角平分线优质课
角的平分线市公开课获奖教案省名师优质课赛课一等奖教案
角的平分线教案一、教学目标:1. 理解什么是角的平分线以及其性质；2. 掌握如何构造角的平分线；3. 能够运用角的平分线性质解决相关几何问题。
二、教学重难点:1. 角的平分线的性质和构造方法；2. 运用角的平分线解决问题的能力。
三、教学准备:1. 教师准备黑板、白板、彩色粉笔或白板笔；2. 学生准备直尺、铅笔和橡皮擦。
四、教学步骤:Step 1：引入教师通过问学生关于角的基本知识，如定义、表示方法和度量等，引导学生进入本节课的学习主题。
然后，教师提出问题：“如何找到一个角的平分线？”激发学生思考。
Step 2：角的平分线的性质1. 教师在黑板上绘制一个角ABC，并标出其顶点为A；2. 教师向学生提问：“如果有一条线段AD，使得∠BAD = ∠CAD，我们称线段AD是角ABC的平分线，你能猜测一下角的平分线有哪些性质吗？”引导学生探索角的平分线的性质；3. 学生讨论后，教师总结角的平分线的性质：a. 角的平分线将角分成两个相等的部分；b. 角的平分线和角的边构成一个等腰三角形。
Step 3：角的平分线的构造1. 教师向学生展示角的平分线的构造方法：a. 以顶点A为中心，任取一点B和C；b. 以B和C为圆心，以相同的半径在各自的弧上分别画弧交于点D；c. 连接点A和D，则AD为所需的角的平分线。
2. 教师引导学生使用直尺和铅笔按照上述步骤，自己绘制角的平分线，并检查结果的准确性。
Step 4：练习和应用1. 教师设计一些练习题，让学生运用所学知识解决问题，巩固角的平分线的性质和构造方法；2. 学生在课堂上完成练习并相互交流答案，教师进行讲评；3. 教师提出一些实际问题，让学生运用所学知识解决，培养学生的应用能力和创新思维。
Step 5：总结1. 通过本节课的学习，学生应该理解和掌握角的平分线的性质和构造方法；2. 学生对角的平分线的性质和构造方法有一定的应用能力。
五、教学反思:通过本节课的设计和教学实施，学生可以通过自己的思考和实践，掌握角的平分线的性质和构造方法。
角平分线的市公开课获奖教案省名师优质课赛课一等奖教案
角平分线的教案一、教学目标：1. 理解什么是角平分线，能够准确地描述角平分线的概念。
2. 能够使用直尺和量角器作图画出角平分线。
3. 了解角平分线的性质和应用。
二、教学内容：1. 角平分线的定义和性质。
2. 如何使用直尺和量角器作图画出角平分线。
3. 角平分线的应用。
三、教学过程：导入：教师出示一个角ABC，引导学生思考角的特点和角的平分线的概念。
引入：教师通过示意图和具体例子，向学生介绍角平分线的定义和性质。
角平分线是指从一个角的顶点出发，将角平分为两等分的线段。
性质包括：角平分线上的点到角的两边的距离相等，角平分线的两边上的线段互相垂直，角平分线将角分为两个相等的角。
示范：教师使用直尺和量角器，示范如何作图来画出一个角的角平分线。
首先用直尺连接角的两边，在角的外部取一点并以这个点为中心画一个圆。
然后再使用量角器来测量这个角的一半，将测量结果与圆交点相连，即得到角的平分线。
实践：让学生进行实践操作，在纸上画出若干个角，然后利用直尺和量角器画出这些角的平分线。
鼓励学生在操作中互相交流，共同解决问题。
总结：教师带领学生一起总结角平分线的概念、性质和作图方法，并强调掌握这些内容的重要性。
拓展：教师给出一些具体问题，让学生思考使用角平分线解决问题的方法。
例如，如何证明两个角相等，如何证明一个点在角的平分线上等等。
四、教学评价：教师布置练习题，让学生运用所学知识解答。
评价学生的理解和掌握程度，同时也可以发现学生的问题，及时进行针对性的辅导。
五、教学反思：通过本次教学，学生能够了解什么是角平分线，掌握画角平分线的方法，并熟悉角平分线的性质和应用。
在教学过程中，教师可以引导学生进行思考和讨论，激发他们的学习兴趣，提高他们的学习主动性。
