矩阵的初等变换
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矩阵的初等变换
o 等价。 o
13
第一章
例2.3 问矩阵
设
1 1 4 0 1 2 1 0 A 0 1 2 0 , B 1 3 0 2 2 2 0 1 0 1 1 2
A
与矩阵
B
是否等价？
解 先求矩阵 A 与矩阵
1 4 1 2 0 2 4 0 0 11 3 2r3r1 2 2 r1 0 0 0 r 0 00 0 0 0
B 的标准形
11 11 4 4
4 4 2 2 8 8 11 1 14 0 r3r3 44r4 4r 0 0 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0
1 1 A 0 A 0 1 2 2 2
3 2
0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
第一章
0 1 2 1 0 1 2 1 0 1 1 0 2 0 1 0 r r2 r1 rr32 0 1 1 2 r3 2 B 1 3 0 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0
r1 4 r2 1 r3 143
5 1 0 59 0 1 14 3 0 0 1 0
1 0 0 5 0 1 0 3 0 0 1 0
r2 14 r3 r1 59 r3
1 0 0 5 D 0 1 0 3 0 0 1 0
1 0 3 D. 0 1 0 0 0 1
例2：写出上题中初等矩阵的逆
§1 矩阵的初等变换
1 2
3
4
÷2
(1)
解
1↔ 2 3 ÷2
(1)
x1 + x2 − 2 x3 + x4 = 4, 2 x − x − x + x = 2, 1 2 3 4 2 x1 − 3 x2 + x3 − x4 = 2, 3 x1 + 6 x2 − 9 x3 + 7 x4 = 9, x1 + x2 − 2 x3 + x4 = 4, 2 x − 2 x + 2 x = 0, 2 3 4 − 5 x2 + 5 x3 − 3 x4 = −6, 3 x 2 − 3 x 3 + 4 x 4 = − 3,
r2 − r3
1 0 0 0
4 3 = B5 0 1 −3 0 0 0
x1 = x3 + 4 B 5 对应的方程组为 x2 = x3 + 3 x = −3 4
或令 x 3 = c , 方程组的解可记作
x1 c + 4 1 4 x2 c + 3 1 3 x= = = c 1 + 0 x3 c 0 − 3 x −3 4
1 2Βιβλιοθήκη 34 1 23
( B3 )
3
4
↔4 −23
( B4 )
4
用“回代”的方法求出解： 回代”的方法求出解：
解得 x1 = x3 + 4, x2 = x3 + 3, x4 = −3, x3可任意取值 . x1 = c + 4 x = c + 3 令x3 = c , 方程组的解为 2 x3 = c x4 = − 3
矩阵的初等变换规则
矩阵的初等变换规则
（一）初等变换的规则
1. 交换行法：将矩阵中的两行互换，行对应元素也随之改变。
2. 改变系数法：将矩阵中的某行乘以一定的非零常数，行对应的元素也随之改变。
3. 复合法：将矩阵中的某行乘以一定的非零常数后，与另一行按和或差的方法结合，行对应的元素也随之改变。
4. 交换列法：将矩阵中的两列互换，列对应的元素也随之改变。
（二）初等变换的意义
初等变换是用来将一个线性方程组转化为一个有解的线性方程。
使用初等变换的原则，如将两个方程乘以不同的负数，甚至一步就能解出有解的线性方程，使方程系数矩阵更加简洁，容易操作。
同时这也可以使我们更加清楚地理解线性方程和不同解的对应关系。
（三）初等变换的应用
1. 运用初等变换可以将零向量和零矩阵转换为方便求解的标准乘法型和齐次方程组。
2. 初等变换可以用来求解边界值来解决边界值问题，为做出最终的选择提供保障。
3. 使用初等变换可以有效地求解线性方程组，给出正确的结果，对计
算机科学方面有很大帮助。
4. 初等变换可以用来求解有关矩阵与特征值、特征向量的求解问题，计算机硬件和软件设计中也有着广泛的应用。
线性代数-矩阵的初等变换
线性代数-矩阵的初等变换
矩阵的初等变换是线性代数中的基本运算，初等变换包括三种初等⾏变换与三种初等列变换。
分别为：
对换变换，即i ⾏与j ⾏进⾏交换，记作r i <->r j ;数乘变换，⾮零常数k 乘以矩阵的第i ⾏，记作kr i ;倍加交换，矩阵第i ⾏的k 倍加到第j ⾏上，记作r j + kr i
