2022年高考数学真题分类汇编：不等式
2022年高考数学真题分类汇编专题05：不等式一、单选题(共10题；共50分)
1．（5分）（2022·浙江）若实数x，y满足约束条件{x−2≥0，
2x+y−7≤0，
x−y−2≤0，
则z=3x+4y的最大值是（）
A．20B．18C．13D．6
【答案】B
【解析】【解答】根据约束条件{x−2≥0，
2x+y−7≤0，
x−y−2≤0，
画出可行域，
可知过点（2，3）时取到最大值18.
故答案为：B
【分析】先作出不等式组表示的平面区域，然后结合图象求解即可．
2．（5分）（2022·全国乙卷）若x，y满足约束条件{x+y⩾2，
x+2y⩽4，
y⩾0，
则z=2x−y的最大值是（）A．−2B．4C．8D．12
【答案】C
【解析】【解答】由题意作出可行域（阴影部分所示），目标函数z=2x−y转化为y=2x−z，
上下平移直线 y =2x −z ，可知当直线过点 (4，0) 时，直线截距最小，z 最大， 所以 z max =2×4−0=8 . 故选：C
【分析】作出可行域，数形结合即可得解.
3．（5分）（2022·全国甲卷）设全集 U ={−2，−1，0，1，2，3} ，集合 A ={−1，2}，B ={x ∣
x 2−4x +3=0} ，则 ∁U (A ∪B)= （ ） A ．{1，3}
B ．{0，3}
C ．{−2，1}
D ．{−2，0}
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意得， B ={x ∣x 2−4x +3=0}={1，3} ，所以A∪B={-1，1，2，
3} ，
所以∁U (A ∪B)={−2，0} . 故选：D
【分析】先求解方程求出集合B ，再由集合的并集、补集运算即可得解.
4．（5分）（2022·全国甲卷）已知 9m =10，a =10m −11，b =8m −9 ，则（ ）
A ．a >0>b
B ．a >b >0
C ．b >a >0
D ．b >0>a
【答案】A
【解析】【解答】解：由9m=10可得m =log 910=lg10lg9>1，
而lg9lg11<(lg9+lg112)2=(lg992
)2
<1=(lg10)2，
所以lg10lg9>lg11
lg10 ，
即m>lg11，
所以a=10m-11>10lg11-11=0．
又lg8lg10<(lg8+lg102)2=(lg802
)2
<(lg9)2，
所以lg9lg8>lg10
lg9 ，
即log 89>m ，
所以b =8m −9<8log 89−9=0 ． 综上，a>0>b ． 故选：A
【分析】根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m=log 910>1 ，再利用基本不等式，换底公式可得 m>lg11，log 89>m ，然后由指数函数的单调性即可解出．
5．（5分）（2022·新高考Ⅰ卷）设 a =0.1e 0.1，b =
1
9
，c =−ln0.9， 则（ ） A ．a
B ．c
C ．c D ．a 【答案】C 【解析】【解答】解：令a=xe x ，b =x 1−x ，c=-ln(1-x)， 则lna-lnb=x+lnx-[lnx-ln(1-x)]=x+ln(1-x)， 令y=x+ln(1-x)，x∪(0，0.1]， 则y′=1−11−x =−x 1−x <0， 所以y≤0， 所以lna≤lnb ， 所以b>a ， a-c=xe x +ln(1-x)，x∪(0，0.1]， 令y=xe x +ln(1-x)，x∪(0，0.1]， y′=xe x +e x − 1 1−x = (1+x )(1−x )e x −11−x ， 令k(x)=(1+x )(1−x )e x −1， 所以k'(x)=(1-2x-x 2)e x >0， 所以k(x)>k(0)>0， 所以y'>0， 所以a-c>0， 所以a>c ， 综上可得，c 【分析】分别构造函数y=x+ln(1-x)，x∪(0，0.1]，y=xe x +ln(1-x)，x∪(0，0.1]，根据导数判断函数的单调性，再运用作差法比较大小即可得解. 6．（5分）（2022·新高考Ⅰ卷）若集合 M ={x ∣√x <4}，N ={x ∣3x ⩾1}， 则 M ∩N =（ ） A ．{x ∣0≤x <2} B ．{x ∣13≤x <2} C ．{x ∣3≤x <16} D ．{x ∣13 ≤x <16} 【答案】D 【解析】【解答】解：由题意得， M ={x|0≤x <16}，N ={x|x ≥13} ，则 M ∩N = {x ∣1 3 ≤x < 16} ， 故选：D 【分析】先由不等式的解法求得集合M ，N ，再根据交集的运算求得答案. 7．（5分）（2022·浙江学考）不等式 x 2−4x <0 的解集是（） A ．(0，4) B ．(−4，0) C ．(−∞，4) D ．(−∞，0)∪(4，+∞) 【答案】A 【解析】【解答】 x 2−4x <0⇒x(x −4)<0 ，解得 0 故答案为：A 【分析】利用 一元二次不等式求解集的方法，进而得出不等式 x 2−4x <0 的解集。 8．（5分）（2022·浙江学考）不等式组 { x −2y +5≥0 x +y +2<0 表示的平面区域是（） A ． B ． C．D． 【答案】B 【解析】【解答】画出直线x−2y+5=0，经过一、二、三象限，对应图中的实线，代入(0，0)可得5≥0成立，所以x−2y+5≥0表示的区域为直线x−2y+5=0及直线右下方；画出直线x+y+2=0，经过二、三、四象限，对应图中的虚线，代入(0，0)可得2<0不成立，所以x+y+2<0表示的区域为直线x+y+2=0及直线左下方，所以对应的平面区域为B. 故答案为：B 【分析】利用已知条件结合二元一次不等式组画出可行域，从而找出不等式组表示的平面区域。9．（5分）（2022·浙江学考）若log2(2x−1)−x A．(1 9，+∞)B．(0，1 9)C．( 1 5，+∞)D．(0， 1 5) 【答案】A 【解析】【解答】由log2(2x−1)−x 2x+3λ)，所以log 22x−1 2x 2 (λ⋅2x+3λ)，因为函数y=log2x在(0，+∞)上单调递增， 所以2x−1 2x <(2x+3)λ⇒2 x−1 2x⋅(2x+3) <λ在(0，+∞)上恒成立，令t=2x(t>1)，则t−1 t(t+3)< λ在(1，+∞)上恒成立，令y= t−1 t(t+3)= 1 (t−1)+4t−1+5，则 y=1 (t−1)+4t−1+5 ≤ √(t−1)⋅4t−1+5=19，当且仅当t=3，即x=log 2 3时，取等号，所以λ>1 9。 故答案为：A 【分析】由log2(2x−1)−x 22x−1 2x 2 (λ⋅2x+3λ)，再利用函 数y=log2x在(0，+∞)上单调递增，所以2x−1 2x <(2x+3)λ⇒2 x−1 2x⋅(2x+3) <λ在(0，+∞) 上恒成立，令 t =2x (t >1) ，则 t−1 t(t+3)<λ 在 (1，+∞) 上恒成立，令 y =t−1t(t+3)=1(t−1)+4t−1+5 ，再利用均值不等式求最值的方法得出y =1 (t−1)+4 t−1+5 的最大值，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数λ的取值范围。 