无向 图，简记为 G=(V , E)，其中， V , E 分别是图 G 的点 集合和边集合。一条连接点 vi ，vj V 的边记为[vi ,vj ] （或 [vj , vi]）。
• 如果一个图 D 是由点及弧所构成的，则称之为有向 图，简记为D =(V , A)，其中， V , A 分别是图 G 的点 集合和弧集合。一条方向是从 vi 指向 vj 的弧记为 (vi ,vj)。
图论模型(最优连线问题最短路问题)PPT课件
择的边组成图为无圈图，②新选边是满足①的尽可能 小的权。
（3）当（2）不能继续执行时停止。
（其思想是：在剩余边集中找边权最小的边添加到生成树中，同时又 不能产生回路即以局部的最优谋求全局的最优。）
上述的描述实际上是最小生成树的逐 步生长过程，上例的最小生成树如下：
A 5
1 3
D
8 E
水厂
9
B 7
6 10
著名数学家欧拉
七桥问题
图的基本概念
无 向 图
1 定义：由顶点和边组成的图形称为图。 有 向 图
赋
权
图
2 边e与顶点u、v相关联。顶点u与v相邻。
e
u
边e1与e2相邻。
e1
v
e2
u=v时，边e称为环。
3度
定义：与顶点v关联的边的数目称为顶点的度数， 记为d(v)。（注：环算2度。）
对于有向图的顶点的度数，还可分为出度 d ( v ) 和 入度 d ( v ) 。
u3
u6
0 8
1
6
u8
5
10
5
2
6
1
1
u4
10
u7
第五步：min{8,11,11,9,8,12,7,11,11}，u3。
u2
1
2
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3
2
7
5
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u3
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0
8
7
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u8
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5
2
6
1
1
u4
10
u7
第六步：min{11,12,11,11,9}，u7。
u2
1
2
（3）当（2）不能继续执行时停止。
（其思想是：在剩余边集中找边权最小的边添加到生成树中，同时又 不能产生回路即以局部的最优谋求全局的最优。）
上述的描述实际上是最小生成树的逐 步生长过程，上例的最小生成树如下：
A 5
1 3
D
8 E
水厂
9
B 7
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著名数学家欧拉
七桥问题
图的基本概念
无 向 图
1 定义：由顶点和边组成的图形称为图。 有 向 图
赋
权
图
2 边e与顶点u、v相关联。顶点u与v相邻。
e
u
边e1与e2相邻。
e1
v
e2
u=v时，边e称为环。
3度
定义：与顶点v关联的边的数目称为顶点的度数， 记为d(v)。（注：环算2度。）
对于有向图的顶点的度数，还可分为出度 d ( v ) 和 入度 d ( v ) 。
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第五步：min{8,11,11,9,8,12,7,11,11}，u3。
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第六步：min{11,12,11,11,9}，u7。
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图论与网络最优化算法
第二章 5 生成树算法定义2·13 （1）图G 的每条边e 赋与一个实数)(e ω，称为e 的权。
图G 称为加权图。
（2）设1G 是G 的子图，则1G 的权定义为： ∑∈=)(11)()(G E e e G ωω定理2·10 Kruskal 算法选得的边的导出子图是最小生成树。
证：K r u s k a l 算法所得子图0T 显然是生成树，下证它的最优性。
设{}[]1210,,,-=υe e e G T 不是最小生成树，1T 是G 的任给定的一个生成树，)(T f 是{}121,,,-υe e e 中不在1T 又{}1210,,,)(-=υe e e T E ，故121,,,-υe e e 中必有不在)(T E 中的边。
设k T f =)(，即121,,,-k e e e 在T 与0T 上，而k e 不在T 上，于是k e T +中有一个圈C ，C 上定存在ke '，使k e '在T 上而不是在0T 上。
令k k e e T T '-+=')（，显然也是生成树，又)()()()(kk e e T T '-+='ωωωω，由算法知，k e 是使{}[]k e e e G ,,,21 无圈的权最小的边，又{}[]kk e e e e G ',,,,1-21 是T 之子图，也无圈，则有)()(k k e e ωω≥'，于是)()(T T ωω≤'，即T '也是最小生成树，但)()(T f k T f =>'与)(T f 之最大性矛盾。
证毕定理2·11 im Pr 算法产生的图)(0T G 是最小生成树。
证明与定理2·10类似，略。
第三章2 割边、割集、割点定理3·4 设G 是连通图，)(G E e ∈则e 是G 的割边的充要条件是e 不含在圈中。
证明 必要性 设e 是G 的割边，若e 在G 的一圈C 上，则e G -仍连通，这不可能。
图论与网络流理论ppt课件
1）V (G ) { v 1 ,v 2 , ,v }是非空有限集，称为顶点集，
2）E(G)是顶点集V(G)中的无序或有序的元素偶对 (vi,vj )
组成的集合，即称为边集,其中元素称为边.
