《易学与数学和计算机科学》之先天八卦与后天八卦的数学规律
摘要：笔者经过研究发现了先天八卦和后天八卦的“代数规律”“几何规律”“几何规律的内在联系”，三大发现。可以完整的将先天八卦和后天八卦的数学性阐释清楚。
关键字：先天八卦，后天八卦，代数规律，几何规律，几何规律的内在联系；
正文
经笔者研究，得出这样的数学规律，
一、代数规律
先天八卦：B+1=A
先天序数
1
2
3
4
5
6
7
8
名称
乾兑离ຫໍສະໝຸດ 震巽坎艮
坤
二进制数
000
001
010
011
100
101
110
111
二进制转十进制
0
1
2
3
4
5
6
7
后天序数
1
2
3
4
6
7
8
9
名称
坎
坤
震
巽
乾
兑
艮
离
二进制数
010
000
001
110
111
011
100
1001
二进制转十进制
2
0
1
6
7
3
4
9
运算符
是逻辑异或运算。
手稿1：
手稿2：
二、几何规律
除了代数规律以外还有几何规律，规律如下
三、先天与后天的内在联系
几何图中除了先天图的顺序性、后天图的对称性外，先天和后天之间还有一些内在的联系。先天图的图2、图3，与后天图的图零，存在这样的联系，将每副图的起点和终点连接后，图2、图3水平翻转后（左右对称变换），再逆时针旋转45度角，就会发现变换后的图形与图零一模一样。见下图右下部分。
后天八卦：A=f(B)
其中，
说明：A是八卦的数，后天为坎1、坤2、震3、巽4、乾6、兑7、艮8、离9；先天为乾1、兑2、离3、震4、巽5、坎6、艮7、坤8。
B是八卦的阴爻和阳爻转成0、1之后按照二进制的方式形成的数值。其中，先天以阳为0、阴为1，初爻在数据的第三位即bit2、中爻在第二位即bit1、上爻在最低位即bit0，形成的三位二进制数；后天以阳为1阴为0，初爻在数据的最低位即bit0、中爻在第二位即bit1、上爻在第三位即bit2，形成的四位二进制数。见表1。
结论：
①先天八卦和后天八卦具有其数学的表征方法，或者认为其表征的是一种数学规律；②先天八卦和后天八卦不是独立的，他们之间有着深刻的内在联系，即左右对称变换和旋转，彼此之间可以相互转换。
推测：45度这个是个特殊角度，它的正切值和余切值皆为1，而它的正弦和余弦值都是二分之根号二。结论②应该有更深刻的数学规律蕴含在内，如傅立叶变换第。
先、后天八卦图结构规律浅探
先、后天八卦图结构规律浅探古往今来，先、后天八卦图的结构问题一直是易学研究的重要课题之一，其中先天八卦结构因自“加一倍法”而出，自然排布，数列井然，自乾至坤无论从数学上还是阴阳理论方面均可找到明显的规律，而后天八卦图的结构排列则颇多争议。
笔者通过对先、后天八卦结构的研究，认为先、后天八卦不仅都具有极其对称的规律性，而且还具有同源性，可以相互演化。
现将笔者对先、后天八卦图结构规律的探讨就正于方家，希望能有助于中华易学的发展。
一、先、后天八卦图的千古之争宋朝以前，并无所谓先、后天之说，先天八卦图为宋人邵庸所传，旨在解说《说卦传》“天地定位，山泽通气，雷风相薄，水火不相射，八卦相错，数往者顺，知来者逆”诸语，并明其中所含的八卦方位。
邵庸在其《皇极经世》之《先天象数第二》中云：“天地定位一节，明伏羲八卦也。
八卦者，明交相错，而成六十四卦也。
数往者顺，若顺天而行，是左旋也，皆已生之卦也。
故云数往也。
知来者逆，若逆天而行，是右行也，皆未生之卦也。
故曰：知来也。
夫《易》之数，由逆而成矣。
此一节直解图意，若逆知四时之谓也。
”《周易本义》卷首云：“邵子曰：乾南、坤北、离东、坎西，震东北，兑东南，巽西南，艮西北。
