4.8.1 简单的对数方程(含答案)
4.8-1 简单的对数方程
的方程可通过换元法转化为一元二次方程来求解
(4) 用图象法求近似解或确定解的个数(数形结合法）
导入一
导入二
(1-1) 〔准备与导入一〕 问题：联想指数方程的概念，请你来定义对数方程 的概念如何？
在对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程
问题：联想指数方程的常见表现形式，请你概括说明 对数方程的常见类型如何？试试看。 (1) logaf(x)=logag(x) => f(x)=g(x) （变形不等价） （其中a>0,a≠1）, 但要注意验根。 (2) logaf(x)=b <=> f(x)=ab ,(其中a>0,a≠1) (3) A(logax)2+B(logax)+C=0 ,(其中a>0,a≠1)的方程 可通过换元法转化为一元二次方程来求解 (4) 用图象法求近似解或确定解的个数(数形结合法）
2
x 100 x 100 或 x 0.01
(3) lg( x 2 x 2) lg(6 x x 2 ) x 2 2 (4) loga ( x 1) 2 (a 0且a 1) x a 1
〔练习与评价二〕
(1-1)
2.解下列方程:
x 1 2 (2) lg( x 75) lg( x 4) 2 x 95, x 5
探究一
探究二
探究三
探究四
〔探究与深化一〕
(1-1)
例1、如果不考虑空气阻力,火箭的最大速度
M M M ln( 1 ) 4 , 1 e4 , 解:(1)据题意,得 2 ln(1 ) 8, m m m M 综上所述 53.6倍和 所以， ,当燃料的质量分别是火箭质量的 e 4 1 54.6 1 53.6(倍) m M 402.4 倍时 ,火箭的最大速度能达到 8km/s和12km/s. (2) 用同样方法可得 e 6 1 403 .4 1 402 .4 (倍) m
对数的题目及其解析过程
对数的题目及其解析过程嘿，咱今儿就来唠唠对数的题目及其解析过程。
你说这对数啊，就像是个神秘的小怪兽，有时候还真能把人给绕晕喽！但别怕呀，咱一起来征服它。
比如说有这么一道题：已知 log₂x = 3，求 x 的值。
这就好比是在迷雾中找路，不过咱有办法呀！根据对数的定义，log₂x = 3 不就意味着 2 的 3 次方等于 x 嘛，那咱一算，嘿，8 不就出来啦！这就像是找到了打开神秘大门的钥匙，一下子就豁然开朗啦。
再来看一道稍微有点难度的，log₃(x² - 2x + 1) = 1，这可咋整？别急别急，咱慢慢来。
先把右边的 1 变成 log₃3，然后根据对数的性质，不就得出 x² - 2x + 1 = 3 嘛。
再把左边化成完全平方式，(x - 1)² = 3，开方一解，x 不就有两个值啦！是不是挺有意思的？还有啊，有时候对数题目会和其他知识点结合起来，就像给小怪兽穿上了一层铠甲。
但咱也不怕呀，见招拆招呗！比如说和指数函数结合起来，那可真是让人有点头疼呢，但咱只要细心分析，总能找到突破点。
就像走在一条充满荆棘的小路上，虽然会被刺到，但只要坚持走下去，总会看到美丽的风景。
对数的题目也是这样，乍一看很难，但只要你静下心来，认真思考，一步一步地去分析，总能找到答案。
你想想看，当你经过一番苦思冥想，终于解出一道对数难题的时候，那心情，得多爽啊！就像打了一场大胜仗，满满的都是成就感。
对数的世界丰富多彩，里面有各种各样的题目等待着我们去探索。
有时候可能会遇到一些特别难搞的“小怪兽”，但咱可不能退缩呀！要勇敢地迎上去，和它们大战一场。
而且哦，解对数题目还能锻炼我们的思维能力呢，让我们的大脑变得更聪明。
就像给大脑做了一次健身操，越锻炼越灵活。
总之呢，对数的题目及其解析过程虽然有时候会让人头疼，但只要我们保持热情，不断地去学习、去探索，就一定能在这个神秘的世界里游刃有余。
加油吧，朋友们！让我们一起攻克对数这个小怪兽！。
高一 对数与对数函数知识点+例题+练习 含答案
1．对数的概念一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b ＝N ，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，N 叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R )；④log am M n ＝nm log a M (m ，n ∈R ，且m ≠0)．(2)对数的性质①a log a N ＝__N __；②log a a N ＝__N __(a >0且a ≠1)． (3)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log b a，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 3．对数函数的图象与性质a >10<a <1图象性 质(1)定义域：(0，＋∞)(2)值域：R(3)过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0当0<x <1时，y <0 (4)当x >1时，y >0 当0<x <1时，y >0 (6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线__y ＝x __对称． 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( × ) (2)log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )．( × )(3)函数y ＝log 2x 及y ＝log 133x 都是对数函数．( × )(4)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × ) (5)函数y ＝ln 1＋x 1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．( √ )(6)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限．( √ )1．(2015·湖南改编)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则有关f (x )的性质判断正确的是________(填序号)．①奇函数，且在(0,1)上是增函数； ②奇函数，且在(0,1)上是减函数； ③偶函数，且在(0,1)上是增函数； ④偶函数，且在(0,1)上是减函数． 答案 ①解析 易知函数定义域为(－1，1)，f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数，又f (x )＝ln 1＋x 1－x＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－2x －1，由复合函数单调性判断方法知，f (x )在(0,1)上是增函数．2．设a ＝log 1312，b ＝log 1323，c ＝log 343，则a ，b ，c 的大小关系是________．答案 c <b <a解析 ∵a ＝log 1312＝log 32，b ＝log 1323＝log 332，c ＝log 343.log 3x 是定义域上的增函数，2>32>43，∴c <b <a .3．函数f (x )＝lg(|x |－1)的大致图象是________．(填图象序号)答案 ②解析 由函数f (x )＝lg(|x |－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，值域为R .又当x >1时，函数单调递增，所以只有②正确．4．(2015·浙江)若a ＝log 43，则2a ＋2－a ＝________. 答案4 33解析 2a＋2－a ＝4log 32＋4log 32－＝3log log 322＋＝3＋33＝4 33. 5．(教材改编)若log a 34<1(a >0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是________________．答案 ⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞) 解析 当0<a <1时，log a 34<log a a ＝1，∴0<a <34；当a >1时，log a 34<log a a ＝1，∴a >1.∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞).题型一 对数式的运算例1 (1)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝________.(2)lg 5＋lg 20的值是________． 答案 (1)10 (2)1解析 (1)∵2a ＝5b ＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2. ∴m ＝10.(2)原式＝lg 100＝lg 10＝1.思维升华 在对数运算中，要熟练掌握对数的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量先化成同底的形式再进行运算．(1)计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64＝________.(2)已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n ＝________. 答案 (1)1 (2)12 解析 (1)原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 663·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋(1－log 63)(1＋log 63)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.(2)∵log a 2＝m ，log a 3＝n ，∴a m ＝2，a n ＝3， ∴a 2m ＋n ＝(a m )2·a n ＝22×3＝12.题型二 对数函数的图象及应用例2 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是________．(填序号)(2)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是____________．答案 (1)③ (2)(22，1) 解析 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除①、②； 又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除④.故③正确．(2)构造函数f (x )＝4x 和g (x )＝log a x ，当a >1时不满足条件，当0<a <1时，画出两个函数在⎝⎛⎦⎤0，12上的图象， 可知f ⎝⎛⎭⎫12<g ⎝⎛⎭⎫12， 即2<log a 12，则a >22，所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫22，1. 思维升华 应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．(1)已知lg a ＋lg b ＝0，则函数f (x )＝a x 与函数g (x )＝－log b x 的图象可能是________．(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是____________． 答案 (1)② (2)(10,12)解析 (1)∵lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1，∵g (x )＝－log b x 的定义域是(0，＋∞)，故排除①. 若a >1，则0<b <1，此时f (x )＝a x 是增函数，g (x )＝－log b x 是增函数，②符合，排除④.若0<a <1，则b >1，g (x )＝－log b x 是减函数，排除③，故填②.(2)作出f (x )的大致图象(图略)．由图象知，要使f (a )＝f (b )＝f (c )，不妨设a <b <c ，则－lg a ＝lg b ＝－12c ＋6，∴lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1，∴abc ＝c .