同时，教师也要注意评价和反馈，及时纠正学生的错误，帮助他们进行巩固和提高。
角平分线的性质的市公开课获奖教案省名师优质课赛课一等奖教案
角平分线的性质的教案一、教学目标：1. 知识与技能：了解角平分线的定义和性质，学会运用角平分线的性质解题。
2. 过程与方法：通过教师讲解和实例演示相结合的方式，提高学生的理解和运用能力。
3. 情感态度价值观：培养学生严谨的数学思维，注重观察与推理，提高学生的自学、合作学习和解决问题的能力。
二、教学重点与难点：1. 重点：掌握角平分线的定义和性质。
2. 难点：运用角平分线的性质解决实际问题。
三、教学过程：Step 1 引入新知（1）教师通过提问，引导学生回顾角的定义和性质，复习相关知识。
（2）教师出示一张图纸，上面有两条射线，从一个点出发，交于一点，并各自形成两个角。
教师问学生：如何判断这两个角是否相等？请从几何性质的角度进行推理。
Step 2 角平分线的定义（1）教师解释角平分线的含义：角平分线是指从角的顶点出发，把角分成两个相等的角的射线或线段。
（2）教师出示角平分线的实例图，并要求学生观察并总结出角平分线的特点。
Step 3 角平分线的性质（1）教师提供一些角平分线的性质，如：a. 角平分线把一个角分成两个相等的角。
b. 一个角的两个相等角的角平分线相交于同一点，且这个点在角的内部。
（2）教师通过具体例子进行演示，让学生观察并找出角平分线的性质，引导学生进行类比和推理。
Step 4 角平分线的运用（1）教师提供一些具体问题，要求学生利用角平分线的性质解决问题。
a. 已知一个角的两个角平分线相交于点O，求证这两个角相等。
b. 在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，且∠ADB = 30°，求证∠ACB = 60°。
（2）学生独立思考并进行解答，然后进行讨论，通过合作学习的方式互相交流和纠正错误。
Step 5 拓展练习（1）教师布置一些拓展练习题，要求学生独立完成。
（2）教师进行答疑解惑，引导学生进行错误分析和订正，提高学生的解题能力和思维能力。
四、教学反思：本节课通过引导学生观察、思考和推理，使学生在实际操作中领会到角平分线的定义和性质，并能灵活运用角平分线的性质解决实际问题。
《角的平分线的性质》PPT优质课件
E B
∴∠AOP=∠BOP （全等三角形的对应角相等）.
∴点P在∠AOB的平分线上.
探究新知
判定定理：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
应用格式： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE. O ∴点P 在∠AOB的平分线上.
O
这个点应该在角的平分线
S
探究新知
知识点 1 角平分线的判定
叙述角平分线的性质定理.
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
回 几何语言描述：∵ OC平分∠AOB，且PD⊥OA， PE⊥OB.
顾 旧 知
∴ PD= PE. 不必再证全等
A D
P到OA的距离PD
C P
P是角平分线上的点
O
E
B P到OB的距离PE.
证明：∵OD平分∠AOB，∠1＝∠2， 又∵OA＝OB，OD＝OD， ∴△AOD≌△BOD，∴∠3＝∠4， 又∵PM⊥DB，PN⊥DA， ∴PM＝PN.(角平分线上的点到角两边 的距离相等)
探究新知
素养考点 2 利用角平分线的性质求线段的长度
例2 如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB， PE⊥AC，垂足分别是D,E，PD=4cm，则PE=___4___cm.
探究新知
猜想证明
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D,E，
PD=PE. 求证：点P在∠AOB的平分线上.
