信息光学 常用函数共141页
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信息光学总复习
线性系统
若系统对几个激励的线性组合的整体响应，等于单个激 励所产生的响应的线性组合，则该系统称为线性系统。 系统对输入的脉冲函数产生的输出称为脉冲响应. 若输入脉冲发生位移时, 线性系统的响应函数形式 不变，仅造成响应函数相应的位移，即：
{d(x-x, y-h)}=h (x-x, y-h)
这样的系统称为线性空不变系统。
x y U ( x, y ) c t ( x0 , y0 ) exp j 2 f x0 f y0 dx0 dy0
c
t ( x0 , y0 ) f
x
x y , fy f f
用单色平面波照明物体，物体置于透镜的前焦面，则在 透镜的后焦面上得到物体的准确的傅里叶变换。透镜的后焦 面称为频谱面。
振幅谱 位相谱
线性系统的定义: 设: g1(x2, y2) =ℒ {f1(x, y)}， g2(x2, y2) = ℒ {f2(x, y)}, 且对于 任意复常数a1 和a2，有： ℒ {a1 f1 (x, y) + a2 f2 (x, y) } = a1 g1 (x2, y2) + a2 g2 (x2, y2) 则称该系统 ℒ 为线性系统。
衍射受限系统—— 线性空不变的成像系统
1
~ h xi ,yi
2
3
P(d i ~, d i ~) x y
若成像系统的像质仅受有限大小光瞳的衍射效应所限制, 则称为 “衍射受限”系统 (diffraction-limited system )
衍射受限的相干成像系统点扩展函数是光瞳函数的傅里叶变换
{h(x,y)}
x
x f y y )]dxdy
=
信息光学 中常用函数
这就是非周期函数的傅立叶展开式，称为f(x)的傅立叶积分。非周期函数f(x)在满足下列条件时：①f(x)在任一有限区间上满足狄氏(Dirichlet)条件；②f(x)在无限区间(-∞，∞)上绝对可积，则f(x)的傅立叶积分存在，且
令 ，则称G(ω)是f(x)的傅立叶变换（也称G(ω)是f(x)的频谱函数、象函数），傅立叶积分（也叫傅氏逆变换）和傅立叶变换构成了傅立叶变换对：
第一章：数学预备知识
为了方便后面的学习，我们复习一下有关的数学知识。
§1-1 几个常用函数
一、矩形函数（rectangle function）
1、一维矩形函数
表达式为：
其函数图形为：
当x0=0，a=1时，矩形函数为： [此时rect(x)=rect(-x)]
其图形为
2、二维矩形函数
表达式为：
其函数图形为：
常用的傅立叶变换对见表1-2（P.35）。下面给出几个傅立叶变换的例子。
推广是这样来进行的：若存在一个函数序列gn(x,y)，其傅立叶变换存在，对应的傅立叶变换——即频谱函数序列为Gn(ωx,ωy)。函数g(x,y)虽然不存在傅立叶变换，但是g(x,y)却是gn(x,y)当n→∞的极限，则定义当n→∞时Gn(ωx,ωy)的极限为g(x,y)的广义傅立叶变换。
四、傅立叶变换的性质
因为
当N→∞时，根据δ函数的定义
其表示的物理意义就是只有在ω0处有一无限高的谱线。
三、广义傅立叶变换
一个非周期函数能进行傅立叶变换的条件是：①f(x，y)在任一有限区域上满足狄氏(Dirichlet)条件（有限个间断点、有限个极大极小点、没有无穷大间断点）；②f(x,y)在整个平面上绝对可积 。但是当光学现象用理想化的数学模型来描述时，不少有用的函数是不能满足上述条件的，为此，我们把傅立叶变换的定义进行推广。
令 ，则称G(ω)是f(x)的傅立叶变换（也称G(ω)是f(x)的频谱函数、象函数），傅立叶积分（也叫傅氏逆变换）和傅立叶变换构成了傅立叶变换对：
第一章：数学预备知识
为了方便后面的学习，我们复习一下有关的数学知识。
§1-1 几个常用函数
一、矩形函数（rectangle function）
1、一维矩形函数
表达式为：
其函数图形为：
当x0=0，a=1时，矩形函数为： [此时rect(x)=rect(-x)]
其图形为
2、二维矩形函数
表达式为：
其函数图形为：
常用的傅立叶变换对见表1-2（P.35）。下面给出几个傅立叶变换的例子。