10．（5分）（2022·上海）已知 a >b >c >d ，下列选项中正确的是（ ） A ．a +d >b +c B ．a +c >b +d C ．ad >bc D ．ac >bd 【答案】B 【解析】【解答】解：对于A ，令a=2，b=1，c=0，d=-3，则a+d=-1，b+c=1，此时a+d 错误； 对于B ，因为 a >b >c >d ，即a>b ，c>d ，则根据不等式的性质得 a +c >b +d ，故B 正确； 对于C ， 令a=2，b=1，c=0，d=-3，则ad=-3，bc=0，此时ad 【分析】运用特殊值法，结合不等式的性质逐项判断即可求解. 二、多选题(共1题；共5分) 11．（5分）（2022·新高考Ⅰ卷）对任意x ，y ， x 2+y 2−xy =1 ，则（ ） A ．x +y ≤1 B ．x +y ≥−2 C ．x 2+y 2≤2 D ．x 2+y 2≥1 【答案】B,C 【解析】【解答】根据 ab ≤(a+b 2)2≤a 2+b 2 2 （ a ，b ∈ R ）， x 2+y 2−xy =1 可变形为， (x +y)2 −1=3xy ≤3(x+y 2) 2 ，解得 −2≤x +y ≤2 ，当且仅当 x =y =−1 时， x +y = −2 ，当且仅当 x =y =1 时， x +y =2 ，所以A 不符合题意，B 符合题意； x 2+y 2−xy =1 可变形为 (x 2+y 2)−1=xy ≤x 2+y 2 2 ，解得 x 2+y 2≤2 ，当且仅当 x =y = ±1 时取等号，所以C 符合题意； 因为 x 2+y 2−xy =1 变形可得 (x −y 2)2+34y 2=1 ，设 x −y 2=cosθ，√ 32 y =sinθ ，所以 x = cosθ+ 1√3，y =2√3 ，因此 x 2+y 2=cos 2θ+53sin 2θ√3=1√3− 13cos2θ+13 =43+23sin(2θ−π6)∈[23，2] ，所以当 x =√33，y =−√ 33 时满足等式，但是 x 2+y 2≥1 不成 立，所以D 不符合题意． 故答案为：BC 【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项． 三、填空题(共3题；共15分) 12．（5分）（2022·全国甲卷）已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB=120°，AD=2，CD= 2BD．当AC AB取得最小值时，BD=． 【答案】√3−1或−1+√3 【解析】【解答】解：设CD=2BD=2m>0， 则在∪ABD中，AB2=BD2+AD2-2BD·ADcos∪ADB=m2+4+2m ， 在∪ACD中，AC2=CD2+AD2-2CD·ADcos∪ADC=4m2+4-4m ， 所以AC2 AB2=4m 2+4−4m m2+4+2m = 4(m2+4+2m)−12(1+m) m2+4+2m =4−12 (m+1)+3m+1 ≥4−12 2√(m+1)×3m+1 =4− 2√3， 当且仅当m+1=3 m+1即m=√3−1时，等号成立， 所以当AC AB取最小值时，m=√3−1，即BD= √3−1 .故答案为：√3−1. 【分析】设CD=2BD=2m>0，利用余弦定理表示出AC 2 AB2 后，结合基本不等式即可得解. 13．（5分）（2022·新高考Ⅰ卷）若曲线y=(x+a)e x有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是. 【答案】a＞0或a＜-4 【解析】【解答】解：易得曲线不过原点，设切点为(x0，(x0+a)e x0)，则切线斜率为 f(x0)=(x0+a+1)e x0， 可得切线方程为y-(x0+a)e x0=(x0+a+1)e x0(x-x0)，又切线过原点， 可得-(x0+a)e x0=-x0(x0+a+1)e x0，化简得x02+ax0−a=0(∪)， 又切线有两条，即方程∪有两不等实根，由判别式∪=a2+4a>0，得a<-4或a>0. 故答案为：a<-4或a>0. 【分析】由导数的几何意义，求得切线方程，再结合切线过原点，易得方程x 02+ax 0−a =0有两不等实根，由∪>0求解即可. 14．（5分）（2022·上海）不等式 x−1x <0 的解集为 【答案】(0，1) 【解析】【解答】解：由题意得 x−1 x <0 等价于x(x-1)<0，解得0 故答案为： (0，1) . 【分析】根据分式不等式的解法直接求解即可. 四、解答题(共4题；共45分) 15．（10分）（2022·全国乙卷）已知a ，b ，c 都是正数，且 a 3 2+b 3 2+c 3 2=1 ，证明： （1）（5分）abc ≤19 ； （2）（5分）a b+c +b a+c +c a+b ≤ 1 2√abc ． 【答案】（1）证明：因为 a >0 ， b >0 ， c >0 ，则 a 3 2>0 ， b 3 2>0 ， c 3 2>0 ， 所以 a 32+b 32+c 3 23≥√a 32⋅b 32⋅c 323 ， 即 (abc)12≤13 ，所以 abc ≤1 9 ，当且仅当 a 32=b 32=c 32 ，即 a =b =c =√193 时取等号． （2）证明：因为 a >0 ， b >0 ， c >0 ， 所以 b +c ≥2√bc ， a +c ≥2√ac ， a +b ≥2√ab ， 所以 a b+c ≤a 2√bc = a 3 2 2√abc ， b a+c ≤b 2√ac =b 32 2√abc ， c a+b ≤c 2√ab =c 32 2√abc a b +c +b a +c +c a +b ≤a 322√abc b 322√abc c 322√abc =a 32b 32c 322√abc = 2√abc 当且仅当 a =b =c 时取等号． 【解析】【分析】（1）利用三元均值不等式即可证明； （2）利用基本不等式及不等式的性质证明即可． 16．（10分）（2022·新高考Ⅰ卷）记 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知 cosA 1+sinA =sin2B 1+cos2B . （1）（5分）若 C =2π 3 ， 求B ； （2）（5分）求 a 2 +b 2 c 2 的最小值. 