证明：作射线OP，∵PD⊥OA，PE⊥OB. ∴∠PDO=∠PEO=90°，
D
A
在Rt△PDO和Rt△PEO 中，
《角的平分线的性质》优质课一等奖课件
助人为牙小明家1B 位于两条公晰政箫的平分线上 现在小明爨步行到公躇上坐车裘两条公畛汇处 的超市，问题如他该怎样钢绘m 节aillOt 你知典哪条藤缺In 超市用纸藕一个偷 两边叠合在J 麒 ―次卷折出一不; 痛为斜边》 成的三蹭1 片对折彩et® 的础缱缕拆 («B —灿折 豆察两次折叠形 动手与M A BO O A 。
E BD CA观察表格申的««说你wmsm?角的平分线上的点到角的两边的距离相等证明为v AZ1=Z2•.• 踏项畸：••• N （M^N»=9妒aAOAPSAOBP^ e «Z OAP= Z OBP （已证）0zi= Z2（已证）q 验证"宜瘪 你能用所学过的方法证明P5吗t0. Fi rate 超市A 」.OP=OP （公共边）.•. △ OAP 丝△ OBP （AAS）J ••• PA=PB （全等三角形对应边相等）几何模型务的平分线上的点到角的两边的距离相等,一平分咒辑吾言：•.•0P 平分NAOBPD LOA于D ,PE LOB 于E.*.PD=PE.（房的平芬线上的点到这个角的两边的距离相等）------ ------- ---------- ------ ------- -------------- ---------- 〜------------- -------- 、 ^- --------- --------- ---------------- ------- > CZ 7 CZ U . ^CL ■U. ^CL 7■聿涅5y-r~T^判断V如图，AD平分NBACBD（角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）::BC------ ------- ---------- ------ ------- -------------- --------- 〜------------- -------- 、 ^- --------- --------- ---------------- ------- > CZ 7 CZ U . ^CL ■U. ^CL 7■（角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）判［断 .・•如图，DC±AC 于C, DB±AB 于BXBDB D------ ------- ---------- ------ ------- -------------- --------- 〜------------- -------- 、 ^- --------- --------- ---------------- ------- > CZ 7 CZ U . ^CL ■U. ^CL 7■G------ ------- ---------- ------ ------ -------------- --------- 〜------------- -------- 、 ^- --------- --------- ---------------- ------- > CZ 7 CZ U . ^CL ■U. ^CL 7■判断V AD平分/BAC,DC±AC 于CBD（角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）------ ------- ----------------- ------ -------------- --------- 〜------------- -------- 、 ^- --------- --------- ---------------- ------- > CZ 7 CZ U . ^CL ■U. ^CL 7■判断v AD平分/BAC,DB±AB于B, DC±AC于CBD =CD,（角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）------ ------- ---------- ------ ------- -------------- ---------- 〜------------- -------- 、 ^- --------- --------- ---------------- ------- > CZ 7 CZ U . ^CL ■U. ^CL 7■ZEaF" CF±WR 求证篇CE w Q*1.； 证明：在△/（：和△ADC 中 [ AB=AD（）< BC=DC （）I AC=AC （公共边） A AABC^ A ADC （SSS ）AZ1=Z2 （全等三角形对应角相等）「•AC 平分 NDABVCE1AD 于E, CF±AF 于FCE=CF （角的平分线上的点到这个角的两边的距离相霁滨如虱点队欧测荏/皿的两边E C 是 点少s醐板.K- = K>- CB JL 雄于既 ED 1既然角平分线如.此有我们该如何做一个角的平分线呢V古人力才如图，是一个角平分仪，其中AB=AD, BC=DCoA证明：在△ ACD和△ ACB中| f AD=AB （）DC=BC （）〔AC=AC （公共边）D\ /B .・. AACD^ AACB （SSS）A ZCAD^ZCABF （全等三角形对应角相等）'E.・・AC平分NDAB根据角平分仪的制作原理怎样用氏规作一个1.把角平分仪放在角的两边 时，角平分仪两边AB=ADM 几何作图角度怎么画？画？3.射线0C 与角平分仪中的AE代表 同一条射线吗？ 角的平分线?2. BC=DC 从几何作图角度怎么A尺规初图方法：1 .以点。
角平分线的性质教学课件
首先利用角平分线的性质求出$angle OCP = 65^circ$，然后根据直角三角形的性质求出 $angle CPO = 90^circ$，最后利用角的和的性质求出$angle OCD = 155^circ$。
= frac{1}{2} angle AOB = 30^circ$；当点$C$在$angle AOB$外部
时，$angle BOC = angle AOB - angle AOC = 150^circ$。
进阶练习题
01
题目：已知$angle AOB = 70^circ$，点$P$是$angle AOB$的角平分线上一 点，且$PC perp OA$，$PD perp OB$，垂足分别为点$C,D$，则$angle CPD = ($ ）
详细描述
首先，以角的顶点为圆心，任意长为半径画一个圆。然后，将圆规的针脚放在圆周上，取半径长度将圆周分为两 个等分。接着，连接等分点和角的顶点，这条直线即为角的平分线。
利用角的和差作角平分线
总结词
通过角的和差性质，可以将一个角分为两个相等的角，从而作出角的平分线。
详细描述
首先，在角的内部作一条射线，使其与角的两边相交于两点。然后，利用角的和差性质，将这两个交 点与角的顶点连接起来，形成两个相等的角。最后，连接这两个相等角的顶点，这条直线即为角的平 分线。
02
答案：B
03
解析：由于点$P$是$angle AOB$的角平分线上一点，根据角平分线的性质， 我们有$angle OPC = angle OPD = frac{1}{2} angle AOB = 35^circ$。再根 据直角的性质，$angle CPD = 180^circ - angle OPC - angle OPD = 110^circ$。
角平分线优质课市公开课一等奖省优质课获奖课件
又∵∠BAC=60°, ∴∠BAD=30°. 在Rt△ADE中,∠AED=90°,AD=10,
∴DE=
11
2 AD=2
×10=5(在直角三角形中,假如一个锐角等于30°,那么
它所正确直角边等于斜边二分之一).