自震至乾为顺，自巽至坤为逆。
”此图方位，宋人以为创自伏羲，所以又称为“伏羲先天八卦方位”。
但是，由于《易传》没有明文阐述此类方位，汉学家多不信。
后天八卦方位之说始于邵子对《说卦传》中八卦方位的解释。
邵子《后天象数第五》中云：“起震终艮一节，明文王八卦也。
至哉文王之作易也，其得天地之用乎？故乾坤交而为泰，坎离交而为既济也。
乾生于子，坤生于午，坎终于寅，离终于申，以应天之时也。
置乾于西北，退坤于西南，长子用事，而长女代母。
坎离得位，而兑艮为偶，以应地之方也。
王者之法，其尽于是矣。
” 汉学家采用此图，但不取“后天”、“文王”之名，称为“帝出乎震图”。
图中震、兑、离、坎分别表示正东、正西、正南、正北，又称“四正卦”，余四卦称“四隅卦”。
先天八卦与后天八卦
由三个爻组合的图像，称为“卦象”一共有八种，再给每一种卦象分别起个名称，共八个，故称“八卦”，即:乾,坤，震，巽(xun),坎，离,艮(gen)，兑。
一、先天八卦
八卦有其生成的规律：
从上图中可看出:无极生太极，太极生两仪，即分为阳爻和阴爻;两仪生四象:在阳爻和阴爻的上面，再分别加一阳爻和一阴爻，称为“太阳”、“少阴”、“少阳”、“太阴”;四象生八卦：在四组“两仪”上面再分别加一阳爻和一阴爻，即组成八卦。
“太极图”中有两个“鱼眼”，表示：阴在阳之内，不在阳之对。
本节重点：
１、卦名:乾，坤,震,巽,坎,离，艮，兑。
2、表相：乾为天，坤为地;震为雷,巽为风;坎为水,离为火；艮为山；兑为泽。
3、卦象:乾三连,坤六断;震仰盂,艮覆碗；离中虚,坎中满；兑上缺，巽下艮7,坤8。(即先天数）
八卦分别代表八种自然现象：天、地、雷、风、水、火、山、泽。
其对应为：天——乾,地——坤；雷——震,风——巽；水——坎，火——离;山——艮；泽——兑。
就是说,一个卦象必须记住两个卦名,这样记忆：
乾为天,坤为地；震为雷，巽为风；坎为水，离为火；艮为山；兑为泽。
八卦各有其方位：
请注意:中国古代的地图与现代西方的地图位置不同,中国地处北半球,房屋多为座北朝南，以面南为正位。面南时，其方位就是左东右西、前南后北，判断方位十分方便实用。
思谨画的先天八卦图中心一定要配有一个“阴阳鱼”,即“太极图”，其意为：
乾、兑、离、震四个卦表示“阳气”由盛渐衰,即每卦所对应的阴阳鱼中的白色部分由多渐少；
巽、坎、艮、坤四个卦表示“阴气”由弱渐强，即每卦所对应的阴阳鱼中的黑色部分由少渐多。
乾、兑、离、震四个卦依次左旋（逆时针方向转动);巽、坎、艮、坤四个卦依次右旋(顺时针方向转动)。
先后天易经八卦各种卦序排列原理
先后天易经八卦各种卦序排列原理一、阴阳爻：1、阴阳爻：▅▅▅▅▅阳爻，九。
阳爻在最下第一爻为初九，在最上第六爻为上九，在二至五爻为‘九二’至‘九五’；▅▅▅▅阴爻，六。
阴爻在第一爻为初六，在上爻为上六，在二至五爻为‘六二’至‘六五’。
2、爻位：八卦里，每卦3爻，自下而上，为下爻、中爻、上爻也。
64卦里，每卦6爻，自下而上，为初爻、二爻三爻四爻五爻、上爻也。
阳爻在最下第一爻为初九，在最上第六爻为上九，在二至五爻为‘九二’至‘九五’；阴爻在第一爻为初六，在上爻为上六，在二至五爻为‘六二’至‘六五’。
看64卦的卦象时，不论主卦互卦变卦，一般都以该三个爻的八卦之中爻为主事者。
64卦离，上下两卦对应的爻位，互相感应作用可以看出上下是否相应。
二、先天八卦图：1、八卦起源：传为伏羲圣王，根据阴阳四时变化，直接排出先天八卦图。
再把先天八卦图等分八份，就成为八卦。
每卦3爻，以下爻（初爻）为大为重，以上爻为小为轻。