对应关系换成列，即为三种初等列变换。
矩阵变换可以化简矩阵、解线性⽅程组、求矩阵的逆矩阵。
⾏阶梯形的定义：
1、对于⾏⽽⾔，若有零⾏，则零⾏均在⾮零⾏的下⽅；
2、从第⼀⾏开始，每⾏第⼀个⾮零元素前⾯的零逐⾏增加。
对于矩阵A，很显然符合⾏阶梯形的定义：
1234502456000070
对第⼀⾏作 r1 - r2 变换得到矩阵：
10−1−1−10245600007
继续作 0.5 r2 变换
10−1−1−10125/23000070
r2 - 3/7 r3； r1 + 1/7r3 变换10−1−100125/200000700000
1/7 r3 变换
10−1−100125/20000010
对于矩阵A mxn ，通过有限次初等变换可以转换成⾏阶梯形的形式。
A的最简形：⾮零⾏的第⼀个⾮零元素是1，且1所在的列，⾮零元素均为零。
显然最后⼀个⾏阶梯形矩阵符合A的⾏最简形定义。
A的标准型：左上⾓是⼀个r阶的单位矩阵，其余元素为零。
[
]
[
][
]
[][
]
Processing math: 100%。
矩阵的初等变换
二、消元法解线性方程组
同解方程组
分析：用消元法解下列方程组的过程．
引例 求解线性方程组
2 x1 x2 x3 x4 2, 1
4
x1 x2 2 x3 x1 6 x2 2 x3
x4 2 x4
4, 4,
2
32
(1)
3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9, 4
一、矩阵的初等变换
1、定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 对调两行（对调i, j 两行,记作ri rj）； 2以数 k 0 乘以某一行的所有元素;
（第 i 行乘 k,记作 ri k）
3 把某一行所有元素的k 倍加到另一行
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第i 行上 记作ri krj）.
由于三种变换都是可逆的，所以变换前的 方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种 变换是同解变换．
因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组
的系数和常数进行运算，未知量并未参与运
算．
若记
2 1 1 1 2
B
(
A
b)
1 4
1 6
2 2
1 2
4 4
3 6 9 7 9
3、定义3 如果矩阵A经有限次初等变换变成矩 阵B，就称矩阵A与B等价，记作A ～ B
r
A～B ,
c
A～B ,
等价关系的性质： （1） 反身性 A A； （2）对称性 若 A B ,则 B A; （3）传递性 若 A B, B C,则 A C. 具有上述三条性质的关系称为等价．
（1）交换方程次序； （ i 与 j 相互替换）
矩阵的初等变换
E (i, j ( k )) = E ( j, i ( k ))
初等矩阵的转置仍为同类型的初等矩阵. 初等矩阵的转置仍为同类型的初等矩阵 2. E (i, j ) = −1
E (i ( k )) = k E (i, j ( k )) = 1
初等矩阵都是非奇异的. 初等矩阵都是非奇异的
行变换相当于左乘初等矩阵; 行变换相当于左乘初等矩阵 列变换相当于右乘初等矩阵. 列变换相当于右乘初等矩阵
矩阵的初等变换
矩阵的初等变换是线性代数中一个重要的工具. 矩阵的初等变换是线性代数中一个重要的工具
以下三种变换分别称为矩阵的第一、第二、 以下三种变换分别称为矩阵的第一、第二、 第三种初等变换： 第三种初等变换：
(i ) 对换矩阵中第i, j两行(列)的位置，记作 rij ( cij )或ri ↔ rj ( ci ↔ c j ) (ii ) 用非零常数 k乘第 i行(列）记作 kri ( kc i ). ,
利用初等变换将 A化为 B， A与 B之间用记号 → 或 ≅ 连接。
矩阵的等价
对矩阵A实行有限次初等变换得到矩阵 ， 对矩阵 实行有限次初等变换得到矩阵B，则称矩 实行有限次初等变换得到矩阵 等价， 阵A与B等价，记作 A ≅ B. 与 等价
A ≅ A;
1 0 M A ≅ 0 0 M 0
(iii ) 将矩阵的第j行(列)乘以常数k后加到第i行 （列）对应元素上去, 记作ri + krj ( ci + kc j ).
矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换。 矩阵的初等行变换与初等列变换统称为换可以将矩阵化为梯形阵。 例如：
E (i ( k )) =
E ( i , j ( k )) =
6.6矩阵的初等变换
1 1 1 A 1 3 / 2 3 5 / 2 3 2 1
矩阵的秩
定义9· 18 在 m n 矩阵中，任取 k 行 k 列 (k min{m, n}) ，位 于这些行列交叉处的 k 2个元素，不改变他们在 A 中所处的位置次序而得到的 k 阶行列式，称为矩 阵 A 的 k 阶子行列式（简称 k 阶子式）．
0 1 6 4 1 3 2 3 6 1 r1 r4 2 0 1 5 3 4 3 2 0 5
6.6.2 矩阵的秩
解： 1 6 r 3r r3 2 r1 0 20 r4 3r1 0 12 0 16 1 6 r3 3r2 0 4 r4 5r2 0 0 0 0
矩阵的初等变换
解：
1 0 1 0 2 1 r r 1 1 1 r1 33r 1 0 0 3 3 1 2 2 3 3 5 r1 2 r2 0 1 0 0 1 0 3 2 2 2 2 2 0 0 1 1 3 2 0 0 1 1 3 2
4 5
22 34
5
矩阵的初等变换
2.用初等变换求逆矩阵 定理 设 A 为 n 阶可逆矩阵， E 为 n 阶单位矩阵，若 对 n 2n 阶矩阵 ( A E) 作一系列初等行变换，使它 变为 (E B)，则 B A1 ．
矩阵的初等变换
例23
3 2 1 用初等行变换求矩阵 A 1 2 2 的逆矩阵 . 3 4 3
1 2 2 0 1 0 1 2 2 0 1 0 1 r2 3 3 1 r3 4 r2 3 3 1 2 0 1 0 0 1 0 2 2 2 2 2 2 0 4 5 1 3 0 0 0 1 1 3 2
矩阵的秩
定义9· 18 在 m n 矩阵中，任取 k 行 k 列 (k min{m, n}) ，位 于这些行列交叉处的 k 2个元素，不改变他们在 A 中所处的位置次序而得到的 k 阶行列式，称为矩 阵 A 的 k 阶子行列式（简称 k 阶子式）．
0 1 6 4 1 3 2 3 6 1 r1 r4 2 0 1 5 3 4 3 2 0 5
6.6.2 矩阵的秩
解： 1 6 r 3r r3 2 r1 0 20 r4 3r1 0 12 0 16 1 6 r3 3r2 0 4 r4 5r2 0 0 0 0
矩阵的初等变换
解：
1 0 1 0 2 1 r r 1 1 1 r1 33r 1 0 0 3 3 1 2 2 3 3 5 r1 2 r2 0 1 0 0 1 0 3 2 2 2 2 2 0 0 1 1 3 2 0 0 1 1 3 2
4 5
22 34
5
矩阵的初等变换
2.用初等变换求逆矩阵 定理 设 A 为 n 阶可逆矩阵， E 为 n 阶单位矩阵，若 对 n 2n 阶矩阵 ( A E) 作一系列初等行变换，使它 变为 (E B)，则 B A1 ．
矩阵的初等变换
例23
3 2 1 用初等行变换求矩阵 A 1 2 2 的逆矩阵 . 3 4 3
1 2 2 0 1 0 1 2 2 0 1 0 1 r2 3 3 1 r3 4 r2 3 3 1 2 0 1 0 0 1 0 2 2 2 2 2 2 0 4 5 1 3 0 0 0 1 1 3 2
矩阵的初等变换
论 A m 结 :设 是 ×n矩 , 阵
A 过 干 初 行 变 变 B A 若 经 若 次 等 列 换 成 ,即 → B, 在 阶 等 逆 阵1 2L l n 初 ⇔存 m 初 (可 )矩 P ,P , ,P和 阶 等 逆 阵 1 (可 )矩 Q ,Q2, ,Qt使 L 得 B = PP LPAQQ2LQt 1 2 l 1
所以,对AX = B ⇒ X = A−1B,
行 可构造[ AB] [ EX] , X = A−1B →
−1 −1 −1 k 2 1 : k 行 P−1LP−1P−1 −1 2 1
特别Ax = β ⇒ x = A−1β ,
可构造[ Aβ ] [ Ex] , x = A β →
行 −1
1 1 1 3 (2) 例 已知A = , B = 2 5且AX = B.求解X. 3 −2
应 初 行 换 相 的 等 变 .
