2021年全国高考理科数学试题分类汇编：不等式选讲

全国高考理科数学试题分类汇编16：不等式选讲

一、填空题

1 ．（2013年高考陕西卷（理））(不等式选做题) 已知a , b , m , n 均为正数, 且a +b =1, mn =2, 则

(am +bn )(bm +an )的最小值为_______.

【答案】2

2 ．（2013年高考江西卷（理））(不等式选做题)在实数范围内,不等式211x --≤的解集为_________ 【答案】[]0,4

3 ．（2013年高考湖北卷（理））设

,,x y z R ∈,且满足:2221x y z ++=,2314x y z ++=,则x y z ++=_______.

【答案】

3147

二、解答题

4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理））选修4—5;不等式选讲 设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:

(Ⅰ)13

ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a ++≥. 【答案】

5 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理））选修4-5:不等式选讲

已知函数()f x x a =-,其中1a >.

(I)当=2a 时,求不等式()44f x x ≥=-的解集;

(II)已知关于x 的不等式()(){}

222f x a f x +-≤的解集为{}|12x x ≤≤,求a 的值.

6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理））不等式选讲:设不等式*2()x a a N -<∈的解集为A ,且32A ∈,12

A ∉. (1)求a 的值;

(2)求函数()2f x x a x =++-的最小值.

【答案】解:(Ⅰ)因为32A ∈,且12A ∉,所以322a -<,且122

a -≥ 解得1322

a <≤,又因为*a N ∈,所以1a = (Ⅱ)因为|1||2||(1)(2)|3x x x x ++-≥+--=

当且仅当(1)(2)0x x +-≤,即12x -≤≤时取得等号,所以()f x 的最小值为3

7 ．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷）D.[选修4-5:不定式选讲]本小题满分10分.

已知b a ≥>0,求证:b a ab b a 223322-≥-

【答案】证明:∵=---b a ab b a 223322()=---)(223223b b a ab a ()

)(22222b a b b a a --- ()

)2)()(()2(22b a b a b a b a b a --+=--=

又∵b a ≥>0,∴b a +>0,0≥-b a 02≥-b a ,

∴0)2)()((≥--+b a b a b a

∴0222233≥---b a ab b a

∴b a ab b a 223322-≥-

8 ．（2013年高考新课标1（理））选修4—5:不等式选讲

已知函数()f x =|21||2|x x a -++,()g x =3x +.

(Ⅰ)当a =2时,求不等式()f x <()g x 的解集;

(Ⅱ)设a >-1,且当x ∈[

2a -,12)时,()f x ≤()g x ,求a 的取值范围. 【答案】当a =-2时,不等式()f x <()g x 化为|21||22|30x x x -+---<,

设函数y =|21||22|3x x x -+---,y =15, 212, 1236, 1x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩

, 其图像如图所示

从图像可知,当且仅当(0,2)x ∈时,y <0,∴原不等式解集是{|02}x x <<.

(Ⅱ)当x ∈[2a -,12

)时,()f x =1a +,不等式()f x ≤()g x 化为13a x +≤+, ∴2x a ≥-对x ∈[2a -,12)都成立,故2

a -≥2a -,即a ≤43, ∴a 的取值范围为(-1,

43].

9．（2013年高考湖南卷（理））在平面直角坐标系xOy 中,将从点M 出发沿纵、横方向到达点N 的任一路径

成为M 到N 的一条“L 路径”.如图6所示的路径1231MM M M N MN N 与路径都是M 到N 的“L 路径”.某地有三个新建的居民区,分别位于平面xOy 内三点(3,20),(10,0),(14,0)A B C -处.现计划在x 轴上

方区域(包含x 轴)内的某一点P 处修建一个文化中心.

(I)写出点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值的表达式(不要求证明);

(II)若以原点O 为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“L路径”不能进入保护区,请确定点P 的位置,使其到三个居民区的“L 路径”长度值和最小.

【答案】解: .0),,(≥y y x P 且设点

(Ⅰ) d L A P 路径”的最短距离的“到点点)20,3(,

|20 -y | + |3 -x |=+d 垂直距离，即等于水平距离,其中.,0R x y ∈≥

(Ⅱ)本问考查分析解决应用问题的能力,以及绝对值的基本知识.

点P 到A,B,C 三点的“L 路径”长度之和的最小值d = 水平距离之和的最小值h + 垂直距离之和的最小值v.且h 和v 互不影响.显然当y=1时,v = 20+1=21;时显然当]14,10[-∈x ,水平距离之和h=x – (-10) + 14 – x + |x-3| 24≥,且当x=3时, h=24.因此,当P(3,1)时,d=21+24=45.

所以,当点P(x,y)满足P(3,1)时,点P 到A,B,C 三点的“L 路径”长度之和d 的最小值为45.