第十一讲 一般形式的柯西不等式
一般形式的柯西不等式
一般形式的柯西不等式柯西不等式是数学分析中一个重要的不等式定理，用来描述两个函数之间的关系。
它是由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西于1821年提出的。
柯西不等式在解析函数论、泛函分析等领域有广泛的应用。
柯西不等式的一般形式可以表述如下：设函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续，且g(x)不等于0。
那么有以下不等式成立：∫[a,b] f(x)g(x)dx ≤ √( ∫[a,b] f^2(x)dx * ∫[a,b]g^2(x)dx )在这个不等式中，∫[a,b] f(x)g(x)dx 表示函数 f(x) 和 g(x) 的乘积函数在闭区间上的积分，∫[a,b] f^2(x)dx 和∫[a,b] g^2(x)dx分别表示函数 f(x) 和 g(x) 的平方函数在闭区间上的积分。
柯西不等式的证明可以通过引入一个辅助函数 h(x) 来完成。
辅助函数 h(x) 的定义为 h(x) = f(x) - (k*g(x))，其中 k 是一个常数，通过适当选择 k 的值，可以使得 h(x) 关于 x 的积分为0。
对于这个辅助函数 h(x)，通过平方的方式可以得到∫[a,b] h^2(x)dx = ∫[a,b] (f(x) - k*g(x))^2dx。
展开 h^2(x) 的平方并化简后可以得到∫[a,b] h^2(x)dx = ∫[a,b] (f^2(x) - 2kf(x)g(x) + k^2g^2(x))dx。
根据积分的性质，可以得到∫[a,b] h^2(x)dx = ∫[a,b] f^2(x)dx - 2k∫[a,b] f(x)g(x)dx +k^2∫[a,b] g^2(x)dx。
为了满足∫[a,b] h^2(x)dx = 0，必须要求∫[a,b] h^2(x)dx 的系数为0。
即：- 2k∫[a,b] f(x)g(x)dx = 0，即∫[a,b] f(x)g(x)dx= k∫[a,b] g^2(x)dx。
柯西不等式各种形式的证明及其应用
柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。
但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。
柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。
柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。
一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式()()()22222bd ac d c b a+≥++等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：()()()222222222123123112233nn n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪=⋅⋅⋅⎝⎭当或时，和都等于，不考虑二维形式的证明：()()()()()()22222222222222222222222,,,220=ab c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立三角形式ad bc=等号成立条件：三角形式的证明：222111nn n k k k k k k k a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑()()22222222222222222-2a b c d a b c d ac bd a ac c b bd d a c b d =++++≥+++++≥-+++=-+-≥注：表示绝对值向量形式()()()()123123=,,,,,,,,2=n n a a a a b b b b n N n R αβαβαββαλβλ≥⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈≥∈，等号成立条件：为零向量，或向量形式的证明：()()123123112233112233=,,,,,,,,,cos ,,cos ,1n n n n n n m a a a a n b b b b m n a b a b a b a b m n m nm nm n a b a b a b a b =⋅=++++==≤∴++++≤u r rL L u r r u r r u r r L u r rQ L 令一般形式211212⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∑∑∑===n k k k nk k n k k b a b a 1122:::n n i i a b a b a b a b ==⋅⋅⋅=等号成立条件：，或 、均为零。
一般形式的柯西不等式
f x a a a x 2a1b1 a2b2 anbn x
2 2 . b12 b2 bn 2 1 2 2 2 n 2
a a a 0, 考虑二次函数
2 2 b12 b22 bn2 0 . 4 a12 a2 an
2 2 2 b12 b22 bn2 于是得 a1 a2 an 2
a1b1 a2b2 anbn ,当且仅当 f x 有唯一 零点时 , 判别式 0, 以上不等式取等号 .
这里构造的函数考虑到 了配方,出现了后面的平 方和,由此再利用判式.
