高考数学压轴专题2020-2021备战高考《不等式》分类汇编

【高中数学】高考数学《不等式》解析(1)

一、选择题

1．设x ，y 满足10

2024x x y x y -≥??

-≤??+≤?

，向量()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，则满足a b ⊥r r 的实数m

的最小值为（ ） A ．

125

B ．125

-

C ．

32

D ．32

-

【答案】B 【解析】 【分析】

先根据平面向量垂直的坐标表示，得2m y x =-，根据约束条件画出可行域，再利用m 的几何意义求最值，只需求出直线2m y x =-过可行域内的点C 时，从而得到m 的最小值即可． 【详解】

解：不等式组表示的平面区域如图所示：因为()2,1a x =r ，()1,b m y =-r

，

由a b ⊥r r

得20x m y +-=，∴当直线经过点C 时，m 有最小值，

由242x y x y +=??=?，得85

4

5x y ?=????=??

，∴84,55C ?? ???，

∴416122555

m y x =-=-=-， 故选：B.

【点睛】

本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属于中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．

2．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数都有

()0f x ≥，则

(1)

'(0)

f f 的最小值为( ) A ．2 B ．

52

C ．3

D ．

32

【答案】A 【解析】

()2

2

00{,440

a f x ac

b b a

c >≥∴∴≥?=-≤Q 恒成立，,且0,0c a >> 又()()()2,00,1f x ax b f b f a b c =+∴'='=>++，

()(

)11111120f a c f b b +∴=+≥+≥=+=' 当且仅当()

()

120f a c f ='时，不等式取等号，故

的最小值为

3．在下列函数中，最小值是2的函数是（ ） A ．()1

f x x x

=+ B ．1cos 0cos 2y x x x π??

=+

<< ???

C ．(

)2f x =D ．()4

2x

x f x e e

=+

- 【答案】D 【解析】 【分析】

根据均值不等式和双勾函数依次计算每个选项的最小值得到答案. 【详解】 A. ()1

f x x x

=+，()122f -=-<，A 错误； B. 1cos 0cos 2y x x x π??

=+<< ???

，故()cos 0,1x ∈，2y >，B 错误； C. (

)2f x =

=

，故(

)3

f x ≥

，C 错误； D. (

)4222x

x f x e e =+-≥=，当4x

x

e e =，即ln 2x =时等号成立，D 正确. 故选：D . 【点睛】

本题考查了均值不等式，双勾函数求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力.

4．给出下列五个命题，其中正确命题的个数为（ ）

①命题“0x R ?∈，使得2

0010x x ++<”的否定是“x R ?∈，均有210x x ++<”；

②若正整数m 和n 满足m n ≤

2

n ； ③在ABC ?中 ，A B >是sin sin A B >的充要条件；

④一条光线经过点()1,3P ，射在直线:10l x y ++=上，反射后穿过点()1,1Q ，则入射光线所在直线的方程为5340x y -+=；

⑤已知32()f x x mx nx k =+++的三个零点分别为一椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率，则m n k ++为定值. A ．2 B ．3 C ．4 D ．5

【答案】C 【解析】 【分析】

①根据特称命题的否定的知识来判断；②根据基本不等式的知识来判断；③根据充要条件的知识来判断；④求得入射光线来判断；⑤利用抛物线的离心率判断. 【详解】

①，命题“0x R ?∈，使得2

0010x x ++<”的否定是“x R ?∈，均有210x x ++≥”，故①

错误.

②，由于正整数m 和n 满足m n ≤，0n m -≥

，由基本不等式得

22

m n m n

+-=，当m n m =-即2n m =时等号成立，故②正确. ③，在ABC ?中，由正弦定理得sin sin A B a b A B >?>?>，即

sin sin A B A B >?>，所以A B >是sin sin A B >的充要条件，故③正确.

④，设()1,1Q 关于直线10x y ++=的对称点为(),A a b ，则线段AQ 中点为

11,22a b ++?? ?

??，则11

10221121

112AQ a b b k a ++?++=???+?-?==+?

-??，解得2a b ==-，所以()2,2A --.所以入射光线为直线AP ，即312321

y x --=----，化简得5340x y -+=.故④正确. ⑤，由于抛物线的离心率是1，所以(1)0f =，即10m n k +++=，所以1

m n k ++=-为定值，所以⑤正确. 故选：C 【点睛】

本小题主要考查特称命题的否定，考查基本不等式，考查充要条件，考查直线方程，考查椭圆、双曲线、抛物线的离心率，属于中档题.

