高中数学新学案同步 必修1 北师大版 第三章 指数函数和对数函数 习题课 讲义

第三章　指数函数和对数函数习题课　对数函数
学习目标
1.巩固和深化对数及其运算的理解和运用.
2.掌握简单的对数函数的图像变换及其应用.
3.会综合应用对数函数性质与其他有关知识解决问题.
内容索引
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一　对数概念及其运算
log a N
a N
2.对数log a N (a >0，且a ≠1)具有下列性质：
(1)0和负数没有对数，即N 0.(2)log a 1＝ .(3)log a a ＝ .>
1
3.运算公式
已知a >0，且a ≠1，M ，N >0.
(1)log a M ＋log a N
＝ .(2)log a M －log a N ＝ .
log a (MN )
(3) ＝ log a M .
log n m
a M (4)log a M ＝ ＝ (c >0，且
c ≠1，M >0且M ≠1).
1
log M a
知识点二　对数函数及其图像、性质函数 叫作对数函数.(1)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的定义域为；值域为
.(2)对数函数y ＝log a
x (a >0，且a ≠1)的图像过点 .(3)当a >1时，y ＝log a x 是(0，＋∞)上的增函数.当0<a <1时，y ＝log a x 是(0，＋∞)上的减函数.
(4)直线y ＝1与函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像交点为 .
(5)y ＝log a
x 与y ＝a x 的图像关于 对称.y ＝log a x 与 的图像关于 对称.1
log a
y x y ＝log a x (a >0，且a ≠1)(0，＋∞)(1,0)(a,1)y ＝x x 轴R
[思考辨析 判断正误]
1.y ＝x 与 是相等函数.(
)××
√
log a x y a ＝3.若a x >b ，则x >log a b .( )
4.y ＝log a (x ＋1)恒过定点(0,0).( )×log a b
题型探究
类型一　对数式的化简与求值解答(23)
log
解　方法一　(利用对数定义求值)
∴x ＝－1.
方法二　(利用对数的运算性质求解)
(23)(23)log (23)log 23++
-=+(23)
log +(23)log +
(322)log x y -1
log log (322)log 1.x =+==
反思与感悟　在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底，指数与对数互化.
＝(lg 3－1)(lg 3＋2lg 2－1)，
(2)已知函数f(x)＝lg x，若f(ab)＝1，则f(a2)＋f(b2)＝___.2解析　∵f(ab)＝lg(ab)＝1.
∴f(a2)＋f(b2)＝lg a2＋lg b2＝lg(a2b2)＝2lg(ab)＝2.
类型二　对数函数图像的应用
设f(a)＝f(b)＝f(c)＝m，
不妨设a<b<c，
则直线y＝m与f(x)交点横坐标从左到右依次为a，b，c，
由图像易知0<a<1<b<e<c<e2，
∴f(a)＝|ln a|＝－ln a，f(b)＝|ln b|＝ln b.
∴－ln a＝ln b，ln a＋ln b＝0，ln ab＝ln 1，∴ab＝1.
∴abc＝c∈(e，e2).
反思与感悟　函数的图像直观形象地显示了函数的性质，因此涉及方程解的个数及不等式的解集等问题大都可以通过函数的图像解决，即利用数形结合思想，使问题简单化.
解　∵f(x)＝log
x，则y＝|f(x)|的图像如图.
类型三　对数函数的综合应用
例3　已知函数f(x)＝log a(x＋1)(a＞1)，若函数y＝g(x)图像上任意一点P 关于原点对称的点Q在函数f(x)的图像上.
(1)写出函数g(x)的解析式；
解　设P(x，y)为g(x)图像上任意一点，
则Q(－x，－y)是点P关于原点的对称点，
∵Q(－x，－y)在f(x)的图像上，
∴－y＝log a(－x＋1)，
即y＝g(x)＝－log a(1－x).
(2)当x∈[0,1)时总有f(x)＋g(x)≥m成立，求m的取值范围.
由题意知，只要F(x)min≥m即可.
∵F(x)在[0,1)上是增函数，∴F(x)min＝F(0)＝0.
故m≤0.即实数m的取值范围为(－∞，0].
反思与感悟　指数函数、对数函数图象既是直接考查的对象，又是数形结合求交点、最值、解不等式的工具，所以要能熟练画出这两类函数图象，并会进行平移、伸缩、对称、翻折等变换.
(2)你发现这样的函数f(x)还具有其他什么样的性质？试将函数的奇偶性、单调性方面的结论写出来，并加以证明.
解　发现这样的函数f(x)在(－1,1)上是奇函数.
将x＝y＝0代入条件，得f(0)＋f(0)＝f(0)，所以f(0)＝0.
将y＝－x代入条件得f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0⇒f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)在(－1,1)上是奇函数.
又发现这样的函数f(x)在(－1,1)上是减函数.
即f(x)－f(y)＞0⇒f(x)＞f(y)，
达标检测
1.函数f(x)＝ln(x＋1)的定义域为
A.{x|x>0}
B.{x|x≥0}
√
C.{x|x>－1}
D.{x|x≥－1}
解析　由x＋1>0，得x>－1，故定义域为{x|x>－1}.
√
0<a <1时，只需 12
1
4log ,2a
3.已知函数y＝f(2x)的定义域为[－1,1]，则函数y＝f(log2x)的定义域为
√
4.若f (x 3)＝lg x ，则f (2)等于
√解析　令x 3＝2，则 得 1
32,x =13
1(2)lg 2lg 2.3f ==
5.已知 (a >0)，则 ＝____.
234
9a =23
log a 3
23
log ,
a x =又 ∴ 即 234,9a =2
2322,33x ⎡⎤
⎛
⎫
⎛⎫=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2
2
322,
33x
⎛⎫⎛⎫=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
规律与方法
1.指数式a b＝N与对数式log a N＝b的关系以及这两种形式的互化是对数运算法则的关键.
2.指数运算的实质是指数式的积、商、幂的运算，对于指数式的和、差应充分运用恒等变形和乘法公式；对数运算的实质是把积、商、幂的对数转化为对数的和、差、积.
log m n
b
a
4.在运用性质log a M n＝n log a M时，要特别注意条件，在无M＞0的条件下应为log a M n＝n log a|M|(n∈N＋，且n为偶数).
5.指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)互为反函数，应从概念、图像和性质三个方面理解它们之间的联系与区别.
6.明确函数图像的位置和形状要通过研究函数的性质，要记忆函数的性质可借助于函数的图像.因此要掌握指数函数和对数函数的性质首先要熟记指数函数和对数函数的图像.。