通过以上证明 , 得知猜想成立 ,于是有
定理 设a1 , a2 , a3 , , an , b1 , b2 , b3 , , bn是实数, 则 a a a
2 1 2 2
a1b1 a2b2 anbn ,当且仅当bi 0(i 1,
2 1 2 2 2 n
因为对于任意实数 x , f x a1 x b1 a2 x b1 an x bn 0,
2 2 2
所以二次函数 f x 的判别式 0, 即 2 4 a1b1 a2b2 an bn
2
1 1
2
2
a
2 1
a a
2 2 2
2 n
2
1 a1 1 a2 1 an ,
n个
所以 n a a a a1 a2 an , 1 2 2 2 2 即 a1 a2 an a1 a2 an . n
柯西不等式各种形式的证明及其应用
柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。
但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。
柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。
柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。
一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式()()()22222bd ac d c b a+≥++等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：()()()222222222123123112233nn n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪=⋅⋅⋅⎝⎭当或时，和都等于，不考虑二维形式的证明：()()()()()()22222222222222222222222,,,220=ab c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立三角形式ad bc=等号成立条件：三角形式的证明：222111nn n k k k k k k k a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑()()22222222222222222-2a b c d a b c d ac bd a ac c b bd d a c b d =++++≥+++++≥-+++=-+-≥注：表示绝对值向量形式()()()()123123=,,,,,,,,2=n n a a a a b b b b n N n R αβαβαββαλβλ≥⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈≥∈，等号成立条件：为零向量，或向量形式的证明：()()123123112233222222312322222222112233123123=,,,,,,,,,cos ,cos ,cos ,1n n n n n n n n n nm a a a a n b b b b m n a b a b a b a b m n m na a ab b b b m nm n a b a b a b a b a a a a b b b b =⋅=++++==++++++++≤∴++++≤++++++++令一般形式211212⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∑∑∑===n k k k nk k nk k b a b a 1122:::n n i i a b a b a b a b ==⋅⋅⋅=等号成立条件：，或 、均为零。
一般形式的柯西不等式
柯西不等式的证明
数学归纳法证明
首先证明 n=2 的情况，然后假设 n=k 时成立，推导出 n=k+1 时也成 立。
二次型的方法证明
将柯西不等式转化为二次型的形式， 利用二次型的基本性质进行证明。
02
柯西不等式的应用
在数学中的应用
证明不等式
柯西不等式是证明各种数学不等式的重要工 具，如均值不等式、几何均值-算术均值不 等式等。
广义形式的柯西不等式
总结词
广义形式的柯西不等式是在更广泛的函数空间中推广的柯西不等式，它适用于连 续函数和可积函数。
详细描述
广义形式的柯西不等式表述为，对于任意的非负可积函数$f(x)$和$g(x)$，有$int f(x) g(x) dx leq left( int f(x)^2 dx right)^{1/2} left( int g(x)^2 dx right)^{1/2}$。
用范围。
柯西不等式与其他数学知识的结合
柯西不等式与线性代数
柯西不等式在向量内积和矩阵运算中有 重要应用，研究其与线性代数的结合有 助于更深入理解线性代数的基本概念。
VS
柯西不等式与微积分
柯西不等式在微积分中也有广泛应用，如 函数极值、积分等，研究其与微积分的结 合有助于更深入理解微积分的基本思想。
一般形式的柯西不等式
目录
• 柯西不等式的定义 • 柯西不等式的应用 • 柯西不等式的推广 • 柯西不等式的局限 • 柯西不等式的进一步研究
01
柯西不等式的定义任意 的正实数序列 a1, a2, ..., an 和 b1, b2, ..., bn，有 (∑(ai^2)) * (∑(bi^2)) ≥ (∑(ai * bi))^2。
04
一般形式的柯西不等式
即 2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2， 由条件可得，5－a2≥(3－a)2 2b 3c 6d 解得 1≤a≤2，当且仅当 ＝ ＝ 时等号成立，代入 b 1/2 1/3 1/6 1 1 2 1 ＝1，c＝3，d＝6时，amax＝2，b＝1，c＝3，d＝3时，amin＝1
名师大讲堂·2013 高考复习《数学》（理科）
( x1 x3 ) ( y1 y3 ) ( x2 x3 ) ( y 2 y3 )
2 2 2 2
( x1 x2 ) ( y1 y 2 )
2
2
名师大讲堂·2013 高考总复习《数学》（理科）
三维三角不等式和一般形式的三角不等式：
x12 y12 z12
1.函数 y 2 1 x 2 x 1的最大值为 ______ 3 0 此时 x ________
2.设实数x, y满足3x 2 2 y 2 6, 则P 2 x y的最大
11 值是 ______
25 1 2 1 2 2 3.若a, b R , 且a b 1, 则(a ) (b ) 的最小值是 ______ a b
式，此题有多种解法，比如用三角代换法求解，但过程较繁．
名师大讲堂·2013 高考总复习《数学》（理科）
3．函数 y＝3sinx＋4 1＋cos2x的最大值为____________．
名师大讲堂·2013 高考总复习《数学》（理科）
答案： 41 解析：y＝3sinx＋4 1＋cos2x＝3sinx＋4 2cos2x ≤ sin2x＋cos2x[32＋4 22]＝ 41 sinx 3 3 2 当且仅当 ＝± 即 tanx＝± 时，函数有最大值 41 cosx 8 4 2
6. 一般形式的柯西不等式
即：14(x2 y2 z2 ) 1
x2 y2 z2 1 14
∴
x2
y2
z2
的最小值是
1 14
例4：设a、b、c为正数且各不相等.