5．已知关于x 的不等式()()2

22240m x m x -+-+>得解集为R ，则实数m 的取值范

围是（ ） A ．()2,6

B ．()(),26,-∞+∞U

C ．(](),26,-∞?+∞

D ．[)2,6

【答案】D 【解析】 【分析】

分20m -=和20m -≠两种情况讨论，结合题意得出关于m 的不等式组，即可解得实数

m 的取值范围.

【详解】

当20m -=时，即当2m =时，则有40>，该不等式恒成立，合乎题意；

当20m -≠时，则()()2

20

421620

m m m ->????=---

本题考查利用变系数的二次不等式恒成立求参数，要注意对首项系数是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.

6．对于函数()f x ，若12,x x 满足()()()1212f x f x f x x +=+，则称12,x x 为函数()f x 的

一对“线性对称点”．若实数a 与b 和+a b 与c 为函数()3x

f x =的两对“线性对称点”，则c

的最大值为（ ） A ．3log 4 B ．3log 41+

C ．

43

D ．3log 41-

【答案】D 【解析】 【分析】

根据已知有333b c a b c a ++++=，可得1313

1

c

a b

+=+

-，只需求出3a b +的最小值，根据

333a b a b +=+，利用基本不等式，得到3a b +的最小值，即可得出结论.

【详解】

依题意知，a 与b 为函数()3x

f x =的“线性对称点”，

所以333a b a b +=+=≥ 故34a b +≥（当且仅当a b =时取等号）.

又+a b 与c 为函数()3x f x =的“线性对称点， 所以333b c a b c a ++++=，

所以314

3131313

a b c

a b a b +++==+≤--，

从而c 的最大值为3log 41-. 故选:D. 【点睛】

本题以新定义为背景，考查指数函数的运算和图像性质、基本不等式，理解新定义含义，正确求出c 的表达式是解题的关键，属于中档题.

7．已知0a >，0b >，且()1

22y a b x =+为幂函数，则ab 的最大值为（ ） A ．

18

B ．

14

C ．

12

D ．

34

【答案】A 【解析】 【分析】

根据()12

2y a b x =+为幂函数，得到21a b +=，再将ab 变形为ab 1

22

a b =?利用基本不等式求解. 【详解】

因为()12

2y a b x =+为幂函数， 所以21a b +=， 又因为0a >，0b >，

所以ab 2

1121

22228

a b a b +??=?≤= ???，

当且仅当21a b +=，2a b =即11

,24

a b ==取等号. 所以ab 的最大值为 1

8

. 故选：A 【点睛】

本题主要考查幂函数的定义和基本不等式的应用，还考查运算求解的能力，属于中档题.

8．已知,x y 满足33025010

x y x y x y -+≥??+≥??+-≤?

，则3

6y z x -=-的最小值为（ ）

A．15

7

B．

9

13

C

．

1

7

D．

3

13

【答案】D

【解析】

【分析】

画出可行域，目标函数

3

6

y

z

x

-

=

-

的几何意义是可行域内的点与定点(6,3)

P连接的斜率，根据图像得到答案.

【详解】

画出可行域如图中阴影部分所示，

目标函数

3

6

y

z

x

-

=

-

的几何意义是可行域内的点与定点(6,3)

P连接的斜率.

直线330

x y

-+=与直线10

x y

+-=交于点13

(,)

22

A-，

由图可知，当可行域内的点为A时，PA

k最小，故

min

3

33

2

113

6

2

z

-

==

--

.

故选：D.

【点睛】

本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.

9．已知点(2,0)

M，点P在曲线24

y x

=上运动，点F为抛物线的焦点，则

2

||

||1

PM

PF-

的最小值为（）

A3B．51)C．45D．4

【答案】D

【解析】

【分析】

如图所示：过点P作PN垂直准线于N，交y轴于Q，则11

PF PN PQ

-=-=，设

(),P x y ，0x >，则2||4

||1PM x PF x

=+-，利用均值不等式得到答案.

【详解】

如图所示：过点P 作PN 垂直准线于N ，交y 轴于Q ，则11PF PN PQ -=-=，

设(),P x y ，0x >，则()()2

2

2

22224||||44||1x y

x x PM P P M x F x Q P x x

-+-+====+≥-，

当4

x x =

，即2x =时等号成立. 故选：D .

【点睛】

本题考查了抛物线中距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.

10．已知实数x ，y 满足20x y >>，且11

122x y x y

+=-+，则x y +的最小值为

（ ）.

A ．

33

5+ B ．

423

5

+ C ．243

5

+ D ．

343

5

+ 【答案】B 【解析】 【分析】

令22x y m x y n

-=??+=?，用,m n 表示出x y +，根据题意知111m n +=，利用1的代换后根据基本

不等式即可得x y +的最小值. 【详解】

20,20,20x y x y x y >>∴->+>Q ，

令22x y m x y n -=??+=?，解得25

25m n x n m

y +?=???-?=??，则0,0m n >>，111m n +=，

223111555m n n m n m x y m n +-+??