由图知10<c <12，∴abc ∈(10,12)．题型三 对数函数的性质及应用命题点1 比较对数值的大小例3 设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则a ，b ，c 的大小关系为__________． 答案 a >b >c解析 由对数运算法则得a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝1＋log 52，c ＝1＋log 72，由对数函数图象得log 32>log 52>log 72，所以a >b >c . 命题点2 解对数不等式例4 若log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是__________． 答案 (12，1)解析 由题意得a >0，故必有a 2＋1>2a ， 又log a (a 2＋1)<log a 2a <0，所以0<a <1， 同时2a >1，所以a >12.综上，a ∈(12，1)．命题点3 和对数函数有关的复合函数 例5 已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由． 解 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ， 则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0,2]时，t (x )的最小值为3－2a ， 当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义， 即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立． ∴3－2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a ∈(0,1)∪⎝⎛⎭⎫1，32. (2)t (x )＝3－ax ，∵a >0，∴函数t (x )为减函数． ∵f (x )在区间[1,2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1,2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a (3－a )＝1，即⎩⎨⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.思维升华 在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件．(1)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则a ，b ，c 的大小关系为____________．(2)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为__________． (3)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12(－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是__________________．答案 (1)c >a >b (2)[1,2) (3)(－1,0)∪(1，＋∞) 解析 (1)∵3<2<3,1<2<5，3>2，∴log 33<log 32<log 33，log 51<log 52<log 55，log 23>log 22， ∴12<a <1,0<b <12，c >1，∴c >a >b . (2)令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1,2)．(3)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，log 2a >log 12a或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，log 12(－a )>log 2(－a )，解得a >1或－1<a <0.2．比较指数式、对数式的大小典例 (1)设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是__________． (2)设a ＝log 2π，b ＝log 12π，c ＝π－2，则a ，b ，c 的大小关系为____________．(3)已知324log 0.3log 3.4log 3.6155()5，＝，＝，＝a b c 则a ，b ，c 大小关系为__________．思维点拨 (1)可根据幂函数y ＝x 0.5的单调性或比商法确定a ，b 的大小关系，然后利用中间值比较a ，c 大小．(2)a ，b 均为对数式，可化为同底，再利用中间变量和c 比较．(3)化为同底的指数式．解析 (1)根据幂函数y ＝x 0.5的单调性， 可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b <a <1；根据对数函数y ＝log 0.3x 的单调性，可得log 0.30.2>log 0.30.3＝1，即c >1.所以b <a <c . (2)∵a ＝log 2π>log 22＝1，b ＝log 12π＝log 21π<log 21＝0,0<c ＝1π2<1，∴b <c <a .(3)c ＝(15)3log 0.3＝53log 0.3－＝5310log 3.方法一 在同一坐标系中分别作出函数y ＝log 2x ，y ＝log 3x ，y ＝log 4x 的图象，如图所示．由图象知：log 23.4>log 3103>log 43.6.方法二 ∵log 3103>log 33＝1，且103<3.4，∴log 3103<log 33.4<log 23.4.∵log 43.6<log 44＝1，log 3103>1，∴log 43.6<log 3103.∴log 23.4>log 3103>log 43.6.由于y ＝5x 为增函数， ∴52log 3.4>5310log 3>54log 3.6.即52log 3.4>(15)3log 0.3 >54log 3.6，故a >c >b . 答案 (1)b <a <c (2)a >c >b (3)a >c >b温馨提醒 (1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.[方法与技巧]1．对数值取正、负值的规律当a >1且b >1或0<a <1且0<b <1时，log a b >0； 当a >1且0<b <1或0<a <1且b >1时，log a b <0. 2．对数函数的定义域及单调性在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为(0，＋∞)．对数函数的单调性和a 的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0<a <1和a >1进行分类讨论．3．比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性． 4．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y ＝1交点的横坐标进行判定． [失误与防范]1．在运算性质log a M α＝αlog a M 中，要特别注意条件，在无M ＞0的条件下应为log a M α＝αlog a |M |(α∈N *，且α为偶数)．2．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x 12-＝________.答案24解析 由条件知，log 3(log 2x )＝1，∴log 2x ＝3， ∴x ＝8，∴x12-＝24. 2．已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝e 12-，则x ，y ，z 的大小关系为____________．答案 y <z <x解析 ∵x ＝ln π>ln e ，∴x >1. ∵y ＝log 52<log 55，∴0<y <12.∵z ＝e12-＝1e >14＝12，∴12<z <1.综上可得，y <z <x .3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1， x ≤0，log 2x ， x >0，则使函数f (x )的图象位于直线y ＝1上方的x 的取值范围是__________．答案 (－1,0]∪(2，＋∞)解析 当x ≤0时，3x ＋1>1⇒x ＋1>0，∴－1<x ≤0；当x >0时，log 2x >1⇒x >2，综上所述：－1<x ≤0或x >2.4．设f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是__________． 答案 (－1,0)解析 由f (x )是奇函数可得a ＝－1，∴f (x )＝lg 1＋x 1－x，定义域为(－1,1)． 由f (x )<0，可得0<1＋x 1－x<1，∴－1<x <0. 5．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)＝________.答案 －1解析 由f (x －2)＝f (x ＋2)，得f (x )＝f (x ＋4)，因为4＜log 220＜5，所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝－f (4－log 220)＝－f (log 245)＝－(224log 5＋15)＝－1. 6．(2015·安徽)lg 52＋2lg 2－⎝⎛⎭⎫12－1＝________. 答案 －1解析 lg 52＋2lg 2－⎝⎛⎭⎫12－1＝lg 52＋lg 22－2 ＝lg ⎝⎛⎭⎫52×4－2＝1－2＝－1.7．设函数f (x )满足f (x )＝1＋f (12)log 2x ，则f (2)＝_____________________. 答案 32解析 由已知得f (12)＝1－f (12)·log 22，则f (12)＝12，则f (x )＝1＋12·log 2x ，故f (2)＝1＋12·log 22＝32.8．(2015·福建)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是_____________________________________．答案 (1,2]解析 由题意f (x )的图象如右图，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，3＋log a 2≥4，∴1＜a ≤2. 9．已知函数y ＝log 12(x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2)上是增函数，求a 的取值范围．解 函数y ＝log 12(x 2－ax ＋a )是由函数y ＝log 12t 和t ＝x 2－ax ＋a 复合而成．因为函数y ＝log 12t 在区间(0，＋∞)上单调递减，而函数t ＝x 2－ax ＋a 在区间(－∞，a 2)上单调递减，又因为函数y ＝log 12(x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2≤a 2，(2)2－2a ＋a ≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥22，a ≤2(2＋1)，即22≤a ≤2(2＋1)．10．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间[0，32]上的最大值．解 (1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x >0，3－x >0，得x ∈(－1,3)， ∴函数f (x )的定义域为(－1,3)．(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在[0，32]上的最大值是f (1)＝log 24＝2. B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．(2015·陕西改编)设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则p 、q 、r 的大小关系是____________．