方法如下：1）先画3个同心圆环，在其空白圆弧中间，涂出圆弧形阴阳爻（涂黑表示阴，涂白表示阳），每卦3爻，以下爻（初爻）为大为重，以上爻为小为轻。
就能直接排出先天八卦图。
按照古人习惯，以下为北方（配冬季），左为东方（配春季），上为南方（配夏季），右为西方（配秋季）。
2）内圈圆（下爻），从垂直子午线等分成2份，象征冬至到夏至为上半年、夏至到冬至为下半年。
相邻两格比较而言分阴阳：——上半年逐渐转暖为阳（涂白色）；——下半年逐渐转冷为阴（涂黑色）。
第一爻（初爻）成。
3）中间圆环（中爻），再加上水平卯酉线，等分成4份，象征四时：冬至、春分、夏至、秋分（四个季节的中点。
）相邻两格比较而言分阴阳：——上半年里，冬至后至春分较冷为阴（涂黑色），春分后至夏至较热为阳（涂白色）。
——下半年里，夏至后至秋分较热为阳（涂白色），秋分后至冬至冷为阴（涂黑色）。
第二爻（中爻）成。
4）外圈圆环（上爻），再把四季等分，等分成8份，象征八节：冬至、立春、春分、立夏、夏至、立秋、秋分、立冬。
先天八卦与后天八卦
东方甲乙木，南方丙丁火，中央戊已土，西方庚辛金，北方壬癸水。
（一）先后天八卦歌诀先天八卦：“乾三连，坤六断，震仰盂，艮覆碗，离中虚，坎中满，兑上缺，巽下断。
”后天八卦：“一数坎来二数坤，三震四巽是中分，五数中宫六乾是，七兑八艮九离门。
”（二）先后天八卦代数先天八卦：乾一，兑二，离三，震四，巽五，坎六，艮七，坤八。
后天八卦：坎一、坤二、震三、巽四、五为中宫，乾六、兑七、艮八、离九。
（三）先后天八卦方位先天八卦：乾南，坤北，离东，坎西，兑东南，震东北，巽西南，艮西北后天八卦：震东，兑西，离南，坎北，乾西北，坤西南，艮东北，巽东南（四）八卦所属乾、兑（金）；震、巽（木）；坤、艮（土）；离（火）；坎（水）。
（五）八卦生克乾、兑（金）生坎（水），坎（水）生震、巽（木），震、巽（木）生离（火），离（火）生坤、艮（土），坤、艮（土）生乾、兑（金）。
乾、兑（金）克震、巽（木），震、巽（木）克坤、艮（土），坤、艮（土）克坎（水），坎（水）克离（火），离（火）克乾、兑（金）。
（六）八卦旺衰乾、兑旺于秋，衰于冬；震、巽旺于春，衰于夏；坤、艮旺于四季，衰于秋；离旺于夏，衰于四季；坎旺于冬，衰于春．（四季是指每个季节的后一个月）（七）八卦所对应的五行：金-乾、兑乾为天，兑为泽木-震、巽震为雷，巽为风土-坤、艮坤为地，艮为山水-坎坎为水火-离离为火五行相生：木火土金水五行相克：水火金木土（八）先后天八卦代数顺序先天八卦：震四，离三，兑二，乾一，巽五，坎六，艮七，坤八。
后天八卦：坤二，兑七，乾六，坎一，艮八，震三，巽四，离五。
（九）先后天八卦对照八卦对照图l(十) 八卦分阴阳乾、坎、艮、震、四卦，属阳卦其中艮为少男坎为中男震为长男（震、坎、艮中阴多阳少，表示阴从阳，故为阳卦）坤、兑、离、巽四卦，属阴卦其中：兑为少女离为中女巽为长女（兑、离、巽中阳多阴少，表示阳从阴，故为阴卦）后天八卦九宫排列：乾六、坎一、艮八；兑七、宫五、震三；坤二、离九、巽四。
先后天八卦图结构规律浅探
先后天八卦图结构规律浅探古往今来，先、后天八卦图的结构问题一直是易学研究的重要课题之一，其中先天八卦结构因自“加一倍法”而出，自然排布，数列井然，自乾至坤无论从数学上还是阴阳理论方面均可找到明显的规律，而后天八卦图的结构排列则颇多争议。
近年来，笔者通过对先、后天八卦结构的研究，认为先、后天八卦不仅都具有极其对称的规律性，而且还具有同源性，可以相互演化。
现将笔者对先、后天八卦图结构规律的探讨就正于方家，希望能有助于中华易学的发展。