【答案】（1）因为 cosA 1+sinA =sin2B 1+cos2B = 2sinBcosB 2cos 2B =sinB cosB ， 所以 cosAcosB =sinB +sinAsinB ， 所以 cos(A +B)=sinB ， 又因为 cos(A +B)=sinB ⇒sinB =cos(π−C)=cos π3=1 2 ， C =2π3>π 2 ，所以 B <π2 ，故 B =π6 . （2）因为 sinB =cos(π−C)=sin(C −π 2) 所以 B =C −π 2 所以 sinA =sin(B +C)=sin(2C −π 2)=−cos2C 由余弦定理 c 2=a 2+b 2−2abcosC ⇒a 2+b 2=c 2+2abcosC 所以 a 2+b 2 c 2=c 2 +2abcosC c 2=1+2abcosC c 2 =1+ 2sinAsinBcosC sin 2C =1+ 2sinAsinBcosC sin 2C =1+ 2cos2Ccos 2C sin 2C =1+ 2(1−2sin 2C)(1−sin 2C)sin 2C =1+2(2sin 2C + 1 sin 2C −3) ≥1+2(2√2−3)=4√2−5 当且仅当 2sin 2C = 1sin 2C ，即 sin 2 C =√22 时取得等号， 综上， a 2 +b 2 c 2 的最小值为 4√2−5 . 【解析】【分析】（1）先由二倍角公式与两角和的余弦公式，化简得 cos(A +B)=sinB ，再由诱导公式，结合三角形的内角和性质，得 sinB =1 2 ，可得B ； （2）由诱导公式求得B=C−π 2，sinA=−cos2C，再结合余弦定理与三角恒等变换，化简得 a2+b2 c2=1+2(2sin2C+1 sin2C −3)，并利用基本不等式求最值即可. 17．（10分）（2022·上海）如图，矩形ABCD区域内，D处有一棵古树，为保护古树，以D为圆心，DA为半径划定圆D作为保护区域，已知AB=30m，AD=15m，点E为AB上的动点，点F 为CD上的动点，满足EF与圆D相切. （1）（5分）若∪ADE =20°，求EF的长； （2）（5分）当点E在AB的什么位置时，梯形FEBC的面积有最大值，最大面积为多少？ （长度精确到0.1m，面积精确到0.01m²） 【答案】（1）如图，作DH∪EF， 则EF=EH+HF=15tan20°+15tan50°≈23.3m； （2）设∪ADE=θ，AE=15tanθ，FH=15tan(90°-2θ)， 则S AEFD=15 2(30tanθ+15cot2θ)=225 4(3tanθ+ 1 tanθ)≥ 225√3 2 当且仅当3tanθ=1 tanθ，即tanθ=√3 3 时，等号成立， 即当AE=15tanθ=5√3时，最大面积为450−225√3 2≈255.14m 2 【解析】【分析】（1）根据正切函数的定义，运用数形结合思想求解即可； （2）根据面积公式，结合基本不等式求最值求解即可. 18．（15分）（2022·上海）已知函数f(x)，甲变化：f(x)−f(x−t)；乙变化：|f(x+t)− f(x)|，t>0. （1）（5分）若t=1，f(x)=2x，f(x)经甲变化得到g(x)，求方程g(x)=2的解； （2）（5分）若f(x)=x2，f(x)经乙变化得到ℎ(x)，求不等式ℎ(x)≤f(x)的解集； （3）（5分）若f(x)在(−∞，0)上单调递增，将f(x)先进行甲变化得到u(x)，再将u(x)进行乙变化得到ℎ1(x)；将f(x)先进行乙变化得到v(x)，再将v(x)进行甲变化得到ℎ2(x)，若对任意t>0，总存在ℎ1(x)=ℎ2(x)成立，求证：f(x)在R上单调递增. 【答案】（1）由题意得g(x)=f(x)-f(x-1)=2x-2x-1=2x-1， 则由g(x)=2得2x-1=2，解得x=2； （2）由题意得h(x)=|2tx+t2|，如图所示 ①当x≤−t 2时，h(x)≤f(x)恒成立； ②当x>−t 2时，h(x)=2tx+t2，则由h(x)≤f(x)得2tx+t2≤x2， 解得x≤(1−√2)t或x≥(1+√2)t， 综上可得x≤(1−√2)t或x≥(1+√2)t， 故解集为：(−∞，(1−√2)t]∪[(1+√2)t，+∞) （3）由题意得h1(x)=|[f(x+t)-f(x)]-[f(x)-f(x-t)]|，h2(x)=|[f(x+t)-f(x)]|-|[f(x)-f(x-t)]|，∵x∪R时，h1(x)=h2(x)恒成立 ∴|[f(x+t)-f(x)]-[f(x)-f(x-t)]|=|[f(x+t)-f(x)]|-|[f(x)-f(x-t)]|……① ∵t>0且 f(x) 在 (−∞，0) 上单调递增 ∴x-t 则根据|a-b|≥|a|-|b|(当且仅当ab≥0且|a|≥|b|时等号成立) 得f(x-t) ∴f(x)-f(x-t)>0 则由①得{[f(x +t)−f(x)]·[f(x)−f(x −t)]⩾0 |f(x +t)−f(x)|≥|f(x)−f(x −t)|=f(x)−f(x −t)>0 ∴f(x+t)-f(x)>0 即f(x+t)-f(x)>f(x)-f(x-t)>0 ∴{f(x +t)−f(x)>f(x)−f(x −t) f(x +t)>f(x)f(x)>f(x −t) 对t>0都成立， 则f(x)在R 上单调递增. 【解析】【分析】(1)根据函数的新定义，结合对数方程的解法求解即可； (2)根据函数的新定义，运用数形结合思想，结合不等式的解法求解即可； (3)根据函数的新定义，结合函数的单调性，以及绝对值不等式的性质求解即可. 第5讲 数列与不等式 一、单选题 1．（2022·全国·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，,,,AA BB CC DD ''''是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中1111,,,DD CC BB AA 是举，1111,,,OD DC CB BA 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为 11111231111 ,0.5,,DD CC BB AA k k k OD DC CB BA ====．已知123 ,,k k k 成公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则3k =（ ） A ．0.75 B ．0.8 C ．0.85 D ．0.9 2．（2022·全国·高考真题（理））嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{}n b ：11 1 1b α=+ ， 212 111b αα=+ + ， 3123 1 11 1 b ααα=+ + + ，…，依此类推，其中(1,2,)k k α*∈=N ．则（ ） A ．15b b < B ．38b b < C ．62b b < D ．47b b < 3．（2022·全国·高考真题（文））已知等比数列{}n a 的前3项和为168，2542a a -=，则6a =（ ） A ．14 B ．12 C ．6 D ．3 4．