??∴+=+?=?+ ?

?????

13113(455n m m n ??=?+++≥?+ ???

45

+=当且仅当3n m

m n

=

，即m =

，即22)x y x y -=+

即x y =

=

. 故选：B . 【点睛】

本题主要考查的是利用基本不等式求最值的问题，换元后根据1的代换是解题的关键，考查学生的计算能力，是中档题.

11．函数log (3)1a y x =-+（0a >且1a ≠）的图像恒过定点A ，若点A 在直线

10mx ny +-=上，其中·0m n >，则

41

m n

+的最小值为（） A ．16 B ．24

C ．50

D ．25

【答案】D 【解析】 【分析】

由题A （4，1），点A 在直线上得4m+n ＝1，用1的变换构造出可以用基本不等式求最值的形式求最值． 【详解】

令x ﹣3＝1，解得x ＝4，y ＝1，

则函数y ＝log a （x ﹣3）+1（a ＞0且a≠1）的图象恒过定点A （4，1）， ∴4m+n ＝1， ∴

41m n +=（41m n +）（4m+n ）＝16+14n 4m m n

++

=17+8＝25，当且仅当m ＝n 15=时取等号，

故则

41

m n

+的最小值为25，

故选D ． 【点睛】

本题考查均值不等式，在应用过程中，学生常忽视“等号成立条件”，特别是对“一正、二定、三相等”这一原则应有很好的掌握．

12．已知函数1

()cos 2(2)sin 2

f x m x m x =

+-，其中12m ≤≤，若函数()f x 的最大值记为()g m ，则()g m 的最小值为（ ） A ．14

-

B ．1 C

．D

1

【答案】D 【解析】 【分析】

2()sin (2)sin 2

m

f x m x m x =-+-+，令sin [1,1]x t =∈-，则2(2)2

m

y mt m t =-+-+，结合12m ≤≤可得()2211

2

2(2)31144t m m m g m y m m m

=-+-===+-，再利用基本不等式即可得到答案.

【详解】 由已知，221()(12sin )(2)sin sin (2)sin 22

m f x m x m x m x m x =

-+-=-+-+， 令sin [1,1]x t =∈-，则2

(2)2

m

y mt m t =-+-+，因为12m ≤≤， 所以对称轴为2111

[0,]222

m t m m -=

=-∈，所以 (

)22112

2(2)3111144t m m m g m y m m m =-+-===+-≥=，当且仅当

3

m =

时，等号成立. 故选：D 【点睛】

本题考查换元法求正弦型函数的最值问题，涉及到二次函数的最值、基本不等式的应用，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.

13．若实数x ，y ，对任意实数m ，满足()()22

2122211x y m x y m x y m ?-≤-??

+≥+??-+-≤??

，则由不等式组确定的可

行域的面积是( )

A．1 4π

B．

1

2

πC．πD．

3

2

π

【答案】A

【解析】

【分析】

画出约束条件的可行域，然后求解可行域的面积．

【详解】

实数x，y，对任意实数m，满足

22

212

22

(1)()1

x y m

x y m

x y m

--

?

?

++

?

?-+-

?

?

…

?

的可行域如图：

可行域是扇形，

1

4

个圆，面积为：2

11

1

44

ππ

??=．

故选：A．

【点睛】

本题考查线性规划的应用，考查数形结合以及计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．

14．已知点()

2,1

A，O是坐标原点，点()

,

P x y的坐标满足：

20

230

x y

x y

y

-≤

?

?

-+≥

?

?≥

?

，设

z OP OA

=?

u u u r u u u r

，则z的最大值是（）

A．2B．3C．4D．5

【答案】C

【解析】

【分析】

画出约束条件的可行域，转化目标函数的解析式，利用目标函数的最大值，判断最优解，代入约束条件求解即可.

【详解】

解：由不等式组202300x y x y y -≤??

-+≥??≥?

可知它的可行域如下图：

Q ()2,1A ，(), P x y

∴2z OP OA x y =?=+u u u r u u u r

，可图知当目标函数图象经过点()1,2B 时，z 取最大值，

即24z x y =+=.

故选：C. 【点睛】

本题考查线性规划的应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用，属于中档题.

15．已知直线21y kx k =++与直线1

22

y x =-+的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是（ ）

A ．1

2

k >

B ．16k <-

或1

2

k > C ．62k -<< D ．1162

k -

<< 【答案】D 【解析】 【分析】

联立21

1

22y kx k y x =++???=-+??