一、先、后天八卦图的千古之争宋朝以前，并无所谓先、后天之说，先天八卦图为宋人邵庸所传，旨在解说《说卦传》“天地定位，山泽通气，雷风相薄，水火不相射，八卦相错，数往者顺，知来者逆”诸语，并明其中所含的八卦方位。
邵庸在其《皇极经世》之《先天象数第二》中云：“天地定位一节，明伏羲八卦也。
八卦者，明交相错，而成六十四卦也。
数往者顺，若顺天而行，是左旋也，皆已生之卦也。
故云数往也。
知来者逆，若逆天而行，是右行也，皆未生之卦也。
故曰：知来也。
夫《易》之数，由逆而成矣。
此一节直解图意，若逆知四时之谓也。
” 《周易本义》卷首云：“邵子曰：乾南、坤北、离东、坎西，震东北，兑东南，巽西南，艮西北。
自震至乾为顺，自巽至坤为逆。
”此图方位，宋人以为创自伏羲，所以又称为“伏羲先天八卦方位”。
但是，由于《易传》没有明文阐述此类方位，汉学家多不信。
后天八卦方位之说始于邵子对《说卦传》中八卦方位的解释。
邵子《后天象数第五》中云：“起震终艮一节，明文王八卦也。
至哉文王之作易也，其得天地之用乎？故乾坤交而为泰，坎离交而为既济也。
乾生于子，坤生于午，坎终于寅，离终于申，以应天之时也。
置乾于西北，退坤于西南，长子用事，而长女代母。
坎离得位，而兑艮为偶，以应地之方也。
王者之法，其尽于是矣。
” 汉学家采用此图，但不取“后天”、“文王”之名，称为“帝出乎震图”。
图中震、兑、离、坎分别表示正东、正西、正南、正北，又称“四正卦”，余四卦称“四隅卦”。
先天八卦和后天八卦的排序规律（通俗易懂篇）
先天八卦和后天八卦的排序规律（通俗易懂篇）《皇极经世书》有两篇论八卦和六十四卦排序的篇章，后天象数篇和后天周易理数篇，虽然没有直接从根源上进行论述，但是结合部分象数而阐述易理，比其它的光知道从“易理”层面发挥联想的论述要高明的多，而且此两篇也基本涵盖了绝大部分的卦序排列规律。
我们先看看第一篇，主要是论述先天八卦和后天八卦的排序原理，这一篇看完之后对初学八卦的人有很大帮助，能快速结合易理来理解。
先后天八卦先天八卦又称为“伏羲八卦”，《易·系辞下》说：“古者包牺氏之王天下也，仰则观象于天，俯则观法于地。
观鸟兽之文与地之宜，近取诸身，远取诸物，于是始作八卦，以通神明之德，以类万物之情。
”我们之前的文章说过，现代人也可以通过三种方式画出八卦，八卦正因为符合自然规律，所以可以通过很多种手段进行验证。
而后天八卦被称为“文王八卦”，周文王是周朝的奠基人，人称西伯昌。
周文王是历史上有名的明君，在位时间长达50年。
他不仅善于管理国家，还上知天文，下知地理，发明了周易，人称文王八卦。
《史记》：文王拘而演周易仲尼厄而作春秋。
屈原放逐，乃赋离骚；左丘失明，厥有国语……司马迁这样写正好符合《易经》所宣传的君子精神：生生不息之为道。
所以这些句子就成了千古名句流传开来，因为合天理，得人心。
现代人从文王的事迹中想象出各种阴谋论，以此来解易经六十四卦，也是一件非常有趣（荒唐）的事情。
后天八卦，起震终艮。
乾（☰）坤（☷）爻交则变成泰卦（䷊），坎（☵）离（☲）爻交而成即济卦（䷊）。
将地支对应先天八卦，则乾生于子，坤生于午，坎终于寅，离终于申，所谓“生”，阳尽则阴生，所谓“终”，阴生则阳终。
阴阳互根互化。
后天八卦乾位于西北，相对于先天八卦为“进”，而坤位于西南，相对于后天八卦为“退”，因此邵雍说“退坤于西南”。
后天八卦起于震，邵雍称“长子用事”。
先天八卦的“巽”位为后天八卦的“坤”位，邵雍称“长女代母”，所以自古以来传统中就有“长女为母”的说法。
《易学与数学和计算机科学》之先天八卦和后天八卦的相互转换