a1 a2 a3 1 0 k a1 a2 a3 + ka1 b b b 0 1 0 b b b kb 再 1 2 3 看 = 1 2 3 + 1 c1 c2 c3 0 0 1 c1 c2 c3 + kc1
0 0 0 1 0 0 −2 1 0 0 0 1 0 1 −2 1 0 0 0 1 0 1 −2 1 0 0 0 1
1 0 −2 1 ∴[(C − B)T ]−1 = 1 −2 0 1 1 0 0 1 ∴A = D[(C − B)T ]−1 = 0 0 0 0
1 性 : P(i(k)) = k ≠ 0, P(i(k)) = P(i( )) 质 k
−1
1 1 O O 1 1 k ri + krj (3)E = O O (c + kc ) = P(i, j(k)) j i uuuuuuuuu r 1 1 O O 1 1
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17
利用初等行变换求矩阵 A1B.
初等行变换
( A B)
(E A B)
1
A1 ( A B) ( E A1 B)
利用初等列变换求矩阵 CA1.
A C
初等列变换
E 1 CA
18
A 1 E C A 1 ( A B) ( E A1 B)
初等行变换
( A B)
(E A B)
15
1
例： 求矩阵 X , 使 AX B，其中
1 2 3 2 5 A 2 2 1 , B 3 1 . 3 4 3 4 3
解： 若 A 可逆，则 X A1 B.
1
线性方程组的一般形式
a11 x1 a x 21 1 a m 1 x 1 a12 x 2 a1n x n b1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 a m 2 x 2 a mn x n bm
r1 r2 r3 r2
1 0 2 1 4 0 2 5 1 9 0 0 1 1 3
r1 2 r3 r2 5 r3
r2 ( 2) r3 ( 1)
3 2 2 1 0 0 3 2 3 . 1 0 1 0 2 3 ， X A B 1 3 0 0 1 1 3
A I I
初等行变换
A
1
A 初等列变换 I I A1
9
1 2 3 例： 设 A 2 2 1 , 求 A1 . 3 4 3
解：
1 2 3 1 0 0 A I 2 2 1 0 1 0 3 4 3 0 0 1
3
因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系 数和常数进行运算，未知量并未参与运算．
若记
a11 a12 a1n b1 a a22 a2 n b2 21 B ( A b) am 1 am 2 amn bm
则对方程组的变换完全可以转换为 对矩阵B（方程组的增广矩阵）的变换．
A1，再计算 A 1 B 。 方法1：先求出 A 1 B 方法2：直接求
( A B) ( E A B)
初等行变换
16
1
1 2 3 2 5 ( A B) 2 2 1 3 1 3 4 3 4 3
r2 2 r1 r3 3 r1
1 2 3 2 5 0 2 5 1 9 0 2 6 2 12 1 0 0 3 2 0 2 0 4 6 0 0 1 1 3
2 5 3 2 1 1 3
r2 ( 2) r3 ( 1)
1 0 0 1 3 0 1 0 2 0 0 1 1
3 2 1 3 5 A 1 3 . 2 2 1 1 1
11
例：
0 2 1 A 1 1 2 求 A 的逆 1 1 1
小结：
利用初等变换求逆阵的步骤是:
A 1 构造矩阵 A I 或 ; I 2 对 A I 施行初等行变换, 将A化为单位矩阵I
A 后, 右边I 对应部分即为A (或对 施行初等列 I 1 变换, 将A划为单位阵I 后, I 对应部分即为A .
1 r2 2
1 1 2 1
1 2 1 2 0
0 1 2 1
3 2 1 2 1 5 2 1 2 1
1 0 0 1 r 2r r2 3 0 1 0 0 0 1
1 3 5 2 2 2 1 1 1 1 A 2 2 2 0 1 1
1
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要求掌握内容:
(1)掌握三种初等变换及与之对应的三种初等矩阵. 做到给出
变换会写相应的初等矩阵,反之亦然. (2)明确初等矩阵与其他矩阵做乘积的含义. (3)会用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵.
初等行变换 A I I A1
A 初等列变换 I I A1
1 1 2 0 1 0 1 1 2 0 1 0 r2 r3 r3 r1 0 2 1 1 0 0 0 2 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1
1 1 2 0 1 0 1 0 2 0 0 1 0
ri rj 逆变换 ri rj ; 1 ri k 逆变换 ri ( ) 或 ri k ; k ri krj 逆变换 ri ( k )rj 或 ri krj .
7
2. 用初等变换法求可逆矩阵的逆矩阵 性质： 矩阵 A 可逆 A I 初等行变换
r
8
初等变换求可逆矩阵的逆矩阵.