推广是这样来进行的：若存在一个函数序列gn(x,y)，其傅立叶变换存在，对应的傅立叶变换——即频谱函数序列为Gn(ωx,ωy)。函数g(x,y)虽然不存在傅立叶变换，但是g(x,y)却是gn(x,y)当n→∞的极限，则定义当n→∞时Gn(ωx,ωy)的极限为g(x,y)的广义傅立叶变换。
四、傅立叶变换的性质
因为
当N→∞时，根据δ函数的定义
其表示的物理意义就是只有在ω0处有一无限高的谱线。
三、广义傅立叶变换
一个非周期函数能进行傅立叶变换的条件是：①f(x，y)在任一有限区域上满足狄氏(Dirichlet)条件（有限个间断点、有限个极大极小点、没有无穷大间断点）；②f(x,y)在整个平面上绝对可积 。但是当光学现象用理想化的数学模型来描述时，不少有用的函数是不能满足上述条件的，为此，我们把傅立叶变换的定义进行推广。
信息光学2
15
傅里叶变换与光学
在光学信息处理中，光学系统所传递和处理的信息是
随空间变化的函数。
一幅图像是一种光的强度和颜色按空间的分布，这种分 布的特征可用空间频率表明。把图像看作是由各种方向、
各种间距的线条组成。
16
傅里叶变换与光学
例：振幅型透射光栅的傅里叶级数展开
光栅常数：
d 2b
--空间周期为d 的函数
二维傅里叶变换
13
傅里叶变换的意义
傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种看待问题
的角度：一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从
时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号，将信号这么分 解后有助于处理。 时域信号：将信号从时间的角度的分割和叠加。 傅里叶变换：将信号从频率的角度叠加。
二维傅里叶变换
11
2 2
3 3
-3 -3
-2 -2
-1 -1 -0.25 -0.25 -0.5
1
1
2
2
3
3
-0.5 -0.75 -0.75
内容回顾
10
二维傅里叶变换 1.傅里叶变换
• 正变换 F ,
• 逆变换 f x , y
f ( x , y ) exp j 2 ( x y )dxdy
二维傅里叶变换的核 可为实函数或复函数
(x,y, ξ, η) 均为实变量
逆傅里叶变换
f x, y
F ( , ) exp j 2 ( x y ) d d
可以把非周期函数 f (x, y) 分解为连续频率的余弦分量的积分。
F(ξ, η) 表示个连续频率成分的权重因子。
信息光学(1)02-常用函数、傅立叶变换;03-相关、卷积、线性系统、二维光场-66精讲
傅里叶变换的意义
傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种 看待问题的角度：一个连续的信号可以看作是一个个 小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成 原来的信号，将信号这么分解后有助于处理。 时阈信号：将信号从时间角度的分割和叠加。
傅里叶变换：将信号从频率的角度叠加。
傅里叶变换的意义
傅立叶变换就是把一个信号，分解成无数的正弦波 （或者余弦波）信号。也就是说，用无数的正弦波，可 以合成任何所需要的信号。
逆变换
f x, y
F ( , ) exp j 2 ( x y)d d
把非周期函数分解为复指数函数 在整个连续频率区间上的积分和
极坐标下的傅里叶变换
G( , ) g (r , )
2 0 0 2
rg (r , ) exp[ j 2 r cos( )]drd
信 息 光 学
南京邮电大学 光电工程学院
几个常用非初等函数
矩形函数（ Rectangle function ）
x x0 1 1 x x0 1, x 1, rect( x) ) a 2 2 , 标准型 : rect( a 其它 0, 其它 0,
特点: rect(0)=1, 矩形宽度=1，矩形面积=1, 偶函数
n
exp( j 2 nx)
comb x comb( )
原函数
缝函数
频谱函数
asinc( af )