先天八卦和后天八卦的几何相互转换
笔者在《<易学与数学和计算机科学>之先天八卦与后天八卦的数学规律》一文中写道：先天与后天之间的几何联系，可以相互转换。
在此本文给出相互转化的规律：
先天八卦，也按照同样的规律将0-7用直线顺序连接，最后将0和7连接，形成一个几何图形。
由于符合法则的有两种，因此也就得到了，图2和图3 。
其中，法则1生成图2，法则2生成图3 。
先天转换法则1：阴爻为1，阳爻为0，初爻之bit0，中爻在bit1，上爻在bit2，形成二进制数据。
得到下表
图形转换法则：图形先水平对称变换，再逆时针旋转45度。
结果:后天八卦图形经法则转换后与未转换的先天八卦图形相同；先天八卦图形经法则转换后与未转换的后天八卦图形相同。
见：图零与图2-2，图零与图3-2；图02与图2，图02与图3 。
几何转换过程如下：
转换法则衍生出四种新的八卦排列方式，见下图。
先天八卦和后天八卦
先天八卦和后天八卦先天八卦，又称伏羲八卦，传说是由距今七千年的伏羲氏观物取象的所作。
《易·说卦传》说：“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦。
”这就是说，伏羲氏认为万物是由一个“太极”的本初的端点所产生。
古人观察万事万物，天有白昼黑夜，月有圆缺循环，一年有寒暑交替，万物有繁盛衰败，动物有雌雄，所以太极孕育的事物开始一定是两两相对并具有循环交替阴阳特性。
以此类推，则有四象和八卦。
所谓四象，就是生与成、高与下、动与随、对与逆，即“天地定位，山泽通气，雷风相薄，水火不相射”。
八卦就是用世间八种事物来象征四象包含的四对关系，即天、地、山泽、雷、风、水、火。
由此，思维由抽象向形象转换，八卦乃是用八种形象代表万事万物的八种属性或特征。
在伏羲氏的时代，文字尚未产生，所以先天八卦的称谓应该是天、地、山、泽、雷、风、水、火等八个具体形象，而不是后天八卦的乾、坤、艮、兑、震、巽、坎、离等八个抽象特征。
伏羲氏用三个阴阳爻来表示八卦，也正是体现了“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦”的“二进制”的运行规律，即一天、二泽、三火、四雷、五风、六水、七山、八地。
他认为用八卦就可以解释万事万物的产生消亡、相互作用、内在特性等，开始了透过具体事物表象来理论化、系统化探究世界，以万事万物的本源、本质、共性、联系、规律等形而上的形式，来认识客观世界。
这应该是中国哲学的开端。
无论伏羲氏是一个具体的人，还是一个族群的代称，都不会影响其“一画开天”的智慧的伟大光辉。
先天八卦应用在地理方位上，构成了先天八卦图。
按其所代表的东西的性质两两相对，分成四时，每对都是二个性质相反的东西，相对立的站在各一端，即阴阳相对，这四对东西交错起来排列。
天地定位：古人的认识是万事万物是由天生的，通过地而展现了出来，我们现在还有“天生”的概念，在古人的概念里，这个天既是具体的天，也是不可触及的造物者。
在地理方位上是天南地北，天居上，地居下，南北对峙。
先天八卦与后天八卦原理
先天八卦与后天八卦原理易经的一个很大的特征就是符号、图像和数字，八卦化为图像，其组合就面临顺序和位置的不同，数的不同，而这种组合有两种形式，按照其排列的顺序不同，各卦位置和数的不同，其反应的意义也就不同所描绘的宇宙大象，其一是先天八卦，也叫伏羲八卦（左图），另一是后天八卦，也叫文王八卦（右图）。
其图如下:先天八卦传说为伏羲所排列的八卦太极顺序。
那么什么是先天？先天就是“注定”的，“被动”和客观存在的为先天。