4
求解线性方程组实质上是对增广矩阵施行3种初等运 算：
统 称 初 等 行 变 换
(1) 对调矩阵的两行。
(2) 用非零常数k乘矩阵的某一行的所有元素。
(3) 将矩阵的某一行所有元素乘以非零常数
k 后加到另一行对应元素上。
5
定义1： 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 对调两行（对调i , j 两行, 记作ri rj）； 2 以数 k 0 乘以某一行的所有元素 ; 3 把某一行所有元素的k 倍加到另一行
解：构造矩阵
0 2 1 1 0 0 A, E 1 1 2 0 1 0 1 1 1 0 0 1
1 1 2 0 1 0 r1 r2 0 2 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1
12
方法3: 初等变换求逆 (1) 矩阵的初等变换
什么是初等变换?
线性方程组的一般形式
a11 x1 a x 21 1 a m 1 x 1
a12 x 2
a1n x n
b1
a 22 x 2 a 2 n x n b2 a m 2 x 2 a mn x n bm
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 行上 记作ri krj） .
同理可定义矩阵的初等列变换 (把“r”换成 “c”)．
6
矩阵的初等变换
初 等 行 变 换 初 等 列 变 换
通常称 (1) 对换变换 (2) 倍乘变换 (3) 倍加变换
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同．
20
10
1 0 2 1 1 0 0 2 5 2 1 0 0 0 1 1 1 1
r1 2 r3 r2 5 r3
1 0 0 1 3 2 0 2 0 3 6 5 0 0 1 1 1 1
方程组在求解过程简化书写——矩阵
a11 a12 a a22 21 am1 am 2
a1n a2 n amn
b1 b2 bm
2
如何解线性方程组？ 可以用消元法求解。 始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三 种变换：
（1）交换方程次序； （2）以不等于０的数乘某个方程； （3）一个方程加上另一个方程的 k 倍． 由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程 组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换 是同解变换．
13
2 1 1 A 1 1 2 ，求 A 的逆。 例： 2 3 -1
14
注： 1. 求逆时,若用初等行变换必须坚持始终,不能夹杂任 何列变换. 2. 若作初等行变换时,出现左侧全行为0，则矩阵的行列 式等于0。结论：矩阵不可逆!
A 1 B . 另：利用初等行变换求逆矩阵的方法，还可用于求矩阵
r1 r2 r3 r2
r2 2 r1 r3 3 r1
1 0 0 1 0 0
0 0 2 5 2 1 0 2 6 3 0 1 2 3 1 0 2 1 1 0 2 5 2 1 0 0 1 1 1 1
利用初等行变换求矩阵 A1B.
初等行变换
( A B)
(E A B)
1
A1 ( A B) ( E A1 B)
利用初等列变换求矩阵 CA1.
A C
初等列变换
E 1 CA
18
A 1 E C A 1 ( A B) ( E A1 B)
初等行变换
( A B)
(E A B)
15
1
例： 求矩阵 X , 使 AX B，其中
1 2 3 2 5 A 2 2 1 , B 3 1 . 3 4 3 4 3
解： 若 A 可逆，则 X A1 B.
1
线性方程组的一般形式
a11 x1 a x 21 1 a m 1 x 1 a12 x 2 a1n x n b1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 a m 2 x 2 a mn x n bm
r1 r2 r3 r2
1 0 2 1 4 0 2 5 1 9 0 0 1 1 3
r1 2 r3 r2 5 r3
r2 ( 2) r3 ( 1)
3 2 2 1 0 0 3 2 3 . 1 0 1 0 2 3 ， X A B 1 3 0 0 1 1 3
A I I
初等行变换
A
1
A 初等列变换 I I A1
9
1 2 3 例： 设 A 2 2 1 , 求 A1 . 3 4 3
解：
1 2 3 1 0 0 A I 2 2 1 0 1 0 3 4 3 0 0 1
3
因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系 数和常数进行运算，未知量并未参与运算．
若记
a11 a12 a1n b1 a a22 a2 n b2 21 B ( A b) am 1 am 2 amn bm
则对方程组的变换完全可以转换为 对矩阵B（方程组的增广矩阵）的变换．
A1，再计算 A 1 B 。 方法1：先求出 A 1 B 方法2：直接求
( A B) ( E A B)
初等行变换
16
1
1 2 3 2 5 ( A B) 2 2 1 3 1 3 4 3 4 3
r2 2 r1 r3 3 r1
1 2 3 2 5 0 2 5 1 9 0 2 6 2 12 1 0 0 3 2 0 2 0 4 6 0 0 1 1 3
2 5 3 2 1 1 3
r2 ( 2) r3 ( 1)
1 0 0 1 3 0 1 0 2 0 0 1 1
3 2 1 3 5 A 1 3 . 2 2 1 1 1
11
例：
0 2 1 A 1 1 2 求 A 的逆 1 1 1
小结：
利用初等变换求逆阵的步骤是:
A 1 构造矩阵 A I 或 ; I 2 对 A I 施行初等行变换, 将A化为单位矩阵I
A 后, 右边I 对应部分即为A (或对 施行初等列 I 1 变换, 将A划为单位阵I 后, I 对应部分即为A .
