中考数学解答重难专题专题一 第23题圆的综合题

专题一第23题圆的综合题

(2010～2019.23)

【专题解读】圆的综合题近10年每年必考，分值均为8分．涉及三角形：①相似三角形(6次)；②锐角三角函数(2次)；③全等三角形(1次，2012年19题考查相似三角形，故23题考查全等三角形)．设问形式：①证明角相等或线段相等；②线段平行；③线段垂直；④切线的判定；⑤计算线段长、线段比例关系；

⑥求正切值等．

1.如图，在△ABC中，以AC为直径的⊙O与边AB交于点D，BC是⊙O的切线，点E为⊙O上一点，连接CE并延长交AB于点F，连接E D.

(1)求证：∠B＋∠FED＝90°；

(2)若FC＝6，DE＝3，FD＝2.求⊙O的直径．

第1题图

2.如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，连接BC交⊙O于点D，点E是弧BD的中点，连接AE交BC于点F.

(1)求证：AC＝CF；

(2)若AB＝4，AC＝3，求∠BAE的正切值．

第2题图

3.如图，P A，PB是⊙O的切线，A、B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D.

(1)求证：PO平分∠APC；

(2)连接DB，若∠C＝30°，求证：DB∥A C.

第3题图

4.如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点C，AD交⊙O于点E，AC平分∠BAD，

连接BE .

(1)求证：AD ⊥CD ;

(2)若CD ＝4，AE ＝2，求⊙O 的半径．

第4题图

5. (2019西工大附中模拟)如图，P 为⊙O 直径AB 延长线上的一点，PC 切⊙O 于点C ，过点B 作CP 的垂线BH 交⊙O 于点D ，交CP 于点H ，连接AC 、C D.

(1)求证：∠PBH ＝2∠HDC ； (2)若sin P ＝3

4

，BH ＝3，求BD 的长．

第5题图

6. (2019陕西定心卷)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点D 、E 分别在边AC 、BC 上，DE ∥AB ，△DCE 的外接圆⊙O 与AB 相切于点F .

(1)求证：CD ·CB ＝CA ·CE ；

(2)若BE ＝5，⊙O 的半径为4，求CD 的长．

第6题图

7. 如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC 与⊙O 交于点D ，点E 在⊙O 上，且DE ＝DA ，AE 与BC 相交于点F .

求证：(1)∠CAD ＝∠B ； (2)FD ＝C D.

第7题图

8. 如图，AB 为⊙O 的直径，CD 切⊙O 于点D ，AC ⊥CD 于点C ，交⊙O 于点E ，连接AD 、BD 、E D. (1)求证：BD ＝ED ；

(2)若CE ＝3，CD ＝4，求AB 的长．

第8题图

9. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CE 为△ABC 外接圆的切线，过点A 作AE ⊥CE 于点E . (1)求证：∠ACE ＝∠B ；

(2)若AE ＝2，AB ＝8，求CE 的长．

第9题图

10. 如图，在Rt △ABC 中，点O 在斜边AB 上，以O 为圆心，OB 为半径作⊙O ，分别与BC ，AB 相交于点D 、E ，连接A D.已知∠CAD ＝∠B.

(1)求证：AD 是⊙O 的切线；

(2)若BC ＝8，tan B ＝1

2

，求⊙O 的半径．

第10题图

11. 如图，在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，以CD 为直径的⊙O 分别交CA 、CB 于点E 、F ，点G 是AD 的中点，连接ED 、EG .

(1)求证：GE 是⊙O 的切线； (2)若3AE ＝4DE ，求EG

OD

的值．

第11题图

12. (2019西工大附中模拟)如图，已知四边形ABCD 的外接圆为⊙O ，AD 是⊙O 的直径，过点B 作⊙O 的切线与DA 的延长线交于点E ，连接BD ，且∠E ＝∠DB C.