absinc(af x )sinc(bf x )
aJ 1 ( 2a f x f y )
2 2
傅 里 叶 变 换 对
二维矩形函数
x2 y2 1 ) 圆函数 circ( a 0
信息光学02-数学基础1-常用函数
Step(x)
1
0 x 0 x 代表：开关, 无穷大半平面屏
§0-1 常用函数 (续)
一. 阶跃函数 Step Function
二维情形：
f ( x, y) step( x)
开关功能：可在某点开启或 关闭另一函数 ，或描述光学 直边（或刀口）的透过率。
二维阶跃函数
§0-1 常用函数 (续)
二. 符号函数 Signum
0
x
特点: 最大值：sinc(0)=1；lim sinc(x)=0
x
x0 -a+x0
曲线下面积: S=1，偶函数 0点位置:x=n (n=1, 2, 3…)等间隔 两个一级0点之间的主瓣宽度=2
§0-1 常用函数
五.sinc函数(续) Sinc函数的重要性:
• 数学上,sinc函数和rect函 数互为傅里叶变换 • 物理上,单一矩形脉冲 rect(t)的频谱是sinc函数; 单缝的夫琅和费衍射花 样是sinc函数
0 其它
求 f(-x/2+p/4)
§0-1 常用函数—变型（练习）
f(x)={ cos(x), |x|p/2 0 其它 求 f (-x/2+p/4)
-p/2 f(x) x
0
p/2
解： f(-x/2+p/4)= f[- (x- p/2)/2]，包含折叠、扩展、平移 先折叠， 偶函数折叠后不变 再扩展, 最后平移
1 , x>0 0, x=0 -1, x<0
定义: Sgn(x)=
{
与 Step函数的关系: Sgn(x)=2 Step (x)-1
原型
Sgn(x) 1 0 -1 x
代表“p”相移器、反相器
信息光学基础复习
sin
a
x
sin c
x
a
a
零点位置：
x na n 1, 2,3,
函数图形
6）高斯函数 (Gauss function)
经常见到
7）圆域函数 (Circle function)
定义
x2 y 2
Circ
r
0
1
0
x 2 y 2 r0
1 cos
1 cos
1 cos
fz
fy
fx ZΒιβλιοθήκη YX
平面波的空间频率
频率
传播方向
由于各个不同空间频率的空间傅里叶分量可
看作是沿不同方向传播的平面波，因此称空间频谱
为xy平面上复振幅分布的角谱。
以平面波传播方向的角度(方向余弦)为宗量，
复振幅分布的空间频谱(角谱)表示为
Nonlinear systems often use specialized methods
unique to each system. No general theory exists
for nonlinear systems.
➢ Time or space invariant.
➢ Memoryless .
即系统对输入函数中不同频率基元成分的传递能力。
线性平移不变系统的脉冲响应h(x,y)与传递函数
H(u,v)构成一对FT对：
其根源在于：脉冲响应(信号)是在空域中描述系统
的性质，在空域中对输入函数进行分解，选用的基
元函数是δ(x- , y- ); 而传递函数是在频域中描述
a
x
sin c
x
a
a
零点位置：
x na n 1, 2,3,
函数图形
6）高斯函数 (Gauss function)
经常见到
7）圆域函数 (Circle function)
定义
x2 y 2
Circ
r
0
1
0
x 2 y 2 r0
1 cos
1 cos
1 cos
fz
fy
fx ZΒιβλιοθήκη YX
平面波的空间频率
频率
传播方向
由于各个不同空间频率的空间傅里叶分量可
看作是沿不同方向传播的平面波，因此称空间频谱
为xy平面上复振幅分布的角谱。
以平面波传播方向的角度(方向余弦)为宗量，
复振幅分布的空间频谱(角谱)表示为
Nonlinear systems often use specialized methods
unique to each system. No general theory exists
for nonlinear systems.