图G的阶是指图的顶点数|V(G)|, 用v来表示；图的边的数
目|E(G)|用 来表示.
用G (V (G )E ,(G )表)示图，简记 G(V,E).
算法。最短路问题有很多算法，其中最基本的一个是
Dijkstra算法
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可编辑课件
3、Dijkstra算法
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定理 1.2.1 Dijkstra 算法结束时，对任一个顶点v， 其标号l(v)恰是v0 到v 的最短路的长。
定理1.2.2 Dijkstra 算法的计算复杂度为O(υ 2 )。
9 图的同构
我们已经知道，同一个图可以有不同形状的图示。反 过来，两个不同的图也可以有形状相同的图示。比如：
易见G1 和G2 的顶点及边之间都一一对应，且连接关
系完全相同，只是顶点和边的名称不同而已。这样的 两个图称为是同构的(isomorphic)。
19
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定义1.1.1 对两个图G = (V(G),E(G))与H = (V (H),E(H))，
事实上，假如G 不连通，则至少有一个连通分支的 顶点数不超过n。在此连通分支中，顶点的度至多是n −1。这与δ (G) ≥ n矛盾。证毕。 例1.1.7 若图中只有两个奇度顶点，则它们必连通。
证明：用反证法。设u、v为仅有的两个奇度顶点。 18 假如u与v不连通，则它们必分属于不同的连通分支。将
2）E(G)是顶点集V(G)中的无序或有序的元素偶对 (vi,vj )
组成的集合，即称为边集,其中元素称为边.
图G的阶是指图的顶点数|V(G)|, 用v来表示；图的边的数
目|E(G)|用 来表示.
用G (V (G )E ,(G )表)示图，简记 G(V,E).
算法。最短路问题有很多算法，其中最基本的一个是
Dijkstra算法
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3、Dijkstra算法
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定理 1.2.1 Dijkstra 算法结束时，对任一个顶点v， 其标号l(v)恰是v0 到v 的最短路的长。
定理1.2.2 Dijkstra 算法的计算复杂度为O(υ 2 )。
9 图的同构
我们已经知道，同一个图可以有不同形状的图示。反 过来，两个不同的图也可以有形状相同的图示。比如：
易见G1 和G2 的顶点及边之间都一一对应，且连接关
系完全相同，只是顶点和边的名称不同而已。这样的 两个图称为是同构的(isomorphic)。
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定义1.1.1 对两个图G = (V(G),E(G))与H = (V (H),E(H))，
事实上，假如G 不连通，则至少有一个连通分支的 顶点数不超过n。在此连通分支中，顶点的度至多是n −1。这与δ (G) ≥ n矛盾。证毕。 例1.1.7 若图中只有两个奇度顶点，则它们必连通。
证明：用反证法。设u、v为仅有的两个奇度顶点。 18 假如u与v不连通，则它们必分属于不同的连通分支。将
图论和网络优化
v4
2
4 5
v7
3
v6
2
v5
最小树，权为13
17
v3
v1 v2 v3
v1 v2
v5
v3
v3
v3
v5
v6v1 v4
v5 v6
v4
v1
v1
v2
v2
v3
v1 v2
v5 v6
(2)破圈法：
① 在图中寻找一种圈。
若不存在圈，则已经 得到最短树或网络不 存在最短树；
② 去掉该圈中权数最 大旳边； ③ 反复反复 ① ② 两
权数，记为：
w Tk w e e Ek
若 T T ，使
w T min Tk T
w Tk
则称 T * 为图G旳一棵最小支撑树。
14
b4
2 a
2
4
3
f5
c 5
2d 6
e
最小 树
例如，城市间交 通线旳建造等，能够 归结为这一类问题。