求证： 2 2 2 9 ab bc ca abc
证明： 2(a b c)( 1 1 1 ) ab bc ca
[(a b) (b c) (c a)]( 1 1 1 ) ab bc ca
当且仅当 ai 0 (i=1,2,…,n) 或 存在一个 数
t使得 bi tai (i=1,2,…,n) 时等号成立。
以上不等式称为一般形式的柯西不等式。
推论：（三维形式的柯西不等式）
设 a1, a2 , a3, b1, b2 , b3 是两组实数，则有：
(a12 a22 a32 ) (b12 b22 b32 ) (a1b1 a2b2 a3b3 )2
当向量（a1, a2 , a3）与向量（b1, b2 , b3）共线
时，“=” 号成立。
例1 已知 a1, a2 , a3 ,..., an 都是实数，
求证：1
n
(a1
a2
...
an )2
a12
a22Байду номын сангаас
...
an2 .
证明：由一般形式的柯西不等式，得：
n个 1
（a12 a22 an2 ) (12 12 12 ) （a1 a2 an )2
即：（a1 a2 an )2 n(a12 a22 an2 )
1 n
(a1
a2
an )2 (a12 a22
an2 )
例2 已知a,b,c,d是不全相等的正数，证明：
a2 b2 c2 d 2 ab bc cd da
一般形式的柯西不等式及排序不等式
巩固练习一、
[ 例 1] 1 1 设 x1，x2，„，xn 都是正数，求证： ＋ ＋„ x1 x2
1 n2 ＋x ≥ . n x1＋x2＋„＋xn
已知 a，b，c，d 为不全相等的正数，求证： 1 1 1 1 1 1 1 1 ＋ ＋ ＋ ＞ ＋ ＋ ＋ . a2 b2 c2 d2 ab bc cd da
[例 2]
π aA＋bB＋cC 在△ABC 中，试证： ≤ 3 a＋b＋c
[证明]
1 1 ∵a≥b>0，于是a≤b，
1 1 又 c>0，从而 ≥ ， bc ca 1 1 1 1 1 同理ca≥ab，从而bc≥ca≥ab. 又由于顺序和不小于乱序和，故可得 a5 b5 c5 b5 c5 a5 ＋ ＋ ≥ ＋ ＋ b3c3 c3a3 a3b3 b3c3 c3a3 a3b3 b2 c2 a2 1 1 1 ＝ 3＋ 3＋ 3(∵a2≥b2≥c2， 3≥ 3≥ 3) c a b c b a c2 a2 b2 1 1 1 ≥ 3＋ 3＋ 3＝ ＋ ＋ c a b c a b 1 1 1 ＝ ＋ ＋ . a b c 所以原不等式成立．
和 S4=a1b2+a2b3+a3b1=195
备注 乱序和
S5=a1b3+a2b1+a3b2=185 S6=a1b3+a2b2+a3b1=180 (最小值)
乱序和
反序和
答案:220 180
知识总结点拨
1.对排序不等式的证明的理解 对排序不等式的证明中,用到了“探究——猜想——检验—— 证明”的思维方法,这是探索新知识、新问题常用到的基本方 法,对于数组涉及的“排序”及“乘积”的问题,又使用了 “一一搭配”这样的描述,这实质上也是使用最接近生活常识
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
定 2 (柯 不 式 向 形 理 西 等 的 量 式 设 , 是 个 量 两 向
)
, 则 . k , 使 k 时, 等 成 号 立 .
当 仅 且 当 是 向 零 量 ,或 在 数 存 实
如 空 中 个 量 果 间 两 向
a1 , a 2 , a3 , b1 , b2 , b3 ,
2 2 2 2
变 ： 知 式 已 x1
2
x1 , x 2 , , x n 为 实 ， 正 数 且 x2
2
x1 x 2 x n 1, 1
求 ： 证 1 x1 1 x 2 1 xn n 1
xn
2
变 ： 式 设 n是 然 ， 证 自 数 求 ： 1 n 1 1 n2 1 n3 1 3n 4n 4n 1
一、复习回顾： 1.二维形式的柯西不等式：
定理 1 ( 二维形式的柯西不等式 ) 若 a , b , c , d 都是 实数 , 则 (a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) (ac bd )2 当且仅当 ad bc 时 , 等号成立 .