，可解得交点坐标(,)x y ，由于直线21y kx k =++与直线1

22y x =-+的交点位于第一象限，可得00x y >??>?

，解得即可． 【详解】

解：联立211

22y kx k y x =++???=-+??，解得2421

6121k x k k y k -?=??+?+?=?+?， Q 直线21y kx k =++与直线1

22

y x =-

+的交点位于第一象限， ∴24021610

21

k

k k k -?>??+?+?>?+?，解得：11

62k -<<．

故选：D ． 【点睛】

本题考查两直线的交点和分式不等式的解法，以及点所在象限的特征．

16．已知正数x ，y 满足14

4x y

+=，则x y +的最小值是（ ） A ．9 B ．6

C ．

94

D ．

52

【答案】C 【解析】 【分析】

先把x y +转化成1

14()4x y x y ??+?+ ???

，展开后利用均值不等式即可求解.

【详解】

Q 正数x ，y 满足

14

4x y

+=，

1141419

()1454444y x x y x y x y x y ?????∴+=+?+=++++= ? ? ?????…， 当且仅当4144

y x

x y

x y

?=??

??+=??，即34x =，32y =时，取等号.

故选：C 【点睛】

本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，基本不等式一定要把握好“一正，二定，三相等”的原则，属于基础题.

17．若 x y ，满足约束条件0

2323x x y x y ≥??+≥??+≤?

，则z x y =-的最小值是（ ）

A ．0

B ．3-

C ．

32

D ．3

【答案】B 【解析】

可行域为一个三角形ABC 及其内部,其中3(0,),(0,3),(1,1)2

A B C ，所以直线z x y =-过点

B 时取最小值3-，选B.

18．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1313,,a a a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则26

3

n n S a ++的最小值为（ ）

A ．4

B ．3

C

．2

D ．2

【答案】D 【解析】 【分析】

由题意得2

(12)112d d +=+，求出公差d 的值，得到数列{}n a 的通项公式，前n 项和，

从而可得26

3

n n S a ++，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．

【详解】

解：11a =Q ，1a 、3a 、13a 成等比数列，

2(12)112d d ∴+=+． 得2d =或0d =（舍去），

21n a n ∴=-，

2(121)

2

n n n S n +-∴=

=， ∴()()2

221142626332211

2n n n n S n n a n n n ++++++===+-+++． 令1t n =+

，则

2642223n n S t a t +=+-≥=+ 当且仅当2t =，即1n =时，∴26

3

n n S a ++的最小值为2．

故选：D ． 【点睛】

本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．

19．已知,a b 都是正实数，则222a b

a b a b

+++的最大值是（ ）

A ．23

-

B ．3-

C ．1

D ．

43

【答案】A 【解析】 【分析】

设2,2m a b n a b =+=+，将222a b a b a b

+++，转化为2222233a b n m

a b a b m n +=--++，

利用基本不等式求解. 【详解】

设2,2m a b n a b =+=+， 所以22,33

m n n m

a b --==，

所以

222222233a b n m a b a b m n +=--≤-=-

++， 当且仅当233n m

m n

=时取等号.

所以

222a b a b a b +++的最大值是2-. 故选：A 【点睛】

本题主要考查基本不等式的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.

20．在锐角ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若222cos 3a ab C b +=，则tan 6

tan tan tan A B C A

+?的最小值为（ ）

A B C D ．

32

【答案】B 【解析】 【分析】

根据余弦定理得到4cos c b A =，再根据正弦定理得到sin cos 3sin cos A B B A =，故

tan 3tan A B =，

3t 53tan 4an 6

ta 3ta tan tan n n B A B C A

B ??=

+ ??+?

?，计算得到答案. 【详解】

由余弦定理及222cos 3a ab C b +=可得222223a a b c b ++-=，

即22222a b b c -=+，得22222cos a b a bc A -=+，整理得22 2cos a b bc A =+.

2222cos a b c bc A =+-Q ，2222cos 2cos b bc A b c bc A ∴+=+-，得4cos c b A =.

由正弦定理得sin 4sin cos C B A =，又()sin sin C A B =+，()sin 4sin cos A B B A ∴+=， 整理得sin cos 3sin cos A B B A =.

易知在锐角三角形ABC 中cos 0A ≠， cos 0B ≠，tan 3tan A B ∴=， 且tan 0B >.

πA B C ++=Q ， ()tan tan C A B =-+tan tan 1tan tan A B A B +=-

-?24tan 3tan 1

B

B =-，

tan 6

tan tan tan A B C A ∴+?()233tan 124tan tan B B B -=+353tan 43tan B B ??=+ ???34≥?

当且仅当tan B 时等号成立. 故选：B . 【点睛】

本题考查了正余弦定理，三角恒等变换，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.