如何提高高中数学的解题能力

如何提高高中数学的解题能力
数学家哈尔莫斯认为，“数学的真正的组成部分是问题和解，掌握数学就是意味着善于解题”。

解题是使学生牢固掌握数学基础知识和基本技能的必要途径,也是检验知识、运用知识的基本形式。

数学学习的好与坏，集中表现在解题能力上。

有效地提高数学解题能力,有助于学生独立的有创造性的认识活动,也可以促进学生数学能力的发展。

但是学生的数学解题能力并非通过传授就可以完全获得的，如何在课堂教学中提高学生的解题能力呢？结合笔者多年的教学实践，可以从以下几个方面做起：
一、用好例题习题，培养学生应变能力。

课本的例题与习题是应用课本基础知识和基本方法的典型示范，让学生熟悉并掌握例题的解题模式、思路和步骤，从而实现解题的类化。

纵观近几年的高考试题，不难发现试题中有许多题是课本书中的题或是将课本书上的题经过“改装”而得的。

为什么还是有许多考生在这些题上失分呢？原因之一是学生平时做题一味求多，不求甚解，忽视了对自己的解题能力的提高。

在教学中对例题的讲解采用“以一变应万变”的教学方法，具体地说，就是指在解一题后，恰当改换（变）一下题目的条件或结论，让学生类比、比较后获得解题思路，从而起到了“举一反三、触类旁通”的作用，达到了培养应变能力的目的。

如我在讲基本不等式的应用时讲了一道
习题：（已知,0>x 当x 取什么值时，x
x x f 1)(+= 有最小值？最小值是多少？）
讲完后，对上述习题进行变式：
变式1. 已知)1(11)(>-+=x x x x f ，求)(x f 的最小值； 变式2. )0(1)(2>++=x x
x x x f ，求)(x f 的最小值； 变式3. )0(1)(2>++=
x x x x x f ，求)(x f 的最大值； 变式4. 12
)(22++=x x x f ,求)(x f 的最小值.
由这些变式，可以培养学生的思维的灵活性，使学生掌握和理解构造使用基本不等式的条件和技巧。

使学生的应变思维能力得到大大加强。

二、要充分展现解题的思维分析过程，尤其是暴露思维受阻过程或失败的探索过程，提高思考分析问题的有效性。

如我讲立体几何的一道复习题：
例2、如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD .四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AB ＋AD ＝4，CD ＝2，∠CDA ＝45°.
(1)求证：平面PAB ⊥平面PAD ；
(2)设AB ＝AP .
(ⅰ)若直线PB 与平面PCD 所成的角为30°，求线段
AB 的长；
(ⅱ)在线段AD 上是否存在一个点G ，使得点G 到点P 、
B 、
C 、
D 的距离都相等？说明理由．
教师分析过程：
问题1：该题选用几何方法还是向量方法？为什么？（让学生进行探索） 让学生分组选一种方法，并让他们说说理由。

用几何法的同学发现：第(1)小题用几何法简单，但是在第(2)小题遇到了阻碍：(ⅰ)线面角用定义难找出来；转换成公式2
130sin ==︒PB h （其中h 是点B 到平面PCD 的距离）来求，而h 由PCD B BCD P V V --= 公式求得；但是因为
C 点位置难定，P 点的长度不定，两个三角形PC
D BCD ∆∆,的面积难求，这个思路受阻；(ⅱ)“ G 到点P 、B 、C 、D 的距离都相等”可转换成“P 、B 、
C 、
D 四点共球”问题上，这显然超出了高考考查的知识能力要求，这个思路失败。

用向量法的同学发现：第（1）小题用向量法要求两个平面的法向量，太多运算过程，浪费时间。

第（2）(ⅰ)小题用向量法顺理成章，思维没有阻碍；第（2）(ⅱ)小题“ G 到点P 、B 、C 、D 的距离都相等”可转换成“GD GC GP GB ===”，思路顺利；
通过讨论，学生统一了解题方向：第（1）小题用几何方法，第（2）小题用向量方法。