答案 p ＝r <q解析 ∵0＜a ＜b ，∴a ＋b 2＞ab ， 又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p . 又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝p ， 故p ＝r ＜q .12．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则f ⎝⎛⎭⎫13，f ⎝⎛⎭⎫12，f (2)的大小关系是______________．答案 f (12)<f (13)<f (2) 解析 由f (2－x )＝f (x )知f (x )的图象关于直线x ＝2－x ＋x 2＝1对称，又当x ≥1时，f (x )＝ln x ，所以离对称轴x ＝1距离大的x 的函数值大，∵|2－1|>|13－1|>|12－1|， ∴f (12)<f (13)<f (2)． 13．若函数f (x )＝lg(－x 2＋8x －7)在区间(m ，m ＋1)上是增函数，则m 的取值范围是__________． 答案 [1,3]解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤4，－m 2＋8m －7≥0，解得1≤m ≤3， 所以答案应填[1,3]．14．已知函数f (x )＝ln x 1－x，若f (a )＋f (b )＝0，且0<a <b <1，则ab 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫0，14 解析 由题意可知ln a 1－a ＋ln b 1－b ＝0， 即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b 1－b＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋14， 又0<a <b <1，∴0<a <12，故0<－⎝⎛⎭⎫a －122＋14<14. 15．设x ∈[2,8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a >0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值．解 由题意知f (x )＝12(log a x ＋1)(log a x ＋2) ＝12(log 2a x ＋3log a x ＋2)＝12(log a x ＋32)2－18. 当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32. 又∵x ∈[2,8]，∴a ∈(0,1)．∵f (x )是关于log a x 的二次函数，∴函数f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得．若12(log a 2＋32)2－18＝1，则a ＝2－13， 此时f (x )取得最小值时，x ＝1332(2)＝--2∉[2,8]，舍去．若12(log a 8＋32)2－18＝1，则a ＝12，此时f(x)取得最小值时，x＝(12)32＝22∈[2,8]，符合题意，∴a＝12.。
对数及其运算(附答案)
3.2 对数与对数函数3．2.1 对数及其运算知识点一：对数的概念1．若对数log (x －1)(4x －5)有意义，则x 的取值范围是A.54≤x<2B.52<x<2 C.54<x<2或x>2 D ．2≤x≤3 2．若log x 7y ＝z ，则A ．y 7＝x zB ．y ＝x 7zC ．y ＝7x zD ．y ＝z 7x3．lg10＋lg100＋lg1 000等于A ．10B ．100C ．1 000D ．6 知识点二：积、商、幂的对数4．若a>0，a≠1，x>0，y>0，x>y ，下列式子中正确的个数是①log a x·log a y ＝log a (x ＋y)②log a x －log a y ＝log a (x －y)③log a x y＝log a x÷log a y ④log a xy ＝log a x·log a yA ．0B ．1C ．2D ．35．lg8＋3lg5的值为A ．－3B ．－1C ．1D ．36．若x·log 34＝1，则4x ＋4－x 等于A.103 B ．6 C.83 D.163 7．若lg(x －y)＋lg(x ＋2y)＝lg2＋lgx ＋lgy ，则x y＝__________. 8．lg20＋log 10025＝__________.知识点三：换底公式9．若log a b·log 3a ＝5，则b 等于A ．a 3B ．a 5C ．35D ．5310．设log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m ＝________.11.log 23log 89·e ln1的值是__________． 12．已知log 189＝a,18b＝5，求log 3645.(用含a ，b 的式子表示)能力点一：对数的运算13．计算2log 525＋3log 264－8log 71等于A ．14B ．220C ．8D ．2214．若a>0且a≠1，则满足a x ＝lg0.3的x 值有A ．0个B ．1个C ．3个D ．无穷多个15．设5lgx ＝25，则x 的值为A ．10B ．±10C ．100D ．±10016．log (2－1)(3＋22)＝__________. 17．求log 52·log 79log 513·log 734＋log 2(3＋5－3－5)的值． 18．化简：lg3＋25lg9＋35lg 27－lg 3lg81－lg27.能力点二：对数与方程、对数与不等式的综合19．如果方程lg 2x ＋(lg2＋lg3)lgx ＋lg2·lg3＝0的两根为lgx 1、lgx 2，那么x 1·x 2的值为A ．lg2·lg3B ．lg2＋lg3 C.16D ．－6 20．若log (1－x)(1＋x)2＝1，则x ＝__________. 21．如果lgx ＋lgy lgx ＋lgx ＋lgy lgy ＋[lg x－y ]2lgx·lgy ＝0，求x ，y 及log 2(xy)的值．22.比较a ＝log 123，b ＝(13)0.2，c ＝213的大小．23．已知x ，y ，z 为正数，3x ＝4y ＝6z,2x ＝py.(1)求p ；(2)证明1z －1x ＝12y.24．设log a c ，log b c 是方程x 2－3x ＋1＝0的两根，求log a b c 的值．答案与解析基础巩固1．C 2.B 3.D 4.A5．D 原式＝lg8＋lg53＝lg(8×53)＝lg1 000＝lg103＝3.6．A ∵x＝1log 34＝log 43， ∴4x ＋4－x ＝4log 43＋4－log 43＝3＋13＝103. 7．28．2 原式＝lg20＋log 10252＝lg20＋lg5＝lg100＝lg102＝2.9．C 由换底公式，得lgb lga ·lga lg3＝lgb lg3＝log 3b ＝5， ∴b＝35.10．9 11.3212．解：∵18b ＝5，∴b＝log 185.∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 185＋log 189log 1818＋log 182 ＝a ＋b 1＋log 1818－log 189＝a ＋b 2－a . ∴log 3645＝a ＋b 2－a. 能力提升13．D14．A 设lg0.3＝t ，则10t ＝0.3<1.∵t<0，即a x <0，∴不存在x 的值使a x ＝lg0.3.15．C16．－2 原式＝log (2－1)(2＋1)2 ＝2log (2－1)(2＋1)＝2log (2－1)12－1＝2log (2－1)(2－1)－1＝－2.17．解：原式＝12·2log 52·log 73 －log 53 ·23·log 72＋log 4(3＋5－3－5)2＝(－12log 32)·3log 23＋log 42 ＝－32＋12＝－1. 18．解：方法一：原式＝lg3＋45lg3＋910lg3－12lg34lg3－3lg3＝ 1＋45＋910－12 lg3 4－3 lg3＝115. 方法二(逆用公式)：原式＝lg 3×925×2712×35×3－12 lg 8127＝lg3115lg3＝115. 19．C 由已知，得lgx 1＋lgx 2＝－(lg2＋lg3)＝lg 16. ∴lgx 1＋lgx 2＝lgx 1x 2＝lg 16. ∴x 1x 2＝16. 20．－3 x 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x≠－1，1－x>0，1－x≠1， 1＋x 2＝1－x ，解得x ＝－3.21．解：去分母，得lgy(lgx ＋lgy)＋lgx(lgx ＋lgy)＋[lg(x －y)]2＝0，即(lgx ＋lgy)2＋[lg(x －y)]2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ lgx ＋lgy ＝0，lg x－y ＝0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ xy ＝1，x －y ＝1.∴x，－y 是方程t 2－t －1＝0的两个实根．又x ，y>0，且x≠1，y≠1，x>y ， ∴x＝5＋12，y ＝5－12. ∴log 2(xy)＝log 21＝0.22．解：由指数函数y ＝(13)x 及y ＝2x 的性质可知， b ＝(13)0.2∈(0,1)， c ＝213∈(1，＋∞)， ∴c>b.由对数的定义知，(12)a ＝3， 由函数y ＝(12)x 的性质知，a<0. 综上知，c>b>a.拓展探究23．解：(1)设3x ＝4y ＝6z ＝k(显然k>0且k≠1)，则x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k.由2x ＝py 2log 3k ＝plog 4k ＝p·log 3k log 34， 又log 3k≠0，∴p＝2log 34.(2)证明：1z －1x ＝1log 6k －1log 3k ＝log k 6－log k 3＝log k 2＝12log k 4＝12y. ∴1z －1x ＝12y. 24．解：∵log a c ，log b c 是方程x 2－3x ＋1＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧ log a c ＋log b c ＝3，log a c·log b c ＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1log c a ＋1log c b ＝3，log c a·log c b ＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧log c a ＋log c b ＝3，log c a·log c b ＝1. ∴log a b c ＝1log c a b＝1log c a －log c b ＝1± log c a ＋log c b 2－4log c a ·log c b ＝1±5＝±55.。
4.8简单的对数方程
一般地，若 f (x), g(x) 为含有未知数 x 的表达式
(1) loga f (x) b f (x) ab
f (x) g(x)
(2)
loga
f (x) loga
g(x)
fபைடு நூலகம்
(x)
0,
g(x)
0
一般地，若 F (x) 0 为一个可解方程.
F(t) 0 F (loga x) 0 t loga x
第四章 幂函数、指数函数和对数函数
4.7 简单的指数方程
4.8.1 简单的对数方程
一、对数方程
对数符号后含有未知数的方程叫做对数方程. 例1.解下列对数方程：
(1) log 2 x2 4 (2) lg(x2 x) lg x (3) (log3 x)2 log3 x 2 0 解: (1) log 2 x2 4 x2 24 x 4
6
x 105
课堂自测
2.解下列对数方程：
(1) 1 lg2 x 1 1 lg x (2) log5 x logx 25 3
12
34
x 10 或 104
x 5 或 25
3.解方程： xlg x2 1000
两边都取常用对数，解得 x 10或 103
注意转化过程中的同解性及方程中未知数的取值 范围.
指对互换、同底法、取对数法、换元法是解指数 方程与对数方程的主要内容.