再如前面例3，在已知旳几种城市之间联结电话 线网，要求总长度最短和总建设费用至少，此类问 题旳处理都能够归结为最小树问题。
24
如下图所示旳单行线交通网，每个弧旁边旳
数字表达这条单行线旳长度。目前有一种人要从v1 出发，经过这个交通网到达v6，要谋求总旅程最短
旳线路。
v2
6
v4
3
v1
14
5
1 v3
3
2
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25
v2
6
v4
3
3
v1
14
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v6
1
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从v1到v6旳路线是诸多旳。例如:
图论与网络最优化算法
第二章 5 生成树算法定义2·13 （1）图G 的每条边e 赋与一个实数)(e ω，称为e 的权。
图G 称为加权图。
（2）设1G 是G 的子图，则1G 的权定义为： ∑∈=)(11)()(G E e e G ωω定理2·10 Kruskal 算法选得的边的导出子图是最小生成树。
证：K r u s k a l 算法所得子图0T 显然是生成树，下证它的最优性。
设{}[]1210,,,-=υe e e G T 不是最小生成树，1T 是G 的任给定的一个生成树，)(T f 是{}121,,,-υe e e 中不在1T 又{}1210,,,)(-=υe e e T E ，故121,,,-υe e e 中必有不在)(T E 中的边。
设k T f =)(，即121,,,-k e e e 在T 与0T 上，而k e 不在T 上，于是k e T +中有一个圈C ，C 上定存在ke '，使k e '在T 上而不是在0T 上。
令k k e e T T '-+=')（，显然也是生成树，又)()()()(kk e e T T '-+='ωωωω，由算法知，k e 是使{}[]k e e e G ,,,21 无圈的权最小的边，又{}[]kk e e e e G ',,,,1-21 是T 之子图，也无圈，则有)()(k k e e ωω≥'，于是)()(T T ωω≤'，即T '也是最小生成树，但)()(T f k T f =>'与)(T f 之最大性矛盾。
证毕定理2·11 im Pr 算法产生的图)(0T G 是最小生成树。
证明与定理2·10类似，略。
第三章2 割边、割集、割点定理3·4 设G 是连通图，)(G E e ∈则e 是G 的割边的充要条件是e 不含在圈中。
证明 必要性 设e 是G 的割边，若e 在G 的一圈C 上，则e G -仍连通，这不可能。
图与网络优化ppt
( u2 , v2 ) ∈ E2 ，且 ( u1 , v1 ) ∈ E1 的重数和 ( u2 , v2 ) ∈ E2 的重数相同，这种对应叫做同构。易知
同构关系是图之间的一个等价关系，故通常将同构的图看成是相同的。
′ ′ ′ ′ 顶点： v1 ↔ v1 , v2 ↔ v2 , v3 ↔ v3 , v4 ↔ v4 ′ ′ ′ ′ ′ ′ 边： e1 ↔ e1 , e2 ↔ e2 , e3 ↔ e3 , e4 ↔ e4 , e5 ↔ e5 , e6 ↔ e6
∀el ∈ E , el = ( vi , v j ) ; vi , v j ∈V
称 vi , v j 为边 el 的端点，称边 el 为 vi 和 v j 的关联边。例如选取图中的某些顶点和边可以 表示为： e1 = ( v1 , v2 ) = ( v2 , v1 ) ; e2 = ( v2 , v3 ) = ( v3 , v2 ) 若V 中某顶点和 E 中的任何边均不关联，则称该顶点为孤立点。若V 重某顶点仅 与 E 中的一条边相关联，则称该点为悬挂点。 相邻点和相邻边 同一条边 el 的两个端点 vi 和 v j 称为相邻点，简称邻点；有公共端点的两条边称为 相邻边，简称邻边。
图的基本概念