也就是说，不是你自己能决定的，如，你生在谁家，谁去生你，你自己不能决定，这是你的宿命，这就是先天。
当年伏羲在仰观天文、俯察地理时，就是按照先天给我们的这片土地的事情，来总结“先天八卦”的排列。
因此我们说先天八卦是自然的、与生俱来的，是古人对现状的最朴素、最直观地认识。
需要明确的是，八卦顺序排列时，要注意邙日顺阴逆”。
为什么呢？很简单的道理，这个道理就是大家日用而不知的道理。
男来女往才能相碰，才有可能碰撞出火花，否则，是不会碰到一起的，更谈不上火花的问题。
什么事情，只有顺逆才能相碰，只有相碰，才能有事情成功、男女才能相互结合。
所以，阳顺阴逆也是客观存在的自然现象和社会现象。
先天八卦的卦序是：一乾、二兑、三离、四震、五巽、六坎、七艮、八坤。
《易;说卦传》说：“天地定位，山泽通气，雷风相薄，水火不相射，八卦相错，数往者顺，知来者逆，是故易逆数也”。
这是先天八卦方位的理论表述，是讲八卦自身匹配对待之体的。
也就是说，八卦按其所代表的东西的性质两两相对，分成四对，每对都是二个性质相反的东西，相对立的站在各一端，即阴阳相对，这四对东西交错起来，就构成了先天八卦方位图。
下面我们从图中来分析他们的阴阳相对的关系。
天地定位：三个阳爻，完整的三画，为乾卦，代表天。
三个阴爻，断裂的三画，为坤卦，代表地。
在人来说，乾卦代表男人，坤卦代表女人，以一只手来说，手背是乾，手心是坤。
由此可知，这只是一种不定的代号，也是一种数理的符号，号，这种符号可以有很多方面的用法。
先天八卦与后天八卦原理
先天八卦与后天八卦原理易经的一个很大的特征就是符号、图像和数字，八卦化为图像，其组合就面临顺序和位置的不同，数的不同，而这种组合有两种形式，按照其排列的顺序不同，各卦位置和数的不同，其反应的意义也就不同所描绘的宇宙大象，其一是先天八卦，也叫伏羲八卦（左图），另一是后天八卦，也叫文王八卦（右图）。
其图如下：先天八卦传说为伏羲所排列的八卦太极顺序。
那么什么是先天？先天就是“注定”的，“被动”和客观存在的为先天。
也就是说，不是你自己能决定的，如，你生在谁家，谁去生你，你自己不能决定，这是你的宿命，这就是先天。
当年伏羲在仰观天文、俯察地理时，就是按照先天给我们的这片土地的事情，来总结“先天八卦”的排列。
因此我们说先天八卦是自然的、与生俱来的，是古人对现状的最朴素、最直观地认识。
需要明确的是，八卦顺序排列时，要注意“阳顺阴逆”。
为什么呢？很简单的道理，这个道理就是大家日用而不知的道理。
男来女往才能相碰，才有可能碰撞出火花，否则，是不会碰到一起的，更谈不上火花的问题。
什么事情，只有顺逆才能相碰，只有相碰，才能有事情成功、男女才能相互结合。
所以，阳顺阴逆也是客观存在的自然现象和社会现象。
先天八卦的卦序是：一乾、二兑、三离、四震、五巽、六坎、七艮、八坤。
《易;说卦传》说：“天地定位，山泽通气，雷风相薄，水火不相射，八卦相错，数往者顺，知来者逆，是故易逆数也”。
这是先天八卦方位的理论表述，是讲八卦自身匹配对待之体的。
也就是说，八卦按其所代表的东西的性质两两相对，分成四对，每对都是二个性质相反的东西，相对立的站在各一端，即阴阳相对，这四对东西交错起来，就构成了先天八卦方位图。
下面我们从图中来分析他们的阴阳相对的关系。
天地定位：三个阳爻，完整的三画，为乾卦，代表天。
三个阴爻，断裂的三画，为坤卦，代表地。
在人来说，乾卦代表男人，坤卦代表女人，以一只手来说，手背是乾，手心是坤。
由此可知，这只是一种不定的代号，也是一种数理的符号，这种符号可以有很多方面的用法。