(2) lg(x2 x) lg x x2 x x x1 0, x2 2
经检验，方程的解为 x 2
(3)记 log3 x t ，则 t2 t 2 0 得 t1 2,t2 1
即 log3 x 2 或 1
解得
x1
1 9 , x2
3
带答案对数与对数函数经典例题
经典例题透析类型一、指数式与对数式互化及其应用1．将以下指数式与对数式互化：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).思路点拨：运用对数的定义进行互化.解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).总结升华：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.举一反三：【变式1】求以下各式中x的值：(1)(2)(3)lg100=x (4)思路点拨：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.解：(1)；(2)；(3)10x=100=102，于是x=2；(4)由.类型二、利用对数恒等式化简求值2．求值：解：.总结升华：对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数.举一反三：【变式1】求的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N>0)思路点拨：将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算.解：.类型三、积、商、幂的对数3．已知lg2=a，lg3=b，用a、b表示以下各式.(1)lg9 (2)lg64 (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15解：(1)原式=lg32=2lg3=2b(2)原式=lg26=6lg2=6a(3)原式=lg2+lg3=a+b(4)原式=lg22+lg3=2a+b(5)原式=1-lg2=1-a(6)原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a举一反三：【变式1】求值(1)(2)lg2·lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2解：(1)(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.【变式2】已知3a=5b=c，，求c的值.解：由3a=c得：同理可得.【变式3】设a、b、c为正数，且满足a2+b2=c2.求证：.证明：.【变式4】已知：a2+b2=7ab，a>0，b>0. 求证：.证明：∵a2+b2=7ab，∴a2+2ab+b2=9ab，即(a+b)2=9ab，∴lg(a+b)2=lg(9ab)，∵a>0，b>0，∴2lg(a+b)=lg9+lga+lgb ∴2[lg(a+b)-lg3]=lga+lgb即.类型四、换底公式的运用4．(1)已知log x y=a，用a表示；(2)已知log a x=m，log b x=n，log c x=p，求log abc x.解：(1)原式=；(2)思路点拨：将条件和结论中的底化为同底.方法一：a m=x，b n=x，c p=x∴，∴；方法二：.举一反三：【变式1】求值：(1)；(2)；(3).解：(1)(2)；(3)法一：法二：.总结升华：运用换底公式时，理论上换成以大于0不为1任意数为底均可，但具体到每一个题，一般以题中某个对数的底为标准，或都换成以10为底的常用对数也可.类型五、对数运算法则的应用5．求值(1) log89·log2732(2)(3)(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)解：(1)原式=.(2)原式=(3)原式=(4)原式=(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)举一反三：【变式1】求值：解：另解：设=m (m>0).∴，∴，∴，∴lg2=lgm，∴2=m，即.【变式2】已知：log23=a，log37=b，求：log4256=?解：∵∴，类型六、函数的定义域、值域求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质〔如定义域、值域及单调性〕在解题中的重要作用.6. 求以下函数的定义域：(1)；(2).思路点拨：由对数函数的定义知：x2>0，4-x>0，解出不等式就可求出定义域.解：(1)因为x2>0，即x≠0，所以函数；(2)因为4-x>0，即x<4，所以函数.举一反三：【变式1】求以下函数的定义域.(1) y=(2) y=ln(a x-k·2x)(a>0且a¹1，kÎR).解：(1)因为，所以，所以函数的定义域为(1，)(，2).(2)因为a x-k·2x>0，所以()x>k.[1]当k≤0时，定义域为R；[2]当k>0时，(i)假设a>2，则函数定义域为(k，+∞)；(ii)假设0<a<2，且a≠1，则函数定义域为(-∞，k)；(iii)假设a=2，则当0<k<1时，函数定义域为R；当k≥1时，此时不能构成函数，否则定义域为.【变式2】函数y=f(2x)的定义域为[-1，1]，求y=f(log2x)的定义域.思路点拨：由-1≤x≤1，可得y=f(x)的定义域为[，2]，再由≤log2x≤2得y=f(log2x)的定义域为[，4]. 类型七、函数图象问题7．作出以下函数的图象：(1) y=lgx，y=lg(-x)，y=-lgx；(2) y=lg|x|；(3) y=-1+lgx.解：(1)如图(1)；(2)如图(2)；(3)如图(3).类型八、对数函数的单调性及其应用利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值.要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念.8. 比较以下各组数中的两个值大小：(1)log23.4，log28.5(2)log0.31.8，log0.32.7(3)log a5.1，log a5.9(a>0且a≠1)思路点拨：由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成.(1)解法1：画出对数函数y=log2x的图象，横坐标为3.4的点在横坐标为8.5的点的下方，所以，log23.4<log28.5；解法2：由函数y=log2x在R+上是单调增函数，且3.4<8.5，所以log23.4<log28.5；解法3：直接用计算器计算得：log23.4≈1.8，log28.5≈3.1，所以log23.4<log28.5；(2)与第(1)小题类似，log0.3x在R+上是单调减函数，且1.8<2.7，所以log0.31.8>log0.32.7；(3)注：底数是常数，但要分类讨论a的范围，再由函数单调性判断大小.解法1：当a>1时，y=log a x在(0，+∞)上是增函数，且5.1<5.9，所以，log a5.1<log a5.9当0<a<1时，y=log a x在(0，+∞)上是减函数，且5.1<5.9，所以，log a5.1>log a5.9 解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小，令b1=log a5.1，则，令b2=log a5.9，则当a>1时，y=a x在R上是增函数，且5.1<5.9所以，b1<b2，即当0<a<1时，y=a x在R上是减函数，且5.1<5.9所以，b1>b2，即.举一反三：【变式1】〔2011 天津理7〕已知则〔〕A．B．C．D．解析：另，，，在同一坐标系下作出三个函数图像，由图像可得又∵为单调递增函数，∴故选C.9. 证明函数上是增函数.思路点拨：此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉利用对函数单调性比较同底数对数大小的方法.证明：设，且x1<x2 则又∵y=log2x在上是增函数即f(x1)<f(x2)∴函数f(x)=log2(x2+1)在上是增函数.举一反三：【变式1】已知f(log a x)=(a>0且a≠1)，试判断函数f(x)的单调性.解：设t=log a x(x∈R+，t∈R).当a>1时，t=log a x为增函数，假设t1<t2，则0<x1<x2，∴f(t1)-f(t2)=，∵0<x1<x2，a>1，∴f(t1)<f(t2)，∴f(t)在R上为增函数，当0<a<1时，同理可得f(t)在R上为增函数.∴不管a>1或0<a<1，f(x)在R上总是增函数.10．求函数y=(-x2+2x+3)的值域和单调区间.解：设t=-x2+2x+3，则t=-(x-1)2+4.∵y=t为减函数，且0<t≤4，∴y≥=-2，即函数的值域为[-2，+∞.再由：函数y=(-x2+2x+3)的定义域为-x2+2x+3>0，即-1<x<3.∴t=-x2+2x+3在-1，1〕上递增而在[1，3)上递减，而y=t为减函数.∴函数y=(-x2+2x+3)的减区间为(-1，1)，增区间为[1，3.类型九、函数的奇偶性11. 判断以下函数的奇偶性. (1)(2).(1)思路点拨：首先要注意定义域的考查，然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行.解：由所以函数的定义域为：(-1，1)关于原点对称又所以函数是奇函数；总结升华：此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质.说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形.(2)解：由所以函数的定义域为R关于原点对称又即f(-x)=-f(x)；所以函数.总结升华：此题定义域确实定可能稍有困难，函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，要求掌握.类型十、对数函数性质的综合应用12．已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1).(1)假设函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)假设函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围.思路点拨：与求函数定义域、值域的常规问题相比，此题属非常规问题，关键在于转化成常规问题.f(x)的定义域为R，即关于x的不等式ax2+2x+1>0的解集为R，这是不等式中的常规问题.f(x)的值域为R与ax2+2x+1恒为正值是不等价的，因为这里要求f(x)取遍一切实数，即要求u=ax2+2x+1取遍一切正数，考察此函数的图象的各种情况，如图，我们会发现，使u能取遍一切正数的条件是.解：(1)f(x)的定义域为R，即：关于x的不等式ax2+2x+1>0的解集为R，当a=0时，此不等式变为2x+1>0，其解集不是R；当a≠0时，有a>1.∴a的取值范围为a>1.(2)f(x)的值域为R，即u=ax2+2x+1能取遍一切正数a=0或0≤a≤1，∴a的取值范围为0≤a≤1.13．已知函数h(x)=2x(x∈R)，它的反函数记作g(x)，A、B、C三点在函数g(x)的图象上，它们的横坐标分别为a，a+4，a+8(a>1)，记ΔABC的面积为S.(1)求S=f(a)的表达式；(2)求函数f(a)的值域；(3) 判断函数S=f(a)的单调性，并予以证明；(4)假设S>2，求a的取值范围.解：(1)依题意有g(x)=log2x(x>0).并且A、B、C三点的坐标分别为A(a，log2a)，B(a+4，log2(a+4))，C(a+8，log2(a+8)) (a>1)，如图.∴A，C中点D的纵坐标为〔log2a+log2(a+8)〕∴S=|BD|·4·2=4|BD|=4log2(a+4)-2log2a-2log2(a+8).(2)把S=f(a)变形得：S=f(a)=2〔2log2(a+4)-log2a-log2(a+8)〕=2log2=2log2(1+).由于a>1时，a2+8a>9，∴1<1+<，又函数y=log2x在(0，+∞)上是增函数，∴0<2log2(1+)<2log2，即0<S<2log2.(3)S=f(a)在定义域(1，+∞)上是减函数，证明如下：任取a1，a2，使1<a1<a2<+∞，则：(1+)-(1+)=16()=16·，由a1>1，a2>1，且a2>a1，∴a1+a2+8>0，+8a2>0，+8a1>0，a1-a2<0，∴1<1+<1+，再由函数y=log2x在(0，+∞)上是增函数，于是可得f(a1)>f(a2)∴S=f(a)在(1，+∞)上是减函数.(4)由S>2，即得，解之可得：1<a<4-4.。