（2021·北京·高考真题）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长12345,,,,a a a a a (单位:cm)成等差数列，对应的宽为12345,,,,b b b b b (单位: cm),且长与宽之比都相等，已知1288a =，596=a ，1192b =，则3b = A ．64 B ．96 C ．128 D ．160 5．（2021·北京·高考真题）已知{}n a 是各项均为整数的递增数列，且13a ≥，若12100n a a a ++⋅⋅⋅+=，则n 的最大值为（ ） A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 11．故选：C ． 2022年高考数学真题分类汇编专题05：不等式一、单选题(共10题；共50分) 1．（5分）（2022·浙江）若实数x，y满足约束条件{x−2≥0， 2x+y−7≤0， x−y−2≤0， 则z=3x+4y的最大值是（） A．20B．18C．13D．6 【答案】B 【解析】【解答】根据约束条件{x−2≥0， 2x+y−7≤0， x−y−2≤0， 画出可行域， 可知过点（2，3）时取到最大值18. 故答案为：B 【分析】先作出不等式组表示的平面区域，然后结合图象求解即可． 2．（5分）（2022·全国乙卷）若x，y满足约束条件{x+y⩾2， x+2y⩽4， y⩾0， 则z=2x−y的最大值是（）A．−2B．4C．8D．12 【答案】C 【解析】【解答】由题意作出可行域（阴影部分所示），目标函数z=2x−y转化为y=2x−z， 上下平移直线 y =2x −z ，可知当直线过点 (4，0) 时，直线截距最小，z 最大， 所以 z max =2×4−0=8 . 故选：C 【分析】作出可行域，数形结合即可得解. 3．（5分）（2022·全国甲卷）设全集 U ={−2，−1，0，1，2，3} ，集合 A ={−1，2}，B ={x ∣ x 2−4x +3=0} ，则 ∁U (A ∪B)= （ ） A ．{1，3} B ．{0，3} C ．{−2，1} D ．{−2，0} 【答案】D 【解析】【解答】解：由题意得， B ={x ∣x 2−4x +3=0}={1，3} ，所以A∪B={-1，1，2， 3} ， 所以∁U (A ∪B)={−2，0} . 故选：D 【分析】先求解方程求出集合B ，再由集合的并集、补集运算即可得解. 4．（5分）（2022·全国甲卷）已知 9m =10，a =10m −11，b =8m −9 ，则（ ） A ．a >0>b B ．a >b >0 C ．b >a >0 D ．b >0>a 【答案】A 【解析】【解答】解：由9m=10可得m =log 910=lg10lg9>1， 而lg9lg11<(lg9+lg112)2=(lg992 )2 <1=(lg10)2， 所以lg10lg9>lg11 lg10 ， 即m>lg11， 全国通用2020_2022三年高考数学真题分项汇编： 20 不等式选讲 1．【2022年全国甲卷】已知a，b，c均为正数，且a2+b2+4c2=3，证明：(1)a+b+2c≤3； (2)若b=2c，则1 a +1 c ≥3． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【解析】 【分析】 （1）根据a2+b2+4c2=a2+b2+(2c)2，利用柯西不等式即可得证； （2）由（1）结合已知可得0 (1) 证明：因为a >0，b >0，c >0，则a 3 2>0，b 3 2>0，c 3 2>0， 所以a 3 2+b 3 2+c 3 23 ≥√a 3 2⋅b 3 2⋅c 3 23 ， 即(abc )12≤13，所以abc ≤19，当且仅当a 32=b 32=c 3 2，即a =b =c =√1 9 3 时取等号． (2) 证明：因为a >0，b >0，c >0， 所以b +c ≥2√bc ，a +c ≥2√ac ，a +b ≥2√ab ， 所以 a b+c ≤ 2√bc = a 3 22√abc ， b a+c ≤ 2√ac = b 3 22√abc ， c a+b ≤ 2√ab = 3 22√abc a b +c +b a +c +c a + b ≤a 322√ab c +b 32 2√abc c 3 2 2√abc =a 32 + b 32 + c 32 2√abc = 12√abc 当且仅当a =b =c 时取等号． 3．【2021年甲卷文科】已知函数()2,()2321f x x g x x x =-=+--． （1）画出()y f x =和()y g x =的图像； （2）若()()f x a g x +≥，求a 的取值范围． 【答案】（1）图像见解析；（2）112 a ≥ 【解析】 【分析】 （1）分段去绝对值即可画出图像； （2）根据函数图像数形结和可得需将()y f x =向左平移可满足同角，求得()y f x a =+过1,42A ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 时a 的值可求. 专题14 不等式 1．【2022年全国乙卷】若x ，y 满足约束条件{x +y ⩾2, x +2y ⩽4,y ⩾0, 则z =2x −y 的最大值是（ ） A ．−2 B ．4 C ．8 D ．12 2．【2021年乙卷文科】若,x y 满足约束条件4,2,3,x y x y y +≥⎧⎪ -≤⎨⎪≤⎩ 则3z x y =+的最小值为（ ） A ．18 B ．10 C ．6 D ．4 3．【2021年乙卷文科】下列函数中最小值为4的是（ ） A ．224y x x =++ B ．4 sin sin y x x =+ C ．222x x y -=+ D ．4ln ln y x x =+ 4．【2020年新课标3卷文科】已知函数f (x )=sin x +1 sin x ，则（） A ．f (x )的最小值为2 B ．f (x )的图象关于y 轴对称 C ．f (x )的图象关于直线x π=对称 D ．f (x )的图象关于直线2 x π= 对称 5．【2019年新课标2卷理科】若a >b ，则 A ．ln(a −b )>0 B ．3a <3b C ．a 3−b 3>0 D ．│a │>│b │ 6．【2022年新高考2卷】若x ，y 满足x 2+y 2−xy =1，则（ ） A ．x +y ≤1 B ．x +y ≥−2 C ．x 2+y 2≤2 D ．x 2+y 2≥1 7．【2020年新高考1卷（山东卷）】已知a >0，b >0，且a +b =1，则（ ） A ．221 2 a b +≥ B ．122 a b -> C ．22log log 2a b +≥- D 8．【2020年新课标1卷理科】若x ，y 满足约束条件220,10,10,x y x y y +-≤⎧⎪ --≥⎨⎪+≥⎩ 则z =x +7y 的最大值为__ ____________. 9．