问题2：在用向量法解决第（2）小题过程中，你遇到了什么样的困境？ 学生继续解题，并让学生把关键步骤和数据说出来：（横线部分学生填空） ①怎么样确定关键点坐标C （ 0 ， 3-a ， 0 ），G （ 0 ， x ， 0 ）？ ②GB=22a x +， GP=22a x +， GC=1)3(2+-+a x ， GD=2)4(-+a x 。

③如何利用“GP= GB= GC= GD ”这个条件来探究G 点的存在性？ 经过学生的尝试探索，他们反馈遇到的困境：
在“③如何利用“GP= GB= GC= GD ”这个条件来探究G 点的存在性？”这里遇到思维阻碍有两个方面：一是解决存在性问题的通法（假设G 点存在来解决）学生并不掌握；二是“GP= GB= GC= GD ”这个等量关系该如何进
行转换，使其能体现到点G 的存在。

此时，要发挥教师的主导作用了： 第一步：
几何条件:GP= GB= GC= GD
⇔代数条件:
,实现几何到代数的转化； 第二步：G 点是否存在⇔关于x 方程22a x +=1)3(2+-+a x =2)4(-+a x 是否有解；
第三步：关于x 方程22a x +=1)3(2+-+a x =2)4(-+a x 怎么样解？⇔ 解不等式组2222
22)4(1)3({-+=++-+=+a x a x a x a x ⎪⎩⎪⎨⎧--=--=⇒a a x a a x 448335 第四步：
G 点存在⇔关于x 方程22a x +=1)3(2+-+a x =2)4(-+a x 有解 a
a a a --=--⇔448335有解，否则G 点不存在 第五步：方程
)40(448335<<--=--a a a a a 有解0432=+-⇔a a 有解； 而方程0432=+-a a 的判别式07414)3(2<-=⨯⨯--=∆，显然无解。

结论:方程0432=+-a a 无解⇔)40(448335<<--=--a a
a a a 无解 ⇔关于x 方程22a x +=1)3(2+-+a x =2)4(-+a x 无解⇔G 点不存在 由上述例题的展示可见，在适当时机，故意暴露自己或学生在解题过程中的思维受阻、失败的探索过程，目的是想让多数同学有正确的思路和方法，这样充分展示思维过程更容易让学生进行有效的思维，提高解决数学问题的能力。

三、解题过程中要凸现其中的 “数学思想方法”，使学生领悟课本的基本技能，转换成自己的解题能力。

数学思想方法是一种数学意识，用以对数学问题的认识、处理和解决．数学方法是数学思想的具体体现，具有模式化与可操作性的特征，可以作为解题的具体手段．只有对数学思想与方法概括了，才能在分析和解决问题时得心应手 。

如上面出现的例2、由教师的分析后，学生写完后，可以总结用到的数学思想方法：（横线部分学生填空）
I 、我们使用向量法解决几何问题，这个体现了：数形结合思想；沟通“数”与“形”的工具是向量与坐标系；
II 、我们把“G 点是否存在”
⇔“关于x 方程22a x +=1)3(2+-+a x =2)4(-+a x 是否有解” 其中体现了转化思想；
III 、我们把复杂抽象的“G 点是否存在”问题变成我们熟悉的“方程是否有解”问题，其中体现了化归思想。

因此，把数学中重要数学思想方法穿插在解题过程中，潜移默化，有意识的培养学生思维的高度与广度，不仅有事半功倍的效果，还可激发学生的兴趣，增强他们对遇到困难问题时解决问题的能力和信心。

四、要重视重复做典型错题，以巩固他们的解题方法，形成解题规律，提高解题的效率。

对于数学学科，做题是必须的。

教师往往要指导学生做一定数量的数学习题，以达到积累解题经验、总结解题思路、形成解题规律、催生解题灵感、掌握学习方法的目的。

平时教学中我主要是让学生积累典型错题，并集中写在一个错题本上，把自己的错解写在左边，正解用红笔写在右边。

每周固定安排一个时间进行
错题回顾。

每次月考试前对复习过的章节出现的错题重新写一遍并归纳反思。

总之，学生解题能力的提高，不是一朝一夕能做到的，要在日常的教学教学过程中由此至终的坚持贯穿。

只要坚持有目的、有计划地对学生进行培养和训练，并贯彻“学生主体，教师主导”的教学理念，学生的解题能力一定会得到很好地发展和提高！。