2024年新高一数学初升高衔接《对数及其运算》含答案解析
第16讲 对数及其运算模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三模块四 小试牛刀过关测1．理解对数的概念，掌握对数的基本性质；2．掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程；3．理解对数的运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；4．会运用运算性质进行一些简单的化简与证明.知识点 1 对数的概念与性质1、对数的概念：如果x a N =（0a >且1a ≠），那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x =log a N ，其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数．2、常用对数与自然对数名称定义记法常用对数以10为底的对数叫做常用对数lg 自然对数以无理数 2.71828e =⋅⋅⋅为底的对数称为自然对数ln3、对数的性质（1）当0a >，且1a ≠时，x a N =⇔log a x N =；（2）负数和0没有对数，即0>N ；（3）特殊值：1的对数是0，即log 1a =0（0a >，且1a ≠）；底数的对数是1，即log 1a a =（0a >，且1a ≠）；（4）对数恒等式：log a N a N =；（5）log ba ab =．知识点 2 对数的运算性质及应用1、运算性质：0>a ,且1≠a ，0,0>>N M （1）N M MN a a a log log )(log +=；（2）N M NMa a alog log log -=；（3）M n M a na log log =2、换底公式（1）换底公式：abb c c a log log log =(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0)．（2）可用换底公式证明以下结论：①ab b a log 1log =； ②1log log log =⋅⋅a c b c b a ；③b b a na n log log =；④b n mb a ma n log log =； ⑤b b a alog log 1-=.知识点 3 对数运算常用方法技巧1、对数混合运算的一般原则（1）将真数和底数化成指数幂形式，使真数和底数最简，用公式log log m n a a nM b m=化简合并；（2）利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式；（3）将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幂；（4）如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式，一般改写成几个对数相加减的形式，然后进行化简合并；（5）对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式．2、对数运算中的几个运算技巧（1）lg 2lg 51+=的应用技巧：在对数运算中如果出现lg 2和lg 5，则一般利用提公因式、平方差公式、完全平方公式等使之出现lg 2lg 5+，再应用公式lg 2lg 51+=进行化简；（2）log log 1a b b a ⋅=的应用技巧：对数运算过程中如果出现两个对数相乘且两个对数的底数与真数位置颠倒，则可用公式log log 1a b b a ⋅=化简；（3）指对互化的转化技巧：对于将指数恒等式xyza b c ==作为已知条件，求函数(),,f x y z 的值的问题，通常设(0)x y za b c k k ===>，则log a x k =，log b y k =，log c z k =，将,,x y z 值带入函数(),,f x y z 求解．考点一：对数的概念及辨析例1．（23-24高一上·全国·专题练习）（多选）下列选项中错误的是（ ）A ．零和负数没有对数B ．任何一个指数式都可以化成对数式C ．以10为底的对数叫做自然对数D ．以e 为底的对数叫做常用对数【变式1-1】（23-24高一上·贵州贵阳·月考）使式子(31)log (2)x x --有意义的x 的取值范围是（ ）A ．2x >B ．123x <<C ．123x <<且23x ≠D ．2x <，【变式1-2】（23-24高一上·吉林延边·期中）在对数式()()3log 5a b a -=-中，实数a 的取值范围是（ ）A ．()(),35,-∞⋃+∞B ．()3,5C ．()3,4D ．()()3,44,5【变式1-3】（22-23高一上·江苏宿迁·期中）在下列四个命题中，正确的是（ ）A ．若M N =则log log a a M N =；B ．若log log a a M N =，则M N =；C ．22log log a a M N =，则M N =；D ．若M N =，则22log log a a M N =．考点二：对数式与指数式互化例2.（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）将3log 0.81x =化成指数式可表示为（ ）A ．30.81x =B ．0.813x =C ．0.813x=D ．30.81x=【变式2-1】（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）将328=化为对数式正确的是（ ）A ．2log 38=B ．2log 83=C ．8log 23=D ．3log 28=【变式2-2】（23-24高一上·江苏连云港·期中）已知)4x =，则x =（ ）A ．2-B ．0C ．2D ．4【变式2-3】（23-24高一上·江西宁冈·期中）（多选）下列指数式与对数式的互化，正确的一组是（ ）A ．0e 1=与ln1=0B ．131273-=与2711log 33=-C ．2log 42=与1242=D ．5log 5=1与155=考点三：利用对数性质解对数方程例3.（23-24高一·江苏·假期作业）方程()()2lg 1lg 22x x -=+的根为（ ）A ．3-B ．3C ．1-或3D ．1或3-【变式3-1】23-24高一上·山东烟台·月考）方程()3log 941xx -=+的实数解为.【变式3-2】（23-24高一上·广东深圳·期中）已知a ，b 是方程22(ln )3ln 10x x -+=的两个实数根，则log log a b b a +=．【变式3-3】（23-24高一上·全国·练习）已知a ，b 是方程3273log log 433x x +=-的两个根，试给出关于a ，b 的一个结论．考点四：利用对数运算性质化简例4.（23-24高一下·云南昆明·期中）下列等式正确的是（ ）A ．22(lg5)2lg2(lg2)1+-=B ．335log 5log 2log 93⋅⋅=C．ln 2eπ+=D122.535[(0.064)]1-=【变式4-1】（23-24高一下·浙江·期中）化简()2151515155log 91log 3log 5log log 155⎛⎫+-⋅= ⎪⎝⎭.【变式4-2】（23-24高一上·贵州毕节·期末）计算：(1)2+00.5281(log 8log 2)(3)16⋅-；(2)ln3427log 9log 8lg 4lg 25e+⋅++.【变式4-3】（24-25高一上·全国·课后作业）计算：(1)420.5251log log 3log 95+-；(2)()2323223log 2log 3log 2log 3log 3log 2+--．考点五：用已知对数表示其他对数例5.（23-24高一下·江苏盐城·期末）若lg2a =，lg3b =，则用a ，b 表示lg12=（ ）A ．2a bB ．2abC ．2+a bD ．2a b+【变式5-1】（23-24高一上·江苏淮安·期中）已知25a=，则lg 2=（ ）A ．1aa +B ．1a a -C ．11a +D ．1a a -【变式5-2】（23-24高一上·江苏宿迁·期末）已知2log 3a =，27b =，用a ，b 表示42log 56为（ ）A ．3b a b++B ．3b a b+C ．31b a b +++D ．31b a b ++【变式5-3】（23-24高一上·甘肃武威·月考）已知lg2,lg3a b ==，则30log 18=（ ）A ．21a bb +-B ．21a b b ++C ．21a b b --D ．21a b b -+考点六：利用换底公式证明等式例6.（23-24高一上·山东淄博·期末）设a ，b ，c 都是正数，且346a b c ==，那么下列关系正确的是（ ）A ．2a b c+=B ．2ac bc ab+=C ．1112a b c+=D ．112a b c+=【变式6-1】（23-24高一上·全国·随堂练习）求证：28log 643log 64=．【变式6-2】（23-24高一上·全国·随堂练习）设0a >，0b >，0α≠，且1a ≠，1b ≠，利用对数的换底公式证明：(1)1log log a b b aαα=；(2)log log a a b b αββα=．【变式6-3】（23-24高一上·河北石家庄·月考）设000a b a >>≠，，，且11a b ≠≠，，利用对数的换底公式证明：(1)log log a a b b αββα=；(2)1log log a b b aαα=；(3)计算：若2log 32x =，求33x x -+的值．一、单选题1．（23-24高一上·全国·专题练习）在()log 5a b a =-中，实数a 的取值范围是（ ）A ．