【2020年新课标2卷文科】若x ，y 满足约束条件1121,x y x y x y +≥-⎧⎪ -≥-⎨⎪-≤⎩ ，，则2z x y =+的最大值是____ ______． 2022版新高考数学总复习--第七章 不等式 §7.1 不等式及其解法 — 五年高考 — 考点1 不等式的概念和性质 1.(多选题)(2020新高考Ⅰ,11,5分)已知a >0,b >0,且a +b =1,则 ( ) A.a 2 +b 2 ≥1 2 B.2a -b >1 2 C.log 2a +log 2b ≥-2 D.√a +√b ≤√2 答案 ABD 2.(2018天津文,5,5分)已知a =log 372,b =(14)1 3,c =lo g 13 1 5,则 a , b , c 的大小关系为 ( ) A.a >b >c B.b >a >c C.c >b >a D.c >a >b 答案 D 3.(2017山东理,7,5分)若a >b >0,且ab =1,则下列不等式成立的是 ( ) A .a +1b 2022年高考数学真题《不等式》专项汇编（含答案） 1.【2022年 全国甲卷(文)，23】已知a ，b ，c 均为正数，且22243a b c ++=，证明： （1）23a b c ++≤； （2）若2b c =，则 11 3a c +≥. 2.【2022年 全国乙卷(理)，23】已知a ，b ，c 都是正数，且32 2 32 31a b c ++=，证明： （1）1 9 abc ≤； （2） a b c b c a c a b ++≤ +++3.【2022年 陕西省模拟，23】设x 、y 、z 为正实数，且4x y z ++=. (1) ≤ (2)证明：()()()22241233 x y z -+-+-≥ 4.【2022年 贵州贵阳模拟，23】已知实数a ，b ，c 满足0a b c ++=. （2）若0a <，0b <，1abc =，求c 的最小值. 5.【2022年 安徽马鞍山模拟，23】已知函数()22f x ax x a =++-（a ∈R ） （1）当1a =时，求不等式()6f x <的解集． （2）当13a -≤≤时，求()1f a -的最大值与最小值． 6.【2022年 内蒙古呼伦贝尔模拟，23】设函数()231f x x x =+--． (1)求不等式()0f x >的解集； (2)若()f x 的最小值是m ，且232a b c m ++=，求222a b c ++的最小值． 7.【2022年 吉林长春模拟，23】设函数()1f x x =+，()21g x x =-. （1）解关于x 的不等式()()1f x g x ->； （2）若()()22f x g x ax +>+对一切实数恒成立，求实数a 的取值范围. 8.【2022年 四川宜宾模拟，23】 [选修4-5：不等式选讲]： 已知函数()22f x x x =-++. （1）求不等式()24f x x ≥+的解集； （2）若()f x 的最小值为k ，且实数,,a b c ，满足()a b c k +=，求证：22228a b c ++≥ 2022版新高考数学总复习--§7.3 基本不等式 — 专题检测 — 一、单项选择题 1.(2021北京东城二模,4)已知a 2 +b 2 =2,那么a +b 的最大值为 ( ) A.1 B.√2 C.2 D.2√2 答案 C 本题考查基本不等式,考查逻辑推理的核心素养,试题体现基础性. ∵2=a 2 +b 2 ≥2ab ,∴(a +b )2 =a 2 +b 2 +2ab ≤2+2=4,从而a +b ≤2,当且仅当a =b =1时取等号,因此a +b 的最大值为2,故选C . 2.(2021北京朝阳二模,6)设x >0,y >0,则“x +y =1”是“xy ≤14 ”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 本题考查基本不等式,考查逻辑推理的核心素养,试题体现基础性. 充分性:当x +y =1时,xy ≤( x+y 2)2=1 4 ,当且仅当x =y =1 2时取等号,充分性成立; 必要性:当x =1,y =1 4 时,xy ≤14 ,x +y =5 4 ≠1,因而必要性不成立. 综上,“x +y =1”是“xy ≤14 ”的充分而不必要条件,故选A . 3.(2021天津河东一模,7)已知a >0,b >0,且 ab =a +b +3,则a +b 的最小值为 ( ) A.4 B.8 C.7 D.6 答案 D a +b +3=ab ≤14 (a +b )2 ,令t =a +b ,t >0, 则14 t 2 ≥t +3⇒t 2 -4t -12≥0⇒t ≥6,即a +b ≥6, 当且仅当a =b =3时,“=”成立. 4.(2021河南顶级名校4月联考,10)已知各项均为正数的等比数列{a n },a 6,3a 5,a 7成等差数列,若{a n }中存在两项a m ,a n ,使得4a 1为其等比中项,则1m +4n 的最小值为 ( ) A.4 B.9 C.23 D.32 答案 D 设各项均为正数的等比数列{a n }的公比为q ,q >0, [A 级 基础练] 1．函数f (x )＝x 2＋4 |x |的最小值为( ) A ．3 B ．4 C ．6 D ．8 解析：选B.f (x )＝x 2＋4|x |＝|x |＋4 |x |≥24＝4， 当且仅当x ＝±2时，等号成立，故选B. 2．若x >0，y >0，则“x ＋2y ＝22xy ”的一个充分不必要条件是( ) A ．x ＝y B ．x ＝2y C ．x ＝2且y ＝1 D ．x ＝y 或y ＝1 解析：选C.因为x >0，y >0， 所以x ＋2y ≥22xy ，当且仅当x ＝2y 时取等号． 故“x ＝2且y ＝1”是“x ＋2y ＝22xy ”的一个充分不必要条件．故选C. 3．若实数a ，b 满足1a ＋2 b ＝ab ，则ab 的最小值为( ) A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．4 解析：选C.因为1a ＋2 b ＝ab ，所以a ＞0，b ＞0， 由ab ＝1a ＋2 b ≥2 1a ×2b ＝22ab ， 所以ab ≥22(当且仅当b ＝2a 时取等号)， 所以ab 的最小值为2 2. 4．(多选)(2021·山东临沂蒙阴实验中学期末)给出下面四个推断，其中正确的为( ) A ．若a ，b ∈(0，＋∞)，则b a ＋a b ≥2 B ．若x ，y ∈(0，＋∞)，则lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg y C ．若a ∈R ，a ≠0，则4 a ＋a ≥4 D ．若x ，y ∈R ，xy <0，则x y ＋y x ≤－2 解析：选AD.