1 r2 2
1 1 2 1
1 2 1 2 0
0 1 2 1
3 2 1 2 1 5 2 1 2 1
1 0 0 1 r 2r r2 3 0 1 0 0 0 1
1 3 5 2 2 2 1 1 1 1 A 2 2 2 0 1 1
1
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要求掌握内容:
(1)掌握三种初等变换及与之对应的三种初等矩阵. 做到给出
变换会写相应的初等矩阵,反之亦然. (2)明确初等矩阵与其他矩阵做乘积的含义. (3)会用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵.
初等行变换 A I I A1
A 初等列变换 I I A1
1 1 2 0 1 0 1 1 2 0 1 0 r2 r3 r3 r1 0 2 1 1 0 0 0 2 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1
1 1 2 0 1 0 1 0 2 0 0 1 0
ri rj 逆变换 ri rj ; 1 ri k 逆变换 ri ( ) 或 ri k ; k ri krj 逆变换 ri ( k )rj 或 ri krj .
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2. 用初等变换法求可逆矩阵的逆矩阵 性质： 矩阵 A 可逆 A I 初等行变换
r
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初等变换求可逆矩阵的逆矩阵.
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求解线性方程组实质上是对增广矩阵施行3种初等运 算：
统 称 初 等 行 变 换
(1) 对调矩阵的两行。
(2) 用非零常数k乘矩阵的某一行的所有元素。
(3) 将矩阵的某一行所有元素乘以非零常数
k 后加到另一行对应元素上。
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定义1： 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 对调两行（对调i , j 两行, 记作ri rj）； 2 以数 k 0 乘以某一行的所有元素 ; 3 把某一行所有元素的k 倍加到另一行
解：构造矩阵
0 2 1 1 0 0 A, E 1 1 2 0 1 0 1 1 1 0 0 1
1 1 2 0 1 0 r1 r2 0 2 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1
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方法3: 初等变换求逆 (1) 矩阵的初等变换
什么是初等变换?
线性方程组的一般形式
a11 x1 a x 21 1 a m 1 x 1
a12 x 2
a1n x n
b1
a 22 x 2 a 2 n x n b2 a m 2 x 2 a mn x n bm
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 行上 记作ri krj） .
同理可定义矩阵的初等列变换 (把“r”换成 “c”)．
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矩阵的初等变换
初 等 行 变 换 初 等 列 变 换
通常称 (1) 对换变换 (2) 倍乘变换 (3) 倍加变换
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同．
20
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1 0 2 1 1 0 0 2 5 2 1 0 0 0 1 1 1 1
r1 2 r3 r2 5 r3
1 0 0 1 3 2 0 2 0 3 6 5 0 0 1 1 1 1
方程组在求解过程简化书写——矩阵
a11 a12 a a22 21 am1 am 2
a1n a2 n amn
b1 b2 bm
2
如何解线性方程组？ 可以用消元法求解。 始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三 种变换：
（1）交换方程次序； （2）以不等于０的数乘某个方程； （3）一个方程加上另一个方程的 k 倍． 由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程 组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换 是同解变换．
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2 1 1 A 1 1 2 ，求 A 的逆。 例： 2 3 -1
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注： 1. 求逆时,若用初等行变换必须坚持始终,不能夹杂任 何列变换. 2. 若作初等行变换时,出现左侧全行为0，则矩阵的行列 式等于0。结论：矩阵不可逆!
A 1 B . 另：利用初等行变换求逆矩阵的方法，还可用于求矩阵
r1 r2 r3 r2
r2 2 r1 r3 3 r1
1 0 0 1 0 0
0 0 2 5 2 1 0 2 6 3 0 1 2 3 1 0 2 1 1 0 2 5 2 1 0 0 1 1 1 1