➢ Time or space invariant.
➢ Memoryless .
即系统对输入函数中不同频率基元成分的传递能力。
线性平移不变系统的脉冲响应h(x,y)与传递函数
H(u,v)构成一对FT对：
其根源在于：脉冲响应(信号)是在空域中描述系统
的性质，在空域中对输入函数进行分解，选用的基
元函数是δ(x- , y- ); 而传递函数是在频域中描述
信息光学课件第三章
相干系统的点扩散函数 可看成是复振幅透过率 的光瞳被 半径为di的球面波照明后所得的分布。 称广义光瞳。 就是广义光瞳 的傅里叶变换。
相干传递函数定义为相干点扩散函数的傅里叶变换
由
得
（无像差）
有像差系统的通频带没有变化，截止频率也没有变化，但在通频 带内引入了与频率有关的位相畸变，使像质变坏。 非相干光照明下强度点扩散函数仍然是相干点扩散函数模的平方 但峰值减小。 Strehl Ratio
的频谱函数（相干传递函数）H(ξ ,η )
描述系统的变换特性更为方便。
3.3.1相干传递函数
相干成像系统的物像卷积关系
是几何关系理想像的复振幅分布。ĥ是系统的脉冲响应。 从频域上看，对上式进行傅里叶变换，可得到系统对各种频率成 分的传递特性。
系统的输入频谱 输出频谱 相干传递函数 CTF
已知
说明相干传递函数等于光瞳函数，只是将空域坐标变换为频域坐标 （-λ diξ ,-λ diη ）,通常光瞳都具有中心对称性，正负号无关紧要， 忽略负号后取
因hI是实函数，H是厄密型的，即
因此模是偶函数
辐角是奇函数
3.6相干与非相干成像系统的比较
各有优缺点。 3.6.1截止频率 OTF 的截止频率是CTF的2倍。但是 OTF是随空间频率增大而降低的。而CTF 是在空间频率小于某值前均为1，大于某 值时突变为0。
相干传递函数
3.6.2像强度的频谱
利用卷积定理和自相关定理得到像强度频谱
D为出瞳直径。
相干照明时，两点源产生的艾利斑按复振幅叠加。因而各点的 相位关系对强度分辨影响很大。
Φ ＝0，两点源位相相同，I(x)没有凹陷两点完全不能分辨。 Φ ＝π /2 与非相干光完全相同。 Φ ＝π 时，两点源位相相反。 两点源能否分辨与点源位相有关。
光学中常用的非初等函数
(1.1.1)
式中 b > 0 ， 表示函数以 x0 为中心， 宽度为 b ， 高度为 1 矩形。 一个常用的形式是：x0 = 0, b = 1 ， 这时可以写为 rect( x) ，这是以 x = 0 为对称轴，高度和宽度都为 1 的矩形。一维矩形函数的图 形见图 1.1.1。显然，矩阵的面积=| b | 。 矩形函数可以描述单缝、矩孔的透过率。在时间域中，当用 x 表示时间变量时，光学中 可以用一维矩形函数来描写照相机快门，式(1.1.1)中的 b 便是曝光时间； 矩形函数与某函数相乘后，可限制该函数自变量的取值范围，起到截取函数的作用。所 以，一维矩形函数也称为门函数(Gating Function)。例如，乘积 cos x ⋅ rect( x / b) 表示余弦函数 只出现在区间 ( −b / 2, b / 2 ) 上。
4
系。所以，它们在傅里叶光学中经常用到。
图 1.2.2 二维 sinc 函数的图形
另外，与之相关的还有一个称为 sinc 2 ，其定义如下：
x − x0 y − y0 2 x − x0 2 y − y0 sinc 2 , = sinc ⋅ sinc b a a b
cos(2πx) 。
图 1.5.1 一维阶跃函数的图形
二维阶跃函数定义为：
f ( x, y ) = step( x) (1.5.2)
上式表明，这里定义的二维阶跃函数在 y 方向上等于常数，而在 x 方向上等同于一维阶跃函 数。其函数图形如图 1.5.2 所示。这种函数可用来描述光学直边(或刀口)的透过率。