对于A 项，因为a ，b ∈(0，＋∞)，所以b a ＋a b ≥2 b a ·a b ＝2，当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b 时取等号，故A 项正确；对于B 项，当x ，y ∈(0，1)时，lg x ，lg y ∈(－∞，0)，此时lg x ＋lg y ≥2 lg x ·lg y 显然不成立，故B 项错误；对于C 项，当a <0时，4 a ＋a ≥4显 然不成立，故C 项错误；对于D 项，若x ，y ∈R ，xy <0，则－y x >0，－x y >0，所以x y ＋y x ＝－ ⎣⎡⎦ ⎤⎝⎛⎭⎫－x y ＋⎝⎛⎭⎫－y x ≤－2 ⎝⎛⎭⎫－x y ·⎝⎛⎭⎫－y x ＝－2，当且仅当－x y ＝－y x ，即x ＝－y 时取等号，故D 项正确．故选AD. 5．(多选)(2020·新高考卷Ⅰ)已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则( ) A ．a 2＋b 2≥1 2 B ．2a － b >12 C ．log 2a ＋log 2b ≥－2 D ．a ＋b ≤ 2 解析：选ABD.对于选项A ，因为a 2＋b 2≥2ab ，所以2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2 ＝1，所以a 2＋b 2≥1 2 ，正确；对于选项B ，易知02－1＝ 12，正确；对于选项C ，令a ＝14，b ＝34，则log 214＋log 234＝－2＋log 23 4 <－2，错误；对于选项D ，因为2＝ 2（a ＋b ），所以[ 2（a ＋b ）]2－(a ＋b )2＝a ＋b －2ab ＝(a － b )2≥0，所以a ＋b ≤2，正确．故选ABD. 6．(2021·江苏南京联合调研)已知a >0，b >0，2a ＋b ＝4，则3ab 的最小值为________． 解析：因为2a ＋b ＝4，a >0，b >0，所以3ab ＝62ab ≥6⎝ ⎛⎭ ⎪⎫2a ＋b 22＝64＝3 2 ，当且仅当2a ＝b ＝2， 即a ＝1，b ＝2时取“＝”，所以3ab 的最小值为3 2 . 答案：3 2 7．函数y ＝x 2＋2 x －1(x >1)的最小值为________． 解析：因为x >1，所以x －1>0， 所以y ＝x 2＋2x －1＝（x 2－2x ＋1）＋（2x －2）＋3 x －1 ＝（x －1）2＋2（x －1）＋3 x －1 2022年全国高考数学试题分类汇编（43页） 专题一 集合与常用逻辑用语 1 专题二 基本初等函数、导数及其应用 2 专题三 三角函数、解三角形 6 专题四 平面向量、数系的扩充与复数的引入 9 专题五 数 列 10 专题六 不等式 12 专题七 立体几何 13 专题八 平面解析几何 1 7 专题九 计数原理、概率、统计 20 专题十 选考部分 24 参考答案与解析 25 1．(2022·高考浙江卷)设集合A ＝{1，2}，B ＝{2，4，6}，则A ∪B ＝( ) A ．{2} B ．{1，2} C ．{2，4，6} D ．{1，2，4，6} 2．(2022·高考全国卷乙(文))集合M ＝{2，4，6，8，10}，N ＝{x |－1 C ．{}x |3≤x <16 D ．⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫x ⎪⎪⎪13≤x <16 5．(2022·新高考Ⅱ卷)已知集合A ＝{}－1，1，2，4，B ＝{} x |||x －1≤1，则A ∩B ＝( ) A ．{－1，2} B ．{1，2} C ．{1，4} D ．{－1，4} 6．(2022·高考北京卷)已知全集U ＝{x |－3 专题26 基本不等式及其应用 一、单选题（本大题共12小题，共60分） 1. 建造一个容积为8m 3，深为2m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每 平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为( ) A. 1680元 B. 1760元 C. 1800元 D. 1820元 2. 为不断满足人民日益增长的美好生活需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环 境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造．改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体A 1B 1C 1D 1，该项目由长方形核心喷泉区ABCD(阴影部分)和四周绿化带组成．规划核心喷泉区ABCD 的面积为1000m 2，绿化带的宽分别为2 m 和5m(如图所示).当整个项目占地A 1B 1C 1D 1面积最小时，则核心喷泉区BC 的边长为( ) A. 20 m B. 50 m C. 10√10m D. 100 m 3. 设a >0，b >0，a +b =1，则下列说法错误的是( ) A. ab 的最大值为1 4 B. a 2+b 2的最小值为1 2 C. 4 a +1 b 的最小值为9 D. √a +√b 的最小值为√2 4. 已知m >0，xy >0，当x +y =2时，不等式2 x + m y ≥4恒成立，则m 的取值范围是 ( ) A. [√2,+∞) B. [2,+∞) C. (0,√2] D. (0,2] 5. 在弹性限度内，弹簧拉伸的距离与所挂物体的质量成正比，即d =m k ，其中d 是距离( 单位 ，m 是质量(单位 ，k 是弹簧系数(单位 弹簧系数分别为k 1，k 2的两 个弹簧串联时，得到的弹簧系数k 满足1 k =1 k 1 +1 k 2 ，并联时得到的弹簧系数k 满足k = 2022年高考数学试题分项版—不等式（解析版）一、选择题 1．(2022·全国Ⅲ文，11)记不等式组 ＋，表示的平面区域为D.命题p：(某，y)∈D,2某 － 解析方法一画出可行域如图中阴影部分(含边界)所示． 目标函数z＝2某＋y是一条平行移动的直线，且z的几何意义是直线z＝2某＋y在y轴上的截距． 显然，当直线过点A(2,4)时，zmin＝2某2＋4＝8，即z＝2某＋ y≥8.∴2某＋y∈[8，＋∞)． 由此得命题p：(某，y)∈D,2某＋y≥9正确；命题q：(某，y)∈D,2某＋y≤12不正确．∴①③真，②④假． ＋，方法二取某＝4，y＝5，满足不等式组且满足2某＋y≥9，不满足2某＋y≤12，故 －，p真，q假．∴①③真，②④假． ＋－，－＋， 2．(2022·天津文，2)设变量某，y满足约束条件则目标函数z＝－4某＋y的 －， －，最大值为() A．2B．3C．5D．6答案C 解析画出可行域如图中阴影部分(含边界)所示， 作出直线－4某＋y＝0，并平移，可知当直线过点A时，z取得最大值．由 ＝－，所以点A的坐标为(－1,1)， ＝， －＋＝，＝－， 可得 故zma某＝－4某(－1)＋1＝5. 3．(2022·天津文，3)设某∈R，则“0＜某＜5”是“|某－1|＜1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案B 解析由|某－1|＜1可得0＜某＜2，所以“|某－1|＜1的解集”是“0＜某＜5的解集”的真子集．