图的同构 设有两个图 G1 = (V1 , E1 ) 和 G2 = (V2 , E2 ) ，它们的顶点集间有一一对应的关系，且使 得边之间有如下的 关系：设 u1 ↔ u2 , v1 ↔ v2 ; u1 , v1 ∈V1 ; u2 , v2 ∈V2 ，若 ( u1 , v1 ) ∈ E1 ，则
子图在描述图的性质和局部结构中有着重要的作用。例如在图 9-6 中，(b)和(c) 都是(a)的子图，且(c)为(a)的生成子图
v1 v1 v1
运筹学图论与网络优化
例：Hamilton图
游戏：用正十二面体上20个顶点表示20个城市， 要求参加游戏者沿着各边行走，走遍每一个城市且 仅走一次，最后回到出发城市。
公元1859年，哈密尔顿 (Hamilton)在给朋友格拉 伍斯（Grares）的信中提 出了这个游戏。
问题：如何判断一个图是 否具有这样的性质。如果 有，这样的行走路线如何 确定。
第十章 图论与网络优化
1 图的基本概念 2 最小树问题 3 最短路问题 4 网络最大流问题 5 最小费用最大流问题
一些问题
A
例：七桥问题
C
D
B
图问论题中：著 一名 个问 散题 步者. 能17否36走年过，七图座论桥的，创且始每人座Eu桥le只r巧走 妙地将过此一问次题，化最为后图回的到不出重发复点一。笔画问题，并证明
点：研究对象（陆地、路口、国家、球队）； 点间连线：对象之间的特定关系（陆地间有桥、路
口之间道路、两国边界、两球队比赛及 结果)。 对称关系：桥、道路、边界；
用不带箭头的连线表示，称为边。
非对称关系：甲队胜乙队，用带箭头的连线表示， 称为弧。
图：点及边（或弧）组成。
对所要研究的问题确定具体对象及这些对象间的 性质关系，并用图的形式表示出来，这就是对所 研究原问题建立的模型。图是反映对象之间关系 的一种工具。
例：中国邮路问题
一个邮递员送信，要走完他所负责的全部街道 分送信件，最后返回邮局。邮递员都会本能地以尽 可能少的行程完成送信任务。如何走路线最短。
点：路口； 边：两路口之间道路，第i条道路长ei。
1962年，由我国数学家管梅谷提出，国际上称为中 国邮递员问题。
问题：求一个圈，过每边至少一次，并使圈的长度 最 短。
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• 定义1.8(有向图的邻接矩阵) 设D=(V，E) 是一个有向图，V={v1，v2，…，vn}，则D 的邻接矩阵A=(aij)n×n，其中aij=m(若vi指向 vj的孤有m条，m可为0)。 • 定义1.9(加权有向图的带权邻接矩阵) 若为 有向图D=(V，E)的每条边赋予一个数，则 称D为加权有向图；设 D=(V，E)是一简单
的子图，称为 G 的由顶点集 V1 导出的子图， 记为G［V1］。 • 定义1.5 设E1E，且E1为边集，E1的端点
图1.7
集为顶点集的图 G 的子图，称为 G 的由 E1 边集导出的子图，记为G［E1］。 • 1.2.2 顶点的次数
• 定理1.1
• 推论1.1 偶数。
任何图中，奇次顶点的总数必为
次数。邻接矩阵可用二维数组来表示，如 果是无向图，由于对称性，仅需存入上三 角矩阵。 • 1.4.2 关联矩阵 • 用关联矩阵表示图，能迅速指出与某一顶 点 v 关联的是哪些边，而且还可指出某条 边关联的是哪两个顶点，对于有风吹草动 图还能区分出入次和出次。关联矩阵一般 是用一个二维数组Mnm来表示，这需要很 大的存储空间，如存入一个 100 个顶点、
• 定义1.11(有向图的关联矩阵) 设D=(V，E) 是一有向无环图， V={v1 ， v2 ， … ， vn} ， E={e1 ， e2 ， … ， em} ， 则 D 的 关 联 矩 阵 M=(mij)n×m，其中
• 1.4 图在计算机中的存储 • 利用图论的方法解决实际问题时，通常要 借助于计算机。怎样把图的数据存储到计 算机里是一个首先要解决的问题，一般是 根据具体的图以及将要做的运算来选择适 当的存储结构，下面介绍几种常用的存储 结构。 • 1.4.1 邻接矩阵 • 用邻接矩阵表示图，较容易判定两个顶点 之间是否有边相连，也容易求出各顶点的
加权有向图，V={v1，v2，…，vn}，则D的 邻接矩阵A=(aij)n×n，其中