第5页
[知识拓展] 用尺规作已知角平分线.
已知:∠AOB,求作∠AOB平分线OC.
1.以顶点O为圆心,适当长为半径画弧,交 OA于M,交OB于N.
第4页
(教材例1)如图所表示,在 △ABC 中,∠ BAC = 60°, 点 D 在 BC 上,AD = 10,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为 E,F,且 DE = DF,求 DE 长.
解:∵DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,且DE=DF, ∴AD平分∠BAC(在一个角内部,到角两边距离相等点在这个角平 分线上).
知识回顾
学习新知
1.角平分线概念:一条射线把一个角 分成两个相等角,这条射线叫做这个角 平分线.
2.点到直线距离定义.
第2页
定理及其证实
已知:如图所表示,OC是∠AOB平分线,点P在OC 上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.
求证PD=PE. 证实:∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E, ∴∠PDO=∠PEO=90°. ∵∠1=∠2,OP=OP, ∴△PDO≌△PEO(AAS). ∴PD=PE(全等三角形对应边相等). 角平分线性质定理:角平分线上点到这个角两边距离相 等).
2.分别以点M,N为圆心,大于1 MN长为
2
o
半径画弧,两弧在∠AOB内部交于点C.
3.画射线OC,射线OC即为所求.
A M
C B
N
第6页
1.(·湖州中考)如图所表示,在△ABC中,CD是AB边 上高线,BE平分∠ABC,交CD于点E,BC=5,DE=2,则 △BCE面积等于 ( ) C
《角的平分线的性质》优课一等奖课件
人教版初中数学八年级上册第十二章角的平分线的帷质复习导入1 .角平分线的概念1寸线叫做这个角的平分线.2.下列图中能表示点P到直线，A B C D3.用尺规作角的平分线的理论依据是（c ）A.SASB.AASC.SSSD. ASA新课1.角的平分线的作法（尺规作角的平分线）画法:1.以。
为圆心，适当长为半径作弧,交OA于M,交OB于N.2.分别以M,N为圆心.大于1/2 MN的长为半径作弧.两弧在zAOB的内部交于C .3 .作射线OC.射线OC即为所求.议—议为什么0C是角平分线呢?(议一议，写一写) ：OM=ON , MC=NC O求证：0C平分zAOB。
证明：连接CM, CN在△0CM和Z^OCN中，[C 'OM=ONJ MC=NC、OC=OC g —・.・ A0CM 竺AOCN (SSS)「・Z M0C=ZN0C OC平分ZAOB角平分线的性质定理文字语言：角的平分线上的点到角的两边的距离相等议一议用符号语言表示为:PD ±0A , PEJ J-\PD=PE 推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。
AZ1= Z2±0BrE （角的平分线上的点到角的两边的°距离相等）图形语言角平分线的性质定理应用所具备的条件：(1) 角的平分线；(2) 点在该平分线上;(3 )垂直距离。
B定理的作用：证明线段相等。
1、判断•如图，AD平分匕BAC （）D =CD ,（只有角平分线,没有垂直，不）能用角平分线性质定理2、判断..如,DC±AC,DB±A（）3. AD平分匕BAC, DC±AC , DB±AB （）DB =DC（在角的平分线上的点到这个角）的两边的距离相等。
B 不必再证全等A证明一个几何命题的一般步骤:1、明确命题中的和求证。
2、根据题意画出图形，并用数学符号表示出和求证。
3、经过分析，找出由推出要证结论的途径，写出证明过程。
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4、完成课本P30联系拓广4：
如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P 到∠AOB的两边的距离相等.