5a >或a<0B ．01a <<或15a <<C ．01a <<D ．15a <<2．（23-24高一下·湖南株洲·月考）若lg a （0a >）与lgb （0b >）互为相反数，则（ ）A ．1a b +=B ．0a b -=C ．1ab =D ．1ab=3．（23-24高一上·全国·课后作业）将31128⎛⎫= ⎪⎝⎭化为对数式正确的是（ ）A ．121log 38=B ．121log 38=C ．181log 32=D ．311log 28=4．（23-24高一下·陕西西安·月考）1lg 22+=（ ）A ．12B ．1C ．lg 5D．5．（23-24高一上·北京·月考）若1ab >，则下列等式中正确是的是（ ）A ．()lg lg lg ab a b=+B ．lg lg lg a a bb ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()21lg()lg 2a b a b +=+D ．()1lg log 10ab ab =6．（23-24高一上·天津·期末）化简2345log 3log 4log 5log 8⨯⨯⨯的值为（ ）A ．1B ．3C ．4D ．8二、多选题7．（23-24高一上·贵州安顺·期末）下列运算正确的有（ ）A ．lg 2lg 3lg 5+=B ．33log 10010log 10=C ．4log 545=D ．34log 4log 31⋅=8．（23-24高一上·吉林延边·期中）下列命题中正确的是（ ）A ．已知25a=，8log 3b =，则34a b -=259B ．222(lg 2)3lg 2lg 5(lg 5)lg 2++-的值为1C ．若3log 41x =，则44x x -+的值为103D ．若23m n k ==且112m n+=，则k =6三、填空题9．（23-24高一下·上海嘉定·月考）已知2log 3a =，25b =则12log 45= .（用含,a b的式子表示）10．（23-24高一下·云南昆明·期中）若4312,log 12a b ==，则11a b+=.11．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）设m ，n 是方程()23lg lg 10x x -+=的两个实根，则mn =．四、解答题12．（22-23高一上·新疆喀什·期末）求值：(1)0113410.027167-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；(2)ln 2145log 2lg 4lg e 2+++.(3)()()48392log 3log 3log 2log 2++13．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）（1）若3515a b ==，求55a b+的值；（2）求值：()()22327lg 5lg 2lg 503π++⨯--.第16讲 对数及其运算模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三模块四 小试牛刀过关测1．理解对数的概念，掌握对数的基本性质；2．掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程；3．理解对数的运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；4．会运用运算性质进行一些简单的化简与证明.知识点 1 对数的概念与性质1、对数的概念：如果x a N =（0a >且1a ≠），那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x =log a N ，其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数．2、常用对数与自然对数名称定义记法常用对数以10为底的对数叫做常用对数lg自然对数以无理数 2.71828e =⋅⋅⋅为底的对数称为自然对数ln3、对数的性质（1）当0a >，且1a ≠时，x a N =⇔log a x N =；（2）负数和0没有对数，即0>N ；（3）特殊值：1的对数是0，即log 1a =0（0a >，且1a ≠）；底数的对数是1，即log 1a a =（0a >，且1a ≠）；（4）对数恒等式：log a N a N =；（5）log ba ab =．知识点 2 对数的运算性质及应用1、运算性质：0>a ,且1≠a ，0,0>>N M （1）N M MN a a a log log )(log +=；（2）N M NMa a alog log log -=；（3）M n M a na log log =2、换底公式（1）换底公式：abb c c a log log log =(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0)．（2）可用换底公式证明以下结论：①ab b a log 1log =； ②1log log log =⋅⋅a c b c b a ；③b b a na n log log =；④b n mb a ma n log log =； ⑤b b a alog log 1-=.知识点 3 对数运算常用方法技巧1、对数混合运算的一般原则（1）将真数和底数化成指数幂形式，使真数和底数最简，用公式log log m n a a nM b m=化简合并；（2）利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式；（3）将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幂；（4）如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式，一般改写成几个对数相加减的形式，然后进行化简合并；（5）对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式．2、对数运算中的几个运算技巧（1）lg 2lg 51+=的应用技巧：在对数运算中如果出现lg 2和lg 5，则一般利用提公因式、平方差公式、完全平方公式等使之出现lg 2lg 5+，再应用公式lg 2lg 51+=进行化简；（2）log log 1a b b a ⋅=的应用技巧：对数运算过程中如果出现两个对数相乘且两个对数的底数与真数位置颠倒，则可用公式log log 1a b b a ⋅=化简；（3）指对互化的转化技巧：对于将指数恒等式xyza b c ==作为已知条件，求函数(),,f x y z 的值的问题，通常设(0)x y za b c k k ===>，则log a x k =，log b y k =，log c z k =，将,,x y z 值带入函数(),,f x y z 求解．考点一：对数的概念及辨析例1．（23-24高一上·全国·专题练习）（多选）下列选项中错误的是（ ）A ．零和负数没有对数B ．任何一个指数式都可以化成对数式C ．以10为底的对数叫做自然对数D ．以e 为底的对数叫做常用对数【答案】BCD【解析】对于A ：由对数的定义可知：零和负数没有对数.故A 正确；对于B ：只有符合0a >，且10a N ≠>，，才有log xa a N x N =⇔=，故B 错误；对于C ：以10为底的对数叫做常用对数，故C 错误；对于D ：以e 为底的对数叫做自然对数，故D 错误.故选：BCD.【变式1-1】（23-24高一上·贵州贵阳·月考）使式子(31)log (2)x x --有意义的x 的取值范围是（ ）A ．2x >B ．123x <<C ．123x <<且23x ≠D ．2x <，【答案】C【解析】由式子(31)log (2)x x --有意义，则满足31031120x x x ->⎧⎪-≠⎨⎪->⎩，解得123x <<且23x ≠.故选：C.【变式1-2】（23-24高一上·吉林延边·期中）在对数式()()3log 5a b a -=-中，实数a 的取值范围是（ ）A ．()(),35,-∞⋃+∞B ．()3,5C ．()3,4D ．()()3,44,5 【答案】D【解析】要使对数式()()3log 5a b a -=-有意义，需满足303150a a a ->⎧⎪-≠⎨⎪->⎩，解得34a <<或45a <<，所以实数a 的取值范围是()()3,44,5 ．故选:D.【变式1-3】（22-23高一上·江苏宿迁·期中）在下列四个命题中，正确的是（ ）A ．若M N =则log log a a M N =；B ．若log log a a M N =，则M N =；C ．22log log a a M N =，则M N =；D ．若M N =，则22log log a a M N =．【答案】B【解析】对A ，若0M N =≤，则log ,log a a M N 均无意义，故A 错；对B ，若log log a a M N =，说明0M N =>，则B 项正确；对C ，若22log log a a M N =，则22M N =，不一定能推出M N =，故C 错；对D ，若0M N ==，则22log ,log a a M N 无意义，故D 错.故选：B考点二：对数式与指数式互化例2.（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）将3log 0.81x =化成指数式可表示为（ ）A ．30.81x =B ．0.813x =C ．0.813x=D ．30.81x=【答案】A【解析】把对数式3log 0.81x =化成指数式，为30.81x =．故选：A ．【变式2-1】（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）将328=化为对数式正确的是（ ）A ．2log 38=B ．2log 83=C ．8log 23=D ．3log 28=【答案】B【解析】328=化为对数式为2log 83=，故选：B ．【变式2-2】（23-24高一上·江苏连云港·期中）已知)4x =，则x =（ ）A ．2-B ．0C ．2D ．4【答案】C【解析】由)4x =得42x =，即22x x =，又0x >且1x ≠，所以2x =，故选：C ．【变式2-3】（23-24高一上·江西宁冈·期中）（多选）下列指数式与对数式的互化，正确的一组是（ ）A ．0e 1=与ln1=0B ．131273-=与2711log 33=-C ．2log 42=与1242=D ．5log 5=1与155=【答案】ABD【解析】根据指数式与对数式的互化公式log Na ab b N =⇔=(0a >且1,0)a N ≠>可知，ABD 正确；对于C ，22log 4242=⇔=，故C 错误.故选：ABD考点三：利用对数性质解对数方程例3.（23-24高一·江苏·假期作业）方程()()2lg 1lg 22x x -=+的根为（ ）A ．3-B ．3C ．1-或3D ．1或3-【答案】B【解析】由()()2lg 1lg 22x x -=+，得2212210220x x x x ⎧-=+⎪->⎨⎪+>⎩，即2223010220x x x x ⎧--=⎪->⎨⎪+>⎩，解得3x =，所以方程()()2lg 1lg 22x x -=+的根为3.