故“0＜某＜5”是“|某－1|＜1”的必要不充分条件． －＋，4．(2022·浙江，3)若实数某，y满足约束条件－－，则z＝3某＋2y的最大值是() ＋， A．－1B．1C．10D．12答案C 专题7-2基本不等式归类 目录 一、热点题型归纳 (1) 【题型一】 基础型 .......................................................................................................................................... 1 【题型二】 “1”的代换型 ............................................................................................................................ 2 【题型三】 “和”与“积”互消型 .............................................................................................................. 2 【题型四】 以分母为主元构造型 .................................................................................................................. 3 【题型五】 构造分母：待定稀释型 .............................................................................................................. 3 【题型六】 分离分子型 .................................................................................................................................. 4 【题型七】 反解代入型消元法 ...................................................................................................................... 4 【题型八】 因式分解 ...................................................................................................................................... 5 【题型九】 均值用两次 .................................................................................................................................. 5 【题型十】 换元型题 ...................................................................................................................................... 6 【题型十一】“和”与索取和系数不一致型 ..................................................................................................... 6 【题型十二】“均值裂项”凑配型 .................................................................................................................... 7 【题型十三】整体化同乘方程型 ...................................................................................................................... 7 【题型十四】三元最值型 .................................................................................................................................. 8 【题型十五】恒成立求参数型 .......................................................................................................................... 8 【题型十六】超难压轴小题 .............................................................................................................................. 9 二、最新模考题组练 .. (9) 【题型一】基础型 【典例分析】 在下列函数中,最小值是2的是 A.22x y x =+ B. 0)1y x x =>+ C.πsin cos ,0,2y x x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭ D.77x x y -=+ 【提分秘籍】 基本规律 1.基本公式2 2 2 1a 222a b b ab a b ab ab +⎛⎫+≥+≥≤ ⎪ ⎝⎭ （）；（2）；（3） 2.一正二定三相等。是均值成立的前提条件。 【变式演练】 1.已知关于x 的不等式()2 2 5200x ax a a -+<>的解集为()12,x x ，则1212 a x x x x ++ 的最小值是______． 2.若a b 、都是正数，则411b a a b ⎛⎫⎛⎫ ++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 的最小值为 ( ). A.5 B.7 C.9 D.13 不等式与逻辑用语集中练 说明：2022届高三新高考期初考试题目选自新高考地区，如江苏、山东、河北、湖南、湖北等。 不等式部分： 1．(2022·南京9月学情【零模】)(多选题)设正实数x ，y 满足2x ＋y ＝1，则 A ．xy 的最大值是14 B ．2x ＋1 y 的最小值为9 C ．