二维形式的柯西不等式的变式:
(1) a 2 b2 c 2 d 2 ac bd ( 2) a 2 b2 c 2 d 2 ac bd
2 2
5.求 数 y 2 1 x 2 x 1的 大 ？ 函 最 值
二、新课讲解：
例.已 x1 , x2 , y1 , y 2 R, 先 用 何 法 释 知 利 几 方 解 下 不 式 : x1 y1 x2 y 2 等
2 2 2 2
述
2
x1 x2
y1 y 2
练一练：
1.已 a b 1, x y 1求 ： ax by 1 知 证
2 2 2 2
2.已 3 x 4 y 2, 求 x y 的 小 ？ 知 最 值
2 2
3.已 x y 1, 求2 x 3 y 的 小 ？ 知 最 值
2 2
4.已 x y 1, 求 x y的 围 知 范 ？
1 4
1 x 4 y 9 z 36
变 ：已 x , y , z R , 且 x y z 1, 求 式 知 证
变 .已 a， b， c为 不 等 正 ， 式 知 互 相 的 数 2 ab 2 bc 2 ac 9
,求 ： 证abc来自例 2 已知 a , b , c , d是不全相等的正数, 证明 a b c d ab bc cd da
2 2 2
1
1
1
100
2
当且仅当 ai kbi时等号成立。
1.三维形式的柯西不等式：
a
若 a1 , a 2 , a3 , b1 , b2 , b3都是实数 , 则 :
2 1
a 2 a3 b1 b2 b3 a1b1 a 2 b2 a3b3
2 2 2 2 2
2
当且仅当 ai kbi时等号成立。
4 4
例1 已知 a1 , a 2 , , a n都是实数 , 求证 1 n
2 2 2 ( a1 a 2 a n ) 2 a1 a 2 a n
变 ： 知 式 已
2
a , b, c, d为 实 ， 正 数 且
2 2 2
a b c d 1,
求 ： a b c d 证
例 2 已知实数 a , b , c , d , e满足 a b c d e 8 , a 2 b 2 c 2 d 2 e 2 16, 求 e的取值范围.
解 : 4(a 2 b 2 c 2 d 2 ) (1 1 1 1)( a 2 b 2 c 2 d 2 ) (a b c d) 2 即 4(16 e ) ( 8 e ) , 即 64 4e 64 16 e e 5e 16 e 0, 故 0 e
当且仅当 bi 0( i 1, 2, , n )或存在一个数 k , 使得 a i kbi ( i 1, 2, , n )时 , 等号成立 。
例3 已知 x 2 y 3 z 1, 求 x 2 y 2 z 2的最小值
证明 : ( x 2 y 2 z 2 )( 1 2 2 2 3 2 ) ( x 2 y 3 z ) 2 1 x y z
猜想柯西不等式的一般形式
定理 (一般形式的柯西不等式) 设 a1 , a 2 , a 3 , , a n , b1 , b2 , b3 , , bn是实数 , 则
2 2 2 2 2 (a1 a2 an )( b12 b2 bn ) (a1b1 a2b2 an bb )2
2
再 代 方 证 ？ 用 数 法 明
定理 3. （二维形式的三角不等 式） x1 y1 x2 y 2
2 2 2 2
已知 x1 , x2 , y1 , y 2 R, 那么：
x1 x2
2
y1 y 2
2
练一练 .求函数 y
x2 2x 2
x 2 6 x 13的最小值？
2 2 2 2 2
16 5
补充练习
1在 ABC 中, 设其各边长为a , b , c , 外接圆半径为R , 求证 : ( a b c )(
2 2 2
1 sin A
2
1 sin B
2
1 sin C
2
) 36 R
2
2.设 a , b , c为正数 , 且 a b c 1, 求证 : ( a ) (b ) (c ) a b c 3
的 ？
则 用 标 示 式 如 坐 表 形 是 何
1.三维形式的柯西不等式：
a
若 a1 , a 2 , a3 , b1 , b2 , b3都是实数 , 则 :
2 1
a 2 a3 b1 b2 b3 a1b1 a 2 b2 a3b3
2 2 2 2 2
2 2 2
1 14 z 3 即x 1 14 1 14 ,y 1 7 ,z 3 14 时
当且仅当
2 2
x 1
2
y 2
x y z 取最小值
变 ： 式 设 n是 然 ， 任 实 自 数 对 意 数 1 n
x , y , z恒 有
x
2
y z
2
2 2
x
4
y z 成 ， 立 求 n的 小 ？ 最 值