故选：B【变式3-1】23-24高一上·山东烟台·月考）方程()3log 941xx -=+的实数解为.【答案】3log 4【解析】由()3log 941x x -=+，得()133log 94log 3x x +-=，所以1943x x +-=，即()23433x x -=⋅，即()()34310x x-+=，所以34x =或31x =-（舍去），所以3log 4x =.故答案为：3log 4.【变式3-2】（23-24高一上·广东深圳·期中）已知a ，b 是方程22(ln )3ln 10x x -+=的两个实数根，则log log a b b a += ．【答案】52/2.5【解析】方法一：因为a ，b 是方程()22ln 3ln 10x x -+=的两个实数根，由韦达定理得1ln ln 2a b ⋅=，3ln ln 2a b +=，则()()()()2222ln ln ln ln 2ln ln ln ln ln ln 5log log 2ln ln ln ln ln ln ln ln 2a b a b a b a b a b b a b a a b a b a b a b ++-⋅++=+===-=⋅⋅⋅，即5log log 2a b b a +=；方法二：因为22310t t -+=的根为1t =或12t =，不妨设ln 1a =，1ln 2b =，则e a =，b =，所以e 15log log log 222e a b b a +=+=+=．故答案为：52.【变式3-3】（23-24高一上·全国·练习）已知a ，b 是方程3273log log 433x x +=-的两个根，试给出关于a ，b 的一个结论 ．【答案】1081a b +=（答案不唯一）【解析】根据换底公式有33333log log lo 7g l 343og 32x x +=-，即33114133log log x x ++=-+，令3g 1lo x t +=，则1433t t +=-，解得1t =-或3t =-.所以31log 1x +=-或31log 3x +=-，解得19x =或181x =.故答案为：1081a b +=（答案不唯一）考点四：利用对数运算性质化简例4.（23-24高一下·云南昆明·期中）下列等式正确的是（ ）A ．22(lg5)2lg2(lg2)1+-=B ．335log 5log 2log 93⋅⋅=C．ln 2e π+=D122.535[(0.064)]1-=【答案】A【解析】对于A 中，由2222(lg5)2lg2(lg2)(1lg2)2lg2(lg2)1+-=-+-=，所以A 正确；对于B 中，由335lg5lg22lg3log 5log 2log 93lg3lg3lg5⋅⋅=⋅⋅≠，所以B 错误；对于C中，由ln 27e log 825ππ=++-≠，所以C 错误；对于D 中，122.513551515[(0.064)](0.4)122222--=+⨯=+⨯≠，所以D错误．故选：A【变式4-1】（23-24高一下·浙江·期中）化简()2151515155log 91log 3log 5log log 155⎛⎫+-⋅= ⎪⎝⎭.【答案】1【解析】原式()()()()22221515151515151515log 3log 9log 5log 5log 32log 3log 5log 5=+⋅+=+⋅+()21515log 3log 5=+()215log 151==.故答案为：1.【变式4-2】（23-24高一上·贵州毕节·期末）计算：(1)2+00.5281(log 8log 2)(3)16⋅-；(2)ln3427log 9log 8lg 4lg 25e+⋅++.【答案】(1)0；(2)6【解析】（1）原式=1122234937(1()1021644+-=+-=（2）原式=3+log 23⋅log 32+lg100=3+1+2=6．【变式4-3】（24-25高一上·全国·课后作业）计算：(1)420.5251log log 3log 95+-；(2)()2323223log 2log 3log 2log 3log 3log 2+--．【答案】(1)0；(2)2【解析】（1）420.5251log log 3log 95+-22222251log log 95log 3log 4log 0.5=+-2225log log 3log 53=+-225log 35log 103⎛⎫=⨯÷== ⎪⎝⎭；（2）()2323223log 2log 3log 2log 3log 3log 2+--2ln 2ln 3ln 2ln 2ln 3ln 3ln 3ln 2ln 3ln 3ln 2ln 2⎛⎫=+-⋅-⋅ ⎪⎝⎭2222ln 2ln 3ln 2ln 322ln 3ln 2ln 3ln 2⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.考点五：用已知对数表示其他对数例5.（23-24高一下·江苏盐城·期末）若lg2a =，lg3b =，则用a ，b 表示lg12=（ ）A ．2a bB ．2abC ．2+a bD ．2a b+【答案】D【解析】由对数运算性质可得()2lg12lg 34lg3lg4lg3lg2lg32lg22a b =⨯=+=+=+=+，故选：D.【变式5-1】（23-24高一上·江苏淮安·期中）已知25a=，则lg 2=（ ）A ．1aa +B ．1a a -C ．11a +D ．1a a -【答案】C 【解析】由25a=得，2lg 51lg 2log 5lg 2lg 2a -===，则1lg 21a =+，故选：C ．【变式5-2】（23-24高一上·江苏宿迁·期末）已知2log 3a =，27b =，用a ，b 表示42log 56为（ ）A ．3b a b++B ．3b a b+C ．31b a b +++D ．31b a b ++【答案】C【解析】因为27b =，所以2log 7=b ，2222242222222log 56log 7log 8log 73log 23log 56log log 7742log log log l g 62o ++==+=++31+=++b b a .故选： C.【变式5-3】（23-24高一上·甘肃武威·月考）已知lg2,lg3a b ==，则30log 18=（ ）A ．21a bb +-B ．21a b b ++C ．21a b b --D ．21a b b -+【答案】B 【解析】30lg18lg2lg92log 18lg30lg311a bb ++===++，故选:B.考点六：利用换底公式证明等式例6.（23-24高一上·山东淄博·期末）设a ，b ，c 都是正数，且346a b c ==，那么下列关系正确的是（ ）A ．2a b c +=B ．2ac bc ab+=C ．1112a b c+=D ．112a b c+=【答案】C【解析】由346a b c k ===，得3log a k =，4log b k =，6log c k =，1log 3k a=，1log 4k b =，1log 6k c =，则11log 4log 222k k b ==，根据log 3log 2log 6k k k +=可知，1112a b c+=.故选：C 【变式6-1】（23-24高一上·全国·随堂练习）求证：28log 643log 64=．【答案】证明见解析【解析】左边622log 26log 26===，右边362263log 23log 263==⨯⨯=，所以左边=右边，得证.【变式6-2】（23-24高一上·全国·随堂练习）设0a >，0b >，0α≠，且1a ≠，1b ≠，利用对数的换底公式证明：(1)1log log a b b aαα=；(2)log log a a b b αββα=．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】（1）log 1log log log b a b b b b a aααα==，所以等式成立；（2）log log log log log log a a a a a a b b b b a a αββαββαα===，所以等式成立.【变式6-3】（23-24高一上·河北石家庄·月考）设000a b a >>≠，，，且11a b ≠≠，，利用对数的换底公式证明：(1)log log a a b b αββα=；(2)1log log a b b aαα=；(3)计算：若2log 32x =，求33x x -+的值．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)174【解析】（1）因为log log log log log a a a a a a b b b b a a αββββα===，所以命题log log a ab b αββα=得证.（2）因为log 1log log log b a a b b b b a aαα==，所以命题1log log ab b a αα=得证.（3）因为2log 32x =，所以22322log 22log 4log 3log 3x ===，故1333log 4log 4log 4117333343444x x---+=+=+=+=，即33x x -+的值为174.一、单选题1．（23-24高一上·全国·专题练习）在()log 5a b a =-中，实数a 的取值范围是（ ）A ．5a >或a<0B ．01a <<或15a <<C ．01a <<D ．15a <<【答案】B【解析】由对数的定义可知5001a a a ->⎧⎪>⎨⎪≠⎩，解得05a <<，且1a ≠，故选：B ．2．（23-24高一下·湖南株洲·月考）若lg a （0a >）与lg b （0b >）互为相反数，则（ ）A ．1a b +=B ．0a b -=C ．1ab =D ．1a b=【答案】C【解析】因为lg a （0a >）与lg b （0b >）互为相反数，所以lg lg lg 0a b ab +==，所以1ab =.故选：C.3．（23-24高一上·全国·课后作业）将31128⎛⎫= ⎪⎝⎭化为对数式正确的是（ ）A ．121log 38=B ．121log 38=C ．181log 32=D ．311log 28=【答案】B【解析】31128⎛⎫= ⎪⎝⎭化为对数式：121log 38=，故选：B 4．（23-24高一下·陕西西安·月考）1lg 22+=（ ）A ．12B ．1C ．lg 5D．【答案】A【解析】11111lg 2lg 2lg 5lg(25)22222+=+=⨯=.故选：A5．（23-24高一上·北京·月考）若1ab >，则下列等式中正确是的是（ ）A ．()lg lg lg ab a b=+B ．lg lg lg a a bb ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()21lg()lg 2a b a b +=+D ．()1lg log 10ab ab =【答案】D【解析】当0,0a b <<时，ABC 均不成立，由换底公式知D 正确．故选：D ．6．（23-24高一上·天津·期末）化简2345log 3log 4log 5log 8⨯⨯⨯的值为（ ）A ．1B ．3C ．4D ．8【答案】B【解析】由题意可得：2345ln 3ln 4ln 5ln 8ln 83ln 2log 3log 4log 5log 83ln 2ln 3ln 4ln 5ln 2ln 2⨯⨯⨯=⨯⨯⨯===.