(1)求证：DB 平分∠ADC ；

(2)若EB ＝10，CD ＝9，tan ∠ABE ＝1

2

，求⊙O 的半径．

第12题图

参考答案

1. (1)证明：∵∠A ＋∠DEC ＝180°，∠FED ＋∠DEC ＝180°， ∴∠FED ＝∠A ，

∵BC 是⊙O 的切线，AC 为⊙O 的直径， ∴∠BCA ＝90°， ∴∠B ＋∠A ＝90°， ∴∠B ＋∠FED ＝90°； (2)解：∵∠CF A ＝∠DFE ， ∠FED ＝∠A ， ∴△FED ∽△F AC ， ∴

DE AC ＝DF CF ，即3AC ＝2

6

， 解得AC ＝9，即⊙O 的直径为9. 2. (1)证明：如解图，连接BE ,

∵CA 是⊙O 的切线，AB 是⊙O 的直径， ∴∠CAB ＝90°，∠AEB ＝90°，

∴∠CAF ＋∠BAE ＝90°，∠FBE ＋∠EFB ＝90°， ∵E 是弧BD 的中点， ∴DE ︵＝BE ︵， ∴∠BAE ＝∠FBE ， ∴∠CAF ＝∠EFB ＝∠AFC ， ∴AC ＝CF ；

第2题解图

(2)解：如解图，连接AD ， 在Rt △ABC 中，AB ＝4，AC ＝3, ∴BC ＝AB 2＋AC 2＝5. ∵CF ＝AC ＝3， ∴BF ＝BC －CF ＝2. ∵AB 是⊙O 的直径，

∵cos ∠ABC ＝BD AB ＝AB BC ＝45，

∴BD ＝16

5

，

∴AD ＝AB 2－BD 2＝12

5，

DF ＝BD －BF ＝6

5

.

∴tan ∠BAE ＝tan ∠DAE ＝DF AD ＝1

2.

3. 证明：(1)如解图，连接OB ，

∵P A ，PB 是⊙O 的切线，OA 、OB 为⊙O 的半径， ∴OA ⊥AP ，OB ⊥BP ， 又∵OA ＝OB ， ∴PO 平分∠APC ；

第3题解图

(2)∵OA ⊥AP ，OB ⊥BP ， ∴∠CAP ＝∠OBP ＝90°， ∵∠C ＝30°，

∴∠APC ＝90°－∠C ＝90°－30°＝60°， ∵PO 平分∠APC ，

∴∠OPC ＝12∠APC ＝1

2×60°＝30°，

∴∠POB ＝90°－∠OPB ＝90°－30°＝60°， 又∵OD ＝OB ，

∴△ODB 是等边三角形， ∴∠OBD ＝60°，

∴∠DBP ＝∠OBP －∠OBD ＝90°－60°＝30°， ∴∠DBP ＝∠C ， ∴DB ∥AC .

4. (1)证明：如解图，连接OC ，交BE 于点F ， ∴DC 是⊙O 的切线，∴OC ⊥DC ， 又∵OA ＝OC ， ∴∠OAC ＝∠OCA ，

∴∠DAC＝∠OAC.

∴∠OCA＝∠DAC，

∴OC∥AD，

∴∠D＝∠OCD＝90°，即AD⊥CD；

第4题解图(2)解：∵AB是⊙O的直径，

∴∠AEB＝90°，

∵∠D＝90°，

∴∠AEB＝∠D，

∴BE∥CD，

∵OC⊥CD，

∴OC⊥BE，

∵OC∥AD，OA＝BO，

∴EF＝BF，

∵OC∥ED，

∴四边形EFCD是矩形，

∴EF＝CD＝4，

∴BE＝8，

∴AB＝AE2＋BE2＝22＋82＝217，

∴⊙O的半径为17.