4x 2＋y 2最小值为1 2 D ．2x ＋y 最大值为2 【答案】BC 【考点】基本不等式的应用 【解析】法一：由题意可知，对于选项A ，因为x ，y 为正数，所以2x ＋y ≥22xy ，解得xy ≤1 8， 当且仅当2x ＝y ＝1 2时取等号，故选项A 错误； 对于选项B ，2x ＋1y ＝(2x ＋1y )(2x ＋y )＝4＋1＋2y x ＋2x y ≥5＋2 2y x ·2x y ＝9，当且仅当2y x ＝2x y ，且2x ＋y ＝1，即x ＝y ＝1 3时取等号，故选项B 正确； 对于选项 C ，4x 2＋y 2≥ (2x ＋y )22＝12，当且仅当2x ＝y ＝1 2 时取等号，故选项C 正确； 对于选项D ，(2x ＋y )2＝2x ＋y ＋22xy ≤1＋22·1 8 ＝2，所以2x ＋y ≤2，当且仅当2x ＝y ＝1 2时取等号，故选项D 错误； 综上，答案选BC ． 法二：由题意可知，对于选项A ，因为x ，y 为正数，所以xy ＝12⋅2x ⋅y ≤12⋅(2x ＋y 2)2＝1 8，当且 仅当2x ＝y ＝1 2 时取等号，故选项A 错误； 对于选项B ，2x ＋1y ＝(2x ＋1y )(2x ＋y )＝4＋1＋2y x ＋2x y ≥5＋2 2y x ·2x y ＝9，当且仅当2y x ＝2x y ，且2x ＋y ＝1，即x ＝y ＝1 3 时取等号，故选项B 正确； 对于选项C ，4x 2＋y 2＝(2x ＋y )2－4xy ≥1－4×18＝12，4x 2＋y 2≥12，即当且仅当2x ＝y ＝1 2时取等 号，故选项C 正确； 对于选项D ，2x ＋y ≥(2x ＋y )22，即1≥(2x ＋y )22，所以2x ＋y ≤2，当且仅当2x ＝y ＝ 1 2 2022年高三毕业班数学考点归纳变式演练03 不等式（新 高考）（解析版） 1、专题03不等式名目常考点01不等式的性质1常考点02利用均值不等式4常考点03一元二次不等式的解法8常考点04肯定值不等式的解法12常考点05其他不等式的解法16易错点01分式不等式转化致误18易错点02忽视基本不等式成立的前提“正数”18易错点03忽视基本不等式取等的条件19易错点04多次使用基本不等式，忽视等号是否同时成立20易错点05解含有参数的不等式分类不当致误21专项训练(共22题)23专项训练：按新高考真题的试题量和难度标准编写常考点01不等式的性质【典例1】1．〔2021·广东珠海市·高三二模〕已知，满足，，，则〔〕A．B．C．D．【答案】C【分析】由给定条件分析出a0，b0及a与b间的 2、关系，针对各选项逐一商量即可得解.【详解】因，，则a0，b0，，A不正确；，则，B不正确；又，即，则，，C正确；由得，D不正确.应选：C【典例2】n2．〔2021·山东滨州市·高三期末〕以下命题为真命题的是〔〕A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】D【分析】依据不等式的性质作差法比较大小或取特别值推断，即可得出结果.【详解】对于A选项，当时，明显不成立，故A选项为假命题；对于B选项，当时，满足，但不满足，故B选项为假命题；对于C选项，当时，，不满足，故C选项为假命题；对于D选项，由于，所以，即，故D选项为真命题.应选：D.【技巧点拨】解决此类题目常用的三种方法：(1)直接利用不等式的性质逐 3、个验证；(2)利用特别值法排除错误答案，利用不等式的性质推断不等式是否成立时要特殊留意前提条件；(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行推断.【变式演练1】1．〔2021·河北高三其他模拟〕已知，则〔〕A．B．C．D．【答案】BD【分析】对AC选择，只需要举反例说明即可；对于BD选项需要借助于不等式的性质以及函数的图像与性质进行证明.【详解】对A：当时，，即，故A错误；对B：因为，，所以，即，由于在R上单调递减，所以，故B 正确；n对C：当时，，，又由于在R上单调递增，所以，即，故C错误；对D：，故D正确.应选：BD.【变式演练2】2．〔202 4、1·山东枣庄市·高三二模〕已知，，，则〔〕A．B．C．D．【答案】BCD【分析】先依据已知条件推断出的取值范围，然后逐项通过等量代换、不等式性质、不等式证明推断出各选项的对错.【详解】因为，所以，所以；A．因为，取等号时满足，故A错误；B．因为，故B正确；C．因为，取等号时满足，故C正确；D．因为，所以要证，只需证，只需证，即证，即证，即证，明显成立，且时取等号，故D 正确；应选：BCD.【点睛】此题中D选项的推断除了可以通过分析法证明的方式进行推断，还可以通过三角换元的方法进行分析推断：设，然后分析形如的式子的几何意义去进行求解推断.n【变式演练3】3．〔2021·江苏扬州市·扬州中学高三模拟〕已知两个不为零的实数 5、，满足，则以下说法中正确的有〔〕A．B．C．D．【答案】AC 【分析】对四个选项一一验证：对于A：利用为增函数直接证明；对 第二章专练2—基本不等式（1） 一、单选题 1．已知实数3x >，则9 43 x x +-的最小值是( ) A ．24 B ．12 C ．6 D ．3 2．若正数x ，y 满足220x y xy +-=，则2x y +的最小值为( ) A ．9 B ．8 C ．5 D ．4 3．当1x >时，2 ()4 x f x x =+的最大值为( ) A ．14 B ．12 C ．1 D ．2 4．已知102 a <<，则14 212a a + -的最小值是( ) A ．6 B ．8 C ．4 D ．9 5．已知0a >，0b >且31a b +=，则28a b +的最小值为( ) A ． B ． C ．6 D ．8 6．设x ，y 均为正实数，且33 122x y +=++，则x y +的最小值为( ) A ．8 B ．16 C ．9 D ．6 7．设实数x 满足0x >，函数4 231 y x x =+++的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．1 D ．6 8．若正数x ，y 满足21y x +=，则2 x y + 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 二、多选题 9．已知0a >，0b >，1a b +=，则下列等式不可能成立的是( ) A ．221a b += B ．1ab = C ．212 a b += D ．2212 a b -= 10．已知0a >，0b >，231a b +=，下列结论正确的是( ) A ．22a b +的最小值为 112 B ．2424log log a b +的最大值为1- C ．11a b +的最小值为 D ． 48a b +的最小值为2023年数学高考复习真题演练(2021-2022年高考真题)第5讲 数列与不等式(含详解)
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