故选：B.二、多选题7．（23-24高一上·贵州安顺·期末）下列运算正确的有（ ）A ．lg 2lg 3lg 5+=B ．33log 10010log 10=C ．4log 545=D ．34log 4log 31⋅=【答案】CD【解析】对A ，lg 2lg 3lg 6+=，故A 错误；对B ，33log 1002log 10=，故B 错误；对C ，4log 545=正确；对D ，34log 4log 31⋅=正确.故选：CD8．（23-24高一上·吉林延边·期中）下列命题中正确的是（ ）A ．已知25a=，8log 3b =，则34a b -=259B ．222(lg 2)3lg 2lg 5(lg 5)lg 2++-的值为1C ．若3log 41x =，则44x x -+的值为103D ．若23m n k ==且112m n+=，则k =6【答案】ABC 【解析】因为25a=，则2log 5a =，且821log 3log 33b ==，则22253log 5log 3log 3a b -=-=则()22252log 253log 9332542229a b a b--====，故A 正确；()()222(lg 2)3lg 2lg 5(lg 5)lg 22lg 2lg 5lg 2lg 5lg 22lg 2lg 5lg 2++-=++-=+-lg 2lg 51=+=，故B 正确；由3log 41x =可得431log 3log 4x ==，则44log 3log 31104444333x x --+=+=+=，故C 正确；因为23m n k ==，则23log ,log m k n k ==，则11log 2,log 3k k m n==，所以11log 2log 3log 62k k k m n+=+==，所以k =D 错误；故选：ABC 三、填空题9．（23-24高一下·上海嘉定·月考）已知2log 3a =，25b =则12log 45=.（用含,a b的式子表示）【答案】22a b a ++【解析】因为25b =，所以2log 5b =，又2log 3a =，所以()()2222122222log 59log 45log 5log 9log 45log 12log 34log 3log 4⨯+===⨯+222222log 52log 3log 32log 2a ba ++=++=.故答案为：22a b a ++10．（23-24高一下·云南昆明·期中）若4312,log 12ab ==，则11a b +=.【答案】1【解析】因为312a =，所以3log 12a =，所以121212341111log 3log 4log 121log 12log 12a b +=+=+==.故答案为：1.11．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）设m ，n 是方程()23lg lg 10x x -+=的两个实根，则mn =．【答案】1000【解析】()23lg lg 10x x -+=，即()2lg 3lg 10x x -+=，设lg t x =，由题意lg lg m n ，是方程2310t t -+=的两个根，由根与系数关系得lg lg 3m n +=，即lg 3mn =，所以1000mn =.故答案为：1000.四、解答题12．（22-23高一上·新疆喀什·期末）求值：(1)0113410.027167-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；(2)ln 2145log 2lg 4lg e 2+++.(3)()()48392log 3log 3log 2log 2++【答案】(1)53-；(2)52；(3)2【解析】（1）()()()111113443344410.027160.32147--⎛⎫⎡⎤-+=-+- ⎪⎣⎦⎝⎭10521433=-+-=-（2）2ln 221245log 2lg 4lg e log 2lg 2lg 5lg 222-+++=++-+13352lg 2lg 5lg 22lg 2lg 512222=-++-+=++=+=（3）()()()()232483932232log 3log 3log 2log 22log 3log 3log 2log 2++=++223311log 3log 3log 2log 232⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2343log 3log 2232⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）（1）若3515a b ==，求55a b+的值；（2）求值：()()22327lg 5lg 2lg 503π++⨯--.【答案】（1）5；（2）13π-【解析】（1）因为3515a b ==，所以35log 15,log 15==a b ，3551,1lo 1g 15l g 1o 1a b ==，则()()15151535551155log 3log 55log 355log 15log 15a b ⎛⎫+=+=+=⨯= ⎪⎝⎭；（2）()()()()()22223331027lg 5lg 2lg 503π3lg 5lglg 105π35++⨯--=++⨯⨯-+()()()()()22223lg 51lg 51lg 5π312πlg 51lg 513π=++-⨯+-+=-++-=-．。
上海教育版高中数学一下4.8简单的对数方程2篇
4.8 简单的对数方程教学目标：1、理解对数方程的意义，了解对数方程在实际中的应用 2、掌握简单对数方程的解法 3、 让学生掌握转化—化归的数学思想方法教学重点：简单对数方程的解法教学难点：转化—化归数学思想方法教学过程：一、 引例2008年5月12日，我国四川汶川发生强烈地震，地质勘探局测定的地震震级为里氏8.0级，已知里氏震级R 与地震释放能量E 的关系为()2lg 11.43R E =-，1976年的唐山地震的震级为里氏7.8级，那么汶川地震释放的能量大概是唐山地震释放的能量的多少倍？（精确到整数倍）引入课题及对数方程的概念二、 简单对数方程的解法例1. 解方程：1)1(log 2-=-x法一：指对数互化法二：化同底巩固练习1：解方程：)6(log 3)2(log )14(log 222++=+++x x x注意检验例2. 解方程：23log )(log 923=+x x换元：令x t 3log =巩固练习2：（1）54log 2log 24=+x x （2）x x x 100lg = （方程两边同时取对数）三、 解决引例中的实际问题四、 思考题（1） 方程 2lg -=x x 的根的个数为____________数形结合（2） 讨论a 在什么范围内时，关于x 的方程 )1lg(2lg -=x ax 有解？并求出解五、 课堂小结常见的对数方程的解法：（1） 指、对数互化：若b x f a =)(log ，则b a x f =)(（2） 化同底：若)(log )(log x g x f a a =，则0)(),()()(>=x g x f x g x f 且（3） 换元：令)(log x f t a =，转化为0)(=t f 六、作业课堂设计说明 数学学习是教师指导下的学生主动参与的活动过程。
教师的主导作用体现在组织教学，设计适当的问题，激发学生学习的兴趣，促进学生主动参与数学交流的过程，使教师与学生、学生与学生能相互影响与交流。
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【课堂例题】
例1.解下列对数方程：
(1)22log 4x =;
(2)2
lg()lg x x x -=;
(3)233(log )log 20x x +-=.
课堂自测：
1.利用同底型log ()log ()a a f x g x =解方程：
(1)2
lg(118)lg(1)1x x x ++-+=;
(2)222log (14)log (2)3log (6)x x x +++=++;
(3)0.011000lg log log 1x x x ++=.
2.解下列对数方程： (1)
2111lg lg 1234
x x =-； (2)5log log 253x x +=.
3.解方程：lg 2
1000x x
+=.
(选用)例2.利用计算器并结合图像，求方程lg 3x x +=的近似解(精确到0.01)
【知识再现】
下列常见对数方程的等解变形为：
log ()a f x b =⇔ ；log ()log ()a a f x g x =⇔ ；
2(log )log 0a a x p x q +⋅+=⇔ .
【基础训练】
1.解下列方程：
(1)3log (2)1x -=;
(2)2
2log (3)2x x -=;
(3)2lg 4x =;
(4)25log (log )1x =.
2.解下列方程：
(1)22lg(2)lg(6)x x x x --=--;
(2)lg(2)lg(3)lg12x x -+-=;
(3)15
5log (1)log (3)1x x +--=； (4)11(lg lg5)lg 2lg(9)22x x -=--.
3.解下列方程：
(1)2
22log 3log 20x x ++=;
(2)22lg lg 3x x -=；
(3)1122
1
1log (95)log (32)2x x ---=--;
(4)3log 2log 33x x +=
4.下列方程()0F s =中，使得方程(lg )0F x =有两个不同的大于1的实数根的是( )
A.210s s -+=；
B.2440s s -+=；
C.2650s s -+=；
D.2
230s s +-=. 5.解方程：2
log ()log 2x x x x -=.
6.如果不考虑空气阻力，火箭的最大速度(/)v km s 和燃料的质量()M kg 、火箭
(除燃料外)的质量()m kg 之间的关系是2ln(1)M
v m =+.当燃料质量是火箭质量的
多少倍时，火箭的最大速度能达到(1)8/km s (精确到0.1倍)；
(2)12/km s (精确到0.1倍).
7.解方程：(1)2log 432x x x =； (2)3log (123)21x x -⨯=+.
【巩固提高】
8.利用图像求方程21log (4)()3x
x +=根的个数，并求它的近似解(精确到0.01)
9.
解方程组：1
1
lg lg lg(4022125x y ⎧+-=⎪⎨⎪=⨯⎩.
(选做)10.实数a 取何值时，方程lg(1)lg(3)lg()x x a x -+-=-
(1)有解？(2)有两个不同的解？
注：下面提供一种常规解法，你也可以跳过不看，直接求解上题. “方程lg 22lg()
x x a =+有解，求实数a 的取值范围.” 解法关键词：等价转化、分离变量
解：原方程有解
10,0,10,112(0,)(,
)22x x a x
a x x a x
x x a x a ⎧>+>+≠>≠⎧⎪⎪⇔⇔⇔=-+∈+∞⎨⎨+=⎪⎩⎪+=⎩
t =,因此22,(0,(,)22a t t =-+∈+∞，解得：1(,)2
a ∈-∞. 解毕
【温故知新】
11.已知32a
=，用a 表示33log 8log 6-= .
.
x= ;(4)25。