解：作法：（1）连接CD；
（2）作CD的垂直平分线；
B
（3）作∠AOB的平分线OG交EF于点P；
（4）所以点P就是所要求的点。
G
P●
●D
●C O
2、在一个角的内部，且到角的两边距离 相等的点，在这个角的平分线上
第一章 三角形的证明
1.4 .1角平分线
知识回顾（1分钟）
1.三角形全等的判定方法有：SA_S_,_S_S_S_,_A_S_A_,_A_A_S__, H_L
2. 直角三角形全等判定定理的内容是:_______________
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角全等
学习目标（1分钟）
1、掌握角平分线的性质定理以及它的逆定理， 并能用文字及符号语言阐述这两个定理
且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC, 垂足分别是E,F.
求证:EB=FC.
证明：∵ AD 平分∠BAC，
A
DE⊥AB,DF⊥AC
∴DE=DF，
∠ DEB = ∠DFC= 90°
E
F
∵ BD=CD
∴ △ DEB≌△ DFC（HL） B
∴ EB=FC
D
C
点拨：4分钟 用尺规作角的平分线.
A
E
C
已知:∠AOB,如图.
PF⊥AC，则PE__=___PF.
2、如图（2），PD⊥AB，PE⊥AC，且PD=PE，连接AP，
则∠BAP___=___∠CAP.
（1）
（2）
（3）
自学检测2（6分钟）
1、请完成课本P29随堂练习1.
课本P2个角的角平分线 互相垂直。
2、已知:如图,在△ABC中,AD是它的角 平分线,
2、逆定理: 在一个角的内部,且到角的两边距离相__等 的
点,在这个角的 角平分线上
.
如图,
A
∵PD=PE, PD⊥OA , P_E_⊥__O__B
(D
已知),
∴点在P在一∠个A角O的B的内平部分，线且上到角的两边距离 O ( 相等的点，在这个角的平分线上。
1 2
P C
E
)
B
自学检测1（5分钟）
1、如图（1），AD平分∠BAC，点P在AD上，若PE⊥AB，
小结归纳（2分钟）
角的平分线的性质 角的平分线的判定
图形
C
P
C P
OP平分∠AOB
已知
条件 PD⊥OA于D PE⊥OB于E
结论 PD=PE
PD=PE PD⊥OA于D PE⊥OB于E
OP平分∠AOB
当堂训练 （15分钟）
1、已知，如图（1），∠AOB=60°,CD⊥OA于D， CE⊥OB于E，若CD=CE，则
求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC.
作法:
O
1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE,
DB
2.分别以点D和E为圆心,以大于1/2DE长为半径作弧, 两弧在 ∠AOB内交于点C..
3.作射线OC. 则射线OC就是∠AOB的平分线.
请你说明OC为什么是∠AOB的平分线,
并与同伴进行交流. (SSS)
∠COD+∠AOB=___9_0度.
2、如图（2），已知：OM是∠POQ的平分线， MP⊥OP于P，MQ⊥OQ于Q，S△QOM=6 cm2，
OP=3 cm，则MQ=_4_ cm.
A D
C
P M
∟ ∟
O
EB
图（1）
O
Q
图（2）
3、完成课本P29 随堂练习 2
O
C
D
解：如图所示，作夹角的角平分线OC，
2、会用角平分线的性质定理以及它的逆定理 解决简单的数学问题
自学指导1（1分钟）
自学课本P28~29面相关内容，思考并完成下列问题：
1、定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离 相等__。 如图, ∵OC是∠AOB的平分线, _P_D__⊥__O_A__,P_E_⊥__O__B___, (已知) ∴PD=PE( 角平分线上的点到这_个__角__的__两__边__的__距__离__相__等__).
A
5、（选做题）完成课本P30联系拓广3：
证明：
∵ ∠C=90°∠A=30°，
B
∴ ∠ABC=60°。
D
∵DE垂直平分AB，
∟
∴ ∠ABE= ∠A=30°，
C
∴ ∠EBC= ∠ABC-∠ABE=30°，
E
A
∴ ∠ABE= ∠EBC，∴BE平分∠ABC。
板书设计
1、角平分线上的点到这个角的两边的距离相等