10
图 1.5.2
二维阶跃函数的图形
符号函数与一维阶跃函数之间存在下列关系式：
sgn( x) = 2step( x) − 1 (1.5.3)
信息光学归纳
光学信息一、根本概念:1. 傅里叶变换，傅里叶逆变换；正变换 dx πux j x g u G ⎰∞∞--=]2[exp )()( 逆变换u ux j u x g d ]2exp[)G()(⎰∞∞-=πμ，ν— 空间频率 G(μ，ν) — 频谱 ，傅里叶谱，角谱物理意义： 1.一个空间函数 g(x ，y) ，可视为向前传播的一列光波。
2.它可分解为无穷多个传播方向不同的平面波。
3.某一方向传播的平面波可视为一个空间单频信号。
4.每个空间单频信号可看作原函数 g(x ，y) 的傅里叶分量，其振幅是该频率的函数 G(μ，ν)。
5.原函数 g(x ，y) 可看作是所有傅里叶分量的加权的迭加， G(μ，ν) 是其权重 。
2.频谱, 空间频率；空间频率：沿某一特定方向传播的平面波具有单一的空间频率 。
定义为:其中:cos α 、cos β为平面波的方向余弦。
空间频谱 ：一般情况下可视为各平面波分量的振幅分布函数，高频分量的振幅较小，低频分量的振幅较大。
3.脉冲响应，传递函数传递函数 ：改写为：()()()νμνμνμ,,,,,0H z A z A z •=其中()]cos cos 1exp[,22βανμ--=jkz H 表征光的传播在频域中的特性。
脉冲响应：惠更斯—菲涅尔原理：普通光源可看作假设干个单个球面波照明的集合。
h 称为脉冲响应函数它表示当P 处有一点源时，在观察点Q 处接收到的复振幅分布。
y ) 也称为 点扩展函数。
4. 空间滤波, 高通滤波, 低通滤波, 带通滤波，振幅滤波, 位相滤波；空间滤波：利用透镜的傅里叶变换特性，把透镜作为频谱分析仪，改变物体的频谱结构从而改变像的结构。
高通滤波： 通高频信号阻低频信号，滤除频谱中的低频局部，增强模糊图像的边缘，提高对图像的识别能力，实现衬度反转；能量损失较大，输出结果一般较暗。
低通滤波：通低频信号阻高频信号，用于消除图像中的高频噪声和周期性网格。
信息光学第一章常用函数
ab
L
b
x
0
x0
图8 一般形式的矩形函数
19
第19页，本讲稿共32页
例1、画出函数 fne(w x)2ste(x p13)1的图形。
解：为了说明各个参数的作用，作图可分为几步完成
2ste(xp3) 2
2
2step( x 3) 1
1
1
x
x
4 3 2 1 0 1 2 3 4
4 3 2 1 0 1 2 3 4
，可以使运算过程简化。
二维物理量可以在不同的坐标系中来描述，而选择坐标系 的原则是有利于简化运算，即：
描写二维某物理量的二维函数→可分离变量函数，
非对称性的物理量通常在直角坐标系中描述；而具有圆 对称分布的物理量则最好在极坐标系中描述。
例如，rect(x，y) →rect (r，θ)
22
第22页，本讲稿共32页
1
x0
step ( x ) 1 / 2
x0
0
x0
step(x)
1
0
x
图4 step(x)的图形
在光学上，常用阶跃 函数表示刀口或直边衍 射物体；
在电子学中，则经常用 来表示一个开关信号。
9
第9页，本讲稿共32页
5．sinc函数
sinc函数记为sinc(x)
其定义为：
sinc(x)sinx() x
f(x，y)=step(x)
step(x, y)
1 y
0
x
图13
在光学问题中，常用二维阶跃函数表示无穷大半平面的振幅 透射系数或刀口滤波器函数。
25
第25页，本讲稿共32页
2、极坐标系中的二维非初等函数