5. (1)证明：如解图，连接OC,

∵PC切⊙O于点C，

∴OC⊥PC，

又∵DH⊥PC，

∴DH∥OC，

∴∠PBH＝∠BOC，

∵∠BOC＝2∠HDC，

∴∠PBH＝2∠HDC；

第5题解图

(2)解：如解图，过点O 作OM ⊥DH 于点M ，则DM ＝BM ，设⊙O 的半径为r , ∵∠OCH ＝∠OMH ＝∠CHM ＝90°， ∴四边形OMHC 为矩形， ∵sin P ＝BH BP ＝3

4，BH ＝3,

∴BP ＝4， ∵OC ∥DH ， ∴△PHB ∽△PCO ， ∴

BH OC ＝PB PO

， ∴3r ＝44＋r ，解得r ＝12, ∴MH ＝OC ＝12，

∴MB ＝MH －BH ＝12－3＝9， ∴BD ＝2MB ＝18. 6. (1)证明：∵DE ∥AB ， ∴∠CED ＝∠B . 又∵∠C ＝∠C ， ∴△CDE ∽△CAB ， ∴

CD CA ＝CE CB

， ∴CD ·CB ＝CA ·CE ；

(2)解：如解图，连接OF ，过点E 作EG ⊥AB 于点G ， ∵AB 为⊙O 的切线，切点为点F ， ∴OF ⊥AB ，

∴∠OFG ＝∠EGF ＝90°， ∵DE ∥AB ，

∴∠FOE ＝180°－∠OFG ＝90°， 又∵OE ＝OF ，

∴四边形OEGF 为正方形， ∴EG ＝OF ＝4，DE ＝2OE ＝8， ∵∠CED ＝∠B ，∠C ＝∠EGB ，

∴△CDE ∽△GEB ， ∴

CD GE ＝DE BE ，即CD 4＝85

， ∴CD ＝325

.

第6题解图

7. 证明：(1)∵AC 是⊙O 的切线，AB 是⊙O 的直径， ∴BA ⊥AC ，∠ADB ＝90°，

∴∠CAD ＋∠BAD ＝90°，∠B ＋∠BAD ＝90°， ∴∠CAD ＝∠B ； (2)∵DA ＝DE ,

∴∠EAD ＝∠E , 而∠B ＝∠E ， ∴∠B ＝∠EAD ， 由(1)知，∠CAD ＝∠B ， ∴∠EAD ＝∠CAD ， 在△ADF 和△ADC 中， ????

?∠ADF ＝∠ADC ＝90°AD ＝AD ∠F AD ＝∠CAD ， ∴△ADF ≌△ADC ， ∴FD ＝CD .

8. (1)证明：如解图，连接OD 、OE . ∵CD 切⊙O 于点D ， ∴OD ⊥CD . ∵AC ⊥CD ， ∴OD ∥AC .

∴∠EAO ＝∠DOB ，∠AEO ＝∠EOD . ∵∠EAO ＝∠AEO ， ∴∠EOD ＝∠DOB . ∵OE ＝OD ＝OB ， ∴△OED ≌△ODB ， ∴BD ＝ED ；

第8题解图

(2)解：∵CE ＝3，CD ＝4，AC ⊥CD ， ∴ED ＝5. ∵BD ＝ED ， ∴BD ＝5.

∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°， ∴∠ACD ＝∠ADB .

∵四边形ABDE 内接于⊙O ， ∴∠CED ＝∠B ， ∴△CDE ∽△DAB . ∴

CE DB ＝DE AB ，即 35＝5

AB

， ∴AB ＝253

.