• 1.3.2 关联矩阵 • 定义1.10(无向图的关联矩阵) 设G=(V，E) 是 一 个 无 向 图 ， V={v1 ， v2 ， … ， vn} ， E={e1 ， e2 ， … ， em} ， 则 G 的 关 联 矩 阵 M=(mij)n×m，其中：
第1章 图与网络的基本概念
• 1.1 绪论 • 自然界与人类社会有许多问题，如果用图 形的方式来描述和分析，不仅形象直观， 而且清晰，效果很好。图论通过由点和边 组成的图形来描述具有某种二元关系的系 统，并根据图的性质进行分析，提供研究 各种系统的巧妙方法。
• 例1.1 七桥问题。 • 例1.2 人、狼、羊、菜渡河问题。
图1.8
• 1.2.3 同构 • 在1.1节所举的例子都是把实际问题用一个 图来描述，在这样的图中顶点可以代表任 意客体，两顶点间的连线表示这两客体具 有某种关系。图中顶点的位置，点对之间 连线的形状都无关紧要 ，重要的是连接 关系。
图1.9
• 定义1.6 设有两个无向图G和H，若顶点集 之间存在一一对应关系，且对应顶点之间 的边也有一一对应的关系，则称图 G 与 H 同构，记为 G≌H ，对于有向图的同构， 对应边的方向要求相同。
图1.18
图1.19
点(如果是有向图，则是从vi引出弧的终止 顶点)。
图1.20
• 1.4.5 邻接数组 • 定义一个二维数组 Nn×d，n是顶点数，d是 最大次数，对有向图是最大出次。Nn×d的 第i行是与 vi相邻的顶点的编号，如是有向 图，则是从 vi 引出弧的终止点的编号。若 与vi相邻的顶点不足d，就在后面添零。 • 1.4.6 邻接顺序表 • 邻接数组表示法有一个缺点，其中有些零 元素，特别当图中顶点的次数相差很大时， 要浪费许多存储空间。邻接顺序表方
相邻，Y中任二顶点不相邻，称G为二部图； 若X中的每一顶点皆与Y中一切顶点相邻时， G 称为完备二部图，记为 Km,n 。其中 m ， n 分别为X与Y的顶点数目。 • 定义1.3 设图G=(V，E，ψ)和G1=(V1，E1， ψ1) ， 若 V1 V ， E1 E ， 且 当 e∈E1 时 ， ψ1(e)=ψ(e)，则称G1是G的子图。特别地， 若V1=V，则称G1为G的生成子图。 • 定义1.4 设V1V，且V1≠ ，以V1为顶点 集，两个端点都在 V1 中的边为边集的 G
• • • • • • •
①若ψ(e)=uv，称e与顶点u，v相关联。 ②若ψ(e)=uv，称u与v相邻。 ③与同一顶点相关联的两边称为相邻边。 ④两端点重合的边称为环。 ⑤端点完全相同的两边称为重边。 ⑥既无环又无重边的图，称为简单图。 ⑦任二顶点相邻的简单图，称为完备图， 记为Kn，其中n为顶点的数目。 • ⑧若 V=X ∪ Y ， X ∩ Y= ， X 中任二顶点不
图1.10
图1.11
图1.12
• 1.3 图的矩阵表示 • 为了便于利用计算机进行计算和处理，常 要将图数字化，用矩阵来表示图。图的矩 阵表示形式很多，本节只介绍邻接矩阵与 关联矩阵。 • 1.3.1 邻接矩阵
• 定义1.7(无向图的邻接矩阵) 设G=(V，E) 是一个无Байду номын сангаас图，V={v1，v2，…，vn}，则G 的邻接矩阵A=(aij)n×n，其中：
图1.1
图1.2
图1.3
• 例1.3 化学药品存放问题。 • 1.2 一些基本概念
图1.5
图1.4 图1.6
• 1.2.1 图的概念 • 定义1.1 有序三元组G=(V，E，ψ)称为一 个图，其中： • ①V={v1 ， v2 ， … ， vn} 是有穷非空集，称 为顶点集。 • ②E称为边集，其中的元素叫做边。 • ③ψ 是从边集 E ，到 V 中的有序的或无序的 元素偶对的集合的映射，称为关联函数。 • 下面列出一些术语：
• •
• •
500 条边的图，则需近 50 K 的内存，而其 中很多元素是零。 1.4.3 二数组法 定义两个一维数组 P1(m) 和 P2(m) 分别存放 边的起点和终点。若第 i 条边 ei=(vj ， vk) ， 则P1(i)=j，P2(i)=k。 1.4.4 邻接表 邻接表也是图的一种常用表达方法，在这 种存储结构中，对图的每个顶点建立一个 链表。第i个链表中的顶点是与vi相邻的顶