9. (1)证明：如解图，取AB 的中点O ，连接OC , ∵∠ACB ＝90°，

∴AB 为直径，点O 为△ABC 外接圆的圆心， ∴OC ＝OB ， ∴∠OCB ＝∠B ，

∵CE 为△ABC 外接圆的切线， ∴∠OCE ＝90°， ∵∠ACB ＝90°，

∴∠OCE －∠ACO ＝∠ACB －∠ACO ，即∠ACE ＝∠OCB ， ∴∠ACE ＝∠B ；

第9题解图

(2)解：∵AE ⊥CE , ∴∠AEC ＝∠ACB ＝90°，

∵∠ACE ＝∠B ， ∴△ACE ∽△ABC ， ∴

AE AC ＝AC AB

， ∴AC ＝AE ·AB ＝4,

在Rt △ACE 中，CE ＝AC 2－AE 2＝2 3. 10. (1)证明：如解图，连接OD ， ∵OB ＝OD ， ∴∠3＝∠B ， ∵∠B ＝∠1， ∴∠1＝∠3，

在Rt △ACD 中，∠1＋∠2＝90°， ∴∠4＝180°－(∠2＋∠3)＝90°， ∴OD ⊥AD ， ∵OD 是⊙O 的半径， ∴AD 是⊙O 的切线；

第10题解图

(2)解：设⊙O 的半径为r ， 在Rt △ABC 中，AC ＝BC ·tan B ＝4， 根据勾股定理得AB ＝42＋82＝45， ∴OA ＝45－r ，

在Rt △ACD 中，tan ∠1＝tan B ＝12，

∴CD ＝AC ·tan ∠1＝2，

根据勾股定理得AD 2＝AC 2＋CD 2＝16＋4＝20，

在Rt △ADO 中，OA 2＝OD 2＋AD 2，即(45－r )2＝r 2＋20， 解得r ＝352

.

11. (1)证明：如解图，连接OE ， ∵CD 是⊙O 的直径， ∴∠AED ＝∠CED ＝90°， ∵G 是AD 的中点，

∴EG ＝1

2AD ＝DG ，

∴∠GED ＝∠GDE ， ∵OE ＝OD ， ∴∠OED ＝∠ODE ， ∵CD 是AB 边上的高， ∴∠ODE ＋∠GDE ＝90°， ∴∠GED ＋∠OED ＝90°， 即OE ⊥EG ，

又∵OE 是⊙O 的半径， ∴GE 是⊙O 的切线；

第11题解图

(2)解：由(1)得∠ODE ＋∠GDE ＝90°， ∵∠A ＋∠GDE ＝90°， ∴∠A ＝∠ODE ， ∵AG ＝GE ，OD ＝OE ，

∴∠A ＝∠ODE ＝∠AEG ＝∠OED ， ∴△AGE ∽△DOE ， ∴

GE OE ＝AG OD ＝AE

DE

， ∵3AE ＝4DE ， ∴

AE DE ＝43

， 又∵OD ＝OE ， ∴

GE OD ＝GE OE ＝43

. 12. (1)证明：如解图，连接OB ，延长EB 至点F . ∵AD 是⊙O 的直径， ∴∠ABD ＝90°. ∵EB 是⊙O 的切线， ∴OB ⊥EF ，

∴∠4＋∠5＝∠5＋∠DBF ＝90°， ∴∠DBF ＝∠4＝∠3.

又∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，

∴∠BCD ＝180°－∠3. ∵∠EBD ＝180°－∠DBF ， ∴∠BCD ＝∠EBD . 又∵∠E ＝∠DBC ， ∴△DBE ∽△DCB ，

∴∠1＝∠2，即DB 平分∠ADC ；

第12题解图

(2)解：∵BE 为⊙O 的切线，AD 为⊙O 的直径，OB ＝OD ， ∴∠ABE ＋∠4＝∠4＋∠5＝∠1＋∠4＝90°， ∴∠1＝∠ABE ，即tan ∠1＝tan ∠ABE ＝AB AD ＝12.

设AB ＝x ，则BD ＝2x . ∵∠1＝∠2， ∴BC ＝AB ＝x . ∵△DBE ∽△DCB ， ∴

CD BD ＝BC EB ，即92x ＝x 10

， 解得x ＝35(负值已舍)， 即AB ＝35， ∴BD ＝65，

在Rt △ABD 中，由勾股定理得 AD ＝AB 2＋BD 2＝15， ∴⊙O 的半径为152

.